Matrizes

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CAPÍTULO 1 – MATRIZES 
1.1 . Definição 
 
Uma matriz é um quadro formado por números reais distribuídos em m linhas e n colunas (indica-se m x n e lê-se: m 
por n), m e n números naturais não nulos. 
 
As matrizes são representadas por letras maiúsculas (M, A, T, ...) e seus elementos ficam dispostos entre colchetes [ ] 
ou parênteses ( ) . 
 
Exemplo: 
 
3 5 1
0 4 / 5 2
M
− 
=  
 
 é uma matriz 2 x 3 
4 3
3/ 7 2
4 1
A
− 
 =  
  
 é uma matriz 3 x 2 
 
Cada elemento de uma matriz qualquer A é indicado pela notação: ija . O índice i indica a linha e o índice j a coluna às 
quais o elemento pertence. As linhas são numeradas de cima para baixo (de 1 até m) e as colunas, da esquerda para a 
direita (de 1 até n). Dessa forma, uma matriz genérica m x n é representada por: 
 
 
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
 
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
⋯
 
 
Podemos também representar uma matriz A qualquer da seguinte forma: ( )ij m x nA a= { }mi ,,3,2,1 ⋯∈ e 
{ }nj ,,3,2,1 ⋯∈ . 
 
Exercício 1: 
1) Escrever explicitamente as matrizes: 
a) ( )
2x3ij
A a= tal que ija i j= + 
b) ( )
2x2ij
B b= tal que 2 3ijb i j= − 
c) ( )
3x3ij
C c= tal que 
 se 
0 se ij
i j i j
c
i j
+ ≠
= 
=
 
d) ( )
2x4ij
D d= tal que 
0 se 
2 3 se 
1 se 
ij
i j
d i j i j
i j
〉

= + 〈
 =
 
 2
2) Escrever a matriz ( )ijA a= nos seguintes casos: 
a) A é de ordem 3x2 com 
1 se 
2 se ij
i j
a
i j
≠
= 
=
 
b) A é uma matriz quadrada de terceira ordem ( )3x3 com 
0 se 
1 se ij
i j
a
i j
〈
= 
≥
 
c) A é uma matriz em que 
0 se 
1 se ij
i j
a
i j
≠
= 
=
 { }1, 2i∈ e { }1, 2, 3j∈ 
 
3) Calcular o produto dos elementos da segunda linha da matriz ( )
4x3ij
A a= sendo 
i se 
j se ij
i j
a
i j
≥
= 
〈
 
 
4) Dada a matriz ( )
2x2ij
A a= em que ( )2 1ija i j= + − , calcular o valor da expressão: 
 11 22 12 212
3
a a a a− 
 
 
 
1.2 . Matrizes especiais 
 
Do universo de matrizes, destacam-se algumas que possuem características especiais, as quais relacionamos a seguir: 
 
a) Matriz-linha: também chamada de vetor-linha é toda matriz que tem uma única linha (1 x n). 
 
Exemplo: [ ]7190 − 
 
b) Matriz-coluna: também chamada de vetor-coluna é toda matriz que tem uma única coluna (m x 1). 
 
Exemplo:










− 3
1
5
 
 
c) Matriz-nula: é toda matriz cujos elementos são todos iguais a zero. 
 
Exemplo: 





000
000
 





00
00
 
 
 
 
 
 3
d) Matriz-quadrada de ordem n: é toda matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas (n x n). 
 
Exemplo: 












nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
⋯
⋮⋮⋮⋮
⋯
⋯
21
22221
11211
 
 
Neste tipo de matriz destacamos duas particularidades: a diagonal principal e a diagonal secundária. 
 
d.1) A diagonal principal é o conjunto dos elementos que têm os dois índices iguais, isto é: 
11 22 33{ / } { , , , , }ij nna i j a a a a= = ⋯ 
 
d.2) A diagonal secundária é o conjunto dos elementos que têm soma dos índices igual a n + 1, isto é: 
1 2, 1 3, 2 1{ / 1} { , , , , }ij n n n na i j n a a a a− −+ = + = ⋯ 
Exemplo: 
A matriz 
8 9 7
6 4 5
1 2 3
A
− 
 = − 
 − 
 é quadrada de ordem 3. Sua diagonal principal é formada pelos elementos 
{8, 4, 3} e sua diagonal secundária é formada pelos elementos{ -7, 4, -1}. 
 
e) Matriz-diagonal: é toda matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal principal são iguais a zero. 
 
Exemplo: 










−
−
300
020
004
 










000
000
000
 
 
f) Matriz-identidade de ordem n (indica-se In): é toda matriz-diagonal cujos elementos da diagonal principal são 
iguais a 1. 
 
Exemplo: 2
1 0
0 1
I
 
⇒ 
 
 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 
  ⇒ 
  
 
 
g) Matriz-triangular superior: é toda matriz-quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são 
nulos, isto é, 0 se ija i j= 〉 . 
 4
Exemplo: 
2 1 3
0 1 4
0 0 1
− 
 − 
  
 
0
a b
c
 
 
 
 
 
h) Matriz-triangular inferior: é toda matriz-quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são 
nulos, isto é, 0 se ija i j= 〈 . 
 
Exemplo: 
5 0 0
1 2 0
3 2 9
 
 − 
  
 
 
i) Matriz transposta: A transposta de uma matriz A qualquer do tipo m x n é a matriz do tipo n x m obtida 
através da troca ordenada de linha por coluna. A matriz transposta é indicada por ou tA A′ . 
 
 
Exemplo: 3x2
3 2
4 5
1 0
A
 
 =  
  
 2x3
3 4 1
2 5 0
A
 
′ =  
 
 
 
 
Propriedades da matriz transposta: 
1) ( )ttA A= 
2) ( )t t tA B A B+ = + 
3) ( )t tkA kA k= ∈ℝ 
4) ( )t t tAB B A= 
 
j) Matriz simétrica: é toda matriz quadrada onde os elementos simetricamente dispostos em relação à diagonal 
principal são iguais, ou seja, ij jia a= . 
 
Exemplo: 
6
4
9
 
 
 
  
10
10
2
2 −7
−7
 
1 5
5 3
 
 
 
 
 
Pode-se dizer que uma matriz é simétrica se, e somente se, ela é igual a sua transposta, ou seja A A′= . 
 5
1.3 . Igualdade de matrizes 
 
Duas matrizes ( )
xij m n
A a= e ( )
xij m n
B b= são iguais quando ij ija b= para todo { }1, 2, 3, ,i m∈ ⋯ e 
{ }1, 2, 3, , nj∈ ⋯ . Isto significa que para serem iguais duas matrizes devem ser do mesmo tipo e apresentar todos 
os elementos correspondentes (elementos com índices iguais) iguais. 
 
Exemplo:
1 3 1 3
7 4 7 4
− −   
=   − −   
 pois: 
11 11 12 12
21 21 22 22
a b a b
a b a b
= =
= =
 
 
1 3 1 7
7 4 3 4
−   
≠   − − −   
 pois: 
12 12
21 21
a b
a b
≠
≠
 
 
Exercício 2: 
1) Determine os valores de , , e x y z t para que as igualdades abaixo sejam verdadeiras: 
a) 
2
3 2 8
21 252 3
x y z
x y z
− −  − − 
=   
+    
 b) 
2 20 109 3
9 55 5
xx x x
x y
  − + −
=   −−    
 
c) 
2
2
1
6
9
4 2
1 0 1
2 3 3
2 3
y
x x
t z
z t
 
 
   −
  
− =   
   −   
 
 
 d) 
3 8
2 2 3 3
x x y
x z y t
+   
=   + + −   
 
 
2) Determinar os elementos da diagonal principal, em cada matriz abaixo, sabendo que estas representam uma matiz 
diagonal. 
a) 
2 5
3
x y y
x x y
− + 
 + + 
 b) 
( )
2
2
4 9
2 3 3
x x y
x y y
 − −
 
 − − − 
 
 
3) Calcular a soma dos elementos da diagonal principal da matriz ( )
4x4ij
A a= , sendo ( ) ( )1 1i jija = − + − 
 
4) Determinar os valores de , , e a b c d , de forma que a matriz dada represente uma matriz identidade. 
 
3 2
2 3 9
a b c d
a b c d
− − 
 − + − 
 
 
5) Sendo ( )
3x4
t
ijA b= com ijb i j= − , determinar a matriz A . 
 6
 
6) Se 
a b
A
c d
 
=  
 
, qual é a condição que , , e a b c d devem satisfazer para que se tenha tA A= ? 
 
 
1.4 . Operações com matrizes 
 
1.4.1 . Adição 
 
A soma de duas matrizes A e B do tipo xm n é uma matriz C , do mesmo tipo, em que cada elemento é a soma dos 
elementos correspondentes em A eB . Assim, sendo ( )
xij m n
A a= e ( )
xij m n
B b= e ( )
xij m n
C c A B= = + , 
tem-se: { } { } 1, 2, 3, , m e 1, 2, 3, , nij ij ijc a b i j= + ∀ ∈ ∈⋯ ⋯ . 
 
Exemplo: 
 
a) 
1 2 3 4 1 1 1 4 2 ( 1) 3 1 5 1 4
4 5 6 4 0 6 4 ( 4) 5 0 6 ( 6) 0 5 0
− + + − +       
+ = =       − − + − + + −       
 
b) 
7 8 0 1 7 9
9 9 2 3 11 12
     
+ =     
     
 
c) 
5 1 6
11 2 9
3 3 15
4 4
           + − =            
 
 
Propriedades: 
Sendo , e A B C matrizes quaisquer do tipo xm n e M a matriz nula, também xm n , tem-se: 
1) Associativa: ( ) ( )A B C A B C+ + = + + 
2) Comutativa: A B B A+ = + 
3) Existência de elemento neutro: /M A M A∃ + = 
4) Existência de elemento oposto: ( ) / ( )A A A M∃ − + − = 
 
Nota: Dada a matriz ( )
xij m n
A a= , chama-se Oposta de A (e indica-se A− ) a matriz tal que ( ) 0A A+ − = 
(matriz nula). 
 
 
 
 7
Exemplo: 
a) 
1 21 2
433 4 5 5
A A
− −  
= ⇒ − =    −−     
 
b) 
9 8 7 9 8 7
2 0 1 2 0 1
T T
− − −   
= ⇒ − =   
− −   
 
 
1.4.2 . Subtração 
 
Dadas duas matrizes ( )
xij m n
A a= e ( )
xij m n
B b= , chama-se diferença A B− à matriz soma de A com a oposta 
de B . 
 
Exemplo: 
 
11 9 8 1 0 0 1 1 11 9 8 1 0 0 1 1 11 9 7 0
1 4 7 1 4 7 8 1 1 4 7 1 4 7 8 1 5 3 1 2
− −         
− = + =         − − − − − − − − −         
 
 
1.4.3 . Multiplicação de uma matriz por um escalar 
 
Multiplicar uma matriz A por um escalar k (número real) é construir uma matriz B formada pelos elementos de A 
todos multiplicados por k . Ou seja, sendo ( )
xij m n
A a= e k um número real qualquer, o produto 
( )
xij m n
kA B b= = de forma que e ij ijb ka i j= ∀ ∀ . 
Exemplo: 
 
a) 
1 7 2 3 21 6
3
5 1 2 15 3 6
   
⋅ =   − − − −   
 
b) 
0 2 4 0 1 2
1 8 6 4 4 3 22
10 12 6 5 6 3
   
   ⋅ =   
   − −   
 
 
Propriedades: 
Sendo A e B matrizes quaisquer do tipo mxn e a e b números reais quaisquer, tem-se: 
1) ( ) ( )a b A a b A⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 
2) ( )a A B a A a B⋅ + = ⋅ + ⋅ 
3) ( )a b A a A b A+ ⋅ = ⋅ + ⋅ 
4) 1 A A⋅ = 
 8
1.4.4 . Multiplicação de matrizes 
 
Sejam as matrizes ( )
xij m n
A a= e ( )
xjk n p
B b= . O produto AB é a matriz ( ) xik m pC c= de forma que: 
1 1 2 2 3 3
1
n
ik i k i k i k in nk ij jk
j
c a b a b a b a b a b
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅∑⋯ 
{ } { }1, 2, 3, , m e 1, 2, 3, , pi k∀ ∈ ∀ ∈⋯ ⋯ 
 
Observação: 
 
• O produto de duas matrizes só será definido se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B . 
• A matriz C , resultado do produto AB , é uma matriz que tem o número de linhas de A e o número de colunas 
de B . 
 
Exemplo: Calcular o produto AB sendo 
2x3
1 2 3
4 5 6
A
 
=  
 
 e 
3X1
7
8
9
B
 
 =  
  
 
 
Como A é 2x3 e B é 3x1, a matriz C resultante do produto AB será do tipo 2x1 . 
11 11 12 21 13 31
21 11 22 21 23 31 2x1
7
1 2 3 1 7 2 8 3 9 50
8
4 5 6 4 7 5 8 6 9 122
9
a b a b a b
AB
a b a b a b
 
⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅       = = = =        ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅        
 
 
Propriedades: 
1) Associativa: ( ) ( )AB C A BC= 
quaisquer que sejam as matrizes ( )
xij m n
A a= , ( )
xjk n p
B b= e ( ) xkl p rC c= 
2) Distributiva à direita em relação à adição: ( )A B C AC BC+ = + 
quaisquer que sejam as matrizes ( )
xij m n
A a= , ( )
xij m n
B b= e ( )
xjk n p
C c= 
3) Distributiva à esquerda: ( )C A B CA CB+ = + 
quaisquer que sejam as matrizes ( )
xij m n
A a= , ( )
xij m n
B b= e ( ) xmki pC c= 
4) ( ) ( ) ( )kA B A kB k AB= = 
quaisquer que sejam as matrizes ( )
xij m n
A a= e ( )
xjk n p
B b= e o número k∈ℝ 
 
 9
Observação: 
 
A multiplicação de matrizes não é comutativa, isto é, para 2 matrizes quaisquer A e B , é falso que AB BA= 
necessariamente. 
 
Exemplo: 
1) Existe o produto AB mas não existe BA 
( )x x xm n n p m pA e B AB⇒∃ 
 x xn p m nB e A BA⇒ ∃ 
2) Existe AB e BA porém, são de tipos diferentes. Logo AB BA≠ 
( )x x xm n n m m mA e B AB⇒∃ 
( )x x xn m m n n nB e A BA⇒ ∃ 
3) Mesmo quando AB e BA são do mesmo tipo (quando A e B são quadradas e de mesma ordem), tem-se 
quase sempre que AB BA≠ 
Exemplo: 
1 0 4 5
2 3 26 10
4 5 14 15
6 0 6 0
A AB
B BA
   
= ⇒ =   
   
   
= =   
   
 
Quando A e B são matrizes tais que AB BA= , dizemos que A e B comutam. Para tal é necessário que as 
matrizes sejam quadradas e de mesma ordem. 
É importante observar que a implicação: 0 0 ou 0AB A B= ⇒ = = não vale para matrizes pois é possível 
encontrar duas matrizes não nulas cujo produto seja a matriz nula. 
 
Exemplo:
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
     
=     
     
 
 
Cabe também notar que o produto de uma matriz quadrada qualquer pela matriz identidade de mesma ordem atende a 
propriedade comutativa, ou seja, AI IA A= = 
 
Exemplo:
6 3 1 0 1 0 6 3 6 3
2 7 0 1 0 1 2 7 2 7
− − −         
= =         − − −         
 
 
 
 
 
 
 10
Exercício 3: 
1) Calcular os seguintes produtos: 
a) 
0 1 4 7
1 0 2 3
   
   
   
 b) [ ]
1
2 3 1 1 2
3
 
 
 
  
 c) 
1 1
1 5 2
2 3
1 4 7
3 0
− 
   
   −   − 
 
d) 
1 1
1 1 5 0 2 1
2 3 7 1 3 1
1 1
 
 −       
 
 
 e) 
1 1
1 2 3
2 2
4 5 1
3 4
− 
  
   −   
 f) 
0 1 1 1 4 7
2 2 0 0 0 1
0 3 4 1 2 0
   
   
   
      
 
 
2) Sendo: 
 
0 1 3
2 1 4
A
− 
=  
 
 
5 1
2 3
7 0
B
− 
 = − 
  
 
1 0 3
3 1 4
2 2 0
C
 
 = − − 
  
 
[ ]3 2 1D = − − 
4
2
3
E
 
 =  
  
 
Efetuar, se possível, os seguintes produtos: 
a) xA B b) xAB c) xCB d) xC B 
e) xCD f) xAC g) xED h) xEA 
 
3) Sendo: 
2 0
1 4
3 2
A
 
 = − 
 − 
 
4 1
2 3
9 6
B
 
 = − 
 − 
 
3 5
4 2
0 1
C
− 
 =  
  
, determinar: 
 
a) 3A B C− + b) 2 3A B C+ − c) ( )1 1 2
2 3
A B C− − 
 
4) Determinar x e y de modo que as matrizes abaixo comutem. 
1 2
1 0
A
 
=  
 
 e 
0 1
B
x y
 
=  
 
 
 
 
 
 
 11
1.5 . Resposta dos exercícios 
 
Exercício 1 
1) a) 
2 3 4
3 4 5
A
 
=  
 
 b) 
2 5
1 2
B
− − 
=  − 
 c) 
0 3 4
3 0 5
4 5 0
C
 
 =  
  
 d) 
1 8 11 14
0 1 13 16
D
 
=  
 
 
2) a) 
2 1
1 2
1 1
A
 
 =  
  
 b) 
1 0 0
1 1 0
1 1 1
A
 
 =  
  
 c) 
1 0 0
0 1 0
A
 
=  
 
 
3) 12 4) 
38
3
− 
 
Exercício 2 
1) a) 3, 5 e 5x y z= = = − b) 5, 34x y= = 
c) 
1 1 1
3 ou 2; ou ; 1 e 
3 3 2
x x y y t z= = − = = − = − = − d) 3 , 5, 1 e 9x y t z= = = − = − 
2) a) 11 221 e 8a a= − = − b) 11 229 e 36a a= = 
3) zero 4) 3, 2, 4 e 6a b c d= = = = 
5) 
0 1 2
1 0 1
2 1 0
3 2 1
A
 
 − =
 − −
 
− − − 
 6) e , , e b c a b c d= ∈ℝ 
 
Exercício 3 
1) a) 
2 3
4 7
 
 
 
 b) 
3 1 1 2
6 2 2 4
9 3 3 6
 
 
 
  c) 
5 14
14 13
 
 − 
 d) 
14 5
30 13
 
 
 
 
e) 
3 7 2
10 6 8
19 14 13
− 
 − 
 − 
 f) 
1 2 1
2 8 16
4 8 3
 
 
 
  
 
 
2) a) 
19 3
20 1
AB
 
=  − 
 b) 
2 6 11
6 5 6
0 7 21
BA
− 
 = − − − 
 − 
 c) não é possível realizar o produto 
 12
d) 
16 1
41 0
6 4
CB
 
 =  
 − − 
 e) [ ]5 4 17DC = − f) não é possível realizar o produto 
g) [ ]13DE = − h) 
7
22
AE
 
=  
 
 
 
3) a) 
13 2
3 15
30 19
− 
 − 
 − 
 b) 
19 2
0 3
21 13
− 
 − 
 − 
 c) 
7
3
3
3 13
2 3
9 7
2 3
 − 
 
 
 
 
 −
  
 
 
4) 
1 1
 e 
2 2
x y= = − 
 13
CAPÍTULO 2 – DETREMI7A7TES 
 
2.1 . Definição de determinante (n ≤ 3) 
 
O determinante de uma matriz quadrada M qualquer (indicado por detM ou M ) é o número obtido através de 
operações realizadas com os elementos de M , conforme apresentado a seguir: 
 
1º) M é de ordem n = 1. Então detM é o único elemento de M . 
 
[ ] 1111 det aMaM =⇒= 
 
Exemplo: 
[ ]6 det 6 6M M= ⇒ = = 
 
2º) M é de ordem n = 2. Então detM é obtido através do produto dos elementos da diagonal principal menos o 
produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
11 12 11 12
21 22 21 22
det
a a a a
M M
a a a a
   
= ⇒ =   
   -
11 22 12 21a a a a= −
+
 
 
Exemplo: 
 
 
3 1 3 1
3 2 4( 1) 10
4 2 4 2
M
− − 
= ⇒ = ⋅ − − = 
 
 
 
3º) M é de ordem n = 3, isto é, 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M , temos então: 
 
332112322311312213322113312312332211det aaaaaaaaaaaaaaaaaaM ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 
 
 
 
 
 
 
 14
Uma forma de memorizar a definição é: 
 
 Os termos precedidos pelo sinal (+) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as trajetórias 
indicadas: 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
 
Os termos precedidos pelo sinal (-) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as trajetórias indicadas: 
 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
 
Outra forma de calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 é através da utilização da Regra de Sarrus, da 
seguinte forma: 
a) Repete-se ao lado da matriz, as duas primeiras colunas; 
b) Os termos precedidos pelo sinal (+) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na 
direção da diagonal principal: 322113312312332211 ;; aaaaaaaaa ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ; 
c) Os termos precedidos pelo sinal (-) são obtidos multiplicando-se os elementos segundo as flechas situadas na 
direção da diagonal secundária: 332112322311312213 ;; aaaaaaaaa ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅− . 
Assim, temos: 
 
 
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
 
 
 
Exemplo: 
 
1 3 4 1 3 4
5 2 3 5 2 3 4 9 80 (8 12 30) 49
1 4 2 1 4 2
M
 
 = − ⇒ − = − + − − + = 
  
 
 
 
- - - 
+ + 
+ 
 15
Pela regra de Sarrus: 
 
41
25
31
241
325
431
− 
 
 
 
Exercícios 1: 
 
1) Calcular os determinantes abaixo: 
 
a) 
2/12
13 −−
 b) 
511
713
 c) 
152
201
231
−− 
 
d) 
245
312
713
−
−
 e) 
635
1312
1179
− 
 
2) Determinar x tal que: 
 
a) 0
1
232
=
+
x
xx
 b) 11
1354
22
=
−+
−
xx
xx
 
 
c) 0
11
11
11
=
−
−
x
x
x
 d) 0
113
122
1
=
+x
x
xx
 
 
Nota: Para calcularmos o determinante de matrizes de ordem 3n 〉 devemos antes introduzir duas definições: 
2.2 – Menor Complementar e Complemento Algébrico 
 
2.2.1 . Menor complementar 
 
Consideremos uma matriz A de ordem 2n ≥ e seja ija um elemento de A . Define-se menor complementar do 
elemento ija , e indica-se por ijD , como sendo o determinante da matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna 
j de A . 
-8 -(-12) -30 4 -9 80 
 16
 
Exemplo: 
Seja 










=
233
512
434
M . Calcularemos .;; 312111 DDD Temos: 
 
 










233
512
434
 então 13
23
51
11 −==D 
 
 










233
512
434
 então 6
23
43
21 −==D 
 
 










233
512
434
 então 11
51
43
31 ==D 
 
2.2.2 . Complemento algébrico 
 
Consideremos uma matriz A de ordem 2n ≥ e seja ija um elemento de A . Definimos complemento algébrico do 
elemento ija (ou cofator de ija ), e indicamos por ijC , como sendo o número ( ) ij
ji
D⋅− +1 . 
Exemplo: 
Seja 









 −
=
357
841
232
M . Calcularemos 11 12 13; ; .C C C Temos: 
 
 









 −
357
841
232
 então ( )1 111
4 8
1 28
5 3
C
+= − = − 
 
 









 −
357
841
232
 então ( )1 212
1 8
1 53
7 3
C
+= − = 
 
 
 17
 









 −
357
841
232
 então ( )1 313
1 4
1 23
7 5
C
+= − = − 
 
2.3 – Teorema Fundamental de Laplace 
 
O determinante de uma matriz M , de ordem 2n ≥ , é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha 
ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
 
Exemplo: 
1) Seja a matriz 





=
511
713
M . Vamos calcular o seu determinante empregando o teorema de Laplace. Inicialmente 
vamos escolher uma linha ou uma coluna qualquer. Utilizaremos a primeira coluna. Assim o determinante será: 
 
1 1 2 1
11 11 21 21
13 7
13 ( 1) 5 11 ( 1) 7 13 5 11 7 65 77 12
11 5
a C a C + += ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = − = − 
 
Caso utilizássemos a segunda linha, por exemplo, o determinante seria calculado da seguinte forma: 
 
2 1 2 2
21 21 22 22
13 7
11 ( 1) 7 5 ( 1) 13 11 ( 7) 5 13 77 65 12
11 5
a C a C + += ⋅ + ⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ − + ⋅ = − + = − 
 
2) Calculemos agora, utilizando o teorema de Laplace, o determinante da matriz M de ordem 3 abaixo: 
 










−−=
152
201
231
M . Para o cálculo do determinante temos que, inicialmente, escolher uma linha ou uma coluna 
da matriz. Utilizaremos a segunda coluna. Assim, temos: 
 
12 12 22 22 32 32
1 3 2
1 0 2
2 5 1
a C a C a C− − = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 
21
21
)1(5
12
21
)1(0
12
21
)1(3det 232221
−−
⋅−⋅+⋅−⋅+
−−
⋅−⋅= +++M 
905033)]2(2[)1(50)]4(1[)1(3det −=⋅−+⋅−=−−−⋅−⋅++−−−⋅−⋅=M 
 
 18
Cabe ressaltar que, qualquer outra linha ou outra coluna que fosse empregada para o cálculo do determinante obter-se-ia 
o mesmo resultado. 
 
Exercício 2: 
1) Calcular o determinante das matrizes abaixo: 
 
a) 
3 6
4 1
R
 
=  
 
 b) 
1 4 2
2 6 9
5 0 3
T
 
 = − − 
  
 c) 












−−
−
−
=
10130
4271
7526
0142
M 
 
2) Calcular o determinante da matriz A , sendo: 
a) 
6 1
4 1
A
− 
=  
 
 b) 
5 4
7 2
A
− 
=  − 
 c) 
0 10
1 5
A
 
=  − 
 d) 
1 2 3
5 9 4
0 8 7
A
 
 =  
  
 
e) 
3 4 2
1 5 1
2 3 4
A
 
 =  
  
 f) 
2 2
2 2
a b b
a
A
ab a b
− − 
=  
+ 
  
 g) 
a a b c
A a c b b
c a b c
+ 
 = + 
 + h) 
2
x
x y
y
xy
x y
 − 
 
 
+  
 
 
3) Dadas as matrizes 
2 0 1
4 2 3
5 3 1
A
 
 = − 
  
 e 
1 0 0
3 2 4
4 1 3
B
 
 = − 
  
, calcule: 
 
a) det A b) det B c) ( )det A B+ d) ( )det 2 3A B− e) ( )det AB 
f) ( )det BA g) 1det
2
A h) det 3B 
 
4) Resolva as equações: 
a) 
1 3
30 0
5 10
x x
x x
− −
+ =
+ −
 b) 
1 3
2 5 3 0
7 4 9
x
x x
x
= 
 19
c) ( ) ( )2
1 0
3 3 1 2
1 5 3
x
x x x− = + − +
− −
 d) 
1 3 3
2
1 1
10 1
2 1
x
x x
x
x
−
= − −
−
−
 
e) 
8 2
1
1
x
x
+
=
−
 f) 
8 2
5 14
2
x
x
x x
− +
= − −
−
 
g) 
4 5 1
1 0 0
0 1
x
x
−
− =
−
 h) 
1 2 3
2 9
2 3 1
2
3 1 2
x
x
x
x
−
=
+
 
 
5) Calcule os determinantes abaixo empregando o Teorema de Laplace: 
 
a) 
2 1 2 4
2 1 0 5
10 5 1 7
1 2 1 1
−
−
−
− −
 b) 
1 2 3 4
2 0 0 5
6 0 3 4
1 0 0 4−
 c) 
2 1 0 0
1 0 1 1
2 4 3 2
0 0 1 1
−
−
−
 
d) 
2 1 3 2
3 0 1 2
1 1 4 3
2 2 1 1
−
−
−
 e) 
1 3 2 4
1 1 0 0
1 0 0 0
1 4 1 3
−
 f) 
1
0 1 2 1
1 0 3 1
2 1 0 1
x y z
 
g) 
1 1 2 3 1
2 2 1 1 0
1 2 1 3 4
0 0 1 2 0
0 4 2 1 1
−
− −
− −
−
−
 
 
6) Calcule x nas equações a seguir: 
 
a) 
2 10
10
7,5 0 5 2 0
10 0 4 2
1 1 1 1
x x −
= b) 
0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1 0
1 0 1
x
x x
x
x
= 
 
c) ( ) ( )2
1 0 0 0
3 1 0
1 2
1 3 3
2 1 5 3
x
x x
x
= + − +
−
− −
 
 20
 
7) Que valores x poderá assumir para que det 0A = , sendo: 
 
a) 
3 1 2 6
1
0 1 1
2
3 0 1 2
0 4 2
A
x
− 
 
 − −
=  
 −
 
  
 b) 
1 1 3
4 5
6
x
x x
A
x x x
x x x x
 
 
 =
 
 
 
 
 
8) Encontre o polinômio na variável x que representa o determinante da matriz A , sendo: 
 
a) 
1 2
3 1
x x
A
x x
+ + 
=  − + 
 b) 
2 3
1 2
0 1
x x
A x
x x
 
 = − 
 + 
 c) 
0 0 0
1 2 1 0
4 2 2
6 3
x
A
x x
x x
 
 − =
 −
 
 
 
d) 
3
2
0 0 0
0 0 4
2 1 1
7 3 1
x
x
A
x x
x x x
 
 
 =  + −
 
 − 
 
 
9) Sendo 
3
2
0 0
1 2 1
5
x
A x x
x x
 
 
 = − −
 
− 
 
 e 
3 1
0 2 3
2
x
B x x
x x
− 
 = + 
  
: 
 
a) encontre os polinômios que representam det A e det B ; 
b) determine det A para 1x = − ; 
c) determine det B para 0x = ; 
d) determine o quociente e o resto da divisão entre det A e ( )1x − ; 
e) determine o quociente da divisão entre det B e x ; 
f) determine x tal que det 0B = ; 
g) determine x tal que det 0A = . 
 
10) Sejam os polinômios ( ) 2 1p x x= − e ( ) 4q x x= + e sejam as matrizes: 
( ) ( )
( ) ( )2
p x p x
A
q x q x
 −
=  
 
 
( ) 0
3 6
p x
B
 
=  
 
 
( )
( ) 10
p x y
C
q x y
 
=  − 
 
 21
a) determine o valor de x , sendo A B= ; 
b) encontre x e y para que as matrizes A e C sejam iguais; 
c) determine A B+ e 2A B− ; 
d) calcule o polinômio que representa det A ; 
e) calcule det B para 2x = ; 
f) determine x para que det 6B = − ; 
g) encontre o quociente da divisão entre det A e ( )q x ; 
h) encontre o quociente e o resto da divisão de ( )p x por ( )q x ; 
i) verifique se det A é divisível por det B . 
 
2.4 – Resposta dos exercícios 
 
Exercício 1 
1) a) 
1
2
 b) 12− c) 9− d) 40− e) 121 
2) a) 
1
2 ou 
2
x x= = − b) 
1
1 ou 
2
x x= − = 
c) 0 ou 1x x= = d) 
1
2
x = 
 
Exercício 2 
 
1) a) 21− b) 198− c) 765 
2) a) 10 b) 18− c) 10 d) 81 e) 29 f) 
2
4
a
 g) 4abc h) 
2
2
2
x
y− 
3) a) 24 b) 10 c) 124 d) 18− e) 240 f) 240 g) 3 h) 270 
4) a) 
5
7 ou 
2
x x= = − b) 2x = ± c) 
5
2 ou 
6
x x= = − d) 
2
5 ou 
3
x x= = − 
e) 
1
9
x = − f) 3 ou 6x x= = − g) 
1
1 ou 
4
x x= = h) 0 ou 3x x= = 
5) a) 139 b) 78 c) 25 d) 55− e) 10− f) 2 4 2 8x y z+ + − g) 219− 
6) a) 
1
2 ou 
2
x x= − = − b) 0 ou 1 ou 2x x x= = = − c) 
5
2 ou 
6
x x= = − 
7) a) 4x = − b) 0 ou 1 ou 4 ou 6x x x x= = = = 
8) a) 24 8 1x x+ + b) 3 5 3x x− − c) 3 24 2 12x x x− − d) 6 5 43x x x− + + 
9) a) 5 4det 7A x x= − e 3 2det 2 3 3B x x x= + + b) 8− c) zero 
 22
d) 4 3 27 6 6 6 6; 6x x x x+ + + + e) 22 3 3x x+ + f) 0x = g) 
1
0 ou 
7
x x= = 
10) a) 1x = − b) 1 e y 0x = = 
c) 
2 22 2 1
7 2 14
x x
A B
x x
 − − +
+ =  
+ +  
 e 
2 21 1
2
2 2 4
x x
A B
x x
 − + − +
− =  
− −  
 d) 3 23 12 3 12x x x+ − − 
e) det 18B = f) 0x = g) 23 3x − h) 4 e 15x − i) 
det
, 2
det 2
A x
Sim
B
= + 
 
2.5 – Propriedades dos determinantes 
 
I. O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta. 
Exemplo: 
2 5
det 6 35 29
7 3
A A
 
= ⇒ = − = − 
 
 
2 7
det 6 35 29
5 3
t tA A
 
= ⇒ = − = − 
 
 
 
II. Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) constituída de elementos todos nulos, o determinante é nulo. 
Exemplo: 
0 0 0
5 4 1 det 0 0 0 0 0 0 0
3 2 7
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = 
  
 
 
III. Se a matriz A tem duas linhas (ou duas colunas) iguais, o determinante é nulo. 
Exemplo: 
5 5 2
3 3 1 det 90 20 24 24 20 90 0
4 4 6
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = 
  
 
 
IV. Se na matriz A duas linhas (ou colunas) são proporcionais, o determinante é nulo. 
Exemplo: 
2 6
det 18 18 0
3 9
A A
 
= ⇒ = − = 
 
 
Observe que a segunda coluna é proporcional a primeira 
6 9
3
2 3
 = = 
 
. 
 
 23
V. Se na matriz A cada elemento de uma linha (ou coluna) é uma soma de duas parcelas, o determinante de A pode 
ser expresso sob a forma de uma soma dos determinantes de duas matrizes. 
Exemplo: 
2 3 5 2 8
20 56 36
7 4 6 7 10
A
+ 
= ⇒ = − = − + 
 
( ) ( )
2 3 2 5
8 21 12 35 13 23 36
7 4 7 6
+ = − + − = − − = − 
 
OBS: ( )det det detA B A B+ ≠ + 
Exemplo: 
1 2
2 5
A
 
=  
 
 
3 1
1 3
B
 
=  
 
 
4 3
3 8
A B
 
+ =  
 
 
det 1A = det 8B = ( )det 23 9 det detA B A B+ = ≠ = + 
 
VI. O determinante de uma matriz triangular A (superior ou inferior) é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal. 
Exemplo: 
1 3 5
0 1 3 det 2 0 0 0 0 0 2
0 0 2
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = 
  
 
6 5 4 7
0 1 3 5
det 6 1 1 2 12
0 0 1 3
0 0 0 2
A A
 
 
 = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ =
 
 
 
 
 
VII. Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz A, o determinante muda de sinal. 
Exemplo: 
1 3 5
0 0 2 det 0 0 0 0 0 8 8
0 4 12
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = − 
  
 
Vamos agora trocar a 2a. linha com a 3a., e calcular o determinante: 
1 3 5
0 4 12 det 8 0 0 0 0 0 8
0 0 2
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = 
  
 
 
 
 
 24
VIII. Quando se multiplica por um número real todo os elementos de uma linha (ou coluna) da matriz A, o 
determinante fica multiplicado por este número. 
Exemplo: 
1 3 5
0 4 12 det 8 0 0 0 0 0 8
0 0 2
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = 
  
 
Multiplicando-se a 2a. linha por 
1
4
 temos: 
1 3 5
1
0 1 3 det2 0 0 0 0 0 2 8
4
0 0 2
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = = ⋅ 
  
 
 
IX. Quando se multiplica todos os elementos da matriz A por uma constante, seu determinante ficará multiplicado 
por essa constante elevada a ordem da matriz. 
Exemplo: 
4 1
8 3 5
3 2
A
 
= ⇒ − = 
 
 
Multiplicando-se a matriz por 3 temos: 
212 3 72 27 45 3 5
9 6
A
 
= ⇒ − = = ⋅ 
 
 
 
X. Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (ou coluna) da matriz A os 
elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) previamente multiplicados por um número real diferente de zero. 
Exemplo: 
1 2 4
4 10 12 90 120 112 200 72 84 34
5 7 9
A
 
 = = + + − − − = − 
  
 
Vamos agora substituir a 2a. linha pela soma de seus elementos com os elementos correspondentes da 1a. linha 
previamente multiplicados por (-4). Assim: 
1 2 4
0 2 4 18 40 0 40 0 28 34
5 7 9
A
 
 = − = − + − − + = − 
  
 
 
XI. Se uma linha (ou coluna) da matriz A é obtida a partir de uma combinação linear das demais filas paralelas, 
então seu determinante será nulo. 
 
 
 
 25
Exemplo: 
2 3 12
1 5 13 det 180 234 0 360 54 0 0
6 0 18
A A
 
 = ⇒ = + + − − − = 
  
 
Observe que a 3a. coluna é igual a 1a. multiplicada por 3, adicionada com a 2a. multiplicada por 2. 
 
XII. O determinante do produto de duas matrizes quadradas e de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes 
de cada uma das matrizes. 
Exemplo: 
4 2
det 20 2 18
1 5
A A
 
= ⇒ = − = 
 
 
3 0
det 15 0 15
4 5
B B
− 
= ⇒ = − − = − 
 
 
( )det det 18 15 270A B⋅ = ⋅ − = − 
Calculando o produto AB e apurando o seu determinante, temos: 
4 2 3 0 4 10
1 5 4 5 17 25
AB
− −     
= =     
     
 
4 10
det 100 170 270
17 25
AB
−
= = − − = − 
 
XIII. O determinante da inversa de uma matriz A é igual ao inverso do determinante de A. 
Exemplo: 
11 4
det 22 28 6
7 2
A A
 
= ⇒ = − = − 
 
 
1 1
1 2
11 14 3 13 3 det
7 11 18 18 18 6
6 6
A A− −
 − 
= ⇒ = − = − = − 
 −
  
 
 26
CAPÍTULO 3 – I7VERSÃO DE MATRIZES 
 
3.1 . Matriz inversível 
 
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível se existe uma matriz B tal que: 
nAB BA I= = . 
Se A é inversível dizemos que A é uma matriz não-singular. As matrizes não-singulares têm determinante diferente de 
zero. 
Se A não for inversível ela é dita singular e, neste caso, seu determinante é igual a zero. 
Dada uma matriz inversível A , chama-se inversa de A à matriz 1A− (que é única) tal que 1 1 nAA A A I
− −= = . 
 
Exemplo: Se 
2 5
1 3
A
 
=  
 
, então 
3 5
1 2
A
− 
′ =  − 
 é a inversa de A , pois: 
2 5 3 5 1 0
1 3 1 2 0 1
AA
−     
′ = =     −     
 e 
3 5 2 5 1 0
1 2 1 3 0 1
A A
−     
′ = =     −     
 
 
3.2 . Propriedades das matrizes inversíveis 
 
1) Se a matriz A admite inversa,então a sua inversa é única. 
2) Se a matriz A é inversível, então 1A− é inversével e ( ) 11A A−− = . 
3) Se a matriz A é inversível, então tA é inversível e ( ) ( )1 1 ttA A− −= . 
4) Se as matrizes A e B são inversíveis , então AB é inversível e ( ) 1 1 1AB B A− − −= . 
 
Exemplo: 
Seja a matriz 
8 5
3 2
A
 
=  
 
 e sua inversa 1
2 5
3 8
A−
− 
=  − 
. 
Seja a matriz 
9 7
5 4
B
 
=  
 
.e sua inversa 1
4 7
5 9
B−
− 
=  − 
. 
8 5 9 7 97 76
3 2 5 4 37 29
AB
     
= =     
     
 ( ) 1
29 76
37 97
AB
− − =  − 
 
 
 1 1
4 7 2 5 29 76
5 9 3 8 37 97
B A− −
− − −     
= =     − − −     
 
 27
3.3 . Operações elementares 
 
São operações realizadas nas linhas de uma matriz. As operações elementares são as seguintes: 
 
I. Permutação de duas linhas ( )ijL . 
II. Multiplicação de todos os elementos de uma linha por um escalar diferente de zero ( )i iL k L= ⋅ . 
III. Substituição dos elementos de uma linha pela soma deles com os elementos correspondentes de outra linha 
previamente multiplicada por um número real diferente de zero ( )i i jL L k L= + ⋅ . 
 
Exemplo: 
 
Permutar a 2a. linha pela terceira: 23
1 3 5 1 3 5
0 0 2 0 4 12
0 4 12 0 0 2
L
   
   →   
      
 
 
Multiplicar a 2a linha por 
1
4
: 
2
1
4
1 3 5 1 3 5
0 4 12 0 1 3
0 0 2 0 0 2
L
 
 
 
   
   →   
      
 
 
Substituir os elementos da 1a linha pela soma deles com os elementos correspondentes da 2a linha multiplicados por 
3− : 
 
( )1 1 2 3
1 3 5 1 0 4
0 1 3 0 1 3
0 0 2 0 0 2
L L L= + −
−   
   →   
      
 
 
3.4 . Inversão de uma matriz por meio de operações elementares 
 
Para determinar a matriz inversa de uma dada matriz A faremos: 
1) coloca-se ao lado da matriz A a matriz I , separada por um traço vertical. 
2) Transforma-se, por meio de operações elementares, a matriz A na matriz I , aplicando-se, simultaneamente, à 
matriz I , colocada ao lado da matriz A , as mesmas operações elementares. 
 
 
 
 
 28
Exemplo: 
Determinar a matriz inversa da matriz 
2 1 3
4 2 2
2 5 3
A
 
 =  
  
 
( ) ( )1 2 2 11 42
31 11 0 02 1 3 1 0 0 2 2 2
4 2 2 0 1 0 4 2 2 0 1 0
2 5 3 0 0 1 2 5 3 0 0 1
L L L L= + −
       → →         
 
( )3 3 1 232
3 31 1 1 11 0 0 1 0 02 2 2 2 2 2
0 0 4 2 1 0 0 0 4 2 1 0
2 5 3 0 0 1 0 4 0 1 0 1
L L L L= + −
   
   
   − − → − − →
   
−   
   
 
( ) ( )2 31 14 4
13 31 1 1 0 01 0 0 1 22 2 2 2 2
1 10 4 0 1 0 1 0 1 0 04 4
0 0 4 2 1 0 0 0 4 2 1 0
L L −
  
  
 − − → →
  
− − − − 
    
 
( )1 1 2 12
5 113 3 01 0 01 1 0 8 822 2 2
1 1 1 10 1 0 0 0 1 0 04 4 4 4
0 0 1 0 0 11 1 1 10 02 4 2 4
L L L= + −
   −
  
  − −→  
  − −
      
 
( )1 1 3 32
31 1
8 8 81 0 0
1 10 1 0 04 4
0 0 1 1 1 02 4
L L L= + −
 − −
 
 −→ 
 −
  
 
Uma vez que a matriz A foi transformada na matriz I , a matriz 
31 1
8 8 8
1 104 4
1 1 02 4
 − −
 
 −
 
 −
  
 é 1A− , ou seja, a inversa 
de A . 
 
Pode-se fazer a verificação efetuando o produto de ambas as matrizes, cujo resultado deve ser I . 
 
Exercício 1: 
1) Obtenha a matriz inversa de cada uma das matrizes abaixo. 
 29
a) 
12 7
5 3
A
 
=  
 
 b) 
2 3 1
1 3 1
1 2 1
B
− − 
 = − 
 − − 
 c) 
2 1 0 2
3 1 2 2
4 1 2 3
3 1 1 2
C
− − 
 − − =
 − −
 
− − 
 
 
3.5 – Cálculo da matriz inversa através de determinantes 
 
3.5.1 . Matriz dos cofatores 
 
Seja M uma matriz quadrada de ordem n. Chamamos de matriz dos cofatores de M , e indicamos por cM , a matriz 
que se obtém de M , substituindo cada elemento de M pelo seu cofator. 
 
Exemplo: 
 
a) Se 
1 2
3 4
A
 
=  
 
 então 
4 3
2 1
cA
− 
=  − 
 pois: 
( )211 1 4 4c = − = ( )
3
12 1 3 3c = − = − 
( )321 1 2 2c = − = − ( )
4
22 1 1 1c = − = 
 
b) Se 
1 0 2
2 1 3
3 1 0
B
 
 =  
  
 então 
3 9 1
2 6 1
2 1 1
cB
− − 
 = − − 
 − 
 pois: 
( )211
1 3
1 3
1 0
c = − = − ( )312
2 3
1 9
3 0
c = − = ( )413
2 1
1 1
3 1
c = − = − 
( )3210 2
1 2
1 0
c = − = ( )422
1 2
1 6
3 0
c = − = − ( )523
1 0
1 1
3 1
c = − = − 
( )431
0 2
1 2
1 3
c = − = − ( )532
1 2
1 1
2 3
c = − = ( )633
1 0
1 1
2 1
c = − = 
 
3.5.2 . Matriz adjunta 
 
Seja M uma matriz quadrada de ordem n e cM e matriz dos cofatores de M . Chamamos de matriz adjunta de M , 
e indicamos por M , à transposta da matriz cM , isto é, ( )tcM M= . 
No exemplo anterior, temos: 
 
 30
a) 
4 3
2 1
cA
− 
=  − 
 logo, 
4 2
3 1
A
− 
=  − 
 
 
b) 
3 9 1
2 6 1
2 1 1
cB
− − 
 = − − 
 − 
 logo, 
3 2 2
9 6 1
1 1 1
B
− − 
 = − 
 − − 
 
 
Teorema: 
Se M é uma matriz quadrada de ordem n e det 0M ≠ , então a inversa de M é: 1
1
det
M M
M
− = ⋅ 
No exemplo anterior, temos: 
 
a) 
1 2
3 4
A
 
=  
 
; det 2A = − ; 
4 2
3 1
A
− 
=  − 
 
 
Logo 1
2 14 21
3 13 12 2 2
A−
− − 
= =    −−−     
 
 
b) 
1 0 2
2 1 3
3 1 0
B
 
 =  
  
; det 5B = − ; 
3 2 2
9 6 1
1 1 1
B
− − 
 = − 
 − − 
 
 
Logo 1
3 2 2
5 5 53 2 2
1 9 6 19 6 1 5 5 55
1 1 1 1 1 1
5 5 5
B−
 
− −   
   − −= − − =   
 − −    −
  
 
 
Exercício 2: 
1) Calcular, através dos cofatores, a inversa das matrizes do exercício 1. 
 
3.6 – Resposta dos exercícios 
 
1) a) 1
3 7
5 12
A−
− 
=  − 
 b) 1
1 1 0
0 1 1
1 1 3
B−
− − 
 = − − 
 − − 
 c) 1
1 1 0 2
1 2 2 0
0 1 0 1
1 0 1 2
C−
− 
 − =
 −
 
 