IAL_3

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 Definições:
Posto de uma matriz
		Número de linhas não nulas de qualquer de suas formas escalonadas por linhas. 
Nulidade de uma matriz
		Diferença entre o número de colunas da matriz e o posto.
Análise das Soluções de Sistemas Lineares
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 Seja:
Soluções de Sistemas Lineares
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Sistema de uma 
única solução
Posto da matriz dos coeficientes
Posto da matriz ampliada
Nulidade da matriz dos coeficientes
2
2
2-2 = 0
Incógnitas = 2
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Sistema de uma 
única solução
Posto da matriz
dos coeficientes
Nulidade da matriz
dos coeficientes
Posto da matriz
ampliada
=
=
0
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Sistema de infinitas 
soluções
Posto da matriz dos coeficientes
Posto da matriz ampliada
Nulidade da matriz dos coeficientes
1
1
2-1 = 1
Incógnitas = 2
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Sistema de uma única solução
Posto da matriz
dos coeficientes
Nulidade da matriz
dos coeficientes
Posto da matriz
ampliada
=
=
0
Sistema de várias soluções
Posto da matriz
dos coeficientes
Nulidade da matriz
dos coeficientes
Posto da matriz
ampliada
=
=
0
Variáveis livres
Variáveis livres
=
Número de
incógnitas
=
Número de
incógnitas
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Sistema sem 
soluções
Posto da matriz dos coeficientes
Posto da matriz ampliada
1
2
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Sistema de uma única solução
Posto da matriz
dos coeficientes
Posto da matriz
ampliada
=
Sistema de várias soluções
Posto da matriz
dos coeficientes
Posto da matriz
ampliada
=
Sistema impossível
Posto da matriz
dos coeficientes
Posto da matriz
ampliada
=
Número de
incógnitas
=
Número de
incógnitas
<
=
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Sistemas lineares homogêneos
Soluções:
O sistema tem somente a solução trivial.
O sistema tem infinitas soluções além da solução trivial.
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 Exemplo: Analise a existência de um conjunto solução para o sistema homogêneo de equações lineares
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- Eliminação Gaussiana:
aL2 = L2
-2L1+L2 = L2
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Se
Sist. Possível – Solução trivial
Se
Sist. Possível – Infinitas soluções
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Exercício: Analise o conjunto solução do sistema de 
equações lineares em função do parâmetro f
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- Eliminação Gaussiana:
-2L1 + L2= L2
-L1+L3 = L3
-(f-1)L2 + L3= L3
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Se
Sist. Impossível
Se
Infinitas soluções 
(z é variável livre)
Se
Coef. de z na 3º linha não for nulo
Solução única
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Operações Matriciais
Soma: Matrizes de mesmo tipo
 
A + B = B + A		(Comutativa)
A + (B+C) = (A+B) + C	(Associativa)
0 + A = A ± 0 = A
0 – A = -A
-A+A = A-A =0
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Seja:
?
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Multiplicação por um escalar: 
a(B+C) = aB + aC
(a+b)C = aC + bC		
a(B-C) = aB - aC
a(bC) = (ab)C
a(BC) = (aB)C = B(aC)
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Multiplicação de matrizes: 
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Exemplo: 
Obs.: 	AB
		BA 
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 Propriedades
	Se for possível calcular:
A(BC) = (AB)C	(Associativa)
A(B+C) = AB + AC	(Distributiva)
(A+B) C = AC + BC	(Distributiva)
A(B-C) = AB - AC		
(A-B) C = AC - BC	
IA=AI=A
A0=0A=0
AB ≠ BA	
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Seja:
?
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 Exemplo – Considere as matrizes e
A.B = ? 
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 Potência de matriz
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 Potência de matriz
Seja D uma matriz diagonal, então:
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 Atenção para as operações matriciais!!!
Sendo,
Responda depois do exercício a seguir...
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 Encontre AB, AC, AD e BA:
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 Encontre AB, AC, AD e BA:
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 Matriz Transposta:
ou seja,
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 Exemplo:
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 Propriedades:
 Prove
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Quando:
A é simétrica
Os dois produtos são simétricos
A transposta de uma matriz triangular inferior é triangular superior e vice-versa.
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Expressões polinomiais envolvendo matrizes
e
Seja,
Então:
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Exemplo:
e
Seja,
Então:
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Decomposição de matrizes
Seja,
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Decomposição de matrizes
Seja,
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Decomposição de matrizes
Seja,
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Decomposição de matrizes
Seja,
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Decomposição de matrizes
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Forma matricial de um sistema linear
Seja:
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Forma matricial de um sistema linear
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Inversa de uma matriz
 Seja:
 Equação do 1ºgrau:
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Inversa de uma matriz
 Seja:
 Equação matricial:
Inversa
Quadrada
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Inversa de uma matriz
 Matriz invertível
Única inversa
 solução única
 Inversa de uma matriz 2x2
 Seja:
 existirá uma inversa
 não haverá inversa = singular
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Inversa de uma matriz
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Inversa de uma matriz
Prove
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 Exercício – Considere A e B matrizes não singulares de mesmo tamanho. Resolva as equações abaixo em x.
Resposta: a) x=A-1B, b) x=A-1B-1 , c) x=A-1B-1, d) x=A-1B-1A , e) x=A-1BT , f) x=BT-A 
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 Exercício – Sejam A, B e 0 matrizes 2x2. Supondo que A é invertível, encontre
 uma matriz C tal que é a inversa da matriz particionada .
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 Exercício 1 – Ache uma matriz triangular superior A tal que 
Solução: 
Considere uma matriz A 2x2 na forma
Então: 
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 Exercício 2 – Dada as matrizes e e o polinômio
 . Calcule . 
Solução: 
Então: 
Observe que o polinômio p(x,y) é um produto notável
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 Exercício 3 – Seja . Calcule
Solução: 
Observando os resultados das potências de 
Pode-se concluir por indução matemática que:
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 Exercício 4 – Considerando o plano cartesiano
apresentado ao lado, os eixos x e y estão igual-
mente espaçados em uma unidade. Determine
a localização do ponto de interseção entre as
duas retas.
Solução: 
r1
r2
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 Para encontrar o ponto em comum entre as duas retas, basta resolver o sistema de
equações lineares
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 Exercício 5 – Determine o posto e a nulidade das matrizes abaixo
	a)				b)
Resposta: a) pos(A)=2, nul(A)=0; b) pos(B)=2, nul(B)=1 
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 Exercício 8 – Considere duas matrizes A e B de mesmo tamanho tal que AB=BA. Neste caso, dizemos que as matrizes A e B comutam. Encontre todas as matrizes 
na forma que comutam com .
 
Resposta: 
 Exercício 9 – Considere as matrizes
A=[aij]4x7, definida por aij=i-j
B=[bij]7x9, definida por bij=i
C=[cij], C=AB
Determine o elemento c36 
Resposta: c36= -56 
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 Exercício 10 – Analise o conjunto solução do sistema 
em função do parâmetro k
 
Resposta: 
 Exercício 11 – Analise o conjunto solução do sistema 
em função do parâmetro m
Resposta:
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 Exercício 9 – Encontre a matriz inversa de 
Solução: 
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 Exercício 13 – Considere a matriz
 onde . Mostre que A não é singular.
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 Exercício 10 – Encontre os valores de m, para os quais a matriz
seja singular.
Solução: 
Utilizaremos as operações elementares.
Se na 2ª linha da matriz o elemento da 2ª coluna for nulo, estará 
garantido que a matriz M é singular.
Então:
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 Exercício 11 – Sejam e . Determine a matriz X, 
tal que
Solução:
Utilizaremos propriedades da aritmética matricial.
Produto :
Inversa de AB:
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