GAAL - Aula 14 - Lista de Exercícios I - Retas e Planos

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Estudo de pontos, retas e planos
I Nesta aula sera˜o resolvidos alguns exerc´ıcios sobre ca´lculo de
aˆngulos e distaˆncias.
I Na˜o vamos aprender fo´rmulas.
I Vamos entender o problema e construir elementos que
permitam a sua soluc¸a˜o.
I Na˜o decorem as fo´rmulas da apostila.
I Cada exemplo desta aula esta´ carregado de teoria.
PARA-CASA:
Passe a limpo todas as soluc¸o˜es, ilustrando todas as situac¸o˜es.
Estudo de pontos, retas e planos
I Nesta aula sera˜o resolvidos alguns exerc´ıcios sobre ca´lculo de
aˆngulos e distaˆncias.
I Na˜o vamos aprender fo´rmulas.
I Vamos entender o problema e construir elementos que
permitam a sua soluc¸a˜o.
I Na˜o decorem as fo´rmulas da apostila.
I Cada exemplo desta aula esta´ carregado de teoria.
PARA-CASA:
Passe a limpo todas as soluc¸o˜es, ilustrando todas as situac¸o˜es.
Posic¸o˜es relativas de dois objetos (ponto, reta, plano)
Ex 1. Ponto - Ponto
Ex 2. Ponto - Reta
Ex 3. Ponto - Plano
Reta - Reta
Ex 4. Paralelas
Ex 5. Concorrentes
Ex 6. Reversas
Reta - Plano
Ex 7. Reta fura o plano num ponto
Ex 8. Reta paralela ao plano
Ex 9. Reta contida no plano
Plano - Plano
Ex 10. Paralelos
Ex 11. Concorrentes
Posic¸o˜es relativas de dois objetos (ponto, reta, plano)
Ex 1. Ponto - Ponto
Ex 2. Ponto - Reta
Ex 3. Ponto - Plano
Reta - Reta
Ex 4. Paralelas
Ex 5. Concorrentes
Ex 6. Reversas
Reta - Plano
Ex 7. Reta fura o plano num ponto
Ex 8. Reta paralela ao plano
Ex 9. Reta contida no plano
Plano - Plano
Ex 10. Paralelos
Ex 11. Concorrentes
Posic¸o˜es relativas de dois objetos (ponto, reta, plano)
Ex 1. Ponto - Ponto
Ex 2. Ponto - Reta
Ex 3. Ponto - Plano
Reta - Reta
Ex 4. Paralelas
Ex 5. Concorrentes
Ex 6. Reversas
Reta - Plano
Ex 7. Reta fura o plano num ponto
Ex 8. Reta paralela ao plano
Ex 9. Reta contida no plano
Plano - Plano
Ex 10. Paralelos
Ex 11. Concorrentes
Posic¸o˜es relativas de dois objetos (ponto, reta, plano)
Ex 1. Ponto - Ponto
Ex 2. Ponto - Reta
Ex 3. Ponto - Plano
Reta - Reta
Ex 4. Paralelas
Ex 5. Concorrentes
Ex 6. Reversas
Reta - Plano
Ex 7. Reta fura o plano num ponto
Ex 8. Reta paralela ao plano
Ex 9. Reta contida no plano
Plano - Plano
Ex 10. Paralelos
Ex 11. Concorrentes
Posic¸o˜es relativas de dois objetos (ponto, reta, plano)
Ex 1. Ponto - Ponto
Ex 2. Ponto - Reta
Ex 3. Ponto - Plano
Reta - Reta
Ex 4. Paralelas
Ex 5. Concorrentes
Ex 6. Reversas
Reta - Plano
Ex 7. Reta fura o plano num ponto
Ex 8. Reta paralela ao plano
Ex 9. Reta contida no plano
Plano - Plano
Ex 10. Paralelos
Ex 11. Concorrentes
Exemplo 1: ponto e ponto
Considere os pontos A = (−1, 3, 2) e B = (5, 1, 4).
(a) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta
←→
AB.
(b) Calcule o ponto me´dio do segmento AB.
(c) Calcule dist(A,B).
(d) Determine o ponto sime´trico A′ de A em relac¸a˜o ao ponto B.
(e) Determine o ponto sime´trico B ′ de B em relac¸a˜o ao ponto A.
Exemplo 2: ponto e reta
Considere a reta r de equac¸a˜o parame´trica
(x , y , z) = (−7, 4, 9) + t(−2, 1, 2) e o ponto A = (7, 4, 5).
(a) O ponto A pertence a reta r?
(b) Determine a equac¸a˜o do plano que conte´m r e A.
(c) Determine a reta perpendicular a r e que passa por A.
(d) Calcule dist(A, r).
(e) Determine o ponto sime´trico de A em relac¸a˜o a reta r .
Obs: neste exemplo aprendemos a calcular a projec¸a˜o ortogonal de
um ponto em uma reta.
Exemplo 3: ponto e plano
Considere o plano α de equac¸a˜o x − 2y + 3z = 4 e o ponto
A = (2, 8,−8).
(a) O ponto A pertece ao plano α?
(b) Determine a equac¸a˜o parame´trica da reta que passa por A e e´
perpendicular ao plano α.
(c) Calcule dist(A, α).
(d) Determine o ponto sime´trico de A em relac¸a˜o ao plano α.
Obs: neste exemplo aprendemos a calcular a projec¸a˜o ortogonal de
um ponto em um plano.
Exemplo 4: duas retas paralelas
Considere as retas paralelas
r : (x , y , z) = (−6, 3,−2) + t(3,−1, 2)
s : (x , y , z) = (−3, 30,−14) + s(3,−1, 2)
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α que conte´m r e s.
(b) Deˆ um exemplo de uma reta perpendicular a r e a s.
(c) Calcule dist(r , s).
(d) Determine uma reta contida em α e que esta´ equidistante de
r e de s.
Exemplo 5: duas retas concorrentes
Considere as retas
r : (x , y , z) = (7, 2,−2) + t(−3, 0, 1)
s : (x , y , z) = (−1, 1, 2) + s(2, 1,−2)
(a) Mostre que r e s sa˜o concorrentes calculando o ponto
P = r ∩ s.
(b) Determine a equac¸a˜o geral do plano que conte´m r e s.
(c) Calcule ang(r , s).
Exemplo 6: duas retas reversas
Considere as retas
r : (x , y , z) = (−1,−1, 4) + t(1, 1,−1)
s : (x , y , z) = (1, 3, 7) + s(−2, 0, 1)
(a) Mostre que r e s sa˜o retas reversas.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta perpendicular e concorrente com
r e com s.
(c) Calcule dist(r , s) e ang(r , s).
(d) Determine o plano α que conte´m r e e´ paralelo a s.
(e) Determine o plano β que conte´m s e e´ paralelo a r .
(f) Determine o plano γ que conte´m r e e´ perpendicular a α.
(g) Determine o plano ω que conte´m s e e´ perpendicular a β.
(h) Determine a reta γ ∩ ω.
Exemplo 7: reta furando um plano
Considere o plano α de equac¸a˜o 2x + y − z = 4 e a reta r de
equac¸a˜o (x , y , z) = (0, 3,−4) + t(1,−1, 2).
(a) Determine o ponto P = r ∩ α.
(b) Determine o plano que conte´m r e e´ perpendicular a α.
(c) Determine a reta que e´ a projec¸a˜o ortogonal de r sobre α.
(d) Calcule ang(r , α).
(e) Determine a reta contida em α e que e´ perpendicular a r .
Exemplo 8: reta paralela a um plano
Considere o plano α de equac¸a˜o x − y + z = 1 e a reta r de
equac¸a˜o (x , y , z) = (0, 3, 1) + t(2,−1,−3).
(a) Mostre que a reta r e´ paralela ao plano α.
(b) Ache o plano que conte´m r e e´ perpendicular a α.
(c) Determine a equac¸a˜o da reta que e´ a projec¸a˜o ortogonal de r
sobre α.
(d) Calcule dist(r , α).
Exemplo 9: reta contida em um plano
Considere o plano α de equac¸a˜o x + 2y − z = 3 e a reta r de
equac¸a˜o (x , y , z) = (2, 1, 1) + t(2, 1, 4).
(a) Mostre que r ⊂ α.
(b) Determine o plano que conte´m r e que e´ perpendicular a α.
(c) Deˆ um exemplo de uma reta contida em α e que e´
perpendicular a r .
Exemplo 10: planos paralelos
Considere os planos
α : 2x − y + z = 1
β : 4x − 2y + 2z = 5
(a) Mostre que α e β sa˜o planos paralelos.
(b) Determine a reta perpendicular a α e a β e que passa pela
origem.
(c) Calcule dist(α, β).
Exemplo 11: planos concorrentes
Considere os planos
α : x − y + 3z = 1
β : 2x − 3y − z = 2
(a) Mostre que α e β na˜o sa˜o paralelos.
(b) Determine a equac¸a˜o da reta α ∩ β.
(c) Calcule ang(α, β).
(d) Deˆ um exemplo de um plano perpendicular a α e a β.