GAAL - Aula 13

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Plano, dado um ponto e um vetor normal
〈N,−−→P0P〉 = 0
ax + by + cz = d
Equac¸a˜o geral do plano
Produto Vetorial em R3
O produto vetorial V ×W e´ caracterizado por:
I (norma) ‖ V ×W ‖ = ‖ V ‖‖W ‖ sen(θ).
I (direc¸a˜o) V ×W e´ perpendicular ao plano de V e W .
I (sentido) V , W e V ×W satisfazem a regra da ma˜o direita.
Propriedades do produto vetorial
Sejam V e W vetores em R3. Enta˜o
1. V ×W = −(W × V ).
2. V ×W = ~0 se V = αW ou se W = αV .
3. 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
4. Se α ∈ R, (αV )×W = V × (αW ) = α(V ×W ).
5. V × (W + U) = V ×W + V × U.
Produto Vetorial em coordenadas
~i ×~i = ~0 ~j ×~i = −~k ~k ×~i =~j
~i ×~j = ~k ~j ×~j = ~0 ~k ×~j = −~i
~i × ~k = −~j ~j × ~k =~i ~k × ~k = ~0
Produto Vetorial em coordenadas
V = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3~k
W = (w1,w2,w3) = w1~i + w2~j + w3~k
Aplicando a propriedade distributiva
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
E´ mais fa´cil memorizar o seguinte determinante simbo´lico
V ×W = det
 ~i ~j ~kv1 v2 v3
w1 w2 w3

Produto Vetorial em coordenadas
V = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3~k
W = (w1,w2,w3) = w1~i + w2~j + w3~k
Aplicando a propriedade distributiva
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
E´ mais fa´cil memorizar o seguinte determinante simbo´lico
V ×W = det
 ~i ~j ~kv1 v2 v3
w1 w2 w3

Produto Vetorial em coordenadas
V = (v1, v2, v3) = v1~i + v2~j + v3~k
W = (w1,w2,w3) = w1~i + w2~j + w3~k
Aplicando a propriedade distributiva
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
E´ mais fa´cil memorizar o seguinte determinante simbo´lico
V ×W = det
 ~i ~j ~kv1 v2 v3
w1 w2 w3

Ca´lculo do produto vetorial
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre
V = (2, 1, 2) e W = (3, 2, 5).
Soluc¸a˜o:
V ×W = det
 ~i ~j ~k2 1 2
3 2 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 1 22 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ 2 23 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣ .
V ×W = 1~i − 4~j + 1~k = (1,−4, 1).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Ca´lculo do produto vetorial
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre
V = (2, 1, 2) e W = (3, 2, 5).
Soluc¸a˜o:
V ×W = det
 ~i ~j ~k2 1 2
3 2 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 1 22 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ 2 23 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣ .
V ×W = 1~i − 4~j + 1~k = (1,−4, 1).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Ca´lculo do produto vetorial
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre
V = (2, 1, 2) e W = (3, 2, 5).
Soluc¸a˜o:
V ×W = det
 ~i ~j ~k2 1 2
3 2 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 1 22 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ 2 23 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣ .
V ×W = 1~i − 4~j + 1~k = (1,−4, 1).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Ca´lculo do produto vetorial
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre
V = (2, 1, 2) e W = (3, 2, 5).
Soluc¸a˜o:
V ×W = det
 ~i ~j ~k2 1 2
3 2 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 1 22 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ 2 23 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣ .
V ×W = 1~i − 4~j + 1~k = (1,−4, 1).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Ca´lculo do produto vetorial
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre
V = (2, 1, 2) e W = (3, 2, 5).
Soluc¸a˜o:
V ×W = det
 ~i ~j ~k2 1 2
3 2 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 1 22 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ 2 23 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣ .
V ×W = 1~i − 4~j + 1~k = (1,−4, 1).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Ca´lculo do produto vetorial
Exemplo: Calcule o produto vetorial entre
V = (2, 1, 2) e W = (3, 2, 5).
Soluc¸a˜o:
V ×W = det
 ~i ~j ~k2 1 2
3 2 5

V ×W = ~i
∣∣∣∣ 1 22 5
∣∣∣∣ − ~j ∣∣∣∣ 2 23 5
∣∣∣∣ + ~k ∣∣∣∣ 2 13 2
∣∣∣∣ .
V ×W = 1~i − 4~j + 1~k = (1,−4, 1).
Tire a prova, verificando que 〈V ,V ×W 〉 = 〈W ,V ×W 〉 = 0.
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
Exemplo: Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
Exemplo: Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
Exemplo: Calcule a a´rea do triaˆngulo de ve´rtices
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
Sabemos que a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
−→
AB = (−1, 4, 1) −→AC = (−6, 2, 3)
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k−1 4 1
−6 2 3
 = (10,−3, 22).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖ = 1
2
√
102 + (−3)2 + 222 =
1
2
√
593.
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
Sabemos que a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
−→
AB = (−1, 4, 1) −→AC = (−6, 2, 3)
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k−1 4 1
−6 2 3
 = (10,−3, 22).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖ = 1
2
√
102 + (−3)2 + 222 =
1
2
√
593.
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
Sabemos que a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
−→
AB = (−1, 4, 1) −→AC = (−6, 2, 3)
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k−1 4 1
−6 2 3

= (10,−3, 22).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖ = 1
2
√
102 + (−3)2 + 222 =
1
2
√
593.
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
Sabemos que a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
−→
AB = (−1, 4, 1) −→AC = (−6, 2, 3)
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k−1 4 1
−6 2 3
 = (10,−3, 22).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖ = 1
2
√
102 + (−3)2 + 222 =
1
2
√
593.
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
Sabemos que a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
−→
AB = (−1, 4, 1) −→AC = (−6, 2, 3)
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k−1 4 1
−6 2 3
 = (10,−3, 22).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
=
1
2
√
102 + (−3)2 + 222 =
1
2
√
593.
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
Sabemos que a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
−→
AB = (−1, 4, 1) −→AC = (−6, 2, 3)
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k−1 4 1
−6 2 3
 = (10,−3, 22).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖ = 1
2
√
102 + (−3)2 + 222
=
1
2
√
593.
Exemplo: a´rea de triaˆngulos no espac¸o
A = (4, 1, 2), B = (3, 5, 3) e C = (−2, 3, 5).
Sabemos que a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖
−→
AB = (−1, 4, 1) −→AC = (−6, 2, 3)
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k−1 4 1
−6 2 3
 = (10,−3, 22).
a´rea(∆ABC ) =
1
2
‖ −→AB ×−→AC ‖ = 1
2
√
102 + (−3)2 + 222 =
1
2
√
593.
Produto Misto
Teorema: Sejam U = (u1, u2, u3), V = (v1, v2, v3) e
W = (w1,w2,w3). Enta˜o
〈U,V ×W 〉
= det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3

Dem:
U = (u1, u2, u3)
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
Calcule o produto escalar 〈U,V ×W 〉, calcule o determinante e
veja que sa˜o iguais.
Produto Misto
Teorema: Sejam U = (u1, u2, u3), V = (v1, v2, v3) e
W = (w1,w2,w3). Enta˜o
〈U,V ×W 〉 = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3

Dem:
U = (u1, u2, u3)
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
Calcule o produto escalar 〈U,V ×W 〉, calcule o determinante e
veja que sa˜o iguais.
Produto Misto
Teorema: Sejam U = (u1, u2, u3), V = (v1, v2, v3) e
W = (w1,w2,w3). Enta˜o
〈U,V ×W 〉 = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3

Dem:
U = (u1, u2, u3)
V ×W = (v2w3 − v3w2 , v3w1 − v1w3 , v1w2 − v2w1)
Calcule o produto escalar 〈U,V ×W 〉, calcule o determinante e
veja que sa˜o iguais.
Interpretac¸a˜o geome´trica do produto misto
Teorema: Dados treˆs vetores
U, V e W ,
|〈U,V ×W 〉|
e´ o volume do paralelep´ıpedo determinado por U, V e W .
Caracterizac¸a˜o de vetores coplanares
Teorema: Treˆs vetores U, V e W em R3 sa˜o coplanares se
〈U,V ×W 〉 = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
 = 0
Geometricamente, para U, V e W serem coplanares, U deve ser
ortogonal a V ×W .
Ou, equivalentemente, o volume do paralelep´ıpedo determinado
por U, V e W deve ser igual a zero.
Caracterizac¸a˜o de vetores coplanares
Teorema: Treˆs vetores U, V e W em R3 sa˜o coplanares se
〈U,V ×W 〉 = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
 = 0
Geometricamente, para U, V e W serem coplanares, U deve ser
ortogonal a V ×W .
Ou, equivalentemente, o volume do paralelep´ıpedo determinado
por U, V e W deve ser igual a zero.
Caracterizac¸a˜o de vetores coplanares
Teorema: Treˆs vetores U, V e W em R3 sa˜o coplanares se
〈U,V ×W 〉 = det
 u1 u2 u3v1 v2 v3
w1 w2 w3
 = 0
Geometricamente, para U, V e W serem coplanares, U deve ser
ortogonal a V ×W .
Ou, equivalentemente, o volume do paralelep´ıpedo determinado
por U, V e W deve ser igual a zero.
Exemplo: caracterizac¸a˜o de pontos coplanares
1. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo
plano.
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−2, 0) , −→AC = (0, 2,−2) , −→AD = (1, 0,−1)
〈−→AB,−→AC ×−→AD〉 = det
 2 −2 00 2 −2
1 0 −1
 = −2 + 2 = 0
Portanto os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares.
Exemplo: caracterizac¸a˜o de pontos coplanares
1. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo
plano.
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−2, 0) , −→AC = (0, 2,−2) , −→AD = (1, 0,−1)
〈−→AB,−→AC ×−→AD〉 = det
 2 −2 00 2 −2
1 0 −1
 = −2 + 2 = 0
Portanto os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares.
Exemplo: caracterizac¸a˜o de pontos coplanares
1. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo
plano.
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−2, 0) , −→AC = (0, 2,−2) , −→AD = (1, 0,−1)
〈−→AB,−→AC ×−→AD〉 = det
 2 −2 00 2 −2
1 0 −1
 = −2 + 2 = 0
Portanto os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares.
Exemplo: caracterizac¸a˜o de pontos coplanares
1. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo
plano.
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−2, 0) , −→AC = (0, 2,−2) , −→AD = (1, 0,−1)
〈−→AB,−→AC ×−→AD〉 = det
 2 −2 00 2 −2
1 0 −1

= −2 + 2 = 0
Portanto os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares.
Exemplo: caracterizac¸a˜o de pontos coplanares
1. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo
plano.
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−2, 0) , −→AC = (0, 2,−2) , −→AD = (1, 0,−1)
〈−→AB,−→AC ×−→AD〉 = det
 2 −2 00 2 −2
1 0 −1
 = −2 + 2 = 0
Portanto os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares.
Exemplo: caracterizac¸a˜o de pontos coplanares
1. Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo
plano.
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
−→
AB = (2,−2, 0) , −→AC = (0, 2,−2) , −→AD = (1, 0,−1)
〈−→AB,−→AC ×−→AD〉 = det
 2 −2 00 2 −2
1 0 −1
 = −2 + 2 = 0
Portanto os pontos A, B, C e D sa˜o coplanares.
Exemplo: equac¸a˜o do plano do exemplo anterior
2. Agora determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os
pontos
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
Um vetor normal deste plano pode ser
N =
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k2 −2 0
0 2 −2
 = (4, 4, 4)
Da´ı a equac¸a˜o do plano tem a forma 4x + 4y + 4z = d .
Substituindo o ponto B = (4, 1, 3), obtemos d = 16 + 4 + 12 = 32.
Portanto a equac¸a˜o do plano e´ 4x + 4y + 4z = 32, que pode ser
simplificada para x + y + z = 8.
Exemplo: equac¸a˜o do plano do exemplo anterior
2. Agora determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os
pontos
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
Um vetor normal deste plano pode ser
N =
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k2 −2 0
0 2 −2

= (4, 4, 4)
Da´ı a equac¸a˜o do plano tem a forma 4x + 4y + 4z = d .
Substituindo o ponto B = (4, 1, 3), obtemos d = 16 + 4 + 12 = 32.
Portanto a equac¸a˜o do plano e´ 4x + 4y + 4z = 32, que pode ser
simplificada para x + y + z = 8.
Exemplo: equac¸a˜o do plano do exemplo anterior
2. Agora determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os
pontos
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
Um vetor normal deste plano pode ser
N =
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k2 −2 0
0 2 −2
 = (4, 4, 4)
Da´ı a equac¸a˜o do plano tem a forma 4x + 4y + 4z = d .
Substituindo o ponto B = (4, 1, 3), obtemos d = 16 + 4 + 12 = 32.
Portanto a equac¸a˜o do plano e´ 4x + 4y + 4z = 32, que pode ser
simplificada para x + y + z = 8.
Exemplo: equac¸a˜o do plano do exemplo anterior
2. Agora determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os
pontos
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
Um vetor normal deste plano pode ser
N =
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k2 −2 0
0 2 −2
 = (4, 4, 4)
Da´ı a equac¸a˜o do plano tem a forma 4x + 4y + 4z = d .
Substituindo o ponto B = (4, 1, 3), obtemos d = 16 + 4 + 12 = 32.
Portanto a equac¸a˜o do plano e´ 4x + 4y + 4z = 32, que pode ser
simplificada para x + y + z = 8.
Exemplo: equac¸a˜o do plano do exemplo anterior
2. Agora determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os
pontos
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
Um vetor normal deste plano pode ser
N =
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k2 −2 0
0 2 −2
 = (4, 4, 4)
Da´ı a equac¸a˜o do plano tem a forma 4x + 4y + 4z = d .
Substituindo o ponto B = (4, 1, 3), obtemos d = 16 + 4 + 12 = 32.
Portanto a equac¸a˜o do plano e´ 4x + 4y + 4z = 32, que pode ser
simplificada para x + y + z = 8.
Exemplo: equac¸a˜o do plano do exemplo anterior
2. Agora determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os
pontos
A = (2, 3, 3) , B = (4, 1, 3) , C = (2, 5, 1) , D = (3, 3, 2)
Soluc¸a˜o:
Um vetor normal deste plano pode ser
N =
−→
AB ×−→AC = det
 ~i ~j ~k2 −2 0
0 2 −2
 = (4, 4, 4)
Da´ı a equac¸a˜o do plano tem a forma 4x + 4y + 4z = d .
Substituindo o ponto B = (4, 1, 3), obtemos d = 16 + 4 + 12 = 32.
Portanto a equac¸a˜o do plano e´ 4x + 4y + 4z = 32, que pode ser
simplificada para x + y + z = 8.
Exemplo: equac¸a˜o do plano dado 3 pontos
Uma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.
3. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos
A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)
Soluc¸a˜o: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o
seguinte vetores sa˜o coplanares
−→
AP = (x − 1, y − 1, z − 1) , −→AB = (−3, 2, 2) , −→AC = (1, 2, 0)
det
 x − 1 y − 1 z − 1−3 2 2
1 2 0
 = 0
2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0
−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0
−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10 ⇒ 2x − y + 4z = 5.
Exemplo: equac¸a˜o do plano dado 3 pontos
Uma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.
3. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos
A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)
Soluc¸a˜o: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o
seguinte vetores sa˜o coplanares
−→
AP = (x − 1, y − 1, z − 1) , −→AB = (−3, 2, 2) , −→AC = (1, 2, 0)
det
 x − 1 y − 1 z − 1−3 2 2
1 2 0
 = 0
2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0
−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0
−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10 ⇒ 2x − y + 4z = 5.
Exemplo: equac¸a˜o do plano dado 3 pontos
Uma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.
3. Determine a equac¸a˜o geral do plano
que conte´m os pontos
A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)
Soluc¸a˜o: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o
seguinte vetores sa˜o coplanares
−→
AP = (x − 1, y − 1, z − 1) , −→AB = (−3, 2, 2) , −→AC = (1, 2, 0)
det
 x − 1 y − 1 z − 1−3 2 2
1 2 0
 = 0
2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0
−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0
−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10 ⇒ 2x − y + 4z = 5.
Exemplo: equac¸a˜o do plano dado 3 pontos
Uma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.
3. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos
A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)
Soluc¸a˜o: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o
seguinte vetores sa˜o coplanares
−→
AP = (x − 1, y − 1, z − 1) , −→AB = (−3, 2, 2) , −→AC = (1, 2, 0)
det
 x − 1 y − 1 z − 1−3 2 2
1 2 0
 = 0
2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0
−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0
−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10 ⇒ 2x − y + 4z = 5.
Exemplo: equac¸a˜o do plano dado 3 pontos
Uma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.
3. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos
A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)
Soluc¸a˜o: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o
seguinte vetores sa˜o coplanares
−→
AP = (x − 1, y − 1, z − 1) , −→AB = (−3, 2, 2) , −→AC = (1, 2, 0)
det
 x − 1 y − 1 z − 1−3 2 2
1 2 0
 = 0
2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0
−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0
−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10 ⇒ 2x − y + 4z = 5.
Exemplo: equac¸a˜o do plano dado 3 pontos
Uma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.
3. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos
A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)
Soluc¸a˜o: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o
seguinte vetores sa˜o coplanares
−→
AP = (x − 1, y − 1, z − 1) , −→AB = (−3, 2, 2) , −→AC = (1, 2, 0)
det
 x − 1 y − 1 z − 1−3 2 2
1 2 0
 = 0
2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0
−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0
−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10
⇒ 2x − y + 4z = 5.
Exemplo: equac¸a˜o do plano dado 3 pontos
Uma outra forma de calcular o plano que passa por 3 pontos dados.
3. Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m os pontos
A = (1, 1, 1) , B = (−2, 3, 3) , C = (2, 3, 1)
Soluc¸a˜o: Um ponto P = (x , y , z) pertence a este plano se o
seguinte vetores sa˜o coplanares
−→
AP = (x − 1, y − 1, z − 1) , −→AB = (−3, 2, 2) , −→AC = (1, 2, 0)
det
 x − 1 y − 1 z − 1−3 2 2
1 2 0
 = 0
2(y − 1)− 6(z − 1)− 2(z − 1)− 4(x − 1) = 0
−4(x − 1) + 2(y − 1)− 8(z − 1) = 0
−4x + 2y − 8z = −4 + 2− 8 = −10 ⇒ 2x − y + 4z = 5.
Exemplo: plano por duas retas concorrentes
4. Verifique se as seguintes retas sa˜o paralalelas, concorrentes ou
reversas. Se poss´ıvel determine a equac¸a˜o do plano que
conte´m as duas retas.

x = 3 + t
y = 3 + 2t
z = 4 + t

x = −1 + 2s
y = −2 + s
z = 3 − s
Exemplo: plano por duas retas paralelas
5. (a) Encontre a equac¸a˜o parame´trica da reta r que passa pelos
pontos A = (3, 5, 3) e B = (1, 1, 1).
(b) Considere s a reta (x , y , z) = (1, 2, 3) + t(1, 2, 1). Verifique se
as retas r e s sa˜o paralelas, reversas ou concorrentes.
(c) Ache, se poss´ıvel, uma equac¸a˜o geral do plano que conte´m as
retas r e s.