MM-03

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3.1UERJ/FEN - MECAN: Métodos Matemáticos para Eng. Mecânica – Prof. Renato Rochav.1.0 - 2012
III– Sequências e Séries
Obra de Referência: Cálculo, vol 2, Howard Anton
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Exemplos de Sequências
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onde {uk } é uma sequência
s1 =u1 , s2 =u1 +u2 , s2 =u1 +u2 , sk =sk-1 +uk
{sn }= {s1 , s2 ..., sn }
s1 =u1 , s2 =u1 +u2 , s2 =u1 +u2 , sk =sk-1 +uk
{sn }= {s1 , s2 ..., sn }
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Exemplo 1: Dada a série infinita
( )1 1
1
1nn n
u
n n
∞ ∞
= =
= +∑ ∑ , encontrar os 4 primeiros termos da sequência de somas parciais { }ns
nse uma fórmula para em termos de n.
1 1
2 1 2
3 2 3
4 3 4
1 1
1 2 2
1 1 2
2 2 3 3
2 1 3
3 3 4 4
3 1 4
4 4 5 5
s u
s s u
s s u
s s u
= = =⋅
= + = + =⋅
= + = + =⋅
= + = + =⋅
Por frações parciais: ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1k
k ku
k k k k k k
+ −= = − =+ + +
Logo: 1 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ; ; ;...; ;
2 2 3 3 4 1 1n n
u u u u u
n n n n−
= − = − = − = − = −− +
Então, como 1 2 3 ...n ns u u u u= + + + + , temos:
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...
2 2 3 3 4 1 1n
s
n n n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Removendo os parênteses e combinando os termos, temos:
11
1 1n
ns
n n
= − =+ +
Portanto, o resultado numérico de uma série infinita não é obtido pela simples adição de 
seus termos e sim pelo valor de convergência (limite) da sequência formada pelas somas 
parciais dos mesmos, se este existir. Se este limite não existir, a série é divergente e 
não tem soma.
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Exemplo: 
2 2 2
2 2
1
111 1lim lim 1
1n nn
n n n
n n
∞
→∞ →∞=
++ +⇒ = =∑ (série divergente)
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Exemplo: Expressar o decimal 0,3333... como um número racional:
1
1
3 3 3 3 3 3 10,333... ... ...
10 100 1000 10000 10 10 10
n
n
n
−∞
=
⎛ ⎞= + + + + + + = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑
3 1 e 
10 10
a r= = 1r <Temos uma série geométrica com . Como , a série converge para: 
( ) 13 11 =1 10 10 3a r ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠
0na =
1
1 1 11 ...
2 3n n
∞
=
= + + +∑Série harmônica: 
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Série de potências ( ) ( ) ( ) ( )20 1 2
0
... ...n nn n
n
C x a C C x a C x a C x a
∞
=
− = + − + − + + − +∑
quando 20 1 2
0
0 ... ...n nn n
n
a C x C C x C x C x
∞
=
= ⇒ = + + + + +∑
Se x assume um valor, esta passa se torna uma série infinita de termos constantes. 
Para cada valor de x para o qual a série converge esta representa o número que é a soma 
da série.
A questão agora é saber: para que valores de x a série converge?
A série pode, portanto, definir uma função de x, ou seja, onde o domínio é o conjunto dos 
números Reais, tais que a série seja convergente.
( )
0
n
n
n
f x C x
∞
=
=∑ →
 
função cujo domínio são todos os valores de x para os quais a série 
converge.
Obs.: a derivação e a integração são aplicáveis a este tipo de função.
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Série de Taylor:
Seja f uma função definida a partir de uma série de potências:
Ou seja, f(x) é representada por uma série de potências.
Se f(x) possui derivadas de todas as ordens num dado domínio (-R,R), dizemos que é 
infinitamente diferenciável em (-R,R).
Assim, derivando-se sucessivamente f(x) para um dado valor de x, chega-se a seguinte 
constatação (ver demonstração na próxima página):
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
... ...
! 2! !
n n
n n
n
f a f a f a
f x x a f a f a x a x a x a
n n
∞
=
′′′= − = + − + − + + − +∑
...)(...)()()()()( 33
2
210
0
+−++−+−+−+=−= ∑∞
=
k
k
n
n
n axcaxcaxcaxccaxcxf
!
)()(
n
af
c
n
n =
donde:
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Série de Taylor (demonstração):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 3 1
1 2 3 4
2 2
2 3 4
3
3 4
2 3 4 ... ...
2 2 3 3 4 ... 1 ...
2 3 2 3 4 ... 2 1 ...
n
n
n
n
n
n
f x C C x a C x a C x a nC x a
f x C C x a C x a n nC x a
f x C C x a n n nC x a
−
−
−
′ = + − + − + − + + − +
′′ = + ⋅ − + ⋅ − + + − − +
′′′ = ⋅ + ⋅ ⋅ − + + − − − +
Tomando x a= , temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 3, , , ,2! 3! !
n
n
f a f a f a
C f a C f a C C C
n
′′ ′′′′= = = = =
0 1 2 3, , , e nC C C C C → coeficientes dos termos 
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Série de McLaurin:
Para o caso particular de
......)( 33
2
210
0
++++++== ∑∞
=
k
k
n
n
n xcxcxcxccxcxf
!
)0()(
n
f
c
n
n =
donde:
( )
0
0 : nn
n
a f x C x
∞
=
= =∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
0 0 0
0 0 ... ...
! 2! !
n n
n n
n
f f f
f x x f f x x x
n n
∞
=
′′′= = + + + + +∑
Ou seja, qualquer função pode ser representada por uma 
Série de Taylor associada, chamando este processo de 
desenvolvimento de uma função em Série de Taylor.
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Ex: Série de Maclaurin de ex
Sendo f(x)= ex, segue que f(n)(x)=ex para todo x.
Assim, f(n)(0)=1 para todo n e, portanto:
( ) 2 31 ... ...
2! 3! !
nx x xf x x
n
= + + + + + +
CONCLUSÃO: Uma série de potências que representa uma 
função é única, de forma que duas funções com a mesma 
série são consideradas iguais.
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cos senie iθ θ θ= +
Provar a identidade de Euler: 
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