trabalho_02

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Departamento Acadêmico de Matemática 
Prof: Lauro César Galvão Cálculo Numérico 
Não é necessário entregar esta lista. Serve apenas como preparação 
para a Segunda Parcial 
 
 
 
 
Segunda Lista de Exercícios de Cálculo Numérico 
 
 
Exercícios sobre Interpolação Polinomial, Ajuste de Curvas (Método dos 
Mínimos Quadrados), Integração Numérica e Solução Numérica de 
Equações Diferenciais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curitiba – PARANÁ 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
2 
Exercício 1 Supondo que a velocidade do som na água varia com a temperatura de acordo 
com a tabela abaixo, determinar, utilizando um polinômio interpolador de Lagrange, um valor 
aproximado para a velocidade do som na água em uma temperatura de C0100 . 
Temperatura ( 0 C) 86,0 93,3 98,9 104,4 110,0 
Velocidade ( sm / ) 1552 1548 1544 1538 1532 
 
Resolução: O polinômio de Lagrange procurado será do tipo: 
=)(xP4 )()()()()( 4433221100 xfLxfLxfLxfLxfL ++++ , onde: 
 
iL ( x )=Õ
¹
= -
-n
ij
j ji
j
xx
xx
0 )(
)(
 
 
))()()((
))()()((
)(
40302010
4321
0 xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
----
----
= Þ =)(1000L 0,0077979156 
 
))()()((
))()()((
)(
41312101
4320
1 xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
----
----
= Þ =)(1001L -0,0894176105 
 
))()()((
))()()((
)(
42321202
4310
2 xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
----
----
= Þ =)(1002L 0,9358195405 
 
))()()((
))()()((
)(
43231303
4210
3 xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
----
----
= Þ =)(1003L 0,1640227184 
 
))()()((
))()()((
)(
34241404
3210
4 xxxxxxxx
xxxxxxxx
xL
----
----
= Þ =)(1004L -0,0182225639 
 
 
 
Assim, =)(1004P (0,0077979156)(1552) + (-0,0894176105)(1548) + 
+ (0,9358195405)(1544) + (0,1640227184)(1538) + 
+ (-0,0182225639)(1532) =1542,939247 
 
 
 
 
 
Resposta: =)(1004P 1542,939247 
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Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
3 
Exercício 2 Dada a tabela que segue e utilizando o polinômio interpolador de Newton, 
obtenha um polinômio do quarto grau )(xP4 , escolhendo adequadamente os pontos, para 
calcular sin (53o). 
0x ( x graus) 0 15 30 45 60 75 90 
xsin 0 0,25882 0,5 0,70711 0,86603 0,96593 1,0 
 
Resolução: A tabela de diferenças divididas é a seguinte: 
 
 Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3 Ordem 4 
0 0 
 0,0172546667 
15 0,25882 -0,0000392000 
 0,0160786667 -0,0000008114 
30 0,5 -0,0000757111 0,0000000019 
 0,0138073333 -0,0000006973 
45 0,70711 -0,0001070889 0,0000000027 
 0,0105946667 -0,0000005348 
60 0,86603 -0,0001311556 0,0000000033 
 0,0066600000 -0,0000003363 
75 0,96593 -0,0001462889 
 0,0022713333 
90 1,0 
 
O polinômio interpolador de Newton é: 
 
+--+-+= ],,[))((],[)(][)( 2101010004 xxxfxxxxxxfxxxfxP 
],,,,[))()()((],,,[))()(( 4321032103210210 xxxxxfxxxxxxxxxxxxfxxxxxx ----+---+
 
 
 
 
Logo, substituindo todos estes valores neste polinômio obtem-se: 
 
 
 
Resposta: =)(534P 0,798646906 
 
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4 
Exercício 3 Um objeto foi lançado verticalmente do alto de um prédio. Sua altura foi 
registrada a cada segundo após o lançamento e os dados obtidos encontram-se na tabela 
abaixo. 
Altura ( m ) 192 180 150 115 72 
Tempo ( s ) 1 2 3 4 5 
 Utilize o método dos mínimos quadrados para estimar a altura h do prédio, a 
velocidade inicial 0v de lançamento e o valor da aceleração da gravidade g , sabendo que 
essas três grandezas são relacionadas por: 200 2
t
g
tvhth ++=)( . 
Resolução: Fazendo 10 a=h , 20 a=v , 32
a=
g
, 
11 =)(tg , ttg =)(2 e 
2
3 ttg =)( , tem-se: 
[ ]Tg 111111 = , [ ]Tg 543212 = , [ ]Tg 25169413 = 
[ ]Tf 72115150180192= 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ñá
ñá
ñá
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
a
a
a
×
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ñáñáñá
ñáñáñá
ñáñáñá
fg
fg
fg
gggggg
gggggg
gggggg
,
,
,
,,,
,,,
,,,
3
2
1
3
2
1
332313
322212
312111
 
=ñá 11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 5 
=ñá 21 gg , (1)(1)+(1)(2)+(1)(3)+(1)(4)+(1)(5) = 15 
=ñá 12 gg , =ñá 21 gg , 15 
=ñá 31 gg , (1)(1)+(1)(4)+(1)(9)+(1)(16)+(1)(25) = 55 
=ñá 13 gg , =ñá 31 gg , 55 
=ñá 22 gg , (1)(1)+(2)(2)+(3)(3)+(4)(4)+(5)(5) = 55 
=ñá 32 gg , (1)(1)+(2)(4)+(3)(9)+(4)(16)+(5)(25) = 225 
=ñá 23 gg , =ñá 32 gg , 225 
=ñá 33 gg , (1)(1)+(4)(4)+(9)(9)+(16)(16)+(25)(25) = 979 
=ñá fg ,1 (1)(192)+(1)(180)+(1)(150)+(1)(115)+(1)(72) = 709 
=ñá fg ,2 (1)(192)+(2)(180)+(3)(150)+(4)(115)+(5)(72) = 1822 
=ñá fg ,3 (1)(192)+(4)(180)+(9)(150)+(16)(115)+(25)(72) = 5902 
Assim, 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
a
a
a
×
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
5902
1822
709
97922555
2255515
55155
3
2
1
Þ 1a = 199,8, 2a = -1,7857 e 3a = -4,7857 
Logo a equação da parábola procurada é: 
2
321 tttg ×a+×a+a=)( Þ =)(tg
278574785718199 tt ×-×- ,,, 
 
Resposta: =0h 199,8, =0v -1,7857 e =2
g
-4,7857 ® =g -9,5714 
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5 
Exercício 4 Aproximar a função )sin()( xxf = por uma função 221 xxxg a+a=)( no 
intervalo I = [0,2]. Empregar a regra de Simpson com 4 subintervalos (2 n = 4) para 
determinar os produtos internos do vetor dos termos independentes. 
 
Resolução: g ( x )= 1a 1g ( x )+ 2a 2g ( x )= 1a + 2a
2x , isto é, =)(xg1 x e 
2
2 xxg =)( . 
ú
û
ù
ê
ë
é
ñá
ñá
=ú
û
ù
ê
ë
é
a
a
×ú
û
ù
ê
ë
é
ñáñá
ñáñá
fg
fg
gggg
gggg
,
,
,,
,,
2
1
2
1
2212
2111 
=ñá 11 gg , =ñá xx, ò
2
0
2dxx =
2
0
3
3 ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
éx
=
3
8
 
=ñá 21 gg , =ñá
2xx, ò
2
0
3dxx =
2
0
4
4 ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
éx
= 4 
=ñá 12 gg , =ñá 21 gg , 4 
=ñá 22 gg , =ñá
22 xx , ò
2
0
4dxx =
2
0
5
5 ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
éx
=
5
32
 
=ñá fg ,1 =ñá xx sin, ò
2
0
xdxxsin =? 
=ñá fg ,2 =ñá xx sin,
2 ò
2
0
2 xdxx sin =? 
x 0 0,5 1,0 1,5 2,0 
xxsin 0 0,239713 0,841471 1,496242 1,818595 
xx sin2 0 0,119856 0,841471 2,244364 3,63719 
ò
nx
x
dxxf
0
)( ])()()()([ åå
=
-
-
=
+++»
n
i
i
n
i
in xfxfxfxf
h
1
12
1
1
20 423
 
=ñá fg ,1 =ñá xx sin, ò
2
0
xdxxsin » 
][
,
1,496242)(0,2397134(0,841471)21,8185950
3
50
+×+×++ =1,740893 
=ñá fg ,2 =ñá xx sin,
2 ò
2
0
2 xdxx sin »
 
][
,
2,244364)(0,1198564(0,841471)23,637190
3
50
+×+×++ =2,462835 
Logo, tem-se: 
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
a
a
×
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
4628352
7408931
5
32
4
4
3
8
2
1
,
,
Þ =a1 1,209727 e =a 2 -0,371261 
 
Resposta: 221 xxxg a+a=)( Þ
237126102097271 xxxg ,,)( -= 
 
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6 
Exercício 5 Sabendo-se que a dependência funcional entre a carga Q de um condensador 
e o tempo t é do tipo tQ ×a×a= 2101 , determinar os parâmetros 1a e 2a a partir da tabela: 
)(st 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
Q (Coulomb) 4,78 3,97 3,30 2,75 2,29 1,9 
 
 
Resolução: tQ ×a×a= 2101 Þ
tQ ×a×a= 2101loglog Þ
tQ ×a+a= 2101 logloglog Þ
tQ ×a+a= 21loglog . 
 
Fazendo 11 a=alog e 22 a=a , tem-se: taaQ ×+= 21log , onde: 11 =)(tg e ttg =)(2 
 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
ñá
ñá
=ú
û
ù
ê
ë
é
×ú
û
ù
ê
ë
é
ñáñá
ñáñá
_____
_____
log,
log,
,,
,,
fg
fg
a
a
gggg
gggg
2
1
2
1
2212
2111 
=1g [ ]T111111 
=2g [ ]T019080706050 ,,,,,, 
Qlog = [ ]T91292752303973784 ,log,log,log,log,log,log 
 
=ñá 11 gg , (1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1)+(1)(1) = 6 
 
=ñá 21 gg , (1)(0,5)+(1)(0,6)+(1)(0,7)+(1)(0,8)+(1)(0,9)+(1)(1,0) = 4,5 
 
=ñá 12 gg , =ñá 21 gg , 4,5 
 
=ñá 22 gg , (0,5)(0,5)+( 0,6)(0,6)+( 0,7)(0,7)+( 0,8)(0,8)+( 0,9)(0,9)+(1,0)(1,0) = 3,55 
 
=ñá Qg log,1 (1)( log 4,78)+(1)( log 3,97)+(1)( log 3,30)+(1)( log 2,75)+(1)( log 2,29)+ 
+(1)( log 1,9) = 2,874654 
 
=ñá Qg log,2 (0,5)( log 4,78)+(0,6)( log 3,97)+(0,7)( log 3,30)+(0,8)( log 2,75)+ 
+(0,9)( log 2,29)+(1)( log 1,9) = 2,016020 
 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
×ú
û
ù
ê
ë
é
0160202
8746542
55354
546
2
1
,
,
,,
,
a
a
Þ Resolvendo obtém-se: 1a = 1,078983 e 
2a = -0,799831. 
Logo, 11 a=alog Þ ===a
0789831
1 1010 1
,a 11,994524 e 22 a=a =-0,799831 
 
 
Resposta: tQ ×a×a= 2101 Þ
tQ ×-×= 79983101099452411 ,, 
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7 
Exercício 6 Calcule dxxx )cos(ò
p
2
0
2 empregando o método dos trapézios e precisão 110- . 
 
Resolução: 
 
 
xxxf cos)( 2= Þ xxxxxf sincos)´( 22 -= Þ 
xxxxxxxxf cossinsincos)´´( 2222 ---= Þ xxxxxxf cossincos)´´( 242 --= 
 
( )
2
3
12n
ab
ETR
-
£ )´´(max
],[
xf
baxÎ
× Þ
( )
2
3
12n
ab -
)´´(max
],[
xf
baxÎ
× 110-£ Þ 
2
3
12
0
2
n×
÷
ø
ö
ç
è
æ -
p
)´´(max
],[
xf
baxÎ
× 110-£ Þ
2
3
12
0
2
n×
÷
ø
ö
ç
è
æ -
p
(6,28319) 110-£ Þ ³n 4,5Þ =n 5 
 
OBS. 1: Construindo o gráfico de )´´( xfy = , verifica-se que no intervalo ],[
2
0
p
 esta 
função )´´( xfy = é crescente, logo atinge seu máximo em 
2
p
. 
Logo 5=n Þ
105
0
2 p=
-
p
=
-
=
n
ab
h
)(
 
 
 
x 0 
10
p
 
10
2p
 
10
3p
 
10
4p
 
2
p
 
xxxf cos)( 2= 0 0,0938655 0,3193871 0,5221087 0,4879801 0 
 
ò
nx dxxf
0
)( ])()()([ å
-
=
++»
1
1
0 22
n
i
in xfxfxf
h
 
dxxx )cos(ò
p
2
0
2 )],,,,([ 48798010522108703193871009386550200
2
10 +++×++
p
» 
 
 
 
 
Resposta: dxxx )cos(ò
p
2
0
2 » 0,4471559 
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8 
Exercício 7 Calcule ò
3
2
dxx)ln( empregando o método de Simpson com quatro repetições 
(2n = 8). Faça uma estimativa do erro cometido na integração numérica. 
 
Resolução: 
n
ab
h
2
)( -
= = =
-
8
23 )(
0,125 
x 2 2,125 2,250 2,375 2,500 2,625 2,750 2,875 3 
xln 0,693147 0,753772 0,810930 0,864997 0,916291 0,965081 1,011601 1,056053 1,098612
ò
nx
x
dxxf
0
)( ])()()()([ åå
=
-
-
=
+++»
n
i
i
n
i
in xfxfxfxf
h
1
12
1
1
20 423
 
 
ò
3
2
dxx)ln( »
3
1250,
[0,693147+1,098612+2(0,810930+0,916291+1,011601)+ 
4(0,753772+0,864997+0,965081+1,056053)]= 0,909542 
| SRE | £ 4
5
2880n
ab )( -
×
],[
max
baxÎ
| )()( xf 4 | 
4
324
5
6
42880
23 -
Î
-
×
-
£ xE
x
SR
],[
max
)(
Þ ×
×
-
£
4
5
42880
23 )(
SRE 0,375=
7100862635 -×, 
 
Resposta: ò
3
2
dxx)ln( » 0,909542 e =SRE
7100862635 -×, 
___________________________________________________________________________ 
Exercício 8 Empregando o método de Simpson, calcule o trabalho W realizado por um gás 
sendo aquecido segundo a tabela abaixo. Lembre que ò=
f
i
V
V
PdVW . 
)( 3mV 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 
)/( 2mKgP 80 72 64 53 44 31 22 
 
Resolução: ò
nx
x
dxxf
0
)( ])()()()([ åå
=
-
-
=
+++»
n
i
i
n
i
in xfxfxfxf
h
1
12
1
1
20 423
 
 
 
n
ab
h
2
)( -
= Þ
32
5154
×
-
=
),,(
h Þ =h 0,5 
ò=
54
51
,
,
PdVW )]()([
,
3153724446422280
3
50
++++++» 
 
 
Resposta: »W 157 
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9 
Exercício 9 Seja a equação diferencial ordinária yxxy
dx
d
+=)( com condição inicial 
10 =)(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Solucione a equação diferencial pelo 
método de Euler (Passo Simples de ordem 1) com passos h =1, h =0,5 e h =0,25. Sabendo 
que a solução exata da equação diferencial é 12 --= xexy x)( , compare os resultados 
obtidos em cada uma das integrações com os valores obtidos com a solução exata. 
 
Resolução: ),( llll yxfhyy ×+=+1 , =l 0, 1, 2, ¼ , ( 1-m ) 
 
Para h =1: 
l lx ly llll yxyxf +=),( 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1 1 1 0 
1 1 2 3 3,436563657 1,436563657 
2 2 5 7 11,7781122 6,778112198 
3 3 12 15 36,17107385 24,17107385 
4 4 27 31 104,1963001 77,19630007 
 
Para h =0,5: 
l lx ly llll yxyxf +=),( 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1 1 1 0 
1 0,5 1,5 2 1,797442541 0,297442541 
2 1 2,5 3,5 3,436563657 0,936563657 
3 1,5 4,25 5,75 6,463378141 2,213378141 
4 2 7,125 9,125 11,7781122 4,653112198 
5 2,5 11,6875 14,1875 20,86498792 9,177487921 
6 3 18,78125 21,78125 36,17107385 17,38982385 
7 3,5 29,671875 33,171875 61,73090392 32,05902892 
8 4 46,2578125 50,2578125 104,1963001 57,93848757 
 
Para h =0,25: 
l lx ly llll yxyxf +=),( 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1 1 1 0 
1 0,25 1,25 1,5 1,318050833 0,068050833 
2 0,5 1,625 2,125 1,797442541 0,172442541 
3 0,75 2,15625 2,90625 2,484000033 0,327750033 
4 1,0 2,8828125 3,8828125 3,436563657 0,553751157 
Cálculo Numérico Segunda Lista de Exercícios 
Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná (CEFET-PR) LAURO / NUNES 
10 
5 1,25 3,85351563 5,103515625 4,730685915 0,87717029 
6 1,5 5,12939453 6,629394531 6,463378141 1,333983609 
7 1,75 6,78674316 8,536743164 8,759205352 1,972462188 
8 2,0 8,92092896 10,92092896 11,7781122 2,857183243 
9 2,25 11,6511612 13,90116119 15,72547167 4,074310479 
10 2,5 15,1264515 17,62645149 20,86498792 5,738536429 
11 2,75 19,5330644 22,28306437 27,53526377 8,002199403 
12 3,0 25,1038305 28,10383046 36,17107385 11,06724339 
13 3,25 32,1297881 35,37978807 47,33067983 15,20089176 
14 3,50 40,9747351 44,47473509 61,73090392 20,75616883 
15 3,75 52,0934189 55,84341886 80,292164 28,19874514 
16 4,0 66,0542736 70,05427358 104,1963001 38,14202649 
 
Exercício 10 Seja a equação diferencial ordinária yxxy
dx
d
+=)( com condição inicial 
10 =)(y . Considere o intervalo de integração igual [0,4]. Solucione a equação diferencial pelo 
método de Runge-Kutta de ordem 2 com passo h =0,5. Sabendo que a solução exata da 
equação diferencial é 12 --= xexy x)( , compare os resultados obtidos em cada uma das 
integrações com os valo res obtidos com a solução exata. 
 
Resolução: )( 211 2
KK
h
yy ll ++=+ , =l 0, 1, 2, ¼ , 1-m 
 
),( ll yxfK =1 e ),( 12 KhyhxfK ll ×++= 
 
l lx ly 1K 2K 12 --= l
x
l xexy l)( Erro= ll yxy -)( 
0 0 1,0000 1,0000 2,0000 1,0000 0,0000 
1 0,5 1,7500 2,2500 3,8750 1,7974 0,0474 
2 1 3,2813 4,2813 6,9219 3,4366 0,1553 
3 1,5 6,0820 7,5820 11,8730 6,4634 0,3813 
4 2 10,9458 12,9458 19,9187 11,7781 0,8323 
5 2,5 19,1619 21,6619 32,9929 20,8650 1,7031 
6 3 32,8256
35,8256 54,2384 36,1711 3,3454 
7 3,5 55,3416 58,8416 88,7625 61,7309 6,3893 
8 4 92,2427 96,2427 144,8640 104,1963 11,9536