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3.7. Estabilidade de Raízes. 
 
 Definindo 
f x x x x x x x x( ) = - + - + - + -7 6 5 4 3 228 322 1960 6769 13132 13068 5040 (3.7-1) 
e mudando o coeficiente de x6 de - 28 para - 28.002 (Þ) $( )f x . 
 Para tratarmos do cálculo aproximadamente de uma função f(x) introduzimos a função 
perturbada 
F x f x g xÎ = + Î( ) ( ) ( ) (3.7-2) 
onde g(x) é assumida ser continuamente diferenciável e |Î| << 1. 
 Denotaremos a(Î) raiz F xÎ( ) e a(0) raiz f(x) 
\ a(Î) &= a(0) + Î a’(0) (3.7-3) 
 
 Uma vez que a(Î) raiz F xÎ( ) (Þ) f(a(Î)) + Î g(a(Î)) = 0, derivando ambos 
os termos relativamente em Î (Þ) 
f’(a(Î)).a’(Î) + g(a(Î)) + Î g’(a(Î)).a’(Î) = 0 
e tomando Î = 0 (Þ) f’(a(0)).a’(0) + g(a(0)) = 0 (Þ) 
(Þ) a’(0) = - g(a(0)) (3.7-4) 
 f’(a(0)) 
 
 
 
 (3.7-5) 
 
 Se a’(0) for muito grande em tamanho, então as pequenas mudanças Î alterará muito 
os efeitos na raiz. 
 
 
3.8. Sistemas Não Lineares. 
 
 Seja o problema, determinar ~x Î R n de modo que ~( ~)f x = 0 , ~f Î R n , isto é, 
f x x
f x x
n
n n
1 1
1
0
0
( ,..., )
( ,..., )
=
=
ì
í
ï
îï
M M (3.8-1) 
 
de modo análogo ao anterior, temos: 
 
 
 
 
 a(Î) &= a(0) - Î g(a(0)) 
 f’(a(0)) 
[ ]~ ~ J( ) . ~(~ )x x x f xk k k k+ -= -1 1 
 
 (3.8-2) 
Exemplo: Achar (x,y) de tal forma que: x y
x y
2 2
2 2
2
1
+ =
- =
ì
í
î
 (3.8-3) 
f x y1
2 2 2= + - , f x y2
2 2 1= - - 
 
 J( )x
x y
x y
=
-
é
ë
ê
ù
û
ú
2 2
2 2
 e J ( )- =
-
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
1
1
4
1
4
1
4
1
4
x x x
y y
 
 
x
y
k
k
+
+
é
ë
ê
ù
û
ú
1
1
 = 
x
y
k
k
é
ë
ê
ù
û
ú - 
1
4
1
4
1
4
1
4
2
1
2 2
2 2
x x
y y
x y
x y
k k
k k
k k
k k
-
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
+ -
- -
é
ë
ê
ù
û
ú. 
 
 
 
\ 
x x
x
x
y
y y
y
x
k k
k
k
k
k k
k
k
+
+
= - +
= - +
ì
í
ïï
î
ï
ï
1
1
2
3
4
2
1
4
.
 
 
 
 Se x y0 0 1= = (Þ) 
 
 n x y 
 
 1 1.25 0.75 
 2 1.225 0.7083 
 3 1.2247 0.7071 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
serie1.PDF
Serie 1 CN – BCC UNESP Rio Claro – Prof. DR. J M Balthazar
1- Efetue as seguintes operações e obtenha o erro relativo no resultado, supondo que x,y, s
são exatamente apresentados: x+y+z, x(y/z)
2- Escreva um programa em alguma linguagem para obter o resultado da seguinte
operação å
=
-=
n
k
xS
1
10000 para x=100000 e x=1; n=80000 e x=0.125
3- Escreva um algoritmo para se calcular a soma å
N
ix
1
 usando for i=1, 2, ..n ou usando
ihax ii += os resultados serão os mesmos ?
4- Use MNR para determinar as raízes de )cos()(
2
xexxf xB-+= para b+1.5, 10, 25, 50.
Ache as raízes de 0=0 e discuta os resultados.
5- Ache as raízes de xxxf -= )cos()( ;
 0)1cos()1ln()( =-+-= xxxf para 310-Î=
6- Ache as raízes de 
43
9
32
32
=-
=+
yyx
xyx
 usando as CI
)5.2,2(),5.2,2.1();5.2,2();5.2,2.1( ---- e discuta os resultados
7- Faça u programa para calcular as raízes
de 023118018225225102102020785051939938676039 24681012 =+-+-+- xxxxxx
Quão preciso quanto possível e discuta sua estabilidade.
teoria0.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Idealização 
 mediante 
 suposições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Técnicas 
 Matemáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reexaminar Fazer 
os resultados ex- idealizações 
 perimentais ou adicionais. 
 observados. 
 
 
 
 
 
 
 
 Se satisfatório Se não satisfatório 
 
 
 
 
 
 
Figura 0.1.2. Diagrama da técnica de Modelagem. 
 Enunciado não matemático 
 de um problema real. 
 Modelo 
 Matemático 
 Resultado do 
 Modelo 
 Matemático 
 Resultados Experi - 
mentais ou Observados 
 do problema real 
 suposto. 
 Comparação 
 dos Resultados. 
 STOP 
 
OBS: O modelo ideal deve ser o mais próximo possível do modelo real. 
 
 
 
 
Símbolos usados em fluxogramas. 
 
 
 
 Símbolo Nome Função 
 
 
 Terminal Representa o começo ou o fim do programa. 
 
 
 Flowlines Representa o diagrama da lógica. As curvas 
 na horizontal indicam que ele passa sobre e não 
 tem conexão com o fluxo vertical. 
 
 Processo Representa os cálculos ou manipulação de 
 dados. 
 
 
 Entrada/Saída Representa as entradas ou saídas dos dados 
 ou informações. 
 
 
 Decisão Representa uma comparação, questão, ou 
 decisão que determina trilhas alternativas 
 a serem seguidas. 
 
 On-page Representa uma quebra na trilha do fluxograma 
 connector
que é usado para continuar o fluxo de um 
 ponto de uma página para outra. O símbolo de 
 conexão marca onde o fluxo termina em um 
 ponto na página e onde ele continua no outro 
 ponto. 
 
 Off-page Similar ao “On-page connector”, mas 
 connector representa uma quebra na trilha de um 
 fluxograma que é usado quando ele é tão 
 grande, não sendo possível ajustá-lo em uma 
 simples página. O símbolo de conexão marca 
 onde o algorítmo termina, na primeira página, e 
 onde continua na segunda página. 
 
 
Figura 1.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Passo 1 : Comece o cálculo. Bloco 1 
 
 
 Passo 2 : Entre com um valor para A Bloco 2 
 
 
 Passo 3 : Entre com um valor para B Bloco 3 
 
 
 Passo 4 : Some A com B, e dê a Bloco 4 
 resposta C 
 
 Passo 5 : Saía com o valor de C Bloco 5 
 
 
 Passo 6 : Fim do cálculo Bloco 6 
 
 
 
 (a) (b) 
 
 
 
Figura 1.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
teoria1.pdf
 
CURSO Métodos Numéricos-Prof. Dr. J. M. 
Balthazar ( 2003 segundo semestre). 
 
Capítulo 0 : Modelagem 
 
Capítulo 1 : Aproximação e Erros 
 
Capítulo 2 : Equações e Sistemas Não-Lineares 
 
Capitulo 3: Algebra linear Computacional 
 
Capítulo 4 : Teoria da Interpolação 
 
Capítulo 5 : Ajuste de Funções 
 
Capítulo 6 : Introdução a Resolução Numérica de 
Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Critérios: P1 : 5
a aula 
 P2: 9
a aula 
 P2.5: 14
a aula 
 P1: Presença 
 EXComput1.5: transcorrer do curso em grupo nos 
 dias das Pi 
 
Referencias: Notas de aula ( pagina 
http:/black.rc.unesp.br/balthazar/ 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 0 : MODELAGEM 
 
 2
 
0.1. Preliminares 
 
 Um modelo é uma representação (substitutiva) da 
realidade. 
 
 Como VERBO MODELAR( => )construir 
representações idealizadas de uma situação real, um modelo 
matemático pode ser definido como uma formulação ou equação que 
expressa as características essenciais de um sistema físico ou processo, 
em termos matemáticos. 
 
 
 
 A técnica de construção de modelos matemáticos é sumarizado 
na figura ( 0 - 1.1 ), a seguir. 
 
OBS: O modelo ideal deve ser o mais próximo possível do modelo real. 
 
 
Figura 0.1.1. Diagrama da técnica de 
Modelagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Idealização 
 mediante 
 suposições. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Técnicas 
 Matemáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Reexaminar Fazer 
os resultados ex- idealizações 
 perimentais ou adicionais. 
 observados. 
 
 
 
 
 
 
 
 Se satisfatório Se não satisfatório 
 
 
 
 
 
 
 
Enunciado não matemático 
 de um problema real. 
 Modelo 
 Matemático 
 Resultado do 
 Modelo 
 Matemático 
 Resultados Experi - 
mentais ou Observados 
 do problema real 
 suposto. 
 Comparação 
 dos Resultados. 
 STOP 
 4
 0.2 COMPUTADORES E SOFTWARES 
 
 
 Métodos Numéricos : Combinam matemática e computadores. 
 
 Não importa que tipo de computador, você use; pois ele só terá 
utilidade se for provido de instruções cuidadosas ( SOFTWARES ) 
 
Linguagem: A escolha do aluno( Pref. C) 
 
 
Algoritmos 
 
Definição: Um algoritmo pode ser uma sequência de instrução ordenadas, de 
maneira, a dar, em seu decurso a solução para um problema específico. 
 
Nossa preocupação será com os algoritmos voltados para o processamento 
numérico; eles devem ter a seguinte características: 
 
* 1. O algoritmo deve identificar todas as etapas do modelo. 
 
* 2. O algoritmo pode falhar por violar restrições físicas da máquina, que são 
detectadas, em tempo de execução. 
 
*3. Como muitos problemas numéricos são resolvidos por métodos 
ITERATIVOS 
(repetitivos), faz-se necessário estabelecer um Critério de Parada para que o 
algoritmo possa terminar após um número finito de passos. (É aconselhável 
que o número de passos seja determinado à priori). 
 
* 4. O algoritmo deve ter independência de máquina. 
 
* 5. Eficiência (Economia). 
 
* 6. Resultado <= Valor Aproximado + Limite Erro. 
 
 
OBS : Um fluxograma é uma representação gráfica (visual) de um algoritmo 
 
 5
Capítulo 2 : Aproximação e Erro. 
 
2.1. Definições de Erro: 
 
 Os erros numéricos, isto é, erro num número Xa é seu valor verdadeiro 
menos seu valor aproximado : 
 
 E[ Xa ] = Erro em Xa = Xv - Xa 
 
(2.1-1) 
 
e o erro relativo em Xa : 
 
 Rel [ Xa ] = Xv - Xa 
(2.1-2) X v 
 
 Note que os erros relativos são muito mais usados que os erros 
absolutos; veja os exemplos : 
 
 
Exemplo 1: 
 
 Xv = 10.000 cm Xa = 9.999 cm 
 Xv = 10 cm X a = 9 cm 
 
(Medidas de comprimentos de uma ponte e de um rebite (prego)). 
 
Erro E[ Xa ] (Ponte) = 10.000 - 9.999 = 1 cm 
Erro E[ Xa ] (Rebite) = 10 - 9 = 1 cm 
 
 \ Ambos tem o mesmo erro absoluto. 
 
Rel ( Xa ) (Ponte) = 1 (100) = 0,01 % 
 10.000 
Rel ( Xa ) (Rebite) = 1 (100) = 10 % 
 10 
Mas o erro relativo para a rebite é muito maior. 
 
 6
Exemplo 2 : 
 
 Xv = 0,00006 E[ Xa ] = 0,00001 
 Xa = 0,00005 Rel[ Xa ] = 0,00001 = 0.1 ou 10 % 
 0.00006
Xv = 100.500 E[ Xa ] = 500 
 Xa = 100.000 Rel[ Xa ] = 500 = 0.05 ou 0.5 % 
 100.500 
 
 Logo é importante especificar se o erro considerado é absoluto 
ou relativo. 
 
 Note que no caso dos processos iterativos : 
 
 E[ Xa ] = Aproximação Presente - Aproximação Prévia (2.1-3) 
 Aproximação Presente 
 
 Além do mais, os erros podem ser positivos ou negativos: se 
aproximação for maior do que o valor verdadeiro (Aproximação prévia maior 
do que a Aproximação presente) o erro é negativo (Positivo no caso inverso). 
O interessante é tomar-se 
 
| E[ Xa ] | < es (Pré especificação da tolerância) 
 
 
2.2. Fontes de erro: 
 
Geralmente, os erros provém de três fontes: 
 
2.2-1: Modelagem Matemática do Problema; 
2.2-2: Precisão dos Dados; 
2.2-3: Erros de Arredondamentos (na fase de resolução) e truncamentos. 
 
Os exemplos abaixo, são ilustrativos: 
 
EXEMPLO 1: SOBRE MODELAGEM E PRECISÃO DOS DADOS. 
 
 Supõem-se que se queira determinar a altura de um edifício e que para isso se 
disponha apenas de uma bolinha de metal e de um cronômetro e da fórmula: 
 7
d = do + vo t + 1
2
 a t 2 (2.2-1) 
 
d : distância percorrida; d 0 : distância inicial; v0 : velocidade inicial; 
a : aceleração; t : tempo. 
 
 Então subindo-se ao topo do edifício e medindo-se o tempo 
que a bolinha gasta para tocar o solo, ou seja, 3 segundos (Þ ) 
 
 d = 0 + 0.3 + (0.5)(9.8)(3)2 = 44,1 m. 
 
 Pergunta: Este resultado é confiável ? 
 
Não, no modelo não foram considerados outras forças, tais como resistência 
do ar, velocidade do vento, além da precisão da leitura do cronômetro; pois 
para uma pequena variação no tempo medido, existe uma grande variação na 
altura do edifício. 
Se o tempo de medida fosse 3,5 segundos ao invés de 3,0 segundos a altura 
do edifício seria 60 m. 
 Para uma variação de 16,7 % no valor lido no cronômetro, a 
altura calculada apresenta uma variação de 36 %. 
 
 
Exemplo 2: Sobre truncamentos. 
 
 São os erros provenientes da atualização de processos que deveriam ser 
infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor e que por razões 
práticas são truncadas. A solução adotada é a de interromper os cálculos 
quando uma determinada precisão for atingida. 
 
sen x = x - x
3
3!
 + x
5
5!
 + ... + ( )- -1 1n x
n
n2 1
2 1
-
-( )!
 
 
( )1 1
1 2
2+ = +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ + +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +x x x
n
x Rn
a a a a
... se a = ½ 
 
1 1
1
2
+ @ +x x (x pequeno) 
 
 8
 Mais tarde, veremos mais detalhes. 
Exemplo 3: Sobre Arredondamentos. 
 
 
Quando trabalha-se com um número limitado dígitos num número, 
como num computador, os erros de arredondamentos são 
inevitáveis e devem estar ligados à precisão da máquina, em uso. 
 
Ex.: Supondo-se as operações abaixo sendo processadas, numa máquina 
com quatro dígitos significativos (Þ ) 
 
x1 = 0.3491 . 10
4 , x2 = 0.2345 . 10
0 
 
( )x x x2 1 1+ - = ( 0.2345 . 100 + 0.3491 . 104 ) - 0.3491 . 104 = 
= 0.3491 . 104 - 0.3491 . 104 = 0.000 
 
( )x x x2 1 1+ - = 0.2345 . 100 + (0.3491 . 104 - 0.3491 . 104 ) = 
= 0.2345 
 
 Os resultados são diferentes, pois o arredondamento feito em 
( x x2 1+ ) apresenta o resultado com oito dígitos e a máquina só armazena 
quatro dígitos. 
 
2.3. Propagação de erros: 
 
a. Números. 
 
 Seja e o erro em X e ho erro em Y, isto é: 
 
 Xv = Xa + x ( 2.3-1) 
 Yv = Ya + h 
 
então para : 
 
 
 
 
 
 
 
 9
 
 
i) Multiplicação - 
 
 
 Xv Yv - Xa Ya = Yv Xv - (Xv - x)(Yv - h) = 
 = Xv Yv -{ Xv Yv + Xv h - Yv x + x h } = 
 = Xv h + Yv x + x h (2.3-2) 
 
 Rel[ Xa , Ya ] = Xv Yv - Xa Ya = 
 Xv Yv 
 
 = Xv h + Yv x - x h = h + x - x h = 
 Xv Yv Yv Xv Xv Yv 
 
 
 = Rel [Xa ] + Rel[Ya] - Rel[Xa ] Rel[Ya] (2.3-3) 
 
 
Para | Rel [Xa ] | ,| Rel[Ya] | << 1 ( => ) 
 
 
Rel [Xa ,Ya] @ Rel [Xa ] + Rel[Ya] 
 
 
ii) Divisão - 
 
 
 Rel [Xa / Ya] = Rel [Xa ] - Rel[Ya] (2.3-3) 
 1 - Rel[Ya] 
 
 Se Rel[Ya] << 1 então Rel [Xa / Ya] » Rel [Xa ] - Rel[Ya] 
 
 
 
iii) Adição e Subtração - 
 
 Rel [Xa ± Ya] = x ± h = Rel [Xa ] ± Rel[Ya] (2.3-4) 
 
 
 
 
 
 10
 
 
 
 
b. Funções. 
 
 Seja f (Xv ) ser uma aproximação por f (Xa), então pelo teorema do valor 
médio temos 
 
f (Xv) - f (Xa) » | f ’(Xa) | (Xv - Xa) (2.3-5) 
 
desde que Xa e Xv são relativamente próximos e f ’(x) não varia muito x Î ( 
Xa , Xv ). 
 
 No caso de ter-se função de duas variáveis : 
 
f (Xv , Yv) - f (Xa , Ya) » 
¶
¶
f
x
( , )X Ya a
ì
í
î
ü
ý
þ
 (Xv - Xa) + 
¶
¶
f
y
( , )X Ya a
ì
í
î
ü
ý
þ
(Yv -Ya) (2.3-6) 
 
com restrições equivalentes. 
 
2.3.1. Ruído no cálculo da função. 
 
 Considere o gráfico da função f x x x x( ) = - + -3 23 3 1 , x Î [0,2]. 
 
 
 
 
é uma curva suave e contínua. 
 
Para x Î [0.998 , 1.002] temos que os valores estão espaçados, logo não 
temos mais curva contínua (considero cerca de 800 pontos), como 
apresentado na figura 2.3.2. 
 
 
OBS: Na nuvem de pontos não se consegue detectar onde está a raiz. 
 O ruído nas funções é um problema importante que deve ser 
considerado em suas análises. 
 
 11
2.4. Estabilidade Numérica. 
 
 Considere o seguinte problema 
 
 
 ì 5 7 0 71 2x x+ = . Solução : x1 = 0 
 î 7 10 11 2x x+ = x2 = 0.1 
 
 Se ì 5 7 0 691 2$ $ .x x+ = Solução : $x1 = - 0.17 
 î 7 10 1011 2$ $ .x x+ = $x2 = 0.22 
 
isto é, uma pequena mudança no lado direito do sistema levou a 
grandes mudanças no resultado. 
 
Do ponto de vista prático, deveremos introduzir uma medida de estabilidade 
(número de condição), que será a medida de sensibilidade da solução para 
pequenas mudanças na Amostra. 
 
 Seja o número de condição dado por K, então : 
 
· Se K for grande (k > 1) Þ mal condicionamento; 
· Se K for pequeno (k < 1) Þ bem condicionado. 
· 
 Note f x f x f x x x( ) (~) (~)( ~)» + ¢ - , então definimos :
E[f(x)] = f x f x
f x
f x x x
f x
( ) ( ~)
(~)
( ~)( ~)
(~)
-
@ ¢
- 
 
 E[x] = x x
x
- ~
~ , K(x) = ~
(~)
( ~)
x
f x
f x
¢ , onde K é o número 
de condição. 
 
 E[f(x)] = [ ~ (
~)
(~)
x
f x
f x
¢ ] ( x x
x
- ~
~ ) 
 
 
 
 
 E[f(x)] = K(x) . E[x] 
 12
 
OBS : O Teste de Condicionamento, verifica se o problema é bem 
condicionado ou bem posto. Quando o problema for mal 
condicionado, deve haver uma mudança de variável para que o 
problema possa ser resolvido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
teoria10.pdf
Capítulo 4: Teoria de Interpolação. 
 
4.1. Motivação. 
 
 Vamos pensar na seguinte situação: Uma industria consome energia elétrica durante 
uma jornada típica de trabalho, de acordo com a tabela apresentada abaixo: 
 
Hora 14.00 14.30 15.00 15.30 16.00 16.30 17.00 
Pot. 139 152 165 163 142 119 97 
 
 Estas medidas feitas a intervalos regulares, dão uma idéia do consumo de energia 
elétrica da fábrica. No entanto, como devemos proceder para fazer uma estimativa do consumo de 
energia, por exemplo, às 15:20 ? 
 Uma primeira aproximação seria ligar, com uma reta, os valores relativos a 15:00 
hrs e 15:30 hrs: 
 
 165 
 
 
 163 
 
 
 
 
 
 15:00 15:20 15:30 
 
 Uma segunda aproximação pode ser feita com a utilização de mais dados, isto é, 
levando em consideração o consumo às 16:00 hrs também e, em vez de se fazer uma interpolação 
linear, passamos pelos três pontos uma parábola: 
 
 165 163 
 
 
 
 
 142 
 
 
 
 15:00 15:20 15:30 16:00 
 
 Aparentemente, esta segunda aproximação é mais apropriada, pois considera 
informações adicionais. A idéia natural para uma terceira aproximação seria considerarmos, além 
do que já temos, a situação às 14:30 e, pelos quatro pontos obtidos, passar um polinômio interpolador 
de terceiro grau: 
 
 
 Estimativa do 
 Consumo às 
 15:20hrs 
 
 
 
 
 
 14:30 15:00 15:20 15:30 16:00 
 
 O polinômio interpolador neste caso seria da forma : a x a x a x a1
3 2
3 0+ + + . 
 
4.2. Introdução. 
 
 O problema da interpolação pode ser dado na seguinte definição: 
 
Definição 4.2.1.: Sendo fornecida uma série de dados ( x i , x j ) , i=0,1,...n, correspondentes aos 
valores de argumentos e valores de uma função f, tal que: y = f(x), os quais foram obtidos 
“experimentalmente”, deseja-se obter os valores f x( ) , x x i¹ , utilizando-se os pontos dados. 
 
 O objetivo da interpolação é obter o valor de f x( ) aproximadamente. Para isso 
construímos, a partir dos dados “experimentais” uma nova função f(x) que interpola a f, tal que: 
i) " x i , x0 £ £x xi n f( xi ) = f( x i ); 
ii) " x Î [ x 0 , x n ] f( xi ) @ f( x i ). 
 
 Pela definição anterior podemos ter vários tipos de funções que interpolam a 
função. Tal pode ser visto nas figuras abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.1. Funções que interpolam f. 
 
 A função f que interpola f pode pertencer a uma das seguintes famílias: 
 
P: polinômios : y a x a x a x an n n n= + + + +
-
-0 1
1
1. .. 
F: Fourier : f x a ix b ixi i i( ) cos sen= + 
E: exponencial : y aebx= 
S: splines : “pedaços” de polinômios, etc. 
 
 O problema da interpolação pode ser visto em dois casos: 
a) Valores tabelados: a função f pode ser dada através de uma tabela correspondente aos 
valores da função para um número limitado de valores x. como por exemplo, a função dada pela 
tabela mostrada a seguir: 
 
x0 x1 x2 x3 .... xn 
y0 y1 y2 y 3 .... y n 
 
adimitindo-se que os valores tabelados tenham sido obtidos com uma alta exatidão, isto é, todas as 
casas são corretas ou confiáveis, resta o problema de obter os valores da função para os pontos não 
tabelados. 
 
b) Funções matemáticas conhecidas: Neste caso as funções a serem interpoladas são 
conhecidas analiticamente, mas seu cálculo é muito trabalhoso ou ainda, não podem ser calculadas 
para qualquer valor do argumento. 
 
Ex.: Função erf(x) de Bessel: erf(x) = 2 1
2 10
2 1
p
( )
!
.
( )!
-
+=
¥ +
å
n
n
n
n
x
n
 
J n
v
v
v n
x
v n v
x
( )
( )
!( )!
.=
-
+=
¥ +
å 1 20
2
 
 
 Em linhas gerais, o problema da interpolação resume-se em: A partir de uma tabela 
com valores de uma função f, onde y = f(x), com n + 1 pontos, deve-se escolher n funções f i , i = 
0,1,...,n cuja combinação usada como aproximação da função dada : 
 
f x c f x c f x c f x xn n( ) ( ) ( ) . .. ( ) ( )@ + + + =0 0 1 1 f (4.2-1) 
 
 As funções f i são conhecidas e escolhidas conforme a natureza do problema que 
está tabelado. O que desejamos calcular são as constantes c j . De acordo com a definição (4.2-1), 
de acordo com item 1, temos que a aproximação f(x) deve coincidir com f(x) nos pontos dados na 
tabela, o que nos dá o seguinte sistema : 
 
c f x c f x c f x y
c f x c f x c f x y
c f x c f x c f x y
n n
n n
n n n n n n
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1
( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( )
( ) ( ) ... ( )
+ + + =
+ + + =
+ + + =
ì
í
ïï
î
ï
ï
M
 (4.2-2) 
 
se tivéssemos f x xi
i( ) = , ou seja, a função f que interpola a f será um polinômio e (4.2-2) seria: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
teoria11.pdf
c c x c x c x y f x
c c x c x c x f x
c c x c x c x f x
n
n
n
n
n n n n
n
n
0 1 0 2 0
2
0 0 0
0 1 1 2 1
2
1 1
0 1 2
2
+ + + + = =
+ + + + =
+ + + + =
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
... ( )
... ( )
... ( )
M
 (4.2-2) 
 
 \ (n+1) equações e (n+1) incógnitas : c c cn0 1, , .. ., . 
 
 \ A x = b 
 
onde A = 
1
1
1
0 0
2
0
1 1
2
1
2
x x x
x x x
x x x
n
n
n n n
n
K
K
M M M M
K
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
 
 
A : Matriz de Vandermond e det A ¹ 0; o sistema A x = b admite uma solução única. 
 
Teorema 4.3.1.: Dados (n+1) pontos distintos x xn0 ,..., e (n+1) ordenadas y yn0 ,..., , existe 
um
polinômio p(x) de grau £ n que interpola yi em x i , i = 0,1,...,n. Este polinômio p(x) é único 
entre todos os conjuntos de polinômios de grau no máximo n. 
 
4.3. Interpolação Polinomial. 
 
 Por razões práticas e históricas, a classe de funções mais usadas na interpolação 
são os polinômios, pois possuem a vantagem de serem fáceis de derivar, integrar e calcular. Uma 
boa razão para usarmos polinômios é dada pelo teorema abaixo: 
 
Teorema 4.3.2.(Weierstrass): Se f(x) é contínua em [a,b] então para " e > 0, $ um polinômio 
P ( )n x de grau n, n = g(e) tal que | f(x) - P ( )n x | < e para x Î [a,b]. 
 
 Pois estamos interessados em que a aproximação para f( x ) onde x não está 
tabelado, seja suficientemente exata. Embora a demonstração seja construtiva o polinômio resultante 
costuma ser elevado, de modo que tal polinômio não é prático. 
 
4.3.1. Diferenças Divididas. 
 
 O objetivo deste tópico é oferecer uma técnica para determinar o valor interpolado de 
um x não tabelado. 
 
Definição 4.3.1: Seja f(x) uma função tabelada em x xn0 ,..., : n+1 pontos. Definimos o 
operador diferenças divididas por: 
 
f[ x 0 ] = f( x 0 ) : ordem zero. 
 
f[ x 0 , x1 ] = 
f x f x
x x
[ ] [ ]1 0
1 0
-
-
 : ordem um 
f[ x 0 , x1 , x 2 ] = 
f x x f x x
x x
[ , ] [ , ]1 2 0 1
2 0
-
-
 : ordem dois 
f[ x 0 , x1 , x 2 , x3 ] = 
f x x x f x x x
x x
[ , , ] [ , , ]1 2 3 0 1 2
3 0
-
-
 : ordem três 
 M 
f[ x 0 , x1 , x 2 ,...,x n ] = 
f x x x f x x x
x x
n n
n
[ , , , ] [ , , , ]1 2 0 1 1
0
K K-
-
- : ordem n (4.3.1-1) 
 
 Dizemos que f[ x 0 , x1 , x 2 ,...,x n ] é a diferença dividida de ordem k da função f(x) 
sobre os k+1 pontos : x0 , x1 , x2 ,...,xk . 
 
OBS: Dada uma função f(x) e conhecidos os valores que f(x) assume nos pontos diferentes 
x0 , x1 , x2 ,...,xn , podemos construir a tabela: 
 
 x ordem 0 ordem 1 ordem 2 ordem 3 
 
 x 0 f[ x 0 ] 
 f[ x 0 , x1 ] 
 x1 f[ x1 ] f[ x 0 ,x1 , x 2 ] 
 f[ x1 ,x2 ] f[ x0 ,x1 , x2 , x3] 
 x 2 f[ x 2 ] f[ x1 ,x 2 , x3 ] 
 f[ x 2 , x 3 ] 
 x3 f[ x3] 
 M M M M M 
 
 
Teorema 4.3.1-1.: Seja n ³ 1 e assumamos f(x) n vezes continuamente diferenciável em algum 
intervalo a £ £x b. Seja x 0 , x1 , x 2 ,..., x n : n+1 pontos diferentes em [a ,b], então: 
f[ x 0 , x1 , x 2 ,..., x n ] = 
1
n
f cn
!
( )( ) ,c Î }{minmax x xn0 , ,K (4.3.1-2) 
 
Teorema 4.3.1-2.: f[ x 0 ,x1 , x 2 ,..., x k ] é simétrica nos argumentos, ou seja, 
f[x0 , x1 , x2 ,...,xk ] = f x x xj j jk[ , , , ]0 1 K (4.3.1-3) 
onde x x xj j jk0 1, , ,K é qualquer permutação. 
 
 
Ex: f[x 0 , x1 ] = f[ x1 , x 0 ] 
 
teoria12.pdf
f[ x 0 , x1 , x 2 ] = f[ x1 , x 2 , x 0 ] = f[ x 2 , x 0 , x1 ] = f[ x 2 , x1 , x 0 ] = f[ x1 , x 0 , x 2 ] 
 
 
 
 x2 x0 
 
 
 x1 
 
 
I) Forma de Newton para o Polinômio Interpolador. 
 
 Seja f(x) Î C° e com tantas derivadas contínuas quantas forem necessárias em [a,b]. 
Sejam a = x 0 < x1 < x 2 < ... < x n = b , (n + 1) pontos. Construiremos o polinômio pn que 
interpola f(x) em x 0 , x1 , x 2 , ... , x n . 
 Iniciaremos a construção obtendo p0 (x) que interpola f(x) em x = x0 . E assim, 
sucessivamente, construiremos p xk ( ) que interpola f(x) em x 0 , x1 , ... , x k ; k = 0, 1,..., n sendo 
que : 
 
Teorema 4.3.1-3 : Pk +1 = P xk ( ) + (x - x 0 ) ... (x - x k ) . f( x 0 , x1 , ... , x k , x k +1 ) (4.3.1-4) 
 
dem.: Seja p0 (x) o polinômio de grau zero que interpola f(x) em x = x0 . Então 
p0 (x) = f(x 0 ) = f[ x 0 ] (4.3.1-5) 
 
 Temos que para " x Î [a,b] , x ¹ x0 : 
 
f[ x 0 , x ] = 
f x f x
x x
[ ] [ ]-
-
0
0
 = f x f x
x x
( ) ( )-
-
0
0
 (Þ) 
 
(Þ) f(x) = f( x 0 ) + (x - x 0 ). f[ x 0 , x ] (Þ) f(x) = p0 (x) + (x - x 0 ). f[ x 0 , x ] 
 
 
 
 
 
 
E
0
 = f(x) - p0 (x) : erro cometido ao se aproximar f(x) por p0 (x). Agora, considere p1 (x), 
o polinômio de grau 1, que interpola f(x) em x 0 , x1 . Temos que : 
 
f[ x 0 , x1 , x ] = f[ x1 , x 0 , x ] = 
f x x f x x
x x
[ , ] [ , ]0 1 0
1
-
-
 = 
 
 E
0
 = (x - x0 ). f[ x0 , x ] 
 
teoria15.pdf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observamos que no polinômio sw grau 20, f(x) é completamente diferente de P20 (x), não 
havendo convergência na região [ - 1.0, - 0.4 ] È [ 0.4, 1.0 ] e havendo boa convergência de f(x) 
em [ - 0.4, 0.4 ]. 
 Logo não basta usar um polinômio degrau alto para que resolva todo o problema de 
interpolação em [- 2, 2]. A medida que o grau aumenta, aumenta o erro absoluto e vale o seguinte 
teorema: 
 
Teorema 4.3.2.1: Para qualquer {x i , yi }, existe uma função contínua g e para algum xÎ [a,b] 
tal que Pn (x) não converge para g(x) quando n ® ¥ . 
teoria16.pdf
Capítulo 5 : Ajuste de Funções. 
 
5.1. Preliminares. 
 
 No capítulo 4 vimos como aproximamos uma função por um polinômio e por splines. 
O ajuste é outra técnica de aproximação de funções que tem características diferentes da 
interpolação. 
 Em geral se aplica a um conjunto de dados experimentais: {( x0 , y0 ), ( x1 , y1), ... , 
( x n , y n )}, e deseja-se obter a lei y = f(x) que relaciona x com y e a partir dela, calcular y para 
um certo x que não dos dados experimentais. O ajustamento traduz um comportamento 
médio (extrapolação com certa margem de segurança). 
 Para um conjunto de vários elementos a seleção da aproximação dos dados por 
interpolação pode ocupar muita memória e tempo de processamento. Embora não conheçamos a 
função que originou os dados, pela origem do problema podemos saber o tipo da função que 
estabelece a relação entre x e y. 
 
Critérios para a medida da qualidade de Ajuste. 
 
 Para ajustar um conjunto de dados a uma função é preciso estabelecer o tipo de 
curva e calcular os parâmetros dessa curva. Se conhecermos os parâmetros dessa curva poderemos 
calcular f(x i ) e comparar com o valor dado yi . 
\ ~Ri = f
* ( xi ) - yi (5.1.1) 
 Resíduo (erro). 
 A primeira idéia para avaliarmos a qualidade do ajuste seria: 
 
Critério 1: Todos os erros devem tender a zero. Tal critério não é utilizável, ou então cairíamos no 
problema de interpolação, onde exigimos que: 
f( xi ) = yi = f
* ( x i ) , isto é, R i = 0 para i = 0, 1, ... , m. 
 
Critério 2: A soma do erro deve ser tão pequena quanto possível, isto é, R i
i
å deve ser 
minimizada. Tal critério não é utilizável, pois podemos ter uma soma de erros nula sem que o ajuste 
seja bom. A figura 5.1.1. ilustra tal fato: 
 
 y 
 
 R1 - R1 = R 2 
 
 
 
 x 
 
 
Critério 3 : A soma do erro em valor absoluto deve ser a menor possível, isto é, 
j
m
=
å
1
| f * ( x i ) - yi | deve ser mínima.
OBS : | . | não é diferenciável, problema achar o mínimo. 
 
Critério 4 (difícil) : max
i n1£ £
 | f * ( x i ) - yi | deve ser o mínimo. 
 
Critério 5: Método dos mínimos quadrados. Ri
2
i
n
=
å
1
 é minimizado. 
 Neste caso, nunca teremos uma soma nula (o que ocorreria só na interpolação) e a 
função “quadrado” é facilmente diferenciável. É o critério mais usado. 
 
5.2. Método dos Mínimos Quadrados. 
 
Outros Nomes: Análise de Regressão, Suavização Dados, Otimização Linear. 
 No caso do ajuste de dados, o técnica dos mínimos quadrados é utilizada no cálculo 
de um conjunto de constantes c j de uma função f
* que aplicada a uma função f, desconhecida, da 
forma: 
f * (x) = c c1 1 nf f( ) ( )x xn+ +K (5.1-1) 
observe que as constantes desconhecidas c j aparecem linearmente, embora as funções básicas f1 , 
... , f n possam ser funções não lineares em x. 
 A escolha de f 1 , ... , f n é de acordo com a natureza do problema (dados 
experimentais e pode não ser fácil escolhe-las de modo a ter uma solução razoável). Então 
 
R = 
j
m
=
å
1
 [ yi - f
* ( xi ) ]
2 (5.1-2) 
 
onde R seja mínima. De (4.1-1) e (5.1-2) vem: R = R (c1 , ... , cm ) e portanto passarão por um 
mínimo quando as m derivadas parciais se anularem simultaneamente, ou seja, teremos: 
 
¶
¶
¶
¶
R
c
f x y
f x
cj
i i
i
m
i
j
= - º
=
å2 0
1
[ ( ) ]
( )*
*
 (5.1-3) 
 
para j =1, ... ,n (são mínimos pois a função [ f * (x i ) - yi ]
2 é uma grandeza sempre positiva), com 
 
¶
¶
f
f x
c
xi
j
j i
*( )
( )= (5.1-4) 
 
j = 1, ... ,n ; i = 0,1, ... , m ; m £ n. 
 Note (5.1-3) é um sistema de n equações algébricas lineares e n incógnitas c1 , ... , 
cm ; são denominadas de equações normais, portanto 
A C A C A C B
A C A C A C B
A C A C A C B
n n
n n
n n mn n n
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =
+ + + =
+ + + =
ì
í
ïï
î
ï
ï
K
K
M
K
 (5.1-5) 
 
\ A Akj jk= (5.1-6) 
 
A x xkj j k i k
k
m
=
=
åf f( ). ( )
1
 (5.1-7) 
 
C = (C C Cn
T
1 2, , , )K ; B = (B B B1 2 n, , , )K
T 
 
Bi =
=
å f x xk i k
k
m
( ). ( )f
1
 (5.1-8) 
 
 Demonstra-se que se as funções escolhidas, f f f1 2( ), ( ), , ( )x x xnK , forem 
linearmente independentes, o determinante da matriz A é diferente de zero e, portanto, o sistema 
linear admite solução única: c c cn1 2, , ,K . Ainda mais, demonstra-se também que esta solução 
c c cn1 2, , ,K é o ponto em que a função f(c c cn1 2, , ,K ) atinge seu valor mínimo. 
 
 
Exemplo 1: Considere a tabela 
 
x -1.0 -1.75 -0.6 -0.5 -0.3 0.0 0.2 0.4 0.5 0.7 1 
f(x) 2.05 -1.153 0.45 0.4 0.5 0.0 0.2 0.6 0.512 1.2 2.05 
 
feito o diagrama de dispersão, deve ser ajustada por uma parábola passando pela origem, ou seja, 
f(x) » j(x) = a x2 (neste caso temos apenas uma função f(x) = x 2 ). 
 Temos pois de resolver apenas a equação 
 
f f( ). ( )x xk k
k=
å
1
11
 a = f x xk k
k
( ). ( )f
=
å
1
11
 
f ( )xk
k
2
1
11
=
å a = f x xk k
k
( ). ( )f
=
å
1
11
 
( )x k
k
2 2
1
11
=
å a = x f xk k
k
2
1
11
. ( )
=
å 
 
 Continuando a tabela com f f( ). ( )x xk k e f( ). ( )x f xk k , temos: 
teoria2.pdf
 
CAPÍTULO 1: COMPUTADORES E SOFTWARES 
 
 
 Métodos Numéricos : Combinam matemática e computadores. 
 Não importa que tipo de computador, você use; pois ele só terá utilidade se for provido 
de instruções cuidadosas ( SOFTWARES ) 
 A figura ( 1.1-0 ) delimeia os cinco passos que constituem o processo. 
 
1.1. Projetos - Algoritmos 
 
Definição: Um algoritmo pode ser uma sequência de instrução ordenadas, de maneira, a dar, em 
seu decurso a solução para um problema específico. 
 
 Nossa preocupação será com os algoritmos voltados para o processamento numérico; 
eles devem ter a seguinte características: 
* 1-1.1. O algoritmo deve identificar todas as etapas do modelo. 
* 1-1.2. O algoritmo pode falhar por violar restrições físicas da máquina, que são 
 detectadas, em tempo de execução. 
* 1-1.3. Como muitos problemas numéricos são resolvidos por métodos ITERATIVOS 
 (repetitivos), faz-se necessário estabelecer um Critério de Parada para que o 
 algoritmo possa terminar após um número finito de passos. (É aconselhável que o 
 número de passos seja determinado à priori). 
* 1-1.4. O algoritmo deve ter independência de máquina. 
* 1-1.5. Eficiência (Economia). 
 
OBS : Um fluxograma é uma representação gráfica (visual) de um algoritmo (ver figuras) 
 
* 1-1.6. Resultado <= Valor Aproximado + Limite Erro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
teoria3.pdf
 
Capítulo 2 : Aproximação e Erro. 
 
 
2.1. Definições de Erro: Os erros numéricos, isto é, erro num número Xa é seu valor 
verdadeiro menos seu valor aproximado : 
 E[ Xa ] = Erro em Xa = Xv - Xa (2.1-1) 
e o erro relativo em Xa : 
 Rel [ Xa ] = Xv - Xa (2.1-2) 
 X v 
 Note que os erros relativos são muito mais usados que os erros absolutos; veja os 
exemplos : 
 
Exemplo 1: Xv = 10.000 cm Xa = 9.999 cm 
 Xv = 10 cm X a = 9 cm 
(Medidas de comprimentos de uma ponte e de um rebite (prego)). 
 
Erro E[ Xa ] (Ponte) = 10.000 - 9.999 = 1 cm 
Erro E[ Xa ] (Rebite) = 10 - 9 = 1 cm 
 
 \ Ambos tem o mesmo erro absoluto. 
 
Rel ( Xa ) (Ponte) = 1 (100) = 0,01 % 
 10.000 
Rel ( Xa ) (Rebite) = 1 (100) = 10 % 
 10 
 
 Mas o erro relativo para a rebite é muito maior. 
 
Exemplo 2 : Xv = 0,00006 E[ Xa ] = 0,00001 
 Xa = 0,00005 Rel[ Xa ] = 0,00001 = 0.1 ou 10 % 
 0.00006 
 
 Xv = 100.500 E[ Xa ] = 500 
 Xa = 100.000 Rel[ Xa ] = 500 = 0.05 ou 0.5 % 
 100.500 
 
 Logo é importante especificar se o erro considerado é absoluto ou relativo. 
 Note que no caso dos processos iterativos : 
 
 E[ Xa ] = Aproximação Presente - Aproximação Prévia (2.1-3) 
 Aproximação Presente
Além do mais, os erros podem ser positivos ou negativos: se aproximação for maior do 
que o valor verdadeiro (Aproximação prévia maior do que a Aproximação presente) o erro é 
negativo (Positivo no caso inverso). O interessante é tomar-se 
| E[ Xa ] | < es (Pré especificação da tolerância) 
 
2.2. Fontes de erro: Geralmente, os erros provém de três fontes: 
 
2.2-1: Modelagem Matemática do Problema; 
2.2-2: Precisão dos Dados; 
2.2-3: Erros de Arredondamentos (na fase de resolução) e truncamentos. 
 
 Os exemplos abaixo, são ilustrativos: 
 
Exemplo 1: Sobre modelagem e precisão dos dados. Supõem-se que se queira determinar a 
altura de um edifício e que para isso se disponha apenas de uma bolinha de metal e de um 
cronômetro e da fórmula: 
d = do + vo t + 
1
2
 a t 2 (2.2-1) 
d : distância percorrida; d
0
 : distância inicial; v
0
 : velocidade inicial; a : aceleração; t : 
tempo. 
 Então subindo-se ao topo do edifício e medindo-se o tempo que a bolinha gasta para 
tocar o solo, ou seja, 3 segundos (Þ ) d = 0 + 0.3 + (0.5)(9.8)(3) 2 = 44,1 m. 
 Pergunta: Este resultado é confiável ? Não, no modelo não foram considerados outras 
forças, tais como resistência do ar, velocidade do vento, além da precisão da leitura do cronômetro; 
pois para uma pequena variação no tempo medido, existe uma grande variação na altura do edifício. 
Se o tempo de medida fosse 3,5 segundos ao invés de 3,0 segundos a altura do edifício seria 60 
m. 
 Para uma variação de 16,7 % no valor lido no cronômetro, a altura calculada apresenta 
uma variação de 36 %. 
 
Exemplo 2: Sobre truncamentos. São os erros provenientes da atualização de processos que 
deveriam ser infinitos ou muito grandes para a determinação de um valor e que por razões práticas 
são truncadas. 
 A solução adotada é a de interromper os cálculos quando uma determinada precisão 
for atingida. 
 
sen x = x - x
3
3!
 + x
5
5!
 + ... + ( )- -1 1n x
n
n2 1
2 1
-
-( )!
 
 
( )1 1
1 2
2+ = +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +
æ
è
ç
ö
ø
÷ + +
æ
è
ç
ö
ø
÷ +x x x n
x Rna
a a a
... se a = ½ 
 
1 1
1
2
+ @ +x x (x pequeno) 
 
 Mais tarde, veremos mais detalhes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
teoria4.pdf
Exemplo 3: Sobre Arredondamentos. 
 
 
Quando trabalha-se com um número limitado dígitos num número, como num 
computador, os erros de arredondamentos são inevitáveis e devem estar 
ligados à precisão da máquina, em uso. 
 
Ex.: Supondo-se as operações abaixo sendo processadas, numa máquina 
com quatro dígitos significativos (Þ ) 
 
x1 = 0.3491 . 10
4 , x2 = 0.2345 . 10
0 
 
( )x x x2 1 1+ - = ( 0.2345 . 100 + 0.3491 . 104 ) - 0.3491 . 104 = 
= 0.3491 . 104 - 0.3491 . 104 = 0.000 
 
( )x x x2 1 1+ - = 0.2345 . 100 + (0.3491 . 104 - 0.3491 . 104 ) = 
= 0.2345 
 
 Os resultados são diferentes, pois o arredondamento feito em 
( x x2 1+ ) apresenta o resultado com oito dígitos e a máquina só armazena 
quatro dígitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3. Propagação de erros: 
 
a. Números. 
 
 Seja e o erro em X e ho erro em Y, isto é: 
 
 Xv = Xa + x ( 2.3-1) 
 Yv = Ya + h 
 
então para : 
 
i) Multiplicação - 
 
 Xv Yv - Xa Ya = Yv Xv - (Xv - x)(Yv - h) = 
 = Xv Yv -{ Xv Yv + Xv h - Yv x + x h } = 
 = Xv h + Yv x + x h (2.3-2) 
 
 Rel[ Xa , Ya ] = Xv Yv - Xa Ya = 
 Xv Yv 
 
 = Xv h + Yv x - x h = h + x - x h = 
 Xv Yv Yv Xv Xv Yv 
 
 
 = Rel [Xa ] + Rel[Ya] - Rel[Xa ] Rel[Ya] (2.3-3) 
 
 
Para | Rel [Xa ] | ,| Rel[Ya] | << 1 ( => ) 
 
 
Rel [Xa ,Ya] @ Rel [Xa ] + Rel[Ya] 
 
 
ii) Divisão - 
 
 
 Rel [Xa / Ya] = Rel [Xa ] - Rel[Ya] (2.3-3) 
 1 - Rel[Ya] 
 
 Se Rel[Ya] << 1 então Rel [Xa / Ya] » Rel [Xa ] - Rel[Ya] 
 
 
 
iii) Adição e Subtração - 
 
 Rel [Xa ± Ya] = x ± h = Rel [Xa ] ± Rel[Ya] (2.3-4) 
 
b. Funções. 
 
 Seja f (Xv ) ser uma aproximação por f (Xa), então pelo teorema do valor 
médio temos 
 
f (Xv) - f (Xa) » | f ’(Xa) | (Xv - Xa) (2.3-5) 
 
desde que Xa e Xv são relativamente próximos e f ’(x) não varia muito x Î ( 
Xa , Xv ). 
 
 No caso de ter-se função de duas variáveis : 
 
f (Xv , Yv) - f (Xa , Ya) » 
¶
¶
f
x
( , )X Ya a
ì
í
î
ü
ý
þ
 (Xv - Xa) + 
¶
¶
f
y
( , )X Ya a
ì
í
î
ü
ý
þ
(Yv -Ya) (2.3-6) 
 
com restrições equivalentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3.1. Ruído no cálculo da função. 
 
 Considere o gráfico da função f x x x x( ) = - + -3 23 3 1 , x Î [0,2]. 
 
 
 
 
é uma curva suave e contínua. 
 
Para x Î [0.998 , 1.002] temos que os valores estão espaçados, logo não 
temos mais curva contínua (considero cerca de 800 pontos), como 
apresentado na figura 2.3.2. 
 
 
OBS: Na nuvem de pontos não se consegue detectar onde está a raiz. 
 O ruído nas funções é um problema importante que deve ser 
considerado em suas análises. 
 
 
2.4. Estabilidade Numérica. 
 
 Considere o seguinte problema 
 
 ì 5 7 0 71 2x x+ = . Solução : x1 = 0 
 î 7 10 11 2x x+ = x2 = 0.1 
 
 Se ì 5 7 0 691 2$ $ .x x+ = Solução : $x1 = - 0.17 
 î 7 10 1011 2$ $ .x x+ = $x2 = 0.22 
 
isto é, uma pequena mudança no lado direito do sistema levou a grandes 
mudanças no resultado. 
Do ponto de vista prático, deveremos introduzir uma medida de estabilidade 
(número de condição), que será a medida de sensibilidade da solução para 
pequenas mudanças na Amostra. 
 
 Seja o número de condição dado por K, então : 
 
· Se K for grande (k > 1) Þ mal condicionamento; 
· Se K for pequeno (k < 1) Þ bem condicionado. 
· 
 Note f x f x f x x x( ) (~) (~)( ~)» + ¢ - , então definimos : 
 
E[f(x)] = f x f x
f x
f x x x
f x
( ) (~)
(~)
(~)( ~)
(~)
-
@
¢ - 
 
 E[x] = x x
x
- ~
~ 
 
 K(x) = ~ (
~)
(~)
x
f x
f x
¢ , onde K é o número de condição. 
 
 E[f(x)] = [ ~ (
~)
(~)
x
f x
f x
¢ ] ( x x
x
- ~
~ ) 
 
 
 
 
 
 
OBS : O Teste de Condicionamento, verifica se o problema é bem 
condicionado ou bem posto. Quando o problema for mal 
condicionado, deve
haver uma mudança de variável para que o 
problema possa ser resolvido. 
 
 
 E[f(x)] = K(x) . E[x] 
teoria5.pdf
OBS: Na nuvem de pontos não se consegue detectar onde está a raiz. O ruído nas funções é um 
problema importante que deve ser considerado em suas análises. 
 
2.4. Estabilidade Numérica. 
 
 Considere o seguinte problema 
 
 ì 5 7 0 71 2x x+ = . Solução : x1 = 0 
 î 7 10 11 2x x+ = x2 = 0.1 
 
 Se ì 5 7 0 691 2$ $ .x x+ = Solução : $x1 = - 0.17 
 î 7 10 1011 2$ $ .x x+ = $x2 = 0.22 
 
isto é, uma pequena mudança no lado direito do sistema levou a grandes mudanças no resultado. Do 
ponto de vista prático, deveremos introduzir uma medida de estabilidade (número de condição), que 
será a medida de sensibilidade da solução para pequenas mudanças na Amostra. 
 Seja o número de condição dado por K, então : 
· Se K for grande (k > 1) Þ mal condicionamento; 
· Se K for pequeno (k < 1) Þ bem condicionado. 
 Note f x f x f x x x( ) ( ~) ( ~)( ~)» + ¢ - , então definimos : 
 
E[f(x)] = 
f x f x
f x
f x x x
f x
( ) (~)
(~)
(~)( ~)
(~)
-
@
¢ -
 
 
 E[x] = 
x x
x
- ~
~ 
 
 K(x) = ~
(~)
( ~)
x
f x
f x
¢ , onde K é o número de condição. 
 
 E[f(x)] = [~ (~)
( ~)
x
f x
f x
¢ ] ( x x
x
- ~
~ ) 
 
 
 
 
OBS : O Teste de Condicionamento, verifica se o problema é bem condicionado ou bem posto. 
Quando o problema for mal condicionado, deve haver uma mudança de variável para que o 
problema possa ser resolvido. 
 
 E[f(x)] = K(x) . E[x] 
teoria6.pdf
Capítulo 3 : Equações e Sistemas Não-Lineares. 
 
3.1. Introdução. 
 
 Consideremos os seguintes problemas: 
a) Uma barra metálica de l m de comprimento serve de apoio vertical lateral a 
um forno. Sua extremidades são fixas. O calor do forno faz com que esta 
haste se aqueça e passe de 1 m à 1.093 m. Suponha que a barra assuma a 
forma de um arco de circunferência. Quer se conhecer a deflexão da barra h. 
 
 
 h 
 
 
 ANTES DEPOIS 
 (Forno Frio) (Forno Quente) 
 Fig. 3.1.1. 
 
 Introduzindo variáveis auxiliares R raio da circunferência, q metade do ângulo 
central. 
 
 1.093/2 
 
 
 0.5 
 
 
 
 
 
 As equações que relacionam h, R, q são: 
h = R - R cos q (3.1-1) 
0.5 = r sen q (3.1-2) 
q = 1.093/2 (3.1-3) 
 R 
 Para encontrar h, devemos achar R, q; se encontrarmos q, 
facilmente acharemos R. De (3.1-2) Þ R e substituídos em (3.1-3) obtemos a 
equação não linear: 
q - 1.093 sen q = 0 (3.1-4) 
 Deve-se agora, achar o valor de q no qual 
f(q) = q - 1.093 sen q (3.1-5) 
se anule, ou seja, calcular uma raiz de f(q) = 0. 
b) Uma loja de eletrodomésticos oferece dois planos de financiamentos para 
um produto cujo o preço é à vista Cr$ 16.200,00. 
 
Plano A : entrada de Cr$ 2.200,00 + 9 prestações mensais de Cr$ 2.652,52. 
 
Plano B : entrada de Cr$ 2.200,00 + 12 prestações mensais de Cr$ 2.152,27. 
 Qual dos dois planos é melhor para o consumidor ? 
 
Para escolher o melhor plano deve-se saber qual tem a menor taxa de juros. 
 
A equação abaixo relaciona os juros ( j ) e prazo ( P ) com o valor financiado 
(VF = preço à vista - entrada) e a prestação mensal ( PM ): 
 
 1 1- + =
-( )j
j
VF
PM
P
 (3.1-6) 
 Fazendo x = 1 + j, k = VF/PM tem-se: 
 
1
1
-
-
=
-x
x
k
P
 
 
multiplicando ambos os membros por x p : 
 
x
x
kx
p
p-
-
=
1
1
 
e fazendo 
 
f x kx k xp p( ) ( )= - + + =+1 1 1 0 (3.1-7) 
 
chega-se a uma equação algébrica de grau P+1. 
 
 Deve-se, agora, achar o valor de x no qual f(x) se anule, ou seja, calcular uma 
raiz de f(x) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2. Isolamento das raízes de f(x) = 0. 
 
 Deve-se inicialmente efetuar uma análise teórica da função f(x) usando-se o teorema 
: 
 
Teorema 3.2.1.: 
 
Seja f(x) Î C° em [a,b]. Se f(a) . f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x 
= x entre a e b que é zero de f(x). 
Note que se f’(x) existir e preservar o sinal em (a,b), então este intervalo contém um único zero de 
f(x) (ele deve ser o menor possível). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3. Refinamento das raízes de f(x). 
 
 A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os 
métodos. Os métodos iterativos para o refinamento da aproximação inicial 
para a raiz exata podem ser colocados num fluxograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aproximação está 
 “próxima o suficiente” 
 da raiz. sim 
 
 
 não 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dados Iniciais 
 Cálculos Iniciais 
 k = 1 
 Calcular nova aproximação 
Cálculos Finais 
 FIM 
Cálculos Intermediários 
 k = k + 1 
 
 INÍCIO 
 
 
 
 
 
 
3.4. Critérios de Parada para f(x) = 0. 
 
 Na verdade implica {xn } de aproximações cujo limite é a raiz 
exata x. Como sabemos se x k está suficientemente próximo da raiz exata . 
Prefixando a tolerância Î, utilizamos um dos critérios abaixo: 
 
i) | f( xk )| < Î 
ii) | xk - xk-1 | < Î 
iii) | x x
x
k k
k
- -1 | < Î 
 
 Para cada aproximação da raiz x k compara-se o resultado com Î 
pré-fixado. Nem sempre é possível ter ambas as exigências i. e ii. satisfeitas 
simultaneamente, conforme mostram os gráficos: 
. 
 
 Deve-se desenvolver os métodos numéricos de forma a satisfazer 
um dos critérios. 
 
 
3.5. Métodos de Solução
f(x)=0. 
3.6. 
 
3.5.1. Método de Newton Raphson: 
 
 Seja a função y = f(x) mostrada na fig. 3.5-1. A raiz x 
ocorre quando o gráfico corta o eixo x. Seja x0 uma estimativa para x. 
Para melhorarmos esta estimativa (Þ) Seja a reta r tangente ao 
gráfico no ponto: (x 0 , f( x 0 )). 
 Se x 0 for próximo de x, temos: 
 x0 » x (Þ) x1= x 
 
 Para determinar se a fórmula para x1 , consideramos a 
tangente r que é a reta entre dois pontos: ( x 0 , f( x 0 )) e ( x1 , 0 ). 
tg x = f x
x x
( )0
0 1
0-
-
 = f’ (x 0 ) (3.5-1.1) 
desde que x1 foi uma “melhora” de x 0 como uma estimativa de x, o 
processo pode ser repetido com x1 como condição inicial e obtemos 
 
x x
f x
f x2 1
1
1
= -
¢
( )
( )
 (3.5-1.2) 
 Repetindo este processo, obtemos uma sequência de números 
{ x x x1 2 3, , , ...} que espera-se convergir para x; logo, teremos 
 
x x
f x
f xn n
n
n
+ = - ¢1
( )
( )
 (3.5-1.3) 
 
n = 0,1,2,... . Exemplificamos o processo acima para o caso em que: 
 
f x x x( ) = - -6 1 , ¢ = -f x x( ) 6 15 
 
x x
x x
xn n
n n
n
+ = -
- -
-
ì
í
î
ü
ý
þ
1
6
5
1
6 1
 n ³ 0 (3.5-1.5) 
 
 Usaremos x 0 = 1.5 e obtemos: 
 
 A raiz real é x = 1.134724138. 
 
 
 n x n f x n( ) x xn n- -1 
____________________________________________________________________________
___ 
 
 
 0 1.5 8.89 E + 1 
 1 1.30049088 2.54 E + 1 - 2.00 E - 1 
 2 1.18148042 5.38 E - 1 - 1.19 E - 1 
 3 1.13945559 4.92 E - 2 - 4.20 E - 2 
 4 1.13477763 5.50 E - 4 - 4.68 E - 3 
 5 1.13472415 6.80 E - 8 - 5.35 E - 5 
 6 1.13472414 - 4.00 E - 9 - 1.00 E - 8 
 
 Note que o método de Newton converge lentamente no início, 
mas quando a iteração vem a ficar próxima da raiz, a velocidade de 
convergência aumenta, de acordo com a tabela. 
 
 
 
 
Algoritmo: 
 
 
 Seja a equação F(x) = 0 
 
 
1) Dados iniciais x 0 : aproximação inicial 
 e : precisão 
 
2) Se | F( x 0 ) | < e então faça x x= 0 . FIM. 
 
3) K = 1 
 
4) x x F x
F xk k
= -
¢-1
0
0
( )
( )
 
 
5) Se | F( x k ) | < e ou Se | x xk k- -1 | < e 
 então faça x x k= . FIM. 
 
6) x xk k- =1 
 
7) k = k + 1. Volte para o passo 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.5.2. Análise do erro. 
 
 Assumindo que f(x) tem pelo menos duas derivadas contínuas 
para " x em algum intervalo em torno da raiz x, o teorema de Taylor : 
 
f f x x f x x f cn n n n n( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( )x x x= + - ¢ + - ¢¢
1
2
2 (3.5-2.1) 
 
c xn nÎ( , ).x 
 Note que f(x) = 0, por hipótese, se dividirmos por f’( x n ) (Þ) 
 
0
2
2=
¢
+ - + -
¢¢
¢
f x
f x
x x
f c
f x
n
n
n n
n
n
( )
( )
( ) ( ) .
( )
( )
x x 
 
 Usando a fórmula Newton-Raphson x x f x
f xn n
n
n
+ = - ¢1
( )
( )
 ( Þ) 
 
 
 
 
 
 
\ O erro em x n+1 é proporcional ao quadrado do erro em x n . 
 
 Quando o erro inicial é pequeno (Þ ) que o erro nas iterações sucessivas 
decrescerá muito rapidamente. Note que assumir do que a iteração x n está próxima da 
raiz x , o termo 
- ¢¢
¢
é
ë
ê
ù
û
ú
f c
f x
n
n
( )
( )2
 na equação acima pode ser escrito como: 
 
- ¢¢
¢
é
ë
ê
ù
û
ú
f c
f x
n
n
( )
( )2
 &= - ¢¢
¢
º
f
f
M
( )
( )
x
x2
 (3.5-2.2) 
 
( )
( )
( )
( )x x- =
- ¢¢
¢
é
ë
ê
ù
û
ú -+x
f c
f x
xn
n
n
n1
2
2
 
\ - = -+( ) & ( )x xx M xn n1
2 (3.5-2.3) 
 
 Multiplicando ambos os membros de (3.5-2.3) por M (Þ) 
M ( )x - +xn 1 &= [ M ( )x - xn ]
2 
 Assumindo, que todas as iterações são próximas de x , por indução finita 
mostra-se que: 
M ( )x - +xn 1 &= [ M ( )x - xn ]
2 n n ³ 0 (3.5-2.4) 
 
 Desde que necessitamos que ( )x - xn convirja para zero, 
devemos ter 
 M (a - x 0 ) < 1 . 
 
 Portanto, 
(x - x0 ) < 
1
M
 = 2 ¢
¢¢
f
f
( )
( )
x
x
 (3.5-2.5) 
 
 Se M for muito grande então x0 deverá ser escolhido muito 
próximo à x para obtermos convergência. 
 
 A escolha de x0 pode ser muito importante na determinação se ou 
não o método de Newton Raphson converge. 
 
OBS 3.5.2.1: Estimação do erro . 
 
 
Para estimarmos ( )x - xn notamos que, desde que f(x)=0, 
 
 temos: 
 
f xn( ) = f xn( ) - f(x) = ¢f n( )x ( xn - x ) , 
 
 xn Î (x n , x ). 
 
\ ( )x - xn = 
-
¢
f x
f
n
n
( )
( )x
 
 ( )x - xn &
( )
( )
=
-
¢
f x
f x
n
n
 
 
 Supondo x n próximo à x n tal que ¢f xn( ) &= ¢f n( )x , obtemos: 
 
 
\ ( )x - xn &= x n+1 - x n (3.5-2.6) 
 
3.6. Problemas mal condicionados (Ill-Behaved). 
 Começaremos com o caso de funções que tenham uma raiz de 
multiplicidade m, isto é, 
f(x) = ( x - x ) m g(x) (3.6-1) 
 
para alguma função contínua g(x) com g(x) ¹ 0 (assumindo que f(x) é 
diferenciável), e 
 
f(x) = ¢ = = =-f f m( ) ... ( )( )x x1 0 e f m( ) ( )x ¹ 0 (3.6-2) 
 
se m = 1 a raiz é dita simples. 
 
 Quando o método de Newton é aplicado ao cálculo de uma raiz 
múltipla x, a convergência de ( )x - xn é muito lenta comparativamente a uma 
raiz simples. 
 
Além do mais existe um intervalo grande de incerteza onde a raiz realmente 
está, devido a presença do ruído (noise) no cálculo de f(x). 
 
O único meio de obter valores precisos para raízes múltiplas é removendo 
analiticamente a multiplicidade, obtendo uma nova função para a qual x é uma 
raiz simples. Para remover a multiplicidade, primeiro usamos o método de 
Newton Raphson para determinarmos a multiplicidade m de x usando os 
resultados: 
l = m
m
- 1 m ³ 1 (3.6-1.1) 
( )x - xn &= l ( )x - -xn 1 (3.6-1.2) 
 
(erro decresce em torno de uma razão constante), junto com a aproximação: 
 
l &= -
-
+
-
x x
x x
n n
n n
1
1
 (3.6-1.3) 
 
 Determinando l (Þ) m de (3.6-1.1). Então analiticamente 
calculamos 
 
F(x) = f ( )m-1 (x) (3.6-1.4) 
 
isto é , F(x) tem uma raiz simples de (3.6-1). Logo o método de Newton 
Raphson convergirá rapidamente para um valor muito preciso. 
 
3.7. Estabilidade de Raízes. 
 
 Definindo 
 
f x x x x x x x x( ) = - + - + - + -7 6 5 4 3 228 322 1960 6769 13132 13068 5040 (3.7-
1) 
 
e mudando o coeficiente de x6 de - 28 para - 28.002 (Þ) $( )f x . 
 
 Para tratarmos do cálculo aproximadamente de uma função f(x) 
introduzimos a função perturbada 
 
F x f x g xÎ = + Î( ) ( ) ( ) (3.7-2) 
 
onde g(x) é assumida ser continuamente diferenciável e |Î| << 1. 
 
Denotaremos a(Î) raiz F xÎ( ) e a(0) raiz f(x) 
 
\ a(Î) &= a(0) + Î a’(0) (3.7-3) 
 
 Uma vez que a(Î) raiz F xÎ( ) (Þ) f(a(Î)) + Î g(a(Î)) = 0, 
derivando ambos os termos relativamente em Î (Þ) 
 
f’(a(Î)).a’(Î) + g(a(Î)) + Î g’(a(Î)).a’(Î) = 0 
 
e tomando Î = 0 (Þ) f’(a(0)).a’(0) + g(a(0)) = 0 (Þ) 
 
(Þ) a’(0) = - g(a(0)) (3.7-4) 
 f’(a(0)) 
 
 
 
 (3.7-5) 
 
 Se a’(0) for muito grande em tamanho, então as pequenas 
mudanças Î alterará muito os efeitos na raiz. 
3.8. Sistemas Não Lineares. 
 
Seja o problema, determinar ~x Î Rn de modo que ~( ~)f x = 0 , ~f ÎRn , isto é, 
 
f x x
f x x
n
n n
1 1
1
0
0
( ,..., )
( ,..., )
=
=
ì
í
ï
îï
M M (3.8-1) 
 
de modo análogo ao anterior, temos: 
 
 
(3.8-2) 
 
Exemplo: Achar (x,y) de tal forma que: 
x y
x y
2 2
2 2
2
1
+ =
- =
ì
í
î
 (3.8-3) 
f x y1
2 2 2= + - , f x y2 2 2 1= - - 
 
J( )x
x y
x y
=
-
é
ë
ê
ù
û
ú
2 2
2 2
 e J ( )- =
-
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
1
1
4
1
4
1
4
1
4
x x x
y y
 
 
x
y
k
k
+
+
é
ë
ê
ù
û
ú
1
1
 = 
x
y
k
k
é
ë
ê
ù
û
ú - 
1
4
1
4
1
4
1
4
2
1
2 2
2 2
x x
y y
x y
x y
k k
k k
k k
k k
-
é
ë
ê
ê
ê
ê
ù
û
ú
ú
ú
ú
+ -
- -
é
ë
ê
ù
û
ú. 
 
\ 
x x
x
x
y
y y
y
x
k k
k
k
k
k k
k
k
+
+
= - +
= - +
ì
í
ïï
î
ï
ï
1
1
2
3
4
2
1
4
.
 
 
Se x y0 0 1= = (Þ) 
 a(Î) &= a(0) - Î g(a(0)) 
 f’(a(0)) 
[ ]~ ~ J( ) . ~(~ )x x x f xk k k k+ -= -1 1 
 
n x y 
1 1.25 0.75 
 2 1.225 0.7083 
 3 1.2247 0.7071 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
teoria7.pdf
 Note que se f’(x) existir e preservar o sinal em (a,b), então este intervalo contém um único 
zero de f(x) (ele deve ser o menor possível). 
 
3.3. Refinamento das raízes de f(x). 
 
 A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os métodos. Os métodos 
iterativos para o refinamento da aproximação inicial para a raiz exata podem ser colocados num 
fluxograma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Aproximação está 
 “próxima o suficiente” 
 da raiz. sim 
 
 
 não 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4. Critérios de Parada para f(x) = 0. 
 
 Na verdade implica { x n } de aproximações cujo limite é a raiz exata x. Como 
sabemos se xk está suficientemente próximo da raiz exata . Prefixando a tolerância Î, utilizamos 
um dos critérios abaixo: 
 
 Dados Iniciais 
 Cálculos Iniciais 
 k = 1 
 Calcular nova aproximação 
Cálculos Finais 
 FIM 
Cálculos Intermediários 
 k = k + 1 
 
 INÍCIO 
i) | f( x k )| < Î 
ii) | x k - x k -1 | < Î 
iii) | x x
x
k k
k
- -1 | < Î 
 
 Para cada aproximação da raiz xk compara-se o resultado com Î pré-fixado. Nem 
sempre é possível ter ambas as exigências i. e ii. satisfeitas simultaneamente, conforme mostram 
os gráficos: 
 
 f(x) f(x) 
 
 
 
 
 
 x x k x k x 
 
 
 
 | f( x k )| < Î | x k - e | < Î 
 | x k - e | >> Î | f(x k )| >> Î 
 
 f(x) 
 
 
 
 
 | f( x k )| < Î 
 | xk - e | < Î 
 
 
 
Fig. 3.4.1. 
 
 Deve-se desenvolver os métodos numéricos de forma a satisfazer um dos critérios. 
 
 
3.5. Métodos de Solução f(x)=0. 
 
3.5.1. Método de Newton Raphson: 
 
 Seja a função y = f(x) mostrada na fig. 3.5-1. A raiz x ocorre quando o gráfico corta 
o eixo x. Seja x0 uma estimativa para x. Para melhorarmos esta estimativa (Þ) Seja a reta r 
tangente ao gráfico no ponto: ( x 0 , f(x 0 )). Se x 0 for próximo de x , temos: 
 x 0 » x (Þ) x1 = x 
 
 
 
 f(x) 
 
 
 
 
 
 
 x x1 x0 x 
 
Fig. 3.5.1. 
 
 Para determinar se a fórmula para x1 , consideramos a tangente r que é a reta entre 
dois pontos: ( x0 , f( x0 )) e ( x1 , 0 ). 
tg x = f x
x x
( )0
0 1
0-
-
 = f’ ( x0 ) (3.5-1.1)
desde que x1 foi uma “melhora” de x0 como uma estimativa de x, o processo pode ser repetido 
com x1 como condição inicial e obtemos 
x x
f x
f x2 1
1
1
= -
¢
( )
( )
 (3.5-1.2) 
 Repetindo este processo, obtemos uma sequência de números {x x x1 2 3, , , ...} que 
espera-se convergir para x; logo, teremos 
 
x x
f x
f xn n
n
n
+ = - ¢1
( )
( )
 (3.5-1.3) 
 
n = 0,1,2,... . Exemplificamos o processo acima para o caso em que: 
f x x x( ) = - -6 1 , ¢ = -f x x( ) 6 15 
 
x x
x x
xn n
n n
n
+ = -
- -
-
ì
í
î
ü
ý
þ
1
6
5
1
6 1
 n ³ 0 (3.5-1.5) 
 
 Usaremos x0 = 1.5 e obtemos: 
 
 A raiz real é x = 1.134724138. 
 
 Note que o método de Newton converge lentamente no início, mas quando a iteração 
vem a ficar próxima da raiz, a velocidade de convergência aumenta, de acordo com a tabela. 
 
Algoritmo: Seja a equação F(x) = 0 
 
1) Dados iniciais x 0 : aproximação inicial 
 e : precisão 
 
2) Se | F( x 0 ) | < e então faça x x= 0 . FIM. 
 
3) K = 1 
 
4) x x
F x
F xk k
= -
¢-1
0
0
( )
( )
 
 
5) Se | F(xk ) | < e ou Se | x xk k- -1 | < e 
 então faça x x k= . FIM. 
 
6) x xk k- =1 
 
7) k = k + 1. Volte para o passo 4. 
 
 
3.5.2. Análise do erro. 
 
 Assumindo que f(x) tem pelo menos duas derivadas contínuas para " x em algum 
intervalo em torno da raiz x , o teorema de Taylor : 
 
 n x n f x n( ) x xn n- -1 
____________________________________________________________________________
___ 
 
 
 0 1.5 8.89 E + 1 
 1 1.30049088 2.54 E + 1 - 2.00 E - 1 
 2 1.18148042 5.38 E - 1 - 1.19 E - 1 
 3 1.13945559 4.92 E - 2 - 4.20 E - 2 
 4 1.13477763 5.50 E - 4 - 4.68 E - 3 
 5 1.13472415 6.80 E - 8 - 5.35 E - 5 
 6 1.13472414 - 4.00 E - 9 - 1.00 E - 8 
 
f f x x f x x f cn n n n n( ) ( ) ( ). ( ) ( ) . ( )x x x= + - ¢ + - ¢¢
1
2
2 (3.5-2.1) 
 
c xn nÎ( , ).x 
 Note que f(x) = 0, por hipótese, se dividirmos por f’( xn ) (Þ) 
 
0
2
2=
¢
+ - + -
¢¢
¢
f x
f x
x x
f c
f x
n
n
n n
n
n
( )
( )
( ) ( ) .
( )
( )
x x 
 
 Usando a fórmula Newton-Raphson x x
f x
f xn n
n
n
+ = - ¢1
( )
( )
 ( Þ) 
 
 
 
 
 
teoria8.pdf
 
 
 
 
 
\ O erro em xn+1é proporcional ao quadrado do erro em xn . 
 Quando o erro inicial é pequeno (Þ) que o erro nas iterações sucessivas decrescerá 
muito rapidamente. Note que assumir do que a iteração x n está próxima da raiz x , o termo 
- ¢¢
¢
é
ë
ê
ù
û
ú
f c
f x
n
n
( )
( )2
 na equação acima pode ser escrito como: 
 
- ¢¢
¢
é
ë
ê
ù
û
ú
f c
f x
n
n
( )
( )2
 &= - ¢¢
¢
º
f
f
M
( )
( )
x
x2
 (3.5-2.2) 
 
\ - = -+( ) & ( )x xx M xn n1
2 (3.5-2.3) 
 
 Multiplicando ambos os membros de (3.5-2.3) por M (Þ) 
M ( )x - +xn 1 &= [ M ( )x - xn ]
2 
 Assumindo, que todas as iterações são próximas de x , por indução finita mostra-se 
que: 
M ( )x - +xn 1 &= [ M ( )x - xn ]
2 n n ³ 0 (3.5-2.4) 
 
 Desde que necessitamos que ( )x - xn convirja para zero, devemos ter 
M (a - x 0 ) < 1 . Portanto, 
(x - x0 ) < 
1
M
 = 2 ¢
¢¢
f
f
( )
( )
x
x
 (3.5-2.5) 
 
 Se M for muito grande então x 0 deverá ser escolhido muito próximo à x para 
obtermos convergência. A escolha de x 0 pode ser muito importante na determinação se ou não o 
método de Newton Raphson converge. 
 
OBS 3.5.2.1: Estimação do erro . Para estimarmos ( )x - xn notamos que, desde que f(x)=0, 
temos: f xn( ) = f xn( ) - f(x) = ¢f n( )x ( xn - x ) , xn Î ( xn , x ). 
\ ( )x - xn = 
-
¢
f x
f
n
n
( )
( )x
 
 ( )x - xn &
( )
( )
=
-
¢
f x
f x
n
n
 
 
 Supondo xn próximo à x n tal que ¢f xn( ) &= ¢f n( )x , obtemos: 
 
( )
( )
( )
( )x x- =
- ¢¢
¢
é
ë
ê
ù
û
ú -+x
f c
f x
xn
n
n
n1
2
2
 
\ ( )x - xn &= x n+1 - x n (3.5-2.6) 
3.6. Problemas mal condicionados (Ill-Behaved). 
 
 Começaremos com o caso de funções que tenham uma raiz de multiplicidade m, isto é, 
f(x) = ( x - x )m g(x) (3.6-1) 
 
para alguma função contínua g(x) com g(x) ¹ 0 (assumindo que f(x) é diferenciável), e 
f(x) = ¢ = = =-f f m( ) ... ( )( )x x1 0 e f m( ) ( )x ¹ 0 (3.6-2) 
se m = 1 a raiz é dita simples. 
 Quando o método de Newton é aplicado ao cálculo de uma raiz múltipla x, a 
convergência de ( )x - xn é muito lenta comparativamente a uma raiz simples. Além do mais existe 
um intervalo grande de incerteza onde a raiz realmente está, devido a presença do ruído (noise) no 
cálculo de f(x). 
 
 y y 
 y = f(x) 
 
 
 
 
 
 x x 
 
 Raiz Simples. Raiz Dupla. 
 
Fig. 3.6.1. Intervalo de incerteza no cálculo de uma raiz. 
 
 O único meio de obter valores precisos para raízes múltiplas é removendo 
analiticamente a multiplicidade, obtendo uma nova função para a qual x é uma raiz simples. Para 
remover a multiplicidade, primeiro usamos o método de Newton Raphson para determinarmos a 
multiplicidade m de x usando os resultados: 
l = m
m
- 1 m ³ 1 (3.6-1.1) 
( )x - xn &= l ( )x - -xn 1 (3.6-1.2) 
 
(erro decresce em torno de uma razão constante), junto com a aproximação: 
 
l &=
-
-
+
-
x x
x x
n n
n n
1
1
 (3.6-1.3) 
 
 Determinando l (Þ) m de (3.6-1.1). Então analiticamente calculamos 
 
F(x) = f ( )m-1 (x) (3.6-1.4) 
 
isto é , F(x) tem uma raiz simples de (3.6-1). Logo o método de Newton Raphson
avalia��ocn2003.pdf2003.PDF
Avaliação do Curso de 04 em 04 aulas , com identificação do aluno
ou sem identificação( Sugestão)
1- Qualidade da Aula, exposição, atendimento aos alunos
2- Aulas práticas, atendimento do professor
3- Resposta da classe ao professor, relacionamento, horários
4- Sugestões para melhoria das aulas.
5- Nota geral de zero a deis, justificando
6- Qualidade da Prova e exigida , entrega antecipada da questões: Bom , Ruim
7- Tema livre