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4a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo 1 - Profa. Marisa S. Costa
1. Mostre que se f ′(x) = 0 em todos os pontos de um intervalo aberto (a, b), enta˜o f(x) = C
para qualquer x ∈ (a, b), onde C e´ uma constante. (Dica: mostre que, para quaisquer
dois pontos x1 e x2 de (a, b), tem-se f(x1) = f(x2)).
2. Determine o valor ou os valores de c que satisfazem a equac¸a˜o
f(b)− f(a)
b− a = f
′(c)
que consta da conclusa˜o do teorema do valor me´dio para
a) f(x) = x2 + 2x− 1, [0, 1];
b) f(x) = x2/3, [0, 1].
3. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
c) lim
x→+∞
e3x
x2
e) lim
x→1
1− x+ lnx
x3 − 3x+ 2
g) lim
x→0
(
1
x
− 1
senx
)
i) lim
x→+∞
(
1 +
3
x
)x
l) lim
x→0−
(1− cosx) 1x
n) lim
x→+∞
(
x sen
1
x
)
p) lim
x→+∞
x1/x
b) lim
x→0+
xx
d) lim
x→0
x
1− ex
f) lim
x→pi/2
3 cos x
2x− pi
h) lim
x→+∞
lnx√
x
j) lim
x→+∞
(x+ 1)
1
ln x
m) lim
x→+∞
[x− 3
√
x3 − x]
o) lim
x→0+
√
x lnx
q) lim
x→+0
(ex + x)1/x
4. A regra de L’Hospital na˜o ajuda a encontrar os limites a seguir. Tente, e voceˆ voltara´
sempre ao mesmo ponto. Encontre os limites de outra maneira.
a) lim
x→+∞
√
9x+ 1√
x+ 1
; b) lim
x→+(pi/2)−
secx
tg x
.
5. Mostre que
lim
x→+∞
(
1 +
r
x
)x
= er.
1
6. Um triaˆngulo retaˆngulo tem um cateto de comprimento 1, outro de comprimento y e uma
hipotenusa de comprimento r. O aˆngulo oposto a y mede θ em radianos. Determine os
limites quando θ → pi/2 de
a) r − y;
b) r2 − y2;
c) r3 − y3.
7. Prove que a equac¸a˜o x3−3x2+6 = 0 admite uma u´nica raiz real. Determine um intervalo
de amplitude 1 que contenha tal raiz.
8. Para as func¸o˜es abaixo, determine os intervalos onde f e´ crescente e decrescente, e fac¸a
um esboc¸o do gra´fico de f .
a) f(x) = x2 − 4x− 1;
c) f(x) = 2x3 − 9x2 + 2
e) f(x) =
1
4
x4 − x3 + x2;
g) f(x) = x+
1
x2
b) f(x) = x3 − x2 − x;
d) f(x) = 4 sen
1
2
x em [−2pi, 2pi];
f) f(x) =
√
x− 1√
x
h) f(x) = 2x
√
3− x.
2