GAAL - Aula 11

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SEGUNDA PROVA
Segunda prova: 10/11 ou 17/11, sa´bado, 08:00 horas
Cap´ıtulo 4: Vetores, produto escalar, produto vetorial.
Cap´ıtulo 5: Retas e Planos no espac¸o. Aˆngulos e distaˆncias.
Para quem perdeu a primeira prova:
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* URGENTE *
Retas no plano
No plano cartesiano, toda reta tem equac¸a˜o do tipo ax + by = c .
Ja´ estamos acostumados com isso.
Retas no plano
No plano cartesiano, toda reta tem equac¸a˜o do tipo ax + by = c .
Ja´ estamos acostumados com isso.
Retas no espac¸o
Qual e´ a equac¸a˜o de uma reta no espac¸o?
Faz sentido pensar que esta reta poderia ter uma equac¸a˜o do tipo
ax + by = c ou, generalizado, do tipo ax + by + cz = d .
Na˜o. Pois uma reta e´ um objeto 1-dimensional. E cada uma destas
equac¸o˜es possuem duas varia´veis livres.
Retas no espac¸o
Qual e´ a equac¸a˜o de uma reta no espac¸o?
Faz sentido pensar que esta reta poderia ter uma equac¸a˜o do tipo
ax + by = c ou, generalizado, do tipo ax + by + cz = d .
Na˜o. Pois uma reta e´ um objeto 1-dimensional. E cada uma destas
equac¸o˜es possuem duas varia´veis livres.
Retas no espac¸o
Qual e´ a equac¸a˜o de uma reta no espac¸o?
Faz sentido pensar que esta reta poderia ter uma equac¸a˜o do tipo
ax + by = c ou, generalizado, do tipo ax + by + cz = d .
Na˜o. Pois uma reta e´ um objeto 1-dimensional. E cada uma destas
equac¸o˜es possuem duas varia´veis livres.
Exemplo:
No espac¸o, no sistema de coordenadas xyz , desenhe o conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o x + y = 2.
Como z e´ varia´vel livre, x + y = 2 e´ um plano paralelo ao eixo z .
Exemplo:
No espac¸o, no sistema de coordenadas xyz , desenhe o conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o x + y = 2.
Como z e´ varia´vel livre, x + y = 2 e´ um plano paralelo ao eixo z .
Exemplo:
No espac¸o, no sistema de coordenadas xyz , desenhe o conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o x + y = 2.
Como z e´ varia´vel livre, x + y = 2 e´ um plano paralelo ao eixo z .
Exemplo:
No espac¸o, no sistema de coordenadas xyz , desenhe o conjunto
soluc¸a˜o da equac¸a˜o x + y = 2.
Como z e´ varia´vel livre, x + y = 2 e´ um plano paralelo ao eixo z .
A reta que passa por dois pontos
Sejam P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) dois pontos no espac¸o.
Vamos determinar a equac¸a˜o dos pontos P = (x , y , z) que
pertencem a reta
←−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Sejam P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) dois pontos no espac¸o.
Vamos determinar a equac¸a˜o dos pontos P = (x , y , z) que
pertencem a reta
←−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Sejam P0 = (x0, y0, z0) e P1 = (x1, y1, z1) dois pontos no espac¸o.
Vamos determinar a equac¸a˜o dos pontos P = (x , y , z) que
pertencem a reta
←−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Observe que P pertence a reta r se os vetores
−−→
P0P e
−−−→
P0P1 sa˜o
paralelos.
Isto ocorre se estes vetores sa˜o mu´ltiplos escalares:
−−→
P0P = t
−−−→
P0P1
para algum t ∈ R.
Isto e´, P − P0 = t−−−→P0P1, ou ainda
P = P0 + t
−−−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Observe que P pertence a reta r se os vetores
−−→
P0P e
−−−→
P0P1 sa˜o
paralelos.
Isto ocorre se estes vetores sa˜o mu´ltiplos escalares:
−−→
P0P = t
−−−→
P0P1
para algum t ∈ R.
Isto e´, P − P0 = t−−−→P0P1, ou ainda
P = P0 + t
−−−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Observe que P pertence a reta r se os vetores
−−→
P0P e
−−−→
P0P1 sa˜o
paralelos.
Isto ocorre se estes vetores sa˜o mu´ltiplos escalares:
−−→
P0P = t
−−−→
P0P1
para algum t ∈ R.
Isto e´, P − P0 = t−−−→P0P1, ou ainda
P = P0 + t
−−−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Observe que P pertence a reta r se os vetores
−−→
P0P e
−−−→
P0P1 sa˜o
paralelos.
Isto ocorre se estes vetores sa˜o mu´ltiplos escalares:
−−→
P0P = t
−−−→
P0P1
para algum t ∈ R.
Isto e´, P − P0 = t−−−→P0P1, ou ainda
P = P0 + t
−−−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Observe que P pertence a reta r se os vetores
−−→
P0P e
−−−→
P0P1 sa˜o
paralelos.
Isto ocorre se estes vetores sa˜o mu´ltiplos escalares:
−−→
P0P = t
−−−→
P0P1
para algum t ∈ R.
Isto e´, P − P0 = t−−−→P0P1,
ou ainda
P = P0 + t
−−−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Observe que P pertence a reta r se os vetores
−−→
P0P e
−−−→
P0P1 sa˜o
paralelos.
Isto ocorre se estes vetores sa˜o mu´ltiplos escalares:
−−→
P0P = t
−−−→
P0P1
para algum t ∈ R.
Isto e´, P − P0 = t−−−→P0P1, ou ainda
P = P0 + t
−−−→
P0P1.
A reta que passa por dois pontos
Se V =
−−−→
P0P1, enta˜o P = P0 + tV .
(movimento retin´ıneo
uniforme)
Esta e´ a equac¸a˜o parame´trica da reta r .
Neste caso, V e´ um vetor diretor de r .
A reta que passa por dois pontos
Se V =
−−−→
P0P1, enta˜o P = P0 + tV . (movimento retin´ıneo
uniforme)
Esta e´ a equac¸a˜o parame´trica da reta r .
Neste caso, V e´ um vetor diretor de r .
A reta que passa por dois pontos
Se V =
−−−→
P0P1, enta˜o P = P0 + tV . (movimento retin´ıneo
uniforme)
Esta e´ a equac¸a˜o parame´trica da reta r .
Neste caso, V e´ um vetor diretor de r .
A reta que passa por dois pontos
Se V =
−−−→
P0P1, enta˜o P = P0 + tV . (movimento retin´ıneo
uniforme)
Esta e´ a equac¸a˜o parame´trica da reta r .
Neste caso, V e´ um vetor diretor de r .
Equac¸a˜o parame´trica da reta
Se P = (x , y , z), P0 = (x0, y0, z0) e V = (a, b, c), enta˜o
P = P0 + tV
significa que
(x , y , z) = (x0, y0, z0) + t(a, b, c)

x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
Equac¸a˜o parame´trica da reta
P = P0 + tV
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
A equac¸a˜o parame´trica de uma reta na˜o e´ u´nica.
Podemos trocar o ponto inicial P0 por qualquer outro ponto da
reta.
Podemos trocar o vetor diretor por qualquer mu´ltiplo escalar.
O vetor diretor de uma reta sempre e´ tal que V 6= ~0.
Equac¸a˜o parame´trica da reta
P = P0 + tV
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
A equac¸a˜o parame´trica de uma reta na˜o e´ u´nica.
Podemos trocar o ponto inicial P0 por qualquer outro ponto da
reta.
Podemos trocar o vetor diretor por qualquer mu´ltiplo escalar.
O vetor diretor de uma reta sempre e´ tal que V 6= ~0.
Equac¸a˜o parame´trica da reta
P = P0 + tV
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
A equac¸a˜o parame´trica de uma reta na˜o e´ u´nica.
Podemos trocar o ponto inicial P0 por qualquer outro ponto da
reta.
Podemos trocar o vetor diretor por qualquer mu´ltiplo escalar.
O vetor diretor de uma reta sempre e´ tal que V 6= ~0.
Equac¸a˜o parame´trica da reta
P = P0 + tV
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
A equac¸a˜o parame´trica de uma reta na˜o e´ u´nica.
Podemos trocar o ponto inicial P0 por qualquer outro ponto da
reta.
Podemos trocar o vetor diretor por qualquer mu´ltiplo escalar.
O vetor diretor de uma reta sempre e´ tal que V 6= ~0.
Exerc´ıcios
1. Escreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta que passa por
A = (−1, 3, 4) e que e´ paralela ao vetor V = (1,−2, 0).
2. Escreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta que passa por
M = (5, 0,−3) e por N = (3, 8, 7).
3. Considere a reta r que passa pelos pontos A = (5, 4, 1) e
B = (7, 5, 2). Tambe´m considere a reta s que passa pelos
pontos P = (0, 1, 0) e Q = (−3,−2, 3).
(a) Determine equac¸o˜es parame´tricas das retas r e s.
(b) Mostre que r e s sa˜o retas concorrentes calculando o ponto
P = r ∩ s.
Exerc´ıcios
1. Escreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta que passa por
A = (−1, 3, 4) e que e´ paralela ao vetor V = (1,−2, 0).
2. Escreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta que passa por
M = (5, 0,−3) e por N = (3, 8, 7).
3. Considere a reta r que passa pelos pontos A = (5, 4, 1) e
B = (7, 5, 2). Tambe´m
considere a reta s que passa pelos
pontos P = (0, 1, 0) e Q = (−3,−2, 3).
(a) Determine equac¸o˜es parame´tricas das retas r e s.
(b) Mostre que r e s sa˜o retas concorrentes calculando o ponto
P = r ∩ s.
Exerc´ıcios
1. Escreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta que passa por
A = (−1, 3, 4) e que e´ paralela ao vetor V = (1,−2, 0).
2. Escreva uma equac¸a˜o parame´trica para a reta que passa por
M = (5, 0,−3) e por N = (3, 8, 7).
3. Considere a reta r que passa pelos pontos A = (5, 4, 1) e
B = (7, 5, 2). Tambe´m considere a reta s que passa pelos
pontos P = (0, 1, 0) e Q = (−3,−2, 3).
(a) Determine equac¸o˜es parame´tricas das retas r e s.
(b) Mostre que r e s sa˜o retas concorrentes calculando o ponto
P = r ∩ s.
Exerc´ıcios
4. Cosidere o ponto P = (4,−2, 11) e a reta r de equac¸a˜o
(x , y , z) = (1,−1, 1) + t(3, 1, 2)
Determine a equac¸a˜o da reta s que passa por P e que e´
perpendicular e concorrente com r .
Posic¸a˜o relativa entre duas retas no espac¸o
I concorrentes.
I paralelas.
I reversas.
Exemplo 1:
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta r que passa pelos pontos
A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
(b) Considere s a reta (x , y , z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se
as retas r e s sa˜o paralelas, reversas ou concorrentes.
(c) Calcule a distaˆncia entre as retas r e s.
Posic¸a˜o relativa entre duas retas no espac¸o
I concorrentes.
I paralelas.
I reversas.
Exemplo 1:
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta r que passa pelos pontos
A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
(b) Considere s a reta (x , y , z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se
as retas r e s sa˜o paralelas, reversas ou concorrentes.
(c) Calcule a distaˆncia entre as retas r e s.
Posic¸a˜o relativa entre duas retas no espac¸o
I concorrentes.
I paralelas.
I reversas.
Exemplo 1:
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta r que passa pelos pontos
A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
(b) Considere s a reta (x , y , z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se
as retas r e s sa˜o paralelas, reversas ou concorrentes.
(c) Calcule a distaˆncia entre as retas r e s.
Posic¸a˜o relativa entre duas retas no espac¸o
I concorrentes.
I paralelas.
I reversas.
Exemplo 1:
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta r que passa pelos pontos
A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
(b) Considere s a reta (x , y , z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se
as retas r e s sa˜o paralelas, reversas ou concorrentes.
(c) Calcule a distaˆncia entre as retas r e s.
Posic¸a˜o relativa entre duas retas no espac¸o
I concorrentes.
I paralelas.
I reversas.
Exemplo 1:
(a) Encontre a equac¸a˜o da reta r que passa pelos pontos
A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
(b) Considere s a reta (x , y , z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se
as retas r e s sa˜o paralelas, reversas ou concorrentes.
(c) Calcule a distaˆncia entre as retas r e s.
Posic¸a˜o relativa entre duas retas no espac¸o
Exemplo 2: Considere a reta r que passa pelos pontos
A = (3, 5, 1) e B = (7, 13, 3). Tambe´m considere a reta s que
passa pelos pontos P = (−15,−6,−6) e Q = (15, 14, 19).
(a) Determine equac¸o˜es parame´tricas das retas r e s.
(b) Verifique se as retas r e s sa˜o paralelas, concorrentes ou
reversas.
(c) Determine a distaˆncia entre r e s exibindo pontos X ∈ r e
Y ∈ s tais que dist(r , s) = dist(X ,Y ).