Capitulo_3-Conducao_Unidimensional_em_Regime_Estacionario-Parte11

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CAPÍTULO 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM 
REGIME ESTACIONÁRIO – PARTE 1 
 
DISCIPLINA: TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA 1 
 
PROF. DR. SANTIAGO DEL RIO OLIVEIRA 
 
 
 
• UNIDIMENSIONAL: apenas uma variável é necessária para 
descrever a variação espacial da variável temperatura. 
 
• ESTACIONÁRIO: a temperatura, em cada ponto do sistema, é 
independente do tempo. 
 
• OBJETIVOS: 
1.Determinar o campo de temperaturas para geometrias de 
interesse, tais como parede plana, cilindro e esfera, sem e com 
efeitos de geração interna de calor. 
2.Determinar a taxa de transferência de calor para os casos 
acima. 
3.Tratar o problema da condução unidimensional em aletas, ou 
seja: obter a distribuição de temperaturas, a taxa de 
transferência de calor e calcular parâmetros de desempenho. 
3.1 A PAREDE PLANA 
 
 
 
1.Convecção do fluido 
quente a 1,∞T para uma 
superfície da parede a .1,sT 
 
2.Condução através da 
parede. 
 
3.Convecção da outra 
superfície da parede a 2,sT 
para o fluido frio a .2,∞T 
3.1.1 DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURAS 
 
• Equação de difusão em coordenadas cartesianas: 
 
}
876
&
4847648476 0
0
00 =
=
==
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
t
T
cq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
pρ 
 
• Para condução unidimensional em x, regime estacionário e sem 
geração interna de calor obtém-se: 
 
0=





dx
dTk
dx
d
 
 
• Com isso, o fluxo de calor é constante e independente de x. 
• Para k constante, a equação diferencial ordinária anterior pode ser 
integrada duas vezes para se obter a solução geral: 
 
⇒=





∫∫ dxdxdx
dT
dx
d 0 1Cdx
dT
= 
 
⇒= ∫∫ dxCdxdx
dT
1 ( ) 21 CxCxT += 
 
• As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela 
aplicação de condições de contorno de primeira espécie em 0=x 
e Lx = , ou seja: 
 
( ) 1,0 sTxT == e ( ) 2,sTLxT == 
• Substituindo as condições anteriores na solução geral obtém-se: 
 
L
TT
C ss 1,2,1
−
= e 1,2 sTC = 
 
• Substituindo as expressões 1C e 2C na solução geral, obtém-se a 
solução particular para a distribuição de temperaturas na parede: 
 
( ) ( ) 1,1,2, sss TL
xTTxT +−= 
 
• Fica evidente que a temperatura varia linearmente com x. 
 
• Taxa de transferência de calor por condução (lei de Fourier): 
⇒
−
−=−=−=
L
TT
kAkAC
dx
dTkAq ssx
1,2,
1 ( )2,1, ssx TTL
kAq −= 
 
• Fluxo de calor por condução: 
 
⇒=
A
qq xx
" ( )2,1," ssx TTL
kq −= 
 
• Tanto xq quanto 
"
xq são constantes, independentes de x. 
 
3.1.2 RESISTÊNCIA TÉRMICA 
 
• Para transferência de calor unidimensional sem geração interna de 
energia e com propriedades constantes, existe uma analogia entre 
difusão de calor e de carga elétrica. 
:I taxa de transferência de elétrons :xq taxa de transferência de calor 
:V∆ diferença de potencial :T∆ diferença de temperatura 
:eR resistência elétrica :tR resistência térmica 
I
VRe
∆
= (lei de Ohm) 
x
t q
TR ∆= 
 
• Resistência térmica para condução em uma parede plana: 
 
( ) ⇒=∆=−⇒−=
kA
L
q
T
q
TT
TT
L
kAq
xx
ss
ssx
2,1,
2,1, kA
LR condt =, 
 
• Resistência térmica para convecção em uma superfície: 
 
( ) ⇒=∆=−⇒−= ∞
∞ hAq
T
q
TTTThAq
convconv
S
Sconv
1
hA
R convt
1
,
= 
 
• Resistência térmica para radiação em uma superfície: 
 
( ) ⇒=∆=−⇒−=
Ahq
T
q
TTTTAhq
rradrad
vizS
vizSrrad
1
Ah
R
r
radt
1
,
= 
 
• Representações na forma de circuitos térmicos são úteis tanto 
para conceituação quanto para quantificação de problemas de 
transferência de calor. 
 
• Para a parede plana com convecção nas duas superfícies a taxa de 
transferência de calor pode ser determinada por: 
Ah
TT
kA
L
TT
Ah
TT
q ssssx
2
2,2,2,1,
1
1,1,
11
∞∞
−
=
−
=
−
= 
 
• Em termos da diferença de temperaturas global 2,1, ∞∞ −TT e da 
resistência térmica total tottR , a taxa de transferência de calor é: 
 
AhkA
L
Ah
TT
R
TT
q
tott
x
21
2,1,
,
2,1,
11
++
−
=
−
=
∞∞∞∞
 
 
• As resistências térmicas convectiva e radiante em uma superfície 
atuam em paralelo. 
 
3.1.3 A PAREDE COMPOSTA 
 
 
• A taxa de transferência de calor para esse sistema é: 
 
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
Ah
TT
R
TT
q
C
C
B
B
A
At
x
41
4,1,4,1,
11
++++
−
=
−
=
∞∞∞∞
∑
 
 
• Para cada elemento do sistema tem-se: 
 
Ah
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
TT
q s
C
C
s
B
B
A
A
ss
x
4
4,4,4,33221,
1
1,1,
11
∞∞
−
=
−
=
−
=
−
=
−
= 
 
• Em sistemas compostos, é comum a utilização de um coeficiente 
global de transferência de calor U , definido por uma expressão 
análoga à lei do resfriamento de Newton: 
TUAqx ∆= 
 
• T∆ é a diferenças de temperatura global e comparando 
∑∆= tx RTq com TUAqx ∆= obtém-se: 
 
AR
U
t∑
=
1
 
 
• Para a parede plana mostrada anteriormente tem-se: 
 
41
11
11
hk
L
k
L
k
L
h
AR
U
C
C
B
B
A
At ++++
==
∑
 
 
• De maneira geral pode-se escrever que: 
UAq
TRR ttot
1
=
∆
==∑ 
 
• Paredes compostas também podem ser caracterizadas por 
configurações série-paralelo: 
 
 
3.1.4 RESISTÊNCIA DE CONTATO 
 
• Em sistemas compostos, a queda de temperatura entre as 
interfaces dos diversos materiais pode ser considerável. 
 
• Isso é devido à resistência térmica de contato, ctR , . 
 
 
 
 
"
"
,
x
BA
ct
q
TTR −= 
• A resistência de contato existe devido aos efeitos da rugosidade 
da superfície. 
 
• Existem pontos de contato (condução) e interstícios preenchidos 
com ar (condução e/ou radiação). 
 
• A resistência de contato inclui duas resistências em paralelo. 
 
• Redução da resistência de contato: 
1. Aumento na pressão de contato. 
2. Redução da rugosidade das superfícies. 
3. Fluido interfacial com elevado k . 
4. Inclusão de metais macios (índio, chumbo, estanho, prata). 
5. Graxas térmicas a base de silício. 
 
• Resultados para "
,ctR foram obtidos experimentalmente. 
 
Resistência térmica de contato para (a) interfaces metálicas sob 
condições de vácuo e (b) interface de alumínio (rugosidade superficial 
de 10 mm, 105 N/m2) com diferentes fluidos interfaciais 
 
 
• Muitas aplicações envolvem o contato entre sólidos diferentes 
e/ou uma ampla variedade de possíveis materiais intersticiais. 
Resistência térmica em interfaces sólido/sólido representativas 
 
3.2 UMA ANÁLISE ALTERNATIVA DA CONDUÇÃO 
 
• Para condições de condução unidimensional em regime 
estacionário, sem geração de calor e sem perda de calor pelas 
superfícies laterais, a taxa de transferência de calor xq é uma 
constante, ou seja, dxxx qq += . 
 
 
• Esse resultado é conseqüência da conservação da energia e deve 
ser válido mesmo se ( )xAA = e ( )Tkk = . 
 
• Assim, a Lei de Fourier pode ser aplicada sem o conhecimento de 
xq e ( )xT . 
 
( ) ( ) ⇒−=
dx
dT
xATkqx ( ) ( )dTTkxA
dxq
T
T
x
x
x ∫∫ −=
00
 
 
• Se ( ),xAA ≠ ( )Tkk ≠ e 1TT = em 1xx = obtém-se: 
 
( ) ( )⇒−−=− 0101 TTkA
xxqx Tk
A
xqx ∆−=∆ 
3.3 SISTEMAS RADIAIS 
 
• Em sistemas cilíndricos e esféricos, podem existir gradientes de 
temperatura somente na direção radial, o que possibilita analisá-
los como unidimensionais. 
 
3.3.1 O CILINDRO 
 
• Equação de difusão em coordenadas cilíndricas: 
 
}
876
&
484764484476 00
00
2
11
=
=
==
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
t
T
cq
z
Tk
z
Tk
rr
Tkr
rr
pρφφ 
• Para condução unidimensional em r, regime estacionário e sem 
geração interna de calor obtém-se: 
 
01 =





dr
dTkr
dr
d
r
 
 
• Taxa na qual energia é conduzida em qualquer superfície interior: 
 
( )
dr
dT
rLk
dr
dTkAqr pi2−=−= 
 
• Com isso, a taxa de transferência de calor rq (não o fluxo de 
calor "rq ) é uma constante na direção radial. 
 
 
 
• Para k constante, a equação diferencial ordinária anterior pode ser 
integrada duas vezes para se obter a solução geral: 
 
⇒=





∫∫ drdrdr
dT
r
dr
d 0
r
C
dr
dT 1
= 
 
⇒= ∫∫ dr
r
Cdr
dr
dT 1 ( ) 21 ln CrCrT += 
 
• As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela 
aplicação de condições de contorno de primeira espécie em 1rr = 
e 2rr = , ou seja: 
 
( ) 1,1 sTrrT == e ( ) 2,2 sTrrT == 
 
• Substituindo as condições anteriores na solução geral obtém-se: 
 
( )21
2,1,
1 ln rr
TT
C ss
−
= e ( ) 221
2,1,
2,2 lnln
r
rr
TT
TC sss 




 −
−= 
 
• Substituindo as expressões 1C e 2C na solução geral, obtém-se a 
solução particular para a distribuição de temperaturas na parede 
cilíndrica: 
 
( ) ( ) 2,221
2,1, ln
ln s
ss T
r
r
rr
TT
rT +




−
= 
 
• A distribuição de temperatura é logarítmica, e não linear. 
 
• Taxa de transferência de calor (lei de Fourier): 
 
( ) ( ) ( )⇒
−
−=−=
21
2,1,
ln
22
rrr
TT
rLk
dr
dT
rLkq ssr pipi 
( )
( )12
2,1,
ln
2
rr
TTLk
q ssr
−
=
pi
 
 
• Resistência térmica de condução na parede cilíndrica: 
 
( )
Lk
rrR condt pi2
ln 12
,
= 
 
• Para a parede cilíndrica composta mostrada abaixo e desprezando 
as resistências de contato: 
 
( ) ( ) ( )
44
342312
11
4,1,
2
1
2
ln
2
ln
2
ln
2
1
LhrLk
rr
Lk
rr
Lk
rr
Lhr
TT
q
CBA
r
pipipipipi
++++
−
=
∞∞
 
 
• Para cada elemento do sistema tem-se: 
 
( ) ( ) ( )
44
4,4,
34
4,3
23
32
12
21,
11
1,1,
2
1
2
ln
2
ln
2
ln
2
1
Lhr
TT
Lk
rr
TT
Lk
rr
TT
Lk
rr
TT
Lhr
TT
q s
C
s
BA
ss
r
pipipipipi
∞∞
−
=
−
=
−
=
−
=
−
= 
 
• Em termos de um coeficiente global de transferência de calor: 
 
( )4,1,4,1, ∞∞∞∞ −=−= TTUAR
TT
q
tot
r 
 
• Como a área A varia, U pode ser definido de maneira arbitrária. 
 
• Em termos de LrA 11 2pi= tem-se: 
44
1
3
41
2
31
1
21
1
1
1 1lnlnln1
11
hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
h
AR
U
CBA
tot ++++
==
 
 
• Em termos de LrA 22 2pi= tem-se: 
 
44
2
3
42
2
32
1
22
11
22
2 1lnlnln1
11
hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
hr
rAR
U
CBA
tot ++++
==
 
 
• Em termos de LrA 33 2pi= tem-se: 
 
44
3
3
43
2
33
1
23
11
33
3 1lnlnln1
11
hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
hr
rAR
U
CBA
tot ++++
==
 
• Em termos de LrA 44 2pi= tem-se: 
 
43
44
2
34
1
24
11
44
4 1lnlnln1
11
hr
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
hr
rAR
U
CBA
tot ++++
==
 
 
• Deve ser notado que: 
 
( ) 144332211 −∑==== tRAUAUAUAU 
 
3.3.2 RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO PARA CILINDROS 
 
• Com o aumento da espessura do isolante em sistemas cilíndricos, 
surgem dois efeitos concorrentes: 
1.Aumento da resistência condutiva: ( )
kL
rrR icondt pi2
ln
,
= 
2.Diminuição da resistência convectiva: ( )rLhR convt pi2
1
,
= 
 
 
• Será que existe uma espessura de isolamento (raio crítico de 
isolamento) que minimize a perda de calor pela maximização da 
resistência total à transferência de calor? 
• A resistência à transferência de calor é composta pela condução 
no isolante e pela convecção externa. Tem-se que: 
 
 
( )
⇒+=
rLhkL
rrR itot pipi 2
1
2
/ln ( )
rhk
rrR itot pipi 2
1
2
/ln' += 
 
• A taxa de transferência de calor por unidade de comprimento é: 
 
( ) ( ) ⇒
+
−
=⇒
+
−
=
−
=
∞∞∞
rhk
rr
TT
L
q
rLhkL
rr
TT
R
TTq
i
i
i
i
tot
i
pipipipi 2
1
2
/ln
2
1
2
/ln '
'
tot
i
R
TTq ∞−= 
 
• Uma espessura de isolamento que maximiza 'totR ou que 
minimiza 'q pode ser obtida fazendo 0' =drdRtot . Assim: 
( ) 0
2
1
2
1
2
1
2
ln
2
ln
2
1
2
/ln
2
'
=−=


 +−=


 +=
hrkrrhk
r
k
r
dr
d
rhk
rr
dr
d
dr
dR iitot
pipipipipipipi
 
 
h
k
r = 
 
• Para verificar se hkr = é um ponto de máximo ou ponto de 
mínimo pode-se utilizar a derivada segunda, ou seja: 
 
1. Se ( ) 02'2 >
= hkrtot drRd , hkr = é ponto de mínimo. 
 
2. Se ( ) 02'2 <
= hkrtot drRd , hkr = é ponto de máximo. 
 
• Desse modo: 
hrkrdr
Rd tot
322
'2 1
2
1
pipi
+−= 
 
• Ou, em hkr = , 
( ) 02
111
22
'2
>





−=
=
kkhkdr
Rd
hkr
tot
pi
 
 
• Assim, hkr = minimiza a resistência total, e uma espessura 
ótima do isolante não existe. 
 
• Faz mais sentido pensar em um raio crítico de isolamento, 
hkrcr = , que maximiza a transferência de calor, ou seja: 
1.Abaixo de hkrcr = , 
'q aumenta com o aumento de r . 
2.Acima de hkrcr = , 
'q diminui com o aumento de r . 
• Exemplo: 055,0=k W/m.K; 5=h W/m.K; 5=ir mm 
 
mm 11 m 011,0
5
055,0
====
h
k
rcr 
 
5 10 15 20
0
1
2
3
4
5
6
7
r
cr
r (mm)
R
t
o
t
 
[
K
/
W
]
 
 
R
cond
R
conv
Rtot
 
3.3.3 A ESFERA 
 
• Equação de difusão em coordenadas esféricas: 
 
}
876
&
4444 84444 76444 8444 76 00
0
2
0
22
2
2 sensen
1
sen
11
=
=
==
∂
∂
=+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
t
T
cqTk
r
Tk
rr
Tkr
rr
pρθθθθφφθ
 
 
• Para condução unidimensional em r, regime estacionário e sem 
geração interna de calor obtém-se: 
 
01 22 =




dr
dTkr
dr
d
r
 
 
• Taxa na qual energia é conduzida em qualquer superfície interior: 
 ( )
dr
dT
rk
dr
dTkAqr
24pi−=−= 
 
• Com isso, a taxa de transferência de calor rq (não o fluxo de 
calor "rq ) é uma constante na direção radial. 
 
• Para k constante, a equação diferencial ordinária anterior pode ser 
integrada duas vezes para se obter a solução geral: 
 
⇒=





∫∫ drdrdr
dT
r
dr
d 02 21
−
= rC
dr
dT
 
 
⇒= ∫∫
− drrCdr
dr
dT 2
1 ( ) 21 C
r
C
rT +−= 
 
• As constantes de integração 1C e 2C podem ser obtidas pela 
aplicação de condições de contorno de primeira espécie em 1rr = 
e 2rr = , ou seja: 
 
( ) 1,1 sTrrT == e ( ) 2,2 sTrrT == 
 
• Substituindo as condições anteriores na solução geral obtém-se: 
 
( ) ( )




−
−
−=
21
2,1,
1 11 rr
TT
C ss e ( ) ( )




−
−
−=
21
2,1,
2
2,2 11
1
rr
TT
r
TC sss 
 
• Substituindo as expressões
1C e 2C na solução geral, obtém-se a 
solução particular para a distribuição de temperaturas na parede 
esférica: 
 
( ) ( ) ( ) 2,221
2,1, 11
11 s
ss T
rrrr
TT
rT +





−





−
−
= 
 
• A distribuição de temperatura é hiperbólica, e não linear. 
 
• Taxa de transferência de calor (lei de Fourier): 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ −−=−= −221 2,1,2 1124 rrr
TT
rLk
dr
dT
rkq ssr pipi 
( )
( ) ( )21
2,1,
11
4
rr
TTk
q ssr
−
−
=
pi
 
 
• Resistência térmica de condução na parede esférica: 
 






−=
21
,
11
4
1
rrk
R condt pi
 
 
• Para a parede esférica composta mostrada abaixo e desprezando 
as resistências de contato: 
 
4
2
44332211
2
1
4,1,
4
111
4
111
4
111
4
1
4
1
hrrrkrrkrrkhr
TT
q
CBA
r
pipipipipi
+





−+





−+





−+
−
=
∞∞
 
 
• Para cada elemento do sistema tem-se: 
 
4
2
4
4,4,
43
4,3
32
32
21
21,
1
2
1
1,1,
4
111
4
111
4
111
4
1
4
1
hr
TT
rrk
TT
rrk
TT
rrk
TT
hr
TT
q s
C
s
BA
ss
r
pipipipipi
∞∞
−
=






−
−
=






−
−
=






−
−
=
−
=
 
 
 
• Em termos de um coeficiente global de transferência de calor: 
 
( )4,1,4,1, ∞∞∞∞ −=−= TTUAR
TT
q
tot
r 
 
• Como a área A varia, U pode ser definido de maneira arbitrária. 
 
• Em termos de 211 4 rA pi= tem-se: 
 
424
2
1
43
2
1
32
2
1
21
2
1
1
1
1
11111111
11
hr
r
rrk
r
rrk
r
rrk
r
h
AR
U
CBA
tot
+





−+





−+





−+
==
 
 
• Em termos de 222 4 rA pi= tem-se: 
 
424
2
2
43
2
2
32
2
2
21
2
2
121
2
22
2
11111111
11
hr
r
rrk
r
rrk
r
rrk
r
hr
rAR
U
CBA
tot
+





−+





−+





−+
==
 
 
• Em termos de 233 4 rA pi= tem-se: 
 
424
2
3
43
2
3
32
2
3
21
2
3
121
2
33
3
11111111
11
hr
r
rrk
r
rrk
r
rrk
r
hr
rAR
U
CBA
tot
+





−+





−+





−+
==
 
 
• Em termos de 244 4 rA pi= tem-se: 
443
2
4
32
2
4
21
2
4
121
2
44
4
11111111
11
hrrk
r
rrk
r
rrk
r
hr
rAR
U
CBA
tot
+





−+





−+





−+
==
 
 
• Deve ser notado que: 
 
( ) 144332211 −∑==== tRAUAUAUAU 
 
3.3.4 RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO PARA ESFERAS 
 
• Com o aumento da espessura do isolante em sistemas esféricos, 
surgem dois efeitos concorrentes: 
1.Aumento da resistência condutiva: 





−=
rrk
R condt
11
4
1
1
, pi
 
2.Diminuição da resistência convectiva: 
hr
R convt 2, 4
1
pi
= 
 
 
• Será que existe uma espessura de isolamento (raio crítico de 
isolamento) que minimize a perda de calor pela maximização da 
resistência total à transferência de calor? 
• A resistência à transferência de calor é composta pela condução 
no isolante e pela convecção externa. Tem-se que: 
 
hrrrk
Rtot 21 4
111
4
1
pipi
+





−= 
 
• A taxa de transferência de calor é: 
 
hrrrk
TT
R
TTq i
tot
i
21 4
111
4
1
pipi
+





−
−
=
−
=
∞∞
 
 
• Uma espessura de isolamento que maximiza totR ou que 
minimiza q pode ser obtida fazendo 0=drdRtot . Assim: 
0
4
2
4
1
4
111
4
1
3221
=−=





+





−=
hrkrhrrrkdr
d
dr
dRtot
pipipipi
 
 
h
k
r
2
= 
 
• Para verificar se hkr 2= é um ponto de máximo ou ponto de 
mínimo pode-se utilizar a derivada segunda, ou seja: 
 
1. Se ( ) 0222 >= hkrtot drRd , hkr 2= é ponto de mínimo. 
 
2. Se ( ) 0222 <= hkrtot drRd , hkr 2= é ponto de máximo. 
 
• Desse modo: 
hrkrdr
Rd tot
432
2
2
3
2
1
pipi
+−= 
 
• Ou, em hkr 2= , 
( ) 02
31
22
1
3
2
2
2
>




 +−=
=
kkhkdr
Rd
hkr
tot
pi
 
 
• Assim, hkr 2= minimiza a resistência total, e uma espessura 
ótima do isolante não existe. 
 
• Faz mais sentido pensar em um raio crítico de isolamento, 
hkrcr 2= , que maximiza a transferência de calor, ou seja: 
1.Abaixo de hkrcr 2= , q aumenta com o aumento de r . 
2.Acima de hkrcr 2= , q diminui com o aumento de r . 
• Exemplo: 055,0=k W/m.K; 5=h W/m.K; 5=ir mm 
 
mm 22 m 022,0
5
055,0.22
====
h
k
rcr 
 
5 10 15 20 25 30
0
100
200
300
400
500
600
700
r
cr
r (mm)
R
t
o
t
 
[
K
/
W
]
 
 
R
cond
R
conv
Rtot
 
3.4 RESUMO DOS RESULTADOS DA CONDUÇÃO 
UNIDIMENSIONAL 
 
Soluções unidimensionais, em regime estacionário, da equação do 
calor sem geração de energia térmica.