Numeros_Reais

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Números Reais, Funções e Gráficos 
 
1.1. Números Reais e Desigualdades 
 
O Sistema Numérico real consiste em um conjunto de elementos chamados de números reais e 
duas operações denominadas adição (+) e multiplicação (.). 
Se a e b Є ℜ , a + b denotará a soma de a e b e ab, o produto. 
A operação de subtração é definida pela igualdade a – b = a + (– b), onde – b denota o negativo 
de b, tal que b + (– b) = 0. 
A operação de divisão é definida pela igualdade 1.1. −==÷ ba
b
aba , para b ≠ 0, onde b– 1 denota o 
recíproco de b, tal que b. b– 1 = 1. 
Um número real é positivo, negativo ou zero e qualquer número real pode ser classificado como 
racional ou irracional. 
� Número Racional: 






∈∈= ∗ZqeZp
q
pQ | 
Os números racionais consistem em: 
� Inteiros (positivos, negativos e zero): ..., – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, ... 
� Frações (negativas e positivas): 
6
83
7
3
9
11
− 
� Decimais Exatos (negativos e positivos): 
100
31717,3 
000.10
7150715,0 =−=− 
� Decimais não exatos (negativos e positivos) apresentando repetição periódica: 
33
25
...757575,0 
111
61
...549549549,0 =−=− 
 
� Número Irracional ( )I : são números decimais não exatos e não periódicos. 
...141592654,3...7099755947,15...7320508,13 3 === pi 
 
Conjuntos numéricos: R 
• Subconjuntos deℜ : IeQZN ,, . 
 ReIQZN ∈∉∈∈∈ 88,8,8,8 
ReIQZN ∈−∉−∈−∈−∉− 22,2,2,2 
 ReIQZN ∈∉∈∉∉ 8,18,1,8,1,8,1,8,1 
 ReIQZN ∈∈∉∉∉ pipipipipi ,,, 
 
Dois conjuntos A e B serão iguais (A = B), se A e B, tiverem elementos idênticos. 
 
Conjunto União (U ): }|{ BxouAxxBA ∈∈=U 
 
Conjunto Intersecção ( ∩ ): }|{ BxeAxxBA ∈∈=∩ 
φ=∩=∪ IQRIQ 
 
Ordenação para conjuntos R : 
1.1.1. Definição: * Se a, b R∈ , 
(i) a < b se, e somente se b – a for positivo (b – a > 0); 
(ii) a > b se, e somente se a – b for positivo (a – b > 0). 
 a < b e a > b são desigualdades estritas. 
 
Q
 
I
 
Z
 N
 
1.1.2. Definição: * Se a, b R∈ , 
(i) a ≤ b se, e somente se for válida qualquer uma das duas relações: a < b ou a = b; 
(ii) a ≥ b se, e somente se for válida qualquer uma das relações: a > b ou a = b. 
 a ≤ b e a ≥ b são desigualdades não-estritas. 
 
1.1.3. Teorema: * (i) a > 0 se, e somente se a for positivo; 
 (ii) a < 0 se, e somente se a for negativo. 
Um número x está entre a e b se a < x e x < b (a < x < b). 
Outra seqüência de desigualdades: a ≤ x ≤ b, a < x ≤ b, a ≤ x < b. 
 
1.1.4. Teorema: * (i) a > 0 e b > 0 então a + b > 0; 
 (ii) a > 0 e b > 0 então a.b > 0. 
 
1.1.5. Teorema: * Propriedade Transitiva da Ordem 
Se a, b e c R∈ , e se a < b e b < c, então a < c. 
 
1.1.6. Teorema: * Suponhamos que a, b e c R∈ , 
(i) Se a < b então a + c < b + c; 
(ii) Se a < b e c > 0 então a.c < b.c; 
(iii) Se a < b e c < 0 então a.c > b.c. 
(ii) e (iii) também são válidos para a divisão, pois ÷ d (d ≠ 0) equivale 
d
1
. 
 
1.1.7. Teorema: * Se a < b e c < d então a + c < b + d; 
Se x < 8 e y < 7 então, pelo Teorema 1.1.7, que x + y < 8 + 7; isto é, x + y < 15. 
 
* Intervalos Reais: 
 
1.1.8. Definição: O valor absoluto de x, denotado por |x|, é definido por 




<−
≥
=
0
0
xsex
xsex
x . 
Ex.: a) =7 b) =−13 c) =− 96 
 
 
1.1.9. Teorema: axaax <<−⇔< onde a > 0; 
Prova: 
 
1.1.10. COROLÁRIO: axaax ≤≤−⇔≤ onde a > 0; ax ≤ 
 – a a 
 
 
 
 1.1.11. Teorema: axouaxax −<>⇔> , onde a > 0. 
 ax > ax > 
 ax −< – a a ax > 
 
1.1.12. COROLÁRIO: axouaxax −≤≥⇔≥ , onde a > 0. 
 ax ≥ ax ≥ 
 ax −≤ – a a ax ≥ 
 
 
Ex.: 1. Resolva cada uma das equações para x: 
a) 853 =−x b) 423 −=+ xx c) 474 −=−− x 
 
 
 
 
 
 
2. Determine o conjunto-solução da inequação 652 <−x e apresente na reta numérica real: 
 
 
 
 
1.1.13. Teorema: Se a, b R∈ , então baab .= . 
Prova: 
 
 
1.1.14. Teorema: Se a, b R∈ , e b ≠ 0, 
b
a
b
a
= . 
Prova: 
 
 
1.1.15. Teorema (Desigualdade Triangular): Se a, b R∈ , então baba +≤+ . 
Prova: 
 
 
1.1.16. COROLÁRIO: Se a, b R∈ , então baba +≤− . 
Prova: 
 
 
1.1.17. COROLÁRIO: Se a, b R∈ , então baba −≤− . 
 Prova: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referenciais Bibliográficos: 
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar – Conjuntos e 
Funções, Vol. 1, 3ª Ed., Atual Editora, São Paulo, 1977. 
 
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1, 3ª Ed., Editora HARBRA 
Ltda, São Paulo, 1994.