C2

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Cap´ıtulo 2
Espac¸os Vetoriais
5a L i¸c a˜ o (27/ 03/ 2007)
2.1 Espac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 23. Um conjunto V 6= ∅, provisto de duas operac¸o˜es, uma chamada
”soma” + : V × V → V , e outra chamada ”produto por um escalar”
• : R × V → V , tais que, para quaisquer u, v, w ∈ V , e α, β ∈ R verifica as
condic¸o˜es seguintes, e´ um espac¸o vetorial real,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) Existe 0 ∈ V tal que u + 0 = 0 + u = u(chamado vetor nulo de V )
iv) D ado u ∈ V existe −u ∈ V tal que u + (−u) = 0
v) α.(u + v) = α.u + α.v
vi) α.(u + v) = α.u + α.v
vii) (α.β)u = α.(β.u)
viii) 1.u = u
O b serv ac¸a˜o 1 3. S e ao inve´s de termos como escalares, nu´meros reais, tivermos
nu´meros complexos, V sera´ um espac¸o vetorial complexo.
O b serv ac¸a˜o 1 4 . S e v ∈ V , dizemos que v e´ um vetor. O espac¸o vetorial
V = M2×2(R) os vetores sa˜o matrizes.
E x em p lo 31 . O espac¸o V = R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R} e´ um espac¸o vetorial
real com as operac¸o˜es usuais.
O vetor zero ou nulo e´ (0 , 0 , 0 ). S e u = (u1, u2, u3) ∈ R
3, vamos ter que
−u = (−u1,−u2,−u3) ∈ R
3.
E x em p lo 32. O espac¸o V = Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi ∈ R, ∀i = 1, 2, .., n} e´ um
espac¸o vetorial real com as operac¸o˜es usuais.
19
20 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS VETORIAIS
O vetor zero e´ (0 , 0 ,,,,, 0 ). S e u = (u1, u2, .., un) ∈ R
3, teremos que −u =
(−u1,−u2, ..,−un) ∈ R
n.
E x em p lo 33. O espac¸o V = Mm×n(R) e´ um espac¸o vetorial real com as
operac¸o˜es usuais. Em particular, V = M2×2(R)e´ um espac¸o vetorial real. O
vetor nulo ou zero e´ a matriz
(
0 0
0 0
)
.
E x em p lo 34 . V = Pn, o conjunto dos polinoˆmios com coeficientes reais de
grau n. O vetor nulo ou zero e´ o polinoˆmio 0.xn + 0.xn−1 + ... + 0.x + 0.
6a L i¸c a˜ o (29/ 03/ 2007)
2.2 S ub espac¸os Vetoriais
D en tro d e u m esp a c¸ o v eto ria l V , p o d em o s a ch a r su b c o n ju n to s W q u e eles p ro -
p rio s sa˜ o esp a c¸ o s v eto ria is. P o is, se so m a m o s d o is v eto res d e W , a so m a e´ o u tro
v eto r d e W . T a m b e´m , se m u ltip lic a m o s u m n u´ m ero p o r u m v eto r, o v eto r resu l-
ta n te p erten ce a W . D izem o s q u e o c o n ju n to W e´ ” fech a d o ” c o m rela c¸ a˜ o a` so m a
e a` m u ltip lic a c¸ a˜ o p o r esc a la r. E ste su b c o n ju n to W c a ra c teriz a u m su b esp a c¸ o d e
u m esp a c¸ o v eto ria l V .
Definic¸a˜o 24 . Um subconjunto W 6= ∅ de um espac¸o vetorial V , dizemos que
e´ um subespac¸o vetorial de V , se:
a) S e ∀u, v ∈ W tivermos u + v ∈ W.
b) S e ∀α ∈ R, u ∈ W tivermos α.u ∈ W.
O b serv ac¸a˜o 1 5 . Q ualquer subespac¸o W de V conte´m o vetor nulo, como con-
sequ¨eˆncia da condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
O b serv ac¸a˜o 1 6 . T odo espac¸o vetorial admite pelo menoc dois subespac¸os ve-
toriais (chamados subespac¸os triviais), o conjunto formado pelo vetor nulo ou
zero e o pro´prio espac¸o vetorial V .
E x em p lo 35 . O espac¸o V = R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e
W = {(x1, 0, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e´ um subespac¸o vetorial de V .
E x em p lo 36 . O espac¸o V = Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi ∈ R, ∀i = 1, 2, .., n},
W = {(0, x2, ..., xn); xi ∈ R, ∀i = 1, 2, .., n} e´ um subespac¸o vetorial real.
E x em p lo 37 . O espac¸o V = Mn(R) e W o conjunto das matrizes triangulares
superiores.
E x em p lo 38 . D ado o sistema linear homogeˆneo

2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
2.2. SUB ESPAC¸OS VETORIAIS 21
C onsideramos W o conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema. R esulta que W e´
um subespac¸o vetorial de M3×1(R).
E x em p lo 39 . D ado o sistema linear homogeˆneo de n inco´gnitas. W o conjunto
dos vetores soluc¸a˜o do sistema e´ um subespac¸o vetorial de Mn×1(R).
E x em p lo 4 0 . S e V = R2 e W e´ uma reta deste plano que na˜o passa pela
origem. W na˜o e´ subespac¸o de V , pois ex istem u e v em W tal que u + v /∈ W .
T ambe´m, observar que o vetor zero ou nulo na˜o pertence a W .
E x em p lo 4 1 . V = R2, W =
{
(x, x2), x ∈ R
}
NA˜ O e´ subespac¸o vetorial de V .
S e escolhemos u = (1 , 1 ) e v = (2 , 4 ), temos que u + v = (3, 5) /∈ W . L ogo, W
na˜o e´ subespac¸o vetorial de V .
E x em p lo 4 2. D ado o sistema linear na˜o homogeˆneo


2x + 4y + z = 1
x + y + 2z = 1
x + 3y − z = 0
C onsideramos W o conjunto dos vetores-soluc¸a˜o do sistema. T emos que a soma
de dois vetores-soluc¸a˜o nem sempre e´ um vetor soluc¸a˜o. P ortanto, W na˜o e´ um
subespac¸o vetorial de M3×1(R).
7a L i¸c a˜ o (03/ 04/ 2007)
T eorem a 7 (In tersec¸ a˜ o d e S u b esp a c¸ o s). D ados W1 e W2 subespac¸os de um
espac¸o vetorial V , enta˜o a intersec¸a˜o W1 ∩W2 e´ tambe´m um subespac¸o de V .
Dem onstrac¸a˜o - O b serv a m o s q u e W1∩W2 6= ∅, p o is a m b o s su b esp a c¸ o s c o n teˆm
o v eto r n u lo o u zero d e V .
S eja m x, y ∈ W1 ∩W2, tem o s q u e x, y ∈ W1 ⇒ x + y ∈ W1.
D e fo rm a sim ila r, x, y ∈ W2 ⇒ x + y ∈ W2, seg u e-se q u e x + y ∈ W1 ∩W2.
A g o ra , seja α ∈ R, u ∈ W1 ∩W2. C o m o W1 e´ su b esp a c¸ o d e V , α.u ∈ W1.
W2 ta m b e´m e´ su b esp a c¸ o d e V , lo g o α.u ∈ W2, lo g o α.u ∈ W1 ∩W2. �
E x em p lo 4 3. S e V = R3 e W1 e W2 sa˜o planos que passam pelo eixo Z , a
intersec¸a˜o W1 ∩W2 e´ o eixo Z .
E x em p lo 4 4 . S e V = Mn×n(R) e W1 = {matrizes triangulares superiores} ,
W2 = {matrizes triangulares inferiores} , enta˜o W1∩W2 = {matrizes diagonais} .
O b serv ac¸a˜o 1 7 . A reunia˜o de dois subespac¸os de V na˜o e´ um subespac¸o de V .
E x em p lo 4 5 . S e V = R3 e W1 e W2 sa˜o retas que passam pela origem, enta˜o
W1 ∪W2 e´ o ”feixe”formado pela duas retas, que na˜o e´ subespac¸o vetorial de
R
3.
22 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS VETORIAIS
T eorem a 8 (S o m a d e S u b esp a c¸ o s). S ejam W1 e W2 subespac¸os de um espac¸o
vetorial V , enta˜o a soma
W1 + W2 = {v = w1 + w2; w1 ∈ W1, w2 ∈ W2} e´ um subespac¸o de V .
Dem onstrac¸a˜o - (E x erc ı´c io )
E x em p lo 4 6 . S e V = R3 e W1 e W2 sa˜o retas que passam pela origem, enta˜o
W1 + W2 e´ o plano que conteˆm ambas retas.
E x em p lo 4 7 . S e V = R3 e W1 ⊂ R
3 e´ um plano e W2 e´ uma reta contida
neste plano, ambos passando pela origem, enta˜o W1 + W2 = W1.
E x em p lo 4 8 . S e V = M2(R), W1 =
{ [
a b
0 0
]
; a, b ∈ R
}
e W2 =
{ [
0 0
c d
]
; c, d ∈ R
}
,
enta˜o W1 + W2 = M2(R).
Definic¸a˜o 25 (S o m a D ireta ). S ejam W1 e W2 subespac¸os de um espac¸o vetorial
V tais que W1 ∩W2 = {0} e W1 + W2 = V , dizemos V e´ a soma direta de W1
e W2, e denotamos W1 ⊕W2 = V.
Definic¸a˜o 26 (C o m b in a c¸ a˜ o L in ea r). S ejam V um espac¸o vetorial real, v1, v2, .., vn
vetores de V e a1, a2, .., an nu´meros reais, enta˜o o vetor
v = a1v1 + a2v2 + .. + anvn
e´ um vetor chamado combinac¸a˜o linear de v1, v2, .., vn.
O b serv ac¸a˜o 1 8 . F ixados os vetores v1, v2, .., vn em V , o conjunto W de todos
os vetores que sa˜o combinac¸a˜o linear destes, e´ um subespac¸o vetorial de V .
Expl´ıcitamente, W = {v = a1v1 + a2v2 + .. + anvn; a1, a2, .., an ∈ R} .
Definic¸a˜o 27 (S u b esp a c¸ o G era d o ). W = {a1v1 + a2v2 + .. + anvn ; a1, a2, .., an ∈ R} .
o subespac¸o vetorial de V , e´ chamado subespac¸o gerado por v1, v2, .., vn e usamos
a notac¸a˜o W = [v1, v2, .., vn].
O b serv ac¸a˜o 1 9 . W = [v1, v2, .., vn] e´ o menor subespac¸o de V que conteˆm o
conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} , no sentido que se ex iste outro subespac¸o W
de V que contenha {v1, v2, .., vn} , enta˜o V ⊂ W .
E x em p lo 4 9 . S e V = R3, v ∈ V, v 6= 0. Enta˜o W = [v] = {α.v; α ∈ R} e´ a reta
que conte´m o vetor v.
E x em p lo 5 0 . S e v1, v2 ∈ R
3, sa`o tais que α.v1 6= v2 para todo α ∈ R, enta˜o
W = [v1, v2] sera´ o plano que passa pela origem e conte´m v1 e v2.
O bservamos que se v3 ∈ [v1, v2], enta˜o [v1, v2, v3] = [v1, v2] .
E x em p lo 5 1 . S e V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). T emos que V = [v1, v2].
P ois, se (x, y) ∈ V, sabemos que (x, y) = x(1, 0)+y(0, 1), equivale v = x.v1+y.v2.
2.2. D EPEN D EˆN CIA E IN D EPEN D EˆN CIA LIN EAR 23
E x em p lo 5 2. S e v1 =
[
1 0
0 0
]
, v2 =
[
0 1
0 0
]
. Enta˜o [v1, v2] =
{ [
a b
0 0
]
; a, b ∈ R
}
8a L i¸c a˜ o (10/ 04/ 2007)
2.2 D epen d eˆn cia e In d epen d eˆn cia L in ear
Definic¸a˜o 28 . S ejam V um espac¸o vetorial e v1, v2, .., vn ∈ V. D izemos que o
conjunto {v1, v2, .., vn} e´ linearmente independente (L I), se a equac¸a˜o
a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0⇒ a1 = a2 = ... = an = 0
No caso contra´rio, isto e´, ex ista algum ai 6= 0 dizemos que {v1, v2, .., vn} e´
linearmente dependente (L D )
T eorem a 9 . {v1, v2, .., vn} e´ L D se, e somente se um destes vetores e´ com-
binac¸a˜o linear dos outros.
Dem onstrac¸a˜o - S e {v1, v2, .., vn} e´ L D , p o r d efi n i¸c a˜ o ex iste a lg u m ai 6= 0,
en ta˜ o
vi = −
1
ai
[a1v1 + ... + ai−1vi−1 + ai+ 1vi+ 1 + .. + anvn]
L o g o ,
vi = −
a1
ai
v1 + ...−
ai−1
ai
vi−1 −
ai+ 1
ai
vi+ 1 + ..−
an
ai
vn
Isto e´, vi e´ c o m b in a c¸ a˜ o lin ea r d o s o u tro s v eto res.
R ec ı´p ro c a m en te, se
vk = b1v1 + ... + bk−1vk−1 + bk+ 1vk+ 1 + .. + bnvn
tem o s q u e
b1v1 + ... + bk−1vk−1 + (−1)vk + bk+ 1vk+ 1 + .. + bnvn = 0 co m ak = −1 6= 0
P o rta n to , {v1, v2, .., vn} e´ L D . �
E x em p lo 5 3. V = R3. S ejam v1, v2 ∈ V .{v1, v2} e´ L D s.s.s. v1 = λ v2. Neste
caso, ambos vetores esta˜o na mesma reta, que passa pela origem.
E x em p lo 5 4 . V = R3. S ejam v1, v2, v3 ∈ V .{v1, v2, v3} e´ L D s.s.s. os treˆs
vetores estiverem no mesmo plano, que conte´m a origem.
E x em p lo 5 5 . V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) ∈ V, e1, e2 sa˜o L I, pois se
a1e1 + a2e2 = 0, enta˜o
a1(1, 0) + a2(0, 1) = (0, 0) ⇔ (a1, a2) = (0, 0) ⇔ a1 = 0, a2 = 0
E x em p lo 5 6 . V = R3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) ∈ V . Enta˜o
e1, e2, e3 sa˜o L I.
24 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS VETORIAIS
2.4 B ase d e um Espac¸o Vetorial
Definic¸a˜o 29 . Um conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} de V , e´ uma base de V ,
se:
(i) {v1, v2, .., vn} e´ L I.
(ii) [v1, v2, .., vn] = V
E x em p lo 5 7 . V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) ∈ V .{e1, e2} e´ uma base de V ,
conhecida como base canoˆnica de R2.
E x em p lo 5 8 . O conjunto {(1, 1), (0, 1)} tambe´m e´ uma base de V = R2. C om
efeito, se a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0) ⇔ a = 0, b = 0.
V amos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x, y) ∈ R2, temos que
(x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1).
E x em p lo 5 9 . O conjunto {(0, 1), (0, 2)} NA˜ O e´ base de V = R2.
S e a(0, 1) + b(0, 2) = (0, a + 2b) = (0, 0) ⇔ a = −2b.
E x em p lo 6 0 . O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e´ uma base de V = R3,
chamada base canoˆnica de R3, denotada por {e1, e2, e3}. T emos que
(i) {e1, e2, e3} e´ L I.
(ii) S e (x, y, z) ∈ R3, enta˜o xe1 + ye2 + ze3.
E x em p lo 6 1 . O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} NA˜ O e´ uma base de V = R3. E´
L I, mas na˜o gera todo R3. P ois [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.
E x em p lo 6 2. O conjunto
{ [
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
e´ uma
base de V = M2×2(R).
9a L i¸c a˜ o (12/ 04/ 2007)
T eorem a 1 0 . S e v1, v2, .., vn sa˜o vetores na˜o nulos que geram um espac¸o veto-
rial V . Enta˜o, dentre estes vetores podemos obter uma base de V .
Dem onstrac¸a˜o - C A S O I: S e {v1, v2, .., vn} e´ L I, en ta˜ o este c o n ju n to e´ u m a
b a se.
C A S O II: S e {v1, v2, .., vn} e´ L D , en ta˜ o u m d estes v eto res e´ c o m b in a c¸ a˜ o d o s
o u tro s, p o r ex em p lo se vn e´ c o m b in a c¸ a˜ o lin ea r d o s o u tro s, {v1, v2, .., vn−1} a in d a
g era V . D e fo rm a sim ila r, a n a lisa m o s o s c a so s I e II p a ra {v1, v2, .., vn−1}, d ep o is
d e u m n u´ m ero fi n ito d e a n a´ lise o b tem o s u m su b c o n ju n to {v1, v2, .., vr} c o m
r ≤ n, o q u a l e´ L I e g era V , o u seja , e´ u m a b a se d e V . �
T eorem a 1 1 . S e V e´ um espac¸o vetorial gerado por v1, v2, .., vn, enta˜o qualquer
conjunto com mais de n vetores e´ L D .
2.4 . B ASE D E UM ESPAC¸O VETORIAL 25
Dem onstrac¸a˜o - C o m o [v1, v2, .., vn] = V , p elo teo rem a a n terio r, ex iste u m
su b c o n ju n to {v1, v2, .., vr} b a se d e V , c o m r ≤ n.
S eja m w1, w2, ..., wm v eto res d e V , c o m m > n. P o r d efi n i¸c a˜ o d e b a se ex istem
esc a la res aij ta is q u e
(1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
w1 = a11v1 + a12v2 + ... + a1rvr
w2 = a21v1 + a22v2 + ... + a2rvr
.................................................
.................................................
wm = am1v1 + am2v2 + ... + amrvr
C o n sid erem o s a eq u a c¸ a˜ o
(2) c1w1 + c2w2 + ... + cmwm = 0
S u b stitu in d o (1) em (2), o b tem o s
c1(a11v1 + a12v2 + ... + a1rvr) + c2(a21v1 + a22v2 + ... + a2rvr)
+... + cm(am1v1 + am2v2 + ... + amrvr) = 0
R eo rd en a n d o , tem o s q u e
(a11c1 + a21c2 + ... + am1cm)v1 + (a12c1 + a22c2 + ... + am2cm)v2
+... + (a1rc1 + a2rc2 + ... + amrcm)vr = 0
C o m o {v1, v2, .., vr} e´ L I, resu lta q u e

a11c1 + a21c2 + ... + am1cm = 0
a12c1 + a22c2 + ... + am2cm = 0
..........................................
..........................................
a1rc1 + a2rc2 + ... + amrcm = 0
T em o s u m sistem a lin ea r h o m o g eˆn eo c o m r eq u a c¸ o˜ es e m in c o´ g n ita s, c o m
r ≤ n < m, o q u a l a d m ite u m a so lu c¸ a˜ o n a˜ o triv ia l, isto e´, ex iste ci n a˜ o n u lo ,
im p lic a q u e w1, w2, ..., wm e´ L D . �
C orol´ario 2. Q ualquer base de um espac¸o vetorial V tem sempre o mesmo
nu´mero de elementos. Este nu´mero e´ chamdao de dimensa˜o de V , e´ denotado
por dim V .
Dem onstrac¸a˜o - S eja m {v1, v2, .., vn} e {w1, w2, ..., wm} b a ses d e V . C o m o
v1, v2, .., vn g era m V e w1, w2, ..., wm sa˜ o L I, p o r teo rem a a n terio r, m ≤ n.
T a m b e´m , w1, w2, ..., wm g era m V e v1, v2, .., vn sa˜ o L I, lo g o n ≤ m.
P o rta n to n = m . �
26 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS VETORIAIS
E x em p lo 6 3. V = R2, {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} sa˜o bases de V , enta˜o
dim V = 2 .
E x em p lo 6 4 . V = R3, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} e´ a base canoˆnica de V , enta˜o
dim V = 3 .
E x em p lo 6 5 . V = M2×2(R), enta˜o dim V = 4 .
O b serv ac¸a˜o 20 . Q uando V admite uma base finita, dizemos que V e´ um espac¸o
vetorial de dimensa˜o finita.
T eorem a 1 2. Q ualquer conjunto L I de vetores de um espac¸o vetorial V de
dimensa˜o finita pode ser completado e formar uma base de V .
Dem onstrac¸a˜o - S eja d im V = n e v1, v2, .., vr v eto res L I. S e [v1, v2, .., vr] = V ,
en ta˜ o {v1, v2, .., vr} e´ u m a b a se d e V .
S e ex iste vr+ 1 ∈ V ta l q u e vr+ 1 /∈ [v1, v2, .., vr], en ta˜ o {v1, v2, .., vr, vr+ 1} e´ L I
(C O N F E R IR !). S e [v1, v2, .., vr, vr+ 1] = V , en ta˜ o {v1, v2, .., vr, vr+ 1} e´ a b a se
p ro c u ra d a .
E m o u tro c a so , ex iste vr+ 2 ∈ V ta l q u e vr+ 2 /∈ [v1, v2, .., vr, vr+ 1], en ta˜ o
{v1, v2, .., vr, vr+ 1, vr+ 2} e´ L I (C O N F E R IR !). S e [v1, v2, .., vr, vr+ 1, vr+ 2] = V ,
c o n c lu ı´ a p ro v a . S e n a˜ o , p ro sseg u im o s u sa n d o o m esm o a rg u m en to . C o m o n o
m a´ x im o tem o s n v eto res L I em V , a p o´ s d e u m n u´ m ero fi n ito d e p a sso s o b tem o s
a b a se q u e c o n te´m o s v eto res d a d o s. �
C orol´ario 3. S e dim V = n, qualquer conjunto de n vetores L I forma uma base
de V .
Dem onstrac¸a˜o - S e n a˜ o fo sse b a se, p o d em o s c o m p leta r o c o n ju n to a te´ ter u m a
b a se c o m m a is d e n v eto res em
V (⇒ / ⇐). �
T eorem a 1 3. S e U e W sa˜o subespac¸os de um espac¸o vetorial de dimensa˜o
finita, enta˜o dim U ≤ dim V e dim W ≤ dim V . A le´m disso,
d im(U + W ) = d imU + d imW − d im(U ∩W )
Dem onstrac¸a˜o - (E x erc ı´c io )
T eorem a 1 4 . S e β = {v1, v2, .., vn} e´ uma base de V , enta˜o cada vetor de V
tem escrita u´nica como combinac¸a˜o linear dos v1, v2, .., vn.
Dem onstrac¸a˜o - C o m o [v1, v2, .., vn] = V , se v ∈ V, v = a1v1 + ... + anvn.
S u p o n h a m o s q u e v = b1v1 + ... + bnvn, p ro v a rem o s q u e ai = bi, ∀i = 1, 2, .., n.
T em o s q u e
0 = v − v = (a1 − b1)v1 + ... + (an − bn)vn
{v1, v2, .., vn} e´ L I, lo g o ai = bi, ∀i = 1, 2, .., n. �
2.4 . B ASE D E UM ESPAC¸O VETORIAL 27
Definic¸a˜o 30 . S e β = {v1, v2, .., vn} e´ uma base de V , e v ∈ V, v = a1v1 + ... +
anvn, dizemos que a1, a2, ..., an sa˜o as coordenadas de v com relac¸a˜o a` base β,
e denotamos
[v]β =


a1
a2
...
...
an


E x em p lo 6 6 . V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. T emos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
S e β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R
2. T emos que (4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
O b serv ac¸a˜o 21 . A ordem dos elementos da base infl ui na matriz de coorde-
nadas de um vetor com relac¸a˜o a esta base. P or exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)}
enta˜o
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
S e consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} enta˜o
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
E x em p lo 6 7 . S ejam V = {(x, y, z) ; x + y − z = 0} , W = {(x, y, z) ; x = y}.
T emos que
V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] , W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)]
R esulta que
V + W = [(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)]
S e (x, y, z) ∈ R3, escrevemos
(x, y, z) = α(1, 0, 1) + β(0, 1, 1) + γ(1, 1, 0) + δ(0, 0, 1)
R esolvendo, tem-se
α = x, β = y, γ = 0, δ = z − x− y
28 CAPI´TULO 2. ESPAC¸OS VETORIAIS
D aqui V + W = R3. Usando teorema anterior
d imR3 = d imV + d imW − d im(V ∩ W ) ⇔ 3 = 2 + 2 − d im(V ∩ W ) ⇒
d im(V ∩W ) = 1
C alculamos V ∩W , ou seja
V ∩W = {(x, y, z) ; x + y − z = 0, x = y} = {(x, y, z) ; x = y = z/2} = [(1, 1, 1/2)] .
10a L i¸c a˜ o (17/ 04/ 2007)
2.5 M ud an c¸a d e B ase
S eja m β = {v1, v2, ..., vn} e β1 = {w1, w2, ..., wn} d u a s b a ses o rd en a d a s d e u m
m esm o esp a c¸ o v eto ria l V . D a d o v ∈ V , p o d e ser esc rito
v = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn
o u ta m b e´m ,
(∗) v = y1w1 + y2w2 + ... + ynwn
T em o s a s rela c¸ o˜ es
[v]β =


x1
...
...
xn

 , [v]β1 =


y1
...
...
yn


C o m o β = {v1, v2, ..., vn} e´ b a se d e V , o s v eto res wi p o d em ser esc rito s c o m o u m a
c o m b in a c¸ a˜ o lin ea r d o s uj , isto e´,

w1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn
w2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn
................................................
................................................
wn = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn
S u b stitu in d o em (* ), tem o s q u e:
v = y1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn) + y2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn)+
... + yn(a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn)
v = (a11y1 + a12y2 + .. + a1nyn)v1 + .. + (an1y1 + an2y2 + .. + annyn)vn
M a s v = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn, e c o m o a esc rita e´ u´ n ic a , tem -se:
x1 = a11y1 + a12y2 + .. + a1nyn
...............................................
...............................................
xn = an1y1 + an2y2 + .. + annyn
2.5 . M UD AN C¸A D E B ASE 29
P o d em o s reesc rev er, n a fo rm a


x1
...
...
xn

 =


a11 ... ... a1n
..... ..... ..... ....
..... ..... ..... ....
an1 ..... .... ann

 .


y1
...
...
yn


D en o ta m o s
[I]
β1
β =


a11 ... ... a1n
..... ..... ..... ....
..... ..... ..... ....
an1 ..... .... ann


P o rta n to ,
[v]β = [I]
β1
β . [v]β1
A m a triz [I]
β1
β e´ ch a m a d a m a triz d e m u d a n c¸ a d e b a se β1 p a ra a b a se β.
E x em p lo 6 8 . S ejam β = {(2,−1), (3, 4)} , β1 = {(1, 0), (0, 1)} , bases de R
2.
D e um ca´lculo direto, temos que:
w1 = (1, 0) = (4/11)(2, 1) + (1/11)(3, 4), w2 = (−3/11)(2, 1) + (2/11)(3, 4)
P ortanto
[I]
β1
β =
[
a11 a12
a21 a22
]
=
[
4/11 −3/11
1/11 2/11
]
S e v = (5,−8), podemos achar [v]β, do modo seguinte
[(5,−8)]β = [I]
β1
β . [(5,−8)]β1 =
[
4/11 −3/11
1/11 2/11
]
.
[
5
−8
]
=
[
4
−1
]
ou seja, (5,−8) = 4(2, 1)− 1(3, 4).
O b serv ac¸a˜o 22. C om uma ana´lise similar, podemos ter: [v]β1 = [I]
β
β1
. [v]β
O b serv ac¸a˜o 23. A s matrizes [I]
β1
β e [I]
β
β1
sa˜o invers´ıveis e
(
[I]
β1
β
)
−1
= [I]
β
β1
E x em p lo 6 9 . No u´ltimo exemplo, podemos obter [I]
β1
β a partir de [I]
β
β1
. P ois
[I]
β
β1
e´ fa´cil de ser calculada
(2,−1) = 2(1, 0)− 1(0, 1)
(3, 4) = 3(1, 0) + 4(0, 1)
D aqui
[I]
β
β1
=
[
2 3
−1 4
]
Enta˜o
[I]
β1
β =
([
2 3
−1 4
])−1
=
[
4/11 −3/11
1/11 2/11
]