algebra_linear_2009_r.e.g.i.n.a.l.d.o_s.a.n.t.o.s

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INTRODUC¸ ˜AO `A ´ALGEBRA LINEAR
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/˜regi
Julho 2009
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear
Copyright c⃝ 2009 by Reginaldo de Jesus Santos (091118)
´E proibida a reproduc¸a˜o desta publicac¸a˜o, ou parte dela, por qualquer meio, sem a pre´via
autorizac¸a˜o, por escrito, do autor.
Editor, Coordenador de Revisa˜o, Supervisor de Produc¸a˜o, Capa e Ilustrac¸o˜es:
Reginaldo J. Santos
ISBN 85-7470-018-5
Ficha Catalogra´fica
Santos, Reginaldo J.
S237i Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear / Reginaldo J. Santos
- Belo Horizonte: Imprensa Universita´ria da UFMG, 2009.
1. ´Algebra Linear I. Tı´tulo
CDD: 512.5
Conteu´do
Prefa´cio viii
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii
iv Conteu´do
2 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes 77
2.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa˜o (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.1.3 Me´todo para Inversa˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜o Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.2.3 Matriz Adjunta e Inversa˜o (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Apeˆndice II: Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.3.1 Operac¸o˜es Matriciais em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.3.3 Determinante de Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3 Espac¸os ℝ푛 159
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.1.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.1.2 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.2.1 Equac¸a˜o do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.2.2 Equac¸o˜es da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Conteu´do v
3.3.1 Combinac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3.3.2 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4 Subespac¸os 245
4.1 Base e Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Apeˆndice III: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
4.2.1 Posto e Nulidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.2.2 Aplicac¸a˜o a Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
4.2.3 A Imagem de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5 Ortogonalidade 312
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.1.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
5.1.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
5.2 Subespac¸os Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.2.1 Subespac¸os Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
5.2.2 Problema de Quadrados Mı´nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
5.3.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
5.3.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
5.3.3 Aplicac¸a˜o: Computac¸a˜o Gra´fica - Projec¸a˜o Ortogra´fica . . . . . . . . . . . . . 360
6 Transformac¸o˜es Lineares (opcional) 371
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
vi Conteu´do
6.1.1 Definic¸a˜o e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
6.1.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.2 A Imagem e o Nu´cleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6.2.1 Injetividade e Sobrejetividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.3.1 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.3.2 Invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
6.3.3 Semelhanc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
7 Diagonalizac¸a˜o 422
7.1 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
7.1.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
7.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
7.1.3 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
7.1.4 Diagonalizac¸a˜o de Operadores (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.1.5 Forma Canoˆnica de Jordan (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
7.2 Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
7.2.1 Motivac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
7.2.2 Matrizes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
Apeˆndice IV: Autovalores Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
7.3 Aplicac¸a˜o na Identificac¸a˜o de Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
Respostas dos Exercı´cios 496
Bibliografia 679
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Conteu´do vii
´Indice Alfabe´tico 683
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
Prefa´cio
Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear ou de
´Algebra Linear Matricial. O texto pode, mas na˜o e´ necessa´rio, ser acompanhado um programa como
o MATLABⓇ ∗, SciLab ou o Maxima.
O conteu´do e´ dividido em sete capı´tulos. O Capı´tulo 1 trata das matrizes e sistemas lineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa˜o demonstradas. A resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´
feita usando somente o me´todo de Gauss-Jordan (transformando a matriz ate´ que ela esteja na forma
escalonada reduzida). Este me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando a
matriz, apenas, ate´ que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m e´ usado
no estudo da inversa˜o de matrizes no Capı´tulo 2. Neste Capı´tulo e´ tambe´m estudado o determinante,
que e´ definido usando cofatores. As demonstrac¸o˜es dos resultados deste capı´tulo podem ser, a
crite´rio do leitor, feitas somente para matrizes 3× 3.
O Capı´tulo 3 trata de vetores no plano, no espac¸o e no ℝ푛. Os vetores sa˜o definidos inicialmente
∗MATLABⓇ e´ marca registrada de The Mathworks, Inc.
viii
Conteu´do ix
de forma geome´trica, assim como a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar. Sa˜o provadas algumas
propriedades geometricamente. Depois sa˜o introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural
sem a necessidade da definic¸a˜o de base. O produto escalar e´ definido tambe´m geometricamente. Sa˜o
estudados tambe´m retas e planos no espac¸o. Depois, o conceito de vetor e´ generalizado para o ℝ푛.
O conceito de dependeˆncia e independeˆncia linear e´ introduzido de forma alge´brica, acompanhado
da interpretac¸a˜o geome´trica para os casos de ℝ2 e ℝ3.
No Capı´tulo 4 sa˜o tratados os conceitos de subespac¸os e de base de subespac¸os. Sa˜o estudados
os espac¸os linha e coluna de uma matriz e o seu posto. Ao final do capı´tulo os Espac¸os Vetoriais
Abstratos sa˜o definidos. No Capı´tulo 5 sa˜o abordados o produto escalar e bases ortonormais. Ale´m
de subespac¸os ortogonais e quadrados mı´nimos.
Transformac¸o˜es Lineares deℝ푛 emℝ푚 sa˜o estudadas no Capı´tulo 6. O Capı´tulo 7 traz um estudo
da diagonalizac¸a˜o de matrizes em geral e a diagonalizac¸a˜o de matrizes sime´tricas atrave´s de uma
matriz ortogonal. ´E feita uma aplicac¸a˜o ao estudo das sec¸o˜es coˆnicas.
Os exercı´cios esta˜o agrupados em treˆs classes. Os “Exercı´cios Nume´ricos”, que conte´m
exercı´cios que sa˜o resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com-
putador ou de uma ma´quina de calcular. Os “Exercı´cios Teo´ricos”, que conte´m exercı´cios que reque-
rem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o simples, outros sa˜o mais complexos. Os mais difı´ceis complemen-
tam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados de sugesto˜es. Os “Exercı´cios usando o MATLABⓇ”,
que conte´m exercı´cios para serem resolvidos usando o MATLABⓇ ou outro software. Os comandos
necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exercı´cios sa˜o tambe´m fornecidos juntamente com uma explicac¸a˜o
ra´pida do uso. Os exercı´cios nume´ricos sa˜o imprescindı´veis, enquanto a resoluc¸a˜o dos outros, de-
pende do nı´vel e dos objetivos pretendidos para o curso.
O MATLABⓇ e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLABⓇ = MATrix LABo-
ratory). Os comandos do MATLABⓇ sa˜o muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alge´bricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s rotinas pre´-definidas, pa-
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
x Prefa´cio
cotes para ca´lculos especı´ficos. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que sa˜o direcionadas para
o estudo de Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear pode ser obtido na web na pa´gina do autor, as-
sim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MATLABⓇ e instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal.
O MATLABⓇ na˜o e´ um software gratuito, embora antes a versa˜o estudante vinha gra´tis ao se com-
prar o guia do usua´rio. Atualmente o SciLab e´ uma alternativa gratuita, mas que na˜o faz ca´lculo
simbo´lico. O Maxima e´ um programa de computac¸a˜o alge´brica gratuito. Ambos podem ser usados
como ferramenta auxiliar na aprendizagem de ´Algebra Linear. Na pa´gina do autor na web podem ser
encontrados pacotes de func¸o˜es para estes programas ale´m de links para as pa´ginas do SciLab e do
Maxima e va´rias pa´ginas interativas que podem auxiliar na aprendizagem.
No fim de cada capı´tulo temos um “Teste do Capı´tulo”, onde o aluno pode avaliar os seus conheci-
mentos. Os Exercı´cios Nume´ricos e os Exercı´cios usando o MATLABⓇ esta˜o resolvidos apo´s o u´ltimo
capı´tulo utilizando o MATLABⓇ. Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o software
pode obter apenas as respostas dos exercı´cios, enquanto aquele que tiver algum interesse, pode ficar
sabendo como os exercı´cios poderiam ser resolvidos fazendo uso do MATLABⓇ e do pacote gaal.
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, crı´ticas e su-
gesto˜es, entre eles Helder C. Rodrigues e Francisco Satuf, Joana Darc A. S. da Cruz e Lucia Brasil.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio xi
Sugesta˜o de Cronograma para 60 Horas
Capı´tulo 1 Sec¸o˜es 1.1 e 1.2 8 aulas
Capı´tulo 2 Sec¸o˜es 2.1 e 2.2 8 aulas
Capı´tulo 3 Sec¸o˜es 3.1 a 3.3 12 aulas
Capı´tulo 4 Sec¸o˜es 4.1 e 4.2 8 aulas
Capı´tulo 5 Sec¸o˜es 5.1 a 5.3 12 aulas
Capı´tulo 7 Sec¸o˜es 7.1 a 7.3 12 aulas
Total 60 aulas
Sugesta˜o de Cronograma para 90 Horas
Capı´tulo 1 Sec¸o˜es 1.1 e 1.2 10 aulas
Capı´tulo 2 Sec¸o˜es 2.1 e 2.3 12 aulas
Capı´tulo 3 Sec¸o˜es 3.1 a 3.3 12 aulas
Capı´tulo 4 Sec¸o˜es 4.1 a 4.3 12 aulas
Capı´tulo 5 Sec¸o˜es 5.1 a 5.3 12 aulas
Capı´tulo 6 Sec¸o˜es 6.1 a 6.3 15 aulas
Capı´tulo 7 Sec¸o˜es 7.1 a 7.3 12 aulas
Total 85 aulas
Histo´rico
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
xii Prefa´cio
Julho 2009 Algumas correc¸o˜es. Va´rias figuras foram refeitas.
Marc¸o 2008 Foi acrescentada a subsec¸a˜o opcional ’Forma Canoˆnica de Jordan’. Foram corrigidos
alguns erros.
Julho 2007 Foi acrescentado o Exemplo 2.16 na sec¸a˜o de Determinantes. Foram acrescentados
um exercı´cio na sec¸a˜o de Determinantes, um na de Produto Escalar em ℝ푛, quatro na de
Diagonalizac¸a˜o e um na de Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas. Foram corrigidos alguns
erros.
Marc¸o 2007 A Sec¸a˜o 1.1 de Matrizes e a Sec¸a˜o 2.2 de Determinantes foram reescritas. Na sec¸a˜o 1.2
o Teorema 1.4 voltou a ser que toda matriz e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz na forma
escalonada reduzida. As sec¸o˜es 4.1, 5.1 e 5.3 foram reescritas e acrescentada uma aplicac¸a˜o
a` computac¸a˜o gra´fica. Foi acrescentada a sub-sec¸a˜o opcional ’Diagonalizac¸a˜o de Operadores’
a` sec¸a˜o 7.1. Foram acrescentados dois exercı´cios na sec¸a˜o de Matrizes, um na de Inversa˜o de
Matrizes, um na de Base e Dimensa˜o, treˆs na de Mudanc¸a de Coordenadas. Foram corrigidos
alguns erros.
Maio 2004 Foram acrescentadas aplicac¸o˜es a` criptografia (Exemplo na pa´gina 98) e a cadeias de
Markov (Exemplos 1.9 na pa´gina 16, 1.16 na pa´gina 55 e 7.8 na pa´gina 441). Foi acrescentado
um exercı´cio na sec¸a˜o 1.1. Foi incluı´da a demonstrac¸a˜o de que toda matriz e´ equivalente por
linhas a uma u´nica matriz escalonada reduzida. Este resultado era o Teorema 1.4 na pa´gina 26
que passou para o Apeˆndice III da sec¸a˜o 5.2. O Teorema 1.4 agora conte´m as propriedades da
relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” com a demonstrac¸a˜o. O que antes era Exemplo 1.14 passou
para o lugar do Exemplo 1.10. O Exemplo 2.5 foi modificado. A sec¸a˜o ’Base e Dimensa˜o’ foi
reescrita. Foi acrescentada a Proposic¸a˜o 4.9 na pa´gina 273 que e´ u´til na obtenc¸a˜o de uma base
para um subespac¸o. O Teorema 4.3 do Apeˆndice III passou para o texto obrigato´rio da sec¸a˜o
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Prefa´cio
xiii
4.3 e e´ agora o Teorema 4.2 na pa´gina 256. Foram acrescentados alguns exemplos e alguns
exercı´cios a` sec¸a˜o 4.3. Os exemplos 7.4 na pa´gina 431 e 7.5 na pa´gina 438 foram modificados.
A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes’ ganhou mais um exercı´cio teo´rico.
Julho 2003 Va´rias correc¸o˜es incluindo respostas de exercı´cios. A sec¸a˜o ’Base e Dimensa˜o’ foi re-
escrita. Foi acrescentada uma sec¸a˜o de Espac¸os Vetoriais Abstratos no Capı´tulo 4. A sec¸a˜o
’Diagonalizac¸a˜o de Matrizes’ ganhou mais dois exercı´cios teo´ricos. A sec¸a˜o ’Diagonalizac¸a˜o de
Matrizes Sime´tricas’ ganhou um apeˆndice sobre ’Autovalores Complexos’.
Julho 2002 Criado a partir do texto ’Geometria Analı´tica e ´Algebra Linear’ para ser usado numa
disciplina de Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear ou ´Algebra Matricial.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
xiv Prefa´cio
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 1
Matrizes e Sistemas Lineares
1.1 Matrizes
Uma matriz 퐴, 푚×푛 (푚 por 푛), e´ uma tabela de 푚푛 nu´meros dispostos em 푚 linhas e 푛 colunas
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
A 푖-e´sima linha de 퐴 e´ [
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛
]
,
1
2 Matrizes e Sistemas Lineares
para 푖 = 1, . . . ,푚 e a 푗-e´sima coluna de 퐴 e´⎡
⎢⎢⎢⎣
푎1푗
푎2푗
.
.
.
푎푚푗
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
para 푗 = 1, . . . , 푛. Usamos tambe´m a notac¸a˜o 퐴 = (푎푖푗)푚×푛. Dizemos que 푎푖푗 ou [퐴]푖푗 e´ o elemento
ou a entrada de posic¸a˜o 푖, 푗 da matriz 퐴.
Se 푚 = 푛, dizemos que 퐴 e´ uma matriz quadrada de ordem 푛 e os elementos 푎11, 푎22, . . . , 푎푛푛
formam a diagonal (principal) de 퐴.
Exemplo 1.1. Considere as seguintes matrizes:
퐴 =
[
1 2
3 4
]
, 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
, 퐶 =
[
1 3 0
2 4 −2
]
,
퐷 =
[
1 3 −2 ] , 퐸 =
⎡
⎣ 14
−3
⎤
⎦ e 퐹 = [ 3 ] .
As matrizes 퐴 e 퐵 sa˜o 2 × 2. A matriz 퐶 e´ 2 × 3, 퐷 e´ 1 × 3, 퐸 e´ 3 × 1 e 퐹 e´ 1 × 1. De acordo
com a notac¸a˜o que introduzimos, exemplos de elementos de algumas das matrizes dadas acima sa˜o
푎12 = 2, 푐23 = −2, 푒21 = 4, [퐴]22 = 4, [퐷]12 = 3.
Uma matriz que so´ possui uma linha e´ chamada matriz linha, e uma matriz que so´ possui uma
coluna e´ chamada matriz coluna, No Exemplo 1.1 a matriz 퐷 e´ uma matriz linha e a matriz 퐸 e´ uma
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 3
matriz coluna. Matrizes linha e matrizes coluna sa˜o chamadas de vetores. O motivo ficara´ claro na
Sec¸a˜o 3.3 na pa´gina 222.
Dizemos que duas matrizes sa˜o iguais se elas teˆm o mesmo tamanho e os elementos correspon-
dentes sa˜o iguais, ou seja, 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푝×푞 sa˜o iguais se 푚 = 푝, 푛 = 푞 e 푎푖푗 = 푏푖푗
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛.
Vamos definir operac¸o˜es matriciais ana´logas a`s operac¸o˜es com nu´meros e provar propriedades
que sa˜o va´lidas para essas operac¸o˜es. Veremos, mais tarde, que um sistema de equac¸o˜es lineares
pode ser escrito em termos de uma u´nica equac¸a˜o matricial.
Vamos, agora, introduzir as operac¸o˜es matriciais.
1.1.1 Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푚×푛 e´
definida como sendo a matriz 푚× 푛
퐶 = 퐴+ 퐵
obtida somando-se os elementos correspondentes de 퐴 e 퐵, ou seja,
푐푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 ,
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [퐴+ 퐵]푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
4 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.2. Considere as matrizes:
퐴 =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, 퐵 =
[ −2 1 5
0 3 −4
]
Se chamamos de 퐶 a soma das duas matrizes 퐴 e 퐵, enta˜o
퐶 = 퐴+ 퐵 =
[
1 + (−2) 2 + 1 −3 + 5
3 + 0 4 + 3 0 + (−4)
]
=
[ −1 3 2
3 7 −4
]
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 5
Definic¸a˜o 1.2. A multiplicac¸a˜o de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 por um escalar (nu´mero) 훼 e´ definida
pela matriz 푚× 푛
퐵 = 훼퐴
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz 퐴 pelo escalar 훼, ou seja,
푏푖푗 = 훼 푎푖푗 ,
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [훼퐴]푖푗 = 훼 푎푖푗 . Dizemos que a matriz 퐵 e´
um mu´ltiplo escalar da matriz 퐴.
Exemplo 1.3. O produto da matriz 퐴 =
⎡
⎣ −2 10 3
5 −4
⎤
⎦ pelo escalar −3 e´ dado por
−3퐴 =
⎡
⎣ (−3)(−2) (−3) 1(−3) 0 (−3) 3
(−3) 5 (−3)(−4)
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 6 −30 −9
−15 12
⎤
⎦ .
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6 Matrizes e Sistemas Lineares
Definic¸a˜o 1.3. O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira matriz e´
igual ao nu´mero de linhas da segunda, 퐴 = (푎푖푗)푚×푝 e 퐵 = (푏푖푗)푝×푛 e´ definido pela matriz 푚× 푛
퐶 = 퐴퐵
obtida da seguinte forma:
푐푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗, (1.1)
para 푖 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛. Escrevemos tambe´m [퐴퐵]푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗 .
A equac¸a˜o (1.1) esta´ dizendo que o elemento 푖, 푗 do produto e´ igual a` soma dos produtos dos
elementos da 푖-e´sima linha de 퐴 pelos elementos correspondentes da 푗-e´sima coluna de 퐵.
⎡
⎢⎣ 푐11 . . . 푐1푛... 푐푖푗 ...
푐푚1 . . . 푐푚푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푝
.
.
. . . .
.
.
.
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푝
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푝
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏11
푏21
.
.
.
푏푝1
. . .
. . .
. . .
. . .
푏1푗
푏2푗
.
.
.
푏푝푗
. . .
. . .
. . .
. . .
푏1푛
푏2푛
.
.
.
푏푝푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
A equac¸a˜o (1.1) pode ser escrita de forma compacta usando a notac¸a˜o de somato´rio.
[퐴퐵]푖푗 = 푎푖1푏1푗 + 푎푖2푏2푗 + . . .+ 푎푖푝푏푝푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 7
e dizemos “somato´rio de 푘 variando de 1 a 푝 de 푎푖푘푏푘푗”. O sı´mbolo
푝∑
푘=1
significa que estamos fazendo
uma soma em que o ı´ndice 푘 esta´ variando de 푘 = 1 ate´ 푘 = 푝. Algumas propriedades da notac¸a˜o
de somato´rio esta˜o explicadas no Apeˆndice I na pa´gina 33.
Exemplo 1.4. Considere as matrizes:
퐴 =
[
1 2 −3
3 4 0
]
, 퐵 =
⎡
⎣ −2 1 00 3 0
5 −4 0
⎤
⎦ .
Se chamamos de 퐶 o produto das duas matrizes 퐴 e 퐵, enta˜o
퐶 = 퐴퐵 =
[
1 (−2) + 2 ⋅ 0 + (−3) 5 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + (−3) (−4) 0
3 (−2) + 4 ⋅ 0 + 0 ⋅ 5 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3 + 0 (−4) 0
]
=
[ −17 19 0
−6 15 0
]
.
Observac¸a˜o. No exemplo anterior o produto 퐵퐴 na˜o esta´ definido (por que?). Entretanto, mesmo
quando ele esta´ definido, 퐵퐴 pode na˜o ser igual a 퐴퐵, ou seja, o produto de matrizes na˜o e´ comu-
tativo, como mostra o exemplo seguinte.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
8 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.5. Sejam 퐴 =
[
1 2
3 4
]
e 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
. Enta˜o,
퐴퐵 =
[ −2 7
−6 15
]
e 퐵퐴 =
[
1 0
9 12
]
.
Vamos ver no pro´ximo exemplo como as matrizes podem ser usadas para descrever quantitativa-
mente um processo de produc¸a˜o.
Exemplo 1.6. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. Usando matrizes podemos determinar quantos gramas dos insumos A e B sa˜o
necessa´rios na produc¸a˜o de 푥 kg do produto X, 푦 kg do produto Y e 푧 kg do produto Z.
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
[
1 1 1
2 1 4
]
= 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
[
푥+ 푦 + 푧
2푥+ 푦 + 4푧
]
gramas de A usados
gramas de B usados
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 9
Definic¸a˜o 1.4. A transposta de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ definida pela matriz 푛×푚
퐵 = 퐴푡
obtida trocando-se as linhas com as colunas, ou seja,
푏푖푗 = 푎푗푖 ,
para 푖 = 1, . . . , 푛 e 푗 = 1, . . . ,푚. Escrevemos tambe´m [퐴푡]푖푗 = 푎푗푖.
Exemplo 1.7. As transpostas das matrizes
퐴 =
[
1 2
3 4
]
, 퐵 =
[ −2 1
0 3
]
e
퐶 =
[
1 3 0
2 4 −2
]
sa˜o
퐴푡 =
[
1 3
2 4
]
, 퐵푡 =
[ −2 0
1 3
]
e 퐶푡 =
⎡
⎣ 1 23 4
0 −2
⎤
⎦ .
A seguir, mostraremos as propriedades que sa˜o va´lidas para a a´lgebra matricial. Va´rias proprie-
dades sa˜o semelhantes a`quelas que sa˜o va´lidas para os nu´meros reais, mas deve-se tomar cuidado
com as diferenc¸as. Uma propriedade importante que e´ va´lida para os nu´meros reais, mas na˜o e´
va´lida para as matrizes e´ a comutatividade do produto, como foi mostrado no Exemplo 1.5. Por ser
compacta, usaremos a notac¸a˜o de somato´rio na demonstrac¸a˜o de va´rias propriedades. Algumas
propriedades desta notac¸a˜o esta˜o explicadas no Apeˆndice I na pa´gina 33.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
10 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.2 Propriedades da ´Algebra Matricial
Teorema 1.1. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 matrizes com tamanhos apropriados, 훼 e 훽 escalares. Sa˜o va´lidas as
seguintes propriedades para as operac¸o˜es matriciais:
(a) (comutatividade) 퐴+ 퐵 = 퐵 + 퐴;
(b) (associatividade) 퐴+ (퐵 + 퐶) = (퐴+ 퐵) + 퐶;
(c) (elemento neutro) A matriz 0¯, 푚 × 푛, definida por [0¯]푖푗 = 0, para 푖 = 1, . . . ,푚, 푗 = 1, . . . , 푛 e´
tal que
퐴+ 0¯ = 퐴,
para toda matriz 퐴, 푚× 푛. A matriz 0¯ e´ chamada matriz nula 푚× 푛.
(d) (elemento sime´trico) Para cada matriz 퐴, existe uma u´nica matriz −퐴, definida por [−퐴]푖푗 =
−푎푖푗 tal que
퐴+ (−퐴) = 0¯.
(e) (associatividade) 훼(훽퐴) = (훼훽)퐴;
(f) (distributividade) (훼 + 훽)퐴 = 훼퐴+ 훽퐴;
(g) (distributividade) 훼(퐴+ 퐵) = 훼퐴+ 훼퐵;
(h) (associatividade) 퐴(퐵퐶) = (퐴퐵)퐶;
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 11
(i) (elemento neutro) Para cada inteiro positivo 푝 a matriz, 푝× 푝,
퐼푝 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 . . . 1
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
chamada matriz identidade e´ tal que
퐴퐼푛 = 퐼푚퐴 = 퐴, para toda matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛.
(j) (distributividade) 퐴(퐵 + 퐶) = 퐴퐵 + 퐴퐶 e (퐵 + 퐶)퐴 = 퐵퐴+ 퐶퐴;
(k) 훼(퐴퐵) = (훼퐴)퐵 = 퐴(훼퐵);
(l) (퐴푡)푡 = 퐴;
(m) (퐴+ 퐵)푡 = 퐴푡 + 퐵푡;
(n) (훼퐴)푡 = 훼퐴푡;
(o) (퐴퐵)푡 = 퐵푡퐴푡;
Demonstrac¸a˜o. Para provar as igualdades acima, devemos mostrar que os elementos da matriz do
lado esquerdo sa˜o iguais aos elementos correspondentes da matriz do lado direito. Sera˜o usadas
va´rias propriedades dos nu´meros sem cita´-las explicitamente.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
12 Matrizes e Sistemas Lineares
(a) [퐴+ 퐵]푖푗 = 푎푖푗 + 푏푖푗 = 푏푖푗 + 푎푖푗 = [퐵 + 퐴]푖푗 ;
(b) [퐴+ (퐵 + 퐶)]푖푗 = 푎푖푗 + [퐵 + 퐶]푖푗 = 푎푖푗 + (푏푖푗 + 푐푖푗) = (푎푖푗 + 푏푖푗) + 푐푖푗 = [퐴+퐵]푖푗 + 푐푖푗 =
[(퐴+ 퐵) + 퐶]푖푗 ;
(c) Seja 푋 uma matriz 푚× 푛 tal que
퐴+푋 = 퐴 (1.2)
para qualquer matriz A, 푚× 푛. Comparando os elementos correspondentes, temos que
푎푖푗 + 푥푖푗 = 푎푖푗 ,
ou seja, 푥푖푗 = 0, para 푖 = 1 . . . ,푚 e 푗 = 1 . . . , 푛. Portanto, a u´nica matriz que satisfaz (1.2) e´
a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais a zero. Denotamos a matriz 푋 por 0¯.
(d) Dada uma matriz 퐴, 푚× 푛, seja 푋 uma matriz 푚× 푛, tal que
퐴+푋 = 0¯ . (1.3)
Comparando os elementos correspondentes, temos que
푎푖푗 + 푥푖푗 = 0 ,
ou seja, 푥푖푗 = −푎푖푗 , para 푖 = 1 . . . ,푚 e 푗 = 1 . . . , 푛. Portanto, a u´nica matriz que satisfaz
(1.3) e´ a matriz em que todos os seus elementos sa˜o iguais aos sime´tricos dos elementos de
퐴. Denotamos a matriz 푋 por −퐴.
(e) [훼(훽퐴)]푖푗 = 훼[훽퐴]푖푗 = 훼(훽푎푖푗) = (훼훽)푎푖푗 = [(훼훽)퐴]푖푗 .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 13
(f) [(훼 + 훽)퐴]푖푗 = (훼 + 훽)푎푖푗 = (훼푎푖푗) + (훽푎푖푗) = [훼퐴]푖푗 + [훽퐴]푖푗 = [훼퐴+ 훽퐴]푖푗 .
(g) [훼(퐴+ 퐵)]푖푗 = 훼[퐴+퐵]푖푗 = 훼(푎푖푗 + 푏푖푗) = 훼푎푖푗 + 훼푏푖푗 = [훼퐴]푖푗 + [훼퐵]푖푗
= [훼퐴+ 훼퐵]푖푗 .
(h) A demonstrac¸a˜o deste item e´ a mais trabalhosa. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 matrizes 푚× 푝, 푝× 푞 e 푞×푛
respectivamente. A notac¸a˜o de somato´rio aqui pode ser muito u´til, pelo fato de ser compacta.
[퐴(퐵퐶)]푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘[퐵퐶]푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(
푞∑
푙=1
푏푘푙푐푙푗) =
푝∑
푘=1
푞∑
푙=1
푎푖푘(푏푘푙푐푙푗) =
=
푝∑
푘=1
푞∑
푙=1
(푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
푞∑
푙=1
푝∑
푘=1
(푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
푞∑
푙=1
(
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푙)푐푙푗 =
=
푞∑
푙=1
[퐴퐵]푖푙푐푙푗 = [(퐴퐵)퐶]푖푗 .
(i) Podemos escrever a matriz identidade em termos do delta de Kronecker que e´ definido por
훿푖푗 =
{
1, se 푖 = 푗
0, se 푖 ∕= 푗
como [퐼푛]푖푗 = 훿푖푗 . Assim,
[퐴퐼푛]푖푗 =
푛∑
푘=1
푎푖푘[퐼푛]푘푗 =
푛∑
푘=1
푎푖푘훿푘푗 = 푎푖푗.
A outra igualdade e´ ana´loga.
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14 Matrizes e Sistemas Lineares
(j) [퐴(퐵 + 퐶)]푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘[퐵 + 퐶]푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(푏푘푗 + 푐푘푗) =
푝∑
푘=1
(푎푖푘푏푘푗 + 푎푖푘푐푘푗) =
=
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 +
푝∑
푘=1
푎푖푘푐푘푗 = [퐴퐵]푖푗 + [퐴퐶]푖푗 = [퐴퐵 + 퐴퐶]푖푗 .
A outra igualdade e´ inteiramente ana´loga a anterior e deixamos como exercı´cio.
(k) [훼(퐴퐵)]푖푗 = 훼
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 =
푝∑
푘=1
(훼푎푖푘)푏푘푗 = [(훼퐴)퐵]푖푗 e
[훼(퐴퐵)]푖푗 = 훼
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘(훼푏푘푗) = [퐴(훼퐵)]푖푗 .
(l) [(퐴푡)푡]푖푗 = [퐴푡]푗푖 = 푎푖푗 .
(m) [(퐴+ 퐵)푡]푖푗 = [퐴+ 퐵]푗푖 = 푎푗푖 + 푏푗푖 = [퐴푡]푖푗 + [퐵푡]푖푗 .
(n) [(훼퐴)푡]푖푗 = [훼퐴]푗푖 = 훼푎푗푖 = 훼[퐴푡]푖푗 = [훼퐴푡]푖푗 .
(o) [(퐴퐵)푡]푖푗 = [퐴퐵]푗푖 =
푝∑
푘=1
푎푗푘푏푘푖 =
푝∑
푘=1
[퐴푡]푘푗[퐵
푡]푖푘 =
푝∑
푘=1
[퐵푡]푖푘[퐴
푡]푘푗 = [퐵
푡퐴푡]푖푗 .
■
A diferenc¸a entre duas matrizes de mesmo tamanho 퐴 e 퐵 e´ definida por
퐴− 퐵 = 퐴+ (−퐵),
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 15
ou seja, e´ a soma da matriz 퐴 com a sime´trica da matriz 퐵.
Sejam 퐴 uma matriz 푛×푛 e 푝 um inteiro positivo. Definimos a poteˆncia 푝 de 퐴, por 퐴푝 = 퐴 . . . 퐴︸ ︷︷ ︸
푝 vezes
.
E para 푝 = 0, definimos 퐴0 = 퐼푛.
Exemplo 1.8. Vamos verificar se para matrizes 퐴 e 퐵, quadradas, vale a igualdade
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) = 퐴2 −퐵2. (1.4)
Usando a propriedade (i) do teorema anterior obtemos
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) = (퐴+ 퐵)퐴+ (퐴+ 퐵)(−퐵)
= 퐴퐴+ 퐵퐴− 퐴퐵 −퐵퐵 = 퐴2 + 퐵퐴− 퐴퐵 − 퐵2
Assim, (퐴 + 퐵)(퐴 − 퐵) = 퐴2 − 퐵2 se, e somente se, 퐵퐴 − 퐴퐵 = 0, ou seja, se, e somente se,
퐴퐵 = 퐵퐴. Como o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, a conclusa˜o e´ que a igualdade (1.4), na˜o
vale para matrizes em geral. Como contra-exemplo basta tomarmos duas matrizes que na˜o comutem
entre si. Sejam
퐴 =
[
0 0
1 1
]
e 퐵 =
[
1 0
1 0
]
.
Para estas matrizes
퐴+퐵 =
[
1 0
2 1
]
, 퐴−퐵 =
[ −1 0
0 1
]
, 퐴2 = 퐴 =
[
0 0
1 1
]
, 퐵2 = 퐵 =
[
1 0
1 0
]
.
Assim,
(퐴+ 퐵)(퐴−퐵) =
[ −1 0
−2 1
]
∕=
[ −1 0
0 1
]
= 퐴2 − 퐵2.
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16 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.3 Aplicac¸a˜o: Cadeias de Markov
Exemplo 1.9. Vamos supor que uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos, classe
me´dia e pobres) e que em cada unidade de tempo a probabilidade de mudanc¸a de um estado para
outro seja constante no tempo, so´ dependa dos estados. Este processo e´ chamado cadeia de Mar-
kov.
Seja 푡푖푗 a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖 em uma unidade de tempo
(gerac¸a˜o). Cuidado com a ordem dos ı´ndices. A matriz
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ 푡11 푡12 푡13푡21 푡22 푡23
푡31 푡32 푡33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
e´ chamada matriz de transic¸a˜o. Como exemplo vamos considerar a matriz de transic¸a˜o
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
(1.5)
A distribuic¸a˜o da populac¸a˜o inicial entre os treˆs estados pode ser descrita pela seguinte matriz:
푃0 =
⎡
⎣ 푝1푝2
푝3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 17
A matriz 푃0 caracteriza a distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados e e´ chamada vetor
de estado. Por exemplo,
푃0 =
⎡
⎣ 131
3
1
3
⎤
⎦ esta´ no estado 1esta´ no estado 2
esta´ no estado 3
(1.6)
representa uma populac¸a˜o dividida de forma que 1/3 da populac¸a˜o esta´ em cada estado. Apo´s uma
unidade de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida entre os treˆs estados da seguinte forma
푃1 =
⎡
⎣ 푡11푝1 + 푡12푝2 + 푡13푝3푡21푝1 + 푡22푝2 + 푡23푝3
푡31푝1 + 푡32푝2 + 푡33푝3
⎤
⎦ estara´ no
estado 1estara´ no estado 2
estara´ no estado 3
Lembre-se que 푡푖푗 e´ a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖. Assim o vetor de estado
apo´s uma unidade de tempo e´ dada pelo produto de matrizes:
푃1 = 푇푃0.
Por exemplo se a matriz de transic¸a˜o, 푇 , e´ a matriz dada por (1.5) e a matriz de estado inicial, 푃0,
e´ a matriz dada por (1.6), enta˜o apo´s uma unidade de tempo a matriz de estado sera´ dada por
푃1 = 푇푃0 =
⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
1
3
1
3
1
3
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣
1
4
1
2
1
4
⎤
⎥⎦
Como estamos assumindo que em cada unidade de tempo a matriz de transic¸a˜o e´ a mesma,
enta˜o apo´s 푘 unidades de tempo a populac¸a˜o estara´ dividida entre os treˆs estados segundo a matriz
de estado
푃푘 = 푇푃푘−1 = 푇 2푃푘−2 = ⋅ ⋅ ⋅ = 푇 푘푃0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
18 Matrizes e Sistemas Lineares
Assim a matriz 푇 푘 da´ a transic¸a˜o entre 푘 unidades de tempo.
Veremos na Sec¸a˜o 7.1 na pa´gina 422 como calcular rapidamente poteˆncias 푘 de matrizes e assim
como determinar a distribuic¸a˜o da populac¸a˜o apo´s 푘 unidades de tempo para 푘 um inteiro positivo
qualquer.
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 497)
1.1.1. Considere as seguintes matrizes
퐴 =
[
2 0
6 7
]
, 퐵 =
[
0 4
2 −8
]
, 퐶 =
[ −6 9 −7
7 −3 −2
]
퐷 =
⎡
⎣ −6 4 01 1 4
−6 0 6
⎤
⎦ , 퐸 =
⎡
⎣ 6 9 −9−1 0 −4
−6 0 −1
⎤
⎦
Se for possı´vel calcule:
(a) 퐴퐵 −퐵퐴,
(b) 2퐶 −퐷,
(c) (2퐷푡 − 3퐸푡)푡,
(d) 퐷2 −퐷퐸.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 19
1.1.2. Conhecendo-se somente os produtos 퐴퐵 e 퐴퐶, como podemos calcular 퐴(퐵 + 퐶), 퐵푡퐴푡,
퐶푡퐴푡 e (퐴퐵퐴)퐶?
1.1.3. Considere as seguintes matrizes
퐴 =
[ −3 2 1
1 2 −1
]
, 퐵 =
⎡
⎣ 2 −12 0
0 3
⎤
⎦
퐶 =
⎡
⎣ −2 1 −10 1 1
−1 0 1
⎤
⎦ , 퐷 =
⎡
⎣ 푑1 0 00 푑2 0
0 0 푑3
⎤
⎦
퐸1 =
⎡
⎣ 10
0
⎤
⎦ , 퐸2 =
⎡
⎣ 01
0
⎤
⎦ , 퐸3 =
⎡
⎣ 00
1
⎤
⎦
Verifique que:
(a) 퐴퐵 e´ diferente de 퐵퐴.
(b) 퐴퐸푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴, para 푗 = 1, 2, 3 e 퐸푡푖퐵 e´ a 푖-e´sima linha de 퐵, para
푖 = 1, 2, 3 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.16 na pa´gina 26).
(c) 퐶퐷 = [ 푑1퐶1 푑2퐶2 푑3퐶3 ], em que 퐶1 =
⎡
⎣ −20
−1
⎤
⎦, 퐶2 =
⎡
⎣ 11
0
⎤
⎦ e 퐶3 =
⎡
⎣ −11
1
⎤
⎦, sa˜o as
colunas de 퐶 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (a) na pa´gina 27).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
20 Matrizes e Sistemas Lineares
(d) 퐷퐶 =
⎡
⎣ 푑1퐶1푑2퐶2
푑3퐶3
⎤
⎦, em que 퐶1 = [ −2 1 −1 ], 퐶2 = [ 0 1 1 ] e
퐶3 =
[ −1 0 1 ] sa˜o as linhas de 퐶 (o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.17 (b) na
pa´gina 27).
(e) Escrevendo 퐵 em termos das suas colunas, 퐵 = [ 퐵1 퐵2 ], em que 퐵1 =
⎡
⎣ 22
0
⎤
⎦ e
퐵2 =
⎡
⎣ −10
3
⎤
⎦, o produto 퐴퐵 pode ser escrito como 퐴퐵 = 퐴 [ 퐵1 퐵2 ] = [ 퐴퐵1 퐴퐵2 ]
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.18 (a) na pa´gina 28).
(f) escrevendo 퐴 em termos das suas linhas, 퐴1 =
[ −3 2 1 ] e 퐴2 = [ 1 2 −1 ], o
produto 퐴퐵 pode ser escrito como 퐴퐵 =
[
퐴1
퐴2
]
퐵 =
[
퐴1퐵
퐴2퐵
]
(o caso geral esta´ no
Exercı´cio 1.1.18 (b) na pa´gina 28).
1.1.4. Sejam
퐴 =
[
1 −3 0
0 4 −2
]
e 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Verifique que 푥퐴1 + 푦퐴2 + 푧퐴3 = 퐴푋 , em que 퐴푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴, para 푗 = 1, 2, 3
(o caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.19 na pa´gina 29).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 21
1.1.5. Encontre um valor de 푥 tal que 퐴퐵푡 = 0, em que
퐴 =
[
푥 4 −2 ] e 퐵 = [ 2 −3 5 ] .
1.1.6. Mostre que as matrizes 퐴 =
[
1 1
푦
푦 1
]
, em que 푦 e´ uma nu´mero real na˜o nulo, verificam a
equac¸a˜o 푋2 = 2푋 .
1.1.7. Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes que comutam com a matriz 푀 =
[
0 1
−1 0
]
, enta˜o 퐴퐵 =
퐵퐴.
1.1.8. (a) Determine todas as matrizes퐴, 2×2, diagonais (os elementos que esta˜o fora da diagonal
sa˜o iguais a zero) que comutam com toda matriz 퐵, 2 × 2, ou seja, tais que 퐴퐵 = 퐵퐴,
para toda matriz 퐵, 2× 2.
(b) Determine todas as matrizes 퐴, 2 × 2, que comutam com toda matriz 퐵, 2 × 2, ou seja,
tais que 퐴퐵 = 퐵퐴, para toda matriz 퐵, 2× 2.
1.1.9. Verifique que 퐴3 = 0¯, para
퐴 =
⎡
⎣ 0 1 00 0 1
0 0 0
⎤
⎦ .
O caso geral esta´ no Exercı´cio 1.1.29 na pa´gina 32.
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
22 Matrizes e Sistemas Lineares
Uma vez inicializado o MATLABⓇ, aparecera´ na janela de comandos um prompt >> ou EDU>>.
O prompt significa que o MATLABⓇ esta´ esperando um comando. Todo comando deve ser
finalizado teclando-se Enter. Comandos que foram dados anteriormente podem ser obtidos
novamente usando as teclas ↑ e ↓. Enquanto se estiver escrevendo um comando, este pode
ser corrigido usando as teclas ←, →, Delete e Backspace. O MATLABⓇ faz diferenc¸a entre
letras maiu´sculas e minu´sculas.
No MATLABⓇ, pode-se obter ajuda sobre qualquer comando ou func¸a˜o. O comando
>> help
(sem o prompt >>) mostra uma listagem de todos os pacotes disponı´veis. Ajuda sobre um
pacote especı´fico ou sobre um comando ou func¸a˜o especı´fica pode ser obtida com o comando
>> help nome,
(sem a vı´rgula e sem o prompt >>) em que nome pode ser o nome de um pacote ou o nome de
um comando ou func¸a˜o.
Ale´m dos comandos e func¸o˜es pre´-definidas, escrevemos um pacote chamado gaal
com func¸o˜es especı´ficas para a aprendizagem de Geometria Analı´tica e ´Algebra Li-
near. Este pacote pode ser obtido gratuitamente atrave´s da internet no enderec¸o
http://www.mat.ufmg.br/˜regi, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MATLABⓇ e
instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Depois deste pacote ser devidamente instalado, o
comando help gaal no prompt do MATLABⓇ da´ informac¸o˜es sobre este pacote.
Mais informac¸o˜es sobre as capacidades do MATLABⓇ podem ser obtidas em [3, 24].
Vamos descrever aqui alguns comandos que podem ser usados para a manipulac¸a˜o de matri-
zes. Outros comandos sera˜o introduzidos a medida que forem necessa´rios.
>> syms x y z diz ao MATLABⓇ que as varia´veis x y e z sa˜o simbo´licas.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 23
>> A=[a11,a12,...,a1n;a21,a22,...; ...,amn] cria uma matriz, 푚 por 푛, usando os
elementos a11, a12, ..., amn e a armazena numa varia´vel de nome A. Por exemplo, >>
A=[1,2,3;4,5,6] cria a matriz 퐴 =
[
1 2 3
4 5 6
]
;
>> I=eye(n) cria a matriz identidade 푛 por 푛 e a armazena numa varia´vel I;
>> O=zeros(n) ou >> O=zeros(m,n) cria a matriz nula 푛 por 푛 ou 푚 por 푛, respectivamente,
e a armazena numa varia´vel O;
>> A+B e´ a soma de A e B,
>> A*B e´ o produto de A por B,
>> A.’ e´ a transposta de A,
>> A-B e´ a diferenc¸a A menos B,
>> num*A e´ o produto do escalar num por A,
>> Aˆk e´ a poteˆncia A elevado a 푘.
>> A(:,j) e´ a coluna 푗 da matriz A, >> A(i,:) e´ a linha 푖 da matriz A.
>> diag([d1,...,dn]) cria uma matriz diagonal, cujos elementos da diagonal sa˜o iguais aos
elementos da matriz [d1,...,dn], ou seja, sa˜o d1,...,dn.
>> A=sym(A) converte a matriz A numa matriz em que os elementos sa˜o armazenados no
formato simbo´lico. A func¸a˜o numeric faz o processo inverso.
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0. Por exemplo,
>> solve(xˆ2-4) determina as soluc¸o˜es da equac¸a˜o 푥2 − 4 = 0;
Comando do pacote GAAL:
>> A=randi(n) ou >> A=randi(m,n) cria uma matriz n por n ou m por n, respectivamente,
com elementos inteiros aleato´rios entre −5 e 5.
1.1.10. Use o MATLABⓇ para calcular alguns membros da sequ¨eˆncia 퐴, 퐴2, . . . , 퐴푘, . . ., para
(a) 퐴 =
[
1 1
2
0 1
3
]
; (b) 퐴 =
[
1
2
1
3
0 −1
5
]
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
24 Matrizes e Sistemas Lineares
A sequ¨eˆncia parece estar convergindo para alguma matriz? Se estiver, para qual?
1.1.11. Calcule as poteˆncias das matrizes dadas a seguir e encontre experimentalmente (por tentativa!)
o menor inteiro 푘 > 1 tal
que (use o comando >> A=sym(A) depois de armazenar a matriz na
varia´vel A):
(a) 퐴푘 = 퐼3, em que
퐴 =
⎡
⎣ 0 0 11 0 0
0 1 0
⎤
⎦ ;
(b) 퐴푘 = 퐼4, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
⎤
⎥⎥⎦;
(c) 퐴푘 = 0¯, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.1.12. Vamos fazer um experimento no MATLABⓇ para tentar ter uma ide´ia do qua˜o comum e´ encontrar
matrizes cujo produto comuta. No prompt do MATLABⓇ digite a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=randi(3);B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;end,end,c
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 25
(na˜o esquec¸a das vı´rgulas e pontos e vı´rgulas!). O que esta linha esta´ mandando o MATLABⓇ
fazer e´ o seguinte:
∙ Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero.
∙ Atribuir a`s varia´veis A e B, 1000 matrizes 3×3 com entradas inteiras e aleato´rias entre−5
e 5.
∙ Se AB=BA, ou seja, A e B comutarem, enta˜o o contador c e´ acrescido de 1.
∙ No final o valor existente na varia´vel c e´ escrito.
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.13. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que cada uma das matrizes
e´ diagonal, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero. Use a seta para
cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no prompt do MATLABⓇ de forma a
obter algo semelhante a` linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=diag(randi(1,3));if( ....
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
1.1.14. Fac¸a um experimento semelhante ao anterior, mas para o caso em que uma das matrizes e´
diagonal. Use a seta para cima ↑ para obter novamente a linha digitada e edite a linha no
prompt do MATLABⓇ de forma a obter a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=diag(randi(1,3));B=randi(3);if(A*B==B*A),c=c+1;A,B,end,end,c
Aqui sa˜o impressas as matrizes A e B quando elas comutarem. Qual a conclusa˜o que voceˆ tira
deste experimento? Qual a probabilidade de um tal par de matrizes comutarem?
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26 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.15. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos.
Exercı´cios Teo´ricos
1.1.16. Sejam 퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1
0
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦,. . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
0
1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ matrizes 푛× 1.
(a) Mostre que se
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
e´ uma matriz 푚× 푛, enta˜o 퐴퐸푗 e´ igual a` coluna 푗 da matriz 퐴.
(b) Mostre que se
퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏11 푏12 . . . 푏1푚
푏21 푏22 . . . 푏2푚
.
.
. . . .
.
.
.
푏푛1 푏푛2 . . . 푏푛푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
e´ uma matriz 푛×푚 enta˜o 퐸푡푖퐵 e´ igual a` linha 푖 da matriz 퐵.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 27
1.1.17. Seja
퐷 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1 0 . . . 0
0 휆2 . . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . 0 휆푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
uma matriz diagonal 푛× 푛, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero.
Seja
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푛1 푎푛2 . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
(a) Mostre que o produto 퐴퐷 e´ obtido da matriz 퐴 multiplicando-se cada coluna 푗 por 휆푗 , ou
seja, se 퐴 = [ 퐴1 퐴2 . . . 퐴푛 ], em que 퐴푗 =
⎡
⎢⎣ 푎1푗..
.
푎푛푗
⎤
⎥⎦ e´ a coluna 푗 de 퐴, enta˜o
퐴퐷 = [ 휆1퐴1 휆2퐴2 . . . 휆푛퐴푛 ].
(b) Mostre que o produto 퐷퐴 e´ obtido da matriz 퐴 multiplicando-se cada linha 푖 por 휆푖, ou
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28 Matrizes e Sistemas Lineares
seja, se 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦, em que 퐴푖 = [ 푎푖1 . . . 푎푖푛 ] e´ a linha 푖 de 퐴, enta˜o
퐷퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
휆1퐴1
휆2퐴2
.
.
.
휆푛퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
1.1.18. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푚× 푝 e 푝× 푛, respectivamente.
(a) Mostre que a 푗-e´sima coluna do produto 퐴퐵 e´ igual ao produto 퐴퐵푗 , em que 퐵푗 =⎡
⎢⎣ 푏1푗..
.
푏푝푗
⎤
⎥⎦ e´ a 푗-e´sima coluna de 퐵, ou seja, se 퐵 = [ 퐵1 . . . 퐵푛 ], enta˜o
퐴퐵 = 퐴[ 퐵1 . . . 퐵푛 ] = [ 퐴퐵1 . . . 퐴퐵푛 ];
(b) Mostre que a 푖-e´sima linha do produto 퐴퐵 e´ igual ao produto 퐴푖퐵, em que 퐴푖 =
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 29
[ 푎푖1 . . . 푎푖푝 ] e´ a 푖-e´sima linha de 퐴, ou seja, se 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎦, enta˜o
퐴퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1
퐴2
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎦퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
퐴1퐵
퐴2퐵
.
.
.
퐴푚퐵
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
1.1.19. Seja 퐴 uma matriz 푚 × 푛 e 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦ uma matriz 푛 × 1. Prove que
퐴푋 =
푛∑
푗=1
푥푗퐴푗 , em que 퐴푗 e´ a 푗-e´sima coluna de 퐴. (Sugesta˜o: Desenvolva o lado direito e
chegue ao lado esquerdo.)
1.1.20. (a) Mostre que se 퐴 e´ uma matriz 푚× 푛 tal que 퐴푋 = 0¯, para toda matriz 푋 , 푛× 1, enta˜o
퐴 = 0¯. (Sugesta˜o: use o Exercı´cio 16 na pa´gina 26.)
(b) Sejam 퐵 e 퐶 matrizes 푚× 푛, tais 퐵푋 = 퐶푋 , para todo 푋 , 푛× 1. Mostre que 퐵 = 퐶.
(Sugesta˜o: use o item anterior.)
1.1.21. Mostre que a matriz identidade 퐼푛 e´ a u´nica matriz tal que 퐴퐼푛 = 퐼푛퐴 = 퐴 para qualquer
matriz 퐴, 푛 × 푛. (Sugesta˜o: Seja 퐽푛 uma matriz tal que 퐴퐽푛 = 퐽푛퐴 = 퐴. Mostre que
퐽푛 = 퐼푛.)
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30 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.22. Se 퐴퐵 = 퐵퐴 e 푝 e´ um inteiro positivo, mostre que (퐴퐵)푝 = 퐴푝퐵푝.
1.1.23. Sejam 퐴,퐵 e 퐶 matrizes 푛× 푛.
(a) (퐴+ 퐵)2 = 퐴2 + 2퐴퐵 + 퐵2? E se 퐴퐵 = 퐵퐴? Justifique.
(b) (퐴퐵)퐶 = 퐶(퐴퐵)? E se 퐴퐶 = 퐶퐴 e 퐵퐶 = 퐶퐵? Justifique.
(Sugesta˜o: Veja o Exemplo 1.8 na pa´gina 15.)
1.1.24. (a) Se 퐴 e 퐵 sa˜o duas matrizes tais que 퐴퐵 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯ ou 퐵 = 0¯? Justifique.
(b) Se 퐴퐵 = 0¯, enta˜o 퐵퐴 = 0¯? Justifique.
(c) Se 퐴 e´ uma matriz tal que 퐴2 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯? Justifique.
1.1.25. Dizemos que uma matriz 퐴, 푛× 푛, e´ sime´trica se 퐴푡 = 퐴 e e´ anti-sime´trica se 퐴푡 = −퐴.
(a) Mostre que se 퐴 e´ sime´trica, enta˜o 푎푖푗 = 푎푗푖, para 푖, 푗 = 1, . . . 푛 e que se 퐴 e´ anti-
sime´trica, enta˜o 푎푖푗 = −푎푗푖, para 푖, 푗 = 1, . . . 푛. Portanto, os elementos da diagonal
principal de uma matriz anti-sime´trica sa˜o iguais a zero.
(b) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o sime´tricas, enta˜o 퐴+퐵 e 훼퐴 sa˜o sime´tricas, para todo escalar
훼.
(c) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o sime´tricas, enta˜o 퐴퐵 e´ sime´trica se, e somente se, 퐴퐵 = 퐵퐴.
(d) Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o anti-sime´tricas, enta˜o 퐴+퐵 e 훼퐴 sa˜o anti-sime´tricas, para todo
escalar 훼.
(e) Mostre que para toda matriz 퐴, 푛× 푛, 퐴+ 퐴푡 e´ sime´trica e 퐴− 퐴푡 e´ anti-sime´trica.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 31
(f) Mostre que toda matriz quadrada퐴 pode ser escrita como a soma de uma matriz sime´trica
e uma anti-sime´trica. (Sugesta˜o: Observe o resultado da soma de 퐴+ 퐴푡 com 퐴− 퐴푡.)
1.1.26. Para matrizes quadradas 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 definimos o trac¸o de 퐴 como sendo a soma dos ele-
mentos da diagonal (principal) de 퐴, ou seja, tr(퐴) =
푛∑
푖=1
푎푖푖.
(a) Mostre que tr(퐴+ 퐵) = tr(퐴) + tr(퐵).
(b) Mostre que tr(훼퐴) = 훼tr(퐴).
(c) Mostre que tr(퐴푡) = tr(퐴).
(d) Mostre que tr(퐴퐵) = tr(퐵퐴). (Sugesta˜o: Prove inicialmente para matrizes 2× 2.)
1.1.27. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. Mostre que se 퐴퐴푡 = 0¯, enta˜o 퐴 = 0¯. (Sugesta˜o: use o trac¸o.) E se
a matriz 퐴 for 푚× 푛, com 푚 ∕= 푛?
1.1.28. Ja´ vimos que o produto de matrizes na˜o e´ comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes
sa˜o comutativos. Mostre que:
(a) Se 퐷1 e 퐷2 sa˜o matrizes diagonais 푛× 푛, enta˜o 퐷1퐷2 = 퐷2퐷1.
(b) Se 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛 e
퐵 = 푎0퐼푛 + 푎1퐴+ 푎2퐴
2 + . . .+ 푎푘퐴
푘,
em que 푎0, . . . , 푎푘 sa˜o escalares, enta˜o 퐴퐵 = 퐵퐴.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
32 Matrizes e Sistemas Lineares
1.1.29. Uma matriz 퐴 e´ chamada nilpotente se 퐴푘 = 0¯, para algum inteiro positivo 푘. Verifique que a
matriz
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
0 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
푛×푛
,
e´ nilpotente.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.1 Matrizes 33
Apeˆndice I: Notac¸a˜o de Somato´rio
Sa˜o va´lidas algumas propriedades para a notac¸a˜o de somato´rio:
(a) O ı´ndice do somato´rio e´ uma varia´vel muda que pode ser substituı´da por qualquer letra:
푛∑
푖=1
푓푖 =
푛∑
푗=1
푓푗.
(b) O somato´rio de uma soma pode ser escrito como uma soma de dois somato´rios:
푛∑
푖=1
(푓푖 + 푔푖) =
푛∑
푖=1
푓푖 +
푛∑
푖=1
푔푖.
Pois,
푛∑
푖=1
(푓푖+푔푖) = (푓1+푔1)+ . . .+(푓푛+푔푛) = (푓1+ . . .+푓푛)+(푔1+ . . .+푔푛) =
푛∑
푖=1
푓푖+
푛∑
푖=1
푔푖.
Aqui foram aplicadas as propriedades associativa e comutativa da soma de nu´meros.
(c) Se no termo geral do somato´rio aparece um produto, em que um fator na˜o depende do ı´ndice
do somato´rio, enta˜o este fator pode “sair” do somato´rio:
푛∑
푖=1
푓푖 푔푘 = 푔푘
푛∑
푖=1
푓푖.
Pois,
푛∑
푖=1
푓푖 푔푘 = 푓1푔푘 + . . . + 푓푛푔푘 = 푔푘(푓1 + . . . + 푓푛) = 푔푘
푛∑
푖=1
푓푖. Aqui foram aplicadas as
propriedades distributiva e comutativa do produto em relac¸a˜o a soma de nu´meros.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
34 Matrizes e Sistemas Lineares
(d) Num somato´rio duplo, a ordem dos somato´rios pode ser trocada:
푛∑
푖=1
푚∑
푗=1
푓푖푗 =
푚∑
푗=1
푛∑
푖=1
푓푖푗.
Pois,
푛∑
푖=1
푚∑
푗=1
푓푖푗 =
푛∑
푖=1
(푓푖1+ . . .+ 푓푖푚) = (푓11+ . . .+ 푓1푚)+ . . .+(푓푛1+ . . .+ 푓푛푚) = (푓11+ . . .+
푓푛1) + . . .+ (푓1푚 + . . .+ 푓푛푚) =
푚∑
푗=1
(푓1푗 + . . .+ 푓푛푗) =
푚∑
푗=1
푛∑
푖=1
푓푖푗 . Aqui foram aplicadas as
propriedades comutativa e associativa da soma de nu´meros.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 35
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Muitos problemas em va´rias a´reas da Cieˆncia recaem na soluc¸a˜o de sistemas lineares. Vamos
ver como a a´lgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares.
Uma equac¸a˜o linear em 푛 varia´veis 푥1, 푥2, . . . , 푥푛 e´ uma equac¸a˜o da forma
푎1푥1 + 푎2푥2 + . . .+ 푎푛푥푛 = 푏 ,
em que 푎1, 푎2, . . . , 푎푛 e 푏 sa˜o constantes reais;
Um sistema de equac¸o˜es lineares ou simplesmente sistema linear e´ um conjunto de equac¸o˜es
lineares, ou seja, e´ um conjunto de equac¸o˜es da forma⎧⎨
⎩
푎11푥1 + 푎12푥2 + . . . + 푎1푛푥푛 = 푏1
푎21푥1 + 푎22푥2 + . . . + 푎2푛푥푛 = 푏2
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
푎푚1푥1 + 푎푚2푥2 + . . . + 푎푚푛푥푛 = 푏푚
em que 푎푖푗 e 푏푘 sa˜o constantes reais, para 푖, 푘 = 1, . . . ,푚 e 푗 = 1, . . . , 푛.
Usando o produto de matrizes que definimos na sec¸a˜o anterior, o sistema linear acima pode ser
escrito como uma equac¸a˜o matricial
퐴푋 = 퐵,
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
36 Matrizes e Sistemas Lineares
em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
푎21 푎22 . . . 푎2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏1
푏2
.
.
.
푏푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Uma soluc¸a˜o de um sistema linear e´ uma matriz 푆 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푠1
푠2
.
.
.
푠푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ tal que as equac¸o˜es do sistema sa˜o
satisfeitas quando substituı´mos 푥1 = 푠1, 푥2 = 푠2, . . . , 푥푛 = 푠푛. O conjunto de todas as soluc¸o˜es do
sistema e´ chamado conjunto soluc¸a˜o ou soluc¸a˜o geral do sistema. A matriz 퐴 e´ chamada matriz
do sistema linear.
Exemplo 1.10. O sistema linear de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas{
푥 + 2푦 = 1
2푥 + 푦 = 0
pode ser escrito como [
1 2
2 1
] [
푥
푦
]
=
[
1
0
]
.
A soluc¸a˜o (geral) do sistema acima e´ 푥 = −1/3 e 푦 = 2/3 (verifique!) ou
푋 =
[ −1
3
2
3
]
.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 37
Uma forma de resolver um sistema linear e´ substituir o sistema inicial por outro que tenha o mesmo
conjunto soluc¸a˜o do primeiro, mas que seja mais fa´cil de resolver. O outro sistema e´ obtido depois
de aplicar sucessivamente uma se´rie de operac¸o˜es, que na˜o alteram a soluc¸a˜o do sistema, sobre as
equac¸o˜es. As operac¸o˜es que sa˜o usadas sa˜o:
∙ Trocar a posic¸a˜o de duas equac¸o˜es do sistema;
∙ Multiplicar uma equac¸a˜o por um escalar diferente de zero;
∙ Somar a uma equac¸a˜o outra equac¸a˜o multiplicada por um escalar.
Estas operac¸o˜es sa˜o chamadas de operac¸o˜es elementares. Quando aplicamos operac¸o˜es ele-
mentares sobre as equac¸o˜es de um sistema linear somente os coeficientes do sistema sa˜o alterados,
assim podemos aplicar as operac¸o˜es sobre a matriz de coeficientes do sistema, que chamamos de
matriz aumentada, ou seja, a matriz
[퐴 ∣ 퐵] =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛 푏1
푎21 푎22 . . . 푎2푛 푏2
.
.
. . . .
.
.
.
.
.
.
푎푚1 푎푚2 . . . 푎푚푛 푏푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
38 Matrizes e Sistemas Lineares
Definic¸a˜o 1.5. Uma operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz e´ uma das seguintes
operac¸o˜es:
(a) Trocar a posic¸a˜o de duas linhas da matriz;
(b) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero;
(c) Somar a uma linha da matriz um mu´ltiplo escalar de outra linha.
O pro´ximo teorema garante que ao aplicarmos operac¸o˜es elementares a`s equac¸o˜es de um sis-
tema o conjunto soluc¸a˜o na˜o e´ alterado.
Teorema 1.2. Se dois sistemas lineares 퐴푋 = 퐵 e 퐶푋 = 퐷, sa˜o tais que a matriz aumentada
[퐶 ∣ 퐷] e´ obtida de [퐴 ∣ 퐵] aplicando-se uma operac¸a˜o elementar, enta˜o os dois sistemas possuem
as mesmas soluc¸o˜es.
Demonstrac¸a˜o. A demonstrac¸a˜o deste teorema segue-se de duas observac¸o˜es:
(a) Se 푋 e´ soluc¸a˜o de um sistema, enta˜o 푋 tambe´m e´ soluc¸a˜o do sistema obtido aplicando-se
uma operac¸a˜o elementar sobre suas equac¸o˜es (verifique!).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 39
(b) Se o sistema 퐶푋 = 퐷, e´ obtido de 퐴푋 = 퐵 aplicando-se uma operac¸a˜o elementar a`s
suas equac¸o˜es (ou equivalentemente a`s linhas da sua matriz aumentada), enta˜o o sistema
퐴푋 = 퐵 tambe´m pode ser obtido de 퐶푋 = 퐷 aplicando-se uma operac¸a˜o elementar a`s suas
equac¸o˜es, pois cada operac¸a˜o elementar possui uma operac¸a˜o elementar inversa do mesmo
tipo, que desfaz o que a anterior fez (verifique!).
Pela observac¸a˜o (b),퐴푋 = 퐵 e퐶푋 = 퐷 podem ser obtidos um do outro aplicando-se uma operac¸a˜o
elementar sobre as suas equac¸o˜es. E pela observac¸a˜o (a), os dois possuem as mesmas soluc¸o˜es.
■
Dois sistemas que possuem o mesmo conjunto soluc¸a˜o sa˜o chamados sistemas equivalentes.
Portanto, segue-se do Teorema 1.2 que aplicando-se operac¸o˜es elementares a`s equac¸o˜es de um
sistema linear obtemos sistemas equivalentes.
1.2.1 Me´todo de Gauss-Jordan
O me´todo que vamos usar para resolver sistemas lineares consiste na aplicac¸a˜o de operac¸o˜es
elementares a`s linhas da matriz aumentada do sistema ate´ que obtenhamos uma matriz numa forma
em que o sistema associado a esta matriz seja de fa´cil resoluc¸a˜o.
Vamos procurar obter uma matriz numa forma em que todas as linhas na˜o nulas possuam como
primeiro elemento na˜o nulo (chamado pivoˆ) o nu´mero 1 . Ale´m disso, se uma coluna conte´m um pivoˆ,
enta˜o todos os seus outros elementos tera˜o que ser iguais a zero. Vamos ver no exemplo seguinte
como conseguimos isso. Neste exemplo veremos como a partir do faturamento e do gasto com
insumos podemos determinar quanto foi produzido de cada produto manufaturado em uma indu´stria.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
40 Matrizes e Sistemas Lineares
Exemplo 1.11. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00, R$ 3,00
e R$ 5,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de
X, Y e Z manufaturada com 1 kg
de A e 2 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada um
dos produtos X, Y e Z foram vendidos. Como vimos no Exemplo 1.6 na pa´gina 8, usando matrizes o
esquema de produc¸a˜o pode ser descrito da seguinte forma:
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
prec¸o/kg
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ = 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
⎡
⎣ 푥+ 푦 + 푧2푥+ 푦 + 4푧
2푥+ 3푦 + 5푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
Assim precisamos resolver o sistema linear⎧⎨
⎩
푥 + 푦 + 푧 = 1000
2푥 + 푦 + 4푧 = 2000
2푥 + 3푦 + 5푧 = 2500
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 1 1 10002 1 4 2000
2 3 5 2500
⎤
⎦
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 41
1a. eliminac¸a˜o:
Vamos procurar para pivoˆ da 1a. linha um elemento na˜o nulo da primeira coluna na˜o nula (se for o caso,
podemos usar a troca de linhas para “trazeˆ-lo” para a primeira linha). Como o primeiro elemento da
primeira coluna e´ igual a 1 ele sera´ o primeiro pivoˆ. Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da
1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adicionamos a` 2a. linha,−2 vezes a 1a. linha e adicionamos
a` 3a. linha, tambe´m, −2 vezes a 1a. linha.
−2×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
−2×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎢⎣ 1 1 1 10000 −1⃝ 2 0
0 1 3 500
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Vamos escolher o elemento de posic¸a˜o 2,2.
Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, vamos multiplicar a 2a. linha por −1.
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 10000 1 −2 0
0 1 3 500
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, soma-
mos a` 1a. linha, −1 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, tambe´m, −1 vezes a 2a. .
−1×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 5⃝ 500
⎤
⎦
3a. eliminac¸a˜o:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
42 Matrizes e Sistemas Lineares
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. e a 2a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Temos de escolher o elemento de posic¸a˜o
3,3 e como temos de “fazer” o pivoˆ igual a 1, vamos multiplicar a 3a. linha por 1/5.
1
5
×3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 10000 1 −2 0
0 0 1 100
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 3a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, soma-
mos a` 1a. linha, −3 vezes a 3a. e somamos a` 2a. linha, 2 vezes a 2a. .
−3×3a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×3a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 0 0 7000 1 0 200
0 0 1 100
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
푥 = 700
푦 = 200
푧 = 100
que possui soluc¸a˜o geral dada por
푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 700200
100
⎤
⎦ .
Portanto, foram vendidos 700 kg do produto X, 200 kg do produto Y e 100 kg do produto Z.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 43
A u´ltima matriz que obtivemos no exemplo anterior esta´ na forma que chamamos de escalonada
reduzida.
Definic¸a˜o 1.6. Uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 esta´ na forma escalonada reduzida quando satisfaz as
seguintes condic¸o˜es:
(a) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas na˜o nulas;
(b) O pivoˆ (1o. elemento na˜o nulo de uma linha) de cada linha na˜o nula e´ igual a 1;
(c) O pivoˆ de cada linha na˜o nula ocorre a` direita do pivoˆ da linha anterior.
(d) Se uma coluna conte´m um pivoˆ, enta˜o todos os seus outros elementos sa˜o iguais a zero.
Se uma matriz satisfaz as propriedades (a) e (c), mas na˜o necessariamente (b) e (d), dizemos que
ela esta´ na forma escalonada.
Exemplo 1.12. As matrizes ⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
44 Matrizes e Sistemas Lineares
sa˜o escalonadas reduzidas, enquanto⎡
⎣ 1 1 10 −1 2
0 0 5
⎤
⎦ e
⎡
⎣ 1 3 −1 50 0 −5 15
0 0 0 0
⎤
⎦
sa˜o escalonadas, mas na˜o sa˜o escalonadas reduzidas.
Este me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas, que consiste em aplicar operac¸o˜es elementares a`s linhas
da matriz aumentada ate´ que a matriz do sistema esteja na forma escalonada reduzida, e´ conhecido
como me´todo de Gauss-Jordan.
Exemplo 1.13. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
푥 + 3푦 + 13푧 = 9
푦 + 5푧 = 2
−2푦 − 10푧 = −8
A sua matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 1⃝ 3 13 90 1 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como o pivoˆ da 1a. linha e´ igual a 1 e os outros elementos da 1a. coluna sa˜o iguais a zero, na˜o ha´ nada
o que fazer na 1a. eliminac¸a˜o. ⎡
⎢⎣ 1 3 13 90 1⃝ 5 2
0 −2 −10 −8
⎤
⎥⎦
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 45
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para submatriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento na˜o
nulo da 1a. coluna na˜o nula da submatriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜o 2,2. Como ele e´ igual a
1, precisamos, agora, “zerar” os outros elementos da coluna do pivoˆ. Para isto somamos a` 1a. linha,
−3 vezes a 2a. e somamos a` 3a. linha, 2 vezes a 2a. .
−3×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −2 30 1 5 2
0 0 0 −4
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema⎧⎨
⎩
푥 − 2푧 = 3
푦 + 5푧 = 2
0 = −4
que na˜o possui soluc¸a˜o.
Em geral, um sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se, a u´ltima linha na˜o nula da forma
escalonada reduzida da sua matriz aumentada for da forma [ 0 . . . 0 ∣ 푏′푚 ], com 푏′푚 ∕= 0.
Exemplo 1.14. Considere o seguinte sistema⎧⎨
⎩
3푧 − 9푤 = 6
5푥 + 15푦 − 10푧 + 40푤 = −45
푥 + 3푦 − 푧 + 5푤 = −7
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
46 Matrizes e Sistemas Lineares
A sua matriz aumentada e´ ⎡
⎣ 0 0 3 −9 65 15 −10 40 −45
1⃝ 3 −1 5 −7
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
Como temos que “fazer” o pivoˆ igual a um, escolhemos para pivoˆ o elemento de posic¸a˜o 3,1. Preci-
samos “coloca´-lo” na primeira linha, para isto, trocamos a 3a. linha com a 1a. .
1a. linha ←→ 4a. linha
⎡
⎣ 1⃝ 3 −1 5 −75 15 −10 40 −45
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adici-
onamos a` 2a. linha, −5 vezes a 1a. .
−5×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 3 −1 5 −70 0 −5⃝ 15 −10
0 0 3 −9 6
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
Olhamos para a sub-matriz obtida eliminando-se a 1a. linha. Escolhemos para pivoˆ um elemento
diferente de zero na 1a. coluna na˜o nula desta sub-matriz. Escolhemos o elemento de posic¸a˜o 2,3.
Como temos que fazer o pivoˆ igual a 1, multiplicamos a 2a. linha por −1/5.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 47
−(1/5)×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 3 −1 5 −70 0 1⃝ −3 2
0 0 3 −9 6
⎤
⎦
Agora, precisamos “zerar” os outros elementos da 2a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adici-
onamos a` 1a. linha a 2a. e a` 3a. linha, −3 vezes a 2a. .
2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−3×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 3 0 2 −50 0 1 −3 2
0 0 0 0 0
⎤
⎦
Esta matriz e´ escalonada reduzida. Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte{
푥 + 3푦 + 2푤 = −5
푧 − 3푤 = 2.
A matriz deste sistema possui duas colunas sem pivoˆs. As varia´veis que na˜o esta˜o associadas
a pivoˆs podem ser consideradas varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios. Neste
exemplo as varia´veis 푦 e 푤 na˜o esta˜o associadas a pivoˆs e podem ser consideradas varia´veis livres.
Sejam 푤 = 훼 e 푦 = 훽. As varia´veis associadas
aos pivoˆs tera˜o os seus valores dependentes das
varia´veis livres, 푧 = 2 + 3훼, 푥 = −5− 2훼− 3훽. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
푋 =
⎡
⎢⎢⎣
푥
푦
푧
푤
⎤
⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎣
−5− 2훼− 3훽
훽
2 + 3훼
훼
⎤
⎥⎥⎦ para todos os valores de 훼 e 훽 reais.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
48 Matrizes e Sistemas Lineares
Em geral, se o sistema linear tiver soluc¸a˜o e a forma escalonada reduzida da matriz aumentada
possuir colunas sem pivoˆs, as varia´veis que na˜o esta˜o associadas a pivoˆs podem ser consideradas
varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios. As varia´veis associadas aos pivoˆs tera˜o
os seus valores dependentes das varia´veis livres.
Lembramos que o sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se a u´ltima linha na˜o nula da forma escalonada
reduzida da matriz aumentada do sistema for da forma [ 0 . . . 0 ∣ 푏′푚 ], com 푏′푚 ∕= 0, como no Exemplo
1.13 na pa´gina 44.
Observac¸a˜o. Para se encontrar a soluc¸a˜o de um sistema linear na˜o e´ necessa´rio transformar a
matriz aumentada do sistema na sua forma escalonada reduzida, mas se a matriz esta´ nesta forma, o
sistema associado e´ o mais simples possı´vel. Um outro me´todo de resolver sistemas lineares consiste
em, atrave´s da aplicac¸a˜o de operac¸o˜es elementares a` matriz aumentada do sistema, se chegar a uma
matriz que e´ somente escalonada (isto e´, uma matriz que satisfaz as condic¸o˜es (a) e (c), mas na˜o
necessariamente (b) e (d) da Definic¸a˜o 1.6). Este me´todo e´ conhecido como me´todo de Gauss.
O pro´ximo resultado mostra que um sistema linear que tenha mais de uma soluc¸a˜o na˜o pode ter
um nu´mero finito de soluc¸o˜es.
Proposic¸a˜o 1.3. Sejam 퐴 uma matriz 푚 × 푛 e 퐵 uma matriz 푚 × 1. Se o sistema linear 퐴푋 = 퐵
possui duas soluc¸o˜es distintas 푋0 ∕= 푋1, enta˜o ele tem infinitas soluc¸o˜es.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 49
Demonstrac¸a˜o. Seja
푋휆 = (1− 휆)푋0 + 휆푋1, para 휆 ∈ ℝ.
Vamos mostrar que 푋휆 e´ soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵, para qualquer 휆 ∈ ℝ. Para isto vamos
mostrar que 퐴푋휆 = 퐵.
Aplicando as propriedades (i), (j) das operac¸o˜es matriciais (Teorema 1.1 na pa´gina 10) obtemos
퐴푋휆 = 퐴[(1− 휆)푋0 + 휆푋1] = 퐴(1− 휆)푋0 + 퐴휆푋1 = (1− 휆)퐴푋0 + 휆퐴푋1
Como 푋0 e 푋1 sa˜o soluc¸o˜es de 퐴푋 = 퐵, enta˜o 퐴푋0 = 퐵 e 퐴푋1 = 퐵, portanto
퐴푋휆 = (1− 휆)퐵 + 휆퐵 = [(1− 휆) + 휆]퐵 = 퐵,
pela propriedade (f) do Teorema 1.1.
Assim o sistema 퐴푋 = 퐵 tem infinitas soluc¸o˜es, pois para todo valor de 휆 ∈ ℝ, 푋휆 e´ soluc¸a˜o e
푋휆−푋휆′ = (휆−휆′)(푋1−푋0), ou seja, 푋휆 ∕= 푋휆′ , para 휆 ∕= 휆′. Observe que para 휆 = 0, 푋휆 = 푋0,
para 휆 = 1, 푋휆 = 푋1, para 휆 = 1/2, 푋휆 = 12푋0 +
1
2
푋1, para 휆 = 3, 푋휆 = −2푋0 + 3푋1 e para
휆 = −2, 푋휆 = 3푋0 − 2푋1.
No Exemplo 3.4 na pa´gina 174 temos uma interpretac¸a˜o geome´trica desta demonstrac¸a˜o. ■
Para resolver sistemas lineares vimos aplicando operac¸o˜es elementares a` matriz aumentada do
sistema linear. Isto pode ser feito com quaisquer matrizes.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
50 Matrizes e Sistemas Lineares
1.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas
Definic¸a˜o 1.7. Uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ equivalente por linhas a uma matriz 퐵 = (푏푖푗)푚×푛, se
퐵 pode ser obtida de 퐴 aplicando-se uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares sobre as suas linhas.
Exemplo 1.15. Observando os Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13, vemos que as matrizes⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 0 0 3 −95 15 −10 40
1 3 −1 5
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 130 1 5
0 −2 −10
⎤
⎦
sa˜o equivalentes por linhas a`s matrizes⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 3 0 20 0 1 −3
0 0 0 0
⎤
⎦ ,
⎡
⎣ 1 0 −20 1 5
0 0 0
⎤
⎦ ,
respectivamente. Matrizes estas que sa˜o escalonadas reduzidas.
Cuidado: elas sa˜o equivalentes por linhas, na˜o sa˜o iguais!
A relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” satisfaz as seguintes propriedades, cuja verificac¸a˜o deixa-
mos como exercı´cio para o leitor:
∙ Toda matriz e´ equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 51
∙ Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵, enta˜o 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐴 (simetria);
∙ Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵 e 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐶, enta˜o 퐴 e´ equivalente por
linhas a 퐶 (transitividade).
Toda matriz e´ equivalente por linhas a uma matriz na forma escalonada reduzida e a
demonstrac¸a˜o, que omitiremos, pode ser feita da mesma maneira que fizemos no caso particular
das matrizes aumentadas dos Exemplos 1.11, 1.14 e 1.13. No Teorema 4.10 na pa´gina 276 mostra-
mos que essa matriz escalonada reduzida e´ a u´nica matriz na forma escalonada reduzida equivalente
a 퐴.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
52 Matrizes e Sistemas Lineares
Teorema 1.4. Toda matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 e´ equivalente por linhas a uma u´nica matriz escalonada
reduzida 푅 = (푟푖푗)푚×푛.
O pro´ximo resultado sera´ usado para provar alguns resultados no capı´tulo de inversa˜o de matrizes.
Proposic¸a˜o 1.5. Seja 푅 uma matriz 푛× 푛, na forma escalonada reduzida. Se 푅 ∕= 퐼푛, enta˜o 푅 tem
uma linha nula.
Demonstrac¸a˜o. Observe que o pivoˆ de uma linha 푖 esta´ sempre numa coluna 푗 com 푗 ≥ 푖. Portanto,
ou a u´ltima linha de 푅 e´ nula ou o pivoˆ da linha 푛 esta´ na posic¸a˜o 푛, 푛. Mas, neste caso todas as
linhas anteriores sa˜o na˜o nulas e os pivoˆs de cada linha 푖 esta´ na coluna 푖, ou seja, 푅 = 퐼푛. ■
1.2.3 Sistemas Lineares Homogeˆneos
Um sistema linear da forma⎧⎨
⎩
푎11푥1 + 푎12푥2 + . . . + 푎1푛푥푛 = 0
푎21푥1 + 푎22푥2 + . . . + 푎2푛푥푛 = 0
.
.
.
.
.
. =
.
.
.
푎푚1푥1 + 푎푚2푥2 + . . . + 푎푚푛푥푛 = 0
(1.7)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 53
e´ chamado sistema homogeˆneo. O sistema (1.7) pode ser escrito como 퐴푋 = 0¯. Todo sistema
homogeˆneo admite pelo menos a soluc¸a˜o 푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ chamada de soluc¸a˜o trivial.
Portanto, todo sistema homogeˆneo tem soluc¸a˜o. Ale´m disso ou tem somente a soluc¸a˜o trivial ou tem
infinitas soluc¸o˜es
Observac¸a˜o. Para resolver um sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, basta escalonarmos a matriz 퐴
do sistema, ja´ que sob a ac¸a˜o de uma operac¸a˜o elementar a coluna de zeros na˜o e´ alterada. Mas, e´
preciso ficar atento quando se escreve o sistema linear associado a` matriz resultante das operac¸o˜es
elementares, para se levar em considerac¸a˜o esta coluna de zeros que na˜o vimos escrevendo.
Teorema 1.6. Se 퐴 = (푎푖푗)푚×푛, e´ tal que 푚 < 푛, enta˜o o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o
diferente da soluc¸a˜o trivial, ou seja, todo sistema homogeˆneo com menos equac¸o˜es do que inco´gnitas
tem infinitas soluc¸o˜es.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
54 Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac¸a˜o. Como o sistema tem menos equac¸o˜es do que inco´gnitas (푚 < 푛), o nu´mero de
linhas na˜o nulas 푟 da forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema tambe´m e´ tal que
푟 < 푛. Assim, temos 푟 pivoˆs e 푛−푟 varia´veis (inco´gnitas) livres, que podem assumir todos os valores
reais. Logo, o sistema admite soluc¸a˜o na˜o trivial e portanto infinitas soluc¸o˜es. ■
O conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo satisfaz duas propriedades interessantes.
Estas propriedades tera˜o um papel decisivo no estudo de subespac¸os de ℝ푛 na Sec¸a˜o 4.1 na pa´gina
245.
Proposic¸a˜o 1.7. Seja 퐴 = (푎푖푗)푚×푛.
(a) Se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo, 퐴푋 = 0¯, enta˜o 푋 + 푌 tambe´m o e´.
(b) Se 푋 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo, 퐴푋 = 0¯, enta˜o 훼푋 tambe´m o e´.
Demonstrac¸a˜o. (a) Se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o 퐴푋 = 0¯ e
퐴푌 = 0¯ e portanto 푋 + 푌 tambe´m e´ soluc¸a˜o pois, 퐴(푋 + 푌 ) = 퐴푋 + 퐴푌 = 0¯ + 0¯ = 0¯;
(b) Se 푋 e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o 훼푋 tambe´m o e´, pois 퐴(훼푋) =
훼퐴푋 = 훼0¯ = 0¯.
■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear
Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 55
Estas propriedades na˜o sa˜o va´lidas para sistemas lineares em geral. Por exemplo, considere o
sistema linear 퐴푋 = 퐵, em que 퐴 = [1] e 퐵 = [1]. A soluc¸a˜o deste sistema e´ 푋 = [1]. Mas,
푋 +푋 = 2푋 = 2, na˜o e´ soluc¸a˜o do sistema.
Exemplo 1.16. Vamos retomar a cadeia de Markov do Exemplo 1.9 na pa´gina 16. Vamos supor que
uma populac¸a˜o e´ dividida em treˆs estados (por exemplo: ricos, classe me´dia e pobres) e que em cada
unidade de tempo a probabilidade de mudanc¸a de um estado para outro seja constante no tempo, so´
dependa dos estados.
Seja 푡푖푗 a probabilidade de mudanc¸a do estado 푗 para o estado 푖 em uma unidade de tempo
(gerac¸a˜o). A matriz de transic¸a˜o e´ dada por
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎣ 푡11 푡12 푡13푡21 푡22 푡23
푡31 푡32 푡33
⎤
⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Por exemplo, a matriz de transic¸a˜o pode ser dada por
푇 =
1⃝ 2⃝ 3⃝⎡
⎢⎣
1
2
1
4
0
1
2
1
2
1
2
0 1
4
1
2
⎤
⎥⎦ 1⃝2⃝
3⃝
Vamos descobrir qual distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o entre os treˆs estados permanece inalterada,
gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o. Ou seja, vamos determinar 푃 tal que
푇푃 = 푃 ou 푇푃 = 퐼3푃 ou (푇 − 퐼3)푃 = 0¯.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
56 Matrizes e Sistemas Lineares
Assim precisamos resolver o sistema linear homogeˆneo⎧⎨
⎩
−1
2
푥 + 1
4
푦 = 0
1
2
푥 − 1
2
푦 + 1
2
푧 = 0
1
4
푦 − 1
2
푧 = 0
cuja matriz aumentada e´ ⎡
⎢⎣ −
1
2
1
4
0 0
1
2
−1
2
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
1a. eliminac¸a˜o:
−2×1a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2
0 0
1
2
−1
2
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
−1
2
×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 −
1
2
0 0
0 −1
4
1
2
0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎥⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−4×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 −12 0 00 1 −2 0
0 1
4
−1
2
0
⎤
⎦
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 57
1
2
×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1
4
×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 −1 00 1 −2 0
0 0 0 0
⎤
⎦
Portanto o sistema dado e´ equivalente ao sistema seguinte{
푥 − 푧 = 0
푦 − 2푧 = 0
Seja 푧 = 훼. Enta˜o 푦 = 2훼 e 푥 = 훼. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema e´
푋 =
⎡
⎣ 푝1푝2
푝3
⎤
⎦ = 훼
⎡
⎣ 12
1
⎤
⎦ , para todo 훼 ∈ ℝ.
Tomando a soluc¸a˜o tal que 푝1 + 푝2 + 푝3 = 1 obtemos que se a populac¸a˜o inicial for distribuı´da de
forma que 푝1 = 1/4 da populac¸a˜o esteja no estado 1, 푝2 = 1/2 da populac¸a˜o esteja no estado 2 e
푝3 = 1/4, esteja no estado 3, enta˜o esta distribuic¸a˜o permanecera´ constante gerac¸a˜o apo´s gerac¸a˜o.
1.2.4 Matrizes Elementares (opcional)
Definic¸a˜o 1.8. Uma matriz elementar 푛×푛 e´ uma matriz obtida da matriz identidade 퐼푛 aplicando-se
uma, e somente uma, operac¸a˜o elementar.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
58 Matrizes e Sistemas Lineares
Vamos denotar por 퐸푖푗 a matriz elementar obtida trocando-se a linha 푖 com a linha 푗 da matriz 퐼푛,
퐸푖(훼) a matriz elementar obtida multiplicando-se a linha 푖 da matriz 퐼푛 pelo escalar 훼 ∕= 0 e 퐸푖,푗(훼)
a matriz elementar obtida da matriz 퐼푛, somando-se a` linha 푗, 훼 vezes a linha 푖.
퐸푖,푗 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ 0 . . . 1 ⋅
⋅
.
.
.
.
.
.
.
.
. ⋅
⋅ 1 . . . 0 ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅
.
.
. 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
, 퐸푖(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ 훼 ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
e 퐸푖,푗(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0
0
.
.
. ⋅
⋅ 1 ⋅
⋅ ... . . . ⋅
⋅ 훼 . . . 1 ⋅
⋅ . . . 0
0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0 1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
Exemplo 1.17. As matrizes seguintes sa˜o as matrizes elementares 2× 2:
퐸1,2 = 퐸2,1 =
[
0 1
1 0
]
, 퐸1(훼) =
[
훼 0
0 1
]
, 퐸2(훼) =
[
1 0
0 훼
]
, com 훼 ∕= 0,
퐸1,2(훼) =
[
1 0
훼 1
]
e 퐸2,1(훼) =
[
1 훼
0 1
]
.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 59
Sejam 퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
1
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦,. . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
1
⎤
⎥⎥⎥⎦ matrizes 푚× 1.
As matrizes elementares podem ser escritas em termos das matrizes 퐸푖 como
퐸푖,푗 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푗
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
, 퐸푖(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
훼퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦← 푖 e 퐸푖,푗(훼) =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푗 + 훼퐸
푡
푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
Aplicar uma operac¸a˜o elementar em uma matriz, corresponde a multiplicar a matriz a` esquerda
por uma matriz elementar, como mostra o resultado a seguir.
Teorema 1.8. Sejam 퐸 uma matriz elementar 푚×푚 e 퐴 uma matriz qualquer 푚× 푛. Enta˜o, 퐸퐴 e´
igual a` matriz obtida aplicando-se na matriz 퐴 a mesma operac¸a˜o elementar que originou 퐸.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
60 Matrizes e Sistemas Lineares
Demonstrac¸a˜o. Como a 푖-e´sima linha de um produto de matrizes 퐵퐴 e´ igual a 퐵푖퐴, em que 퐵푖 e´ a
푖-e´sima linha da matriz 퐵 (Exercı´cio 1.1.18 (b) na pa´gina 28) e 퐸푡푖퐴 = 퐴푖, em que 퐴푖 e´ a linha 푖 da
matriz 퐴 (Exercı´cio 16 (b) na pa´gina 26), enta˜o:
퐸푖,푗퐴 =
푖→
푗→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푗
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1퐴
.
.
.
퐸푡푗퐴
.
.
.
퐸푡푖퐴
.
.
.
퐸푡푚퐴
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푗
.
.
.
퐴푖
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
퐸푖(훼)퐴 = 푖→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
훼퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦ 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1퐴
.
.
.
훼퐸푡푖퐴
.
.
.
퐸푡푚퐴
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦← 푖 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
훼퐴푖
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦← 푖
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 61
퐸푖,푗(훼)퐴 =
푖→
푗→
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1
.
.
.
퐸푡푖
.
.
.
퐸푡푗 + 훼퐸
푡
푖
.
.
.
퐸푡푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐸푡1퐴
.
.
.
퐸푡푖퐴
.
.
.
퐸푡푗퐴+ 훼퐸
푡
푖퐴
.
.
.
퐸푡푚퐴
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
=
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푖
.
.
.
퐴푗 + 훼퐴푖
.
.
.
퐴푚
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푗
■
Assim, aplicar uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares em uma matriz, corresponde a multipli-
car a matriz a` esquerda por um produto de matrizes elementares.
Exemplo 1.18. Quando usamos o me´todo de Gauss-Jordan para resolver o sistema do Exemplo 1.11
na pa´gina 40, aplicamos uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares na matriz aumentada do sistema.
Isto corresponde a multiplicar a matriz aumentada
[퐴 ∣퐵 ] =
⎡
⎣ 1 1 1 10002 1 4 2000
2 3 5 2500
⎤
⎦
a` esquerda pelas matrizes elementares
퐸1,2(−2) =
⎡
⎣ 1 0 0−2 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸1,3(−2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
−2 0 1
⎤
⎦ ,
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
62 Matrizes e Sistemas Lineares
퐸2(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 −1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,1(−1) =
⎡
⎣ 1 −1 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,3(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 −1 1
⎤
⎦
퐸3(
1
5
) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
5
⎤
⎦ , 퐸3,1(−3) =
⎡
⎣ 1 0 −30 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸3,2(2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 2
0 0 1
⎤
⎦ ,
ou seja,
퐸3,2(2)퐸3,1(−3)퐸3(15)퐸2,3(−1)퐸2,1(−1)퐸2(−1)퐸1,3(−2)퐸1,2(−2) [퐴 ∣퐵 ]=
⎡
⎣ 1 0 0 7000 1 0 200
0 0 1 100
⎤
⎦ .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 63
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 507)
1.2.1. Quais das seguintes matrizes esta˜o na forma escalonada reduzida:
퐴 =
⎡
⎣ 1 0 0 0 30 0 1 0 −4
0 0 0 1 2
⎤
⎦,
퐶 =
⎡
⎢⎢⎣
1 0 0 0 3
0 0 1 0 0
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦,
퐵 =
⎡
⎣ 0 1 0 0 −40
0 1 0 5
0 0 0 −1 2
⎤
⎦,
퐷 =
⎡
⎢⎢⎣
0 0 0 0 0
0 0 1 2 −4
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.2.2. Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando
operac¸o˜es elementares na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspon-
dente.
(a)
⎡
⎣ 1 0 0 −7 80 1 0 3 2
0 0 1 1 −5
⎤
⎦;
(b)
⎡
⎢⎢⎣
1 −6 0 0 3 −2
0 0 1 0 4 7
0 0 0 1 5 8
0 0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦;
(c)
⎡
⎣ 1 0 0 0 60 1 0 0 3
0 0 1 1 2
⎤
⎦;
(d)
⎡
⎢⎢⎣
1 7 0 0 −8 −3
0 0 1 0 6 5
0 0 0 1 3 9
0 0 0 0 0 0
⎤
⎥⎥⎦.
1.2.3. Resolva, usando o me´todo de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 + 푥2 + 2푥3 = 8
−푥1 − 2푥2 + 3푥3 = 1
3푥1 − 7푥2 + 4푥3 = 10
;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
64 Matrizes e Sistemas Lineares
(b)
⎧⎨
⎩
2푥1 + 2푥2 + 2푥3 = 0
−2푥1 + 5푥2 + 2푥3 = 1
8푥1 + 푥2 + 4푥3 = −1
;
(c)
⎧⎨
⎩
− 2푥2 + 3푥3 = 1
3푥1 + 6푥2 − 3푥3 = −2
6푥1 + 6푥2 + 3푥3 = 5
.
1.2.4. Os sistemas lineares seguintes possuem a mesma matriz 퐴. Resolva-os usando o me´todo de
Gauss-Jordan. Observe que os dois sistemas podem ser resolvidos ao mesmo tempo escalo-
nando a matriz aumentada [퐴 ∣퐵1 ∣퐵2 ].
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 + 푥3 = 1
2푥1 − 5푥2 + 푥3 = −2
3푥1 − 7푥2 + 2푥3 = −1
; (b)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 + 푥3 = 2
2푥1 − 5푥2 + 푥3 = −1
3푥1 − 7푥2 + 2푥3 = 2
.
1.2.5. Seja 퐴 =
⎡
⎣ 1 0 51 1 1
0 1 −4
⎤
⎦
.
(a) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema (퐴+ 4퐼3)푋 = 0¯;
(b) Encontre a soluc¸a˜o geral do sistema (퐴− 2퐼3)푋 = 0¯.
1.2.6. Para cada sistema linear dado, encontre todos os valores de 푎 para os quais o sistema na˜o tem
soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es:
(a)
⎧⎨
⎩
푥 + 2푦 − 3푧 = 4
3푥 − 푦 + 5푧 = 2
4푥 + 푦 + (푎2 − 14)푧 = 푎+ 2
;
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 65
(b)
⎧⎨
⎩
푥 + 푦 + 푧 = 2
2푥 + 3푦 + 2푧 = 5
2푥 + 3푦 + (푎2 − 1)푧 = 푎+ 1
.
1.2.7. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a
manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para
cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A
e 5 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 3,00, R$ 2,00
e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com
1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de cada
um dos produtos X, Y e Z foram vendidos. (Sugesta˜o: veja o Exemplo 1.11 na pa´gina 40.)
1.2.8. Determine os coeficientes 푎, 푏, 푐 e 푑 da func¸a˜o polinomial 푝(푥) = 푎푥3 + 푏푥2 + 푐푥 + 푑, cujo
gra´fico passa pelos pontos 푃1 = (0, 10), 푃2 = (1, 7), 푃3 = (3,−11) e 푃4 = (4,−14).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
66 Matrizes e Sistemas Lineares
−2 −1 0 1 2 3 4 5
−30
−20
−10
0
10
20
30
x
y
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 67
1.2.9. Determine coeficientes 푎, 푏 e 푐 da equac¸a˜o do cı´rculo, 푥2 + 푦2 + 푎푥 + 푏푦 + 푐 = 0, que passa
pelos pontos 푃1 = (−2, 7), 푃2 = (−4, 5) e 푃3 = (4,−3).
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68 Matrizes e Sistemas Lineares
−6 −4 −2 0 2 4 6 8
−4
−2
0
2
4
6
8
x
y
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 69
1.2.10. Encontre condic¸o˜es sobre os 푏푖’s para que cada um dos sistemas seja consistente (isto e´,
tenha soluc¸a˜o):
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 + 5푥3 = 푏1
4푥1 − 5푥2 + 8푥3 = 푏2
−3푥1 + 3푥2 − 3푥3 = 푏3
; (b)
⎧⎨
⎩
푥1 − 2푥2 − 푥3 = 푏1
−4푥1 + 5푥2 + 2푥3 = 푏2
−4푥1 + 7푥2 + 4푥3 = 푏3
.
1.2.11. (Relativo a` sub-sec¸a˜o 1.2.4) Considere a matriz
퐴 =
⎡
⎣ 0 1 7 81 3 3 8
−2 −5 1 −8
⎤
⎦ .
Encontre matrizes elementares 퐸,퐹,퐺 e 퐻 tais que 푅 = 퐸퐹퐺퐻퐴 e´ uma matriz escalonada
reduzida. (Sugesta˜o: veja o Exemplo 1.18 na pa´gina 61.)
1.2.12. Resolva, usando o me´todo de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
(a)
⎧⎨
⎩
푥1 + 2푥2 − 3푥4 + 푥5 = 2
푥1 + 2푥2 + 푥3 − 3푥4 + 푥5 + 2푥6 = 3
푥1 + 2푥2 − 3푥4 + 2푥5 + 푥6 = 4
3푥1 + 6푥2 + 푥3 − 9푥4 + 4푥5 + 3푥6 = 9
;
(b)
⎧⎨
⎩
푥1 + 3푥2 − 2푥3 + 2푥5 = 0
2푥1 + 6푥2 − 5푥3 − 2푥4 + 4푥5 − 3푥6 = −1
5푥3 + 10푥4 + 15푥6 = 5
2푥1 + 6푥2 + 8푥4 + 4푥5 + 18푥6 = 6
;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
70 Matrizes e Sistemas Lineares
1.2.13. Considere a matriz 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
1 1 1 1
1 3 −2 푎
2 2 푎− 2 −푎− 2 3 푎− 1
3 푎+ 2 −3 2 푎+ 1
⎤
⎥⎥⎦. Determine o conjunto soluc¸a˜o do
sistema 퐴푋 = 퐵, em que 퐵 = [ 4 3 1 6 ]푡, para todos os valores de 푎.
1.2.14. Resolva os sistemas lineares cujas matrizes aumentadas sa˜o:
(a)
⎡
⎣ 1 2 3 1 81 3 0 1 7
1 0 2 1 3
⎤
⎦;
(b)
⎡
⎣ 1 1 3 −3 00 2 1 −3 3
1 0 2 −1 −1
⎤
⎦;
(c)
⎡
⎢⎢⎣
1 2 3 0
1 1 1 0
1 1 2 0
1 3 3 0
⎤
⎥⎥⎦;
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,
..., An colocadas uma ao lado da outra;
>> expr=subs(expr,x,num) substitui na expressa˜o expr a varia´vel x por num.
>> p=poly2sym([an,...,a0],x) armazena na varia´vel p o polinoˆmio 푎푛푥푛 + . . .+ 푎0.
>> clf limpa a figura ativa.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 71
Comandos do pacote GAAL:
>> B=opel(alpha,i,A) ou >> oe(alpha,i,A)faz a operac¸a˜o elementar
alpha×linha i ==> linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B.
>> B=opel(alpha,i,j,A) ou >> oe(alpha,i,j,A) faz a operac¸a˜o elementar
alpha×linha i + linha j ==> linha j da matriz A e armazena em B.
>> B=opel(A,i,j) ou >> oe(A,i,j) faz a troca da linha 푖 com a linha 푗 da matriz A e arma-
zena a matriz resultante em B.
>> B=escalona(A) calcula passo a passo a forma escalonada reduzida da matriz A e arma-
zena a matriz resultante na varia´vel B.
>> matvand(P,k) obte´m a matriz de Vandermonde de ordem k, se P=[x1;...;xn] e a matriz
de Vandermonde generalizada no caso em que P=[x1,y1;...;xn,yn].
>> po([x1,y1;x2,y2;...xk,yk]) desenha os pontos (x1,y1),...,(xk,yk).
>> plotf1(f,[a,b]) desenha o gra´fico da func¸a˜o dada pela expressa˜o simbo´lica f no inter-
valo [a,b].
>> plotci(f,[a,b],[c,d]) desenha o gra´fico da curva dada implicitamente pela expressa˜o
f(x,y)=0 na regia˜o do plano [a,b]x[c,d].
>> p=poly2sym2([a,b,c,d,e,f],x,y) armazena na varia´vel p o polinoˆmio em duas
varia´veis 푎푥2 + 푏푥푦 + 푐푦2 + 푑푥+ 푒푦 + 푓 .
>> eixos desenha os eixos coordenados.
1.2.15. (a) Use o comando P=randi(4,2), para gerar 4 pontos com entradas inteiras e aleato´rias
entre −5 e 5. Os pontos esta˜o armazenados nas linhas da matriz P.
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72 Matrizes e Sistemas Lineares
(b) Use o MATLABⓇ para tentar encontrar os coeficientes 푎, 푏, 푐 e 푑 da func¸a˜o polinomial
푝(푥) = 푎푥3 + 푏푥2 + 푐푥+ 푑 cujo gra´fico passa pelos pontos dados pelas linhas da matriz
P. A matriz A=matvand(P(:,1),3) pode ser u´til na soluc¸a˜o deste problema, assim como
a matriz B=P(:,2). Se na˜o conseguiu, repita o passo anterior. Por que pode na˜o ser
possı´vel?
(c) Desenhe os pontos e o gra´fico do polinoˆmio com os comandos
clf, po(P), syms x, p=poly2sym(R(:,5),x), plotf1(p,[-5,5]), em que R e´ forma
escalonada reduzida da matriz [A,B].
(d) Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos.
1.2.16. (a) Use o comando P=randi(5,2), para gerar 5 pontos com entradas inteiras e aleato´rias
entre −5 e 5. Os pontos esta˜o armazenados nas linhas da matriz P.
(b) Use o MATLABⓇ para tentar encontrar os coeficientes 푎, 푏, 푐, 푑, 푒 e 푓 da coˆnica, curva de
equac¸a˜o 푎푥2 + 푏푥푦 + 푐푦2 + 푑푥 + 푒푦 + 푓 = 0, cujo gra´fico passa pelos pontos cujas
coordenadas sa˜o dadas pelas linhas da matriz P. A matriz A=matvand(P,2) pode ser u´til
na soluc¸a˜o deste problema. Se na˜o conseguiu, repita o passo anterior. Por que pode na˜o
ser possı´vel?
(c) Desenhe os pontos e a coˆnica com os comandos
clf, po(P), syms x y, p=poly2sym2([-R(:,6);1],x,y),
plotci(p,[-5,5],[-5,5]), em que R e´ a forma escalonada reduzida da matriz
A.
(d) Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos.
1.2.17. Use o MATLABⓇ e resolva os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 1.2.3.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 73
Exercı´cios Teo´ricos
1.2.18. Mostre que toda operac¸a˜o elementar possui inversa, do mesmo tipo, ou seja, para cada
operac¸a˜o elementar existe uma outra operac¸a˜o elementar do mesmo tipo que desfaz o que
a operac¸a˜o anterior fez.
1.2.19. Prove que:
(a) Toda matriz e´ equivalente por linhas a ela mesma (reflexividade);
(b) Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵, enta˜o 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐴 (simetria);
(c) Se 퐴 e´ equivalente por linhas a 퐵 e 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐶, enta˜o 퐴 e´ equivalente
por linhas a 퐶 (transitividade).
1.2.20. (a) Sejam 푋1 e 푋2 soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯. Mostre que 훼푋1 + 훽푋2 e´
soluc¸a˜o, para quaisquer escalares 훼 e 훽. (Sugesta˜o: veja o Exemplo 1.7.)
(b) Sejam 푋1 e 푋2 soluc¸o˜es do sistema 퐴푋 = 퐵. Mostre que se 훼푋1 + 훽푋2 e´ soluc¸a˜o,
para quaisquer escalares 훼 e 훽, enta˜o 퐵 = 0¯. (Sugesta˜o: fac¸a 훼 = 훽 = 0.)
1.2.21. Sejam 퐴 uma matriz 푚× 푛 e 퐵 ∕= 0¯ uma matriz 푚× 1.
(a) Mostre que se 푋1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵 e 푌1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo associado 퐴푋 = 0¯, enta˜o 푋1 + 푌1 e´ soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵.
(b) Seja 푋0 soluc¸a˜o particular do sistema 퐴푋 = 퐵. Mostre que toda soluc¸a˜o 푋 do sistema
퐴푋 = 퐵, pode ser escrita como 푋 = 푋0 + 푌 , em que 푌 e´ uma soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo associado, 퐴푋 = 0¯. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema 퐴푋 = 퐵 e´ a soma
de uma soluc¸a˜o particular de 퐴푋 = 퐵 com a soluc¸a˜o geral do sistema homogeˆneo
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74 Matrizes e Sistemas Lineares
associado 퐴푋 = 0¯. (Sugesta˜o: Escreva 푋 = 푋0 + (푋 − 푋0) e mostre que 푋 − 푋0 e´
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯.)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
1.2 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares 75
Teste do Capı´tulo
1. Para o sistema linear dado, encontre todos os valores de 푎 para os quais o sistema na˜o tem
soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es:⎧⎨
⎩
푥 + 2푦 + 푧 = 3
푥 + 푦 − 푧 = 2
푥 + 푦 + (푎2 − 5)푧 = 푎
2. Se possı´vel, encontre os valores de 푥, 푦 e 푧 tais que:⎡
⎣ 1 2 32 5 3
1 0 8
⎤
⎦
⎡
⎣ −40 16 푥13 −5 푦
5 −2 푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦
3. Sejam
퐷 =
[
1 0
0 −1
]
. e 푃 =
[
cos 휃 sen 휃
− sen 휃 cos 휃
]
.
Sabendo-se que 퐴 = 푃 푡퐷푃 , calcule 퐷2, 푃푃 푡 e 퐴2.
4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
76 Matrizes e Sistemas Lineares
(a) Se 퐴2 = −2퐴4, enta˜o (퐼푛 + 퐴2)(퐼푛 − 2퐴2) = 퐼푛;
(b) Se 퐴 = 푃 푡퐷푃 , onde 퐷 e´ uma matriz diagonal, enta˜o 퐴푡 = 퐴;
(c) Se 퐷 e´ uma matriz diagonal, enta˜o 퐷퐴 = 퐴퐷, para toda matriz 퐴, 푛× 푛;
(d) Se 퐵 = 퐴퐴푡, enta˜o 퐵 = 퐵푡.
(e) Se 퐵 e 퐴 sa˜o tais que 퐴 = 퐴푡 e 퐵 = 퐵푡, enta˜o 퐶 = 퐴퐵, e´ tal que 퐶푡 = 퐶.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 2
Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.1 Matriz Inversa
Todo nu´mero real 푎, na˜o nulo, possui um inverso (multiplicativo), ou seja, existe um nu´mero 푏, tal
que 푎 푏 = 푏 푎 = 1. Este nu´mero e´ u´nico e o denotamos por 푎−1. Apesar da a´lgebra matricial ser
semelhante a` a´lgebra dos nu´meros reais, nem todas as matrizes 퐴 na˜o nulas possuem inversa, ou
seja, nem sempre existe uma matriz 퐵 tal que 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼푛. De inı´cio, para que os produtos 퐴퐵
e 퐵퐴 estejam definidos e sejam iguais e´ preciso que as matrizes 퐴 e 퐵 sejam quadradas. Portanto,
somente as matrizes quadradas podem ter inversa, o que ja´ diferencia do caso dos nu´meros reais,
pois todo nu´mero na˜o nulo tem inverso. Mesmo entre as matrizes quadradas, muitas na˜o possuem
inversa, apesar do conjunto das que na˜o tem inversa ser bem menor do que o conjunto das que tem
(Exercı´cio 2.2.9 na pa´gina 140).
77
78 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Definic¸a˜o 2.1. Uma matriz quadrada 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e´ invertı´vel ou na˜o singular, se existe uma
matriz 퐵 = (푏푖푗)푛×푛 tal que
퐴 퐵 = 퐵 퐴 = 퐼푛 , (2.1)
em que 퐼푛 e´ a matriz identidade. A matriz 퐵 e´ chamada de inversa de 퐴. Se 퐴 na˜o tem inversa,
dizemos que 퐴 e´ na˜o invertı´vel ou singular.
Exemplo 2.1. Considere as matrizes
퐴 =
[ −2 1
0 3
]
e 퐵 =
[ −1/2 1/6
0 1/3
]
.
A matriz 퐵 e´ a inversa da matriz 퐴, pois 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼2.
Teorema 2.1. Se uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 possui inversa, enta˜o a inversa e´ u´nica.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 79
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos que 퐵 e 퐶 sejam inversas de 퐴. Enta˜o, 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼푛 = 퐴퐶 =
퐶퐴 e assim,
퐵 = 퐵 퐼푛 = 퐵(퐴퐶) = (퐵퐴)퐶 = 퐼푛퐶 = 퐶 .
■
Denotamos a inversa de 퐴, quando ela existe, por 퐴−1. Devemos chamar atenc¸a˜o para o fato de
que o ı´ndice superior −1, aqui, na˜o significa uma poteˆncia, ta˜o pouco uma divisa˜o. Assim como no
caso da transposta, em que 퐴푡 significa a transposta de 퐴, aqui, 퐴−1 significa a inversa de 퐴.
2.1.1 Propriedades da Inversa
Teorema 2.2. (a) Se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o 퐴−1 tambe´m o e´ e
(퐴−1)−1 = 퐴 ;
(b) Se 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e 퐵 = (푏푖푗)푛×푛 sa˜o matrizes invertı´veis, enta˜o 퐴퐵 e´ invertı´vel e
(퐴퐵)−1 = 퐵−1퐴−1 ;
(c) Se 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e´ invertı´vel, enta˜o 퐴푡 tambe´m e´ invertı´vel e
(퐴푡)−1 = (퐴−1)푡 .
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80 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Demonstrac¸a˜o. Se queremos mostrar que uma matriz e´ a inversa de uma outra, temos que mostrar
que os produtos das duas matrizes sa˜o iguais a` matriz identidade.
(a) Uma matriz 퐵 e´ a inversa de 퐴−1 se
퐴−1퐵 = 퐵퐴−1 = 퐼푛 .
Mas, como 퐴−1 e´ a inversa de 퐴, enta˜o
퐴퐴−1 = 퐴−1퐴 = 퐼푛 .
Como a inversa e´ u´nica, enta˜o 퐵 = 퐴 e´ a inversa de 퐴−1, ou seja, (퐴−1)−1 = 퐴.
(b) Temos que mostrar que a inversa de 퐴퐵 e´ 퐵−1퐴−1, ou seja, mostrar que os produtos
(퐴퐵)(퐵−1퐴−1) e (퐵−1퐴−1)(퐴퐵) sa˜o iguais a` matriz identidade. Mas, pelas propriedades
(h) e (i) do Teorema 1.1 na pa´gina 10:
(퐴퐵)(퐵−1퐴−1) = 퐴(퐵퐵−1)퐴−1 = 퐴퐼푛퐴−1 = 퐴퐴−1 = 퐼푛,
(퐵−1퐴−1)(퐴퐵) = 퐵−1(퐴−1퐴)퐵 = 퐵−1퐼푛퐵 = 퐵−1퐵 = 퐼푛.
(c) Queremos mostrar que a inversa de 퐴푡 e´ (퐴−1)푡. Pela propriedade (o) do Teorema 1.1 na
pa´gina 10:
퐴푡(퐴−1)푡 = (퐴−1퐴)푡 = 퐼 푡푛 = 퐼푛,
(퐴−1)푡퐴푡 = (퐴퐴−1)푡 = 퐼 푡푛 = 퐼푛.
■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 81
O teorema seguinte, cuja demonstrac¸a˜o sera´ omitida no momento (Subsec¸a˜o 2.1.2), garante que
basta verificarmos uma das duas igualdades em (2.1) para sabermos se uma matriz e´ a inversa de
outra.
Teorema 2.3. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛.
(a) Se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o 퐴퐵 = 퐼푛;
(b) Se 퐴퐵 = 퐼푛, enta˜o 퐵퐴 = 퐼푛;
Assim, para verificar que uma matriz 퐴 e´ invertı´vel, quando temos uma matriz 퐵 que e´ candidata a
inversa de 퐴, basta fazer um dos produtos 퐴퐵 ou 퐵퐴 e verificar se um deles e´ igual a 퐼푛. O pro´ximo
exemplo ilustra este fato.
Exemplo 2.2. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 uma matriz tal que 퐴3 = 0¯ (퐴 pode na˜o ser a matriz nula!). Vamos
mostrar que a inversa de 퐼푛−퐴 e´ 퐼푛+퐴+퐴2. Para provar isto, devemos multiplicar a matriz 퐼푛−퐴,
pela matriz que possivelmente seja a inversa dela, aqui 퐼 +퐴+퐴2, e verificar se o produto das duas
e´ igual a matriz identidade 퐼푛.
(퐼푛−퐴)(퐼푛 +퐴+퐴2) = 퐼푛(퐼푛 +퐴+퐴2)−퐴(퐼푛 +퐴+퐴2) = 퐼푛 +퐴+퐴2−퐴−퐴2−퐴3 = 퐼푛.
Aqui foram usadas as propriedades (i) e (j) do Teorema 1.1 na pa´gina 10.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
82 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.1.2 Matrizes Elementares e Inversa˜o (opcional)
As matrizes elementares teˆm um papel importante no estudo da inversa˜o de matrizes e da soluc¸a˜o
de sistemas lineares.
Proposic¸a˜o 2.4. Toda matriz elementar e´ invertı´vel e sua inversa e´ tambe´m uma matriz elementar.
Usando a notac¸a˜o introduzida na pa´gina 57, temos:
(a) 퐸−1푖,푗 = 퐸푗,푖 = 퐸푖,푗
;
(b) 퐸푖(훼)−1 = 퐸푖(1/훼), para 훼 ∕= 0;
(c) 퐸푖,푗(훼)−1 = 퐸푖,푗(−훼).
Demonstrac¸a˜o. Seja퐸 uma matriz elementar. Esta matriz e´ obtida de 퐼푛 aplicando-se uma operac¸a˜o
elementar. Seja 퐹 a matriz elementar correspondente a operac¸a˜o que transforma 퐸 de volta em 퐼푛.
Agora, pelo Teorema 1.8 na pa´gina 59, temos que 퐹 퐸 = 퐸 퐹 = 퐼푛. Portanto, 퐹 e´ a inversa de
퐸. ■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 83
Teorema 2.5. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. As seguintes afirmac¸o˜es sa˜o equivalentes:
(a) Existe uma matriz 퐵, 푛× 푛, tal que 퐵퐴 = 퐼푛.
(b) A matriz 퐴 e´ equivalente por linhas a` matriz identidade 퐼푛.
(c) A matriz 퐴 e´ invertı´vel.
Demonstrac¸a˜o. (a)⇒(b) Se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o o sistema 퐴푋 = 0¯ tem somente a soluc¸a˜o trivial,
pois 푋 = 퐼푛푋 = 퐵퐴푋 = 퐵 0¯ = 0¯. Isto implica que a matriz 퐴 e´ equivalente por linhas a`
matriz identidade 퐼푛, pois caso contra´rio a forma escalonada reduzida de 퐴 teria uma linha nula
(Proposic¸a˜o 1.5 na pa´gina 52).
(b)⇒(c) A matriz 퐴 ser equivalente por linhas a` 퐼푛 significa, pelo Teorema 1.8 na pa´gina 59, que
existem matrizes elementares 퐸1, . . . , 퐸푘, tais que
퐸푘 . . . 퐸1퐴 = 퐼푛 (2.2)
(퐸−11 . . . 퐸
−1
푘 )퐸푘 . . . 퐸1퐴 = 퐸
−1
1 . . . 퐸
−1
푘
퐴 = 퐸−11 . . . 퐸
−1
푘 . (2.3)
Aqui, usamos o fato de que as matrizes elementares sa˜o invertı´veis (Proposic¸a˜o 2.4). Portanto,
퐴 e´ invertı´vel como o produto de matrizes invertı´veis.
(c)⇒(a) Claramente.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
84 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o multiplicando-se ambos os membros de (2.2) a` direita por 퐴−1 obtemos
퐸푘 . . . 퐸1퐼푛 = 퐴
−1.
Assim, a mesma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares que transforma a matriz퐴 na matriz identidade
퐼푛 transforma tambe´m 퐼푛 em 퐴−1.
A demonstrac¸a˜o do Teorema 2.3 na pa´gina 81, agora, e´ uma simples consequ¨eˆncia do Teorema
anterior.
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.3. (a) Vamos mostrar que se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o 퐴 e´ invertı´vel e 퐵 =
퐴−1. Se 퐵퐴 = 퐼푛, enta˜o pelo Teorema 2.5, 퐴 e´ invertı´vel e 퐵 = 퐵퐼푛 = 퐵퐴퐴−1 = 퐼푛퐴−1 =
퐴−1. Logo, 퐴퐵 = 퐵퐴 = 퐼푛.
(b) Se 퐴퐵 = 퐼푛, enta˜o pelo item anterior 퐵 e´ invertı´vel e 퐵−1 = 퐴. Portanto 퐵퐴 = 퐴퐵 = 퐼푛.
■
Segue da demonstrac¸a˜o, do Teorema 2.5 (equac¸a˜o (2.3)) o resultado seguinte.
Teorema 2.6. Uma matriz 퐴 e´ invertı´vel se, e somente se, ela e´ um produto de matrizes elementares.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 85
Exemplo 2.3. Vamos escrever a matriz 퐴 do Exemplo 2.5 na pa´gina 89 como o produto de matrizes
elementares. Quando encontramos a inversa da matriz 퐴, aplicamos uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es
elementares em [퐴 ∣ 퐼3 ] ate´ que encontramos a matriz [ 퐼3 ∣퐴−1 ]. Como as operac¸o˜es sa˜o por linha,
esta mesma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares transforma 퐴 em 퐼푛. Isto corresponde a multiplicar
a matriz 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ a` esquerda pelas matrizes elementares
퐸1,2(−2) =
⎡
⎣ 1 0 0−2 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸1,3(−2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
−2 0 1
⎤
⎦ ,
퐸2(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 −1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,1(−1) =
⎡
⎣ 1 −1 00 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸2,3(−1) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 −1 1
⎤
⎦
퐸3(
1
5
) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 0
0 0 1
5
⎤
⎦ , 퐸3,1(−3) =
⎡
⎣ 1 0 −30 1 0
0 0 1
⎤
⎦ , 퐸3,2(2) =
⎡
⎣ 1 0 00 1 2
0 0 1
⎤
⎦ ,
ou seja,
퐸3,2(2) 퐸3,1(−3) 퐸3(15) 퐸2,3(−1) 퐸2,1(−1) 퐸2(−1) 퐸1,3(−2) 퐸1,2(−2) 퐴 = 퐼3.
Multiplicando a` esquerda pelas inversas das matrizes elementares correspondentes obtemos
퐴 = 퐸1,2(2) 퐸1,3(2) 퐸2(−1) 퐸2,1(1) 퐸2,3(1) 퐸3(5) 퐸3,1(3) 퐸1,2(−2).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
86 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.1.3 Me´todo para Inversa˜o de Matrizes
O exemplo seguinte mostra, para matrizes 2 × 2, na˜o somente uma forma de descobrir se uma
matriz 퐴 tem inversa mas tambe´m, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou seja,
escalonamos a matriz [퐴 ∣ 퐼2] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [푅 ∣ 푆]. Se 푅 = 퐼2,
enta˜o a matriz 퐴 e´ invertı´vel e a inversa 퐴−1 = 푆. Caso contra´rio, a matriz 퐴 na˜o e´ invertı´vel.
Exemplo 2.4. Seja 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
. Devemos procurar uma matriz 퐵 =
[
푥 푦
푧 푤
]
tal que 퐴퐵 = 퐼2,
ou seja, ⎧⎨
⎩
푎푥 + 푏푧 = 1
푐푥 + 푑푧 = 0
푎푦 + 푏푤 = 0
푐푦 + 푑푤 = 1
Este sistema pode ser desacoplado em dois sistemas independentes que possuem a mesma matriz,
que e´ a matriz 퐴. Podemos resolveˆ-los simultaneamente. Para isto, basta escalonarmos a matriz
aumentada [
푎 푏 1 0
푐 푑 0 1
]
= [퐴 ∣ 퐼2 ].
Os dois sistemas teˆm soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, a forma escalonada reduzida da matriz [퐴 ∣ 퐼2 ]
for da forma [ 퐼2 ∣푆 ] =
[
1 0 푠 푡
0 1 푢 푣
]
(verifique, observando o que acontece se a forma escalonada
reduzida da matriz 퐴 na˜o for igual a 퐼2). Neste caso, 푥 = 푠, 푧 = 푢 e 푦 = 푡, 푤 = 푣, ou seja, a matriz
퐴 possuira´ inversa, 퐴−1 = 퐵 = 푆 =
[
푠 푡
푢 푣
]
.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 87
Para os leitores da Subsec¸a˜o 2.1.2 o pro´ximo teorema e´ uma simples consequ¨eˆncia do Teorema
2.5 na pa´gina 83. Entretanto a demonstrac¸a˜o que daremos a seguir fornece um me´todo para encontrar
a inversa de uma matriz, se ela existir.
Teorema 2.7. Uma matriz 퐴, 푛×푛, e´ invertı´vel se, e somente se, 퐴 e´ equivalente por linhas a` matriz
identidade 퐼푛.
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema 2.3 na pa´gina 81, para verificarmos se uma matriz 퐴, 푛 × 푛, e´ in-
vertı´vel, basta verificarmos se existe uma matriz 퐵, tal que
퐴퐵 = 퐼푛 . (2.4)
Vamos denotar as colunas de 퐵 por 푋1, 푋2, . . . , 푋푛, ou seja, 퐵 = [푋1 . . . 푋푛 ], em que
푋1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥11
푥21
.
.
.
푥푛1
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 푋2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥12
푥22
.
.
.
푥푛2
⎤
⎥⎥⎥⎦ , . . . , 푋푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1푛
푥2푛
.
.
.
푥푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
e as colunas da matriz identidade 퐼푛, por 퐸1, 퐸2, . . . , 퐸푛, ou seja, 퐼푛 = [퐸1 . . . 퐸푛 ], em que
퐸1 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 퐸2 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
1
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , . . . , 퐸푛 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
0
.
.
.
1
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
88 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Assim a equac¸a˜o (2.4) pode ser escrita como
퐴 [푋1 . . . 푋푛 ] = [퐴푋1 . . . 퐴푋푛 ] = [퐸1 . . . 퐸푛 ],
pois a 푗-e´sima coluna do produto 퐴퐵 e´ igual a 퐴 vezes a 푗-e´sima coluna da matriz 퐵 (Exercı´cio 18
na pa´gina 28). Analisando coluna a coluna a equac¸a˜o anterior vemos que encontrar 퐵 e´ equivalente
a resolver 푛 sistemas lineares
퐴푋푗 = 퐸푗 para 푗 = 1 . . . , 푛.
Cada um dos sistemas pode ser resolvido usando o me´todo de Gauss-Jordan. Para isso, formarı´amos
as matrizes aumentadas [퐴 ∣ 퐸1], [퐴 ∣ 퐸2], . . . , [퐴 ∣ 퐸푛]. Entretanto, como as matrizes dos sistemas
sa˜o todas iguais a` 퐴, podemos resolver todos os sistemas simultaneamente formando a matriz 푛×2푛
[퐴 ∣ 퐸1퐸2 . . . 퐸푛 ] = [퐴 ∣ 퐼푛 ].
Transformando [퐴 ∣ 퐼푛 ] na sua forma escalonada reduzida, que vamos denotar por [푅 ∣ 푆 ], vamos
chegar a duas situac¸o˜es possı´veis: ou a matriz 푅 e´ a matriz identidade, ou na˜o e´.
∙ Se 푅 = 퐼푛, enta˜o a forma escalonada reduzida da matriz [퐴 ∣ 퐼푛 ] e´ da forma [ 퐼푛 ∣ 푆 ]. Se
escrevemos a matriz 푆 em termos das suas colunas 푆 = [푆1 푆2 . . . 푆푛 ], enta˜o as soluc¸o˜es dos
sistemas 퐴푋푗 = 퐸푗 sa˜o 푋푗 = 푆푗 e assim 퐵 = 푆 e´ tal que 퐴퐵 = 퐼푛 e pelo Teorema 2.3 na
pa´gina 81 퐴 e´ invertı´vel.
∙ Se 푅 ∕= 퐼푛, enta˜o a matriz 퐴 na˜o e´ equivalente por linhas a` matriz identidade 퐼푛. Enta˜o, pela
Proposic¸a˜o 1.5 na pa´gina 52 a matriz 푅 tem uma linha nula. O que implica que cada um dos
sistemas 퐴푋푗 = 퐸푗 ou na˜o tem soluc¸a˜o u´nica ou na˜o tem soluc¸a˜o. Isto implica que a matriz
퐴 na˜o tem inversa, pois as colunas da (u´nica) inversa seriam 푋푗 , para 푗 = 1, . . . 푛. ■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 89
Observac¸a˜o. Da demonstrac¸a˜o do Teorema 2.7 obtemos na˜o somente uma
forma de descobrir se
uma matriz 퐴 tem inversa mas tambe´m, como encontrar a inversa, no caso em que ela exista. Ou
seja, escalonamos a matriz [퐴 ∣ 퐼푛] e encontramos a sua forma escalonada reduzida [푅 ∣ 푆]. Se
푅 = 퐼푛, enta˜o a matriz 퐴 e´ invertı´vel e a inversa 퐴−1 = 푆. Caso contra´rio, a matriz 퐴 na˜o e´ invertı´vel.
Vejamos os exemplos seguintes.
Exemplo 2.5. Vamos encontrar, se existir, a inversa de
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
−2×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
−2×1a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 1 0 00 −1 2 −2 1 0
0 1 3 −2 0 1
⎤
⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 1 1 1 0 00 1 −2 2 −1 0
0 1 3 −2 0 1
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
90 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
−1×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 −1 1 00 1 −2 2 −1 0
0 0 5 −4 1 1
⎤
⎦
3a. eliminac¸a˜o:
1
5
×3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 3 −1 1 00 1 −2 2 −1 0
0 0 1 −4
5
1
5
1
5
⎤
⎦
−3×3a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
2×3a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎢⎣ 1 0 0
7
5
2
5
−3
5
0 1 0 2
5
−3
5
2
5
0 0 1 −4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦
Assim, a matriz [퐴 ∣ 퐼3] e´ equivalente por linhas a` matriz acima, que e´ da forma [퐼3 ∣ 푆], portanto a
matriz 퐴 e´ invertı´vel e a sua inversa e´ a matriz 푆, ou seja,
퐴−1 =
⎡
⎢⎣
7
5
2
5
−3
5
2
5
−3
5
2
5
−4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦ .
Exemplo 2.6. Vamos determinar, se existir, a inversa da matriz
퐴 =
⎡
⎣ 1 2 31 1 2
0 1 1
⎤
⎦ .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 91
Para isso devemos escalonar a matriz aumentada
[퐴 ∣ 퐼3] =
⎡
⎣ 1 2 3 1 0 01 1 2 0 1 0
0 1 1 0 0 1
⎤
⎦
1a. eliminac¸a˜o:
−1×1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 2 3 1 0 00 1 1 1 −1 0
0 1 1 0 0 1
⎤
⎦
2a. eliminac¸a˜o:
−1×2a. linha −→ 2a. linha
⎡
⎣ 1 2 3 1 0 00 1 1 1 −1 0
0 1 1 0 0 1
⎤
⎦
−2×2a. linha + 1a. linha −→ 1a. linha
−1×2a. linha + 3a. linha −→ 3a. linha
⎡
⎣ 1 0 1 −1 2 00 1 1 1 −1 0
0 0 0 −1 1 1
⎤
⎦
Assim, a matriz [퐴 ∣ 퐼3] e´ equivalente por linhas a` matriz acima, que e´ da forma [푅 ∣ 푆], com 푅 ∕= 퐼3.
Assim, a matriz 퐴 na˜o e´ equivalente por linhas a` matriz identidade e portanto na˜o e´ invertı´vel.
Se um sistema linear 퐴푋 = 퐵 tem o nu´mero de equac¸o˜es igual ao nu´mero de inco´gnitas,
enta˜o o conhecimento da inversa da matriz do sistema 퐴−1, reduz o problema de resolver o sistema
a simplesmente fazer um produto de matrizes, como esta´ enunciado no pro´ximo teorema.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
92 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Teorema 2.8. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛.
(a) O sistema associado 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, 퐴 e´ invertı´vel. Neste caso
a soluc¸a˜o e´ 푋 = 퐴−1퐵;
(b) O sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e somente se, 퐴 e´ singular (na˜o
invertı´vel).
Demonstrac¸a˜o. (a) Se a matriz 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o multiplicando 퐴푋 = 퐵 por 퐴−1 a` esquerda
em ambos os membros obtemos
퐴−1(퐴푋) = 퐴−1퐵
(퐴−1퐴)푋 = 퐴−1퐵
퐼푛푋 = 퐴
−1퐵
푋 = 퐴−1퐵.
Aqui foram usadas as propriedades (h) e (i) do Teorema 1.1 na pa´gina 10. Portanto, 푋 = 퐴−1퐵
e´ a u´nica soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵. Por outro lado, se o sistema 퐴푋 = 퐵 possui soluc¸a˜o
u´nica, enta˜o a forma escalonada reduzida da matriz aumentada do sistema [퐴 ∣ 퐵] e´ da forma
[푅 ∣ 푆], em que 푅 = 퐼푛. Pois a matriz 퐴 e´ quadrada e caso 푅 fosse diferente da identidade
possuiria uma linha de zeros (Proposic¸a˜o 1.5 na pa´gina 52) o que levaria a que o sistema
퐴푋 = 퐵 ou na˜o tivesse soluc¸a˜o ou tivesse infinitas soluc¸o˜es. Logo, a matriz 퐴 e´ equivalente
por linhas a` matriz identidade o que pelo Teorema 2.7 na pa´gina 87 implica que 퐴 e´ invertı´vel.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 93
(b) Todo sistema homogeˆneo possui pelo menos a soluc¸a˜o trivial. Pelo item anterior, esta sera´ a
u´nica soluc¸a˜o se, e somente se, 퐴 e´ invertı´vel. ■
Vamos ver no pro´ximo exemplo que se conhecemos a inversa de uma matriz, enta˜o a produc¸a˜o
de uma indu´stria em va´rios perı´odos pode ser obtida apenas multiplicando-se a inversa por matrizes
colunas que contenham a arrecadac¸a˜o e as quantidades dos insumos utilizados em cada perı´odo.
Exemplo 2.7. Uma indu´stria produz treˆs produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.
Para a manufatura de cada kg de X sa˜o utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B;
para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 1 grama de insumo B e, para cada kg de Z, 1 grama de
A e 4 gramas de B. O prec¸o de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z e´ R$ 2,00, R$ 3,00 e
R$ 5,00, respectivamente. Como vimos no Exemplo 1.6 na pa´gina 8, usando matrizes o esquema de
produc¸a˜o pode ser descrito da seguinte forma:
X Y Z
gramas de A/kg
gramas de B/kg
prec¸o/kg
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦ = 퐴 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ kg de X produzidoskg de Y produzidos
kg de Z produzidos
퐴푋 =
⎡
⎣ 푥+ 푦 + 푧2푥+ 푦 + 4푧
2푥+ 3푦 + 5푧
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
No Exemplo 2.5 na pa´gina 89 determinamos a inversa da matriz
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 12 1 4
2 3 5
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
94 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
que e´
퐴−1 =
⎡
⎢⎣
7
5
2
5
−3
5
2
5
−3
5
2
5
−4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦ .
Sabendo-se a inversa da matriz 퐴 podemos saber a produc¸a˜o da indu´stria sempre que soubermos
quanto foi gasto do insumo A, do insumo B e a arrecadac¸a˜o.
(a) Se em um perı´odo com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A
e 2 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2500, 00, enta˜o para determinar quantos kg de cada
um dos produtos X, Y e Z foram vendidos simplesmente multiplicamos 퐴−1 pela matriz
퐵 =
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
ou seja,
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦=푋=퐴−1퐵 =
⎡
⎢⎣
7
5
2
5
−3
5
2
5
−3
5
2
5
−4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦
⎡
⎣ 10002000
2500
⎤
⎦=
⎡
⎣ 700200
100
⎤
⎦
Portanto, foram produzidos 700 kg do produto X, 200 kg de Y e 100 kg de Z.
(b) Se em outro perı´odo com a venda de toda a produc¸a˜o de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de
A e 2, 1 kg de B, essa indu´stria arrecadou R$ 2900, 00, enta˜o para determinar quantos kg de
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 95
cada um dos produtos X, Y e Z foram vendidos simplesmente multiplicamos 퐴−1 pela matriz
퐵 =
⎡
⎣ 10002100
2900
⎤
⎦ gramas de A usadosgramas de B usados
arrecadac¸a˜o
ou seja,
kg de X produzidos
kg de Y produzidos
kg de Z produzidos
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦=푋 =퐴−1퐵 =
⎡
⎢⎣
7
5
2
5
−3
5
2
5
−3
5
2
5
−4
5
1
5
1
5
⎤
⎥⎦
⎡
⎣ 10002100
2900
⎤
⎦=
⎡
⎣ 500300
200
⎤
⎦
Portanto, foram produzidos 500 kg do produto X, 300 kg de Y e 200 kg de Z.
Vamos mostrar a recı´proca do item (b) do Teorema 2.2 na pa´gina 79. Este resultado sera´ u´til
na demonstrac¸a˜o de que o determinante do produto de matrizes e´ o produto dos determinantes
(Subsec¸a˜o 2.2.2 na pa´gina 127).
Proposic¸a˜o 2.9. Se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes 푛× 푛, com 퐴퐵 invertı´vel, enta˜o 퐴 e 퐵 sa˜o invertı´veis.
Demonstrac¸a˜o. Considere o sistema (퐴퐵)푋 = 0¯. Se 퐵 na˜o fosse invertı´vel, enta˜o existiria 푋 ∕= 0¯,
tal que 퐵푋 = 0¯ (Teorema 2.8 na pa´gina 92). Multiplicando-se por 퐴, terı´amos 퐴퐵푋 = 0¯, o que,
novamente pelo Teorema 2.8 na pa´gina 92, contradiz o fato de 퐴퐵 ser invertı´vel. Portanto, 퐵 e´
invertı´vel. Agora, se 퐵 e 퐴퐵 sa˜o invertı´veis, enta˜o 퐴 tambe´m e´ invertı´vel, pois 퐴 = (퐴퐵)퐵−1, que
e´ o produto de duas matrizes invertı´veis. ■
Julho 2009 Reginaldo
J. Santos
96 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.1.4 Aplicac¸a˜o: Interpolac¸a˜o Polinomial
Sejam 푃1 = (푥1, 푦1), . . . , 푃푛 = (푥푛, 푦푛), com 푥1, . . . , 푥푛 nu´meros distintos. Considere o pro-
blema de encontrar um polinoˆmio de grau 푛− 1
푝(푥) = 푎푛−1푥푛−1 + 푎푛−2푥푛−2 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎1푥+ 푎0,
que interpola os dados, no sentido de que 푝(푥푖) = 푦푖, para 푖 = 1, . . . , 푛.
Por exemplo se os pontos sa˜o 푃1 = (0, 10), 푃2 = (1, 7), 푃3 = (3,−11), 푃4 = (4,−14) enta˜o
o problema consiste em encontrar um polinoˆmio de grau 3 que interpola os pontos dados (veja o
Exercı´cio 1.2.8 na pa´gina 65).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 97
−2 −1 0 1 2 3 4 5
−30
−20
−10
0
10
20
30
x
y
Vamos mostrar que existe, um e somente um, polinoˆmio de grau no ma´ximo igual a 푛 − 1, que
interpola 푛 pontos, com abscissas distintas. Substituindo os pontos no polinoˆmio 푝(푥), obtemos um
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
98 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
sistema linear 퐴푋 = 퐵, em que
푋 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎푛−1
푎푛−2
.
.
.
푎0
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푦1
푦2
.
.
.
푦푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ e 퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥푛−11 푥
푛−2
1 . . . 푥1 1
푥푛−12 푥
푛−2
2 . . . 푥2 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
푥푛−1푛 푥
푛−2
푛 . . . 푥푛 1
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
A matriz 퐴 e´ chamada matriz de Vandermonde.
Vamos mostrar que 퐴푋 = 퐵 tem somente uma soluc¸a˜o. Pelo Teorema 2.8 na pa´gina 92, um
sistema de 푛 equac¸o˜es e 푛 inco´gnitas 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, o sistema
homogeˆneo associado, 퐴푋 = 0¯, tem somente a soluc¸a˜o trivial. 푋 = [ 푎푛−1 ⋅ ⋅ ⋅ 푎0 ] e´ soluc¸a˜o do
sistema homogeˆneo se, e somente se, o polinoˆmio de grau 푛 − 1, 푝(푥) = 푎푛−1푥푛−1 + ⋅ ⋅ ⋅ + 푎0, se
anula em 푛 pontos distintos. O que implica que o polinoˆmio 푝(푥) e´ o polinoˆmio com todos os seus
coeficientes iguais a zero. Portanto, o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem somente a soluc¸a˜o trivial.
Isto prova que existe, um e somente um, polinoˆmio de grau no ma´ximo igual a 푛− 1, que interpola 푛
pontos, com abscissas distintas.
Assim a soluc¸a˜o do sistema linear e´ 푋 = 퐴−1퐵. Como a matriz 퐴 depende apenas das abs-
cissas dos pontos, tendo calculado a matriz 퐴−1 podemos determinar rapidamente os polinoˆmios
que interpolam va´rios conjuntos de pontos, desde que os pontos de todos os conjuntos tenham as
mesmas abscissas dos pontos do conjunto inicial.
2.1.5 Aplicac¸a˜o: Criptografia
Vamos transformar uma mensagem em uma matriz da seguinte forma. Vamos quebrar a men-
sagem em pedac¸os de tamanho 3 e cada pedac¸o sera´ convertido em uma matriz coluna usando a
Tabela 2.1 de conversa˜o entre caracteres e nu´meros.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 99
Considere a seguinte mensagem criptografada
1ydobbr,? (2.5)
Quebrando a mensagem criptografada em pedac¸os de tamanho 3 e convertendo cada pedac¸o para
uma coluna de nu´meros usando a Tabela 2.1 obtemos a matriz
푌 =
⎡
⎣ 80 15 1825 2 107
4 2 94
⎤
⎦
Sabendo-se que esta mensagem foi criptografada fazendo o produto da mensagem inicial pela matriz
푀 =
⎡
⎣ 1 1 00 1 1
0 0 1
⎤
⎦
enta˜o
푋 = 푀−1푌
sera´ a mensagem inicial convertida para nu´meros, ou seja,
푋 = 푀−1푌 =
⎡
⎣ 1 −1 10 1 −1
0 0 1
⎤
⎦
⎡
⎣ 80 15 1825 2 107
4 2 94
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 59 15 521 0 13
4 2 94
⎤
⎦
Convertendo para texto usando novamente a Tabela 2.1 obtemos que a mensagem que foi criptogra-
fada e´
Tudo bem? (2.6)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
100 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 532)
2.1.1. Seja 퐴 uma matriz 3 × 3. Suponha que 푋 =
⎡
⎣ 1−2
3
⎤
⎦ e´ soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
퐴푋 = 0¯. A matriz 퐴 e´ singular ou na˜o? Justifique.
2.1.2. Se possı´vel, encontre as inversas das seguintes matrizes:
(a)
⎡
⎣ 1 2 31 1 2
0 1 2
⎤
⎦;
(b)
⎡
⎣ 1 2 21 3 1
1 3 2
⎤
⎦;
(c)
⎡
⎢⎢⎣
1 1 1 1
1 2 −1 2
1 −1 2 1
1 3 3 2
⎤
⎥⎥⎦;
(d)
⎡
⎣ 1 2 30 2 3
1 2 4
⎤
⎦;
(e)
⎡
⎣ 1 2 31 1 2
0 1 1
⎤
⎦;
(f)
⎡
⎢⎢⎣
1 1 1 1
1 3 1 2
1 2 −1 1
5 9 1 6
⎤
⎥⎥⎦;
2.1.3. Encontre todos os valores de 푎 para os quais a matriz 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 01 0 0
1 2 푎
⎤
⎦ tem inversa.
2.1.4. Se
퐴−1 =
[
3 2
1 3
]
e 퐵−1 =
[
2 5
3 −2
]
,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 101
encontre (퐴퐵)−1.
2.1.5. Resolva o sistema 퐴푋 = 퐵, se 퐴−1 =
[
2 3
4 1
]
e 퐵 =
[
5
3
]
.
2.1.6. Seja
퐴 =
[
1 −1
−4 1
]
.
mostraremos no Exemplo 7.6 na pa´gina 439 que
푃 =
[
1 1
−2 2
]
e 퐷 =
[
3 0
0 −1
]
sa˜o tais que
퐴 = 푃퐷푃−1.
Determine 퐴푘, para 푘 = 1, 2, 3, . . .
2.1.7. (Relativo a` Subsec¸a˜o 2.1.2) Encontre matrizes elementares 퐸1, . . . , 퐸푘 tais que 퐴 = 퐸1 . . . 퐸푘,
para
퐴 =
⎡
⎣ 1 2 32 1 2
0 1 2
⎤
⎦ .
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
102 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
>> M=[A,B] atribui a` matriz M a matriz obtida colocando lado a lado as matrizes A e B.
>> A=[A1,...,An] cria uma matriz A formada pelas matrizes, definidas anteriormente, A1,
..., An colocadas uma ao lado da outra;
>> M=A(:,k:l) atribui a` matriz M a submatriz da matriz A obtida da coluna l a` coluna k da
matriz A.
Comandos do pacote GAAL:
>> B=opel(alpha,i,A) ou B=oe(alpha,i,A)faz a operac¸a˜o elementar
alpha*linha i ==> linha i da matriz A e armazena a matriz resultante em B.
>> B=opel(alpha,i,j,A) ou B=oe(alpha,i,j,A) faz a operac¸a˜o elementar
alpha*linha i + linha j ==> linha j da matriz A e armazena a matriz resultante na
varia´vel B.
>> B=opel(A,i,j) ou B=oe(A,i,j) faz a troca da linha 푖 com a linha 푗 da matriz A e arma-
zena a matriz resultante na varia´vel B.
>> B=escalona(A) calcula passo a passo a forma escalonada reduzida da matriz A e arma-
zena a matriz resultante na varia´vel B.
2.1.8. O pacote GAAL conte´m alguns arquivos com mensagens criptografadas e uma chave para de-
cifra´-las. Use os comandos a seguir para ler dos arquivos e atribuir a`s varia´veis corresponden-
tes, uma mensagem criptografada e a uma chave para decifra´-la.
>> menc=lerarq(’c:/matlab/toolbox/gaal/menc1.txt’)
>> key=lerarq(’c:/matlab/toolbox/gaal/key.txt’)
Com estes comandos foram lidos os arquivos menc1.txt e key.txt e atribuı´dos os resultados
a`s varia´veis menc e key respectivamente. Para converter a mensagem criptografada e a chave
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 103
para matrizes nume´ricas use os comandos do pacote gaal:
>> y=char2num(menc), M=char2num(key)
Sabendo-se que a mensagem criptografada (convertida para nu´meros), y, foi originalmente
obtida multiplicando-se a matriz M pela mensagem original (convertida para nu´meros), x, de-
termine x. Descubra a mensagem usando o comando do pacote gaal, num2char(x), que
converte a matriz para texto. Decifre as mensagens que esta˜o nos arquivos menc2.txt e
menc3.txt. Como deve ser a matriz M para que ela possa ser uma matriz chave na criptogra-
fia?
2.1.9. Resolva os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 2.1.2 usando o MATLABⓇ.
Exercı´cios Teo´ricos
2.1.10. (a) Mostre que a matriz 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
e´ invertı´vel se, e somente se, 푎푑 − 푏푐 ∕= 0 e neste
caso a inversa e´ dada por
퐴−1 =
1
푎푑− 푏푐
[
푑 −푏
−푐 푎
]
.
(Sugesta˜o: encontre a forma escalonada reduzida da matriz [퐴 ∣ 퐼2 ], para 푎 ∕= 0 e para
푎 = 0.)
(b) Mostre que se 푎푑− 푏푐 ∕= 0, enta˜o o sistema linear{
푎푥 + 푏푦 = 푔
푐푥 + 푑푦 = ℎ
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
104 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
tem como soluc¸a˜o
푥 =
푔푑− 푏ℎ
푎푑− 푏푐 , 푦 =
푎ℎ− 푔푐
푎푑− 푏푐
Sugesta˜o para os pro´ximos 4 exercı´cios: Para verificar que uma matriz 퐵 e´ a inversa de uma
matriz 퐴, basta fazer um dos
produtos 퐴퐵 ou 퐵퐴 e verificar que e´ igual a 퐼푛.
2.1.11. Se 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛 e 퐴푘 = 0¯, para 푘 um inteiro positivo, mostre que
(퐼푛 − 퐴)−1 = 퐼푛 + 퐴+ 퐴2 + . . .+ 퐴푘−1 .
2.1.12. Seja 퐴 uma matriz diagonal, isto e´, os elementos que esta˜o fora da diagonal sa˜o iguais a zero
(푎푖푗 = 0, para 푖 ∕= 푗). Se 푎푖푖 ∕= 0, para 푖 = 1, . . . , 푛, mostre que 퐴 e´ invertı´vel e a sua inversa
e´ tambe´m uma matriz diagonal com elementos na diagonal dados por 1/푎11, 1/푎22, . . . , 1/푎푛푛.
2.1.13. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes quadradas. Mostre que se 퐴+퐵 e 퐴 forem invertı´veis, enta˜o
(퐴+ 퐵)−1 = 퐴−1(퐼푛 + 퐵퐴−1)−1.
2.1.14. Seja 퐽푛 a matriz 푛× 푛, cujas entradas sa˜o iguais a 1. Mostre que se 푛 > 1, enta˜o
(퐼푛 − 퐽푛)−1 = 퐼푛 − 1
푛− 1퐽푛.
(Sugesta˜o: observe que 퐽2푛 = 푛퐽푛.)
2.1.15. Mostre que se 퐵 e´ uma matriz invertı´vel, enta˜o 퐴퐵−1 = 퐵−1퐴 se, e somente se, 퐴퐵 = 퐵퐴.
(Sugesta˜o: multiplique a equac¸a˜o 퐴퐵 = 퐵퐴 por 퐵−1.)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.1 A Inversa de uma Matriz 105
2.1.16. Mostre que se 퐴 e´ uma matriz invertı´vel, enta˜o 퐴 + 퐵 e 퐼푛 + 퐵퐴−1 sa˜o ambas invertı´veis ou
ambas na˜o invertı´veis. (Sugesta˜o: multiplique 퐴+퐵 por 퐴−1.)
2.1.17. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛. Mostre que se 퐵 na˜o e´ invertı´vel, enta˜o 퐴퐵 tambe´m na˜o o e´.
2.1.18. Mostre que se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes 푛× 푛, invertı´veis, enta˜o 퐴 e 퐵 sa˜o equivalentes por linhas.
2.1.19. Sejam퐴 uma matriz푚×푛 e퐵 uma matriz 푛×푚, com 푛 < 푚. Mostre que퐴퐵 na˜o e´ invertı´vel.
(Sugesta˜o: Mostre que o sistema (퐴퐵)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial.)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
106 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
a b c d e f g h i j k l m n
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
o p q r s t u v w x y z a` a´ aˆ
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29
a˜ c¸ e´ eˆ ı´ o´ oˆ o˜ u´ u¨ A B C D E
30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44
F G H I J K L M N O P Q R S T
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59
U V W X Y Z A` A´ Aˆ A˜ C¸ E´ Eˆ I´ O´
60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74
Oˆ O˜ U´ U¨ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 :
75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
; < = > ? @ ! " # $ % & ’ ( )
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
* + , - . / [ \ ] _ { | }
105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117
Tabela 2.1: Tabela de conversa˜o de caracteres em nu´meros
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 107
2.2 Determinantes
Vamos inicialmente definir o determinante de matrizes 1× 1. Para cada matriz 퐴 = [푎] definimos
o determinante de 퐴, indicado por det(퐴), por det(퐴) = 푎. Vamos, agora, definir o determinante de
matrizes 2×2 e a partir daı´ definir para matrizes de ordem maior. A cada matriz 퐴, 2×2, associamos
um nu´mero real, denominado determinante de 퐴, por:
det(퐴) = det
[
푎11 푎12
푎21 푎22
]
= 푎11푎22 − 푎12푎21.
Para definir o determinante de matrizes quadradas maiores, precisamos definir o que sa˜o os
menores de uma matriz. Dada uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛, o menor do elemento 푎푖푗 , denotado por
퐴˜푖푗 , e´ a submatriz (푛 − 1) × (푛 − 1) de 퐴 obtida eliminando-se a 푖-e´sima linha e a 푗-e´sima coluna
de 퐴, que tem o seguinte aspecto:
퐴˜푖푗 =
푗⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 . . .
∣∣∣ . . . 푎1푛
.
.
.
∣∣∣∣∣ ...
푎푖푗
∣∣∣∣∣
.
.
.
∣∣∣∣∣ ...
푎푛1 . . .
∣∣∣ . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
푖
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
108 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.8. Para uma matriz 퐴 = (푎푖푗)3×3,
퐴˜23 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 푎13
∣∣∣
푎21 푎22 푎23
∣∣∣
푎31 푎32 푎33
∣∣∣
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
[
푎11 푎12
푎31 푎32
]
Agora, vamos definir os cofatores de uma matriz quadrada 퐴 = (푎푖푗)3×3. O cofator do elemento
푎푖푗 , denotado por 푎˜푖푗 , e´ definido por
푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗),
ou seja, o cofator 푎˜푖푗 , do elemento 푎푖푗 e´ igual a mais ou menos o determinante do menor 퐴˜푖푗 , sendo
o mais e o menos determinados pela seguinte disposic¸a˜o:⎡
⎣ + − +− + −
+ − +
⎤
⎦
Exemplo 2.9. Para uma matriz 퐴 = (푎푖푗)3×3,
푎˜23 = (−1)2+3 det(퐴˜23) = −det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 푎13
∣∣∣
푎21 푎22 푎23
∣∣∣
푎31 푎32 푎33
∣∣∣
⎤
⎥⎥⎥⎦ = −det
[
푎11 푎12
푎31 푎32
]
= 푎31푎12 − 푎11푎32
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 109
Vamos, agora, definir o determinante de uma matriz 3× 3. Se
퐴 =
⎡
⎢⎣ 푎11 푎12 푎13푎21 푎22 푎23
푎31 푎32 푎33
⎤
⎥⎦ ,
enta˜o, o determinante de 퐴 e´ igual a` soma dos produtos dos elementos da 1a. linha pelos seus cofa-
tores.
det(퐴) = 푎11푎˜11 + 푎12푎˜12 + 푎13푎˜13
= 푎11 det
[
푎22 푎23
푎32 푎33
]
− 푎12 det
[
푎21 푎23
푎31 푎33
]
+ 푎13 det
[
푎21 푎22
푎31 푎32
]
= 푎11(푎22푎33 − 푎32푎23)− 푎12(푎21푎33 − 푎31푎23) + 푎13(푎21푎32 − 푎31푎22).
Da mesma forma que a partir do determinante de matrizes 2 × 2, definimos o determinante de
matrizes 3×3, podemos definir o determinante de matrizes quadradas de ordem maior. Supondo que
sabemos como calcular o determinante de matrizes (푛 − 1) × (푛 − 1) vamos definir o determinante
de matrizes 푛× 푛.
Vamos definir, agora, os cofatores de uma matriz quadrada 퐴 = (푎푖푗)푛×푛. O cofator do elemento
푎푖푗 , denotado por 푎˜푖푗 , e´ definido por
푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗),
ou seja, o cofator 푎˜푖푗 , do elemento 푎푖푗 e´ igual a mais ou menos o determinante do menor 퐴˜푖푗 , sendo
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
110 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
o mais e o menos determinados pela seguinte disposic¸a˜o:⎡
⎢⎢⎢⎣
+ − + − . . .
− + − + . . .
+ − + − . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⎤
⎥⎥⎥⎦
Definic¸a˜o 2.2. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛. O determinante de 퐴, denotado por det(퐴), e´ definido por
det(퐴) = 푎11푎˜11 + 푎12푎˜12 + . . .+ 푎1푛푎˜1푛 =
푛∑
푗=1
푎1푗 푎˜1푗, (2.7)
em que 푎˜1푗 = (−1)1+푗 det(퐴˜1푗) e´ o cofator do elemento 푎1푗 . A expressa˜o (2.8) e´ chamada desen-
volvimento em cofatores do determinante de 퐴 em termos da 1a. linha.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 111
Exemplo 2.10. Seja
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
0 0 0 −3
1 2 3 4
−1 3 2 5
2 1 −2 0
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Desenvolvendo-se o determinante de 퐴 em cofatores, obtemos
det(퐴) = 0푎˜11 + 0푎˜12 + 0푎˜13 + (−3)(−1)1+4 det(퐵), em que 퐵 =
⎡
⎢⎣ 1 2 3−1 3 2
2 1 −2
⎤
⎥⎦ .
Mas o det(퐵) tambe´m pode ser calculado usando cofatores,
det(퐵) = 1퐵11 + 2퐵12 + 3퐵13
= 1(−1)1+1 det(퐵˜11) + 2(−1)1+2 det(퐵˜12) + 3(−1)1+3 det(퐵˜13)
= det
[
3 2
1 −2
]
− 2 det
[ −1 2
2 −2
]
+ 3det
[ −1 3
2 1
]
= −8− 2 (−2) + 3 (−7)
= −25
Portanto,
det(퐴) = 3 det(퐵) = −75.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
112 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.11. Usando a definic¸a˜o de determinante, vamos mostrar que o determinante de uma ma-
triz triangular inferior (isto e´, os elementos situados acima da diagonal principal sa˜o iguais a zero) e´
o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos mostrar inicialmente para matrizes 3× 3. Seja
퐴 =
⎡
⎢⎣ 푎11 0 0푎21 푎22 0
푎31 푎32 푎33
⎤
⎥⎦
Desenvolvendo-se o determinante de 퐴 em cofatores, obtemos
det(퐴) = 푎11 det
[
푎22 0
푎32 푎33
]
= 푎11푎22푎33.
Vamos supor termos provado que para qualquer matriz (푛− 1)× (푛− 1) triangular inferior, o deter-
minante e´ o produto dos elementos da diagonal principal. Enta˜o vamos provar que isto tambe´m vale
para matrizes 푛× 푛. Seja
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 0 . . . . . . 0
푎21 푎22 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0
푎푛1 . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎦
Desenvolvendo-se o determinante de 퐴 em cofatores, obtemos
det(퐴) = 푎11 det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎22 0 . . . . . . 0
푎32 푎33 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. 0
푎푛2 . . . 푎푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = 푎11푎22 . . . 푎푛푛,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 113
pois o determinante acima e´ de uma matriz (푛 − 1) × (푛 − 1) triangular inferior. Em particular, para
a matriz identidade, 퐼푛,
det(퐼푛) = 1.
2.2.1 Propriedades do Determinante
Vamos provar
uma propriedade importante do determinante. Para isso vamos escrever a matriz
퐴 = (푎푖푗)푛×푛 em termos das suas linhas
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
퐴푘
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
,
em que 퐴푖 e´ a linha 푖 da matriz 퐴, ou seja, 퐴푖 = [ 푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛 ]. Se a linha 퐴푘 e´ escrita na forma
퐴푘 = 훼푋+훽푌 , em que 푋 e 푌 sa˜o matrizes linha 1×푛, enta˜o o determinante pode ser decomposto
como mostra o resultado seguinte.
Teorema 2.10. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 escrita em termos das suas linhas, denotadas por 퐴푖, ou seja,
퐴푖 = [ 푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛 ]. Se para algum 푘, a linha 퐴푘 = 훼푋 + 훽푌 , em que 푋 = [ 푥1 . . . 푥푛 ], 푌 =
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
114 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
[ 푦1 . . . 푦푛 ] e 훼 e 훽 sa˜o escalares, enta˜o:
det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
훼푋 + 훽푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 훼 det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푋
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ 훽 det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Aqui, 퐴푘 = 훼푋 + 훽푌 = [훼푥1 + 훽푦1 . . . 훼푥푛 + 훽푦푛 ].
Demonstrac¸a˜o. Vamos provar aqui somente para 푘 = 1. Para 푘 > 1 e´ demonstrado no Apeˆndice III
na pa´gina ??. Se 퐴1 = 훼푋 + 훽푌 , em que 푋 = [ 푥1 . . . 푥푛 ], 푌 = [ 푦1 . . . 푦푛 ] e 훼 e 훽 sa˜o escalares,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 115
enta˜o:
det
⎡
⎢⎢⎢⎣
훼푋 + 훽푌
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
푛∑
푗=1
(−1)1+푗(훼푥푗 + 훽푦푗) det(퐴˜1푗)
= 훼
푛∑
푗=1
푥푗 det(퐴˜1푗) + 훽
푛∑
푗=1
푦푗 det(퐴˜1푗)
= 훼 det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푋
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦+ 훽 det
⎡
⎢⎢⎢⎣
푌
퐴2
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
■
Exemplo 2.12. O ca´lculo do determinante da matriz a seguir pode ser feito da seguinte forma:
det
[
cos 푡 sen 푡
2 cos 푡− 3 sen 푡 2 sen 푡+ 3 cos 푡
]
= 2det
[
cos 푡 sen 푡
cos 푡 sen 푡
]
+ 3det
[
cos 푡 sen 푡
− sen 푡 cos 푡
]
= 3
Pela definic¸a˜o de determinante, o determinante deve ser calculado fazendo-se o desenvolvimento
em cofatores segundo a 1a. linha. O pro´ximo resultado, que na˜o vamos provar neste momento
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
116 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
(Apeˆndice II na pa´gina 144), afirma que o determinante pode ser calculado fazendo-se o desen-
volvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna.
Teorema 2.11. Seja 퐴 uma matriz 푛 × 푛. O determinante de 퐴 pode ser calculado fazendo-se o
desenvolvimento em cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna.
det(퐴) = 푎푖1푎˜푖1 + 푎푖2푎˜푖2 + . . .+ 푎푖푛푎˜푖푛 =
푛∑
푗=1
푎푖푗 푎˜푖푗, para 푖 = 1, . . . , 푛, (2.8)
= 푎1푗 푎˜1푗 + 푎2푗 푎˜2푗 + . . .+ 푎푛푗 푎˜푛푗 =
푛∑
푖=1
푎푖푗 푎˜푖푗, para 푗 = 1, . . . , 푛, (2.9)
em que 푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗) e´ o cofator do elemento 푎푖푗 . A expressa˜o (2.8) e´ chamada desen-
volvimento em cofatores do determinante de 퐴 em termos da 푖-e´sima linha e (2.9) e´ chamada
desenvolvimento em cofatores do determinante de 퐴 em termos da 푗-e´sima coluna.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 117
Temos a seguinte consequ¨eˆncia deste resultado.
Corola´rio 2.12. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. Se 퐴 possui duas linhas iguais, enta˜o det(퐴) = 0.
Demonstrac¸a˜o. O resultado e´ claramente verdadeiro para matrizes 2× 2. Supondo que o resultado
seja verdadeiro para matrizes (푛 − 1) × (푛 − 1), vamos provar que ele e´ verdadeiro para matrizes
푛× 푛. Suponhamos que as linhas 푘 e 푙 sejam iguais, para 푘 ∕= 푙. Desenvolvendo o determinante de
퐴 em termos de uma linha 푖, com 푖 ∕= 푘, 푙, obtemos
det(퐴) =
푛∑
푗=1
푎푖푗 푎˜푖푗 =
푛∑
푗=1
(−1)푖+푗푎푖푗 det(퐴˜푖푗).
Mas, cada 퐴˜푖푗 e´ uma matriz (푛− 1)× (푛− 1) com duas linhas iguais. Como estamos supondo que o
resultado seja verdadeiro para estas matrizes, enta˜o det(퐴˜푖푗) = 0. Isto implica que det(퐴) = 0. ■
No pro´ximo resultado mostramos como varia o determinante de uma matriz quando aplicamos
operac¸o˜es elementares sobre suas linhas.
Teorema 2.13. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛.
(a) Se 퐵 e´ obtida de 퐴 multiplicando-se uma linha por um escalar 훼, enta˜o
det(퐵) = 훼 det(퐴) ;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
118 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
(b) Se 퐵 resulta de 퐴 pela troca da posic¸a˜o de duas linhas 푘 ∕= 푙, enta˜o
det(퐵) = − det(퐴) ;
(c) Se 퐵 e´ obtida de 퐴 substituindo a linha 푙 por ela somada a um mu´ltiplo escalar de uma linha 푘,
푘 ∕= 푙, enta˜o
det(퐵) = det(퐴) .
Demonstrac¸a˜o. (a) Segue diretamente do Teorema 2.10 na pa´gina 113.
(b) Sejam
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 119
Agora, pelo Teorema 2.10 na pa´gina 113 e o Corola´rio 2.12, temos que
0 = det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘 + 퐴푙
.
.
.
퐴푘 + 퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= 0 + det(퐴) + det(퐵) + 0.
Portanto, det(퐴) = − det(퐵).
(c) Novamente, pelo Teorema 2.10 na pa´gina 113, temos que
det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙 + 훼퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
+ 훼 det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
= det
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푙
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
120 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.13. Vamos calcular o determinante da matriz
퐴 =
⎡
⎣ 0 1 53 −6 9
2 6 1
⎤
⎦
usando operac¸o˜es elementares para transforma´-la numa matriz triangular superior e aplicando o Te-
orema 2.13.
det(퐴) = − det
⎡
⎣ 3 −6 90 1 5
2 6 1
⎤
⎦ 1a. linha ←→ 2a. linha
= −3 det
⎡
⎣ 1 −2 30 1 5
2 6 1
⎤
⎦ 1/3×1a. linha −→ 1a. linha
= −3 det
⎡
⎣ 1 −2 30 1 5
0 10 −5
⎤
⎦ −2×1a. linha+3a. linha −→ 3a. linha
= −3 det
⎡
⎣ 1 −2 30 1 5
0 0 −55
⎤
⎦ −10×2a. linha+3a. linha −→ 3a. linha
= (−3)(−55) = 165
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar 훼 o determinante da nova matriz e´
igual a 훼 multiplicado pelo determinante da matriz antiga. Mas o que estamos calculando aqui e´ o
determinante da matriz antiga, por isso ele e´ igual a 1/훼 multiplicado pelo determinante da matriz
nova.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 121
Para se calcular o determinante de uma matriz 푛 × 푛 pela expansa˜o em cofatores, precisamos
fazer 푛 produtos e calcular 푛 determinantes de matrizes (푛 − 1) × (푛 − 1), que por sua vez vai
precisar de 푛 − 1 produtos e assim por diante. Portanto, ao todo sa˜o necessa´rios da ordem de 푛!
produtos. Para se calcular o determinante de uma matriz 20× 20, e´ necessa´rio se realizar 20! ≈ 1018
produtos. Os computadores pessoais realizam da ordem de 108 produtos por segundo. Portanto, um
computador pessoal precisaria de cerca de 1010 segundos ou 103 anos para calcular o determinante
de uma matriz 20×20 usando a expansa˜o em cofatores. Entretanto usando o me´todo apresentado no
exemplo anterior para o ca´lculo do determinante, e´ necessa´rio apenas da ordem de 푛3 produtos. Ou
seja, para calcular o determinante de uma matriz 20× 20 usando o me´todo apresentado no exemplo
anterior um computador pessoal gasta muito menos de um segundo.
A seguir estabelecemos duas propriedades do determinante que sera˜o demonstradas somente
na Subsec¸a˜o 2.2.2 na pa´gina 127.
Teorema 2.14. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛× 푛.
(a) O determinante do produto de 퐴 por 퐵 e´ igual ao produto dos seus determinantes,
det(퐴퐵) = det(퐴) det(퐵) .
(b) Os determinantes de 퐴 e de sua transposta 퐴푡 sa˜o iguais,
det(퐴) = det(퐴푡) ;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
122 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Observac¸a˜o. Como o determinante de uma matriz e´ igual ao determinante da sua transposta (Teo-
rema 2.14 (b)), segue-se que todas as propriedades que se referem a linhas sa˜o va´lidas com relac¸a˜o
a`s colunas.
Exemplo 2.14. Seja 퐴 = (푎푖푗)푛×푛. Vamos mostrar que se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o
det(퐴−1) =
1
det(퐴)
.
Como 퐴퐴−1 = 퐼푛, aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igualdade e usando
o Teorema 2.14, obtemos
det(퐴) det(퐴−1) = det(퐼푛).
Mas, det(퐼푛) = 1 (Exemplo 2.11 na pa´gina 112, a matriz identidade tambe´m e´ triangular inferior!).
Logo, det(퐴−1) = 1
det(퐴)
.
Exemplo 2.15. Se uma matriz quadrada e´ tal que 퐴2 = 퐴−1, enta˜o vamos mostrar que det(퐴) =
1. Aplicando-se o determinante a ambos os membros da igualdade acima, e usando novamente o
Teorema 2.14 e o resultado do exemplo anterior, obtemos
(det(퐴))2 =
1
det(퐴)
.
Logo, (det(퐴))3 = 1. Portanto, det(퐴) = 1.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 123
O resultado seguinte caracteriza em termos do determinante as matrizes invertı´veis e os sistemas
lineares homogeˆneos que possuem soluc¸a˜o na˜o trivial.
Teorema 2.15. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛.
(a) A matriz 퐴 e´ invertı´vel se, e somente se, det(퐴) ∕= 0.
(b) O sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e somente se, det(퐴) = 0.
Demonstrac¸a˜o. (a) Seja 푅 a forma escalonada reduzida da matriz 퐴.
A demonstrac¸a˜o deste item segue-se de treˆs observac¸o˜es:
∙ Pelo Teorema 2.13 na pa´gina 117, det(퐴) ∕= 0 se, e somente se, det(푅) ∕= 0.
∙ Pela Proposic¸a˜o 1.5 da pa´gina 52, ou 푅 = 퐼푛 ou a matriz 푅 tem uma linha nula. Assim,
det(퐴) ∕= 0 se, e somente se, 푅 = 퐼푛.
∙ Pelo Teorema 2.7 na pa´gina 87, 푅 = 퐼푛 se, e somente se, 퐴 e´ invertı´vel.
(b) Pelo Teorema 2.8 na pa´gina 92, o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e
somente se, a matriz 퐴 na˜o e´ invertı´vel. E pelo item anterior, a matriz 퐴 e´ na˜o invertı´vel se, e
somente se, det(퐴) = 0.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
124 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.16. Considere a matriz
퐴 =
⎡
⎣ 2 2 20 2 0
0 1 3
⎤
⎦ .
(a) Determinar os valores de 휆 ∈ ℝ tais que existe 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ ∕= 0¯ que satisfaz 퐴푋 = 휆푋 .
(b) Para cada um dos valores de 휆 encontrados no item anterior determinar todos 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ tais
que 퐴푋 = 휆푋 .
Soluc¸a˜o:
(a) Como a matriz identidade 퐼3 e´ o elemento neutro do produto, enta˜o
퐴푋 = 휆푋 ⇔ 퐴푋 = 휆퐼3푋.
Subtraindo-se 휆퐼3푋 obtemos
퐴푋 − 휆퐼3푋 = 0¯ ⇔ (퐴− 휆퐼3)푋 = 0¯.
Agora, este sistema homogeˆneo tem soluc¸a˜o na˜o trivial (푋 ∕= 0¯) se, e somente se,
det(퐴− 휆퐼3) = 0.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 125
Mas
det
⎡
⎣ 2− 휆 2 20 2− 휆 0
0 1 3− 휆
⎤
⎦ = −(휆− 2)2(휆− 3) = 0
se, e somente se, 휆 = 2 ou 휆 = 3. Assim, somente para 휆 = 2 e 휆 = 3 existem vetores
푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ ∕= 0¯ tais que 퐴푋 = 휆푋 .
(b) Para 휆 = 2:
(퐴− 2퐼3)푋 = 0¯ ⇔
⎡
⎣ 0 2 20 0 0
0 1 1
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦ ⇔ { 2푦 + 2푧 = 0
푦 + 푧 = 0
que tem soluc¸a˜o o conjunto dos 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 훽−훼
훼
⎤
⎦, para todos os valores de 훼, 훽 ∈ ℝ.
Para 휆 = 3:
(퐴− 3퐼3)푋 = 0¯ ⇔
⎡
⎣ −1 2 20 −1 0
0 1 0
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 00
0
⎤
⎦ ⇔
⎧⎨
⎩
−푥 + 2푦 + 2푧 = 0
−푦 = 0
푦 = 0
que tem soluc¸a˜o o conjunto dos 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 2훼0
훼
⎤
⎦, para todos os valores de 훼 ∈ ℝ.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
126 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.17. A matriz 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
e´ invertı´vel se, e somente se, det(퐴) = 푎푑 − 푏푐 ∕= 0. Neste
caso a inversa de 퐴 e´ dada por
퐴−1 =
1
det(퐴)
[
푑 −푏
−푐 푎
]
,
como pode ser verificado multiplicando-se a candidata a inversa pela matriz 퐴.
Observe que este exemplo fornece uma regra para se encontrar a inversa de uma matriz 2 × 2:
troca-se a posic¸a˜o dos elementos da diagonal principal, troca-se o sinal dos outros elementos e
divide-se todos os elementos pelo determinante de 퐴.
Exemplo 2.18. Considere o sistema linear de 2 equac¸o˜es e 2 inco´gnitas{
푎푥 + 푏푦 = 푔
푐푥 + 푑푦 = ℎ
A matriz deste sistema e´
퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
.
Se det(퐴) ∕= 0, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema e´
푋 = 퐴−1퐵 =
1
det(퐴)
[
푑 −푏
−푐 푎
] [
푔
ℎ
]
=
1
det(퐴)
[
푑푔 − 푏ℎ
−푐푔 + 푎ℎ
]
=
1
det(퐴)
⎡
⎢⎢⎣ det
[
푔 푏
ℎ 푑
]
det
[
푎 푔
푐 ℎ
]
⎤
⎥⎥⎦
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 127
ou seja,
푥 =
det
[
푔 푏
ℎ 푑
]
det
[
푎 푏
푐 푑
] , 푦 = det
[
푎 푔
푐 ℎ
]
det
[
푎 푏
푐 푑
]
esta e´ a chamada Regra de Cramer para sistemas de 2 equac¸o˜es e 2 inco´gnitas. A Regra de Cramer
para sistemas de 푛 equac¸o˜es e 푛 inco´gnitas sera´ apresentada na Subsec¸a˜o 2.2.3.
2.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional)
Relembramos que uma matriz elementar e´ uma matriz que se obte´m aplicando-se uma operac¸a˜o
elementar na matriz identidade. Assim, aplicando-se o Teorema 2.13 na pa´gina 117 obtemos o resul-
tado seguinte.
Proposic¸a˜o 2.16. (a) Se 퐸푖,푗 e´ a matriz elementar obtida trocando-se as linhas 푖 e 푗 da matriz
identidade, enta˜o det(퐸푖,푗) = −1.
(b) Se 퐸푖(훼) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, multiplicando-se a linha 푖 por 훼,
enta˜o det(퐸푖(훼)) = 훼.
(c) Se 퐸푖,푗(훼) e´ a matriz elementar obtida da matriz identidade, somando-se a` linha 푗, 훼 vezes a
linha 푖, enta˜o det(퐸푖,푗(훼)) = 1.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
128 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Lembramos tambe´m que uma matriz e´ invertı´vel se, e somente se, ela e´ o produto de matrizes
elementares (Teorema 2.6 na pa´gina 84). Ale´m disso, o resultado da aplicac¸a˜o de uma operac¸a˜o
elementar em uma matriz e´ o mesmo que multiplicar a matriz a` esquerda pela matriz elementar
correspondente.
Usando matrizes elementares podemos provar o Teorema 2.14 na pa´gina 121.
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.14.
(a) Queremos provar que det(퐴퐵) = det(퐴) det(퐵). Vamos dividir a demonstrac¸a˜o deste item em
treˆs casos:
Caso 1: Se 퐴 = 퐸 e´ uma matriz elementar. Este caso segue-se diretamente da proposic¸a˜o anterior
e do Teorema 2.13 na pa´gina 117.
Caso 2: Se 퐴 e´ invertı´vel, enta˜o pelo Teorema 2.6 na pa´gina 84 ela e´ o produto de matrizes elemen-
tares, 퐴 = 퐸1 . . . 퐸푘. Aplicando-se o caso anterior sucessivas vezes, obtemos
det(퐴퐵) = det(퐸1) . . . det(퐸푘) det(퐵) = det(퐸1 . . . 퐸푘) det(퐵) = det(퐴) det(퐵).
Caso 3: Se 퐴 e´ singular, pela Proposic¸a˜o 2.9 na pa´gina 95, 퐴퐵 tambe´m e´ singular. Logo,
det(퐴퐵) = 0 = 0 det(퐵) = det(퐴) det(퐵).
(b) Queremos provar que det(퐴) = det(퐴푡). Vamos dividir a demonstrac¸a˜o deste item em dois
casos.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 129
Caso 1: Se 퐴 e´ uma matriz invertı´vel, pelo Teorema 2.6 na pa´gina 84 ela e´ o produto de matrizes
elementares, 퐴 = 퐸1 . . . 퐸푘. ´E fa´cil ver que se 퐸 e´ uma matriz elementar, enta˜o det(퐸) = det(퐸푡)
(verifique!). Assim,
det(퐴푡) = det(퐸푡푘) . . . det(퐸
푡
1) = det(퐸푘) . . . det(퐸1) = det(퐸1 . . . 퐸푘) = det(퐴).
Caso 2: Se 퐴 na˜o e´ invertı´vel, enta˜o 퐴푡 tambe´m na˜o o e´, pois caso contra´rio, pelo Teorema 2.2 na
pa´gina 79, tambe´m 퐴 = (퐴푡)푡 seria invertı´vel. Assim neste caso, det(퐴푡) = 0 = det(퐴). ■
2.2.3 Matriz Adjunta e Inversa˜o (opcional)
Vamos definir a adjunta de uma matriz quadrada e em
seguida enunciar e provar um teorema
sobre a adjunta que permite provar va´rios resultados sobre matrizes, entre eles um que fornece uma
fo´rmula para a inversa de uma matriz e tambe´m a regra de Cramer. Tanto a adjunta quanto os
resultados que vem a seguir sa˜o de importaˆncia teo´rica.
Definic¸a˜o 2.3. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. Definimos a matriz adjunta (cla´ssica) de 퐴, denotada por
adj(퐴), como a transposta da matriz formada pelos cofatores de 퐴, ou seja,
adj(퐴) =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎˜11 푎˜12 . . . 푎˜1푛
푎˜21 푎˜22 . . . 푎˜2푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎˜푛1 푎˜푛2 . . . 푎˜푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
푡
=
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎˜11 푎˜21 . . . 푎˜푛1
푎˜12 푎˜22 . . . 푎˜푛2
.
.
. . . .
.
.
.
푎˜1푛 푎˜2푛 . . . 푎˜푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ ,
em que, 푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗) e´ o cofator do elemento 푎푖푗 , para 푖, 푗 = 1, . . . , 푛.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
130 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 131
Exemplo 2.19. Seja
퐵 =
⎡
⎣ 1 2 30 3 2
0 0 −2
⎤
⎦ .
Vamos calcular a adjunta de 퐵.
푏˜11 = (−1)1+1 det
[
3 2
0 −2
]
= −6, 푏˜12 = (−1)1+2 det
[
0 2
0 −2
]
= 0,
푏˜13 = (−1)1+3 det
[
0 3
0 0
]
= 0, 푏˜21 = (−1)2+1 det
[
2 3
0 −2
]
= 4,
푏˜22 = (−1)2+2 det
[
1 3
0 −2
]
= −2, 푏˜23 = (−1)2+3 det
[
1 2
0 0
]
= 0,
푏˜31 = (−1)3+1 det
[
2 3
3 2
]
= −5, 푏˜32 = (−1)3+2 det
[
1 3
0 2
]
= −2,
푏˜33 = (−1)3+3 det
[
1 2
0 3
]
= 3,
Assim, a adjunta de 퐵 e´
adj(퐵) =
⎡
⎣ −6 0 04 −2 0
−5 −2 3
⎤
⎦푡 =
⎡
⎣ −6 4 −50 −2 −2
0 0 3
⎤
⎦
Na definic¸a˜o do determinante sa˜o multiplicados os elementos de uma linha pelos cofatores da
mesma linha. O teorema seguinte diz o que acontece se somamos os produtos dos elementos de
uma linha com os cofatores de outra linha ou se somamos os produtos dos elementos de uma coluna
com os cofatores de outra coluna.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
132 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Lema 2.17. Se 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛, enta˜o
푎푘1푎˜푖1 + 푎푘2푎˜푖2 + . . .+ 푎푘푛푎˜푖푛 = 0 se 푘 ∕= 푖; (2.10)
푎1푘푎˜1푗 + 푎2푘푎˜2푗 + . . .+ 푎푛푘푎˜푛푗 = 0 se 푘 ∕= 푗; (2.11)
em que, 푎˜푖푗 = (−1)푖+푗 det(퐴˜푖푗) e´ o cofator do elemento 푎푖푗 , para 푖, 푗 = 1, . . . , 푛.
Demonstrac¸a˜o. Para demonstrar a equac¸a˜o (2.10), definimos a matriz 퐴∗ como sendo a matriz
obtida de 퐴 substituindo a 푖-e´sima linha de 퐴 por sua 푘-e´sima linha, ou seja,
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푖
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푘
e 퐴∗ =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푘
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
← 푖
←푘
.
Assim, 퐴∗ possui duas linhas iguais e pelo Corola´rio 2.12 na pa´gina 117, det(퐴∗) = 0. Mas, o
determinante de 퐴∗ desenvolvido segundo a sua 푖-e´sima linha e´ exatamente a equac¸a˜o (2.10).
A demonstrac¸a˜o de (2.11) e´ feita de forma ana´loga, mas usando o item (d) do Teorema 2.13, ou seja,
que det(퐴) = det(퐴푡). ■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 133
Teorema 2.18. Se 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛, enta˜o
퐴(adj(퐴)) = (adj(퐴))퐴 = det(퐴)퐼푛
Demonstrac¸a˜o. O produto da matriz 퐴 pela matriz adjunta de 퐴 e´ dada por⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 . . . 푎1푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푖1 푎푖2 . . . 푎푖푛
.
.
. . . .
.
.
.
푎푛1 푎푛2 . . . 푎푛푝
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎˜11
푎˜12
.
.
.
푎˜1푛
. . .
. . .
. . .
. . .
푎˜푗1
푎˜푗2
.
.
.
푎˜푗푝
. . .
. . .
. . .
. . .
푎˜푛1
푎˜푛2
.
.
.
푎˜푛푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
O elemento de posic¸a˜o 푖, 푗 de 퐴 adj(퐴) e´
(퐴 adj(퐴))푖푗 =
푛∑
푘=1
푎푖푘푎˜푗푘 = 푎푖1푎˜푗1 + 푎푖2푎˜푗2 + . . . 푎푖푛푎˜푗푛 .
Pelo Lema 2.17, equac¸a˜o (2.10) e do Teorema 2.11 na pa´gina 116 segue-se que
(퐴 adj(퐴))푖푗 =
{
det(퐴) se 푖 = 푗
0 se 푖 ∕= 푗.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
134 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Assim,
퐴 adj(퐴) =
⎡
⎢⎢⎢⎣
det(퐴) 0 . . . 0
0 det(퐴) . . . 0
.
.
. . . .
.
.
.
0 0 . . . det(퐴)
⎤
⎥⎥⎥⎦ = det(퐴)퐼푛 .
Analogamente, usando Lema 2.17, equac¸a˜o (2.11), se prova que adj(퐴) 퐴 = det(퐴)퐼푛. ■
Exemplo 2.20. Vamos mostrar que se uma matriz 퐴 e´ singular, enta˜o adj(퐴) tambe´m e´ singular.
Vamos separar em dois casos.
(a) Se 퐴 = 0¯, enta˜o adj(퐴) tambe´m e´ a matriz nula, que e´ singular.
(b) Se 퐴 ∕= 0¯, enta˜o pelo Teorema 2.18 na pa´gina 133, adj(퐴)퐴 = 0¯. Mas, enta˜o, se adj(퐴) fosse
invertı´vel, enta˜o 퐴 seria igual a` matriz nula (por que?), que estamos assumindo na˜o ser este o
caso. Portanto, adj(퐴) tem que ser singular.
Corola´rio 2.19. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛. Se det(퐴) ∕= 0, enta˜o
퐴−1 =
1
det(퐴)
adj(퐴) ;
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 135
Demonstrac¸a˜o. Se det(퐴) ∕= 0, enta˜o definindo 퐵 = 1
det(퐴)
adj(퐴), pelo Teorema 2.18 temos que
퐴퐵 = 퐴(
1
det(퐴)
adj(퐴)) =
1
det(퐴)
(퐴 adj(퐴)) =
1
det(퐴)
det(퐴)퐼푛 = 퐼푛 .
Aqui, usamos a propriedade (j) do Teorema 1.1 na pa´gina 10. Portanto, 퐴 e´ invertı´vel e 퐵 e´ a inversa
de 퐴. ■
Exemplo 2.21. No Exemplo 2.17 na pa´gina 126 mostramos como obter rapidamente a inversa de ma
matriz 2× 2. Usando o Corola´rio 2.19 podemos tambe´m obter a inversa de uma matriz 2× 2,
퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
,
퐴−1 =
1
det(퐴)
adj(퐴) =
1
det(퐴)
[
푑 −푏
−푐 푎
]
, se det(퐴) ∕= 0
Ou seja, a inversa de uma matriz 2 × 2 e´ facilmente obtida trocando-se a posic¸a˜o dos elementos da
diagonal principal, trocando-se o sinal dos outros elementos e dividindo-se todos os elementos pelo
determinante de 퐴.
Exemplo 2.22. Vamos calcular a inversa da matriz
퐵 =
⎡
⎣ 1 2 30 3 2
0 0 −2
⎤
⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
136 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
A sua adjunta foi calculada no Exemplo 2.19 na pa´gina 131. Assim,
퐵−1 =
1
det(퐵)
adj(퐵) =
1
−6
⎡
⎣ −6 4 −50 −2 −2
0 0 3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 1 −23 560 1
3
1
3
0 0 −1
2
⎤
⎦ .
Corola´rio 2.20 (Regra de Cramer). Se o sistema linear 퐴푋 = 퐵 e´ tal que a matriz 퐴 e´ 푛 × 푛 e
invertı´vel, enta˜o a soluc¸a˜o do sistema e´ dada por
푥1 =
det(퐴1)
det(퐴)
, 푥2 =
det(퐴2)
det(퐴)
, . . . , 푥푛 =
det(퐴푛)
det(퐴)
,
em que 퐴푗 e´ a matriz que se obtem de 퐴 substituindo-se a sua 푗-e´sima coluna por 퐵, para 푗 =
1, . . . , 푛.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 137
Demonstrac¸a˜o. Como 퐴 e´ invertı´vel, pelo Corola´rio 2.19
푋 = 퐴−1퐵 =
1
det(퐴)
adj(퐴)퐵.
A entrada 푥푗 e´ dada por
푥푗 =
1
det(퐴)
(푎˜1푗푏1 + . . .+ 푎˜푛푗푏푛) =
det(퐴푗)
det(퐴)
,
em que 퐴푗 e´ a matriz que se obte´m de 퐴 substituindo-se a sua 푗-e´sima coluna por 퐵, para 푗 =
1, . . . , 푛 e det(퐴푗) foi calculado fazendo o desenvolvimento em cofatores em relac¸a˜o a 푗-e´sima coluna
de 퐴푗 . ■
Se a matriz 퐴 na˜o e´ invertı´vel, enta˜o a regra de Cramer na˜o pode ser aplicada. Pode ocorrer que
det(퐴) = det(퐴푗) = 0, para 푗 = 1, . . . , 푛 e o sistema na˜o tenha soluc¸a˜o (verifique!). A regra de
Cramer tem um valor teo´rico, por fornecer uma fo´rmula para a soluc¸a˜o de um sistema linear, quando
a matriz do sistema e´ quadrada e invertı´vel.
Existem sistemas 퐴푋 = 퐵 de 푛 equac¸o˜es e 푛 inco´gnitas, com 푛 > 2, em que det(퐴) =
det(퐴1) = ⋅ ⋅ ⋅ = det(퐴푛) = 0 e o sistema na˜o tem soluc¸a˜o. Por exemplo o sistema⎧⎨
⎩
푥 + 2푦 + 3푧 = 1
2푥 + 4푦 + 6푧 = 3
3푥 + 6푦 + 9푧 = 2
e´ tal que
det(퐴) = det(퐴1) = det(퐴2) = det(퐴3) = 0,
mas ele na˜o tem soluc¸a˜o (verifique!).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
138 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 536)
2.2.1. Se det(퐴) = −3, encontre
(a) det(퐴2); (b) det(퐴3); (c) det(퐴−1); (d) det(퐴푡);
2.2.2. Se 퐴 e 퐵 sa˜o matrizes 푛× 푛 tais que det(퐴) = −2 e det(퐵) = 3, calcule det(퐴푡퐵−1).
2.2.3. Seja 퐴 = (푎푖푗)3×3 tal que det(퐴) = 3. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(a)
⎡
⎣
푎11 푎12 푎13 + 푎12푎21 푎22 푎23 + 푎22
푎31 푎32 푎33 + 푎32
⎤
⎦ (b)
⎡
⎣ 푎11 + 푎12 푎11 − 푎12 푎13푎21 + 푎22 푎21 − 푎22 푎23
푎31 + 푎32 푎31 − 푎32 푎33
⎤
⎦
2.2.4. Calcule o determinante das matrizes a seguir:
(a)
[
푒푟푡 푡푒푟푡
푟푒푟푡 (1 + 푟푡)푒푟푡
]
(b)
[
cos 훽푡 sen 훽푡
훼 cos 훽푡− 훽 sen 훽푡 훼 sen 훽푡+ 훽 cos 훽푡
]
2.2.5. Calcule o determinante de cada uma das matrizes seguintes usando operac¸o˜es elementares
para transforma´-las em matrizes triangulares superiores.
(a)
⎡
⎢⎢⎣
1 −2 3 1
5 −9 6 3
−1 2 −6 −2
2 8 6 1
⎤
⎥⎥⎦ (b)
⎡
⎢⎢⎣
2 1 3 1
1 0 1 1
0 2 1 0
0 1 2 3
⎤
⎥⎥⎦.
2.2.6. Determine todos os valores de 휆 para os quais det(퐴− 휆퐼푛) = 0, em que
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 139
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 0 1 20 0 3
0 0 0
⎤
⎦ (b) 퐴 =
⎡
⎣ 1 0 0−1 3 0
3 2 −2
⎤
⎦
(c) 퐴 =
⎡
⎣ 2 −2 30 3 −2
0 −1 2
⎤
⎦ (d) 퐴 =
⎡
⎣ 2 2 31 2 1
2 −2 1
⎤
⎦
2.2.7. Determine os valores de 휆 ∈ ℝ tais que existe 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦ ∕= 0¯ que satisfaz 퐴푋 = 휆푋 .
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 2 0 03 −1 0
0 4 3
⎤
⎦; (b) 퐴 =
⎡
⎣ 2 3 00 1 0
0 0 2
⎤
⎦;
(c) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
1 2 3 4
0 −1 3 2
0 0 3 3
0 0 0 2
⎤
⎥⎥⎦; (d) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦.
2.2.8. Para as matrizes do exercı´cio anterior, e os valores de 휆 encontrados, encontre a soluc¸a˜o geral
do sistema 퐴푋 = 휆푋 , ou equivalentemente, do sistema homogeˆneo (퐴− 휆퐼푛)푋 = 0¯.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
140 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
>> det(A) calcula o determinante da matriz A.
Comando do pacote GAAL:
>> detopelp(A) calcula o determinante de A aplicando operac¸o˜es elementares ate´ que a
matriz esteja na forma triangular superior.
2.2.9. Vamos fazer um experimento no MATLABⓇ para tentar ter uma ide´ia do qua˜o comum e´ encontrar
matrizes invertı´veis. No prompt do MATLABⓇ digite a seguinte linha:
>> c=0; for n=1:1000,A=randi(2);if(det(A)˜=0),c=c+1;end,end,c
(na˜o esquec¸a das vı´rgulas e pontos e vı´rgulas!). O que esta linha esta´ mandando o MATLABⓇ
fazer e´ o seguinte:
∙ Criar um contador c e atribuir a ele o valor zero.
∙ Atribuir a` varia´vel A, 1000 matrizes 2× 2 com entradas inteiras aleato´rias entre −5 e 5.
∙ Se det(A) ∕= 0, enta˜o o contador c e´ acrescido de 1.
∙ No final o valor existente na varia´vel c e´ escrito.
Qual a conclusa˜o que voceˆ tira do valor obtido na varia´vel c?
2.2.10. Resolva, com o MATLABⓇ, os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 4.
Exercı´cios Teo´ricos
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 141
2.2.11. Mostre que se det(퐴퐵) = 0, enta˜o ou 퐴 e´ singular ou 퐵 e´ singular.
2.2.12. O determinante de 퐴퐵 e´ igual ao determinante de 퐵퐴? Justifique.
2.2.13. Mostre que se 퐴 e´ uma matriz na˜o singular tal que 퐴2 = 퐴, enta˜o det(퐴) = 1.
2.2.14. Mostre que se 퐴푘 = 0¯, para algum 푘 inteiro positivo, enta˜o 퐴 e´ singular.
2.2.15. Mostre que se 퐴푡 = 퐴−1, enta˜o det(퐴) = ±1;
2.2.16. Mostre que se 훼 e´ um escalar e 퐴 e´ uma matriz 푛× 푛, enta˜o det(훼퐴) = 훼푛 det(퐴).
2.2.17. Mostre que 퐴, 푛× 푛, e´ invertı´vel se, e somente se, 퐴푡퐴 e´ invertı´vel.
2.2.18. Sejam 퐴 e 푃 matrizes 푛× 푛, sendo 푃 invertı´vel. Mostre que det(푃−1퐴푃 ) = det(퐴).
2.2.19. Mostre que se uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛 e´ triangular superior, (isto e´, os elementos situados
abaixo da diagonal sa˜o iguais a zero) enta˜o det(퐴) = 푎11푎22 . . . 푎푛푛.
2.2.20. (a) Mostre que se 퐴 =
[
푎 푏
푐 푑
]
, enta˜o det(퐴) = 0 se, e somente se, uma linha e´ mu´ltiplo
escalar da outra. E se 퐴 for uma matriz 푛× 푛?
(b) Mostre que se uma linha 퐴푖 de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛, e´ tal que 퐴푖 = 훼퐴푘+훽퐴푙, para
훼 e 훽 escalares e 푖 ∕= 푘, 푙, enta˜o det(퐴) = 0.
(c) Mostre que se uma linha 퐴푖 de uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푛×푛, e´ tal que 퐴푖 =
∑
푘 ∕=푖
훼푘퐴푘, para
훼1, . . . , 훼푘 escalares, enta˜o det(퐴) = 0.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
142 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.2.21. Mostre que o determinante de Vandermonde e´ dado por
푉푛 = det
⎡
⎢⎢⎢⎣
1 푥1 푥
2
1 . . . 푥
푛−1
1
1 푥2 푥
2
2 . . . 푥
푛−1
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 푥푛 푥
2
푛 . . . 푥
푛−1
푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =∏
푖>푗
(푥푖 − 푥푗).
A expressa˜o a` direita significa o produto de todos os termos 푥푖 − 푥푗 tais que 푖 > 푗 e 푖, 푗 =
1, . . . , 푛. (Sugesta˜o: Mostre primeiro que 푉3 = (푥3 − 푥2)(푥2 − 푥1)(푥3 − 푥1). Suponha que o
resultado e´ verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem 푛− 1, mostre que o resultado
e´ verdadeiro para matrizes de Vandermonde de ordem 푛. Fac¸a as seguintes operac¸o˜es nas
colunas da matriz, −푥1퐶푖−1 + 퐶푖 → 퐶푖, para 푖 = 푛, . . . , 2. Obtenha 푉푛 = (푥푛 − 푥1) . . . (푥2 −
푥1)푉푛−1.)
2.2.22. Sejam 퐴,퐵 e 퐷 matrizes 푝× 푝, 푝× (푛− 푝) e (푛− 푝)× (푛− 푝), respectivamente. Mostre que
det
[
퐴 퐵
0¯ 퐷
]
= det(퐴) det(퐷).
(Sugesta˜o: O resultado e´ claramente verdadeiro para 푛 = 2. Suponha que o resultado seja
verdadeiro para matrizes de ordem 푛− 1. Desenvolva o determinante da matriz em termos da
1a. coluna, escreva o resultado em termos de determinantes de ordem 푛 − 1 e mostre que o
resultado e´ verdadeiro para matrizes de ordem 푛.)
2.2.23. Dado um polinoˆmio
푝(푡) = (−1)푛(푡푛 + 푎푛−1푡푛−1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎0)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 143
Verifique que a matriz
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
0 1 0 ⋅ ⋅ ⋅ 0
0 0 1 ⋅ ⋅ ⋅ 0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 ⋅ ⋅ ⋅ 1
−푎0 −푎1 −푎2 ⋅ ⋅ ⋅ −푎푛−1
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
푛×푛
,
e´ tal que det(퐴 − 푡퐼푛) = 푝(푡). Esta matriz e´ chamada matriz companheira do polinoˆmio
푝(푡). (Sugesta˜o: verifique para 푛 = 2 e depois supondo que seja verdade para matrizes
(푛 − 1) × (푛 − 1) mostre que e´ verdade para matrizes 푛 × 푛 expandindo em cofatores em
relac¸a˜o a primeira coluna)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
144 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Apeˆndice II: Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 na pa´gina 116
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.10 na pa´gina 113 para 푘 > 1. Deixamos como exercı´cio para o leitor
a verificac¸a˜o de que para matrizes 2 × 2 o resultado e´ verdadeiro. Supondo que o resultado seja
verdadeiro para matrizes (푛− 1)× (푛− 1), vamos provar para matrizes 푛× 푛. Sejam
퐴 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
훼푋 + 훽푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
, 퐵 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푋
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
e 퐶 =
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
퐴1
.
.
.
퐴푘−1
푌
퐴푘+1
.
.
.
퐴푛
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
.
Suponha que 푘 = 2, . . . , 푛. As matrizes 퐴˜1푗 , 퐵˜1푗 e 퐶˜1푗 so´ diferem na (푘 − 1)-e´sima linha (lembre-se
que a primeira linha e´ retirada!). Ale´m disso, a (푘 − 1)-e´sima linha de 퐴˜1푗 e´ igual a 훼 vezes a linha
correspondente de 퐵˜1푗 mais 훽 vezes a linha correspondente de 퐶˜1푗 (esta e´ a relac¸a˜o que vale para a
푘-e´sima linha de 퐴). Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (푛− 1)× (푛− 1),
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 145
enta˜o det(퐴˜1푗) = 훼 det(퐵˜1푗) + 훽 det(퐶˜1푗). Assim,
det(퐴) =
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푎1푗 det(퐴˜1푗)
=
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푎1푗
[
훼 det(퐵˜1푗) + 훽 det(퐶˜1푗)
]
= 훼
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푏1푗 det(퐵˜1푗) + 훽
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푐1푗 det(퐶˜1푗)
= 훼 det(퐵) + 훽 det(퐶),
pois 푎1푗 = 푏1푗 = 푐1푗 , para 푗 = 1, . . . , 푛. ■
Lema 2.21. Sejam 퐸1 = [ 1 0 . . . 0 ], 퐸2 = [ 0 1 0 . . . 0 ], . . . , 퐸푛 = [ 0 . . . 0 1 ]. Se 퐴 e´ uma matriz
푛× 푛, cuja 푖-e´sima linha e´ igual a 퐸푘, para algum 푘 (1 ≤ 푘 ≤ 푛), enta˜o
det(퐴) = (−1)푖+푘 det(퐴˜푖푘).
Demonstrac¸a˜o. ´E fa´cil ver que para matrizes 2 × 2 o lema e´ verdadeiro. Suponha que ele seja
verdadeiro para matrizes (푛− 1)× (푛− 1) e vamos provar que ele e´ verdadeiro para matrizes 푛×푛.
Podemos supor que 1 < 푖 ≤ 푛.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
146 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Seja 퐵푗 a matriz (푛− 2)× (푛− 2) obtida de 퐴 eliminando-se as linhas 1 e 푖 e as colunas 푗 e 푘,
para 1 ≤ 푗 ≤ 푛.
Para 푗 < 푘, a matriz 퐴˜1푗 e´ uma matriz (푛− 1)× (푛− 1) cuja (푖− 1)-e´sima linha e´ igual a 퐸푘−1.
Para 푗 > 푘, a matriz 퐴˜1푗 e´ uma matriz (푛− 1)× (푛− 1) cuja (푖− 1)-e´sima linha e´ igual a 퐸푘. Como
estamos supondo o lema verdadeiro para estas matrizes e como pelo Teorema 2.10 na pa´gina 113 se
uma matriz tem uma linha nula o seu determinante e´ igual a zero, enta˜o det(퐴˜1푘) = 0, segue-se que
det(퐴˜1푗) =
⎧⎨
⎩
(−1)(푖−1)+(푘−1) det(퐵푗) se 푗 < 푘,
0 se 푗 = 푘,
(−1)(푖−1)+푘 det(퐵푗) se 푗 > 푘.
(2.12)
Usando (2.12), obtemos
det(퐴) =
푛∑
푗=1
(−1)1+푗푎1푗 det(퐴˜푖푗)
=
푛∑
푗<푘
(−1)1+푗푎1푗(−1)(푖−1)+(푘−1) det(퐵푗) +
푛∑
푗>푘
(−1)1+푗푎1푗(−1)(푖−1)+푘 det(퐵푗)
Por outro lado, temos que
(−1)푖+푘 det(퐴˜푖푘) = (−1)푖+푘
[
푛∑
푗<푘
(−1)1+푗푎1푗 det(퐵푗) +
푛∑
푗>푘
(−1)1+(푗−1)푎1푗 det(퐵푗)
]
´E simples a verificac¸a˜o de que as duas expresso˜es acima sa˜o iguais. ■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.2 Determinantes 147
Demonstrac¸a˜o do Teorema 2.11 na pa´gina 116.
Pelo Teorema 2.14 na pa´gina 121 basta provarmos o resultado para o desenvolvimento em termos
das linhas de 퐴. Sejam 퐸1 = [1 0 . . . 0], 퐸2 = [0 1 0 . . . 0], . . . , 퐸푛 = [0 . . . 0 1]. Observe que a
linha 푖 de 퐴 pode ser escrita como 퐴푖 =
∑푛
푗=1 푎푖푗퐸푗 . Seja 퐵푗 a matriz obtida de 퐴 substituindo-se a
linha 푖 por 퐸푗 . Pelo Teorema 2.10 na pa´gina 113 e o Lema 2.21 segue-se que
det(퐴) =
푛∑
푗=1
푎푖푗 det(퐵푗) =
푛∑
푗=1
(−1)푖+푗푎푖푗 det(퐴˜푖푗).
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
148 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos (opcional)
2.3.1 Operac¸o˜es Matriciais em Blocos
As matrizes podem ser subdivididas em blocos, por exemplo a matriz
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
5 4 3 4 4
−3 3 −1 2 4
1 0 1 −3 −1
0 −5 3 −1 4
⎤
⎥⎥⎦
pode ser dividida em quatro submatrizes, 퐴11, 퐴12, 퐴21 e 퐴22,
퐴 =
[
퐴11 퐴12
퐴21 퐴22
]
=
⎡
⎢⎢⎣
5 4 3 4 4
−3 3 −1 2 4
1 0 1 −3 −1
0 −5 3 −1 4
⎤
⎥⎥⎦ .
Dependendo das subdiviso˜es feitas, as matrizes podem ser operadas em termos dos seus blocos.
Com relac¸a˜o a` soma, duas matrizes podem ser somadas por blocos se os blocos correspondentes
nas matrizes forem do mesmo tamanho, ou seja, se os blocos correspondentes podem ser somados.
Vamos analisar a seguir quando podemos fazer o produto de matrizes em termos dos seus blocos.
Seja 퐴 uma matriz 푚 × 푝 e 퐵 uma matriz 푝 × 푛. Podemos particionar 퐴 e 퐵 em blocos e
expressar o produto em termos de submatrizes de 퐴 e 퐵. Considere os seguintes casos:
Caso 1:
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos 149
Se 퐵 = [퐵1 퐵2 ], em que 퐵1 e´ uma matriz 푝× 푡 e 퐵2 e´ uma matriz 푝× (푛− 푡), enta˜o
퐴퐵 = 퐴 [퐵1 퐵2 ] = [퐴퐵1 퐴퐵2].
Caso 2:
Se 퐴 =
[
퐴1
퐴2
]
, em que 퐴1 e´ uma matriz 푡× 푝 e 퐴2 e´ uma matriz (푚− 푡)× 푝, enta˜o
퐴퐵 =
[
퐴1
퐴2
]
퐵 =
[
퐴1퐵
퐴2퐵
]
.
Caso 3:
Se 퐴 = [퐴1 퐴2 ], em que 퐴1 e´ uma matriz 푚× 푡 e 퐴2 e´ uma matriz 푚× (푝− 푡) e 퐵 =
[
퐵1
퐵2
]
,
em que 퐵1 e´ uma matriz 푡× 푛 e 퐵2 e´ uma matriz (푝− 푡)× 푛, enta˜o
[퐴퐵]푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 =
푡∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 +
푝∑
푘=푡+1
푎푖푘푏푘푗 = [퐴1퐵1]푖푗 + [퐴2퐵2]푖푗 .
Portanto,
퐴퐵 = [퐴1 퐴2 ]
[
퐵1
퐵2
]
= 퐴1퐵1 + 퐴2퐵2.
Caso 4:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
150 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Sejam as matrizes 퐴 e 퐵 particionadas em blocos como segue:
퐴 =
[
퐴11 퐴12
퐴21 퐴22
]
푟
푚− 푟
푡 푝− 푡
, 퐵 =
[
퐵11 퐵12
퐵21 퐵22
]
푡
푝− 푡
푠 푛− 푠
Sejam
퐴1 =
[
퐴11
퐴21
]
, 퐴2 =
[
퐴12
퐴22
]
, 퐵1 = [퐵11 퐵12 ] e 퐵2 = [퐵21 퐵22 ].
Segue do Caso 3 que
퐴퐵 = [퐴1 퐴2 ]
[
퐵1
퐵2
]
= 퐴1퐵1 + 퐴2퐵2.
Agora, segue-se dos Casos 1 e 2, que
퐴1퐵1 =
[
퐴11
퐴21
]
퐵1 =
[
퐴11퐵1
퐴21퐵1
]
=
[
퐴11퐵11 퐴11퐵12
퐴21퐵11 퐴21퐵12
]
퐴2퐵2 =
[
퐴12
퐴22
]
퐵2 =
[
퐴12퐵2
퐴22퐵2
]
=
[
퐴12퐵21 퐴12퐵22
퐴22퐵21 퐴22퐵22
]
.
Portanto,
퐴퐵 =
[
퐴11 퐴12
퐴21 퐴22
] [
퐵11 퐵12
퐵21 퐵22
]
=
[
퐴11퐵11 + 퐴12퐵21 퐴11퐵12 + 퐴12퐵22
퐴21퐵11 + 퐴22퐵21 퐴21퐵12 + 퐴22퐵22
]
.
Observe que para que seja possı´vel fazer o produto por blocos e´ necessa´rio que o nu´mero de
colunas dos blocos da primeira matriz seja igual ao nu´mero de linhas dos blocos correspondentes da
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos 151
segunda matriz. O que fizemos acima pode ser generalizado para um nu´mero qualquer de blocos.
Se os blocos possuem os tamanhos adequados, a multiplicac¸a˜o por blocos pode ser feita da mesma
forma como e´ feita a multiplicac¸a˜o usual de matrizes.
Exemplo 2.23. Sejam
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
⎤
⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎣
−2 −1
−3 4
−5 0
2 −1
⎤
⎥⎥⎦ .
Usando o particionamento das matrizes em blocos e´ mais simples fazer o produto 퐴퐵.
퐴퐵 =
⎡
⎢⎢⎣ 0¯2
[ −2
−3
]
+ 퐼2
[ −5
2
]
0¯2
[ −1
4
]
+ 퐼2
[
0
−1
]
퐼2
[ −2
−3
]
+ 0¯2
[ −5
2
]
퐼2
[ −1
4
]
+ 0¯2
[
0
−1
]
⎤
⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎣
−5 0
2 −1
−2 −1
−3 4
⎤
⎥⎥⎦ .
2.3.2 Inversa de Matrizes em Blocos
Proposic¸a˜o 2.22. Sejam 퐴 e 퐷 matrizes 푝× 푝 e (푛− 푝)× (푛− 푝), respectivamente. A matriz
푀 =
[
퐴 0¯
0¯ 퐷
]
e´ invertı´vel se, e somente se, 퐴 e 퐷 sa˜o invertı´veis. No caso em que 푀 e´ invertı´vel, enta˜o
푀−1 =
[
퐴−1 0¯
0¯ 퐷−1
]
(2.13)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
152 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
Demonstrac¸a˜o. Se 퐴 e 퐷 sa˜o invertı´veis e´ fa´cil verificar que a matriz dada em (2.13) e´ a inversa de
푀 .
Reciprocamente, suponha que 푀 e´ invertı´vel. Seja 푁 = 푀−1. Vamos particionar a matriz 푁 da
mesma maneira que 푀 , ou seja,
푁 =
[
퐸 퐹
퐺 퐻
]
.
Como 푀 푁 = 푁 푀 = 퐼푛, enta˜o[
퐴 0¯
0¯ 퐷
] [
퐸 퐹
퐺 퐻
]
=
[
퐼푝 0¯
0¯ 퐼푛−푝
]
=
[
퐸 퐹
퐺 퐻
] [
퐴 0¯
0¯ 퐷
]
.
De em que segue-se que, 퐷퐻 = 퐼푛−푝 = 퐻퐷 e assim 퐷 e´ invertı´vel. Ale´m disso, 퐴퐸 = 퐼푝 = 퐸퐴 e
portanto 퐴 e´ invertı´vel. ■
2.3.3 Determinante de Matrizes em Blocos
Proposic¸a˜o 2.23. Sejam 퐴,퐵 e 퐷 matrizes 푝× 푝, 푝× (푛− 푝) e (푛− 푝)× (푛− 푝), respectivamente.
Seja 푀 =
[
퐴 퐵
0¯ 퐷
]
. Enta˜o,
det(푀) = det
[
퐴 퐵
0¯ 퐷
]
= det(퐴) det(퐷).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos 153
Demonstrac¸a˜o. O resultado e´ claramente verdadeiro para 푛 = 4. Supondo que o resultado seja
verdadeiro para matrizes (푛 − 1) × (푛 − 1), vamos provar para matrizes 푛 × 푛. Expandindo o
determinante em termos da 1a. coluna da matriz
푀 =
[
퐴 퐵
0¯ 퐷
]
,
obtemos
det(푀) =
푝∑
푖=1
(−1)푖+1푎푖1 det(푀˜푖1)
Como estamos supondo o resultado verdadeiro para matrizes (푛− 1)× (푛− 1), enta˜o
det(푀) =
푝∑
푖=1
(−1)푖+1푎푖1(det(퐴˜푖1) det(퐷))
=
(
푝∑
푖=1
(−1)푖+1푎푖1 det(퐴˜푖1)
)
det(퐷) = det(퐴) det(퐷).
■
Exercı´cios Nume´ricos
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
154 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
2.3.1. Sejam
퐸 =
[
0 1
1 0
]
, 퐹 =
[
1 0
−1 1
]
e 퐵 =
[
퐵11 퐵12
퐵21 퐵22
]
=
⎡
⎢⎢⎣
1 1 1 1
1 2 1 1
3 1 1 1
3 2 1 2
⎤
⎥⎥⎦
Realize os seguintes produtos em blocos:
(a)
[
0¯2 퐼2
퐼2 0¯2
] [
퐵11 퐵12
퐵21 퐵22
]
; (b)
[
퐸 0¯2
0¯2 퐼2
] [
퐵11 퐵12
퐵21 퐵22
]
;
(c)
[
퐼2 퐹
0¯2 퐼2
] [
퐵11 퐵12
퐵21 퐵22
]
; (d)
[
퐼2 0¯2
퐸 퐼2
] [
퐵11 퐵12
퐵21 퐵22
]
.
Exercı´cios Teo´ricos
2.3.2. Seja 퐴 uma matriz invertı´vel 푛× 푛. Fac¸a os seguintes produtos:
(a) 퐴−1 [ 퐴 퐼푛 ]
(b) [ 퐴 퐼푛 ]푡 [ 퐴 퐼푛 ]
(c) [ 퐴 퐼푛 ] [ 퐴 퐼푛 ]푡
(d)
[
퐴
퐼푛
]
퐴−1
(e)
[
퐴−1
퐼푛
] [
퐴 퐼푛
]
.
2.3.3. Seja 퐴 uma matriz 푚 × 푛, e suponha que 퐴 = 푋푌 푡, em que 푋 e´ uma matriz 푚 × 푘 e 푌 e´
uma matriz 푛 × 푘. Escreva 푋 = [푋1 . . . 푋푘 ] e 푌 = [푌1 . . . 푌푘 ]. Escreva 퐴 como uma soma
de 푘 matrizes definidas
em termos das colunas de 푋 e de 푌 .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos 155
2.3.4. Sejam 퐴,퐵 e 퐷 matrizes 푝× 푝, 푝× (푛− 푝) e (푛− 푝)× (푛− 푝), respectivamente. Mostre que
a matriz
푀 =
[
퐴 퐵
0¯ 퐷
]
e´ invertı´vel se, e somente se, 퐴 e 퐷 sa˜o invertı´veis. No caso em que 푀 e´ invertı´vel, enta˜o
푀−1 =
[
퐴−1 −퐴−1퐵퐷−1
0¯ 퐷−1
]
(Sugesta˜o: mostre que
[
퐴 퐵
0¯ 퐷
] [
퐴−1 −퐴−1퐵퐷−1
0¯ 퐷−1
]
=
[
퐼푛 0¯
0¯ 퐼푛−푝
]
.)
2.3.5. Sejam 퐴,퐵 e 퐷 matrizes 푝× 푝, 푝× (푛− 푝) e (푛− 푝)× (푛− 푝), respectivamente. Seja
푀 =
[
퐴 퐵
퐶 퐷
]
,
em que 퐴 e´ invertı´vel. Mostre que 푀 pode ser fatorada no produto
푀 =
[
퐼푝 0¯
퐶˜ 퐼푛−푝
] [
퐴 퐵
0¯ 퐷˜
]
,
em que 퐶˜ = 퐶퐴−1 e 퐷˜ = 퐷 − 퐶퐴−1퐵.
(Sugesta˜o: fac¸a o produto e verifique que e´ igual a 푀 .)
2.3.6. Sejam 퐴, 퐵, 퐶 e 퐷 matrizes 푛× 푛, com 퐴 invertı´vel. Seja
푀 =
[
퐴 퐵
퐶 퐷
]
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
156 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
(a) Mostre que
det(푀) = det(퐴퐷 − 퐴퐶퐴−1퐵).
(Sugesta˜o: use a Proposic¸a˜o 2.23 na pa´gina 152 e o exercı´cio anterior.)
(b) Se 퐴퐶 = 퐶퐴, mostre que
det(푀) = det(퐴퐷 − 퐶퐵)
(c) Em [23] Exercı´cio 7.77 na pa´gina 396 e´ pedido para provar que se 퐴퐶 = 퐶퐴, enta˜o
det(푀) = det(퐴) det(퐷)− det(퐵) det(퐶).
Mostre que este resultado e´ falso. Sugesta˜o: use o item anterior, tome 퐴 = 퐶 e 퐷,퐵
tais que det(퐷 −퐵) ∕= det(퐷)− det(퐵).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
2.3 Matrizes Particionadas em Blocos 157
Teste do Capı´tulo
1. Calcule o determinante da matriz seguinte usando operac¸o˜es elementares para transforma´-la
em uma matriz triangular superior. ⎡
⎢⎢⎣
1 3 9 7
2 3 2 5
0 3 4 1
4 6 9 1
⎤
⎥⎥⎦
2. Se possı´vel, encontre a inversa da seguinte matriz:⎡
⎢⎢⎣
1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 2
⎤
⎥⎥⎦
3. Encontre todos os valores de 휆 para os quais a matriz 퐴− 휆퐼4 tem inversa, em que
퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
2 0 0 0
2 0 0 0
1 2 1 0
3 2 −1 2
⎤
⎥⎥⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
158 Inversa˜o de Matrizes e Determinantes
4. Responda Verdadeiro ou Falso, justificando:
(a) Se 퐴2 = −2퐴4, enta˜o (퐼 + 퐴2)−1 = 퐼 − 2퐴2;
(b) Se 퐴푡 = −퐴2 e 퐴 e´ na˜o singular, enta˜o determinante de 퐴 e´ -1;
(c) Se 퐵 = 퐴퐴푡퐴−1, enta˜o det(퐴) = det(퐵).
(d) det(퐴+ 퐵) = det퐴+ det퐵
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 3
Espac¸os ℝ푛
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o
Muitas grandezas fı´sicas, como velocidade, forc¸a, deslocamento e impulso, para serem comple-
tamente identificadas, precisam, ale´m da magnitude, da direc¸a˜o e do sentido. Estas grandezas sa˜o
chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores.
Geometricamente, vetores sa˜o representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos
de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espac¸o. A ponta da seta do segmento orientado
e´ chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo e´ chamado de ponto inicial ou
origem do segmento orientado. A direc¸a˜o e o sentido do segmento orientado identifica a direc¸a˜o e o
sentido do vetor. O comprimento do segmento orientado representa a magnitude do vetor.
159
160 Espac¸os ℝ푛
Figura 3.1: Segmentos orientados representando o mesmo vetor
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 161
Um vetor poder ser representado por va´rios segmentos orientados. Este fato e´ ana´logo ao que
ocorre com os nu´meros racionais e as frac¸o˜es. Duas frac¸o˜es representam o mesmo nu´mero racional
se o numerador e o denominador de cada uma delas estiverem na mesma proporc¸a˜o. Por exemplo, as
frac¸o˜es 1/2, 2/4 e 3/6 representam o mesmo nu´mero racional. De forma ana´loga, dizemos que dois
segmentos orientados representam o mesmo vetor se possuem o mesmo comprimento, a mesma
direc¸a˜o e o mesmo sentido. A definic¸a˜o de igualdade de vetores tambe´m e´ ana´loga a igualdade de
nu´meros racionais. Dois nu´meros racionais 푎/푏 e 푐/푑 sa˜o iguais, quando 푎푑 = 푏푐. Analogamente,
dizemos que dois vetores sa˜o iguais se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direc¸a˜o e o
mesmo sentido.
Na Figura 3.1 temos 4 segmentos orientados, com origens em pontos diferentes, que representam
o mesmo vetor, ou seja, sa˜o considerados como vetores iguais, pois possuem a mesma direc¸a˜o,
mesmo sentido e o mesmo comprimento.
Se o ponto inicial de um representante de um vetor 푉 e´ 퐴 e o ponto final e´ 퐵, enta˜o escrevemos
푉 =
−→
퐴퐵
��
��
��*
퐴
퐵
−→
퐴퐵
3.1.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a˜o por Escalar
A soma, 푉 +푊 , de dois vetores 푉 e 푊 e´ determinada da seguinte forma:
∙ tome um segmento orientado que representa 푉 ;
∙ tome um segmento orientado que representa 푊 , com origem na extremidade de 푉 ;
∙ o vetor 푉 +푊 e´ representado pelo segmento orientado que vai da origem de 푉 ate´ a extremi-
dade de 푊 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
162 Espac¸os ℝ푛
푊
푉
푉
푊
푉
+
푊
푊
+
푉
Figura 3.2: 푉 +푊 = 푊 + 푉
푊
푉
푈
푊 + 푈
푉
+
푊
푉 +
(푊
+ 푈
)(푉 +
푊 )
+ 푈
Figura 3.3: 푉 + (푊 + 푈) = (푉 +푊 ) + 푈
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 163
Da Figura 3.2, deduzimos que a soma de vetores e´ comutativa, ou seja,
푉 +푊 = 푊 + 푉, (3.1)
para quaisquer vetores 푉 e 푊 . Observamos tambe´m que a soma 푉 + 푊 esta´ na diagonal do
paralelogramo determinado por 푉 e 푊 , quando esta˜o representados com a mesma origem.
Da Figura 3.3, deduzimos que a soma de vetores e´ associativa, ou seja,
푉 + (푊 + 푈) = (푉 +푊 ) + 푈, (3.2)
para quaisquer vetores 푉 , 푊 e 푈 .
O vetor que tem a sua origem coincidindo com a sua extremidade e´ chamado vetor nulo e deno-
tado por 0¯. Segue enta˜o, que
푉 + 0¯ = 0¯ + 푉 = 푉, (3.3)
para todo vetor 푉 .
Para qualquer vetor 푉 , o sime´trico de 푉 , denotado por −푉 , e´ o vetor que tem mesmo compri-
mento, mesma direc¸a˜o e sentido contra´rio ao de 푉 . Segue enta˜o, que
푉 + (−푉 ) = 0¯. (3.4)
Definimos a diferenc¸a 푊 menos 푉 , por
푊 − 푉 = 푊 + (−푉 ).
Segue desta definic¸a˜o, de (3.1), (3.2), (3.4) e de (3.3) que
푊 + (푉 −푊 ) = (푉 −푊 ) +푊 = 푉 + (−푊 +푊 ) = 푉 + 0¯ = 푉.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
164 Espac¸os ℝ푛
Assim, a diferenc¸a 푉 −푊 e´ um vetor que somado a 푊 da´ 푉 , portanto ele vai da extremidade de 푊
ate´ a extremidade de 푉 , desde que 푉 e 푊 estejam representados por segmentos orientados com a
mesma origem.
A multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 por um escalar 훼, 훼푉 , e´ determinada pelo vetor que possui as
seguintes caracterı´sticas:
(a) e´ o vetor nulo, se 훼 = 0 ou 푉 = 0¯,
(b) caso contra´rio,
i. tem comprimento ∣훼∣ vezes o comprimento de 푉 ,
ii. a direc¸a˜o e´ a mesma de 푉 (neste caso, dizemos que eles sa˜o paralelos),
iii. tem o mesmo sentido de 푉 , se 훼 > 0 e
tem o sentido contra´rio ao de 푉 , se 훼 < 0.
As propriedades da multiplicac¸a˜o por escalar sera˜o apresentadas mais a frente. Se 푊 = 훼푉 ,
dizemos que 푊 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 . ´E fa´cil ver que dois vetores na˜o nulos sa˜o paralelos
(ou colineares) se, e somente se, um e´ um mu´ltiplo escalar do outro.
As operac¸o˜es com vetores podem ser definidas utilizando um sistema de coordenadas retangu-
lares. Em primeiro lugar, vamos considerar os vetores no plano.
Seja 푉 um vetor no plano. Definimos as componentes de 푉 como sendo as coordenadas (푣1, 푣2)
do ponto final do representante de 푉 que tem ponto inicial na origem. Escrevemos simplesmente
푉 = (푣1, 푣2).
Assim, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o iguais as componentes do vetor
−→
푂푃 , que vai da
origem do sistema de coordenadas ao ponto 푃 . Em particular, o vetor nulo, 0¯ = (0, 0). Em termos
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 165
 
 
 
 
푊−푊
푉
푉 −푊
 
 
 
푊
푉 푉 −푊
Figura 3.4: A diferenc¸a 푉 −푊
푉
−2푉
3푉
1
2
푉
Figura 3.5: Multiplicac¸a˜o
de vetor por escalar
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
166 Espac¸os ℝ푛
x
y
푉 = (푣1, 푣2)
푣2
푂 푣1
Figura 3.6: As componentes do vetor 푉 no
plano
x
y
푃 = (푥, 푦)
−→
푂푃
푦
푂 푥
Figura 3.7: As coordenadas de 푃 sa˜o
iguais as componentes de
−→
푂푃
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 167
das componentes, podemos realizar facilmente as operac¸o˜es: soma de vetores e multiplicac¸a˜o de
vetor por escalar.
∙ Como ilustrado na Figura 3.8, a soma de dois vetores 푉 = (푣1, 푣2) e 푊 = (푤1, 푤2) e´ dada por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2);
∙ Como ilustrado na Figura 3.9, a multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 = (푣1, 푣2) por um escalar 훼 e´
dada por
훼 푉 = (훼 푣1, 훼 푣2).
Definimos as componentes de um vetor no espac¸o de forma ana´loga a que fizemos com vetores
no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas retangulares no espac¸o. Para
isto, escolhemos um ponto como origem 푂 e como eixos coordenados, treˆs retas orientadas (com
sentido de percurso definido), passando pela origem, perpendiculares entre si. Estes sera˜o os eixos
푥, 푦 e 푧. O eixo 푧 e´ o eixo vertical. Os eixos 푥 e 푦 sa˜o horizontais e satisfazem a seguinte propriedade.
Suponha que giramos o eixo 푥 pelo menor aˆngulo ate´ que coincida com o eixo 푦. Se os dedos da
ma˜o direita apontam na direc¸a˜o do semi-eixo 푥 positivo de forma que o semi-eixo 푦 positivo esteja do
lado da palma da ma˜o, enta˜o o polegar aponta no sentido do semi-eixo 푧 positivo. Cada par de eixos
determina um plano chamado de plano coordenado. Portanto os treˆs planos coordenados sa˜o: 푥푦,
푦푧 e 푥푧.
A cada ponto 푃 no espac¸o associamos um terno de nu´meros (푥, 푦, 푧), chamado de coordenadas
do ponto 푃 como segue.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
168 Espac¸os ℝ푛
x
y
푣2
푤2
푣2+푤2
푣1 푤1 푣1+푤1
푉
푊
푉 +푊
Figura 3.8: A soma de dois vetores no
plano
x
y
푣2
훼푣2
푣1 훼푣1
푉
훼푉
Figura 3.9: A multiplicac¸a˜o de vetor por es-
calar no plano
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 169
∙ Passe treˆs planos por 푃 paralelos aos planos coordenados.
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푥푦, passando por 푃 , com o eixo 푧 determina a coorde-
nada 푧.
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푥푧, passando por 푃 , com o eixo 푦 determina a coorde-
nada 푦
∙ A intersec¸a˜o do plano paralelo ao plano 푦푧, passando por 푃 , com o eixo 푥 determina a coorde-
nada 푥.
Alternativamente, podemos encontrar as coordenadas de um ponto 푃 como segue.
∙ Trace uma reta paralela ao eixo 푧, passando por 푃 ;
∙ A intersec¸a˜o da reta paralela ao eixo 푧, passando por 푃 , com o plano 푥푦 e´ o ponto 푃 ′. As
coordenadas de 푃 ′, (푥, 푦), no sistema de coordenadas 푥푦 sa˜o as duas primeiras coordenadas
de 푃 .
∙ A terceira coordenada e´ igual ao comprimento do segmento 푃푃 ′, se 푃 estiver acima do plano
푥푦 e ao comprimento do segmento 푃푃 ′ com o sinal negativo, se 푃 estiver abaixo do plano 푥푦.
Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas tambe´m nas
operac¸o˜es de vetores no espac¸o. Seja 푉 um vetor no espac¸o. Como no caso de vetores do plano,
definimos as componentes de 푉 como sendo as coordenadas (푣1, 푣2, 푣3) do ponto final do repre-
sentante de 푉 que tem ponto inicial na origem. Escrevemos simplesmente
푉 = (푣1, 푣2, 푣3).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
170 Espac¸os ℝ푛
Assim, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o iguais as componentes do vetor
−→
푂푃 que vai da
origem do sistema de coordenadas ao ponto 푃 . Em particular, o vetor nulo, 0¯ = (0, 0, 0). Assim como
fizemos para vetores no plano, para vetores no espac¸o a soma de vetores e a multiplicac¸a˜o de vetor
por escalar podem ser realizadas em termos das componentes.
∙ Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3), enta˜o a adic¸a˜o de 푉 com 푊 e´ dada por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2, 푣3 + 푤3);
∙ Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 훼 e´ um escalar, enta˜o a multiplicac¸a˜o de 푉 por 훼 e´ dada por
훼 푉 = (훼 푣1, 훼 푣2, 훼 푣3).
Exemplo 3.1. Se 푉 = (1,−2, 3), 푊 = (2, 4,−1), enta˜o
푉 +푊 = (1 + 2,−2 + 4, 3 + (−1)) = (3, 2, 2), 3푉 = (3 ⋅ 1, 3 (−2), 3 ⋅ 3) = (3,−6, 9).
Quando um vetor 푉 esta´ representado por um segmento orientado com ponto inicial fora da origem
(Figura 3.13), digamos em 푃 = (푥1, 푦1, 푧1), e ponto final em 푄 = (푥2, 푦2, 푧2), enta˜o as componentes
do vetor 푉 sa˜o dadas por
푉 =
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃= (푥2 − 푥1, 푦2 − 푦1, 푧2 − 푧1).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 171
Portanto, as componentes de 푉 sa˜o obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto 푄 (extremi-
dade) das do ponto 푃 (origem). O mesmo se aplica a vetores no plano.
Exemplo 3.2. As componentes do vetor 푉 que tem um representante com ponto inicial 푃 =
(5/2, 1, 2) e ponto final 푄 = (0, 5/2, 5/2) sa˜o dadas por
푉 =
−→
푃푄= (0− 5/2, 5/2− 1, 5/2− 2) = (−5/2, 3/2, 1/2).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
172 Espac¸os ℝ푛
Observac¸a˜o. O vetor e´ “livre”, ele na˜o tem posic¸a˜o fixa, ao contra´rio do ponto e do segmento orien-
tado. Por exemplo, o vetor 푉 = (−5/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava representado por um
segmento orientado com a origem no ponto 푃 = (5/2, 1, 2). Mas, poderia ser representado por um
segmento orientado cujo ponto inicial poderia estar em qualquer outro ponto.
Um vetor no espac¸o 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) pode tambe´m ser escrito na notac¸a˜o matricial como uma
matriz linha ou como uma matriz coluna:
푉 =
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦ ou 푉 = [ 푣1 푣2 푣3 ] .
Estas notac¸o˜es podem ser justificadas pelo fato de que as operac¸o˜es matriciais
푉 +푊 =
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦+
⎡
⎣ 푤1푤2
푤3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푣1 + 푤1푣2 + 푤2
푣3 + 푤3
⎤
⎦ , 훼푉 = 훼
⎡
⎣ 푣1푣2
푣3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 훼푣1훼푣2
훼푣3
⎤
⎦
ou
푉 +푊 =
[
푣1 푣2 푣3
]
+
[
푤1 푤2 푤3
]
=
[
푣1 + 푤1 푣2 + 푤2 푣3 + 푤3
]
,
훼푉 = 훼
[
푣1 푣2 푣3
]
=
[
훼푣1 훼푣2 훼푣3
]
produzem os mesmos resultados que as operac¸o˜es vetoriais
푉 +푊 = (푣1, 푣2, 푣3) + (푤1, 푤2, 푤3) = (푣1 + 푤1, 푣2 + 푤2, 푣3 + 푤3),
훼푉 = 훼(푣1, 푣2, 푣3) = (훼푣1, 훼푣2, 훼푣3).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 173
O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano.
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e
multiplicac¸a˜o de vetores por escalar.
Teorema 3.1. Sejam 푈, 푉 e 푊 vetores e 훼 e 훽 escalares. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) 푈 + 푉 = 푉 + 푈 ;
(b) (푈 + 푉 ) +푊 = 푈 + (푉 +푊 );
(c) 푈 + 0¯ = 푈 ;
(d) 푈 + (−푈) = 0¯;
(e) 훼(훽푈) = (훼훽)푈 ;
(f) 훼(푈 + 푉 ) = 훼푈 + 훼푉 ;
(g) (훼 + 훽)푈 = 훼푈 + 훽푈 ;
(h) 1푈 = 푈 .
Demonstrac¸a˜o. Segue diretamente das propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina
10). ■
Exemplo 3.3. Vamos usar vetores e as suas propriedades para provar um resultado conhecido de
geometria plana. Seja um triaˆngulo 퐴퐵퐶 e sejam 푀 e 푁 os pontos me´dios de 퐴퐶 e 퐵퐶, respecti-
vamente. Vamos provar que푀푁 e´ paralelo a퐴퐵 e tem comprimento igual a metade do comprimento
de 퐴퐵.
Devemos provar que
−→
푀푁=
1
2
−→
퐴퐵 .
A
A
A
A
A
A
�
�
�
�
�
�
퐴 퐵
퐶
푀 푁
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
174 Espac¸os ℝ푛
Agora, a partir da figura ao lado temos que
−→
푀푁=
−→
푀퐶 +
−→
퐶푁 .
Como 푀 e´ ponto me´dio de 퐴퐶 e 푁 e´ ponto me´dio de 퐵퐶, enta˜o
−→
푀퐶=
1
2
−→
퐴퐶 e
−→
퐶푁=
1
2
−→
퐶퐵 .
Logo,
−→
푀푁=
1
2
−→
퐴퐶 +
1
2
−→
퐶퐵=
1
2
(
−→
퐴퐶 +
−→
퐶퐵) =
1
2
−→
퐴퐵 .
Exemplo 3.4. Dados quatro pontos 퐴, 퐵, 퐶 e 푋 tais que
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, vamos escrever
−→
퐶푋 como
uma soma de mu´ltiplos escalares de
−→
퐶퐴 e
−→
퐶퐵, que e´ chamada combinac¸a˜o linear de
−→
퐶퐴 e
−→
퐶퐵.
Como
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, enta˜o os vetores
−→
퐴푋 e
−→
퐴퐵 sa˜o paralelos e portanto o ponto 푋 so´ pode estar
na reta definida
por 퐴 e 퐵. Vamos desenha´-lo entre 퐴 e 퐵, mas isto na˜o vai representar nenhuma
restric¸a˜o.
O vetor que vai de 퐶 para 푋 , pode ser
escrito como uma soma de um vetor que
vai de 퐶 para 퐴 com um vetor que vai de
퐴 para 푋 ,
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +
−→
퐴푋 . 퐶
-
퐵
�
�
�
�
�
��
퐴
��
��
��
���*
푋
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ
Agora, por hipo´tese
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, o que implica que
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +휆
−→
퐴퐵.
Mas,
−→
퐴퐵=
−→
퐶퐵 −
−→
퐶퐴, portanto
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴 +휆(
−→
퐶퐵 −
−→
퐶퐴). Logo,
−→
퐶푋= (1− 휆)
−→
퐶퐴 +휆
−→
퐶퐵 .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 175
Observe que para 휆 = 0,
−→
퐶푋=
−→
퐶퐴, para 휆 = 1,
−→
퐶푋=
−→
퐶퐵, para 휆 = 1/2,
−→
퐶푋= 1
2
−→
퐶퐴 + 1
2
−→
퐶퐵,
para 휆 = 1/3,
−→
퐶푋= 2
3
−→
퐶퐴 +1
3
−→
퐶퐵.
Exemplo 3.5. Vamos mostrar, usando vetores, que o ponto me´dio de um segmento que une os pontos
퐴 = (푥1, 푦1, 푧1) e 퐵 = (푥2, 푦2, 푧2) e´ 푀 =
(
푥1+푥2
2
, 푦1+푦2
2
, 푧1+푧2
2
)
.
O ponto 푀 e´ o ponto me´dio de 퐴퐵 se, e somente se,
−→
퐴푀= 1
2
−→
퐴퐵. Enta˜o, aplicando o exemplo
anterior (com o ponto 퐶 sendo a origem 푂),
−→
푂푀= 1
2
−→
푂퐴 +1
2
−→
푂퐵. Como as coordenadas de
um ponto sa˜o iguais as componentes do vetor que vai da origem ate´ aquele ponto, segue-se que
−→
푂푀= 1
2
(푥1, 푦1, 푧1) +
1
2
(푥2, 푦2, 푧2) e 푀 =
(
푥1 + 푥2
2
,
푦1 + 푦2
2
,
푧1 + 푧2
2
)
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
176 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
푧
푃 ′
푦푥
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
푦푥
푧
Figura 3.10: As coordenadas de um ponto no espac¸o
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 177
x y
z
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
푣2푣1
푣3
Figura 3.11: As componentes de um vetor
no espac¸o
x y
z
푃 = (푥, 푦, 푧)
−→
푂푃
푂
푦푥
푧
Figura 3.12: As coordenadas de 푃 sa˜o
iguais as componentes de
−→
푂푃
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
178 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푄
푃
푂
푉
Figura 3.13: 푉 =
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 179
3.1.2 Norma e Produto Escalar
Ja´ vimos que o comprimento de um vetor 푉 e´ definido como sendo o comprimento de qualquer
um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor 푉 tambe´m e´ chamado de
norma de 푉 e e´ denotado(a) por ∣∣푉 ∣∣. Segue do Teorema de Pita´goras que a norma de um vetor e´
dada por
∣∣푉 ∣∣ =
√
푣21 + 푣
2
2 ,
no caso em que 푉 = (푣1, 푣2) e´ um vetor no plano, e por
∣∣푉 ∣∣ =
√
푣21 + 푣
2
2 + 푣
2
3 ,
no caso em que 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e´ um vetor no espac¸o (verifique usando as Figuras 3.14 e 3.15).
Um vetor de norma igual a 1 e´ chamado vetor unita´rio.
A distaˆncia entre dois pontos 푃 = (푥1, 푦1, 푧1) e 푄 = (푥2, 푦2, 푧2) e´ igual a` norma do vetor
−→
푃푄
(Figura 3.13 na pa´gina 178). Como
−→
푃푄=
−→
푂푄 −
−→
푂푃= (푥2 − 푥1, 푦2 − 푦1, 푧2 − 푧1), enta˜o a distaˆncia
de 푃 a 푄 e´ dada por
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ =
√
(푥2 − 푥1)2 + (푦2 − 푦1)2 + (푧2 − 푧1)2.
Analogamente, a distaˆncia entre dois pontos 푃 = (푥1, 푦1) e 푄 = (푥2, 푦2) no plano e´ igual a`
norma do vetor
−→
푃푄, que e´ dada por
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ =
√
(푥2 − 푥1)2 + (푦2 − 푦1)2.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
180 Espac¸os ℝ푛
x
y
∣∣푉 ∣
∣
푉 = (푣1, 푣2)
∣푣2∣
∣푣1∣
Figura 3.14: A norma de um vetor 푉 no
plano
x y
z
푉 = (푣1, 푣2, 푣3)
∣푣2 ∣
∣푣1∣
∣푣3∣
Figura 3.15: A norma de um vetor 푉 no
espac¸o
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 181
Exemplo 3.6. A norma do vetor 푉 = (1,−2, 3) e´
∣∣푉 ∣∣ =
√
12 + (−2)2 + 32 =
√
14.
A distaˆncia entre os pontos 푃 = (2,−3, 1) e 푄 = (−1, 4, 5) e´
dist(푃,푄) = ∣∣
−→
푃푄 ∣∣ = ∣∣(−1− 2, 4− (−3), 5− 1)∣∣ = ∣∣(−3, 7, 4)∣∣ =
√
(−3)2 + 72 + 42 =
√
74.
Se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 훼 e´ um escalar, enta˜o da definic¸a˜o da multiplicac¸a˜o de vetor por escalar e
da norma de um vetor segue-se que
∣∣훼푉 ∣∣ = ∣∣(훼푣1, 훼푣2, 훼푣3)∣∣ =
√
(훼푣1)2 + (훼푣2)2 + (훼푣3)2 =
√
훼2(푣21 + 푣
2
2 + 푣
2
3),
ou seja,
∣∣훼푉 ∣∣ = ∣훼∣ ∣∣푉 ∣∣. (3.5)
Dado um vetor 푉 na˜o nulo, o vetor
푈 =
(
1
∣∣푉 ∣∣
)
푉.
e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de 푉 , pois por (3.5), temos que
∣∣푈 ∣∣ =
∣∣∣∣ 1∣∣푉 ∣∣
∣∣∣∣ ∣∣푉 ∣∣ = 1.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
182 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 3.7. Um vetor unita´rio na direc¸a˜o do vetor 푉 = (1,−2, 3) e´ o vetor
푈 =
(
1
∣∣푉 ∣∣
)
푉 =
(
1√
14
)
(1,−2, 3) = ( 1√
14
,
−2√
14
,
3√
14
).
O aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos, 푉 e 푊 , e´ definido pelo aˆngulo 휃 determinado por 푉 e 푊
que satisfaz 0 ≤ 휃 ≤ 휋, quando eles esta˜o representados com a mesma origem.
Quando o aˆngulo 휃 entre dois vetores 푉 e 푊 e´ reto (휃 = 90o), ou um deles e´ o vetor nulo, dizemos
que os vetores 푉 e 푊 sa˜o ortogonais ou perpendiculares entre si.
Vamos definir, agora, um produto entre dois vetores, cujo resultado e´ um escalar. Por isso ele e´
chamado produto escalar. Este produto tem aplicac¸a˜o, por exemplo, em Fı´sica: o trabalho realizado
por uma forc¸a e´ o produto escalar do vetor forc¸a pelo vetor deslocamento, quando a forc¸a aplicada e´
constante.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 183
Definic¸a˜o 3.1. O produto escalar ou interno de dois vetores 푉 e 푊 e´ definido por
푉 ⋅푊 =
{
0, se 푉 ou 푊 e´ o vetor nulo,
∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃, caso contra´rio,
em que 휃 e´ o aˆngulo entre eles.
Quando os vetores sa˜o dados em termos das suas componentes na˜o sabemos diretamente o
aˆngulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que na˜o necessite
do aˆngulo entre os vetores.
Se 푉 e 푊 sa˜o dois vetores na˜o nulos e 휃 e´ o aˆngulo entre eles, enta˜o pela lei dos cossenos,
∣∣푉 −푊 ∣∣2 = ∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 − 2∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃.
Assim,
푉 ⋅푊 = ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ cos 휃 = 1
2
(∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 − ∣∣푉 −푊 ∣∣2) . (3.6)
Ja´ temos enta˜o uma fo´rmula para calcular o produto escalar que na˜o depende diretamente do aˆngulo
entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores em (3.6) obtemos uma expressa˜o mais sim-
ples para o ca´lculo do produto interno.
Por exemplo, se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) sa˜o vetores no espac¸o, enta˜o substituindo-
se ∣∣푉 ∣∣2 = 푣21+푣22+푣23 , ∣∣푊 ∣∣2 = 푤21+푤22+푤23 e ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = (푣1−푤1)2+(푣2−푤2)2+(푣3−푤3)2
em (3.6) os termos 푣2푖 e 푤2푖 sa˜o cancelados e obtemos
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
184 Espac¸os ℝ푛
푊
푉
휃 푊
푉
휃
Figura 3.16: ˆAngulo entre dois vetores, agudo (a` esquerda) e obtuso (a` direita)
푊
푉
푉 −푊
휃 푊
푉
휃
푉 −푊
Figura 3.17: Triaˆngulo formado por representantes de 푉 , 푊 e 푉 −푊 . `A esquerda o aˆngulo entre 푉
e 푊 e´ agudo e a` direita e´ obtuso.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 185
Teorema 3.2. O produto escalar ou interno, 푉 ⋅푊 , entre dois vetores e´ dado por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2,
se 푉 = (푣1, 푣2) e 푊 = (푤1, 푤2) sa˜o vetores no plano e por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3,
se 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) sa˜o vetores no espac¸o.
Exemplo 3.8. Sejam 푉 = (0, 1, 0) e 푊 = (2, 2, 3). O produto escalar de 푉 por 푊 e´ dado por
푉 ⋅푊 = 푣1푤1 + 푣2푤2 + 푣3푤3 = 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 3 = 2 .
Podemos usar o Teorema 3.2 para determinar o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos, 푉 e 푊 . O
cosseno do aˆngulo entre 푉 e 푊 e´, enta˜o, dado por
cos 휃 =
푉 ⋅푊
∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣ .
Se 푉 e 푊 sa˜o vetores na˜o nulos e 휃 e´ o aˆngulo entre eles, enta˜o
(a) 휃 e´ agudo (0 ≤ 휃 < 90o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 > 0,
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
186 Espac¸os ℝ푛
(b) 휃 e´ reto (휃 = 90o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 = 0 e
(c) 휃 e´
obtuso (90o < 휃 ≤ 180o) se, e somente se, 푉 ⋅푊 < 0.
Exemplo 3.9. Vamos determinar o aˆngulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas.
Sejam 푉1 = (1, 0, 0), 푉2 = (0, 1, 0) e 푉3 = (0, 0, 1) (Figura 3.18). Uma diagonal do cubo e´ represen-
tada pelo vetor 퐷 dado por
퐷 = 푉1 + 푉2 + 푉3 = (1, 1, 1) .
Enta˜o o aˆngulo entre 퐷 e 푉1 satisfaz
cos 휃 =
퐷 ⋅ 푉1
∣∣퐷∣∣∣∣푉1∣∣ =
1.1 + 0.1 + 0.1
(
√
12 + 12 + 12)(
√
12 + 02 + 02)
=
1√
3
ou seja,
휃 = arccos(
1√
3
) ≈ 54o .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 187
x
y
z
(0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(1, 1, 1)
휃
Figura 3.18: ˆAngulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas
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188 Espac¸os ℝ푛
Teorema 3.3. Sejam 푈, 푉 e 푊 vetores e 훼 um escalar. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) (comutatividade) 푈 ⋅ 푉 = 푉 ⋅ 푈 ;
(b) (distributividade) 푈 ⋅ (푉 +푊 ) = 푈 ⋅ 푉 + 푈 ⋅푊 ;
(c) (associatividade) 훼(푈 ⋅ 푉 ) = (훼푈) ⋅ 푉 = 푈 ⋅ (훼푉 );
(d) 푉 ⋅ 푉 = ∣∣푉 ∣∣2 ≥ 0, para todo 푉 e 푉 ⋅ 푉 = 0 se, e somente se, 푉 = 0¯.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푈 = (푢1, 푢2, 푢3), 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3).
(a) 푈 ⋅ 푉 = 푢1푣1 + 푢2푣2 + 푢3푣3 = 푣1푢1 + 푣2푢2 + 푣3푢3 = 푉 ⋅ 푈 ;
(b) 푈 ⋅(푉 +푊 ) = (푢1, 푢2, 푢3)⋅(푣1+푤1, 푣2+푤2, 푣3+푤3) = 푢1(푣1+푤1)+푢2(푣2+푤2)+푢3(푣3+푤3) =
(푢1푣1+푢1푤1)+(푢2푣2+푢2푤2)+(푢3푣3+푢3푤3) = (푢1푣1+푢2푣2+푢3푣3)+(푢1푤1+푢2푤2+푢3푤3) =
푈 ⋅ 푉 + 푈 ⋅푊 ;
(c) 훼(푈 ⋅ 푉 ) = 훼(푢1푣1 + 푢2푣2 + 푢3푣3) = (훼푢1)푣1 + (훼푢2)푣2 + (훼푢3)푣3 = (훼푈) ⋅ 푉 ;
(d) 푉 ⋅ 푉 = ∣∣푉 ∣∣2 e´ uma soma de quadrados, por isso e´ sempre maior ou igual a zero e e´ zero se,
e somente se, todas as parcelas sa˜o iguais a zero. ■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 189
Projec¸a˜o Ortogonal
Dados dois vetores 푉 e 푊 a projec¸a˜o ortogonal de 푉 sobre 푊 denotada por
proj푊 푉
e´ o vetor que e´ paralelo a 푊 tal que 푉 − proj푊 푉 seja ortogonal a 푊 (Figura 3.19).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
190 Espac¸os ℝ푛
Proposic¸a˜o 3.4. Seja 푊 um vetor na˜o nulo. Enta˜o, a projec¸a˜o ortogonal de um vetor 푉 em 푊 e´
dada por
proj푊 푉 =
(
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 .
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푉1 = proj푊 푉 e 푉2 = 푉 − proj푊 푉 . Como 푉1 e´ paralelo a 푊 , enta˜o
푉1 = 훼푊. (3.7)
Assim,
푉2 = 푉 − 훼푊 .
Multiplicando-se escalarmente 푉2 por 푊 e usando o Teorema 3.3 (d) obtemos
푉2 ⋅푊 = (푉 − 훼푊 ) ⋅푊 = 푉 ⋅푊 − 훼∣∣푊 ∣∣2. (3.8)
Mas, 푉2 e´ ortogonal a 푊 , enta˜o 푉2 ⋅푊 = 0. Portanto, de (3.8) obtemos
훼 =
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2 .
Substituindo este valor de 훼 na equac¸a˜o (3.7) segue-se o resultado. ■
Exemplo 3.10. Sejam 푉 = (2,−1, 3) e 푊 = (4,−1, 2). Vamos encontrar dois vetores 푉1 e 푉2 tais
que 푉 = 푉1 + 푉2, 푉1 e´ paralelo a 푊 e 푉2 e´ perpendicular a 푊 (Figura 3.19). Temos que
푉 ⋅푊 = 2 ⋅ 4 + (−1)(−1) + 3 ⋅ 2 = 15
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 191
∣∣푊 ∣∣2 = 42 + (−1)2 + 22 = 21 .
푉1 = proj푊푉 =
(
푉 ⋅푊 )
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 =
(
15
21
)
(4,−1, 2) = (20
7
,−5
7
,
10
7
)
푉2 = 푉 − 푉1 = (2,−1, 3)− (20
7
,−5
7
,
10
7
) = (−6
7
,−2
7
,
11
7
) .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
192 Espac¸os ℝ푛
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 545)
3.1.1. Determine o vetor 푋 , tal que 3푋 − 2푉 = 15(푋 − 푈).
3.1.2. Determine o vetor 푋 , tal que
{
6푋 − 2푌 = 푈
3푋 + 푌 = 푈 + 푉
3.1.3. Determine as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o vetor 푉 =
(3, 0,−3), sabendo-se que sua origem esta´ no ponto 푃 = (2, 3,−5).
3.1.4. Quais sa˜o as coordenadas do ponto 푃 ′, sime´trico do ponto 푃 = (1, 0, 3) em relac¸a˜o ao ponto
푀 = (1, 2,−1)? (Sugesta˜o: o ponto 푃 ′ e´ tal que o vetor
−→
푀푃 ′= −
−→
푀푃 )
3.1.5. Verifique se os pontos dados a seguir sa˜o colineares, isto e´, pertencem a uma mesma reta:
(a) 퐴 = (5, 1,−3), 퐵 = (0, 3, 4) e 퐶 = (0, 3,−5);
(b) 퐴 = (−1, 1, 3), 퐵 = (4, 2,−3) e 퐶 = (14, 4,−15);
3.1.6. Dados os pontos 퐴 = (1,−2,−3), 퐵 = (−5, 2,−1) e 퐶 = (4, 0,−1). Determine o ponto 퐷
tal que 퐴, 퐵, 퐶 e 퐷 sejam ve´rtices consecutivos de um paralelogramo.
3.1.7. Verifique se o vetor 푈 e´ combinac¸a˜o linear (soma de mu´ltiplos escalares) de 푉 e 푊 :
(a) 푉 = (9,−12,−6),푊 = (−1, 7, 1) e 푈 = (−4,−6, 2);
(b) 푉 = (5, 4,−3),푊 = (2, 1, 1) e 푈 = (−3,−4, 1);
3.1.8. Sejam 푉 = (1, 2,−3) e 푊 = (2, 1,−2). Determine vetores unita´rios paralelos aos vetores
(a) 푉 +푊 ; (b) 푉 −푊 ; (c) 2푉 − 3푊 .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 193
3.1.9. Ache o vetor unita´rio da bissetriz do aˆngulo entre os vetores 푉 = (2, 2, 1) e 푊 = (6, 2,−3).
(Sugesta˜o: observe que a soma de dois vetores esta´ na direc¸a˜o da bissetriz se, e somente se,
os dois tiverem o mesmo comprimento. Portanto, tome mu´ltiplos escalares de 푉 e 푊 de forma
que eles tenham o mesmo comprimento e tome o vetor unita´rio na direc¸a˜o da soma deles.)
3.1.10. Determine o valor de 푥 para o qual os vetores 푉 = (푥, 3, 4) e 푊 = (3, 1, 2) sa˜o perpendicula-
res.
3.1.11. Demonstre que na˜o existe 푥 tal que os vetores 푉 = (푥, 2, 4) e 푊 = (푥,−2, 3) sa˜o perpendi-
culares.
3.1.12. Ache o aˆngulo entre os seguintes pares de vetores:
(a) (2, 1, 0) e (0, 1,−1); (b) (1, 1, 1) e (0,−2,−2); (c) (3, 3, 0) e (2, 1,−2).
3.1.13. Decomponha 푊 = (−1,−3, 2) como a soma de dois vetores 푊1 e 푊2, com 푊1 paralelo ao
vetor (0, 1, 3) e 푊2 ortogonal a este u´ltimo. (Sugesta˜o: revise o Exemplo 3.10 na pa´gina 190)
3.1.14. Sabe-se que o vetor 푋 e´ ortogonal a (1, 1, 0) e a (−1, 0, 1), tem norma √3 e sendo 휃 o aˆngulo
entre 푋 e (0, 1, 0), tem-se cos 휃 > 0. Ache 푋 .
3.1.15. Mostre que퐴 = (3, 0, 2), 퐵 = (4, 3, 0) e퐶 = (8, 1,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
Em qual dos ve´rtices esta´ o aˆngulo reto?
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
194 Espac¸os ℝ푛
>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes nume´ricas v1, v2, v3. Por
exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor 푉 = (1, 2, 3);
>> V+W e´ a soma de V e W; >> V-W e´ a diferenc¸a V menos W; >> num*V e´ o produto do vetor V
pelo escalar num;
>> subs(expr,x,num) substitui x por num na expressa˜o expr;
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0;
Comandos nume´ricos do pacote GAAL:
>> V=randi(1,3) cria um vetor aleato´rio com componentes inteiras;
>> no(V) calcula a norma do vetor V.
>> pe(V,W) calcula o produto escalar do vetor V pelo vetor W.
Comandos gra´ficos do pacote GAAL:
>> desvet(P,V) desenha o vetor V com origem no ponto P e >> desvet(V) desenha o vetor
V com origem no ponto 푂 = (0, 0, 0).
>> po([P1;P2;...;Pn]) desenha os pontos P1, P2, ..., Pn.
>> lineseg(P1,P2,’cor’) desenha o segmento de reta P1P2.
>> eixos desenha os eixos coordenados.
>> box desenha uma caixa em volta da figura.
>> axiss reescala os eixos com a mesma escala.
>> rota faz uma rotac¸a˜o em torno do eixo 푧.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 195
>> zoom3(fator) amplifica a regia˜o pelo fator.
>> tex(P,’texto’) coloca o texto no ponto P.
3.1.16. Digite no prompt
demog21,
(sem a vı´rgula!). Esta func¸a˜o demonstra as func¸o˜es gra´ficas para vetores.
3.1.17. Coloque em duas varia´veis 푉 e 푊 dois vetores do plano ou do espac¸o a seu crite´rio
(a) Use a func¸a˜o ilsvw(V,W) para visualizar a soma dos dois vetores.
(b) Coloque em uma varia´vel a um nu´mero e use a func¸a˜o ilav(a,V) para visualizar a
multiplicac¸a˜o do vetor V pelo escalar a.
(c) Use a func¸a˜o ilpv(V,W) para visualizar o produto vetorial 푉 ×푊 .
(d) Use a func¸a˜o ilproj(W,V) para visualizar a projec¸a˜o de 푉 em 푊 .
3.1.18. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos a partir do Exercı´cio 1.3.
Exercı´cios Teo´ricos
3.1.19. Demonstre que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um trape´zio
e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a me´dia aritme´tica
das medidas das bases. (Sugesta˜o:
mostre que
−→
푀푁= 1
2
(
−→
퐴퐵 +
−→
퐷퐶) e depois conclua que
−→
푀푁 e´ um mu´ltiplo escalar de
−→
퐴퐵.
Revise o Exemplo 3.3 na pa´gina 173)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
196 Espac¸os ℝ푛
A
A
A
A
A
A
�
�
�
�
�
�
퐴 퐵
퐷 퐶
푀 푁
3.1.20. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Sugesta˜o: Sejam 푀 e
푁 os pontos me´dios das duas diagonais do paralelogramo. Mostre que o vetor
−→
푀푁= 0¯, enta˜o
conclua que 푀 = 푁 .)
3.1.21. Sejam 퐴, 퐵 e 퐶 pontos quaisquer com 퐴 ∕= 퐵. Prove que:
(a) Um ponto 푋 pertence a reta determinada por 퐴 e 퐵 (
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵) se, e somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 + 훽 = 1.
(b) Um ponto 푋 pertence ao interior do segmento 퐴퐵 (
−→
퐴푋= 휆
−→
퐴퐵, com 0 < 휆 < 1) se, e
somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 > 0, 훽 > 0 e 훼 + 훽 = 1.
(c) Um ponto 푋 e´ um ponto interior ao triaˆngulo 퐴퐵퐶 (
−→
퐴′푋= 휆
−→
퐴′퐵′, com 0 < 휆 < 1,
em que 퐴′ e´ um ponto interior ao segmento 퐴퐶 e 퐵′ e´ interior ao segmento 퐶퐵) se, e
somente se,
−→
퐶푋= 훼
−→
퐶퐴 +훽
−→
퐶퐵, com 훼 > 0, 훽 > 0 e 훼 + 훽 < 1.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 197
A
B
C
3.1.22. Mostre que se 훼푉 = 0¯, enta˜o 훼 = 0 ou 푉 = 0¯.
3.1.23. Se 훼푈 = 훼푉 , enta˜o 푈 = 푉 ? E se 훼 ∕= 0 ?
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
198 Espac¸os ℝ푛
3.1.24. Se 훼푉 = 훽푉 , enta˜o 훼 = 훽 ? E se 푉 ∕= 0¯ ?
3.1.25. Mostre que 2푉 = 푉 + 푉 .
3.1.26. Se 푉 ⋅푊 = 푉 ⋅ 푈 , enta˜o 푊 = 푈?
3.1.27. Mostre que se 푉 e´ ortogonal a 푊1 e 푊2, enta˜o 푉 e´ ortogonal a 훼1푊1 + 훼2푊2.
3.1.28. Demonstre que as diagonais de um losango sa˜o perpendiculares. (Sugesta˜o: mostre que
−→
퐴퐶 ⋅
−→
퐵퐷= 0, usando o fato de que
−→
퐴퐵=
−→
퐷퐶 e ∣∣
−→
퐴퐵 ∣∣ = ∣∣
−→
퐵퐶 ∣∣.)
3.1.29. Demonstre que, se 푉 e 푊 sa˜o vetores quaisquer, enta˜o:
(a) 푉 ⋅푊 = 1
4
(∣∣푉 +푊 ∣∣2 − ∣∣푉 −푊 ∣∣2);
(b) ∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 = 1
2
(∣∣푉 +푊 ∣∣2 + ∣∣푉 −푊 ∣∣2).
(Sugesta˜o: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que
∣∣푉 +푊 ∣∣2 = (푉 +푊 ) ⋅ (푉 +푊 ) e ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = (푉 −푊 ) ⋅ (푉 −푊 ))
3.1.30. Demonstre que se 푉 e 푊 sa˜o vetores quaisquer, enta˜o:
(a) ∣푉 ⋅푊 ∣ ≤ ∣∣푉 ∣∣ ∣∣푊 ∣∣;
(b) ∣∣푉 +푊 ∣∣ ≤ ∣∣푉 ∣∣+ ∣∣푊 ∣∣;
(Sugesta˜o: mostre que ∣∣푉 +푊 ∣∣2 = (푉 +푊 ) ⋅ (푉 +푊 ) ≤ (∣∣푉 ∣∣+ ∣∣푊 ∣∣)2, usando o
item anterior)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.1 Vetores no Plano e no Espac¸o 199
(c)
∣∣∣ ∣∣푉 ∣∣ − ∣∣푊 ∣∣ ∣∣∣ ≤ ∣∣푉 −푊 ∣∣.
(Sugesta˜o: defina 푈 = 푉 −푊 e aplique o item anterior a 푈 e 푊 )
3.1.31. Sejam 푈1, 푈2 e 푈3 treˆs vetores unita´rios mutuamente ortogonais. Se 퐴 = [ 푈1 푈2 푈3 ] e´
uma matriz 3 × 3 cujas colunas sa˜o os vetores 푈1, 푈2 e 푈3, enta˜o 퐴 e´ invertı´vel e 퐴−1 = 퐴푡.
(Sugesta˜o: mostre que 퐴푡퐴 = 퐼3.)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
200 Espac¸os ℝ푛
푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉 푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉
Figura 3.19: Projec¸a˜o ortogonal do vetor 푉 sobre o vetor 푊
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 201
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos
3.2.1 Equac¸a˜o do Plano
Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espac¸o. No plano, a equac¸a˜o de uma
reta e´ determinada se forem dados sua inclinac¸a˜o e um de seus pontos. No espac¸o, a inclinac¸a˜o de
um plano e´ dada por um vetor perpendicular a ele e a equac¸a˜o de um plano e´ determinada se sa˜o
dados um vetor perpendicular a ele e um de seus pontos.
Proposic¸a˜o 3.5. A equac¸a˜o de um plano 휋 que passa por um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) e e´ perpendi-
cular ao vetor 푁 = (푎, 푏, 푐) e´
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 , (3.9)
onde 푑 = −(푎푥0 + 푏푦0 + 푐푧0). A equac¸a˜o (3.9) e´ chamada equac¸a˜o geral do plano 휋 e o vetor 푁 e´
chamado vetor normal do plano.
Demonstrac¸a˜o. Um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence ao plano 휋 se, e somente se, o vetor
−→
푃0푃 for
perpendicular ao vetor 푁 , ou seja,
푁 ⋅
−→
푃0푃= 0 . (3.10)
Como,
−→
푃0푃= (푥− 푥0, 푦 − 푦0, 푧 − 푧0), a equac¸a˜o (3.10) pode ser reescrita como
푎(푥− 푥0) + 푏(푦 − 푦0) + 푐(푧 − 푧0) = 0,
ou seja,
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 − (푎푥0 + 푏푦0 + 푐푧0) = 0 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
202 Espac¸os ℝ푛
푁 = (푎, 푏, 푐)
푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
푃 = (푥, 푦, 푧)휋
Figura 3.20: Plano perpendicular a 푁 = (푎, 푏, 푐) e que passa por 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 203
■
Exemplo 3.11. Vamos encontrar a equac¸a˜o do plano 휋 que passa pelo ponto 푃0 = (3,−1, 7) e e´
perpendicular ao vetor 푁 = (4, 2,−5). Da proposic¸a˜o anterior, a equac¸a˜o do plano e´ da forma
푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 ,
onde os coeficientes de 푥, 푦 e 푧 sa˜o as componentes do vetor normal, ou seja, 푎 = 4, 푏 = 2 e 푐 = −5.
Assim, a equac¸a˜o de 휋 e´ da forma
4푥+ 2푦 − 5푧 + 푑 = 0 .
Para determinar o coeficiente 푑, basta usarmos o fato de que 푃0 = (3,−1, 7) pertence a 휋. Mas, o
ponto 푃0 pertence a 휋 se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equac¸a˜o de 휋, ou seja,
4 ⋅ 3 + 2(−1)− 5 ⋅ 7 + 푑 = 0 .
De onde tiramos que 푑 = −12 + 2 + 35 = 25. Finalmente, a equac¸a˜o do plano 휋 e´
4푥+ 2푦 − 5푧 + 25 = 0 .
No plano, a equac¸a˜o de uma reta e´ determinada se forem dados dois pontos da reta. Analoga-
mente, no espac¸o, a equac¸a˜o de um plano e´ determinada se sa˜o dados treˆs pontos 푃1, 푃2 e 푃3 na˜o
colineares (isto e´, na˜o pertencentes a uma mesma reta). Com os treˆs pontos podemos “formar” os
vetores 푉 =
−→
푃1푃2 e 푊 =
−→
푃1푃3 (Figura 3.25).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
204 Espac¸os ℝ푛
x y
z
− 푑
푎
x y
z
− 푑
푏
x y
z
− 푑
푐
Figura 3.21: Planos 푎푥− 푑 = 0, 푏푦 + 푑 = 0 e 푐푧 + 푑 = 0
x y
z
− 푑
푐
− 푑
푏
x y
z
− 푑
푎
− 푑
푐
x y
z
− 푑
푏
− 푑
푎
Figura 3.22: Planos 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0, 푎푥+ 푐푧 + 푑 = 0 e 푎푥+ 푏푦 + 푑 = 0
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 205
x y
z
푎푥
+
푏푦
=
0
푎푥
+
푐푧
=
0
x y
z
푎
푥
+
푏푦
=
0
푏푦
+
푐푧
=
0
x y
z
푎푥
+
푐푧
=
0 푏푦
+
푐푧
=
0
Figura 3.23: Planos 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0
x
y
z
푧
=
0
, 푎
푥
+
푏푦
=
0
푏푦
+
푐푧
=
0
x y
z
− 푑
푎
− 푑
푏
− 푑
푐
Figura 3.24: Planos 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0 e 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
206 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 3.12. Vamos encontrar a equac¸a˜o do plano 휋 que passa pelos pontos 푃1 = (1, 2,−1),
푃2 = (2, 3, 1) e 푃3 = (3,−1, 2). Com os treˆs pontos podemos “formar” os vetores 푉 =
−→
푃1푃2=
(푣1, 푣2, 푣3) e 푊 =
−→
푃1푃3= (푤1, 푤2, 푤3). O vetor normal do plano, 푁 = (푎, 푏, 푐), e´ ortogonal a estes
treˆs vetores. De onde obtemos um sistema homogeˆneo com treˆs equac¸o˜es (푁 ⋅
−→
푃1푃= 0, 푁 ⋅
−→
푃1푃2= 0
e 푁 ⋅
−→
푃1푃3= 0) e treˆs inco´gnitas (푎, 푏 e 푐), que tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e somente se, o determi-
nante da matriz do sistema e´ igual a zero (Teorema 2.15 na pa´gina 123), ou seja, se, e somente
se,
det
⎡
⎣ 푥− 푥1 푦 − 푦1 푧 − 푧1푣1 푣2 푣3
푤1 푤2 푤3
⎤
⎦ = 0 . (3.11)
Mas, −→
푃1푃= (푥− 1, 푦 − 2, 푧 − (−1)),
푉 =
−→
푃1푃2= (1, 1, 2),
푊 =
−→
푃1푃3= (2,−3, 3).
Enta˜o, a equac¸a˜o do plano e´
det
⎡
⎣ 푥− 1 푦 − 2 푧 + 11 1 2
2 −3 3
⎤
⎦ = 9(푥− 1) + (푦 − 2)− 5(푧 + 1) = 9푥+ 푦 − 5푧 − 16 = 0 .
A equac¸a˜o do plano tambe´m e´ determinada se ao inve´s de serem dados treˆs pontos, forem dados
um ponto 푃1 do plano e dois vetores paralelos ao plano, 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3), desde
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 207
que eles sejam na˜o colineares. Ou ainda se forem dados dois pontos 푃1 e 푃2 do plano e um vetor pa-
ralelo ao plano 푉 = (푣1, 푣2, 푣3), ja´ que neste caso podemos formar o vetor푊 =
−→
푃1푃2 = (푤1, 푤2, 푤3)
que e´ tambe´m paralelo ao plano.
Temos treˆs vetores paralelos ao plano:
−→
푃1푃= (푥− 푥1, 푦− 푦1, 푧− 푧1), 푉 e 푊 . O vetor normal do
plano, 푁 = (푎, 푏, 푐), e´ ortogonal a estes treˆs vetores. De onde obtemos um sistema homogeˆneo com
treˆs equac¸o˜es (푁 ⋅
−→
푃1푃= 0, 푁 ⋅푉 = 0 e 푁 ⋅푊 = 0) e treˆs inco´gnitas (푎, 푏 e 푐), que tem soluc¸a˜o na˜o
trivial se, e somente se, o determinante da matriz do sistema e´ igual a zero (Teorema 2.15 na pa´gina
123), ou seja, se, e somente se,
det
⎡
⎣ 푥− 푥1 푦 − 푦1 푧 − 푧1푣1 푣2 푣3
푤1 푤2 푤3
⎤
⎦ = 0 . (3.12)
Assim, um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence a um plano 휋 que passa pelo ponto 푃1 = (푥1, 푦1, 푧1)
e e´ paralelo aos vetores 푉 = (푣1, 푣2, 푣3) e 푊 = (푤1, 푤2, 푤3) (na˜o paralelos) se, e somente se, a
equac¸a˜o (3.12) e´ verdadeira.
Observac¸a˜o. Na˜o faz sentido dizer que um vetor pertence a um plano. Pois, por um lado, um plano e´
um conjunto de pontos e por outro, os vetores sa˜o “livres”, podem ser “colocados” em qualquer ponto.
O correto e´ dizer que um vetor e´ paralelo a um plano.
3.2.2 Equac¸o˜es da Reta
Vamos supor que uma reta 푟 e´ paralela a um vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) na˜o nulo e que passa por um
ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0). Um ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) pertence a reta 푟 se, e somente se, o vetor
−→
푃0푃 e´
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
208 Espac¸os ℝ푛
paralelo ao vetor 푉 , isto e´, se o vetor
−→
푃0푃 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 , ou seja,
−→
푃0푃= 푡 푉 . (3.13)
Em termos de componentes, (3.13) pode ser escrito como
(푥− 푥0, 푦 − 푦0, 푧 − 푧0) = (푡푎, 푡푏, 푡푐) ,
de onde segue-se que 푥− 푥0 = 푡 푎, 푦 − 푦0 = 푡 푏 e 푧 − 푧0 = 푡 푐. Isto prova o resultado seguinte.
Proposic¸a˜o 3.6. As equac¸o˜es ⎧⎨
⎩
푥 = 푥0 + 푡 푎
푦 = 푦0 + 푡 푏
푧 = 푧0 + 푡 푐
para todo 푡 ∈ ℝ (3.14)
sa˜o de uma reta 푟 que passa por um ponto 푃0 = (푥0, 푦0, 푧0) e e´ paralela ao vetor 푉 = (푎, 푏, 푐). As
equac¸o˜es (3.14) sa˜o chamadas equac¸o˜es parame´tricas da reta 푟. O vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) e´ chamado
vetor diretor da reta 푟.
O paraˆmetro 푡 pode ser interpretado como o instante de tempo, se o ponto 푃 = (푥, 푦, 푧) descreve
o movimento de uma partı´cula em movimento retilı´neo uniforme com vetor velocidade 푉 = (푎, 푏, 푐).
Observe que para 푡 = 1, 푃 = (푥, 푦, 푧) = (푥0 + 푎, 푦0 + 푏, 푧0 + 푐), para 푡 = 2, 푃 = (푥, 푦, 푧) =
(푥0 + 2푎, 푦0 + 2푏, 푧0 + 2푐) e assim por diante.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 209
푃1 = (푥1, 푦1, 푧1)
푁 = (푎, 푏, 푐)
푃2 = (푥2, 푦2, 푧2)
푃3 = (푥3, 푦3, 푧3)
푃 = (푥, 푦, 푧)
휋
Figura 3.25: Plano que passa por treˆs pontos
x y
z
푉 = (푎, 푏, 푐)
푃0 = (푥0, 푦0, 푧0)
푃 = (푥, 푦, 푧)
푟
x y
z
푉
−→
푂푃0
−→
푂푃
−→
푃0푃
푟
Figura 3.26: Reta paralela ao vetor 푉 = (푎, 푏, 푐)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
210 Espac¸os ℝ푛
As equac¸o˜es (3.14), podem ser reescritas como (푥, 푦, 푧) = (푥0 + 푎푡, 푦0 + 푏푡, 푧0 + 푐푡).
Observac¸a˜o. Na˜o faz sentido dizer que o vetor esta´ contido na reta. Por um lado, a reta e´ um conjunto
de pontos e por outro um vetor na˜o tem posic¸a˜o fixa.
Exemplo 3.13. A reta que passa por 푃0 = (−3, 3/2, 4) e e´ paralela ao vetor 푉 = (−6, 1, 4) tem
equac¸o˜es parame´tricas
푟 :
⎧⎨
⎩
푥 = −3− 6 푡
푦 = 3
2
+ 푡
푧 = 4 + 4푡
para 푡 ∈ ℝ
Podemos encontrar a intersec¸a˜o da reta 푟 com os planos coordenados 푥푦, 푦푧 e 푥푧. A equac¸a˜o
do plano 푥푦 e´ 푧 = 0, do plano 푦푧 e´ 푥 = 0 e do plano 푥푧 e´ 푦 = 0. Substituindo 푧 = 0 nas equac¸o˜es
de 푟, obtemos 푡 = −2, 푥 = 3 e 푦 = 1/2, ou seja, o ponto de intersec¸a˜o de 푟 com o plano 푥푦 e´
(푥, 푦, 푧) = (3,
1
2
, 0).
De forma ana´loga obtemos o ponto de intersec¸a˜o de 푟 com o plano 푦푧 e´ (푥, 푦, 푧) = (0, 1, 2), o ponto
de intersec¸a˜o de 푟 com o plano 푥푧 (푥, 푦, 푧) = (6, 0,−2).
Exemplo 3.14. Vamos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta 푟 que passa pelos pontos 푃1 =
(3, 0, 2) e 푃2 = (0, 3, 3). O vetor
−→
푃1푃2= (0− 3, 3− 0, 3− 2) = (−3, 3, 1)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 211
x y
z
3
1/2
1
2
Figura 3.27: Reta que passa pelo ponto 푃0 = (−3, 3/2, 4) paralela ao vetor 푉 = (−6, 1, 4)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
212 Espac¸os ℝ푛
x y
z
3
2
3
3
푃2
푃1
푟
Figura 3.28: Reta que passa pelos pontos 푃1 = (3, 0, 2) e 푃2 = (0, 3, 3)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 213
e´ paralelo a 푟 e o ponto 푃1 = (3, 0, 2) pertence a 푟. Portanto, as equac¸o˜es parame´tricas de 푟 sa˜o⎧⎨
⎩
푥 = 3− 3 푡
푦 = 3 푡
푧 = 2 + 푡
para 푡 ∈ ℝ.
Exemplo 3.15. Vamos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta 푟, intersec¸a˜o dos planos
휋1 : 2푥+ 푦 + 4푧 − 4 = 0
휋2 : 2푥− 푦 + 2푧 = 0. (3.15)
Podemos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas de 푟 determinando a soluc¸a˜o geral do sistema
(3.15). Para isto devemos escalonar a matriz do sistema (3.15):[
2 1 4 4
2 −1 2 0
]
Precisamos “zerar” o outro elemento da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adicionamos a`
2a. linha, menos a 1a. linha.
-1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
[
2 1 4 4
0 −2 −2 −4
]
Agora, ja´ podemos obter facilmente a soluc¸a˜o geral do sistema dado, ja´ que ele e´ equivalente ao
sistema {
2푥 + 푦 + 4푧 = 4
− 2푦 − 2푧 = −4
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
214 Espac¸os ℝ푛
Figura 3.29: 휋1 : 2푥+ 푦 + 4푧 − 4 = 0
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 215
Figura 3.30: 휋2 : 2푥− 푦 + 2푧 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
216 Espac¸os ℝ푛
Figura 3.31: 휋1, 휋2 e 휋1 ∩ 휋2
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 217
A varia´vel 푧 e´ uma varia´vel livre. Podemos dar a ela um valor arbitra´rio, digamos 푡, para 푡 ∈ ℝ
qualquer. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema dado e´⎧⎨
⎩
푥 = 1 − 3
2
푡
푦 = 2 − 푡
푧 = 푡
para todo 푡 ∈ ℝ. (3.16)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
218 Espac¸os ℝ푛
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 549)
3.2.1. Ache a equac¸a˜o do plano paralelo ao plano 2푥−푦+5푧−3 = 0 e que passa por 푃 = (1,−2, 1).
3.2.2. Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto 푃 = (2, 1, 0) e e´ perpendicular aos planos
푥+ 2푦 − 3푧 + 2 = 0 e 2푥− 푦 + 4푧 − 1 = 0.
3.2.3. Encontrar a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos 푃 = (1, 0, 0) e 푄 = (1, 0, 1) e e´
perpendicular ao plano 푦 = 푧.
3.2.4. Dadas as retas 푟 : (푥, 푦, 푧) = (2 + 2푡, 2푡, 푡) e 푠 : (푥, 푦, 푧) = (2 + 푡, 푡, 푡) obtenha uma equac¸a˜o
geral para o plano determinado por 푟 e 푠.
3.2.5. Sejam 푃 = (4, 1,−1) e 푟 : (푥, 푦, 푧) = (2, 4, 1) + 푡 (1,−1, 2).
(a) Mostre que 푃 ∕∈ 푟;
(b) Obtenha uma equac¸a˜o geral do plano determinado por 푟 e 푃 .
3.2.6. Dados os planos 휋1 : 푥 − 푦 + 푧 + 1 = 0 e 휋2 : 푥 + 푦 − 푧 − 1 = 0, determine o plano que
conte´m 휋1 ∩ 휋2 e e´ ortogonal ao vetor (1, 1, 1).
3.2.7. Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta?
(a) 푥+ 2푦 − 3푧 − 4 = 0 e 푥− 4푦 + 2푧 + 1 = 0;
(b) 2푥− 푦 + 4푧 + 3 = 0 e 4푥− 2푦 + 8푧 = 0;
(c) 푥− 푦 = 0 e 푥+ 푧 = 0.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 219
3.2.8. Encontre as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto 푄 = (1, 2, 1) e e´ perpendicular ao plano
푥− 푦 + 2푧 − 1 = 0.
3.2.9. Ache a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto 푃 = (1, 0, 1) e e´ paralela aos planos 2푥+ 3푦 +
푧 + 1 = 0 e 푥− 푦 + 푧 = 0.
3.2.10. Seja 푟 a reta determinada pela intersec¸a˜o dos planos 푥 + 푦 − 푧 = 0 e 2푥 − 푦 + 3푧 − 1 = 0.
Ache a equac¸a˜o do plano que passa por 퐴 = (1, 0,−1) e conte´m a reta 푟.
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
Comandos do MATLABⓇ:
>> V=[v1,v2,v3] cria um vetor V, usando as componentes nume´ricas v1, v2, v3. Por
exemplo >> V=[1,2,3] cria o vetor 푉 = (1, 2, 3);
>> V+W e´ a soma de V e W; >> V-W e´ a diferenc¸a V menos W; >> num*V e´ o produto do vetor V
pelo escalar num;
>> subs(expr,x,num,) substitui x por num na expressa˜o expr;
>> solve(expr) determina a soluc¸a˜o da equac¸a˜o expr=0;
Comandos nume´ricos do pacote GAAL:
>> no(V) calcula a norma do vetor V.
>> pe(V,W) calcula
o produto escalar do vetor V pelo vetor W.
>> pv(V,W) calcula o produto vetorial do vetor V pelo vetor W.
Comandos gra´ficos do pacote GAAL:
>> lin(P,V) desenha a reta que passa por P com direc¸a˜o V.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
220 Espac¸os ℝ푛
>> lin(P1,V1,P2,V2) desenha retas que passam por P1, P2, direc¸o˜es V1, V2.
>> plan(P,N) desenha o plano que passa por P com normal N.
>> plan(P1,N1,P2,N2) desenha planos que passam por P1, P2, normais N1, N2.
>> plan(P1,N1,P2,N2,P3,N3) desenha planos que passam por P1, P2 e P3 com normais
N1, N2 e N3.
>> poplan(P1,P2,N2) desenha ponto P1 e plano passando por P2 com normal N2.
>> poline(P1,P2,V2) desenha ponto P2 e reta passando por P2 com direc¸a˜o V2.
>> lineplan(P1,V1,P2,N2) desenha reta passando por P1 com direc¸a˜o V1 e plano pas-
sando por P2 com normal N2.
>> axiss reescala os eixos com a mesma escala.
>> rota faz uma rotac¸a˜o em torno do eixo 푧.
3.2.11. Digite no prompt demog22, (sem a vı´rgula!). Esta func¸a˜o demonstra as func¸o˜es gra´ficas para
visualizac¸a˜o de retas e planos.
3.2.12. Use o MATLABⓇ para resolver os Exercı´cios Nume´ricos
Exercı´cio Teo´rico
3.2.13. Seja 푎푥 + 푏푦 + 푐푧 + 푑 = 0 a equac¸a˜o de um plano 휋 que na˜o passa pela origem e corta os
treˆs eixos.
(a) Determine a intersec¸a˜o de 휋 com os eixos;
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.2 Equac¸o˜es de Retas e Planos 221
(b) Se 푃1 = (푝1, 0, 0), 푃2 = (0, 푝2, 0) e 푃3 = (0, 0, 푝3) sa˜o as intersec¸o˜es de 휋 com os eixos,
a equac¸a˜o de 휋 pode ser posta sob a forma
푥
푝1
+
푦
푝2
+
푧
푝3
= 1 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
222 Espac¸os ℝ푛
3.3 Os Espac¸os ℝ푛
Ja´ vimos que os vetores no plano sa˜o identificados com os pares ordenados de nu´meros reais
e que vetores no espac¸o sa˜o identificados com ternos ordenados de nu´meros reais. Muito do que
estudamos sobre vetores no plano e no espac¸o pode ser estendido para 푛-u´plas de nu´meros reais,
em que 푛 pode ser um nu´mero inteiro positivo.
Definic¸a˜o 3.2. Para cada inteiro positivo 푛, o espac¸o (vetorial) ℝ푛 e´ definido pelo conjunto de todas
as 푛-u´plas ordenadas 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) de nu´meros reais.
O conjunto ℝ1 e´ simplesmente o conjunto dos nu´meros reais. O conjunto ℝ2 e´ o conjunto dos
pares de nu´meros reais e o ℝ3 e´ o conjunto dos ternos de nu´meros reais.
No ℝ3 o terno de nu´meros (푥1, 푥2, 푥3) pode ser interpretado geometricamente de duas maneiras:
pode ser visto como um ponto, neste caso 푥1, 푥2 e 푥3 sa˜o as coordenadas do ponto (Figura 3.32),
ou como um vetor, neste caso 푥1, 푥2 e 푥3 sa˜o as componentes do vetor (Figura 3.33). Tambe´m
no ℝ푛 uma 푛-u´pla pode ser pensada como um vetor ou como um ponto. Por exemplo, a quintu´pla
푋 = (1,−2, 3, 5, 4) pode ser pensada como um ponto no ℝ5, quando consideramos 푋 como um
elemento do conjunto ℝ5, ou como um vetor do ℝ5, quando fazemos operac¸o˜es com 푋 , como as que
iremos definir adiante. Vamos chamar os elementos do ℝ푛 de pontos ou de vetores dependendo da
situac¸a˜o.
Dois vetores 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e 푊 = (푤1, . . . , 푤푛) no ℝ푛 sa˜o considerados iguais se
푣1 = 푤1, . . . , 푣푛 = 푤푛. As operac¸o˜es de soma de vetores e multiplicac¸a˜o de vetor por escalar
no ℝ푛 sa˜o definidas de maneira ana´loga ao que fizemos no plano e no espac¸o.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 223
x y
z
(푥, 푦, 푧)
푦푥
푧
Figura 3.32: Ponto (푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3
x y
z
(푥, 푦, 푧)
푂
푦푥
푧
Figura 3.33: Vetor (푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
224 Espac¸os ℝ푛
Definic¸a˜o 3.3. (a) A soma de dois vetores 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e푊 = (푤1, . . . , 푤푛) doℝ푛 e´ definida
por
푉 +푊 = (푣1 + 푤1, . . . , 푣푛 + 푤푛); (3.17)
(b) A multiplicac¸a˜o de um vetor 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) do ℝ푛 por um escalar 훼 e´ definida por
훼 푉 = (훼 푣1, . . . , 훼 푣푛). (3.18)
O vetor nulo do ℝ푛 e´ denotado por 0¯ e e´ definido por 0¯ = (0, . . . , 0). Se 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e´ um
vetor do ℝ푛, enta˜o o sime´trico de 푉 e´ denotado por −푉 e e´ definido por −푉 = (−푣1, . . . ,−푣푛). A
diferenc¸a de dois vetores no ℝ푛 e´ definida por 푉 −푊 = 푉 + (−푊 ). Se 푉 e 푊 sa˜o vetores do ℝ푛
tais que 푊 = 훼푉 , para algum escalar 훼, enta˜o dizemos que 푊 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 .
Um vetor 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) do ℝ푛 pode tambe´m ser escrito na notac¸a˜o matricial como uma matriz
linha ou como uma matriz coluna:
푉 =
⎡
⎢⎣ 푣1..
.
푣푛
⎤
⎥⎦ ou 푉 = [ 푣1 . . . 푣푛 ] .
Estas notac¸o˜es podem ser justificadas pelo fato de que as operac¸o˜es matriciais
푉 +푊 =
⎡
⎢⎣ 푣1..
.
푣푛
⎤
⎥⎦+
⎡
⎢⎣ 푤1..
.
푤푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 푣1 + 푤1..
.
푣푛 + 푤푛
⎤
⎥⎦ , 훼푉 = 훼
⎡
⎢⎣ 푣1..
.
푣푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 훼푣1..
.
훼푣푛
⎤
⎥⎦
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 225
ou
푉 +푊 =
[
푣1 . . . 푣푛
]
+
[
푤1 . . . 푤푛
]
=
[
푣1 + 푤1 . . . 푣푛 + 푤푛
]
,
훼푉 = 훼
[
푣1 . . . 푣푛
]
=
[
훼푣1 . . . 훼푣푛
]
produzem os mesmos resultados que as operac¸o˜es vetoriais
푉 +푊 = (푣1, . . . , 푣푛) + (푤1, . . . , 푤푛) = (푣1 + 푤1, . . . , 푣푛 + 푤푛)
훼푉 = 훼(푣1, . . . , 푣푛) = (훼푣1, . . . , 훼푣푛).
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de vetores e
multiplicac¸a˜o de vetores por escalar no ℝ푛.
Teorema 3.7. Sejam 푈 = (푢1, . . . , 푢푛), 푉 = (푣1, . . . , 푣푛) e 푊 = (푤1, . . . , 푤푛) vetores do ℝ푛 e 훼 e
훽 escalares. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
(a) 푈 + 푉 = 푉 + 푈 ;
(b) (푈 + 푉 ) +푊 = 푈 + (푉 +푊 );
(c) 푈 + 0¯ = 푈 ;
(d) 푈 + (−푈) = 0¯;
(e) 훼(훽푈) = (훼훽)푈 ;
(f) 훼(푈 + 푉 ) = 훼푈 + 훼푉 ;
(g) (훼 + 훽)푈 = 훼푈 + 훽푈 ;
(h) 1푈 = 푈 .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
226 Espac¸os ℝ푛
Demonstrac¸a˜o. Segue diretamente das propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina
10). ■
O conceito de vetores pode ser generalizado ainda mais. Um conjunto na˜o vazio onde esta˜o
definidas as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar e´ chamado espac¸o vetorial se satisfaz
as oito propriedades do Teorema 3.7 (Sec¸a˜o 4.3 na pa´gina 294).
3.3.1 Combinac¸a˜o Linear
Uma combinac¸a˜o linear de vetores 푉1, . . . , 푉푘, e´ simplesmente uma soma de mu´ltiplos escalares
de 푉1, . . . , 푉푘.
Definic¸a˜o 3.4. Um vetor 푉 ∈ ℝ푛 e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1, . . . , 푉푘 ∈ ℝ푛, se existem
escalares 푥1, . . . , 푥푘 que satisfazem a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푘푉푘 = 푉 (3.19)
ou seja, se a equac¸a˜o vetorial (3.19) possui soluc¸a˜o. Neste caso, dizemos tambe´m que 푉 pode ser
escrito como uma combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푘.
Se 푘 = 1, enta˜o a equac¸a˜o (3.19) se reduz a 푥1푉1 = 푉 , ou seja, 푉 e´ uma combinac¸a˜o linear de
푉1 se, e somente se, 푉 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉1.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 227
Exemplo 3.16. Sejam 푉1 = (1, 0, 0) e 푉2 = (1, 1, 0), vetores de ℝ3. O vetor 푉 = (2, 3, 2) na˜o e´
uma combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉2, pois a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 = 푉, (3.20)
que pode ser escrita como
푥1(1, 0, 0) + 푥2(1, 1, 0) = (2, 3, 2),
ou ainda,
(푥1 + 푥2, 푥2, 0) = (2, 3, 2),
e´ equivalente ao sistema ⎧⎨
⎩
푥1 + 푥2 = 2
푥2 = 3
0 = 2
que na˜o possui soluc¸a˜o.
Exemplo 3.17. O vetor 푉 = (2, 3, 0) e´ uma combinac¸a˜o linear de 푉1 = (1, 0, 0) e 푉2 = (1, 1, 0), pois
a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 = 푉 (3.21)
ou
푥1(1, 0, 0) + 푥2(1, 1, 0) = (2, 3, 0)
ou ainda,
(푥1 + 푥2, 푥2, 0) = (2, 3, 0),
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
228 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푉1 = (1, 0, 0)
푉2 = (1, 1, 0)
푉 = (2, 3, 2)
Figura 3.34: O vetor 푉 na˜o e´ combinac¸a˜o
linear de 푉1 e 푉2
x y
z
푉1 = (1, 0, 0)
푉2 = (1, 1, 0)
푉 = (2, 3, 0)
Figura 3.35: O vetor 푉 e´ combinac¸a˜o linear
de 푉1 e 푉2
e´ equivalente ao sistema ⎧⎨
⎩
푥1 + 푥2 = 2
푥2 = 3
0 = 0
que possui soluc¸a˜o.
Exemplo 3.18. O vetor nulo 0¯ e´ sempre combinac¸a˜o linear de quaisquer vetores 푉1, . . . , 푉푘 ∈ ℝ푛,
pois
0¯ = 0푉1 + . . .+
0푉푘.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 229
Exemplo 3.19. Todo vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) do ℝ3 e´ uma combinac¸a˜o linear de
푖⃗ = (1, 0, 0), 푗⃗ = (0, 1, 0) e 푘⃗ = (0, 0, 1).
Pois,
(푎, 푏, 푐) = 푎(1, 0, 0) + 푏(0, 1, 0) + 푐(0, 0, 1) = 푎⃗푖+ 푏⃗푗 + 푐푘⃗.
Para verificarmos se um vetor 퐵 e´ combinac¸a˜o linear de um conjunto de vetores {퐴1, . . . , 퐴푛},
escrevemos a equac¸a˜o vetorial
푥1퐴1 + 푥2퐴2 + . . .+ 푥푛퐴푛 = 퐵 , (3.22)
e verificamos se ela tem soluc¸a˜o. Se 퐴1, . . . , 퐴푛 sa˜o vetores do ℝ푚, a equac¸a˜o (3.22), pode ser
escrita como
푥1
⎡
⎢⎣ 푎11..
.
푎푚1
⎤
⎥⎦+ . . .+ 푥푛
⎡
⎢⎣ 푎1푛..
.
푎푚푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 푏1..
.
푏푚
⎤
⎥⎦
que e´ equivalente ao sistema linear
퐴푋 = 퐵,
em que as colunas de 퐴 sa˜o os vetores 퐴푖 escritos como matrizes colunas, ou seja, 퐴 = [퐴1 . . . 퐴푛]
e 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦. Isto prova o seguinte resultado.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
230 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푗⃗푖⃗
푘⃗
Figura 3.36: Vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗
x y
z
푏⃗푗푎⃗푖
푐푘⃗
푉 = (푎, 푏, 푐)
Figura 3.37: 푉 = (푎, 푏, 푐) = 푎⃗푖+ 푏⃗푗 + 푐푘⃗
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 231
Proposic¸a˜o 3.8. Sejam 퐴 uma matriz 푚× 푛 e 퐵 uma matriz 푚× 1. O vetor 퐵 e´ combinac¸a˜o linear
das colunas de 퐴 se, e somente se, o sistema 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o.
3.3.2 Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o 3.5. Dizemos que um conjunto 풮 = {푉1, . . . , 푉푘} de vetores do ℝ푛 e´ linearmente inde-
pendente (L.I.) se a equac¸a˜o vetorial
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ (3.23)
so´ possui a soluc¸a˜o trivial, ou seja, se a u´nica forma de escrever o vetor nulo como combinac¸a˜o linear
dos vetores 푉1, . . . , 푉푘 e´ aquela em que todos os escalares sa˜o iguais a zero. Caso contra´rio, isto e´,
se (3.23) possui soluc¸a˜o na˜o trivial, dizemos que o conjunto 풮 e´ linearmente dependente (L.D.).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
232 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 3.20. Um conjunto finito de vetores do ℝ푛 que conte´m o vetor nulo e´ L.D., pois se
{푉1, . . . , 푉푘} e´ tal que 푉푗 = 0¯, para algum 푗, enta˜o 0푉1+ . . .+0푉푗−1+1푉푗 +0푉푗+1+ . . .+0푉푘 = 0¯.
Exemplo 3.21. Um conjunto formado por um u´nico vetor do ℝ푛, {푉1}, na˜o nulo e´ L.I., pois 푥1푉1 = 0¯
e´ equivalente a 푥1 = 0 ou 푉1 = 0¯. Mas, 푉1 ∕= 0¯; portanto 푥1 = 0.
Exemplo 3.22. Se {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de vetores L.D., enta˜o qualquer conjunto finito de
vetores que contenha 푉1, . . . , 푉푘 e´ tambe´m L.D., pois a equac¸a˜o
푥1푉1 + . . .+ 푥푘푉푘 + 0푊1 + . . .+ 0푊푚 = 0¯
admite soluc¸a˜o na˜o trivial.
Exemplo 3.23. Um conjunto formado por dois vetores do ℝ푛, {푉1, 푉2} e´ L.D. se, e somente se, a
equac¸a˜o 푥1푉1 + 푥2푉2 = 0¯ possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Mas se isto acontece, enta˜o um dos escalares
푥1 ou 푥2 pode ser diferente de zero. Se 푥1 ∕= 0, enta˜o 푉1 = (−푥2/푥1)푉2 e se 푥2 ∕= 0, enta˜o
푉2 = (−푥1/푥2)푉1. Ou seja, se {푉1, 푉2} e´ L.D., enta˜o um dos vetores e´ mu´ltiplo escalar do outro.
Reciprocamente, se um vetor e´ mu´ltiplo escalar do outro, digamos se 푉1 = 훼푉2, enta˜o 1푉1 −
훼푉2 = 0¯ e assim eles sa˜o L.D. Portanto, podemos dizer que dois vetores sa˜o L.D. se, e somente se,
um e´ um mu´ltiplo escalar do outro.
Por exemplo, o conjunto 풮 = {푉1, 푉2}, em que 푉1 = (1, 0, 1) e 푉2 = (0, 1, 1), e´ L.I., pois um vetor
na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 233
x y
z
푉1
푉2
Figura 3.38: Dois vetores linearmente de-
pendentes
x y
z
푉1
푉2
Figura 3.39: Dois vetores linearmente inde-
pendentes
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
234 Espac¸os ℝ푛
x y
z
푉1
푉2
푉3
Figura 3.40: Treˆs vetores linearmente de-
pendentes (paralelos)
x y
z
푉1
푉2푉3
Figura 3.41: Treˆs vetores linearmente de-
pendentes (dois paralelos)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 235
x y
z
푉3
푉1
푉2
Figura 3.42: Treˆs vetores linearmente de-
pendentes (coplanares)
x y
z
푉3
푉1
푉2
Figura 3.43: Treˆs vetores linearmente inde-
pendentes
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
236 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 3.24. Um conjunto formado por treˆs vetores de ℝ푛, {푉1, 푉2, 푉3} e´ L.D. se, e somente se,
a equac¸a˜o 푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 = 0¯ possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Mas se isto acontece, enta˜o um
dos escalares 푥1 ou 푥2 ou 푥3 pode ser diferente de zero. Se 푥1 ∕= 0, enta˜o 푉1 = (−푥2/푥1)푉2 +
(−푥3/푥1)푉3, ou seja, o vetor 푉1 e´ combinac¸a˜o linear de 푉2 e 푉3. De forma semelhante, se 푥2 ∕= 0,
enta˜o 푉2 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉3 e se 푥3 ∕= 0, enta˜o 푉3 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉2.
Assim, se treˆs vetores 푉1, 푉2 e 푉3 do ℝ푛 sa˜o L.D., enta˜o um deles e´ uma combinac¸a˜o linear dos
outros dois, ou seja, em deles e´ uma soma de mu´ltiplos escalares dos outros dois. No ℝ3 temos que
se treˆs vetores na˜o nulos sa˜o L.D., enta˜o ou os treˆs sa˜o paralelos (Figura 3.40), ou dois deles sa˜o
paralelos (Figura 3.41) ou os treˆs sa˜o coplanares, isto e´, sa˜o paralelos a um mesmo plano (Figura
3.42).
Reciprocamente, se um vetor e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros dois, digamos se 푉1 = 훼푉2 +
훽푉3, enta˜o 1푉1−훼푉2−훽푉3 = 0¯ e assim eles sa˜o L.D. Portanto, podemos dizer que treˆs vetores sa˜o
L.D. se, e somente se, um deles e´ uma combinac¸a˜o linear dos outros dois. No ℝ3, se treˆs vetores sa˜o
L.I., enta˜o eles na˜o sa˜o coplanares (Figura 3.43).
Exemplo 3.25. Vamos mostrar que os vetores 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 =
(0, . . . , 0, 1) sa˜o L.I. em particular os vetores 푖⃗ = (1, 0, 0), 푗⃗ = (0, 1, 0) e 푘⃗ = (0, 0, 1) sa˜o L.I. A
equac¸a˜o
푥1퐸1 + . . .+ 푥푛퐸푛 = 0¯
pode ser escrita como
푥1(1, 0, . . . , 0) + . . .+ 푥푛(0, . . . , 0, 1) = (0, . . . , 0) .
Logo, (푥1, . . . , 푥푛) = (0, . . . , 0), que e´ equivalente ao sistema
푥1 = 0, . . . , 푥푛 = 0 .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 237
Para descobrir se um conjunto de vetores {퐴1, . . . , 퐴푛} e´ L.I. precisamos saber se a equac¸a˜o
vetorial
푥1퐴1 + 푥2퐴2 + . . .+ 푥푛퐴푛 = 0¯ (3.24)
tem somente a soluc¸a˜o trivial. Se 퐴1, . . . , 퐴푛 sa˜o vetores do ℝ푚, a equac¸a˜o (3.24), pode ser escrita
como
푥1
⎡
⎢⎣ 푎11..
.
푎푚1
⎤
⎥⎦+ . . .+ 푥푛
⎡
⎢⎣ 푎1푛..
.
푎푚푛
⎤
⎥⎦ =
⎡
⎢⎣ 0..
.
0
⎤
⎥⎦
que e´ equivalente ao sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, em que as colunas de 퐴 sa˜o os vetores
퐴푖 escritos como matrizes colunas, ou seja, 퐴 = [퐴1 . . . 퐴푛] e 푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦. Isto prova o seguinte
resultado.
Proposic¸a˜o 3.9. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛.
(a) As colunas de 퐴 sa˜o linearmente independentes se, e somente se, o sistema 퐴푋 = 0¯ tem
somente a soluc¸a˜o trivial.
(b) Se 푚 = 푛, enta˜o as colunas de 퐴 sa˜o linearmente independentes se, e somente se,
det(퐴) ∕= 0.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
238 Espac¸os ℝ푛
Treˆs ou mais vetores no ℝ2, assim como quatro ou mais vetores no ℝ3 e mais de 푛 vetores no ℝ푛
sa˜o sempre L.D. Pois, nestes casos, o problema de verificar se eles sa˜o ou na˜o L.I. leva a um sistema
linear homogeˆneo com mais inco´gnitas do que equac¸o˜es, que pelo Teorema 1.6 na pa´gina 53 tem
sempre soluc¸a˜o na˜o trivial.
Corola´rio 3.10. Em ℝ푛 um conjunto com mais de 푛 vetores e´ L.D.
Exemplo 3.26. Considere os vetores 푋1 = (1, 0, 1), 푋2 = (0, 1, 1) e 푋3 = (1, 1, 1) de ℝ3. Para
sabermos se eles sa˜o L.I. ou L.D. escrevemos a equac¸a˜o
푥1푋1 + 푥2푋2 + 푥3푋3 = 0¯.
Esta equac¸a˜o vetorial e´ equivalente ao sistema linear 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 = [푋1 푋2 푋3 ] =
⎡
⎣ 1 0 10 1 1
1 1 1
⎤
⎦ .
Escalonando a matriz [퐴 ∣ 0¯ ] podemos obter a sua forma escalonada reduzida
[푅 ∣0¯ ] =
⎡
⎣ 1 0 0 00 1 0 0
0 0 1 0
⎤
⎦ .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 239
Concluimos, enta˜o que o sistema 퐴푋 = 0¯ possui somente a soluc¸a˜o trivial 푥1 = 푥2 = 푥3 = 0.
Portanto os vetores 푋1, 푋2 e 푋3
sa˜o L.I.
Exemplo 3.27. Sejam 푉1 = (1, 2, 5), 푉2 = (7,−1, 5) e 푉3 = (1,−1,−1) vetores do ℝ3. Para
sabermos se eles sa˜o L.I. ou L.D. escrevemos a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 = 0¯. (3.25)
Esta equac¸a˜o vetorial e´ equivalente ao sistema linear 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 = [푉1 푉2 푉3 ] =
⎡
⎣ 1 7 12 −1 −1
5 5 −1
⎤
⎦ .
A matriz [퐴 ∣ 0¯ ] e´ equivalente por linhas a` matriz escalonada reduzida
[푅 ∣ 0¯ ] =
⎡
⎣ 1 0 −2/5 00 1 1/5 0
0 0 0 0
⎤
⎦ . (3.26)
Assim a varia´vel 푥3 pode ser uma varia´vel livre que pode, portanto, assumir qualquer valor. Conclui-
mos que o sistema 퐴푋 = 0¯ e a equac¸a˜o vetorial (3.25) teˆm soluc¸a˜o na˜o trivial. Portanto, 푉1, 푉2 e 푉3
sa˜o L.D.
A expressa˜o “linearmente dependente” sugere que os vetores dependem uns dos outros em algum
sentido. O teorema seguinte mostra que este realmente e´ o caso.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
240 Espac¸os ℝ푛
Teorema 3.11. Um conjunto 풮= {푉1, . . . , 푉푘} (푘 > 1) de vetores de ℝ푛 e´ linearmente dependente
(L.D.) se, e somente se, pelo menos um dos vetores, 푉푗 , for combinac¸a˜o linear dos outros vetores de
풮.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 241
Demonstrac¸a˜o. Vamos dividir a demonstrac¸a˜o em duas partes:
(a) Se 푉푗 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores do conjunto 풮, isto e´, se existem escalares
훼1, . . . , 훼푗−1, 훼푗+1, . . . , 훼푘 tais que
훼1푉1 + . . .+ 훼푗−1푉푗−1 + 훼푗+1푉푗+1 + . . .+ 훼푘푉푘 = 푉푗,
enta˜o somando-se −푉푗 a ambos os membros ficamos com
훼1푉1 + . . .+ 훼푗−1푉푗−1 − 푉푗 + 훼푗+1푉푗+1 + . . .+ 훼푘푉푘 = 0¯. (3.27)
Isto implica que a equac¸a˜o 푥1푉1 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ admite soluc¸a˜o na˜o trivial, pois o coeficiente
de 푉푗 em (3.27) e´ −1. Portanto, 풮 e´ L.D.
(b) Se 풮 e´ L.D., enta˜o a equac¸a˜o
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ (3.28)
admite soluc¸a˜o na˜o trivial, o que significa que pelo menos um 푥푗 e´ diferente de zero. Enta˜o,
multiplicando-se a equac¸a˜o (3.28) por 1/푥푗 e subtraindo-se (푥1푥푗 )푉1 + . . .+ (
푥푘
푥푗
)푉푘 obtemos
푉푗 = −
(
푥1
푥푗
)
푉1 − . . .−
(
푥푗−1
푥푗
)
푉푗−1 −
(
푥푗+1
푥푗
)
푉푗+1 − . . .−
(
푥푘
푥푗
)
푉푘 .
Portanto, um vetor 푉푗 e´ combinac¸a˜o linear dos outros vetores de 풮. ■
Observac¸a˜o. Na demonstrac¸a˜o da segunda parte, vemos que o vetor, cujo escalar na combinac¸a˜o
linear, puder ser diferente de zero, pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
242 Espac¸os ℝ푛
Exemplo 3.28. Sejam 푉1 = (1, 2, 5), 푉2 = (7,−1, 5) e 푉3 = (1,−1,−1) vetores do ℝ3. Vamos
escrever um dos vetores como combinac¸a˜o linear dos outros dois. Vimos no Exemplo 3.27 que estes
vetores sa˜o L.D. De (3.26) segue-se que
푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 = 0¯
se, e somente se, 푥1 = (2/5)훼, 푥2 = −(1/5)훼 e 푥3 = 훼, para todo 훼 ∈ ℝ. Substituindo-se os
valores de 푥1, 푥2 e 푥3 na equac¸a˜o acima, ficamos com
(2/5)훼푉1 − (1/5)훼푉2 + 훼푉3 = 0¯
Tomando-se 훼 = 1, obtemos
(2/5)푉1 − (1/5)푉2 + 푉3 = 0¯
multiplicando-se por −5 e somando-se 2푉1 + 5푉3, temos que 푉2 = 2푉1 + 5푉3. Observe que, neste
exemplo, qualquer dos vetores pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos outros. O pro´ximo exem-
plo mostra que isto nem sempre acontece.
Exemplo 3.29. Sejam 푉1 = (−2,−2, 2), 푉2 = (−3, 3/2, 0) e 푉3 = (−2, 1, 0). {푉1, 푉2, 푉3} e´ L.D.,
mas 푉1 na˜o e´ combinac¸a˜o linear de 푉2 e 푉3 (Figura 3.41 na pa´gina 234).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
3.3 Os Espac¸os ℝ푛 243
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 552)
3.3.1. Quais dos seguintes vetores sa˜o combinac¸a˜o linear de 푋1 = (4, 2,−3), 푋2 = (2, 1,−2) e
푋3 = (−2,−1, 0)?
(a) (1, 1, 1);
(b) (4, 2,−6);
(c) (−2,−1, 1);
(d) (−1, 2, 3).
3.3.2. Quais dos seguintes conjuntos de vetores sa˜o linearmente dependentes?
(a) {(1, 1, 2), (1, 0, 0), (4, 6, 12)};
(b) {(1,−2, 3), (−2, 4,−6)};
(c) {(1, 1, 1), (2, 3, 1), (3, 1, 2)};
(d) {(4, 2,−1), (6, 5,−5), (2,−1, 3)}.
3.3.3. Para quais valores de 휆 o conjunto de vetores {(3, 1, 0), (휆2 + 2, 2, 0)} e´ L.D.?
3.3.4. Suponha que {푉1, 푉2, 푉3} e´ um conjunto linearmente independente de vetores de ℝ푛. Res-
ponda se {푊1,푊2,푊3} e´ linearmente dependente ou independente nos seguintes casos:
(a) 푊1 = 푉1 + 푉2, 푊2 = 푉1 + 푉3 e 푊3 = 푉2 + 푉3;
(b) 푊1 = 푉1, 푊2 = 푉1 + 푉3 e 푊3 = 푉1 + 푉2 + 푉3.
Exercı´cio usando o MATLABⓇ
3.3.5. (a) Defina os vetores V1=[1;2;3], V2=[3;4;5] e V3=[5;6;7]. Defina o vetor aleato´rio
V=randi(3,1). Verifique se V e´ combinac¸a˜o linear de V1, V2 e V3.
(b) Defina a matriz aleato´ria M=randi(3,5). Verifique se os vetores definidos pelas colunas
de M sa˜o combinac¸a˜o linear de V1, V2 e V3. Tente explicar o resultado.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
244 Espac¸os ℝ푛
(c) Verifique se V1, V2 e V3 sa˜o linearmente independentes. Se eles forem linearmente de-
pendentes, escreva um deles como combinac¸a˜o linear dos outros e verifique o resultado.
Exercı´cios Teo´ricos
3.3.6. Suponha que {푋1, 푋2, . . . , 푋푘}, com 푘 ≤ 푛, e´ um conjunto de vetores do ℝ푛 linearmente
independente. Mostre que se 퐴 e´ uma matriz 푛×푛 na˜o singular, enta˜o {퐴푋1, 퐴푋2, . . . , 퐴푋푘}
tambe´m e´ um conjunto linearmente independente.
3.3.7. Se os vetores na˜o nulos 푈 , 푉 e 푊 sa˜o L.D., enta˜o 푊 e´ uma combinac¸a˜o linear de 푈 e 푉 ?
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 4
Subespac¸os
4.1 Base e Dimensa˜o
Sejam 퐴 uma matriz 푚×푛 e핎 ⊆ ℝ푛 o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯.
Ja´ vimos na Proposic¸a˜o 1.7 na pa´gina 54 que o conjunto핎 satisfaz as seguintes propriedades:
(a) Se 푋 e 푌 pertencem a핎, enta˜o 푋 + 푌 tambe´m pertence a핎.
(b) Se 푋 pertence a핎, enta˜o 훼푋 tambe´m pertence a핎 para todo escalar 훼.
Revise como foi feita a demonstrac¸a˜o dos itens (a) e (b) acima na Proposic¸a˜o 1.7 na pa´gina 54.
Assim, se 푋 e 푌 sa˜o soluc¸o˜es de um sistema homogeˆneo, enta˜o 푋 + 푌 e 훼푋 tambe´m o sa˜o.
Portanto, combinac¸o˜es lineares de soluc¸o˜es de 퐴푋 = 0¯ sa˜o tambe´m soluc¸o˜es de 퐴푋 = 0¯.
245
246 Subespac¸os
O conjunto soluc¸a˜o de um sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ e´ chamado de espac¸o soluc¸a˜o do
sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯. Ele se comporta como se fosse um espac¸o, no sentido de que
fazendo soma de vetores do conjunto ou multiplicando vetores do conjunto por escalar na˜o saı´mos
dele.
Um subconjunto na˜o vazio de ℝ푛 que satisfaz as propriedades (a) e (b) acima e´ chamado de
subespac¸o de ℝ푛. Com relac¸a˜o as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar podemos “viver”
nele sem termos que sair. Assim o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ e´ um subespac¸o
de ℝ푛. Vale tambe´m a recı´proca, todo subespac¸o e´ o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema homogeˆneo
(Exercı´cio 4.1.18 na pa´gina 268).
Exemplo 4.1. Os exemplos mais triviais de subespac¸os de ℝ푛 sa˜o o subespac¸o formado somente
pelo vetor nulo,핎 = {0¯} e핎 = ℝ푛. Mas cuidado, o ℝ2 na˜o e´ subespac¸o de ℝ3, pois o ℝ2 (conjunto
de pares de nu´meros reais) na˜o e´ um subconjunto do ℝ3 (conjunto de ternos de nu´meros reais). O
plano핎 = {(푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3 ∣ 푧 = 0} e´ um subespac¸o de ℝ3 mas ele na˜o e´ o ℝ2.
Exemplo 4.2. Considere o sistema linear⎧⎨
⎩
푎1푥 + 푏1푦 + 푐1푧 = 0
푎2푥 + 푏2푦 + 푐2푧 = 0
푎3푥 + 푏3푦 + 푐3푧 = 0
Cada equac¸a˜o deste sistema e´ representada por um plano que passa pela origem. O conjunto soluc¸a˜o
e´ um subespac¸o de ℝ3 e e´ a intersec¸a˜o dos planos definidos pelas equac¸o˜es, podendo ser:
(a) Somente um ponto que e´ a origem.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 247
x y
z
푋1
푋2
푋1+푋2
Figura 4.1: Soma de vetores do plano 푎푥+
푏푦 + 푐푧 = 0
x y
z
푋
훼푋
Figura 4.2: Multiplicac¸a˜o de vetor por esca-
lar do plano 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
248 Subespac¸os
x y
z
푋1
푋2
푋1+푋2
Figura 4.3: Soma de vetores da reta
(푥, 푦, 푧) = (푎푡, 푏푡, 푐푡)
x y
z
푋
훼푋
Figura 4.4: Multiplicac¸a˜o de vetor por esca-
lar da reta (푥, 푦, 푧) = (푎푡, 푏푡, 푐푡)
Introduc¸a˜o
a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 249
(b) Uma reta que passa pela origem.
(c) Um plano que passa pela origem.
Vamos escrever toda soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ como uma combinac¸a˜o
linear de um nu´mero finito de vetores 푉1, . . . , 푉푘 que sa˜o tambe´m soluc¸a˜o do sistema.
Exemplo 4.3. Considere o sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 0 0 1−2 −2 1 −1 −1
1 1 −1 1 0
⎤
⎦ .
Escalonando a matriz aumentada do sistema acima, obtemos a matriz escalonada reduzida⎡
⎣ 1 1 0 0 1 00 0 1 −1 1 0
0 0 0 0 0 0
⎤
⎦ .
E assim a soluc¸a˜o geral do sistema pode ser escrita como
푥1 = −훼− 훾, 푥2 = 훾, 푥3 = −훼 + 훽, 푥4 = 훽 푥5 = 훼
para todos os valores de 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ, ou seja, o conjunto soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 0¯ e´
핎 = {(푥1, 푥2, 푥3, 푥4, 푥5) = (−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ} .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
250 Subespac¸os
Agora, um elemento qualquer de핎 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de vetores de핎:
(−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) = (−훼, 0,−훼, 0, 훼) + (0, 0, 훽, 훽, 0) + (−훾, 훾, 0, 0, 0)
= 훼(−1, 0,−1, 0, 1) + 훽(0, 0, 1, 1, 0) + 훾(−1, 1, 0, 0, 0)
Assim, todo vetor de핎 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1),
푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0) pertencentes a핎 (푉1 e´ obtido fazendo-se 훼 = 1 e 훽 = 훾 =
0, 푉2 fazendo-se 훼 = 훾 = 0 e 훽 = 1 e 푉3 fazendo-se 훼 = 훽 = 0 e 훾 = 1).
Neste caso dizemos que 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1), 푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0) geram
o subespac¸o핎. Em geral temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 4.1. Seja 핎 um subespac¸o de ℝ푛 (por exemplo, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear
homogeˆneo 퐴푋 = 0¯). Dizemos que os vetores 푉1, . . . , 푉푘 pertencentes a 핎, geram 핎 ou que
{푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de geradores de 핎, se qualquer vetor de 핎 e´ combinac¸a˜o linear de
푉1, . . . , 푉푘. Dizemos tambe´m que핎 e´ o subespac¸o gerado por 푉1, . . . , 푉푘.
Uma questa˜o importante e´ encontrar o maior nu´mero possı´vel de vetores linearmente indepen-
dentes em um subespac¸o. O resultado a seguir responde a esta questa˜o.
Teorema 4.1. Seja 핎 subespac¸o de ℝ푛 (por exemplo, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear ho-
mogeˆneo 퐴푋 = 0¯). Seja {푉1, . . . , 푉푚} um conjunto de vetores de핎
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 251
(a) linearmente independente (L.I.),
(b) que gera핎 (ou seja, todo vetor 푋 de핎 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚).
Enta˜o, um conjunto com mais de 푚 vetores em핎 e´ linearmente dependente (L.D.).
Demonstrac¸a˜o. Seja {푊1, . . . ,푊푝} um subconjunto de 핎, com 푝 > 푚. Vamos mostrar que
{푊1, . . . ,푊푝} e´ L.D. Vamos considerar a combinac¸a˜o linear nula de 푊1, . . . ,푊푝
푥1푊1 + 푥2푊2 + . . .+ 푥푝푊푝 = 0¯. (4.1)
Como qualquer elemento de핎 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚, em particular,
푊푗 = 푏1푗푉1 + 푏2푗푉2 + . . .+ 푏푚푗푉푚 =
푚∑
푖=1
푏푖푗푉푖 , para 푗 = 1, . . . , 푝 . (4.2)
Assim, substituindo (4.2) em (4.1) e agrupando os termos que conte´m 푉푖, para 푖 = 1, . . . ,푚, obtemos
(푏11푥1 + . . .+ 푏1푝푥푝)푉1 + . . .+ (푏푚1푥1 + . . .+ 푏푚푝푥푝)푉푚 = 0¯. (4.3)
Como {푉1, . . . , 푉푚} e´ L.I., enta˜o os escalares na equac¸a˜o (4.3) sa˜o iguais a zero. Isto leva ao sistema
linear
퐵푋 = 0¯,
em que퐵 = (푏푖푗)푚×푝. Mas, este e´ um sistema homogeˆneo que tem mais inco´gnitas do que equac¸o˜es,
portanto possui soluc¸a˜o na˜o trivial, (Teorema 1.6 na pa´gina 53), como querı´amos provar. ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
252 Subespac¸os
O resultado anterior mostra que se podemos escrever todo elemento do subespac¸o핎 como uma
combinac¸a˜o linear de vetores 푉1, . . . , 푉푚 L.I. pertencentes a 핎, enta˜o 푚 e´ o maior nu´mero possı´vel
de vetores L.I. em핎.
No Exemplo 4.3 os vetores 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1), 푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0)
geram핎. Ale´m disso de
훼(−1, 0,−1, 0, 1) + 훽(0, 0, 1, 1, 0) + 훾(−1, 1, 0, 0, 0) = (−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼)
segue-se que 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. (por que?)
Assim pelo Teorema 4.1 na˜o podemos obter um nu´mero maior de vetores em 핎 L.I. Neste caso
dizemos que {푉1, 푉2, 푉3} e´ uma base de핎. Em geral temos a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 4.2. Seja 핎 um subespac¸o de ℝ푛 (por exemplo, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear
homogeˆneo 퐴푋 = 0¯). Dizemos que um subconjunto {푉1, . . . , 푉푘} de핎 e´ uma base de핎, se
(a) {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de geradores de핎 (ou seja, todo vetor de핎 e´ combinac¸a˜o linear
de 푉1, . . . , 푉푘) e
(b) {푉1, . . . , 푉푘} e´ L.I.
Exemplo 4.4. Os vetores 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1) formam
uma base do ℝ푛. Pois, um vetor qualquer do ℝ푛 e´ da forma 푉 = (푎1, . . . , 푎푛) e pode ser escrito
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 253
como uma soma de vetores, sendo um vetor para cada paraˆmetro e cada vetor dependendo apenas
de um paraˆmetro, obtendo
푉 = (푎1, . . . , 푎푛) = (푎1, 0, . . . , 0) + (0, 푎2, 0, . . . , 0) + . . .+ (0, . . . , 0, 푎푛)
= 푎1(1, 0, . . . , 0) + 푎2(0, 1, 0, . . . , 0) + . . .+ 푎푛(0, . . . , 0, 1).
Assim, os vetores 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1) geram o ℝ푛.
Vimos no Exemplo 3.25 na pa´gina 236 que 퐸1, 퐸2, . . .퐸푛 sa˜o L.I. Esses vetores formam a chamada
base canoˆnica de ℝ푛. No caso do ℝ3, 퐸1 = 푖⃗, 퐸2 = 푗⃗ e 퐸3 = 푘⃗.
Exemplo 4.5. Seja 핎 = {(푥, 푦, 푧) = 푡(푎, 푏, 푐) ∣ 푡 ∈ ℝ} uma reta que passa pela origem. Como o
vetor diretor 푉 = (푎, 푏, 푐) e´ na˜o nulo e gera a reta, enta˜o {푉 } e´ uma base de핎.
Exemplo 4.6. Seja 핎 = {(푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3 ∣ 푎푥 + 푏푦 + 푐푧 = 0} um plano que passa pela origem.
Vamos supor que 푎 ∕= 0. Um ponto (푥, 푦, 푧) satisfaz a equac¸a˜o 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0 se, e somente se,
푧 = 훼, 푦 = 훽, 푥 = −1
푎
(푐훼 + 푏훽), para todos 훼, 훽 ∈ ℝ.
Assim, o plano 핎 pode ser descrito como 핎 = {(− 푐
푎
훼 − 푏
푎
훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽 ∈ ℝ}. Assim, todo vetor
de핎 pode ser escrito como uma soma de vetores, sendo um para cada paraˆmetro, obtendo
(− 푐
푎
훼− 푏
푎
훽, 훽, 훼) = (− 푐
푎
훼, 0, 훼) + (− 푏
푎
훽, 훽, 0) = 훼(− 푐
푎
, 0, 1) + 훽(− 푏
푎
, 1, 0).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
254 Subespac¸os
x y
z
푉2
푉1
Figura 4.5: 푉1 e 푉2 que formam uma base para
o plano
x y
z
푉 = (푎, 푏, 푐)
Figura 4.6: Vetor 푉 = (푎, 푏, 푐) que e´ base para
a reta (푥, 푦, 푧) = 푡(푎, 푏, 푐)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 255
Assim, todo vetor de핎 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1 = (− 푐푎 , 0, 1) e
푉2 = (− 푏푎 , 1, 0) pertencentes a 핎 (푉1 e´ obtido fazendo-se 훼 = 1 e 훽 = 0 e 푉2, fazendo-se 훼 = 0
e 훽 = 1). Portanto, 푉1 = (− 푐푎 , 0, 1) e 푉2 = (− 푏푎 , 1, 0) geram o plano 핎. Como 푉1 e 푉2 sa˜o L.I.,
pois um na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro, enta˜o {푉1, 푉2} e´ uma base do plano 핎. Deixamos como
exercı´cio para o leitor encontrar uma base de핎 para o caso em que 푏 ∕= 0 e tambe´m para o caso em
que 푐 ∕= 0.
Segue do Teorema 4.1 na pa´gina 250 que se핎 ∕= {0¯} e´ um subespac¸o, enta˜o qualquer base de
핎 tem o mesmo nu´mero de elementos e este e´ o maior nu´mero de vetores L.I. que podemos ter em
핎. O nu´mero de elementos de qualquer uma das bases de 핎 e´ chamado de dimensa˜o de 핎. Se
핎 = {0¯} dizemos que핎 tem dimensa˜o igual a 0.
Exemplo 4.7. A dimensa˜o do ℝ푛 e´ 푛, pois como foi mostrado no Exemplo 4.4 na pa´gina 252, 퐸1 =
(1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1) formam uma base do ℝ푛.
Exemplo 4.8. Pelo Exemplo 4.5 na pa´gina 253 uma reta que passa pela origem tem dimensa˜o 1 e
pelo Exemplo 4.6 na pa´gina 253 um plano que passa pela origem tem dimensa˜o 2.
Vamos mostrar a seguir que se a dimensa˜o de um subespac¸o 핎 e´ 푚 > 0, enta˜o basta conse-
guirmos 푚 vetores L.I. em핎, que teremos uma base.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
256 Subespac¸os
Teorema 4.2. Seja 핎 um subespac¸o de dimensa˜o 푚 > 0. Se 푚 vetores,
푉1, . . . , 푉푚 ∈핎, sa˜o L.I.,
enta˜o eles geram o subespac¸o핎 e portanto formam uma base de핎.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푉1, . . . , 푉푚 vetores L.I. e seja 푉 um vetor qualquer do subespac¸o핎. Vamos
mostrar que 푉 e´ combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚. Considere a equac¸a˜o vetorial
푥1푉1 + 푥2푉2 + . . .+ 푥푚푉푚 + 푥푚+1푉 = 0¯ (4.4)
Pelo Teorema 4.1 na pa´gina 250, 푉1, . . . , 푉푚, 푉 sa˜o L.D., pois sa˜o 푚 + 1 vetores em um subespac¸o
de dimensa˜o 푚. Enta˜o a equac¸a˜o (4.4) admite soluc¸a˜o na˜o trivial, ou seja, pelo menos um 푥푖 ∕= 0.
Mas, 푥푚+1 ∕= 0, pois caso contra´rio, 푉1, . . . , 푉푚 seriam L.D. Enta˜o, multiplicando-se a equac¸a˜o (4.4)
por 1/푥푚+1 e subtraindo (푥1/푥푚+1)푉1 + (푥2/푥푚+1)푉2 + . . .+ (푥푚/푥푚+1)푉푚, obtemos
푉 = −
(
푥1
푥푚+1
)
푉1 − . . .−
(
푥푚
푥푚+1
)
푉푚 .
■
Dos resultados anteriores, vemos que se a dimensa˜o de um subespac¸o,핎, e´ 푚 > 0, enta˜o basta
conseguirmos 푚 vetores L.I. em핎, que teremos uma base (Teorema 4.2) e na˜o podemos conseguir
mais do que 푚 vetores L.I. (Teorema 4.1 na pa´gina 250).
Exemplo 4.9. Do Teorema 4.2 segue-se que 푛 vetores L.I. do ℝ푛 formam uma base de ℝ푛. Por
exemplo, 3 vetores L.I. do ℝ3 formam uma base de ℝ3.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 257
Figura 4.7: O subespac¸o핎 do Exemplo 4.10
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
258 Subespac¸os
Figura 4.8: O subespac¸o 핍 do Exemplo 4.10
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 259
Figura 4.9: Os subespac¸os핎,핍 e 핍 ∩핎 do Exemplo 4.10
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
260 Subespac¸os
Exemplo 4.10. Sejam 핎 o plano 푥 + 푦 + 푧 = 0 e 핍 o plano 4푥 − 2푦 + 푧 = 0. Assim, o plano 핎
tem vetor normal 푁1 = (1, 1, 1) e o plano 핍 tem vetor normal 푁2 = (4,−2, 1). A intersec¸a˜o 핎 ∩ 핍
e´ a reta cujo vetor diretor e´ 푉 = 푁1 ×푁2 = (3, 3,−6) (revise o Exemplo 3.15 na pa´gina 213) e que
passa pela origem. Assim, a reta que e´ a intersec¸a˜o, 핍 ∩핎, tem equac¸a˜o (푥, 푦, 푧) = 푡(3, 3,−6),
para todo 푡 ∈ ℝ. Portanto, o vetor 푉 = (3, 3,−6) gera a intersec¸a˜o 핍 ∩핎. Como um vetor na˜o nulo
e´ L.I. o conjunto {푉 = (3, 3,−6)} e´ uma base da reta que e´ a intersec¸a˜o 핍 ∩핎.
Alternativamente, podemos encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta 핍 ∩핎, intersec¸a˜o dos
planos determinando a soluc¸a˜o geral do sistema (4.5)
핎 : 푥+ 푦 + 푧 = 0 ,
핍 : 4푥− 2푦 + 푧 = 0 . (4.5)
Para isto devemos escalonar a matriz do sistema (4.5):[
1 1 1 0
4 −2 1 0
]
Precisamos “zerar” o outro elemento da 1a. coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, adicionamos a`
2a. linha, −4 vezes a 1a. linha.
−4∗1a. linha + 2a. linha −→ 2a. linha
[
1 1 1 0
0 −6 −3 0
]
Agora, ja´ podemos obter facilmente a soluc¸a˜o geral do sistema dado, ja´ que ele e´ equivalente ao
sistema {
푥 + 푦 + 푧 = 0
−6푦 − 3푧 = 0
A varia´vel 푧 e´ uma varia´vel livre. Podemos dar a ela um valor arbitra´rio, digamos 푡, para 푡 ∈ ℝ
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 261
qualquer. Assim, a soluc¸a˜o geral do sistema (4.5) e´⎧⎨
⎩
푥 = −1
2
푡
푦 = −1
2
푡
푧 = 푡
para todo 푡 ∈ ℝ.
A reta que e´ a intersec¸a˜o, 핍∩핎, tem equac¸a˜o (푥, 푦, 푧) = 푡(−1/2,−1/2, 1), para todo 푡 ∈ ℝ (revise
o Exemplo 3.15 na pa´gina 213). Portanto, o vetor 푉 = (−1/2,−1/2, 1) gera a intersec¸a˜o 핍 ∩핎.
Como um vetor na˜o nulo e´ L.I. o conjunto {푉 = (−1/2,−1/2, 1)} e´ uma base do subespac¸o que e´ a
reta intersec¸a˜o de 핍 com핎.
Observac¸a˜o. Como no exemplo anterior, em geral, o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear ho-
mogeˆneo pode ser visto como uma intersec¸a˜o de subespac¸os que sa˜o as soluc¸o˜es de sistemas
formados por subconjuntos de equac¸o˜es do sistema inicial.
Exemplo 4.11. Considere o subespac¸o핎 = {(푎+ 푐, 푏+ 푐, 푎+ 푏+ 2푐) ∣ 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ} de ℝ3. Vamos
encontrar um conjunto de geradores e uma base para핎.
Qualquer elemento 푉 de 핎 pode ser escrito como uma soma de vetores, sendo um vetor para
cada paraˆmetro e cada vetor dependendo apenas de um paraˆmetro, obtendo
푉 = (푎+ 푐, 푏+ 푐, 푎+ 푏+ 2푐) = (푎, 0, 푎) + (0, 푏, 푏) + (푐, 푐, 2푐)
= 푎(1, 0, 1) + 푏(0, 1, 1) + 푐(1, 1, 2).
Logo, definindo 푉1 = (1, 0, 1), 푉2 = (0, 1, 1) e 푉3 = (1, 1, 2), temos que {푉1, 푉2, 푉3} gera 핎. Para
sabermos se {푉1, 푉2, 푉3} e´ base de 핎, precisamos verificar se 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. Para isto temos
que saber se a equac¸a˜o vetorial
푥푉1 + 푦푉2 + 푧푉3 = 0¯ (4.6)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
262 Subespac¸os
ou equivalentemente,
퐴푋 = 0¯, em que 퐴 = [ 푉1 푉2 푉3 ]
so´ possui a soluc¸a˜o trivial. Escalonando a matriz 퐴, obtemos
푅 =
⎡
⎣ 1 0 10 1 1
0 0 0
⎤
⎦ .
Logo 4.6 tem soluc¸a˜o na˜o trivial. Assim os vetores 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.D. A soluc¸a˜o de (4.6) e´ dada por
푥 = −훼, 푦 = −훼 e 푧 = 훼, para todo 훼 ∈ ℝ. Substituindo-se esta soluc¸a˜o em (4.6) obtemos
−훼푉1 − 훼푉2 + 훼푉3 = 0¯
Tomando-se 훼 = 1 obtemos 푉3 = 푉2 + 푉1. Assim o vetor 푉3 pode ser descartado na gerac¸a˜o de
핎, pois ele e´ combinac¸a˜o linear dos outros dois. Logo, apenas 푉1 e 푉2 sa˜o suficientes para gerar핎.
Como ale´m disso, os vetores 푉1 e 푉2 sa˜o tais que um na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro, enta˜o eles sa˜o
L.I. e portanto {푉1, 푉2} e´ uma base de 핎. Observe que a mesma relac¸a˜o que vale entre as colunas
de 푅 vale entre as colunas de 퐴 (por que?).
Exemplo 4.12. Considere os vetores 푉1 = (−1, 1, 0,−3) e 푉2 = (−3, 3, 2,−1) linearmente inde-
pendentes de ℝ4. Vamos encontrar vetores 푉3 e 푉4 tais que {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} formam uma base de ℝ4.
Escalonando a matriz cujas linhas sa˜o os vetores 푉1 e 푉2,
퐴 =
[ −1 1 0 −3
−3 3 2 −1
]
, obtemos 푅 =
[
1 −1 0 3
0 0 1 4
]
Vamos inserir linhas que sa˜o vetores da base canoˆnica na matriz 푅 ate´ conseguir uma matriz 4 × 4
triangular superior com os elementos da diagonal diferentes de zero. Neste caso acrescentando as
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 263
linhas 푉3 = [ 0 1 0 0 ] e 푉4 = [ 0 0 0 1 ] em posic¸o˜es adequadas obtemos a matriz
푅¯ =
⎡
⎢⎢⎣
1 −1 0 3
0 1 0 0
0 0 1 4
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦
Vamos verificar que 푉1, 푉2, 푉3 e 푉4 sa˜o L.I.
푥1푉1 + 푥2푉2 + 푥3푉3 + 푥4푉4 = 0¯
e´ equivalente ao sistema linear
퐶푋 = 0¯, em que 퐶 = [ 푉1 푉2 푉3 푉4 ].
Mas como det(푅¯) ∕= 0, enta˜o det(퐶) ∕= 0, pelo Teorema 2.13 na pa´gina 117, pois 푅¯ pode ser obtida
de 퐶푡 aplicando-se operac¸o˜es elementares. Logo {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} e´ L.I. Como a dimensa˜o do ℝ4 e´
igual a 4 , enta˜o pelo Teorema 4.2 na pa´gina 256, {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} e´ uma base de ℝ4.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
264 Subespac¸os
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 559)
4.1.1. Encontre um conjunto de geradores para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯,
em que
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 1 0 1 01 2 3 1
2 1 3 1
⎤
⎦ ; (b) 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2
⎤
⎦ .
4.1.2. Encontre os valores de 휆 tais que o sistema homogeˆneo (퐴 − 휆퐼푛)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o
trivial e para estes valores de 휆, encontre uma base para o espac¸o soluc¸a˜o, para as matrizes 퐴
dadas:
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 0 0 11 0 −3
0 1 3
⎤
⎦;
(b) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
2 2 3 4
0 2 3 2
0 0 1 1
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦;
(c) 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 −2−1 2 1
0 1 −1
⎤
⎦;
(d) 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
−1 2 2 0
−1 2 1 0
−1 1 2 0
0 0 0 1
⎤
⎥⎥⎦.
(e) 퐴 =
⎡
⎣ 2 3 00 1 0
0 0 2
⎤
⎦;
(f) 퐴 =
⎡
⎣ 2 3 00 2 0
0 0 2
⎤
⎦;
4.1.3. Determine uma base para a reta intersec¸a˜o dos planos 푥− 7푦 + 5푧 = 0 e 3푥− 푦 + 푧 = 0.
4.1.4. Sejam 푉1 = (4, 2,−3), 푉2 = (2, 1,−2) e 푉3 = (−2,−1, 0).
(a) Mostre que 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.D.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 265
(b) Mostre que 푉1 e 푉2 sa˜o L.I.
(c) Qual a dimensa˜o do subespac¸o gerado por 푉1, 푉2 e 푉3, ou seja, do conjunto das
combinac¸o˜es lineares de 푉1, 푉2 e 푉3.
(d) Descreva geometricamente o subespac¸o gerado por 푉1, 푉2 e 푉3
4.1.5. Dados 푉1 = (2, 1, 3) e 푉2 = (2, 6, 4):
(a) Os vetores 푉1 e 푉2 geram o ℝ3? Justifique.
(b) Seja 푉3 um terceiro vetor do
ℝ3. Quais as condic¸o˜es sobre 푉3, para que {푉1, 푉2, 푉3} seja
uma base de ℝ3?
(c) Encontre um vetor 푉3 que complete junto com 푉1 e 푉2 uma base do ℝ3.
4.1.6. Seja 핎 o plano 푥 + 2푦 + 4푧 = 0. Obtenha uma base {푉1, 푉2, 푉3} de ℝ3 tal que 푉1 e 푉2
pertenc¸am a핎.
4.1.7. Considere os seguintes subespac¸os de ℝ3:
핍 = [(−1, 2, 3), (1, 3, 4)] e 핎 = [(1, 2,−1), (0, 1, 1)].
Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta 핍 ∩핎 e uma base para o subespac¸o 핍 ∩핎.
A notac¸a˜o [푉1, 푉2] significa o subespac¸o gerado por 푉1 e 푉2, ou seja, o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares de 푉1 e 푉2.
4.1.8. Seja 핍 = {(3푎+ 4푏− 4푐, 2푎− 4푏− 6푐,−2푎− 4푏+ 2푐) ∣ 푎, 푏, 푐 ∈ ℝ} um subespac¸o de ℝ3.
(a) Determine um conjunto de geradores para 핍.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
266 Subespac¸os
(b) Determine uma base para 핍.
4.1.9. Dados 푉1 = (−3, 5, 2, 1) e 푉2 = (1,−2,−1, 2):
(a) Os vetores 푉1 e 푉2 geram o ℝ4? Justifique.
(b) Sejam 푉3 e 푉4 vetores do ℝ4. Quais as condic¸o˜es sobre 푉3 e 푉4 para que {푉1, 푉2, 푉3, 푉4}
seja uma base de ℝ4?
(c) Encontre vetores 푉3 e 푉4 que complete junto com 푉1 e 푉2 uma base do ℝ4.
4.1.10. Deˆ exemplo de:
(a) Treˆs vetores: 푉1, 푉2 e 푉3, sendo {푉1} L.I., {푉2, 푉3} L.I., 푉2 e 푉3 na˜o sa˜o mu´ltiplos de 푉1 e
{푉1, 푉2, 푉3} L.D.
(b) Quatro vetores: 푉1, 푉2, 푉3 e 푉4, sendo {푉1, 푉2} L.I., {푉3, 푉4} L.I., 푉3 e 푉4 na˜o sa˜o
combinac¸a˜o linear de 푉1 e 푉2 e {푉1, 푉2, 푉3, 푉4} L.D.
Exercı´cio usando o MATLABⓇ
4.1.11. Defina a matriz aleato´ria A=triu(randi(4,4,3)). Encontre os valores de 휆 tais que o sistema
homogeˆneo (퐴 − 휆퐼4)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial e para estes valores de 휆, encontre uma
base para o espac¸o soluc¸a˜o.
Exercı´cios Teo´ricos
4.1.12. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛. Mostre que se o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear 퐴푋 = 퐵 e´ um
subespac¸o, enta˜o 퐵 = 0¯, ou seja, o sistema linear e´ homogeˆneo. (Sugesta˜o: se 푋 e´ soluc¸a˜o
de 퐴푋 = 퐵, enta˜o 푌 = 0푋 tambe´m o e´.)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 267
4.1.13. Determine uma base para o plano 푎푥 + 푏푦 + 푐푧 = 0 no caso em que 푏 ∕= 0 e no caso em que
푐 ∕= 0.
4.1.14. Sejam 푉 e 푊 vetores do ℝ푛. Mostre que o conjunto dos vetores da forma 훼푉 + 훽푊 e´ um
subespac¸o do ℝ푛.
4.1.15. Mostre que se uma reta emℝ2 ou emℝ3 na˜o passa pela origem, enta˜o ela na˜o e´ um subespac¸o.
(Sugesta˜o: se ela fosse um subespac¸o, enta˜o ...)
−2 −1 0 1 2 3 4
−1
0
1
2
3
4
5
x
y
4.1.16. Sejam 퐴 uma matriz 푚× 푛 e 퐵 uma matriz 푚× 1. Mostre que o conjunto dos vetores 퐵 para
os quais o sistema 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o e´ um subespac¸o de ℝ푚. Ou seja, mostre que o
conjunto
ℐ(퐴) = {퐵 ∈ ℝ푚 ∣퐵 = 퐴푋, para algum 푋 ∈ ℝ푛}
e´ um subespac¸o de ℝ푚.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
268 Subespac¸os
4.1.17. Sejam핎1 e핎2 dois subespac¸os.
(a) Mostre que핎1 ∩핎2 e´ um subespac¸o.
(b) Mostre que핎1 ∪핎2 e´ um subespac¸o se, e somente se,핎1 ⊆핎2 ou핎2 ⊆핎1.
(c) Definimos a soma dos subespac¸os핎1 e핎2 por
핎1 +핎2 = {푉1 + 푉2 ∣ 푉1 ∈핎1 e 푉2 ∈핎2}.
Mostre que핎1 +핎2 e´ um subespac¸o que conte´m핎1 e핎2.
4.1.18. Sejam 핎 um subespac¸o de ℝ푛 e {푊1, . . . ,푊푘} uma base de 핎. Defina a matriz 퐵 =
[ 푊1 . . .푊푘 ]
푡
, com 푊1, . . . ,푊푘 escritos como matrizes colunas. Sejam 핎⊥ o espac¸o
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐵푋 = 0¯ e {푉1, . . . , 푉푝} uma base de 핎⊥. Defina a ma-
triz 퐴 = [ 푉1 . . . 푉푝 ]푡, com 푉1, . . . , 푉푝 escritos como matrizes colunas. Mostre que 핎 e´ o
espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, ou seja,
핎 = {푋 ∈ ℝ푝 ∣ 퐴푋 = 0¯}.
4.1.19. Sejam 퐴 uma matriz 푚×푛 e 퐵 uma matriz 푚×1. Seja 푋0 uma soluc¸a˜o (particular) do sistema
linear 퐴푋 = 퐵. Mostre que se {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema
homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, enta˜o toda soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵 pode ser escrita na forma
푋 = 푋0 + 훼1푉1 + . . .+ 훼푘푉푘,
em que 훼1, . . . , 훼푘 sa˜o escalares. (Sugesta˜o: use o Exercı´cio 1.2.21 na pa´gina 73)
4.1.20. Mostre que a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelas linhas de uma matriz escalonada reduzida
e´ igual a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelas suas colunas.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 269
4.1.21. Mostre que a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelas linhas de uma matriz e´ igual a dimensa˜o
do subespac¸o gerado pelas suas colunas. (Sugesta˜o: Considere a forma escalonada reduzida
da matriz 퐴 e use o exercı´cio anterior.)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
270 Subespac¸os
Apeˆndice III: Outros Resultados
Teorema 4.3. Um subconjunto {푉1, 푉2, . . . , 푉푚} de um subespac¸o 핎 e´ uma base para 핎 se, e
somente se, todo vetor푋 de핎 e´ escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear de 푉1, 푉2, . . . , 푉푚.
Demonstrac¸a˜o. Em primeiro lugar, suponha que todo vetor 푋 de 핎 e´ escrito de maneira u´nica
como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚. Vamos mostrar que {푉1, 푉2, . . . , 푉푚} e´ uma base de 핎.
Como todo vetor e´ escrito como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚, basta mostrarmos que 푉1, . . . , 푉푚
sa˜o L.I. Considere a equac¸a˜o
푥1푉1 + . . .+ 푥푚푉푚 = 0¯.
Como todo vetor e´ escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚, em particular
temos que para 푋 = 0¯,
푥1푉1 + . . .+ 푥푚푉푚 = 0¯ = 0푉1 + . . .+ 0푉푚,
o que implica que 푥1 = 0, . . . , 푥푚 = 0, ou seja, 푉1, . . . , 푉푚 sa˜o linearmente independentes. Portanto,
{푉1, 푉2, . . . , 푉푚} e´ base de핎.
Suponha, agora, que {푉1, 푉2, . . . , 푉푚} e´ base de핎. Seja 푋 um vetor qualquer de핎. Se
푥1푉1 + . . .+ 푥푚푉푚 = 푋 = 푦1푉1 + . . .+ 푦푚푉푚,
enta˜o
(푥1 − 푦1)푉1 + . . .+ (푥푚 − 푦푚)푉푚 = 0¯.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 271
Como 푉1, . . . , 푉푚 formam uma base de핎, enta˜o eles sa˜o L.I., o que implica que 푥1 = 푦1, . . . , 푥푚 =
푦푚. Portanto, todo vetor 푋 de 핎 e´ escrito de maneira u´nica como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푚.
■
Teorema 4.4. Se 풮 = {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de vetores que gera um subespac¸o 핎, ou seja,
핎 = [풮] = [푉1, . . . , 푉푘], enta˜o existe um subconjunto de 풮 que e´ base de핎.
Demonstrac¸a˜o. Se 풮 e´ L.I., enta˜o 풮 e´ uma base de 핎. Caso contra´rio, 풮 e´ L.D. e pelo Teorema
3.11 na pa´gina 240, um dos vetores de 풮 e´ combinac¸a˜o linear dos outros. Assim, o subconjunto de
풮 obtido retirando-se este vetor continua gerando 핎. Se esse subconjunto for L.I., temos uma base
para핎, caso contra´rio, continuamos retirando vetores do subconjunto ate´ obtermos um subconjunto
L.I. e aı´ neste caso temos uma base para핎. ■
Vamos mostrar que se a dimensa˜o de um subespac¸o 핎 e´ 푚, enta˜o 푚 vetores que geram o
subespac¸o, 핎, formam uma base (Corola´rio 4.5) e que na˜o podemos ter menos que 푚 vetores
gerando o subespac¸o (Corola´rio 4.6).
Sa˜o simples as demonstrac¸o˜es dos seguintes corola´rios, as quais deixamos como exercı´cio.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
272 Subespac¸os
Corola´rio 4.5. Em um subespac¸o, 핎, de dimensa˜o 푚 > 0, 푚 vetores que geram o subespac¸o, sa˜o
L.I. e portanto formam uma base.
Corola´rio 4.6. Em um subespac¸o, 핎, de dimensa˜o 푚 > 0, um conjunto com menos de 푚 vetores
na˜o gera o subespac¸o.
Teorema 4.7. Se ℛ = {푉1, . . . , 푉푘} e´ um conjunto de vetores L.I. em um subespac¸o 핎 de ℝ푛,
enta˜o o conjunto ℛ pode ser completado ate´ formar uma base de 핎, ou seja, existe um conjunto
풮 = {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1 . . . , 푉푚} (ℛ ⊆ 풮), que e´ uma base de핎.
Demonstrac¸a˜o. Se {푉1, . . . , 푉푘} gera핎, enta˜o {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base de핎. Caso contra´rio, seja
푉푘+1 um vetor que pertence a 핎, mas na˜o pertence ao subespac¸o gerado por {푉1, . . . , 푉푘}. Enta˜o,
o conjunto {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1} e´ L.I., pois caso contra´rio 푥1푉1 + . . . + 푥푘+1푉푘+1 = 0¯, implicaria que
푥푘+1 ∕= 0 (por que?) e assim, 푉푘+1 seria combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푘, ou seja, 푉푘+1 pertenceria
ao subespac¸o 핎푘. Se {푉1, . . . , 푉푘+1} gera 핎, enta˜o {푉1, . . . , 푉푘+1} e´ uma base de 핎. Caso
contra´rio, o mesmo argumento e´ repetido para o subespac¸o gerado por {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1}.
Pelo Corola´rio 3.10 na pa´gina 238 este processo tem que parar, ou seja, existe um inteiro positivo
푚 ≤ 푛 tal que {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚} e´ L.I., mas {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚, 푉 } e´ L.D. para
qualquer vetor 푉 de핎. O que implica que 푉 e´ combinac¸a˜o linear de {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚} (por
que?). Portanto, {푉1, . . . , 푉푘, 푉푘+1, . . . , 푉푚} e´ uma base de핎. ■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 273
Corola´rio 4.8. Todo subespac¸o de ℝ푛 diferente do subespac¸o trivial {0¯} tem uma base e a sua
dimensa˜o e´ menor ou igual a 푛.
Os pro´ximos resultados sa˜o aplicac¸o˜es a`s matrizes.
Proposic¸a˜o 4.9. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푚×푛 equivalentes por linhas. Sejam 퐴1, . . . , 퐴푛 as colunas
1, . . . , 푛, respectivamente, da matriz 퐴 e 퐵1, . . . , 퐵푛 as colunas 1, . . . , 푛, respectivamente, da matriz
퐵.
(a) 퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 sa˜o L.I. se, e somente se, 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘 tambe´m o sa˜o.
(b) Se existem escalares 훼푗1 , . . . , 훼푗푘 tais que
퐴푘 = 훼푗1퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐴푗푘 ,
enta˜o
퐵푘 = 훼푗1퐵푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐵푗푘 ,
(c) O subespac¸o gerado pelas linhas de 퐴 e´ igual ao subespac¸o gerado pelas linhas de 퐵.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
274 Subespac¸os
Demonstrac¸a˜o. Se 퐵 e´ equivalente por linhas a 퐴, enta˜o 퐵 pode ser obtida de 퐴 aplicando-se uma
sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares. Aplicar uma operac¸a˜o elementar a uma matriz corresponde
a multiplicar a matriz a` esquerda por uma matriz invertı´vel (Teorema 1.8 na pa´gina 59). Seja 푀 o
produto das matrizes invertı´veis correspondentes a`s operac¸o˜es elementares aplicadas na matriz 퐴
para se obter a matriz 퐵. Enta˜o 푀 e´ invertı´vel e 퐵 = 푀퐴.
(a) Vamos supor que 퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 sa˜o L.I. e vamos mostrar que 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘 tambe´m o sa˜o. Se
푥푗1퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푗푘퐴푗푘 = 0¯,
enta˜o multiplicando-se a` esquerda pela matriz 푀 obtemos
푥푗1푀퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푗푘푀퐴푗푘 = 0¯.
Como 푀퐴푗 = 퐵푗 , para 푗 = 1, . . . , 푛 (Exercı´cio 1.1.18 (a) na pa´gina 28), enta˜o
푥푗1퐵푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푗푘퐵푗푘 = 0¯.
Assim, se 퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 sa˜o L.I., enta˜o 푥푗1 = . . . = 푥푗푘 = 0. O que implica que 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘
tambe´m sa˜o L.I.
Trocando-se 퐵 por 퐴 o argumento acima mostra que se 퐴푗1 , . . . , 퐴푗푘 sa˜o L.I., enta˜o
퐵푗1 , . . . , 퐵푗푘 tambe´m o sa˜o.
(b) Sejam 훼푗1 , . . . , 훼푗푘 escalares tais que
퐴푘 = 훼푗1퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐴푗푘 ,
enta˜o multiplicando-se a` esquerda pela matriz 푀 obtemos
푀퐴푘 = 훼푗1푀퐴푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘푀퐴푗푘 .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 275
Como 푀퐴푗 = 퐵푗 , para 푗 = 1, . . . , 푛 (Exercı´cio 1.1.18 (a) na pa´gina 28), enta˜o
퐵푘 = 훼푗1퐵푗1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 훼푗푘퐵푗푘 .
(c) A matriz 퐵 e´ obtida de 퐴 aplicando-se uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares a`s linhas de
퐴. Assim, toda linha de 퐵 e´ uma combinac¸a˜o linear das linhas de 퐴. Logo, o espac¸o gerado
pelas linhas de 퐵 esta´ contido no espac¸o gerado pelas linhas de 퐴. Como toda operac¸a˜o
elementar tem uma operac¸a˜o elementar inversa, o argumento anterior tambe´m mostra que o
espac¸o gerado pelas linhas de 퐴 esta´ contido no espac¸o gerado pelas linhas de 퐵. Portanto,
eles sa˜o iguais.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
276 Subespac¸os
Somente agora podemos provar a unicidade da forma escalonada reduzida.
Teorema 4.10. Se 푅 = (푟푖푗)푚×푛 e 푆 = (푠푖푗)푚×푛 sa˜o matrizes escalonadas reduzidas equivalentes
por linhas a uma matriz 퐴 = (푎푖푗)푚×푛, enta˜o 푅 = 푆.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푆 e 푅 matrizes escalonadas reduzidas equivalentes a 퐴. Sejam 푅1, . . . , 푅푛
as colunas de 푅 e 푆1, . . . , 푆푛 as colunas de 푆. Seja 푟 o nu´mero de linhas na˜o nulas de 푅. Sejam
푗1, . . . , 푗푟 as colunas onde ocorrem os pivoˆs das linhas 1, . . . , 푟, respectivamente, da matriz 푅. Enta˜o
푅 e 푆 sa˜o equivalentes por linha, ou seja, existe uma sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares que po-
demos aplicar em 푅 para chegar a 푆 e uma outra sequ¨eˆncia de operac¸o˜es elementares que podemos
aplicar a 푆 e chegar a 푅.
Assim, como as colunas 1, . . . , 푗1− 1 de 푅 sa˜o nulas o mesmo vale para as colunas 1, . . . , 푗1− 1
de 푆. Logo o pivoˆ da 1a. linha de 푆 ocorre numa coluna maior ou igual a 푗1. Trocando-se 푅 por 푆 e
usando este argumento chegamos a conclusa˜o que 푅푗1 = 푆푗1 e assim 푅1 = 푆1, . . . , 푅푗1 = 푆푗1 .
Vamos supor que 푅1 = 푆1, . . . , 푅푗푘 = 푆푗푘 e vamos mostrar que
푅푗푘+1 = 푆푗푘+1, . . . , 푅푗푘+1 = 푆푗푘+1 , se 푘 < 푟 ou
푅푗푟+1 = 푆푗푟+1, . . . , 푅푛 = 푆푛, se 푘 = 푟.
Observe que para 푗 = 푗푘 +1, . . . , 푗푘+1− 1, se 푘 < 푟, ou para 푗 = 푗푟 +1, . . . , 푛, se 푘 = 푟, temos
que
푅푗 = (푟1푗, . . . , 푟푘푗, 0, . . . , 0) = 푟1푗푅푗1 + . . .+ 푟푘푗푅푗푘 ,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.1 Base e Dimensa˜o 277
o que implica pela Proposic¸a˜o 4.9 (b) na pa´gina 273 que
푆푗 = 푟1푗푆푗1 + . . .+ 푟푘푗푆푗푘 .
Mas por hipo´tese 푅푗1 = 푆푗1 , . . . , 푅푗푘 = 푆푗푘 , enta˜o,
푆푗 = 푟1푗푅푗1 + . . .+ 푟푘푗푅푗푘 = 푅푗,
para 푗 = 푗푘 + 1, . . . , 푗푘+1 − 1, se 푘 < 푟 ou para 푗 = 푗푟 + 1, . . . , 푛, se 푘 = 푟.
Logo, se 푘 < 푟, o pivoˆ da (푘 + 1)-e´sima linha de 푆 ocorre numa coluna maior ou igual a 푗푘+1.
Trocando-se 푅 por 푆 e usando o argumento anterior chegamos a conclusa˜o que 푅푗푘+1 = 푆푗푘+1 e
assim 푅1 = 푆1, . . . , 푅푗푟 = 푆푗푟 . E se 푘 = 푟, enta˜o 푅1 = 푆1, . . . , 푅푛 = 푆푛.
Portanto 푅 = 푆. ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
278 Subespac¸os
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna
Definic¸a˜o 4.3. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛.
(a) O subespac¸o de ℝ푛 gerado pelas linhas de 퐴 e´ chamado espac¸o linha de 퐴, ou seja, o
conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares das linhas de 퐴.
(b) O subespac¸o de ℝ푚 gerado pelas colunas de 퐴 e´ chamado espac¸o coluna de 퐴, ou seja, o
conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares das colunas de 퐴.
Os espac¸os linha e coluna de uma matriz sa˜o diferentes, em geral, mesmo se a matriz e´ quadrada,
como mostra o pro´ximo exemplo.
Exemplo 4.13. Considere a matriz
퐴 =
[
1 1
0 0
]
.
O espac¸o linha de 퐴 e´ o subespac¸o gerado pelo vetor (1, 1), enquanto o espac¸o coluna de 퐴 e´ o
subespac¸o gerado pelo vetor (1, 0).
Apesar dos espac¸os linha e coluna de uma matriz serem diferentes, em geral, eles possuem
sempre a mesma dimensa˜o.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 279
Teorema 4.11. Seja 퐴 uma matriz 푚×푛. O espac¸o linha e o espac¸o coluna de 퐴 possuem a mesma
dimensa˜o.
Demonstrac¸a˜o. Seja 푅 uma matriz escalonada reduzida equivalente a matriz 퐴.
(a) Pela Proposic¸a˜o 4.9 (c) na pa´gina 273 os espac¸os linha de 퐴 e de 푅 sa˜o iguais.
(b) Pela Proposic¸a˜o 4.9 (a) na pa´gina 273 as colunas 푗1, . . . , 푗푘 da matriz 푅 sa˜o L.I. se, somente
se, as colunas 푗1, . . . , 푗푘 da matriz 퐴 tambe´m o sa˜o.
Pelo item (a) a dimensa˜o do espac¸o linha de 퐴 e´ igual a dimensa˜o do espac¸o linha de 푅 e pelo item
(b) a dimensa˜o do espac¸o coluna de 퐴 e´ igual a dimensa˜o do espac¸o coluna de 푅. Portanto, basta
provarmos o teorema para a matriz escalonada reduzida 푅. Agora, a dimensa˜o do espac¸o linha de
푅 e´ igual ao nu´mero de linhas na˜o nulas, pois estas sa˜o linearmente independentes (verifique!). A
dimensa˜o do espac¸o coluna de 푅 e´ igual ao nu´mero de pivoˆs, pois as outras colunas sa˜o combinac¸a˜o
linear das colunas dos pivoˆs e podem, portanto, ser descartadas para gerar o espac¸o coluna de 푅.
Portanto, a dimensa˜o dos dois espac¸os sa˜o iguais. ■
4.2.1 Posto e Nulidade
Definic¸a˜o 4.4. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛.
(a) O posto de 퐴 e´ a dimensa˜o do espac¸o linha ou do espac¸o coluna de 퐴, ou seja, e´ o nu´mero
ma´ximo de linhas e colunas L.I. da matriz 퐴.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
280 Subespac¸os
(b) A nulidade de 퐴 e´ a dimensa˜o do espac¸o soluc¸a˜o de 퐴푋 = 0¯.
Exemplo 4.14. Considere a matriz 퐴 =
⎡
⎣ 1 2 −1 12 4 −3 0
1 2 1 5
⎤
⎦
.
A forma escalonada reduzida da matriz 퐴 e´ a matriz 푅 =
⎡
⎣ 1 2 0 30 0 1 2
0 0 0 0
⎤
⎦
. As linhas na˜o nulas de
푅, 푉1 = (1, 2, 0, 3) e 푉2 = (0, 0, 1, 2), formam uma
base para o espac¸o linha de 퐴. Portanto, o posto
de 퐴 e´ igual a 2.
Quanto ao espac¸o coluna, sejam 푊1, 푊2, 푊3 e 푊4 as colunas de 퐴. Sejam 푈1, 푈2, 푈3 e 푈4
as colunas de 푅. As colunas sem pivoˆs podem ser descartadas na gerac¸a˜o do espac¸o coluna de 푅,
pois elas sa˜o combinac¸a˜o linear das colunas dos pivoˆs. As colunas correspondentes de 퐴 podem,
tambe´m, ser descartadas na gerac¸a˜o do espac¸o coluna de 퐴, pois os mesmos escalares que fazem
a combinac¸a˜o linear nula de 푊1,푊2,푊3 e 푊4, fazem a combinac¸a˜o linear nula de 푈1, 푈2, 푈3 e 푈4.
Assim, 푊1 = (1, 2, 1) e 푊3 = (−1,−3, 1) formam uma base para o espac¸o coluna de 퐴.
Vamos apresentar a seguir uma outra forma de calcular o posto de uma matriz. Uma submatriz de
uma matriz 퐴 e´ a pro´pria matriz 퐴 ou qualquer matriz obtida de 퐴 retirando-se linha(s) e/ou coluna(s).
Teorema 4.12. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛.
(a) O posto de 퐴 e´ igual a 푝 = min{푚,푛} se, e somente se, o determinante de uma submatriz
푝× 푝 e´ diferente de zero.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 281
(b) O posto de 퐴 e´ igual ao maior inteiro positivo 푟 tal que alguma submatriz 푟 × 푟 de 퐴 possui
determinante na˜o nulo.
Demonstrac¸a˜o. (a) Podemos supor que 푚 ≤ 푛, ja´ que o posto de 퐴 e´ igual ao posto de 퐴푡.
Neste caso, 푝 = 푚 e o posto de 퐴 e´ 푚 se, e somente se, existem 푚 colunas linearmente
independentes. Mas existem 푚 colunas linearmente independentes se, e somente se, existe
uma submatriz 푚 ×푚 cujas colunas sa˜o linearmente independentes, ou seja, com o seu de-
terminante diferente de zero.
(b) Se as colunas de 퐴 sa˜o L.I., enta˜o posto(퐴) = min{푚,푛} e o resultado decorre do item
anterior. Caso contra´rio, existe uma coluna de 퐴 que e´ combinac¸a˜o linear das outras e o posto
de 퐴 e´ igual ao posto da submatriz obtida de 퐴 retirando-se esta coluna. Este processo pode
ser continuado ate´ se obter uma submatriz cujas colunas sa˜o linearmente independentes e cujo
posto e´ igual ao de 퐴. O posto desta submatriz e´ igual ao mı´nimo entre o seu nu´mero de linhas
e o seu nu´mero de colunas e e´ tambe´m igual ao posto de 퐴. Aplicando-se o item anterior a
esta submatriz obtemos o resultado.
■
Exemplo 4.15. Considere a seguinte matriz 퐴 =
[
푎 3 푎
3 푎 −푎
]
. Se det
[
푎 3
3 푎
]
= 푎2 − 9 =
(푎 − 3)(푎 + 3) = 0, det
[
푎 푎
3 −푎
]
= −푎2 − 3푎 = −푎(푎 + 3) = 0 e det
[
3 푎
푎 −푎
]
= 푎2 + 3푎 =
푎(푎+ 3) = 0, enta˜o o posto de 퐴 e´ igual a 1. Assim, posto(퐴) = 1 se, e somente se, 푎 = −3. Caso
contra´rio, o posto de 퐴 e´ igual a 2.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
282 Subespac¸os
4.2.2 Aplicac¸a˜o a Sistemas Lineares
Os conceitos de espac¸o linha e espac¸o coluna sa˜o u´teis no estudo de sistemas lineares. O sistema
퐴푋 = 퐵 e´ equivalente a equac¸a˜o
푥1
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11
푎21
.
.
.
푎푚1
⎤
⎥⎥⎥⎦+ 푥2
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎12
푎22
.
.
.
푎푚2
⎤
⎥⎥⎥⎦+ . . .+ 푥푛
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎1푛
푎2푛
.
.
.
푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푏1
푏2
.
.
.
푏푚
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Assim, o sistema 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o se, e somente se, 퐵 e´ uma combinac¸a˜o linear das colunas
de 퐴, ou seja, se, e somente se, 퐵 pertence ao espac¸o coluna de 퐴.
Proposic¸a˜o 4.13. Sejam 퐴 uma matriz 푚 × 푛 e 퐵 uma matriz 푚 × 1. O sistema linear 퐴푋 = 퐵
tem soluc¸a˜o se, e somente se, 퐵 pertence ao espac¸o coluna de 퐴.
O espac¸o soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 0¯ e´ chamado de nu´cleo de 퐴 e e´ denotado por 풩(퐴).
Proposic¸a˜o 4.14. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛. O sistema linear 퐴푋 = 퐵, para todo 퐵 ∈ ℝ푚,
(a) tem soluc¸a˜o se, e somente se, as colunas de 퐴 geram o ℝ푚 (posto(퐴) = 푚);
(b) tem no ma´ximo uma soluc¸a˜o se, e somente se, as colunas de 퐴 sa˜o linearmente independentes
(풩(퐴) = {0¯}).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 283
Demonstrac¸a˜o. (a) Pela Proposic¸a˜o 4.13, o sistema tem soluc¸a˜o para todo퐵 ∈ ℝ푚 se, e somente
se, o espac¸o coluna de 퐴 e´ igual ao ℝ푚, daı´ decorre o resultado.
(b) Se o sistema 퐴푋 = 퐵 tem no ma´ximo uma soluc¸a˜o para todo 퐵 ∈ ℝ푚, enta˜o o sistema
homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem somente a soluc¸a˜o trivial, daı´ segue-se que as colunas de 퐴 sa˜o
linearmente independentes e 풩(퐴) = {0¯}. Se por outro lado, 풩(퐴) = {0¯}, ou seja, a u´nica
soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ e´ a soluc¸a˜o trivial, e 푋1 e 푋2 sa˜o soluc¸o˜es de
퐴푋 = 퐵, enta˜o 푋1 − 푋2 e´ soluc¸a˜o de 퐴푋 = 0¯ (verifique!). Assim, 푋1 − 푋2 = 0¯, ou
seja, 푋1 = 푋2.
■
Segue do item (a) da proposic¸a˜o anterior que um sistema linear 퐴푋 = 퐵 com mais inco´gnitas
do que equac¸o˜es na˜o pode ter soluc¸a˜o para todo 퐵. Segue tambe´m da proposic¸a˜o anterior, que o
sistema 퐴푋 = 퐵 tem exatamente uma soluc¸a˜o para todo 퐵 ∈ ℝ푚 se, e somente se, as colunas
de 퐴 formam uma base do ℝ푚. E isto ocorre se, e somente se, 푚 = 푛 e uma das duas condic¸o˜es
ocorre: ou 풩(퐴) = {0¯} ou posto(퐴) = 푛 = 푚.
Teorema 4.15. Sejam 퐴 uma matriz 푚× 푛 e 퐵 uma matriz 푚× 1. O sistema linear 퐴푋 = 퐵,
(a) tem soluc¸a˜o se, e somente se, posto([퐴 ∣퐵 ]) = posto(퐴);
(b) tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, posto([퐴 ∣퐵 ]) = posto(퐴) = 푛.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
284 Subespac¸os
Demonstrac¸a˜o. (a) Suponha, em primeiro lugar, que o sistema 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o. Enta˜o, 퐵
e´ combinac¸a˜o linear das colunas de 퐴. Portanto, o espac¸o coluna de [퐴 ∣퐵 ] e´ igual ao espac¸o
coluna de 퐴, ou seja, posto([퐴 ∣퐵 ]) = posto(퐴).
Por outro lado, se posto([퐴 ∣퐵 ]) = posto(퐴), enta˜o 퐵 pertence ao espac¸o coluna de 퐴, ou
seja, 퐵 e´ combinac¸a˜o linear das colunas de 퐴. Portanto, o sistema 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o.
(b) Do item anterior podemos assumir que 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o. Seja 푋0 uma soluc¸a˜o particular
de 퐴푋 = 퐵. Enta˜o, 푌 = 푋 + 푋0 e´ soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵 se, e somente se, 푋 e´ soluc¸a˜o
do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯. Assim, 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, o
sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, tem somente a soluc¸a˜o trivial. E isto acontece se, e somente se,
as colunas de 퐴 sa˜o linearmente independentes, ou seja, as colunas de 퐴 formam uma base
para o seu espac¸o coluna ou equivalentemente posto(퐴) = 푛.
■
Exemplo 4.16. Considere o sistema
{
푎푥+ 3푦 = 푎
3푥+ 푎푦 = −푎 .
Para este sistema, 퐴 =
[
푎 3
3 푎
]
e 퐵 =
[
푎
−푎
]
.
O sistema tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, posto(퐴) = 2 (neste caso, posto(퐴) = 2 implica
que posto([퐴∣퐵]) = 2). Agora, posto(퐴) = 2 se, e somente se, det(퐴) ∕= 0. Como det(퐴) = 푎2−9,
enta˜o o sistema tem soluc¸a˜o u´nica se, e somente se, 푎 ∕= ±3.
O sistema tem infinitas soluc¸o˜es se, e somente se, posto([퐴∣퐵]) = 1 (neste caso,
posto([퐴∣퐵]) = 1 implica que posto(퐴) = 1). Agora, posto([퐴∣퐵]) = 1 se, e somente se,
det(퐴) = 0, det(퐴1) = 0 e det(퐴2) = 0, em que 퐴1 =
[
푎 3
−푎 푎
]
e 퐴2 =
[
푎 푎
3 −푎
]
. Como
det(퐴1) = 푎
2 + 3푎 = 푎(푎 + 3) e det(퐴2) = −푎2 − 3푎 = −푎(푎 + 3), enta˜o o sistema tem infinitas
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 285
soluc¸o˜es se, e somente se, 푎 = −3.
O sistema na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se, posto(퐴) = 1 e posto([퐴∣퐵]) = 2. Agora,
posto(퐴) = 1 se, e somente se, det(퐴) = 0. E posto([퐴∣퐵]) = 2 se, e somente se, det(퐴) ∕= 0, ou
det(퐴1) ∕= 0 ou det(퐴2) ∕= 0. Assim o sistema na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se, 푎 = 3.
Proposic¸a˜o 4.16. Sejam퐴 uma matriz푚×푛 e퐵 uma matriz푚×1. Seja푋0 uma soluc¸a˜o (particular)
do sistema linear 퐴푋 = 퐵. Se 푉1, . . . , 푉푘 formam uma base para o nu´cleo de 퐴, enta˜o toda soluc¸a˜o
de 퐴푋 = 퐵 pode ser escrita na forma
푋 = 푋0 + 훼1푉1 + . . .+ 훼푘푉푘, (4.7)
em que 훼1, . . . , 훼푘 sa˜o escalares. Reciprocamente, para todos os escalares 훼1, . . . , 훼푘 a expressa˜o
(4.7) e´ soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 퐵.
Demonstrac¸a˜o. Seja 푋 uma soluc¸a˜o qualquer do sistema 퐴푋 = 퐵. Enta˜o, 푋 − 푋0 e´ soluc¸a˜o do
sistema homogeˆneo, pois 퐴(푋 −푋0) = 퐴푋 − 퐴푋0 = 퐵 − 퐵 = 0¯. Como 푉1, . . . , 푉푘 formam uma
base para o nu´cleo de 퐴, existem escalares 훼1,
. . . , 훼푘 tais que
푋 −푋0 = 훼1푉1 + . . .+ 훼푘푉푘.
Daı´ segue-se a equac¸a˜o (4.7). Por outro lado, se 훼1, . . . , 훼푘 sa˜o escalares, enta˜o
퐴(푋0 + 훼1푉1 + . . .+ 훼푘푉푘) = 퐴푋0 + 훼1퐴푉1 + . . .+ 훼푘퐴푉푘 = 퐵 + 0¯ + . . .+ 0¯ = 퐵,
ou seja, a expressa˜o (4.7) e´ soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵. ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
286 Subespac¸os
x
y
푋0 +푋
푋 푋0
풩(퐴)
Figura 4.10: Soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵 e de
퐴푋 = 0¯, se 풩(퐴) ∕= {0¯}
x
y
푋0 = 푋0 + 0¯
0¯
Figura 4.11: Soluc¸a˜o de 퐴푋 = 퐵 e de
퐴푋 = 0¯, se 풩(퐴) = {0¯}
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 287
4.2.3 A Imagem de uma Matriz
Seja 퐴 uma matriz 푚 × 푛. Pela Proposic¸a˜o 4.13 na pa´gina 282, o espac¸o coluna de 퐴 e´ igual
ao conjunto dos vetores 퐵 ∈ ℝ푚 tais que o sistema linear 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o, ou seja, e´ igual ao
conjunto
ℐ(퐴) = {퐵 ∈ ℝ푚 ∣퐴푋 = 퐵 para algum푋 ∈ ℝ푛},
chamado de imagem de 퐴, por que e´ a imagem da func¸a˜o 푓 : ℝ푛 → ℝ푚 que associa a cada vetor
푋 ∈ ℝ푛 o vetor 퐴푋 ∈ ℝ푚, 푓(푋) = 퐴푋 . De forma ana´loga, se veˆ que o espac¸o linha de 퐴 e´ igual a
imagem de 퐴푡. A func¸a˜o 푓 : ℝ푛 → ℝ푚 definida por 푓(푋) = 퐴푋 , para uma matriz 푚×푛 e´ chamada
transformac¸a˜o linear associada a` matriz 퐴.
Proposic¸a˜o 4.17. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛. O espac¸o coluna de 퐴 e´ igual a ℐ(퐴) e o espac¸o linha
e´ igual a ℐ(퐴푡).
A dimensa˜o do nu´cleo de 퐴 (nulidade), e a dimensa˜o da imagem de 퐴 (posto) na˜o sa˜o indepen-
dentes um do outro, como mostra o pro´ximo resultado.
Teorema 4.18 (da Dimensa˜o do Nu´cleo e da Imagem). Seja 퐴 uma matriz 푚 × 푛. A soma da
dimensa˜o do nu´cleo de 퐴 (nulidade) com a dimensa˜o da imagem de 퐴 (posto) e´ igual ao nu´mero de
colunas da matriz 퐴, ou seja,
dim(풩(퐴)) + dim(ℐ(퐴)) = 푛 ou nulidade(퐴) + posto(퐴) = 푛.
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288 Subespac¸os
푋 푓 푓(푋) = 퐴푋
푓(0¯) = 0¯0¯ 푓
ℝ푛 ℝ푚
Figura 4.12: A func¸a˜o 푓 : ℝ푛 → ℝ푚 dada por 푓(푋) = 퐴푋
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 289
Demonstrac¸a˜o. Seja 핍 = ℝ푛. Sejam 푉1, . . . , 푉푝 vetores de 핍, que formam uma base para o nu´cleo
de 퐴. Vamos estendeˆ-la a uma base de 핍. Sejam 푉푝+1, . . . , 푉푛 vetores de 핍 tais que 푉1, . . . , 푉푛
formam uma base de 핍. Vamos mostrar que 퐴푉푝+1, . . . , 퐴푉푛 formam uma base da imagem de 퐴.
Para isso, precisamos mostrar que eles geram a imagem de 퐴 e que eles sa˜o L.I.
Vamos mostrar, em primeiro lugar, que 퐴푉푝+1, . . . , 퐴푉푛 geram a imagem de 퐴. Seja 푌 ∈ ℐ(퐴).
Enta˜o existe 푋 ∈ 핍 tal que 퐴푋 = 푌 . Como 푉1, . . . , 푉푛 e´ base de 핍, existem escalares 훼1, . . . , 훼푛
tais que푋 = 훼1푉1+. . .+훼푛푉푛. Multiplicando a` esquerda por퐴 e usando que퐴푉1 = . . . = 퐴푉푝 = 0¯,
obtemos que 훼푝+1퐴푉푝+1 + . . .+ 훼푛퐴푉푛 = 푌 , ou seja, 퐴푉푝+1, . . . , 퐴푉푛 geram a imagem de 퐴.
Vamos mostrar, agora, que 퐴푉푝+1, . . . , 퐴푉푛 sa˜o linearmente independentes. Se 푥푝+1퐴푉푝+1 +
. . .+푥푛퐴푉푛 = 0¯, enta˜o 퐴(푥푝+1푉푝+1+ . . .+푥푛푉푛) = 0¯. Mas, isto implica que 푥푝+1푉푝+1+ . . .+푥푛푉푛
pertence ao nu´cleo de 퐴, ou seja, existem escalares 푥1, . . . , 푥푝 tais que 푥푝+1푉푝+1 + . . . + 푥푛푉푛 =
푥1푉1 + . . . + 푥푝푉푝. Daı´ segue-se que 푥1푉1 + . . . + 푥푝푉푝 − 푥푝+1푉푝+1 − . . . − 푥푛푉푛 = 0¯. Como
푉1, . . . , 푉푛 e´ base, enta˜o 푥1 = . . . = 푥푝 = 푥푝+1 = . . . = 푥푛 = 0, ou seja, 퐴푉푝+1, . . . , 퐴푉푛 sa˜o L.I.
Portanto, a dimensa˜o da imagem de 퐴 e´ igual a diferenc¸a entre 푛 e a dimensa˜o do nu´cleo de 퐴.
Daı´ segue-se o resultado. ■
Segue do Teorema da Dimensa˜o do Nu´cleo e da Imagem que o nu´mero de varia´veis livres na
soluc¸a˜o geral de um sistema linear 퐴푋 = 퐵 e´ igual a dimensa˜o do nu´cleo de 퐴.
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290 Subespac¸os
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 584)
4.2.1. Para cada uma das seguintes matrizes, encontre uma base para o espac¸o linha e para o espac¸o
coluna.
(a)
⎡
⎣ 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2
⎤
⎦ (b)
⎡
⎣ 1 −4 −5 4−1 4 4 −5
0 0 2 0
⎤
⎦
4.2.2. Determine a dimensa˜o do subespac¸o de ℝ3 gerado pelos vetores:
(a) (1,−2, 2), (2,−2, 4), (−3, 3, 6)
(b) (1,−3, 4), (6, 2,−1), (2,−2, 3), (−4,−8, 9)
4.2.3. Seja 퐴 =
⎡
⎣ 1 2 2 3 1 42 4 5 5 4 9
3 6 7 8 5 9
⎤
⎦
.
(a) Determine a forma escalonada reduzida 푈 da matriz 퐴. Quais as colunas de 푈 que cor-
respondem a`s varia´veis livres. Escreva cada uma destas colunas como uma combinac¸a˜o
linear das colunas correspondentes aos pivoˆs.
(b) Quais as colunas de 퐴 que correspondem aos pivoˆs de 푈? Estas colunas formam
uma base para o espac¸o coluna de 퐴. Escreva cada uma das colunas restantes como
combinac¸a˜o linear das colunas da base.
4.2.4. Determine o posto e a nulidade das seguintes matrizes:
(a)
[
1 2 0
2 4 −1
]
(b)
[
1 2 3
2 4 6
]
(c)
⎡
⎣ 1 0 12 −1 3
3 −1 4
⎤
⎦ (d)
⎡
⎣ 1 −1 2 03 1 0 0
−1 2 4 0
⎤
⎦
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 291
4.2.5. Discuta como o posto de 퐴 varia com 푡.
(a) 퐴 =
⎡
⎣ 1 1 푡1 푡 1
푡 1 1
⎤
⎦ (b) 퐴 =
⎡
⎣ 푡 3 −13 6 −2
−1 −3 −푡
⎤
⎦
4.2.6. Encontre o maior valor possı´vel para posto(퐴) e o menor valor possı´vel para nulidade(퐴).
(a) 퐴 e´ 2× 3 (b) 퐴 e´ 3× 2 (c) 퐴 e´ 3× 3 (d) 퐴 e´ 푚× 푛.
4.2.7. Seja 퐴 uma matriz na˜o nula. Encontre os valores de posto(퐴) e de posto([퐴∣퐵]) para os quais
o sistema linear 퐴푋 = 퐵 tem soluc¸a˜o u´nica, na˜o tem soluc¸a˜o e tem infinitas soluc¸o˜es.
(a) 퐴 e´ 2× 3 (b) 퐴 e´ 3× 2 (c) 퐴 e´ 3× 3 (d) 퐴 e´ 푚× 푛
Exercı´cios Teo´ricos
4.2.8. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛.
(a) A matriz 퐴 e´ invertı´vel se, e somente se, 풩(퐴) = {0¯}.
(b) Mostre que posto(퐴) = 푛 se, e somente se, as colunas de 퐴 sa˜o linearmente indepen-
dentes.
(c) Mostre que o sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial se, e somente se, o
posto(퐴) < 푛.
(d) Mostre que o posto de 퐴 e´ 푛 se, e somente se, det(퐴) ∕= 0.
4.2.9. Sejam 푋 = [ 푥1 . . . 푥푚 ] e 푌 = [ 푦1 . . . 푦푛 ] matrizes 1 × 푚 e 1 × 푛, respectivamente. Seja
퐴 = 푋 푡푌 . Mostre que {푋} e´ uma base para o espac¸o coluna de 퐴 e que {푌 } e´ uma base
para o espac¸o linha. Qual e´ a dimensa˜o do 풩(퐴)?
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292 Subespac¸os
4.2.10. Mostre que se 퐴 e´ uma matriz, 푚 × 푛, de posto igual a 1, enta˜o existem matrizes 푋 =
[ 푥1 . . . 푥푚 ] e 푌 = [ 푦1 . . . 푦푛 ], 1 × 푚 e 1 × 푛, respectivamente, tais que 퐴 = 푋 푡푌 . (Su-
gesta˜o: Tome 푋 tal que {푋} e´ uma base para o espac¸o coluna de 퐴.)
4.2.11. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푚× 푝 e 푝× 푛, respectivamente. Mostre que 퐴퐵 pode ser escrita como
uma soma de 푝 matrizes de posto igual a 1.
4.2.12. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푚× 푝 e 푝× 푛, respectivamente. Seja 퐶 = 퐴퐵. Mostre que:
(a) O espac¸o coluna de 퐶 esta´ contido no espac¸o coluna de 퐴.
(b) O espac¸o linha de 퐶 esta´ contido no espac¸o linha de 퐵.
(c) posto(퐶) ≤ min(posto(퐴), posto(퐵)).
(d) Se as colunas de 퐴 e 퐵 sa˜o linearmente independentes, enta˜o as colunas de 퐶 tambe´m
sa˜o linearmente independentes.
(e) Se as linhas de 퐴 e 퐵 sa˜o linearmente independentes, enta˜o as linhas de 퐶 tambe´m sa˜o
linearmente independentes.
(f) Se as colunas de 퐵 sa˜o linearmente dependentes, enta˜o as colunas de 퐶 tambe´m sa˜o
linearmente dependentes.
(g) Se as linhas de 퐴 sa˜o linearmente dependentes, enta˜o as linhas de 퐶 tambe´m sa˜o line-
armente dependentes.
(h) O nu´cleo de 퐵 esta´ contido no nu´cleo de 퐶.
4.2.13. Seja 퐴 uma matriz 푚×푛. Se 푃 e 푄 sa˜o matrizes invertı´veis 푚×푚 e 푛×푛, respectivamente,
enta˜o 퐴, 푃퐴 e 퐴푄 possuem o mesmo posto.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.2 Espac¸o Linha e Espac¸o Coluna 293
4.2.14. Sejam 퐴 e 퐵 matrizes 푛 × 푛. Mostre que 퐴퐵 = 0¯ se, e somente se, o espac¸o coluna de 퐵
esta´ contido no nu´cleo de 퐴.
4.2.15. Seja 퐴 uma matriz 푛× 푛 e 퐵 uma matriz 푛× 1. Para cada 푖, defina a matriz 퐴푖 como sendo a
matriz que se obtem de 퐴 substituindo-se a 푖-e´sima coluna por 퐵.
(a) Mostre que se para algum 푖, det(퐴푖) ∕= 0, enta˜o posto([퐴∣퐵]) = 푛.
(b) Suponha que o det(퐴) = 0. Mostre que se para algum 푖,
det(퐴푖) ∕= 0, enta˜o o sistema
퐴푋 = 퐵 na˜o tem soluc¸a˜o.
(c) Mostre que se det(퐴푖) = 0 para 푖 = 1, . . . , 푛 e det(퐴) = 0, enta˜o tanto pode ocorrer
que o sistema 퐴푋 = 퐵 tenha infinitas soluc¸o˜es, como pode ocorrer que ele na˜o tenha
soluc¸a˜o.
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294 Espac¸os Vetoriais
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos (opcional)
Podemos generalizar o conceito de vetores ainda mais. Vamos estabelecer um conjunto de axio-
mas, os quais se forem satisfeitos por um conjunto de elementos, estes sera˜o chamados de vetores.
Os axiomas sera˜o escolhidos abstraindo-se as propriedades mais importantes de vetores no ℝ푛.
Assim, os vetores do ℝ푛 satisfara˜o automaticamente estes axiomas.
Definic¸a˜o 4.5. Dizemos que um conjunto 핍 ∕= ∅, munido de duas operac¸o˜es, uma soma e uma
multiplicac¸a˜o por escalar:
(0) Se 푉,푊 ∈ 핍, enta˜o 푉 +푊 ∈ 핍;
(0’) Se 푉 ∈ 핍 e 훼 ∈ ℝ (ou ℂ), enta˜o 훼푉 ∈ 핍;
e´ um espac¸o vetorial sobre ℝ (ou ℂ) se satisfaz os seguintes axiomas:
(1) Para todos os 푉,푊 ∈ 핍, 푉 +푊 = 푊 + 푉 ;
(2) Para todos os 푉,푊,푈 ∈ 핍, 푉 + (푊 + 푈) = (푉 +푊 ) + 푈 ;
(3) Existe um elemento 0¯ ∈ 핍, tal que 푉 + 0¯ = 0¯ + 푉 = 푉 , para todo 푉 ∈ 핍;
(4) Para cada 푉 ∈ 핍, existe um elemento −푉 ∈ 핍 tal que 푉 + (−푉 ) = (−푉 ) + 푉 = 0¯;
(5) Para todo 푉 ∈ 핍 e todos os escalares 훼 e 훽, 훼(훽푉 ) = (훼훽)푉 ;
(6) Para todos os 푉,푊 ∈ 핍 e todo escalar 훼, 훼(푉 +푊 ) = 훼푉 + 훼푊 ;
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 295
(7) Para todo 푉 ∈ 핍 e todos os escalares 훼 e 훽, (훼 + 훽)푉 = 훼푉 + 훽푉 ;
(8) Para todo 푉 ∈ 핍, 1푉 = 푉 .
Os elementos de 핍 sa˜o chamados vetores. O vetor 0¯ e´ chamado vetor nulo e para cada 푉 ∈ 핍
o vetor −푉 e´ chamado o sime´trico ou inverso aditivo de 푉 . A diferenc¸a de dois vetores e´ definida
por 푉 −푊 = 푉 + (−푊 ). Se 푉 e 푊 sa˜o vetores tais que 푊 = 훼푉 , para algum escalar 훼, enta˜o
dizemos que 푊 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 .
Exemplo 4.17. Para 푛 um nu´mero inteiro positivo, o conjunto 핍 = ℝ푛 com as operac¸o˜es de soma e
multiplicac¸a˜o por escalar definidas em (3.17) e (3.18) e´ um espac¸o vetorial sobre ℝ, pelo Teorema 3.7
na pa´gina 225. Em particular ℝ e´ um espac¸o vetorial sobre ele mesmo.
Exemplo 4.18. O conjunto dos nu´meros complexos, ℂ, com as operac¸o˜es usuais e´ um espac¸o veto-
rial sobre ele mesmo, mas e´ tambe´m um espac¸o vetorial sobre ℝ.
Exemplo 4.19. Segue das propriedades da a´lgebra matricial, Teorema 1.1 na pa´gina 10, que o con-
junto ℳ푚푛 de todas as matrizes 푚 × 푛 com entradas que sa˜o nu´meros reais (nu´meros complexos)
com as operac¸o˜es usuais de soma e multiplicac¸a˜o por escalar e´ um espac¸o vetorial sobre ℝ (sobre
ℂ).
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296 Espac¸os Vetoriais
Exemplo 4.20. Seja 풳 um conjunto na˜o vazio qualquer. Seja ℱ(풳;ℝ) o conjunto das func¸o˜es reais,
푓 : 풳→ ℝ. Para 푓 e 푔 func¸o˜es de ℱ(풳;ℝ) e 훼 um escalar definimos a soma 푓 + 푔 por
(푓 + 푔)(푥) = 푓(푥) + 푔(푥), para todo 푥 ∈ 풳
e a multiplicac¸a˜o de 푓 pelo escalar 훼 por
(훼 푓)(푥) = 훼 푓(푥), para todo 푥 ∈ 풳.
Vamos mostrar que o conjunto ℱ(풳;ℝ) e´ um espac¸o vetorial sobre ℝ. Sejam 푓, 푔, ℎ ∈ ℱ(풳;ℝ) e
훼, 훽 escalares.
(1) (푓 + 푔)(푥) = 푓(푥) + 푔(푥) = 푔(푥) + 푓(푥) = (푔 + 푓)(푥), para todo 푥 ∈ 풳;
(2) [푓 + (푔 + ℎ)](푥) = 푓(푥) + (푔 + ℎ)(푥) = 푓(푥) + (푔(푥) + ℎ(푥)) = (푓(푥) + 푔(푥)) + ℎ(푥) =
(푓 + 푔)(푥) + ℎ(푥) = [(푓 + 푔) + ℎ](푥), para todo 푥 ∈ 풳;
(3) Seja 0¯ a func¸a˜o identicamente nula. (푓 + 0¯)(푥) = 푓(푥) + 0¯(푥) = 푓(푥), para todo 푥 ∈ 풳;
(4) Dada a func¸a˜o 푓 definimos a func¸a˜o −푓 por (−푓)(푥) = −푓(푥), para todo 푥 ∈ 풳. [푓 +
(−푓)](푥) = 푓(푥) + (−푓(푥) = 0 = 0¯(푥), para todo 푥 ∈ 풳;
(5) [훼(훽푓)](푥) = 훼(훽푓)(푥) = 훼(훽푓(푥)) = (훼훽)푓(푥) = [(훼훽)푓 ](푥), para todo 푥 ∈ 풳;
(6) [훼(푓 + 푔)](푥) = 훼(푓 + 푔)(푥) = 훼(푓(푥) + 푔(푥)) = 훼푓(푥) + 훼푔(푥) = (훼푓)(푥) + (훼푔)(푥) =
(훼푓 + 훼푔)(푥), para todo 푥 ∈ 풳;
(7) [(훼 + 훽)푓 ](푥) = (훼 + 훽)푓(푥) = 훼푓(푥) + 훽푓(푥) = (훼푓)(푥) + (훽푓)(푥) = [훼푓 + 훽푓 ](푥), para
todo 푥 ∈ 풳;
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 297
(8) (1푓)(푥) = 1푓(푥) = 푓(푥), para todo 푥 ∈ 풳;
Variando o conjunto 풳 obtemos va´rios exemplos de espac¸o vetorial.
Se 풳 e´ igual a {1, . . . , 푛}, enta˜o ℱ(풳;ℝ) = ℝ푛, pois podemos identificar cada vetor (푥1, . . . , 푥푛)
de ℝ푛 com a func¸a˜o 푓 : {1, . . . , 푛} → ℝ definida por 푓(1) = 푥1, . . . , 푓(푛) = 푥푛.
Se 풳 e´ igual ao produto cartesiano {1, . . . ,푚} × {1, . . . , 푛}, enta˜o ℱ(풳;ℝ) = ℳ푚푛, pois po-
demos identificar cada matriz (푎푖푗)푚푛 com a func¸a˜o 푓 : {1, . . . ,푚} × {1, . . . , 푛} → ℝ definida por
푓(1, 1) = 푎11, . . . , 푓(1, 푛) = 푎1푛, . . . , 푓(푚, 1) = 푎푚1, . . . , 푓(푚,푛) = 푎푚푛.
Exemplo 4.21. O conjunto ℝ∞ das sequ¨eˆncias de nu´meros reais, ou seja, o conjunto das listas infi-
nitas (푥1, 푥2, . . . , 푥푛, . . .) tais que 푥푛 ∈ ℝ, para 푛 = 1, 2, 3, . . ., com as operac¸o˜es
(푥1, 푥2, . . . , 푥푛, . . .) + (푦1, 푦2, . . . , 푦푛, . . .) = (푥1 + 푦1, 푥2 + 푦2, . . . , 푥푛 + 푦푛, . . .)
훼(푥1, 푥2, . . . , 푥푛, . . .) = (훼푥1, 훼푥2, . . . , 훼푥푛, . . .)
e´ um espac¸o vetorial sobre ℝ. Pois ℝ∞ = ℱ({1, 2, 3, . . .};ℝ), ja´ que podemos identificar cada
sequ¨eˆncia (푥푛), com a func¸a˜o 푓 : {1, . . . , 푛, . . .} → ℝ definida por 푓(1) = 푥1, . . . , 푓(푛) = 푥푛, . . ..
Exemplo 4.22. Seja 풫 = ℝ[ 푡 ] o conjunto dos polinoˆmios sobre ℝ em uma varia´vel 푡, ou seja, o
conjunto das expresso˜es da forma
푝(푡) = 푎0 + 푎1푡+ 푎2푡
2 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푎푛푡푛 + . . . =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗,
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298 Espac¸os Vetoriais
em que existe um inteiro positivo 푛 tal que 푎푗 = 0, para todo inteiro 푗 > 푛 e 푎0, 푎1, . . . , 푎푛 ∈ ℝ. O
polinoˆmio identicamente nulo e´ aquele em que 푎푗 = 0, para todo 푗 ∈ ℕ.
Sejam 푝(푡) = 푎0+푎1푡+ ⋅ ⋅ ⋅+푎푚푡푚+ . . . =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 e 푞(푡) = 푏0+푏1푡+ ⋅ ⋅ ⋅+푏푟푡푟+ . . . =
∑
푗∈ℕ
푏푗푡
푗
dois polinoˆmios quaisquer. A soma e´ definida por
푝(푡) + 푞(푡) = (푎0 + 푏0) + (푎1 + 푏1)푡+ ⋅ ⋅ ⋅+ (푎푘 + 푏푘)푡푘 + . . . =
∑
푗∈ℕ
(푎푗 + 푏푗)푡
푗.
A multiplicac¸a˜o por um escalar 훼 e´ definida por
훼푝(푡) = (훼푎0) + (훼푎1)푡+ ⋅ ⋅ ⋅+ (훼푎푛)푡푛 + . . . =
∑
푗∈ℕ
(훼푎푗)푡
푗.
Vamos mostrar que o conjunto 풫 = ℝ[ 푡 ] e´ um espac¸o vetorial sobre ℝ.
Sejam 푝(푡) =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗, 푞(푡) =
∑
푗∈ℕ
푏푗푡
푗, 푟(푡) =
∑
푗∈ℕ
푐푗푡
푗 e 훼, 훽 escalares.
(1) 푝(푡) + 푞(푡) =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 +
∑
푗∈ℕ
푏푗푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
(푎푗 + 푏푗)푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
(푏푗 + 푎푗)푡
푗 = 푞(푡) + 푝(푡).
(2) 푝(푡) + (푞(푡) + 푟(푡)) =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 +
(∑
푗∈ℕ
푏푗푡
푗 +
∑
푗∈ℕ
푐푗푡
푗
)
=
∑
푗∈ℕ
[푎푗 + (푏푗 + 푐푗)]푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
[(푎푗 + 푏푗) + 푐푗]푡
푗 =
(∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 +
∑
푗∈ℕ
푏푗푡
푗
)
+
∑
푗∈ℕ
푐푗푡
푗 = (푝(푡) + 푞(푡)) + 푟(푡).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 299
(3) Seja 0¯(푡) o polinoˆmio nulo.
푝(푡) + 0¯(푡) =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 +
∑
푗∈ℕ
0푡푗 =
∑
푗∈ℕ
(푎푗 + 0)푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 = 푝(푡).
(4) Defina o polinoˆmio (−푝)(푡) =∑푗∈ℕ(−푎푗)푡푗 .
푝(푡) + (−푝(푡)) =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 +
∑
푗∈ℕ
(−푎푗)푡푗 =
∑
푗∈ℕ
(푎푗 + (−푎푗))푡푗 =
∑
푗∈ℕ
0푡푗 = 0¯(푡).
(5) 훼(훽푝(푡)) = 훼(
∑
푗∈ℕ
훽푎푗푡
푗) =
∑
푗∈ℕ
(훼훽푎푗)푡
푗 = (훼훽)푝(푡).
(6) 훼(푝(푡) + 푞(푡)) = 훼
∑
푗∈ℕ
(푎푗 + 푏푗)푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
[훼(푎푗 + 푏푗)]푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
(훼푎푗 + 훼푏푗)푡
푗
=
∑
푗∈ℕ
(훼푎푗)푡
푗 +
∑
푗∈ℕ
(훼푏푗)푡
푗 = 훼푝(푡) + 훼푞(푡).
(7) (훼+훽)푝(푡) =
∑
푗∈ℕ
(훼+훽)푎푗푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
(훼푎푗+훽푎푗)푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
(훼푎푗)푡
푗+
∑
푗∈ℕ
(훽푎푗)푡
푗 = 훼푝(푡)+훽푝(푡).
(8) 1푝(푡) =
∑
푗∈ℕ
(1푎푗)푡
푗 =
∑
푗∈ℕ
푎푗푡
푗 = 푝(푡).
Proposic¸a˜o 4.19. Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades em um espac¸o vetorial 핍:
(a) 0푉 = 0¯, para todo 푉 em 핍;
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
300 Espac¸os Vetoriais
(b) 훼 0¯ = 0¯, para todo escalar 훼;
(c) Se 훼푉 = 0¯, enta˜o 훼 = 0 ou 푉 = 0¯;
(d) (−1)푉 = −푉 , para todo 푉 pertencente a 핍.
Demonstrac¸a˜o. (a) Usando-se o axioma (2) de espac¸o vetorial, temos que
0푉 + 0푉 = (0 + 0)푉 = 0푉.
Somando-se o sime´trico de 0푉 ao primeiro e ao u´ltimo membro e usando os axiomas (2) e (4)
temos que
(−(0푉 ) + 0푉 ) + 0푉 = −0푉 + 0푉 = 0¯.
Aplicando-se novamente o axioma (4) no primeiro membro, chegamos a 0푉 = 0¯.
(b) Este item se prova de forma inteiramente ana´loga ao anterior, mas a partir de 훼 0¯ + 훼 0¯.
(c) Se 훼 ∕= 0, enta˜o pelos axiomas (8) e (5) e pelo item (b), temos que
푉 = 1푉 =
(
1
훼
훼
)
푉 =
1
훼
(훼푉 ) =
1
훼
0¯ = 0¯.
(d) Usando-se os axiomas (8) e (7) e o item (a) temos que
(−1)푉 + 푉 = (−1)푉 + 1푉 = (−1 + 1)푉 = 0푉 = 0¯
Somando-se −푉 ao primeiro e ao u´ltimo membro e usando os axiomas (2), (4), (3) temos que
(−1)푉 = 0¯ + (−푉 ) = −푉.
■
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 301
Definic¸a˜o 4.6. Seja 핍 um espac¸o vetorial. Dizemos que um subconjunto 핎 ∕= ∅, de 핍 e´ um
subespac¸o de 핍, se ele tambe´m e´ um espac¸o vetorial com relac¸a˜o a`s mesmas operac¸o˜es defini-
das em 핍.
Para verificarmos se um subconjunto de um espac¸o vetorial e´ um subespac¸o na˜o e´ necessa´ria a
verificac¸a˜o dos oito axiomas ale´m dos dois que definem a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar.
Teorema 4.20. Seja 핍 um espac¸o vetorial. Um subconjunto na˜o vazio, 핎 ⊆ 핍, e´ um subespac¸o de
핍 se, e somente se, as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar esta˜o bem definidas, ou seja,
se
(0) Se 푉,푊 ∈핎, enta˜o 푉 +푊 ∈핎;
(0’) Se 푉 ∈핎 e 훼 e´ um escalar, enta˜o 훼푉 ∈핎;
Demonstrac¸a˜o. Se 핎 e´ um subespac¸o, enta˜o obviamente as (0) e (0’) sa˜o satisfeitas. Suponha,
agora, que as condic¸o˜es (0) e (0’) sa˜o verificadas para핎. Como핎 e´ um subconjunto de 핍, enta˜o os
Axiomas (1), (2), (5), (6), (7) e (8) da Definic¸a˜o 4.5 na pa´gina 294 sa˜o satisfeitos para os elementos
de핎, pois sa˜o satisfeitos para todos os elementos de 핍.
Vamos mostrar que os Axiomas (3) e (4) sa˜o tambe´m satisfeitos, se (0) e (0’) sa˜o verificados. Para
qualquer elemento 푉 de핎, pela Proposic¸a˜o 4.19, 0푉 = 0¯ e −푉 = (−1)푉 , ou seja, o vetor nulo 0¯ e
o sime´trico de 푉 sa˜o mu´ltiplos escalares de 푉 , que por (0’) pertence a핎. ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
302 Espac¸os Vetoriais
Exemplo 4.23. Se 핍 e´ um espac¸o vetorial, enta˜o 핍 e´ um subespac¸o dele mesmo. E o subconjunto
formado apenas pelo vetor nulo, 핎 = {0¯}, e´ claramente um subespac¸o de 핍. Assim, todo espac¸o
vetorial 핍 ∕= {0¯} possui pelo menos dois subespac¸os.
Exemplo 4.24. O conjunto ℝ2 na˜o e´ um subespac¸o de ℝ3, pois ℝ2 na˜o e´ um subconjunto de ℝ3.
Exemplo 4.25. Os subconjuntos 풜 = {(푥, 푦) ∈ ℝ2 ∣ 푥 ≥ 0, 푦 ≥ 0} e ℬ = {(푥, 푦) ∈ ℝ2 ∣ 푥푦 ≥ 0}
na˜o sa˜o subespac¸os de ℝ2. Pois, para o primeiro, enquanto 푉 = (1, 1) ∈ 퐴, −푉 = (−1)푉 =
(−1,−1) ∕∈ 퐴. Enquanto para o segundo, 푉 = (1, 0),푊 = (0,−1) ∈ 퐵, 푉 +푊 = (1,−1) ∕∈ 퐵.
Exemplo 4.26. Seja 핍 ∕= {0¯} um espac¸o vetorial. Seja 푉 um vetor na˜o nulo de 핍. Vamos mostrar
que o conjunto dos mu´ltiplos escalares de 푉 ,
핎 = {훼푉 ∣ 훼 e´ um escalar},
e´ um subespac¸o de 핍.
(0) Sejam 푉1 e 푉2 elementos de 핎. Enta˜o existem escalares 훼1 e 훼2 tais que 푉1 = 훼1푉 e
푉2 = 훼2푉 . Logo
푉1 + 푉2 = 훼1푉 + 훼2푉 = (훼1 + 훼2)푉.
Assim, 푉1 + 푉2 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 e portanto pertence a핎.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 303
x
y
푉
(−1)푉
Figura 4.13: 풜={(푥, 푦)∈ ℝ2∣푥 ≥ 0, 푦 ≥ 0}
x
y
푉
푊 푉 +푊
Figura 4.14: ℬ = {(푥, 푦) ∈ ℝ2 ∣ 푥푦 ≥ 0}
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
304 Espac¸os Vetoriais
x y
z
푋1
푋2
푋1+푋2
Figura 4.15: Soma de vetores da reta 푋 =
훼푉
x y
z
푋
훼푋
Figura 4.16: Multiplicac¸a˜o de vetor por es-
calar da reta 푋 = 훼푉
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 305
x y
z
푋1
푋2
푋1+푋2
Figura 4.17: Soma de vetores do plano
푎1푥+ 푎2푦 + 푎3푧 = 0
x y
z
푋
훼푋
Figura 4.18: Multiplicac¸a˜o de vetor por es-
calar do plano 푎1푥+ 푎2푦 + 푎3푧 = 0
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
306 Espac¸os Vetoriais
(0’) Seja 푊 um elemento de핎 e 훽 um escalar. Enta˜o existe um escalar 훼 tal que 푊 = 훼푉 . Logo
훽푊 = 훽(훼푉 ) = (훽훼)푉.
Assim, 훽푊 e´ um mu´ltiplo escalar de 푉 e portanto pertence a핎.
Exemplo 4.27. Seja 푁 = (푎1, . . . , 푎푛) um vetor de ℝ푛 fixo. O conjunto definido por
핎 = {(푥1, . . . , 푥푛) ∈ ℝ푛 ∣ 푎1푥1 + . . .+ 푎푛푥푛 = 0}
e´ um subespac¸o de ℝ푛.
(0) Se 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) e 푌 = (푦1, . . . , 푦푛) pertencem a 핎, enta˜o 푎1푥1 + . . . + 푎푛푥푛 = 0 e
푎푦1 + . . .+ 푎푛푦푛 = 0 e portanto
푋 + 푌 = (푥1 + 푦1, . . . , 푥푛 + 푦푛)
tambe´m pertence a핎, pois
푎1(푥1 + 푦1) + . . .+ 푎푛(푥푛 + 푦푛) = (푎1푥1 + . . .+ 푎푛푥푛) + (푎1푦1 + . . .+ 푎푛푦푛) = 0 + 0 = 0.
(0’) Se 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) pertence a핎, enta˜o
훼푋 = (훼푥1, . . . , 훼푥푛)
tambe´m pertence a핎, pois
푎1(훼푥1) + . . .+ 푎푛(훼푥푛) = 훼(푎1푥1 + . . .+ 푎푛푥푛) = 훼0 = 0 .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 307
Por outro lado, suponha que o conjunto definido por
핎 = {(푥1, . . . , 푥푛) ∈ ℝ푛 ∣ 푎1푥1 + . . .+ 푎푛푥푛 = 푐}
seja um subespac¸o de ℝ푛, em que 푐 e´ um nu´mero real fixado.
Se 핎 e´ um subespac¸o e 푋 ∈ 핎, enta˜o 0푋 = 0¯ tambe´m pertence a 핎, ou seja, o subespac¸o
tem que conter a origem. Substituindo-se 0¯ = (0, . . . , 0) na equac¸a˜o que define o conjunto, obtemos
que 푎10 + . . .+ 푎푛0 = 푐, ou seja, 푐 = 0.
Se 푁 = (푎1, . . . , 푎푛) ∕= 0¯, enta˜o핎 e´ chamado um hiperplano de ℝ푛. Para 푛 = 3 os hiperplanos
sa˜o planos e para 푛 = 2 os hiperplanos sa˜o retas.
Exemplo 4.28. O conjunto das matrizes sime´tricas 푛× 푛:
핎1 = {퐴 ∈ℳ푛푛 ∣ 퐴푡 = 퐴}
e o conjunto das matrizes anti-sime´tricas 푛× 푛:
핎2 = {퐴 ∈ℳ푛푛 ∣ 퐴푡 = −퐴}
sa˜o subespac¸os do espac¸oℳ푛푛 das matrizes 푛×푛, pois a soma de matrizes (anti-)sime´tricas e´ uma
matriz (anti-)sime´trica (verifique!). O mesmo ocorre com a multiplicac¸a˜o por escalar.
Exemplo 4.29. O conjunto 풫푛 dos polinoˆmios de grau (o maior ı´ndice 푗 tal que 푎푗 ∕= 0) menor ou
igual a 푛 juntamente com o polinoˆmio nulo e´ um subespac¸o do espac¸o dos polinoˆmios 풫. Pois, a soma
de polinoˆmios de grau menor ou igual a 푛 e´ um polinoˆmio de grau menor ou igual a 푛 e a multiplicac¸a˜o
de um polinoˆmio por escalar e´ um polinoˆmio de mesmo grau.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
308 Espac¸os Vetoriais
Exemplo 4.30. Seja ℝ(∞) o conjunto das listas infinitas (푥1, 푥2, . . . , 푥푛, . . .) de nu´meros reais tais
que 푥푖 ∕= 0 apenas para um nu´mero finito de ı´ndices 푖. ℝ(∞) e´ um subespac¸o de ℝ∞, pois a soma de
duas listas com um nu´mero finito de componentes na˜o nulas e´ uma lista que tambe´m tem somente
um nu´mero finito de componentes na˜o nulas. O mesmo ocorre com a multiplicac¸a˜o por escalar.
Exemplo 4.31. Seja 풳 um conjunto na˜o vazio. O conjunto
핎1 = {푓 ∈ ℱ(풳;ℝ) ∣ 푓(−푥) = 푓(푥) para todo 푥 ∈ 풳}
das func¸o˜es, 푓 : 풳→ ℝ, pares e o conjunto
핎2 = {푓 ∈ ℱ(풳;ℝ) ∣ 푓(−푥) = −푓(푥) para todo 푥 ∈ 풳}
das func¸o˜es, 푓 : 풳 → ℝ, ı´mpares sa˜o subespac¸os, pois a soma de func¸o˜es (ı´m)pares e a
multiplicac¸a˜o de uma func¸a˜o (ı´m)par por um escalar sa˜o tambe´m func¸o˜es (ı´m)pares (verifique!).
Exemplo 4.32. O conjunto 풞0(퐼) das func¸o˜es reais contı´nuas, que sa˜o definidas no intervalo 퐼 , e´ um
subespac¸o do espac¸o das func¸o˜es reais ℱ(퐼;ℝ). Pois, a soma de func¸o˜es contı´nuas e´ uma func¸a˜o
contı´nua e o mesmo acontece com a multiplicac¸a˜o de uma func¸a˜o contı´nua por um escalar.
Exemplo 4.33. Seja 풞푛(퐼), para 푛 inteiro positivo, o conjunto das func¸o˜es reais que possuem a 푛-
e´sima derivada contı´nua no intervalo 퐼 . 풞푛(퐼) e´ um subespac¸o de 풞푚(퐼), para 0 ≤ 푚 ≤ 푛. E 풞∞(퐼),
o conjunto das func¸o˜es que possuem todas as derivadas, e´ um subespac¸o de 풞푛(퐼), para todo 푛
inteiro positivo.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 309
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 587)
4.3.1. Determine o vetor 푋 , tal que 3푋 − 2푉 = 15(푋 − 푈), para vetores 푉 e 푈 fixos dados.
4.3.2. Determine o vetor 푋 , tal que
{
6푋 − 2푌 = 푈
3푋 + 푌 = 푈 + 푉
, para vetores 푉 e 푈 fixos dados.
4.3.3. Verifique que o polinoˆmio
푡2 + 2푡 + 7 e´ combinac¸a˜o linear (soma de mu´ltiplos escalares) de
푡2 + 1 e 푡+ 3.
4.3.4. Verifique que a func¸a˜o constante igual a 3 e´ combinac¸a˜o linear de 푔(푡) = 5 tan2 푡 e ℎ(푡) =
2
cos2 푡
.
4.3.5. Quais dos seguintes vetores sa˜o combinac¸a˜o linear de 푋1 = (4, 2,−3), 푋2 = (2, 1,−2) e
푋3 = (−2,−1, 0)?
(a) (1, 1, 1);
(b) (4, 2,−6);
(c) (−2,−1, 1);
(d) (−1, 2, 3).
4.3.6. Verifique se sa˜o espac¸os vetoriais os seguintes conjuntos:
(a) O ℝ2 com a adic¸a˜o usual e a multiplicac¸a˜o por escalar definida por 훼(푥, 푦) = (훼푥, 0).
(b) O ℝ2 com (푥1, 푦1) + (푥2, 푦2) = (푥1 + 2푥2, 푦1 + 2푦2) e a multiplicac¸a˜o por escalar usual.
(c) O ℝ2 com (푥1, 푦1) + (푥2, 푦2) = (푦1 + 푦2, 푥1 + 푥2) e a multiplicac¸a˜o por escalar usual.
(d) O conjunto dos nu´meros reais positivos, com 푥+ 푦 = 푥푦 e 훼푥 = 푥훼. Qual e´ o vetor nulo?
Exercı´cios Teo´ricos
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
310 Espac¸os Vetoriais
4.3.7. Sejam풳 um conjunto na˜o vazio e핍 um espac¸o vetorial. Mostre que, com as definic¸o˜es naturais
de soma e multiplicac¸a˜o por escalar de func¸o˜es, o conjunto das func¸o˜es de 풳 em 핍, ℱ(풳;핍),
e´ um espac¸o vetorial.
4.3.8. Mostre que em um espac¸o vetorial o vetor nulo e´ u´nico e para cada vetor 푉 o sime´trico −푉
tambe´m e´ u´nico.
4.3.9. Prove que em um espac¸o vetorial 핍, 푋 +푊 = 푋 + 푈 implica que 푊 = 푈 .
4.3.10. Em um espac¸o vetorial, 훼푋 = 훽푋 implica que 훼 = 훽? E se 푋 ∕= 0¯?
4.3.11. Mostre que se 푉 pertence a um espac¸o vetorial 핍 e 푛 e´ um inteiro positivo, enta˜o 푛푉 =
푉 + . . .+ 푉 (푛 parcelas).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
4.3 Espac¸os Vetoriais Abstratos 311
Teste do Capı´tulo
Considere a matriz
퐴 =
⎡
⎣ 0 0 00 2 1
0 4 2
⎤
⎦
1. Encontre os valores de 휆 tais que o sistema homogeˆneo (퐴 − 휆퐼3)푋 = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o
trivial.
2. Para os valores de 휆 encontrados no item anterior, encontre uma base para o espac¸o soluc¸a˜o
de (퐴− 휆퐼3)푋 = 0¯.
3. Determine o espac¸o linha, o espac¸o coluna e o posto de 퐴.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
Capı´tulo 5
Ortogonalidade
5.1 Produto Escalar em ℝ푛
5.1.1 Produto Interno
Vimos que podemos estender a soma e a multiplicac¸a˜o de vetores por escalar para o ℝ푛. Pode-
mos estender tambe´m os conceitos de produto escalar e ortogonalidade.
312
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 313
Definic¸a˜o 5.1. (a) Definimos o produto escalar ou interno de dois vetores 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) e
푌 = (푦1, . . . , 푦푛) ∈ ℝ푛 por
푋 ⋅ 푌 = 푥1푦1 + 푥2푦2 + . . .+ 푥푛푦푛 =
푛∑
푖=1
푥푖푦푖 .
(b) Definimos a norma de um vetor 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) ∈ ℝ푛 por
∣∣푋∣∣ =
√
푋 ⋅푋 =
√
푥21 + . . .+ 푥
2
푛 =
√√√⎷ 푛∑
푖=1
푥2푖 .
Escrevendo os vetores como matrizes colunas, o produto interno de dois vetores
푋 =
⎡
⎢⎣ 푥1..
.
푥푛
⎤
⎥⎦ e 푌 =
⎡
⎢⎣ 푦1..
.
푦푛
⎤
⎥⎦
pode ser escrito em termos do produto de matrizes como
푋 ⋅ 푌 = 푋 푡푌.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
314 Ortogonalidade
Exemplo 5.1. Sejam 푉 = (1,−2, 4, 3, 5) e 푊 = (5, 3,−1,−2, 1) vetores do ℝ5. O produto escalar
entre 푉 e 푊 e´ dado por
푉 ⋅푊 = (1)(5) + (−2)(3) + (4)(−1) + (3)(−2) + (5)(1) = −6.
As normas de 푉 e 푊 sa˜o dadas por
∣∣푉 ∣∣ =
√
12 + (−2)2 + 42 + 32 + 52 =
√
55,
∣∣푊 ∣∣ =
√
52 + 32 + (−1)2 + (−2)2 + 12 =
√
40.
Sa˜o va´lidas as seguintes propriedades para o produto escalar e a norma de vetores do ℝ푛.
Proposic¸a˜o 5.1. Se 푋, 푌 e 푍 sa˜o vetores de ℝ푛 e 훼 e´ um escalar, enta˜o
(a) 푋 ⋅ 푌 = 푌 ⋅푋 (comutatividade);
(b) 푋 ⋅ (푌 + 푍) = 푋 ⋅ 푌 +푋 ⋅ 푍 (distributividade em relac¸a˜o a` soma);
(c) (훼푋) ⋅ 푌 = 훼(푋 ⋅ 푌 ) = 푋 ⋅ (훼푌 );
(d) 푋 ⋅푋 = ∣∣푋∣∣2 ≥ 0 e ∣∣푋∣∣ = 0 se, e somente se, 푋 = 0¯;
(e) ∣∣훼푋∣∣ = ∣훼∣ ∣∣푋∣∣;
(f) ∣푋 ⋅ 푌 ∣ ≤ ∣∣푋∣∣∣∣푌 ∣∣ (desigualdade de Cauchy-Schwarz);
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 315
(g) ∣∣푋 + 푌 ∣∣ ≤ ∣∣푋∣∣+ ∣∣푌 ∣∣ (desigualdade triangular).
Demonstrac¸a˜o. Sejam푋, 푌, 푍 ∈ ℝ푛 e 훼 ∈ ℝ. Usando o fato de que se os vetores sa˜o escritos como
matrizes colunas, enta˜o o produto escalar pode ser escrito como o produto de matrizes, 푋 ⋅푌 = 푋 푡푌 ,
e as propriedades da a´lgebra matricial (Teorema 1.1 na pa´gina 10), temos que
(a) 푋 ⋅ 푌 = 푥1푦1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥푛푦푛 = 푦1푥1 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푦푛푥푛 = 푌 ⋅푋 .
(b) 푋 ⋅ (푌 + 푍) = 푋 푡(푌 + 푍) = 푋 푡푌 +푋 푡푍 = 푋 ⋅ 푌 +푋 ⋅ 푍.
(c) 훼(푋 ⋅ 푌 ) = 훼(푋 푡푌 ) = (훼푋 푡)푌 = (훼푋)푡푌 = (훼푋) ⋅ 푌 . A outra igualdade e´ inteiramente
ana´loga.
(d) 푋 ⋅푋 e´ uma soma de quadrados, por isso e´ sempre maior ou igual a zero e e´ zero se, e somente
se, todas as parcelas sa˜o iguais a zero.
(e) ∣∣훼푋∣∣2 = (훼푥1)2 + ⋅ ⋅ ⋅+ (훼푥푛)2 = 훼2(푥21 + ⋅ ⋅ ⋅+ 푥2푛) = 훼2∣∣푋∣∣2. Tomando a raiz quadrada,
segue-se o resultado.
(f) A norma de 휆푋 + 푌 e´ maior ou igual a zero, para qualquer 휆 real. Assim,
0 ≤ ∣∣휆푋 + 푌 ∣∣2 = (휆푋 + 푌 ) ⋅ (휆푋 + 푌 ) = (∣∣푋∣∣2)휆2 + (2푋 ⋅ 푌 )휆+ ∣∣푌 ∣∣2,
para qualquer 휆 real. Logo, o discriminante deste trinoˆmio tem que ser menor ou igual a zero.
Ou seja, Δ = 4(푋 ⋅ 푌 )2 − 4∣∣푋∣∣2∣∣푌 ∣∣2 ≤ 0. Logo, ∣푋 ⋅ 푌 ∣ ≤ ∣∣푋∣∣ ∣∣푌 ∣∣.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
316 Ortogonalidade
(g) Pelo item anterior temos que
∣∣푋 + 푌 ∣∣2 = (푋 + 푌 ) ⋅ (푋 + 푌 ) = ∣∣푋∣∣2 + 2푋 ⋅ 푌 + ∣∣푌 ∣∣2
≤ ∣∣푋∣∣2 + 2∣푋 ⋅ 푌 ∣+ ∣∣푌 ∣∣2
≤ ∣∣푋∣∣2 + 2∣∣푋∣∣∣∣푌 ∣∣+ ∣∣푌 ∣∣2 = (∣∣푋∣∣+ ∣∣푌 ∣∣)2.
Tomando a raiz quadrada, segue-se o resultado. ■
Dizemos que dois vetores 푋 e 푌 sa˜o ortogonais se 푋 ⋅ 푌 = 0. As propriedades do produto
escalar permitem introduzir o conceito de bases ortogonais no ℝ푛. Antes temos o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 5.2. Se 푉1, . . . , 푉푘 sa˜o vetores na˜o nulos de ℝ푛 ortogonais, isto e´, 푉푖 ⋅ 푉푗 = 0, para
푖 ∕= 푗, enta˜o
(a) O conjunto {푉1, . . . , 푉푘} e´ L.I.
(b) Se 푉 =
푘∑
푖=1
훼푖푉푖, enta˜o 훼푖 =
푉 ⋅ 푉푖
∣∣푉푖∣∣2 .
Demonstrac¸a˜o. (a) Considere a equac¸a˜o vetorial
푥1푉1 + . . .+ 푥푘푉푘 = 0¯ . (5.1)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 317
Fazendo o produto escalar de ambos os membros de (5.1) com 푉푖, 푖 = 1, . . . , 푘 e aplicando as
propriedades do produto escalar, obtemos
푥1(푉1 ⋅ 푉푖) + . . .+ 푥푖(푉푖 ⋅ 푉푖) + . . .+ 푥푘(푉푘 ⋅ 푉푖) = 0 . (5.2)
Mas, 푉푖 ⋅ 푉푗 = 0, se 푖 ∕= 푗. Assim, de (5.2) obtemos que
푥푖∣∣푉푖∣∣2 = 0 .
Mas, como 푉푖 ∕= 0¯, enta˜o ∣∣푉푖∣∣ ∕= 0 e 푥푖 = 0, para 푖 = 1 . . . , 푘.
(b) Seja
푉 =
푘∑
푖=1
훼푖푉푖. (5.3)
Fazendo o produto escalar de 푉 com 푉푗 , para 푗 = 1, . . . , 푘, obtemos que
푉 ⋅ 푉푗 =
(
푘∑
푖=1
훼푖푉푖
)
⋅ 푉푗 =
푘∑
푖=1
(훼푖 푉푖 ⋅ 푉푗) = 훼푗 ∣∣푉푗∣∣2.
Assim,
훼푗 =
푉 ⋅ 푉푗
∣∣푉푗∣∣2 , para 푗 = 1, . . . , 푘.
■
Definimos a projec¸a˜o ortogonal de um vetor 푉 sobre um vetor na˜o nulo 푊 por
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
318 Ortogonalidade
proj푊푉 =
(
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 .
Observe que a projec¸a˜o ortogonal de um vetor 푉 sobre um vetor na˜o nulo푊 e´ um mu´ltiplo escalar
do vetor 푊 . Ale´m disso temos o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 5.3. Seja 푊 ∈ ℝ푛 um vetor na˜o nulo. Enta˜o, 푉 − proj푊푉 e´ ortogonal a 푊 , para
qualquer vetor 푉 ∈ ℝ푛.
Demonstrac¸a˜o. Precisamos calcular o produto escalar de 푊 com 푉 − proj푊푉 :
(푉 − proj푊푉 ) ⋅푊 = 푉 ⋅푊 −
(
푉 ⋅푊
∣∣푊 ∣∣2
)
푊 ⋅푊 = 0.
Portanto, 푉 − proj푊푉 e´ ortogonal a 푊 . ■
O pro´ximo resultado e´ uma generalizac¸a˜o da Proposic¸a˜o 5.3.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 319
푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉 푊
푉
푉
−
p
ro
j 푊
푉
proj푊 푉
Figura 5.1: Projec¸a˜o ortogonal do vetor 푉 sobre o vetor 푊
proj푊1푉 +proj푊2푉
proj푊1푉
proj푊2푉
푉
푉
−
p
ro
j 푊
1
푉
−
p
ro
j 푊
2
푉
푊1
푊2
Figura 5.2: 푉 −proj푊1푉 −proj푊2푉 e´ ortogonal a 푊1 e a 푊2
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
320 Ortogonalidade
Proposic¸a˜o 5.4. Sejam 푊1,푊2, . . . ,푊푘 vetores na˜o nulos do ℝ푛, ortogonais entre si, enta˜o para
qualquer vetor 푉 , 푉 − proj푊1푉 − . . .− proj푊푘푉 e´ ortogonal a 푊푖, para 푖 = 1, . . . , 푘.
Demonstrac¸a˜o. Vamos calcular o produto interno de 푉 − proj푊1푉 −
. . .− proj푊푘푉 com 푊푗 , para
푗 = 1, . . . , 푘.(
푉 −
푘∑
푖=1
proj푊푖푉
)
⋅푊푗 = 푉 ⋅푊푗 −
푘∑
푖=1
(
푉 ⋅푊푖
∣∣푊푖∣∣2
)
푊푖 ⋅푊푗 = 푉 ⋅푊푗 −
(
푉 ⋅푊푗
∣∣푊푗∣∣2
)
푊푗 ⋅푊푗 = 0,
pois 푊푖 ⋅푊푗 = 0, se 푖 ∕= 푗 e 푊푗 ⋅푊푗 = ∣∣푊푗∣∣2. ■
Exemplo 5.2. Considere o sistema linear homogeˆneo 퐴푋 = 0¯, em que
퐴 =
⎡
⎣ 1 1 0 0 1−2 −2 1 −1 −1
1 1 −1 1 0
⎤
⎦ .
Escalonando a matriz aumentada do sistema acima, obtemos a matriz escalonada reduzida⎡
⎣ 1 1 0 0 1 00 0 1 −1 1 0
0 0 0 0 0 0
⎤
⎦ .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 321
E assim a soluc¸a˜o geral do sistema pode ser escrita como
푥1 = −훼− 훾, 푥2 = 훾, 푥3 = −훼 + 훽, 푥4 = 훽 푥5 = 훼
para todos os valores de 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ, ou seja, o conjunto soluc¸a˜o do sistema 퐴푋 = 0¯ e´
핎 = {(푥1, 푥2, 푥3, 푥4, 푥5) = (−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) ∣ 훼, 훽, 훾 ∈ ℝ} .
Agora, um elemento qualquer de핎 pode ser escrito como uma combinac¸a˜o linear de vetores de핎:
(−훼− 훾, 훾,−훼 + 훽, 훽, 훼) = (−훼, 0,−훼, 0, 훼) + (0, 0, 훽, 훽, 0) + (−훾, 훾, 0, 0, 0)
= 훼(−1, 0,−1, 0, 1) + 훽(0, 0, 1, 1, 0) + 훾(−1, 1, 0, 0, 0)
Assim, todo vetor de핎 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1),
푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) e 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0) pertencentes a 핎 (푉1 e´ obtido fazendo-se 훼 = 1 e 훽 =
훾 = 0, 푉2 fazendo-se 훼 = 훾 = 0 e 훽 = 1 e 푉3 fazendo-se 훼 = 훽 = 0 e 훾 = 1). Ale´m disso segue da
equac¸a˜o anterior que 푉1, 푉2 e 푉3 sa˜o L.I. Logo {푉1, 푉2, 푉3} e´ uma base de핎.
Vamos, agora, encontrar uma base ortonormal para핎. Para isso vamos aplicar a Proposic¸a˜o 5.3
na pa´gina 318.
푊1 = 푉1 = (−1, 0,−1, 0, 1);
푊2 = 푉2 − proj푊1 푉2 = (0, 0, 1, 1, 0) +
1
3
(−1, 0,−1, 0, 1) = 1
3
(−1, 0, 2, 3, 1)
푊3 = 푉3 − proj푊1 푉3 − proj푊2 푉3 = (−1, 1, 0, 0, 0)−
1
3
(−1, 0,−1, 0, 1)− 1
15
(−1, 0, 2, 3, 1)
=
1
5
(−3, 5, 1,−1,−2)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
322 Ortogonalidade
Agora, vamos “dividir” cada vetor pela sua norma para obtermos vetores de norma igual a 1
(unita´rios).
푈1 =
(
1
∣∣푊1∣∣
)
푊1 = (− 1√
3
, 0,− 1√
3
, 0,
1√
3
)
푈2 =
(
1
∣∣푊2∣∣
)
푊2 = (− 1√
15
, 0,
2√
15
,
3√
15
,
1√
15
)
푈3 =
(
1
∣∣푊3∣∣
)
푊3 = (− 3
2
√
10
,
5
2
√
10
,
1
2
√
10
,− 1
2
√
10
,− 1√
10
)
5.1.2 Bases Ortogonais e Ortonormais
Definic¸a˜o 5.2. Seja {푉1, . . . , 푉푘} uma base de um subespac¸o de ℝ푛.
(a) Dizemos que {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base ortogonal, se 푉푖 ⋅ 푉푗 = 0, para 푖 ∕= 푗, ou seja, se
quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais;
(b) Dizemos que {푉1, . . . , 푉푘} e´ uma base ortonormal, se ale´m de ser uma base ortogonal,
∣∣푉푖∣∣ = 1, ou seja, o vetor 푉푖 e´ unita´rio, para 푖 = 1, . . . 푚.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 323
Exemplo 5.3. A base canoˆnica de ℝ푛, que e´ formada pelos vetores
퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1)
e´ uma base ortonormal de ℝ푛.
Exemplo 5.4. No Exemplo 5.2, {푊1,푊2,푊3} e´ uma base ortogonal de 핎 e {푈1, 푈2, 푈3} e´ uma
base ortonormal de핎.
O resultado a seguir mostra que o procedimento usado no Exemplo 5.2 conhecido como processo
de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt pode ser aplicado a qualquer subespac¸o de ℝ푛. Nas Figuras
5.3 e 5.4 vemos como isto e´ possı´vel no caso em que o subespac¸o e´ o ℝ3, ja´ que o ℝ3 e´ subespac¸o
dele mesmo.
Teorema 5.5. Seja {푉1, . . . , 푉푘} uma base de um subespac¸o 핎 de ℝ푛. Enta˜o, existe uma base
{푈1, . . . , 푈푘} de 핎 que e´ ortonormal e tal que o subespac¸o gerado por 푈1, . . . , 푈푗 e´ igual ao
subespac¸o gerado por 푉1, . . . , 푉푗 para 푗 = 1, . . . , 푘.
Demonstrac¸a˜o. (a) Sejam
푊1 = 푉1 ,
푊2 = 푉2 − proj푊1푉2 ,
푊3 = 푉3 − proj푊1푉3 − proj푊2푉3 ,
. . .
푊푘 = 푉푘 − proj푊1푉푘 − proj푊2푉푘 . . .− proj푊푘−1푉푘.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
324 Ortogonalidade
푊1 = 푉1
푉3
푉2proj푊1푉2
푊2 =
푉2−proj푊1푉2
Figura 5.3: 푊1 = 푉1 e 푊2 = 푉2−proj푊1푉2
푉3
푊1
proj푊1푉3
푊2
푊3 =
푉3−proj푊1푉3
−proj푊2푉3
proj푊2푉3
proj푊1푉3+proj푊2푉3
Figura 5.4: 푊3 = 푉3−proj푊1푉3−proj푊2푉3
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 325
Pela Proposic¸a˜o 5.3, segue-se que 푊2 e´ ortogonal a 푊1 e 푊2 ∕= 0¯, pois 푉1 e 푉2 sa˜o L.I. Assim,
푊1 e 푊2 formam uma base ortogonal do subespac¸o gerado por 푉1 e 푉2. Agora, supondo
que 푊1, . . . ,푊푘−1 seja uma base ortogonal do subespac¸o gerado por 푉1, . . . , 푉푘−1, segue-
se da Proposic¸a˜o 5.4, que 푊푘 e´ ortogonal a 푊1, . . . ,푊푘−1. 푊푘 ∕= 0¯, pois caso contra´rio,
푉푘 pertenceria ao subespac¸o gerado por 푊1, . . . ,푊푘−1 que e´ igual ao subespac¸o gerado por
푉1, . . . , 푉푘−1 e assim 푉1, . . . , 푉푘 seriam L.D. Como 푊1, . . . ,푊푘 sa˜o ortogonais na˜o nulos, pela
Proposic¸a˜o 5.2 na pa´gina 316, eles sa˜o L.I. e portanto formam uma base do subespac¸o핎.
(b) Sejam, agora
푈1 =
(
1
∣∣푊1∣∣
)
푊1, 푈2 =
(
1
∣∣푊2∣∣
)
푊2, . . . , 푈푘 =
(
1
∣∣푊푘∣∣
)
푊푘 .
Assim, {푈1, . . . , 푈푘} e´ uma base ortonormal para o subespac¸o핎.
■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
326 Ortogonalidade
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 591)
5.1.1. Sejam 푋 = (1, 1,−2) e 푌 = (푎,−1, 2). Para quais valores de 푎, 푋 e 푌 sa˜o ortogonais?
5.1.2. Sejam 푋 = (1/√2, 0, 1/√2) e 푌 = (푎, 1/√2,−푏). Para quais valores de 푎 e 푏, o conjunto
{푋, 푌 } forma uma base ortonormal do subespac¸o gerado por eles?
5.1.3. Use o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para
o subespac¸o de ℝ4 que tem como base {(1, 1,−1, 0), (0, 2, 0, 1), (−1, 0, 0, 1)}.
5.1.4. Use o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para transformar a base do ℝ3
{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 2, 3)} em uma base ortonormal do ℝ3.
5.1.5. Encontre uma base ortonormal para o subespac¸o de ℝ3 que consiste de todos os vetores
(푎, 푏, 푐) tais que 푎+ 푏+ 푐 = 0.
5.1.6. Encontre uma base ortonormal para o subespac¸o do ℝ4 que consiste de todos os vetores
(푎, 푏, 푐, 푑) tais que 푎− 푏− 2푐+ 푑 = 0.
5.1.7. Encontre uma base ortonormal para o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo{
푥 + 푦 − 푧 = 0
2푥 + 푦 + 2푧 = 0.
5.1.8. Considere as retas (푥, 푦, 푧) = 푡(1, 2,−3) e (푥, 푦, 푧) = (0, 1, 2) + 푠(2, 4,−6) em ℝ3. Encontre
a equac¸a˜o geral do plano que conte´m estas duas retas e ache uma base ortonormal para este
plano. Complete esta base a uma base ortonormal de ℝ3.
Exercı´cios Teo´ricos
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 327
5.1.9. Mostre que para todo vetor 푉 ∈ ℝ푛 e todo escalar 훼, ∣∣훼푉 ∣∣ = ∣훼∣ ∣∣푉 ∣∣.
5.1.10. Mostre que se 푉 e´ ortogonal a 푊 , enta˜o 푉 e´ ortogonal a 훼푊 , para todo escalar 훼.
5.1.11. Mostre que se 푉 e´ ortogonal a 푊1, . . . ,푊푘, enta˜o 푉 e´ ortogonal a qualquer combinac¸a˜o linear
de 푊1, . . . ,푊푘.
5.1.12. Sejam 푋 , 푌 e 푍 vetores do ℝ푛. Prove que se 푋 ⋅ 푌 = 푋 ⋅ 푍, enta˜o 푌 − 푍 e´ ortogonal a 푋 .
5.1.13. Mostre que se푊1, . . . ,푊푘 sa˜o vetores na˜o nulos ortogonais entre si e푋 = 훼1푊1+. . .+훼푘푊푘,
enta˜o 푋 = proj푊1푋 + . . .+ proj푊푘푋 .
5.1.14. Sejam 푉1, . . . , 푉푘 vetores linearmente dependentes. Mostre que, aplicando-se o processo de
ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt aos vetores 푉1, . . . , 푉푘, se obte´m um vetor 푊푖 que e´ nulo,
para algum 푖 = 1, . . . , 푘. (Sugesta˜o: Seja 푉푖 o primeiro vetor tal que 푉푖 ∈ [푉1, . . . , 푉푖−1] =
[푊1, . . . ,푊푖−1] e use o exercı´cio anterior.)
5.1.15. Seja 푆 = {푊1, . . . ,푊푘} uma base ortogonal de um subespac¸o핎 de ℝ푛. Mostre que um todo
vetor 푉 de핎 pode ser escrito como
푉 =
푉 ⋅푊1
∣∣푊1∣∣2푊1 +
푉 ⋅푊2
∣∣푊2∣∣2푊2 + . . .+
푉 ⋅푊푘
∣∣푊푘∣∣2푊푘.
(Sugesta˜o: escreva 푉 = 푥1푊1 + . . . + 푥푘푊푘, fac¸a o produto escalar de 푉 com 푊푖 e conclua
que 푥푖 = 푉 ⋅푊푖∣∣푊푖∣∣2 , para 푖 = 1, . . . , 푘.)
5.1.16. Mostre que o conjunto de todos os vetores do ℝ푛 ortogonais a um dado vetor 푉 = (푎1, . . . , 푎푛),
핎 = {푋 = (푥1, . . . , 푥푛) ∈ ℝ푛 ∣ 푋 ⋅ 푉 = 0} e´ um subespac¸o do ℝ푛.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
328 Ortogonalidade
5.1.17. Demonstre que, se 푉 e 푊 sa˜o vetores quaisquer do ℝ푛, enta˜o:
(a) 푉 ⋅푊 = 1
4
[∣∣푉 +푊 ∣∣2 − ∣∣푉 −푊 ∣∣2] (identidade polar);
(b) ∣∣푉 ∣∣2 + ∣∣푊 ∣∣2 = 1
2
(∣∣푉 +푊 ∣∣2 + ∣∣푉 −푊 ∣∣2) (lei do paralelogramo).
(Sugesta˜o: desenvolva os segundos membros das igualdades acima observando que
∣∣푉 +푊 ∣∣2 = (푉 +푊 ) ⋅ (푉 +푊 ) e ∣∣푉 −푊 ∣∣2 = (푉 −푊 ) ⋅ (푉 −푊 ))
5.1.18. Seja {푈1, . . . , 푈푛} uma base ortonormal de ℝ푛. Se 퐴 = [ 푈1 . . . 푈푛 ] e´ uma matriz 푛 × 푛
cujas colunas sa˜o os vetores 푈1, . . . , 푈푛, enta˜o 퐴 e´ invertı´vel e 퐴−1 = 퐴푡. (Sugesta˜o: mostre
que 퐴푡퐴 = 퐼푛, usando o fato de que 푈푖 ⋅ 푈푗 = 푈 푡푖푈푗 .)
5.1.19. Mostre que o aˆngulo entre dois vetores na˜o nulos 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) e 푌 = (푦1, . . . , 푦푛) de ℝ푛,
que e´ definido como sendo o nu´mero real 휃 entre 0 e 휋 tal que
cos 휃 =
푋 ⋅ 푌
∣∣푋∣∣ ∣∣푌 ∣∣ ,
esta´ bem definido, ou seja, que existe um tal nu´mero real 휃 e e´ u´nico. (Sugesta˜o: mostre,
usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que
−1 ≤ 푋 ⋅ 푌∣∣푋∣∣ ∣∣푌 ∣∣ ≤ 1.)
5.1.20. Seja핎 um subespac¸o de ℝ푛. Mostre que o conjunto de todos os vetores ortogonais a todos os
vetores de핎 e´ um subespac¸o deℝ푛. Este subespac¸o e´ chamado de complemento ortogonal
de핎 e denotado por핎⊥, ou seja,
핎
⊥ = {푋 ∈ ℝ푛 ∣ 푋 ⋅ 푌 = 0, para todo 푌 ∈핎}.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.1 Produto Escalar em ℝ푛 329
5.1.21. Mostre que todo subespac¸o 핎 de ℝ푛 e´ o espac¸o soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo.
(Sugesta˜o: seja {푊1, . . . ,푊푘} uma base de핎⊥ tome 퐴 = [ 푊1 . . .푊푘 ]푡.)
5.1.22. Embora na˜o exista o produto vetorial de dois vetores em ℝ푛, para 푛 > 3, podemos definir o
produto vetorial de 푛 − 1 vetores, 푉1 = (푣11, . . . , 푣1푛), . . . , 푉푛−1 = (푣(푛−1)1, . . . , 푣(푛−1)푛)
como
푉1 × 푉2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1 =
(
(−1)푛+1 det(푣푖푗)푗 ∕=1, (−1)푛+2 det(푣푖푗)푗 ∕=2, . . . , (−1)2푛 det(푣푖푗)푗 ∕=푛
)
.
Mostre que:
(a) 푉1 × 푉2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1 e´ ortogonal a 푉1, . . . , 푉푛−1.
(b) 훼(푉1 × 푉2 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1) = 푉1 × ⋅ ⋅ ⋅훼푉푖 × ⋅ ⋅ ⋅ × 푉푛−1
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330 Produto Escalar em ℝ푛
5.2 Subespac¸os Ortogonais
Se 푁 = (푎, 푏, 푐) e´ um vetor na˜o nulo de ℝ3, o conjunto dos vetores que sa˜o ortogonais a 푁 , e´
um plano que passa pela origem e tem 푁 como vetor normal. Neste caso dizemos que o plano e´ o
subespac¸o ortogonal ao conjunto {푁}.
Definic¸a˜o 5.3. Seja 풮 um subconjunto na˜o vazio de ℝ푛. O complemento ortogonal de 풮, denotado
por 풮⊥, e´ o conjunto de todos os vetores de ℝ푛 que sa˜o ortogonais a todo vetor de 풮. Ou seja,
풮
⊥ = {푋 ∈ ℝ푛 ∣ 푋 ⋅ 푌 = 0 para todo 푌 ∈ 푆}.
Mesmo quando 풮 na˜o e´ um subespac¸o, 풮⊥ e´ um subespac¸o.
Proposic¸a˜o 5.6. Seja 풮 um subconjunto de ℝ푛. Enta˜o, o conjunto 풮⊥ e´ um subespac¸o.
Demonstrac¸a˜o. Vamos verificar as propriedades (a) e (b) na pa´gina 245 que definem um subespac¸o.
(a) Sejam 푋1 e 푋2 vetores de 풮⊥. Enta˜o,
(푋1 +푋2) ⋅ 푌 = 푋1 ⋅ 푌 +푋2 ⋅ 푌 = 0 + 0 = 0, para todo 푌 ∈ 푆.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 331
(b) Seja 푋 ∈ 푆⊥ e 훼 um escalar. Enta˜o,
(훼푋) ⋅ 푌 = 훼(푋 ⋅ 푌 ) = 훼0 = 0, para todo 푌 ∈ 푆.
■
Exemplo 5.5. Se 풮 = {0¯} ⊂ ℝ푛, enta˜o 풮⊥ = ℝ푛. Se 풮 = ℝ푛, enta˜o 풮⊥ = {0¯}.
Exemplo 5.6. Seja 풮 = {푁 = (푎1, . . . , 푎푛)} ⊂ ℝ푛. Enta˜o,
풮
⊥ = {푋 = (푥1, . . . , 푥푛) ∈ ℝ푛 ∣ 푎1푥1 + . . .+ 푎푛푥푛 = 0}.
Exemplo 5.7. Seja 풮 = {푉1, . . . , 푉푚} ⊂ ℝ푛, em que 푉1 = (푎11, . . . , 푎1푛), . . . , 푉푚 = (푎푚1, . . . , 푎푚푛).
Enta˜o,
풮
⊥ = {푋 ∈ ℝ푛 ∣ 퐴푋 = 0¯}, em que 퐴 = (푎푖푗)푚×푛.
Se 풮 =핎 e´ um subespac¸o, ale´m de핎⊥ ser um subespac¸o, sa˜o va´lidas as propriedades a seguir.
Proposic¸a˜o 5.7. Sejam핎 um subespac¸o de ℝ푛 e핎⊥ o seu complemento ortogonal. Enta˜o:
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332 Produto Escalar em ℝ푛
(a) Todo vetor de 푉 ∈ ℝ푛 se decompo˜e de maneira u´nica como uma soma de dois vetores 푉1 e
푉2, sendo 푉1 pertencente a 핎 e 푉2 pertencente a 핎⊥, ou seja, para todo 푉 ∈ ℝ푛 existe um
u´nico 푉1 ∈핎 e um u´nico 푉2 ∈핎⊥ tal que
푉 = 푉1 + 푉2.
(b) O subespac¸o ortogonal de핎⊥ e´핎, ou seja,
(핎⊥)⊥ =핎.
Demonstrac¸a˜o. (a) Seja 푉 um vetor qualquer de 핍. Seja 푊1, . . . ,푊푚 uma base ortogonal de핎.
Defina 푉1 = proj푊1푉 +. . .+proj푊푚푉 . Pela Proposic¸a˜o 5.4 na pa´gina 320, o vetor 푉2 = 푉 −푉1
e´ ortogonal a 푊푘, para 푘 = 1, . . . ,푚. Logo, 푉2 e´ ortogonal a todo vetor de 핎 e portanto
푉2 ∈핎⊥. Assim, 푉 = 푉1 + 푉2, com 푉1 ∈핎 e 푉2 ∈핎⊥.
Sejam 푋 ∈핎 e 푌 ∈핎⊥ tais que 푉 = 푋 + 푌 . Enta˜o,
푉1 = proj푊1푉 + . . .+ proj푊푚푉 = proj푊1(푋 + 푌 ) + . . .+ proj푊푚(푋 + 푌 )
= proj푊1푋 + . . .+ proj푊푚푋 = 푋,
pois como 푌 ∈ 핎⊥, proj푊푘(푋 + 푌 ) = proj푊푘푋 , para 푘 = 1, . . . ,푚 e como 푋 ∈ 핎, pela
Proposic¸a˜o 5.2 na pa´gina 316, 푋 = proj푊1푋 + . . .+ proj푊푚푋 .
E
푌 = 푉 −푋 = 푉 − 푉1 = 푉2.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 333
(b) Todo elemento de 핎 claramente pertence a (핎⊥)⊥. Assim, 핎 ⊆ (핎⊥)⊥. Falta mostrar que
(핎⊥)⊥ ⊆핎. Seja 푋 ∈ (핎⊥)⊥. Enta˜o, 푋 = 푈 + 푉 , em que 푈 ∈핎 e 푉 ∈핎⊥. Assim,
0 = 푋 ⋅ 푉 = (푈 + 푉 ) ⋅ 푉 = 푈 ⋅ 푉 + 푉 ⋅ 푉 = 푉 ⋅ 푉 = ∣∣푉 ∣∣2.
Consequ¨entemente, 푉 = 0¯. Assim, 푋 ∈핎 e (핎⊥)⊥ ⊆핎. Portanto, (핎⊥)⊥ =핎.
■
Seja 핎 um subespac¸o do ℝ푛. Dado um vetor 푉 ∈ ℝ푛, em virtude da Proposic¸a˜o 5.7 existe uma
u´nica decomposic¸a˜o 푉 = 푉1 + 푉2, com 푉1 ∈ 핎 e 푉2 ∈ 핎⊥. O vetor 푉1 e´ chamado projec¸a˜o
ortogonal de 푉 no subespac¸o핎 e e´ denotado por proj핎푉 .
Se {푊1, . . . ,푊푚} e´ uma base ortogonal de 핎, enta˜o decorre da demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o
5.7 que
proj핎푉 = proj푊1푉 + . . .+ proj푊푚푉 .
Exemplo 5.8. Seja 핎 o subespac¸o gerado pelos vetores 푉1 = (1, 0, 0, 0), 푉2 = (1, 1, 0, 0), 푉3 =
(−4,−4, 1, 1). Seja 푋 = (−2,−4, 0, 2). Vamos encontrar 푌 ∈핎 e 푍 ∈핎⊥ tais que 푋 = 푌 + 푍.
Basta tomarmos 푌 = proj핎푋 e 푍 = 푋 − 푌 .
Para encontrar esta decomposic¸a˜o vamos aplicar o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-
Schmidt aos vetores 푉1, 푉2 e 푉3 obtendo 푊1,푊2 e 푊3 uma base ortogonal de핎.
푊1 = 푉1, 푊2 = 푉2 − proj푊1푉2 = (0, 1, 0, 0),
푊3 = 푉3 − proj푊1푉3 − proj푊2푉3 = (0, 0, 1, 1).
Assim,
푌 = proj핎푋 = proj푊1푋 +proj푊2푋 +proj푊3푋 = (−2,−4, 1, 1) e 푍 = 푋 −푌 = (0, 0,−1, 1)
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334 Produto Escalar em ℝ푛
핎2 =핎⊥1
핎1 =핎⊥2
0¯
Figura 5.5: Complementos ortogonais
푌 = proj핎푉
핎
푉 = 푉1 + 푉2푉2 ∈핎⊥
0¯
Figura 5.6: Decomposic¸a˜o de um ponto
푉 = 푉1 + 푉2, com 푉1 ∈핎, 푉2 ∈핎⊥
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 335
5.2.1 Subespac¸os Fundamentais
Lembramos que a imagem de uma matriz 퐴, 푚× 푛, e´ o subespac¸o definido por
ℐ(퐴) = {푌 ∈ ℝ푚 ∣퐴푋 = 푌 para algum푋 ∈ ℝ푛},
que e´ igual ao espac¸o coluna de 퐴 (Proposic¸a˜o 4.17 na pa´gina 287). Lembramos tambe´m que o
nu´cleo de 퐴 e´ definido por
풩(퐴) = {푋 ∈ ℝ푛 ∣퐴푋 = 0¯ }.
Ja´ vimos que dim(풩(퐴)) + dim(ℐ(퐴)) = 푛 (Teorema 4.18 na pa´gina 287). Observe que enquanto
풩(퐴) e´ um subespac¸o do ℝ푛, ℐ(퐴) e´ um subespac¸o do ℝ푚. Mas, ℐ(퐴푡) e´ tambe´m um subespac¸o de
ℝ
푛 e 풩(퐴푡) e´ um subespac¸o do ℝ푚. Assim, 풩(퐴) e ℐ(퐴푡) sa˜o subespac¸os do ℝ푛 e 풩(퐴푡) e ℐ(퐴)
sa˜o subespac¸os do ℝ푚 e sa˜o va´lidas as seguintes relac¸o˜es de ortogonalidade.
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336 Produto Escalar em ℝ푛
Teorema 5.8. Se 퐴 e´ uma matriz 푚× 푛, enta˜o
(a) 풩(퐴) = ℐ(퐴푡)⊥.
(b) 풩(퐴푡) = ℐ(퐴)⊥.
Demonstrac¸a˜o. (a) Um vetor 푉 pertence ao nu´cleo de 퐴 se, e somente se, 퐴푉 = 0¯. Isto acon-
tece se, e somente se, 퐴푉 e´ ortogonal a todo vetor 푌 ∈ ℝ푚, ou seja, se, e somente se,
푌 푡퐴푉 = 0 para todo vetor 푌 ∈ ℝ푚. Esta equac¸a˜o e´ equivalente a sua transposta, ou seja,
푉 푡퐴푡푌 = 0. Variando-se 푌 em ℝ푚, 퐴푡푌 percorre toda a imagem de 퐴푡. Assim, 푉 푡퐴푡푌 = 0,
para todo 푌 ∈ ℝ푚 se, e somente se, 푉 ∈ ℐ(퐴푡)⊥. Portanto, 푉 ∈ 풩(퐴) se, e somente se,
푉 ∈ ℐ(퐴푡)⊥.
(b) Basta aplicar o item anterior a 퐴푡.
■
5.2.2 Problema de Quadrados Mı´nimos
Muitos problemas, quando modelados, levam a sistemas lineares 퐴푋 = 퐵, que sa˜o inconsisten-
tes (isto e´, na˜o possuem soluc¸a˜o), apesar dos problemas que os originaram requererem soluc¸a˜o.
A
inconsisteˆncia vem com frequ¨eˆncia devido a erros experimentais na matriz 퐵. Uma forma de resolver
esta inconsisteˆncia e´ resolver o problema de quadrados mı´nimos associado, ou seja,
min ∣∣퐴푋 −퐵∣∣2.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 337
ℐ(퐴)ℐ(퐴푡)
퐴
퐴푡
0¯ 풩(퐴푡)0¯풩(퐴)
ℝ푛 ℝ푚
Figura 5.7: Subespac¸os 풩(퐴), ℐ(퐴푡),
ℐ(퐴) e 풩(퐴푡)
푄
핎
퐵
0¯
Figura 5.8: Ponto em um subespac¸o mais
pro´ximo do ponto 퐵
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338 Produto Escalar em ℝ푛
Apesar de na˜o ser esta a u´nica forma de resolver a inconsisteˆncia, pode-se mostrar que se os erros
em 퐵 forem na˜o viciados e os 푏푖 tiverem a mesma variaˆncia (fixa), enta˜o a soluc¸a˜o do problema de
quadrados mı´nimos e´ a que tem a menor variaˆncia dentro de um certo conjunto de “soluc¸o˜es”.
O teorema seguinte e´ a chave para a soluc¸a˜o do problema de quadrados mı´nimos.
Teorema 5.9. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛. O problema de quadrados mı´nimos:
min ∣∣퐴푋 −퐵∣∣2
e´ equivalente a resolver o sistema linear consistente
퐴푡퐴푋 = 퐴푡퐵,
chamado de sistema de equac¸o˜es normais.
Demonstrac¸a˜o. O problema de quadrados mı´nimos
min ∣∣퐴푋 −퐵∣∣2
pode ser escrito como
min
푌 ∈ℐ(퐴)
∣∣푌 −퐵∣∣2 e 푌 = 퐴푋. (5.4)
Seja 핎 = ℐ(퐴). Segue da Proposic¸a˜o 5.7 na pa´gina 331 que existe uma u´nica decomposic¸a˜o de 퐵
como
퐵 = 푄+ 푍,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 339
em que 푄 ∈핎 e 푍 ∈핎⊥. Vamos mostrar que
min
푌 ∈핎
∣∣퐵 − 푌 ∣∣ = ∣∣퐵 −푄∣∣.
Seja 푌 um vetor qualquer de핎. Temos que
∣∣푌 − 퐵∣∣2 = ∣∣(푌 −푄) + (푄− 퐵)∣∣2 = ∣∣푌 −푄∣∣2 + 2(푌 −푄) ⋅ (푄−퐵) + ∣∣퐵 −푄∣∣2.
Mas,
(푌 −푄) ⋅ (푄−퐵) = 푄 ⋅ (퐵 −푄)− 푌 ⋅ (퐵 −푄) = 0,
pois 푌,푄 ∈핎 e 퐵 −푄 = 푍 ∈핎⊥. Logo,
∣∣푌 −퐵∣∣2 = ∣∣(푌 −푄) + (푄−퐵)∣∣2 = ∣∣푌 −푄∣∣2 + ∣∣퐵 −푄∣∣2. (5.5)
Variando 푌 em 핎, vemos de (5.5) que o mı´nimo de ∣∣푌 − 퐵∣∣ ocorre somente para 푌 = 푄, ja´ que
∣∣퐵 −푄∣∣2 permanece fixo em (5.5) quando variamos 푌 em핎. Portanto,
min
푌 ∈핎
∣∣퐵 − 푌 ∣∣ = ∣∣퐵 −푄∣∣,
em que o ponto 푄 e´ tal que 퐵 − 푄 ∈ 핎⊥. Assim, a soluc¸a˜o do problema (5.4) e´ um ponto 푋 ∈ ℝ푛
tal que 퐵 − 퐴푋 ∈ ℐ(퐴)⊥. Mas, Pelo Teorema 5.8 ℐ(퐴)⊥ = 풩(퐴푡). Assim, 푋 e´ tal que
퐴푡(퐵 − 퐴푋) = 0¯.
Ou seja, a soluc¸a˜o do problema de quadrados mı´nimos e´ a soluc¸a˜o do sistema linear
퐴푡퐴푋 = 퐴푡퐵.
■
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340 Produto Escalar em ℝ푛
퐴푋 = 퐵ˆ
퐵
0¯
푋
ℝ푛 ℝ푚
Figura 5.9: A soluc¸a˜o de quadrados
mı´nimos
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Figura 5.10: Reta que “melhor” se ajusta
a quatro pontos
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 341
Exemplo 5.9. Vamos determinar a reta de equac¸a˜o 푦 = 푎푥 + 푏 que melhor se ajusta aos pontos
푃1 = (−3, 6), 푃2 = (0, 4), 푃3 = (1, 0) e 푃4 = (2, 2) no sentido de quadrados mı´nimos, ou seja, tal
que
4∑
푖=1
(푦푖 − 푎푥푖 − 푏)2 seja mı´nimo. Substituindo-se estes pontos na equac¸a˜o da reta obtemos o
seguinte sistema ⎧⎨
⎩
−3푎 + 푏 = 6
푏 = 4
푎 + 푏 = 0
2푎 + 푏 = 2
Para este sistema temos que 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
−3 1
0 1
1 1
2 1
⎤
⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎣
6
4
0
2
⎤
⎥⎥⎦. Para encontrar a soluc¸a˜o de quadrados
mı´nimos deste sistema temos que resolver as equac¸o˜es normais 퐴푡퐴푋 = 퐴푡퐵. Neste caso,
퐴푡퐴 =
[
14 0
0 4
]
e 퐴푡퐵 =
[ −14
12
]
Assim a soluc¸a˜o de quadrados mı´nimos e´ 푋 = [−1 3]푡, ou 푎 = −1, 푏 = 3. A reta 푦 = −푥 + 3 e´ a
reta procurada.
Exemplo 5.10. Vamos determinar a para´bola de equac¸a˜o 푦 = 푎푥2+ 푏푥+ 푐 que melhor se ajusta aos
pontos 푃1 = (−2, 0), 푃2 = (−1, 2), 푃3 = (1, 2) e 푃4 = (2, 10) no sentido de quadrados mı´nimos,
ou seja, tal que
4∑
푖=1
(푦푖 − 푎푥2푖 − 푏푥푖 − 푐)2 seja mı´nimo. Substituindo-se estes pontos na equac¸a˜o da
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
342 Produto Escalar em ℝ푛
para´bola obtemos o seguinte sistema⎧⎨
⎩
4푎 − 2푏 + 푐 = 0
푎 − 푏 + 푐 = 2
푎 + 푏 + 푐 = 2
4푎 + 2푏 + 푐 = 10
Para este sistema temos que 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
4 −2 1
1 −1 1
1 1 1
4 2 1
⎤
⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎣
0
2
2
10
⎤
⎥⎥⎦. Para encontrar a soluc¸a˜o de
quadrados mı´nimos deste sistema temos que resolver as equac¸o˜es normais 퐴푡퐴푋 = 퐴푡퐵. Aqui,
퐴푡퐴 =
⎡
⎣ 34 0 100 10 0
10 0 4
⎤
⎦ e 퐴푡퐵 =
⎡
⎣ 4420
14
⎤
⎦
Escalonando a matriz aumentada [퐴푡퐴∣퐴푡퐵] obtemos que a soluc¸a˜o de quadrados mı´nimos e´ 푋 =
[1 2 1]푡, ou 푎 = 1, 푏 = 2 e 푐 = 1. E 푦 = 푥2 + 2푥+ 1 e´ a equac¸a˜o da para´bola procurada.
Exemplo 5.11. Vamos determinar o cı´rculo de equac¸a˜o 푥2 + 푦2 = 푎푥+ 푏푦 + 푐 que melhor se ajusta
aos pontos 푃1 = (−2, 0), 푃2 = (0, 2), 푃3 = (1,−3) e 푃4 = (3, 1) no sentido de quadrados mı´nimos,
ou seja, tal que
4∑
푖=1
(푥2푖 + 푦
2
푖 − 푎푥푖− 푏푦푖− 푐)2 seja mı´nimo. Substituindo-se estes pontos na equac¸a˜o
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 343
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
x
y
Figura 5.11: Para´bola que “melhor” se
ajusta a quatro pontos
−2 −1 0 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
y
Figura 5.12: Cı´rculo que “melhor” se
ajusta a quatro pontos
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
344 Produto Escalar em ℝ푛
do cı´rculo obtemos o seguinte sistema⎧⎨
⎩
−2푎 + 푐 = 4
+ 2푏 + 푐 = 4
푎 − 3푏 + 푐 = 10
3푎 + 푏 + 푐 = 10
Para este sistema temos que 퐴 =
⎡
⎢⎢⎣
−2 0 1
0 2 1
1 −3 1
3 1 1
⎤
⎥⎥⎦ e 퐵 =
⎡
⎢⎢⎣
4
4
10
10
⎤
⎥⎥⎦. Para encontrar a soluc¸a˜o de
quadrados mı´nimos deste sistema temos que resolver as equac¸o˜es normais 퐴푡퐴푋 = 퐴푡퐵. Aqui,
퐴푡퐴 =
⎡
⎣ 14 0 20 14 0
2 0 4
⎤
⎦ e 퐴푡퐵 =
⎡
⎣ 4420
14
⎤
⎦
Escalonando a matriz aumentada [퐴푡퐴∣퐴푡퐵] obtemos que a soluc¸a˜o de quadrados mı´nimos e´ 푋 =
[18/13 − 6/7 82/13]푡, ou 푎 = 18/13, 푏 = −6/7 e 푐 = 82/13. A equac¸a˜o do cı´rculo procurado e´
푥2 + 푦2− (18/13)푥+ (6/7)푦 = 82/13. O centro do cı´rculo 푃0 = (푥0, 푦0) e o raio 푟 sa˜o obtidos pelas
equac¸o˜es 푎 = 2푥0, 푏 = 2푦0 e 푟2 = 푐+ 푥20 + 푦20 . Assim, 푥0 = 9/13, 푦0 = −3/7 e 푟 =
√
57724
8281
≈ 2, 6.
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 596)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 345
5.2.1. Para cada uma das seguintes matrizes determine uma base para cada um dos seguintes
subespac¸os ℐ(퐴푡),풩(퐴), ℐ(퐴) e 풩(퐴푡).
(a)
⎡
⎢⎢⎣
4 −2
1 3
2 1
3 4
⎤
⎥⎥⎦ (b)
⎡
⎢⎢⎣
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
1 1 2 2
⎤
⎥⎥⎦
5.2.2. Seja핎 o subespac¸o de ℝ3 gerado por 푉 = (1,−1, 1). Encontre uma base para핎⊥ e deˆ uma
interpretac¸a˜o geome´trica para핎 e핎⊥.
5.2.3. Seja 핎 o subespac¸o do ℝ4 gerado pelos vetores 푉1 = (1, 0,−2, 1) e 푉2 = (0, 1, 3,−2).
Encontre uma base para핎⊥.
5.2.4. Encontre a equac¸a˜o da para´bola que melhor se ajusta aos pontos dados no sentido de quadra-
dos mı´nimos, ou seja, tal que
4∑
푖=1
(푦푖 − 푎푥2푖 − 푏푥푖 − 푐)2 seja mı´nimo:
(a) 푃1 = (−2, 1), 푃2 = (−1, 2), 푃3 = (1, 0) e 푃4 = (2, 7).
(b) 푃1 = (−2, 1), 푃2 = (−1, 3), 푃3 = (1, 3) e 푃4 = (2, 11).
5.2.5. Encontre a equac¸a˜o do cı´rculo que melhor se ajusta aos pontos dados no sentido de quadrados
mı´nimos, ou seja, tal que
4∑
푖=1
(푥2푖 + 푦
2
푖 − 푎푥푖 − 푏푦푖 − 푐)2 seja mı´nimo:
(a) 푃1 = (−2, 0), 푃2 = (0, 1), 푃3 = (1,−2) e 푃4 = (2, 1).
(b) 푃1 = (−2, 1), 푃2 = (−1,−2), 푃3 = (0, 1) e 푃4 = (2, 0).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
346 Produto Escalar em ℝ푛
5.2.6. Encontre a soluc¸a˜o de quadrados mı´nimos dos seguintes sistemas:
(a)
⎧⎨
⎩
푥 + 2푦 = 3
2푥 + 4푦 = 2
−푥 − 2푦 = 1
(b)
⎧⎨
⎩
−푥 + 푦 = 10
2푥 + 푦 = 5
푥 − 2푦 = 20
(c)
⎧⎨
⎩
푥 + 푦 + 푧 = 4
−푥 + 푦 + 푧 = 2
− 푦 + 푧 = 1
푥 + 푧 = 2
Exercı´cios usando o MATLABⓇ
5.2.7. (a) Use o comando P=randi(5,2), para gerar 5 pontos com entradas inteiras e aleato´rias
entre −5 e 5. Os pontos esta˜o armazenados nas linhas da matriz P.
(b) Use o MATLABⓇ para encontrar os coeficientes 푎, 푏, 푐 e 푑 da func¸a˜o polinomial
푝(푥) =
푎푥3 + 푏푥2 + 푐푥 + 푑 que melhor se ajusta aos pontos dados pelas linhas da matriz P, no
sentido de quadrados mı´nimos, ou seja, tal que∑(푦푖−푎푥3푖 − 푏푥2푖 − 푐푥−푑)2 seja mı´nimo.
A matriz A=matvand(P(:,1),3) pode ser u´til na soluc¸a˜o deste problema, assim como a
matriz B=P(:,2).
(c) Desenhe os pontos e o gra´fico do polinoˆmio com os comandos
clf,po(P), syms x, plotf1(a*xˆ3+b*xˆ2+c*x+d,[-5,5]), em que a,b,c e d sa˜o os
coeficientes ja´ encontrados. Desenhe os eixos coordenados com o comando eixos.
5.2.8. (a) Use o comando P=randi(6,2), para gerar 6 pontos com entradas inteiras e aleato´rias
entre −5 e 5. Os pontos esta˜o armazenados nas linhas da matriz P.
(b) Use o MATLABⓇ para encontrar os coeficientes 푎, 푏, 푐, 푑 e 푒 da coˆnica de equac¸a˜o 푥2 +
푎푥푦+ 푏푦2 + 푐푥+ 푑푦+ 푒 = 0, cujo gra´fico melhor se ajusta aos pontos dados pelas linhas
da matriz P, no sentido de quadrados mı´nimos, ou seja, tal que ∑(푥2푖 − 푎푥푖푦푖 − 푏푦2푖 −
푐푥푖 − 푑푦푖 − 푒)2 seja mı´nimo. As matrizes M=matvand(P,2), B=-M(:,1) e A=M(:,2:6)
podem ser u´teis na soluc¸a˜o deste problema.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.2 Subespac¸os Ortogonais 347
(c) Desenhe os pontos e a coˆnica com os comandos
clf,po(P), syms x y, plotci(xˆ2+a*x*y+b*yˆ2+c*x+d*y+e,[-5,5],[-5,5]), em
que a,b,c,d e e sa˜o os coeficientes encontrados no item anterior. Desenhe os eixos
coordenados com o comando eixos.
Exercı´cios Teo´ricos
5.2.9. Seja 퐴푗 uma coluna na˜o nula de uma matriz 퐴, 푚× 푛. ´E possı´vel que 퐴푗 pertenc¸a ao 풩(퐴푡)?
5.2.10. Seja 핎 um subespac¸o de ℝ푛 gerado pelos vetores 푉1, . . . , 푉푘. Mostre que 푉 ∈ 핎⊥ se, e
somente se, 푉 e´ ortogonal a 푉푖, para 푖 = 1, . . . , 푘.
5.2.11. Sejam핎1 e핎2 subespac¸os deℝ푛. Mostre que (핎1+핎2)⊥ =핎⊥1 ∩핎⊥2 e que (핎1∩핎2)⊥ =
핎
⊥
1 +핎
⊥
2 .
5.2.12. Sejam 풮 e 풮0 subconjuntos de ℝ푛. Mostre que 풮0 ⊆ 풮 implica que 풮⊥ ⊆ 풮⊥0 .
5.2.13. Se 퐴 e´ uma matriz 푚× 푛 de posto igual a 푟, quais as dimenso˜es de 풩(퐴) e 풩(퐴푡)?
5.2.14. Seja 퐴 uma matriz 푚× 푛.
(a) Mostre que se 퐴푋 = 0¯, enta˜o 퐴푡퐴푋 = 0¯;
(b) Mostre que se 퐴푡퐴푋 = 0¯, enta˜o 퐴푋 = 0¯; (Sugesta˜o: Use o fato de que 퐴푡퐴푋 = 0¯ se,
e somente se, 퐴푋 ∈ 풩(퐴푡).)
(c) Mostre que 풩(퐴푡퐴) = 풩(퐴).
(d) Mostre que se 퐴푡퐴 e´ invertı´vel, enta˜o as colunas de 퐴 sa˜o linearmente independentes.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
348 Produto Escalar em ℝ푛
(e) Mostre que se 퐴 e´ uma matriz cujas colunas sa˜o linearmente independentes, enta˜o 퐴푡퐴
e´ uma matriz invertı´vel. Por que neste caso, 푚 ≥ 푛?
(f) Mostre que posto(퐴) = posto(퐴푡퐴).
5.2.15. Sejam 퐴 uma matriz 푚 × 푛 com colunas linearmente independentes e 퐵 uma matriz 푚 × 1.
Mostre que neste caso, a matriz 퐴푡퐴 e´ invertı´vel e que vale a seguinte fo´rmula para a soluc¸a˜o
do problema de quadrados mı´nimos, min ∣∣퐴푋 −퐵∣∣2,
푋 = (퐴푡퐴)−1퐴푡퐵.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 349
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas
Se as coordenadas de um ponto 푃 no espac¸o sa˜o (푥, 푦, 푧), enta˜o as componentes do vetor
−→
푂푃
tambe´m sa˜o (푥, 푦, 푧) e enta˜o podemos escrever
−→
푂푃 = (푥, 푦, 푧) = (푥, 0, 0) + (0, 푦, 0) + (0, 0, 푧)
= 푥(1, 0, 0) + 푦(0, 푦, 0) + 푧(0, 0, 1) = 푥⃗푖+ 푦푗⃗ + 푧푘⃗,
em que 푖⃗ = (1, 0, 0), 푗⃗ = (0, 1, 0) e 푘⃗ = (0, 0, 1). Ou seja, as coordenadas de um ponto 푃 sa˜o
iguais aos escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂푃 como uma combinac¸a˜o linear dos vetores
canoˆnicos. Assim, o ponto 푂 = (0, 0, 0) e os vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ determinam um sistema de coor-
denadas ortogonal, {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗}. Para resolver alguns problemas geome´tricos e´ necessa´rio usarmos
um segundo sistema de coordenadas ortogonal determinado por uma origem 푂′ e por 3 veto-
res 푈1, 푈2 e 푈3 ortonormais de ℝ3.∗ Por exemplo, se 푂′ = (2, 3/2, 3/2), 푈1 = (
√
3/2, 1/2, 0),
푈2 = (−1/2,
√
3/2, 0) e 푈3 = (0, 0, 1) = 푘⃗, enta˜o {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} determina um novo sistema de
coordenadas: aquele com origem no ponto 푂′, cujos eixos 푥′, 푦′ e 푧′ sa˜o retas que passam por 푂′
orientadas com os sentidos e direc¸o˜es de 푈1, 푈2 e 푈3, respectivamente (Figura 5.14).
As coordenadas de um ponto 푃 no sistema de coordenadas {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} e´ definido como
sendo os escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂′푃 como combinac¸a˜o linear dos vetores 푈1, 푈2
e 푈3, ou seja, se
−→
푂′푃= 푥′푈1 + 푦′푈2 + 푧′푈3,
∗Em geral, um sistema de coordenadas (na˜o necessariamente ortogonal) e´ definido por um ponto 푂′ e treˆs vetores
푉1, 푉2 e 푉3 L.I. de ℝ3 (na˜o necessariamente ortonormais) (veja o Exercı´cio 5.3.9 na pa´gina 369).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
350 Ortogonalidade
x y
z
푦푗⃗푥⃗푖
푥푘⃗
푃 = (푥, 푦, 푧)
Figura 5.13:
−→
푂푃= 푥⃗푖+ 푦푗⃗ + 푧푘⃗
x y
z
x’
y’
z’
푈3
푂′ 푈2
푈1
Figura 5.14: Dois sistemas de coordenadas
ortogonais {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗} e {푂′, 푈1, 푈2, 푈3}
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 351
enta˜o as coordenadas de 푃 no sistema {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,푈1,푈2,푈3} =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ .
Vamos considerar inicialmente o caso em que 푂 = 푂′. Assim, se
−→
푂푃= (푥, 푦, 푧), enta˜o 푥′푈1 +
푦′푈2 + 푧′푈3 =
−→
푂푃 e´ equivalente ao sistema linear
푄푋 ′ = 푋, em que 푄 = [ 푈1 푈2 푈3 ], 푋 ′ =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ , 푋 =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Como a matriz 푄 e´ invertı´vel (por que?) a soluc¸a˜o e´ dada por
푋 ′ = 푄−1푋.
Mas, como 푈1, 푈2 e 푈3 formam uma base ortonormal de ℝ3, enta˜o
푄푡푄 =
⎡
⎣ 푈 푡1푈 푡2
푈 푡3
⎤
⎦ [ 푈1 푈2 푈3 ] =
⎡
⎣ 푈 푡1푈1 푈 푡1푈2 푈 푡1푈3푈 푡2푈1 푈 푡2푈2 푈 푡2푈3
푈 푡3푈1 푈
푡
3푈2 푈
푡
3푈3
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푈1 ⋅ 푈1 푈1 ⋅ 푈2 푈1 ⋅ 푈3푈2 ⋅ 푈1 푈2 ⋅ 푈2 푈2 ⋅ 푈3
푈3 ⋅ 푈1 푈3 ⋅ 푈2 푈3 ⋅ 푈3
⎤
⎦ = 퐼3
Assim, a matriz 푄 = [푈1 푈2 푈3 ] e´ invertı´vel e 푄−1 = 푄푡. Desta forma as coordenadas de um ponto
푃 no espac¸o em relac¸a˜o ao sistema {푂,푈1, 푈2, 푈3}, 푥′, 푦′ e 푧′ esta˜o unicamente determinados e
[푃 ]{푂,푈1,푈2,푈3} = 푄
푡[푃 ]{푂,⃗푖,⃗푗,⃗푘} ou
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ = 푄푡
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
352 Ortogonalidade
Tambe´m no plano temos o mesmo tipo de situac¸a˜o que e´ tratada de forma inteiramente ana´loga.
As coordenadas de um ponto 푃 no plano em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas {푂′, 푈1, 푈2},
em que 푈1 e 푈2 sa˜o vetores que formam uma base ortonormal do ℝ2, e´ definido como sendo os
escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂′푃 como combinac¸a˜o linear de 푈1 e 푈2, ou seja, se
−→
푂′푃= 푥′푈1 + 푦′푈2,
enta˜o as coordenadas de 푃 no sistema {푂′, 푈1, 푈2} sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,푈1,푈2} =
[
푥′
푦′
]
.
As coordenadas de um ponto 푃 no plano em relac¸a˜o ao sistema {푂,푈1, 푈2, 푈3} esta˜o bem
definidas, ou seja, 푥′ e 푦′ esta˜o unicamente determinados e sa˜o dados por
[푃 ]{푂,푈1,푈2} = 푄
푡[푃 ]{푂,퐸1,퐸2} ou
[
푥′
푦′
]
= 푄푡
[
푥
푦
]
,
em que 퐸1 = (1, 0) e 퐸2 = (0, 1). Observe que, tanto no caso do plano quanto no caso do espac¸o, a
matriz푄 satisfaz, 푄−1 = 푄푡. Uma matriz que satisfaz esta propriedade e´ chamada matriz ortogonal.
Exemplo 5.12. Considere o sistema de coordenadas no plano em que 푂′ = 푂 e 푈1 = (
√
3/2, 1/2)
e 푈2 = (−1/2,
√
3/2). Se 푃 = (2, 4), vamos determinar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo
sistema de coordenadas.
푄 = [ 푈1 푈2 ] =
[ √
3/2 −1/2
1/2
√
3/2
]
.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 353
Assim as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas sa˜o dadas por
[푃 ]{푂,푈1,푈2} = 푄
푡
[
2
4
]
=
[
푈 푡1
푈 푡2
] [
2
4
]
=
[ √
3/2 1/2
−1/2 √3/2
] [
2
4
]
=
[
2 +
√
3
2
√
3− 1
]
.
Exemplo 5.13. Considere o mesmo sistema de coordenadas do exemplo anterior, mas agora seja
푃 = (푥, 푦) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao
novo sistema de coordenadas.
As coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas sa˜o dadas por
[푃 ]{푂,푈1,푈2} = 푄
푡
[
푥
푦
]
=
[
푈 푡1
푈 푡2
] [
푥
푦
]
=
[ √
3/2 1/2
−1/2 √3/2
] [
푥
푦
]
=
[
(
√
3푥+ 푦)/2
(−푥+√3 푦)/2
]
.
Exemplo 5.14. Vamos agora considerar um problema inverso a`queles apresentados nos exemplos
anteriores. Suponha que sejam va´lidas as seguintes equac¸o˜es{
푥 = 1√
5
푥′ + 2√
5
푦′
푦 = 2√
5
푥′ − 1√
5
푦′
,
ou equivalentemente [
푥
푦
]
=
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
] [
푥′
푦′
]
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
354 Ortogonalidade
x‘
y‘
x
y
푃
푥
푦
퐸1
퐸2
푥
′
푈1푈2
푦
′
Figura 5.15: Coordenadas de um ponto 푃 em dois sistemas
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 355
entre as coordenadas
[
푥′
푦′
]
de um ponto 푃 em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas {푂,푈1, 푈2}
e as coordenadas de 푃 ,
[
푥
푦
]
, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas original
{푂,퐸1 = (1, 0), 퐸2 = (0, 1)}.
Queremos determinar quais sa˜o os vetores 푈1 e 푈2.
Os vetores 푈1 e 푈2 da nova base possuem coordenadas
[
1
0
]
e
[
0
1
]
, respectivamente, em
relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas, {푂,푈1, 푈2}. Pois, 푈1 = 1푈1 + 0푈2 e 푈2 = 0푈1 +
1푈2. Queremos saber quais as coordenadas destes vetores em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas
original, {푂,퐸1 = (1, 0), 퐸2 = (0, 1)}. Logo,
푈1 =
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
] [
1
0
]
=
[
1√
5
2√
5
]
푈2 =
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
] [
0
1
]
=
[
2√
5
− 1√
5
]
Ou seja, 푈1 e 푈2 sa˜o as colunas da matriz 푄 =
[
1√
5
2√
5
2√
5
− 1√
5
]
.
5.3.1 Rotac¸a˜o
Suponha que o novo sistema de coordenadas {푂,푈1, 푈2} seja obtido do sistema original
{푂,퐸1 = (1, 0), 퐸2 = (0, 1)} por uma rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃. Observando a Figura 5.16, ob-
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
356 Ortogonalidade
x‘
y‘
x
y
퐸1
퐸2
푈1
푈2
휃
휃
cos 휃
se
n
휃
co
s
휃
−sen 휃
Figura 5.16: Rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 357
temos
푈1 = (cos 휃, sen 휃)
푈2 = (−sen 휃, cos 휃)
seja 푃 = (푥, 푦) um ponto qualquer do plano. Vamos determinar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o
ao novo sistema de coordenadas.
A matriz
푄 = [ 푈1 푈2 ] =
[
cos 휃 −sen 휃
sen 휃 cos 휃
]
= 푅휃
e´ chamada matriz de rotac¸a˜o.
As coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema de coordenadas sa˜o dadas por[
푥′
푦′
]
= 푅푡휃
[
푥
푦
]
=
[
cos 휃 sen 휃
−sen 휃 cos 휃
] [
푥
푦
]
.
O sistema de coordenadas que aparece nos dois primeiros exemplos desta sec¸a˜o podem ser
obtidos por uma rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃 = 휋/6 em relac¸a˜o ao sistema original.
5.3.2 Translac¸a˜o
Vamos considerar, agora, o caso em que 푂′ ∕= 푂, ou seja, em que ocorre uma translac¸a˜o dos
eixos coordenados.
Observando a Figura 5.17, obtemos
−→
푂′푃=
−→
푂푃 −
−→
푂푂′ . (5.6)
Assim, se
−→
푂푂′= (ℎ, 푘), enta˜o
−→
푂′푃= (푥′, 푦′) = (푥, 푦)− (ℎ, 푘) = (푥− ℎ, 푦 − 푘)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
358 Ortogonalidade
x‘
y‘
x
y
푥
푃
푂
푂′ 푥
′
푦′푦
Figura 5.17: Coordenadas de um ponto 푃 em dois sistemas (translac¸a˜o)
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 359
Logo, as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao novo sistema sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,퐸1,퐸2} =
[
푥′
푦′
]
=
[
푥− ℎ
푦 − 푘
]
. (5.7)
O eixo x′ tem equac¸a˜o 푦′ = 0, ou seja, 푦 = 푘 e o eixo y′, 푥′ = 0, ou seja, 푥 = ℎ.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
360 Ortogonalidade
5.3.3 Aplicac¸a˜o: Computac¸a˜o Gra´fica - Projec¸a˜o Ortogra´fica
Esta projec¸a˜o e´ usada para fazer desenhos de objetos tridimensionais no papel ou na tela do
computador. Com esta projec¸a˜o os pontos no espac¸o sa˜o projetados ortogonalmente ao plano do
desenho.
Para encontrar a projec¸a˜o de um ponto 푃 podemos encontrar as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o
ao sistema 풮′ = {푂′, 푈1, 푈2, 푈3} e tomar as duas primeiras coordenadas.
Como a projec¸a˜o em qualquer plano paralelo ao plano do desenho fornece as mesmas coordena-
das podemos supor que 푂′ = 푂, ou seja, que os dois sistemas teˆm a mesma origem.
A relac¸a˜o entre as coordenadas de um ponto nos dois sistemas
풮
′ = {푂,푈1, 푈2, 푈3} e 풮 = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗}
e´ dada por
푋 ′ = 푄푡푋, em que 푄 = [푈1 푈2 푈3 ]
Vamos encontrar os vetores 푈1, 푈2 e 푈3 em func¸a˜o dos aˆngulos 휃 e 휙. O vetor 푈1 e´ paralelo ao plano
xy e e´ perpendicular ao vetor (cos 휃, sen 휃, 0), ou seja,
푈1 = (− sen 휃, cos 휃, 0).
Os vetores 푈2 e 푈3 esta˜o no plano definido por 푘⃗ e (cos 휃, sen 휃, 0).
푈2 = − cos휙(cos 휃, sen 휃, 0) + sen휙푘⃗ = (− cos휙 cos 휃,− cos휙 sen 휃, sen휙)
푈3 = cos휙푘⃗ + sen휙(cos 휃, sen 휃, 0) = (sen휙 cos 휃, sen휙 sen 휃, cos휙)
Assim a relac¸a˜o entre as coordenadas de um ponto nos dois sistemas
풮
′ = {푂,푈1, 푈2, 푈3} e 풮 = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗}
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 361
x′
y′
Figura 5.18: Projec¸a˜o ortogra´fica de um cubo
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
362 Ortogonalidade
푘⃗
푖⃗
푗⃗
푂′
푈1
푈2
푈3
휃
휙
Figura 5.19: sistemas de coordenadas relacionados a` projec¸a˜o ortogra´fica
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 363
푘⃗
푖⃗
푗⃗
푈2
푈1
푈3
(cos 휃, sen 휃, 0)
휃
휙
Figura 5.20: Bases relacionadas a` projec¸a˜o ortogra´fica
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
364 Ortogonalidade
(cos 휃, sen 휃, 0)
푘⃗푗⃗
푖⃗
푈3
(cos 휃, sen 휃, 0)
휙
휃
푈2
푈1
Figura 5.21: Relac¸a˜o entre os vetores das bases {푈1, 푈2, 푈3} e {⃗푖, 푗⃗, 푘⃗}
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 365
e´ dada por ⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ =
⎡
⎣ − sen 휃 cos 휃 0− cos휙 cos 휃 − cos휙 sen 휃 sen휙
sen휙 cos 휃 sen휙 sen 휃 cos휙
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦
e a projec¸a˜o e´ dada por
[
푥′
푦′
]
=
[ − sen 휃 cos 휃 0
− cos휙 cos 휃 − cos휙 sen 휃 sen휙
]⎡⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Por exemplo para 휃 = 30∘ e 휙 = 60∘ temos que
[
푥′
푦′
]
=
[
−1
2
√
3
2
0
−
√
3
4
−1
4
√
3
2
]⎡⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ ≈ [ −0.50 0.87 0−0.43 −0.25 0.87
]⎡⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ .
Usando esta projec¸a˜o os vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ sa˜o desenhados como na figura abaixo.
Experimente desenhar o cubo que tem a origem 푂 = (0, 0, 0) como um dos ve´rtices e como
ve´rtices adjacentes a` origem (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Observe que na˜o e´ necessa´rio calcular a
projec¸a˜o dos outros pontos (por que?)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
366 Ortogonalidade
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 5.22: Vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ desenhados usando projec¸a˜o ortogra´fica
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 367
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 601)
5.3.1. Encontre as coordenadas do ponto 푃 com relac¸a˜o ao sistema de coordenadas 풮, nos seguintes
casos:
(a) 풮 = {푂, (1/√2,−1/√2), (1/√2, 1/√2)} e 푃 = (1, 3);
(b) 풮 = {푂, (1/√2,−1/√2, 0), (0, 0, 1), (1/√2, 1/√2, 0)} e 푃 = (2,−1, 2);
5.3.2. Encontre o ponto 푃 , se as coordenadas de 푃 em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas 풮, [푃 ]풮,
sa˜o:
(a) [푃 ]풮 =
[
2
1
]
, em que 풮 = {푂, (−1/√2, 1/√2), (1/√2, 1/√2)}. (b) [푃 ]풮 =
⎡
⎣ −11
2
⎤
⎦, em
que 풮 = {푂, (0, 1/√2,−1/√2), (1, 0, 0), (0, 1/√2, 1/√2)};
5.3.3. Sejam [푃 ]ℛ =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ as coordenadas de um ponto 푃 em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas
ℛ = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗} e [푃 ]풮 =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦, em relac¸a˜o ao sistema de coordenadas 풮 = {푂,푈1, 푈2, 푈3}.
Suponha que temos a seguinte relac¸a˜o:
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 1 0 00 1/2 −√3/2
0
√
3/2 1/2
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ .
Quais sa˜o os vetores 푈1, 푈2 e 푈3?
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
368 Ortogonalidade
5.3.4. Determine qual a
rotac¸a˜o do plano em que as coordenadas do ponto 푃 = (
√
3, 1) sa˜o
[ √
3
−1
]
.
5.3.5. Considere o plano 휋 : 3푥−√3푦 + 2푧 = 0.
(a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano xy.
(b) Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal {푈1, 푈2, 푈3} de ℝ3.
(c) Determine as coordenadas dos vetores 푖⃗, 푗⃗ e 푘⃗ no sistema {푂,푈1, 푈2, 푈3}.
5.3.6. Considere dois sistemas de coordenadas ℛ = {푂, 푖⃗, 푗⃗, 푘⃗} e 풮 = {푂, 푖⃗, 푈2, 푈3}, em que o
sistema 풮 e´ obtido do sistema ℛ por uma rotac¸a˜o do aˆngulo 휃 em torno do eixo x. Determine
a relac¸a˜o entre as coordenadas, (푥′, 푦′, 푧′), em relac¸a˜o ao sistema 풮 e (푥, 푦, 푧), em relac¸a˜o ao
sistema ℛ
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
5.3 Mudanc¸a de Coordenadas 369
Exercı´cios Teo´ricos
5.3.7. Mostre que
(a) 푅휃1푅휃2 = 푅휃1+휃2 .
(b) 푅−1휃 = 푅−휃.
5.3.8. Seja 퐵 uma matriz quadrada 2× 2.
(a) Verifique que 푅휃퐵 e´ a matriz obtida girando as colunas de 퐵 de 휃.
(b) Verifique que 퐵푅휃 e´ a matriz obtida girando as linhas de 퐵 de −휃.
(c) Quais as condic¸o˜es sobre 퐵 e 휃 para que 푅휃퐵 = 퐵푅휃. Deˆ um exemplo.
5.3.9. Definimos coordenadas de pontos no espac¸o em relac¸a˜o a um sistema de coordenadas deter-
minado por um ponto 푂′ e treˆs vetores 푉1, 푉2 e 푉3 L.I. na˜o necessariamente ortonormais do
ℝ
3 da mesma forma como fizemos quando os vetores formam uma base ortonormal. As co-
ordenadas de um ponto 푃 no sistema de coordenadas {푂′, 푉1, 푉2, 푉3} e´ definido como sendo
os escalares que aparecem ao escrevermos
−→
푂′푃 como combinac¸a˜o linear dos vetores 푉1, 푉2 e
푉3, ou seja, se −→
푂′푃= 푥′푉1 + 푦′푉2 + 푧′푉3,
enta˜o as coordenadas de 푃 no sistema {푂′, 푉1, 푉2, 푉3} sa˜o dadas por
[푃 ]{푂′,푉1,푉2,푉3} =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
370 Ortogonalidade
Assim, se
−→
푂′푃= (푥, 푦, 푧), enta˜o 푥′푉1 + 푦′푉2 + 푧′푉3 =
−→
푂′푃 pode ser escrito como
[ 푉1 푉2 푉3 ]
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦
(a) Mostre que a matriz 푄 = [푉1 푉2 푉3 ] e´ invertı´vel.
(b) Mostre que as coordenadas de um ponto 푃 no espac¸o em relac¸a˜o ao sistema
{푂′, 푉1, 푉2, 푉3} esta˜o bem definidas, ou seja, 푥′, 푦′ e 푧′ esta˜o unicamente determinados
e sa˜o dados por
[푃 ]{푂′,푉1,푉2,푉3} =
⎡
⎣ 푥′푦′
푧′
⎤
⎦ = 푄−1
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ = 푄−1[푃 ]{푂′ ,⃗푖,⃗푗,⃗푘}.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
Capı´tulo 6
Transformac¸o˜es Lineares (opcional)
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades
6.1.1 Definic¸a˜o e Exemplos
Lembramos que uma func¸a˜o 푓 de um conjunto 퐴 em um conjunto 퐵, 푓 : 퐴 → 퐵, e´ uma
regra que associa a cada elemento do conjunto 퐴, um u´nico elemento do conjunto 퐵. O conjunto 퐴
e´ chamado domı´nio e o conjunto 퐵 e´ chamado contradomı´nio. O subconjunto de 퐵 formado pelos
elementos 푏 ∈ 퐵 tais que 푓(푎) = 푏, para algum 푎 ∈ 퐴 e´ chamado (conjunto) imagem de 푓 . Para
todo elemento 푎 ∈ 퐴, 푓(푎) e´ chamado a imagem de 푎 por 푓 . Dizemos tambe´m que 푓 leva 푎 em
371
372 Transformac¸o˜es Lineares
푓(푎).
Definic¸a˜o 6.1. Uma func¸a˜o 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ uma transformac¸a˜o linear se
푇 (훼푋) = 훼푇 (푋) e 푇 (푋 + 푌 ) = 푇 (푋) + 푇 (푌 ), (6.1)
para todos 푋, 푌 ∈ ℝ푛 e todos os escalares 훼.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 373
Exemplo 6.1. A func¸a˜o 푂, que leva todo vetor de ℝ푛 no vetor nulo de ℝ푚, ou seja,
푂(푋) = 0¯, para todo 푋 ∈ ℝ푛
e´ claramente uma transformac¸a˜o linear e e´ chamada a transformac¸a˜o linear nula. Tambe´m a
transformac¸a˜o identidade, 퐼 , de ℝ푛 em ℝ푛 que leva todo vetor de ℝ푛 nele mesmo, ou seja,
퐼(푋) = 푋, para todo 푋 ∈ ℝ푛
e´ claramente uma transformac¸a˜o linear.
Exemplo 6.2. Sejam 푃푥, 푃푦 : ℝ2 → ℝ2 as func¸o˜es que levam todo vetor nas suas projec¸o˜es nos
eixos 푥 e 푦, respectivamente, ou seja, 푃푥(푥, 푦) = (푥, 0) e 푃푦(푥, 푦) = (0, 푦), para todo par (푥, 푦) ∈
ℝ
2
. Deixamos para o leitor a verificac¸a˜o de que 푃푥 e 푃푦 sa˜o transformac¸o˜es lineares.
Exemplo 6.3. Sejam 푅푥, 푅푦 : ℝ2 → ℝ2 as func¸o˜es que levam todo vetor nas suas reflexo˜es em
relac¸a˜o aos eixos 푥 e 푦, respectivamente, ou seja, 푅푥(푥, 푦) = (푥,−푦) e 푅푦(푥, 푦) = (−푥, 푦), para
todo par (푥, 푦) ∈ ℝ2. Deixamos para o leitor a verificac¸a˜o de que 푅푥 e 푅푦 sa˜o transformac¸o˜es
lineares.
Exemplo 6.4. Considere a func¸a˜o, 푃푟, que faz a projec¸a˜o ortogonal de todo vetor do plano numa reta
que passa pela origem 푟 : (푥, 푦) = 푡(푎, 푏), ou seja, 푃푟 : ℝ2 → ℝ2 dada por
푃푟(푥, 푦) = proj(푎,푏)(푥, 푦) =
(푎, 푏) ⋅ (푥, 푦)
∣∣(푎, 푏)∣∣2 (푎, 푏).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
374 Transformac¸o˜es Lineares
Ou seja,
푃푟(푥, 푦) =
(
푎2
푎2 + 푏2
푥+
푎푏
푎2 + 푏2
푦,
푎푏
푎2 + 푏2
푥+
푏2
푎2 + 푏2
푦
)
.
Esta transformac¸a˜o e´ um caso particular daquela que e´ tratada no Exemplo 6.6.
Exemplo 6.5. Considere a func¸a˜o, 푅푟, que faz a reflexa˜o de todo vetor do plano em relac¸a˜o a uma
reta que passa pela origem 푟 : (푥, 푦) = 푡(푎, 푏), ou seja, 푅푟(푥, 푦) e´ tal que 2푃푟(푥, 푦) = (푥, 푦) +
푅푟(푥, 푦). Assim,
푅푟(푥, 푦) = 2푃푟(푥, 푦)− (푥, 푦)
=
(
푎2 − 푏2
푎2 + 푏2
푥+
2푎푏
푎2 + 푏2
푦,
2푎푏
푎2 + 푏2
푥+
푏2 − 푎2
푎2 + 푏2
푦
)
.
Esta transformac¸a˜o e´ um caso particular daquela que e´ tratada no Exemplo 6.6.
Os quatro u´ltimos exemplos sa˜o um caso particular do que e´ apresentado no pro´ximo exemplo.
Exemplo 6.6. Considere a transformac¸a˜o 푇 : ℝ푛 → ℝ푚, dada por
푇 (푋) = 푇
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11푥1 + . . .+ 푎1푛푥푛
푎21푥1 + . . .+ 푎2푛푥푛
.
.
.
푎푚1푥1 + . . .+ 푎푚푛푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ , para todo 푋 ∈ ℝ푛,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 375
que pode ser escrita como
푇 (푋) =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 ⋅ ⋅ ⋅ 푎1푛
푎21 푎22 ⋅ ⋅ ⋅ 푎2푛
.
.
.
.
.
.
푎푚1 푎푚2 ⋅ ⋅ ⋅ 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = 퐴푋,
em que 퐴 = (푎푖푗)푚×푛. Segue das propriedades da a´lgebra matricial, Teorema 1.1 na pa´gina 10, que
푇 e´ uma transformac¸a˜o linear. Pois,
푇 (푋 + 푌 ) = 퐴(푋 + 푌 ) = 퐴푋 + 퐴푌 = 푇 (푋) + 푇 (푌 ),
푇 (훼푋) = 퐴(훼푋) = 훼퐴푋 = 훼푇 (푋),
para todos 푋, 푌 ∈ ℝ푛 e escalares 훼.
Em termos de matrizes, as projec¸o˜es nos eixos 푥 e 푦 podem ser escritas como
푃푥
[
푥
푦
]
=
[
1 0
0 0
] [
푥
푦
]
, 푃푦
[
푥
푦
]
=
[
0 0
0 1
] [
푥
푦
]
,
as reflexo˜es em relac¸a˜o aos eixos 푥 e 푦, como
푅푥
[
푥
푦
]
=
[
1 0
0 −1
] [
푥
푦
]
, 푅푦
[
푥
푦
]
=
[ −1 0
0 1
] [
푥
푦
]
,
a projec¸a˜o ortogonal e a reflexa˜o em relac¸a˜o a uma reta 푟 : (푥, 푦) = 푡(푎, 푏), como
푃푟
[
푥
푦
]
=
[
푎2
푎2+푏2
푎푏
푎2+푏2
푎푏
푎2+푏2
푏2
푎2+푏2
] [
푥
푦
]
, 푅푟
[
푥
푦
]
=
[
푎2−푏2
푎2+푏2
2푎푏
푎2+푏2
2푎푏
푎2+푏2
푏2−푎2
푎2+푏2
] [
푥
푦
]
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
376 Transformac¸o˜es Lineares
6.1.2 Propriedades
Segue da Definic¸a˜o 6.1 que toda transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 leva o vetor nulo de ℝ푛 no
vetor nulo de ℝ푚. Pois, se 푋 e´ um vetor qualquer de ℝ푛, enta˜o
푇 (0¯) = 푇 (0푋) = 0푇 (푋) = 0¯.
Segue tambe´m da Definic¸a˜o 6.1 que uma func¸a˜o 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ uma transformac¸a˜o linear se, e
somente se, 푇 (훼푋+훽푌 ) = 훼푇 (푋)+훽푇 (푌 ), para todos os vetores푋, 푌 ∈ ℝ푛 e todos os escalares
훼 e 훽. Pois, se 푇 e´ linear, enta˜o
푇 (훼푋 + 훽푌 ) = 푇 (훼푋) + 푇 (훽푌 ) = 훼푇 (푋) + 훽푇 (푌 ).
Por outro lado, se 푇 e´ uma func¸a˜o tal que 푇 (훼푋 + 훽푌 ) = 훼푇 (푋) + 훽푇 (푌 ), para todos os vetores
푋, 푌 ∈ ℝ푛 e todos os escalares 훼 e 훽, enta˜o fazendo 훼 = 1, 훽 = 1 e depois 훽 = 0 segue-se que 푇
e´ uma transformac¸a˜o linear.
Se 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ uma transformac¸a˜o linear e ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e´ uma base de ℝ푛, enta˜o todo
vetor 푉 ∈ ℝ푛 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de vetores de ℬ, ou seja, existem escalares
훼1, . . . , 훼푛 tais que
푉 = 훼1푉1 + . . .+ 훼푛푉푛 =
푛∑
푖=1
훼푖푉푖.
Enta˜o
푇 (푉 ) = 푇
(
푛∑
푖=1
훼푖푉푖
)
=
푛∑
푖=1
푇 (훼푖푉푖)
=
푛∑
푖=1
훼푖푇 (푉푖).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 377
Por outro lado, se 푈 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ outra transformac¸a˜o linear tal que 푈(푉푖) = 푇 (푉푖) para 푖 =
1, . . . , 푛, enta˜o aplicando-se o raciocı´nio acima, temos que
푈(푉 ) = 푇 (푉 ), para todo 푉 ∈ ℝ푛.
Ou seja, 푈 = 푇 . Isto prova o seguinte teorema.
Teorema 6.1. Uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ totalmente caracterizada pelos seus valores
em uma base de ℝ푛. Ou seja, se ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e´ uma base de ℝ푛 e uma func¸a˜o 푇 esta´ definida
para valores em ℬ,
푇 (푉푖) = 푊푖, para 푖 = 1, . . . , 푛.
Enta˜o, existe um u´nica transformac¸a˜o linear definida em todo espac¸o ℝ푛, 푇 : ℝ푛 → ℝ푚, tal que
푇 (푉푖) = 푊푖, para 푖 = 1, . . . , 푛.
Exemplo 6.7. Seja 푅휃 : ℝ2 → ℝ2 a transformac¸a˜o linear definida na base canoˆnica por (Figura 6.9)
푅휃(퐸1) = cos 휃 퐸1 + sen 휃 퐸2 = (cos 휃, sen 휃)
푅휃(퐸2) = −sen 휃 퐸1 + cos 휃 퐸2 = (−sen 휃, cos 휃).
Assim, como (푥, 푦) = 푥(1, 0) + 푦(0, 1) = 푥퐸1 + 푦퐸2, enta˜o
푅휃
[
푥
푦
]
= 푥푅휃(퐸1) + 푦푅휃(퐸2) = 푥
[
cos 휃
sen 휃
]
+ 푦
[ −sen 휃
cos 휃
]
=
[
cos 휃 −sen 휃
sen 휃 푐표푠휃
] [
푥
푦
]
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
378 Transformac¸o˜es Lineares
Se escrevemos 푋 = (푥, 푦) = (푟 cos훼, 푟 sen훼), enta˜o
푅휃(푋) = 푅휃(푟 cos훼, 푟 sen훼) = 푟푅휃(cos훼, sen훼)
= 푟(cos훼 cos 휃 − sen훼 sen 휃, cos훼 sen 휃 + sen훼 cos 휃)
= 푟(cos(훼 + 휃), sen (훼 + 휃)) = (푟 cos(훼 + 휃), 푟 sen (훼 + 휃)).
Assim, segue-se da linearidade, que 푅휃 faz uma rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃 em todo vetor 푋 = (푥, 푦) ∈
ℝ
2
.
Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear tal que
푇
⎡
⎢⎢⎢⎣
1
0
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11
푎21
.
.
.
푎푚1
⎤
⎥⎥⎥⎦ , 푇
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
1
.
.
.
0
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎12
푎22
.
.
.
푎푚2
⎤
⎥⎥⎥⎦ , . . . , 푇
⎡
⎢⎢⎢⎣
0
.
.
.
0
1
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎1푛
푎2푛
.
.
.
푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Sejam 푋 = (푥1, . . . , 푥푛) um vetor qualquer do ℝ푛 e
퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 379
Como 푋 = 푥1퐸1 + . . .+ 푥푛퐸푛, enta˜o
푇 (푋) = 푥1푇 (퐸1) + . . .+ 푥푛푇 (퐸푛) = 푥1
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11
푎21
.
.
.
푎푚1
⎤
⎥⎥⎥⎦+ . . .+ 푥푛
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎1푛
푎2푛
.
.
.
푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
=
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 ⋅ ⋅ ⋅ 푎1푛
푎21 푎22 ⋅ ⋅ ⋅ 푎2푛
.
.
.
.
.
.
푎푚1 푎푚2 ⋅ ⋅ ⋅ 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = 퐴푋,
em que as colunas de 퐴 sa˜o 푇 (퐸1), . . . , 푇 (퐸푛), ou seja, 퐴 = [푇 (퐸1) . . . 푇 (퐸푛) ], com 푇 (퐸푖), para
푖 = 1, . . . , 푛 escritos como matrizes colunas. Isto prova o seguinte resultado.
Proposic¸a˜o 6.2. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o, 푇 e´ dada por
푇 (푋) = 퐴푋, para todo 푋 ∈ ℝ푛,
em que 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 = [푇 (퐸1) . . . 푇 (퐸푛) ], com 푇 (퐸푖), para 푖 = 1, . . . , 푛, escritos como matrizes
colunas e 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1). A matriz 퐴 e´ chamada
matriz da transformac¸a˜o 푇 (em relac¸a˜o a`s bases canoˆnicas).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
380 Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 6.8. A matrizes de uma transformac¸a˜o linear pode ser obtida rapidamente aplicando-se a
transformac¸a˜o nos vetores da base canoˆnica. Por exemplo, as matrizes das projec¸o˜es nos eixos 푥 e
푦 podem ser obtidas
[
푃푥(퐸1) 푃푥(퐸2)
]
=
[
1 0
0 0
]
,
[
푃푦(퐸1) 푃푦(퐸2)
]
=
[
0 0
0 1
]
,
as matrizes das reflexo˜es em relac¸a˜o aos eixos 푥 e 푦,
[
푅푥(퐸1) 푅푥(퐸2)
]
=
[
1 0
0 −1
]
,
[
푅푦(퐸1) 푅푦(퐸2)
]
=
[ −1 0
0 1
]
,
as matrizes da projec¸a˜o ortogonal e da reflexa˜o em relac¸a˜o a uma reta 푟 : (푥, 푦) = 푡(푎, 푏), como
[
푃푟(퐸1) 푃푟(퐸2)
]
=
[
푎2
푎2+푏2
푎푏
푎2+푏2
푎푏
푎2+푏2
푏2
푎2+푏2
] [
푅푟(퐸1) 푅푟(퐸2)
]
=
[
푎2−푏2
푎2+푏2
2푎푏
푎2+푏2
2푎푏
푎2+푏2
푏2−푎2
푎2+푏2
]
e a matriz da rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃,
[
푅휃(퐸1) 푅휃(퐸2)
]
=
[
cos 휃 −sen 휃
sen 휃 푐표푠휃
]
.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 381
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 604)
6.1.1. Seja 푇 : ℝ2 → ℝ2 uma transformac¸a˜o linear para a qual sabemos que 푇 (1, 1) = (2,−3) e
푇 (0, 1) = (1, 2).
(a) Determine 푇 (3,−2);
(b) Determine 푇 (푎, 푏).
6.1.2. Determine a transformac¸a˜o 푇 : ℝ2 → ℝ3 tal que 푇 (1, 1) = (3, 2, 1) e 푇 (0,−2) = (0, 1, 0).
Encontre 푇 (1, 0) e 푇 (0, 1).
6.1.3. Determine expresso˜es para as transformac¸o˜es lineares 푃푥푦, 푃푦푧, 푃푥푧 : ℝ3 → ℝ3, que sa˜o
projec¸o˜es nos planos 푥푦, 푦푧 e 푥푧, respectivamente.
6.1.4. Considere o plano 휋 : 푥+2푦+3푧 = 0. Encontre expresso˜es para as seguintes transformac¸o˜es
lineares:
(a) A projec¸a˜o ortogonal no plano 휋, 푃휋 : ℝ3 → ℝ3.
(b) A reflexa˜o em relac¸a˜o ao plano 휋, 푅휋 : ℝ3 → ℝ3.
6.1.5. Determine expresso˜es para as transformac¸o˜es lineares푅휋/3,푥, 푅휋/3,푦 e푅휋/3,푧 que sa˜o rotac¸o˜es
de 휋/3 em relac¸a˜o aos eixos 푥, 푦 e 푧 respectivamente.
6.1.6. Considere a reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = 푡(1, 1, 1).
(a) Seja 푃푟 : ℝ3 → ℝ3 a projec¸a˜o ortogonal na reta 푟. Encontre uma expressa˜o para
푃푟(푥, 푦, 푧).
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
382 Transformac¸o˜es Lineares
(b) Seja 푅푟 : ℝ3 → ℝ3 a reflexa˜o em relac¸a˜o a` reta 푟. Encontre uma expressa˜o para
푅푟(푥, 푦, 푧).
6.1.7. Existe uma u´nica reflexa˜o 푆 do plano que transforma o ponto (5, 0) no ponto (3, 4). Determine
a equac¸a˜o para o eixo da reflexa˜o 푆. Verifique que ele passa pela origem. Calcule a matriz (em
relac¸a˜o a` base canoˆnica de ℝ2) da reflexa˜o 푆.
Exercı´cios Teo´ricos
6.1.8. Considere o plano 휋 : 푎푥+푏푦+푐푧 = 0. Encontre expresso˜es para as seguintes transformac¸o˜es
lineares:
(a) A projec¸a˜o ortogonal no plano 휋, 푃휋 : ℝ3 → ℝ3.
(b) A reflexa˜o em relac¸a˜o ao plano 휋, 푅휋 : ℝ3 → ℝ3.
6.1.9. Determine expresso˜es para as transformac¸o˜es lineares 푅휃,푥, 푅휃,푦, 푅휃,푧 : ℝ3 → ℝ3, que sa˜o
rotac¸o˜es de 휃 em relac¸a˜o aos eixos 푥, 푦 e 푧, respectivamente.
6.1.10. Considere a reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = 푡(푎, 푏, 푐). Encontre expresso˜es para as seguintes
transformac¸o˜es lineares:
(a) A projec¸a˜o ortogonal na reta 푟, 푃푟 : ℝ3 → ℝ3.
(b) A reflexa˜o em relac¸a˜o a` reta 푟, 푅푟 : ℝ3 → ℝ3.
6.1.11. Seja 푌 = (푎, 푏, 푐) ∈ ℝ3. Determine a matriz do operador linear 푇 : ℝ3 → ℝ3, definido por
푇 (푋) = 푇 (푥, 푦, 푧) = 푋 × 푌 =
(
det
[
푦 푧
푏 푐
]
,− det
[
푥 푧
푎 푐
]
, det
[
푥 푦
푎 푏
])
,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 383
em relac¸a˜o a` base canoˆnica.
6.1.12. Seja 푐 uma constante diferente de zero. Uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ2 → ℝ2 dada por
푇 (푥, 푦) = (푐푥, 푦), para todo (푥, 푦) ∈ ℝ2 e´ chamada expansa˜o ao longo do eixo 푥 se 푐 > 1
e contrac¸a˜o ao longo do eixo 푥 se 0 < 푐 < 1. Uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ2 → ℝ2 dada
por 푇 (푥, 푦) = (푥, 푐푦), para todo (푥, 푦) ∈ ℝ2 e´ chamada expansa˜o ao longo do eixo 푦 se
푐 > 1 e contrac¸a˜o ao longo do eixo 푦 se 0 < 푐 < 1.
Uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ2 → ℝ2 dada por 푇 (푥, 푦) = (푥+ 푐푦, 푦), para todo (푥, 푦) ∈ ℝ2
e´ chamada cisalhamento ao longo do eixo 푥. Uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ2 → ℝ2 dada
por 푇 (푥, 푦) = (푥, 푦 + 푐푥), e´ chamada cisalhamento ao longo do eixo 푦.
(a) Mostre que a matriz elementar que corresponde a trocar duas linhas e´ a matriz de uma
reflexa˜o em relac¸a˜o a` reta 푦 = 푥.
(b) Mostre que a matriz elementar que corresponde a multiplicar uma linha por um escalar
na˜o nulo e´ a matriz de uma expansa˜o, ou a matriz de uma contrac¸a˜o, ou a matriz de uma
reflexa˜o em relac¸a˜o a um dos eixos coordenados, ou um produto de uma matriz de uma
reflexa˜o em relac¸a˜o a um dos eixos coodenados por uma matriz de uma expansa˜o ou
contrac¸a˜o.
(c) Mostre que a matriz elementar que corresponde a somar a uma linha um mu´ltiplo escalar
de outra
e´ a matriz de um cisalhamento ao longo de um dos eixos coordenados.
(Sugesta˜o: veja no Exemplo 1.17 na pa´gina 58 as matrizes elementares 2× 2 e compare com
as matrizes das transformac¸o˜es definidas acima.)
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
384 Transformac¸o˜es Lineares
푋 푇 (푋)
푇 (0¯) = 0¯
푇 (푌 )
0¯
푌
훼푋+훽푌 훼푇 (푋)+훽푇 (푌 )
ℝ푛 ℝ푚
Figura 6.1: Transformac¸a˜o Linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푚
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 385
x
y
푃푥(푋)
푋
Figura 6.2: Projec¸a˜o no eixo 푥
x
y
푃푦(푋) 푋
Figura 6.3: Projec¸a˜o no eixo 푦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
386 Transformac¸o˜es Lineares
x
y
푅푥(푋)
푋
Figura 6.4: Reflexa˜o em relac¸a˜o ao eixo 푥
x
y
푅푦(푋) 푋
Figura 6.5: Reflexa˜o em relac¸a˜o ao eixo 푦
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.1 Definic¸a˜o, Exemplos e Propriedades 387
x
y
푃푟(푋)
푋
푎
푏
Figura 6.6: Projec¸a˜o na reta 푟
x
y
2푃푟(푋)=
푋+푅푟(푋)
푋
푅푟(푋)
Figura 6.7: Reflexa˜o em relac¸a˜o a reta 푟
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
388 Transformac¸o˜es Lineares
x
y
푋
푅휃(푋)
휃
Figura 6.8: Transformac¸a˜o rotac¸a˜o de um
aˆngulo 휃
x
y
퐸1
퐸2
푅휃(퐸1)
푅휃(퐸2)
휃
휃 cos 휃
se
n
휃
co
s
휃
−sen 휃
Figura 6.9: Transformac¸a˜o rotac¸a˜o sobre os
vetores 퐸1 e 퐸2
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.2 A Imagem e o Nu´cleo 389
6.2 A Imagem e o Nu´cleo
Definic¸a˜o 6.2. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear.
(a) O nu´cleo de 푇 e´ definido pelo conjunto
풩(푇 ) = {푋 ∈ ℝ푛 ∣ 푇 (푋) = 0¯}.
(b) A imagem de 푇 e´ definida pelo conjunto
ℐ(푇 ) = {푌 ∈ ℝ푚 ∣ 푌 = 푇 (푋), para algum 푋 ∈ ℝ푛}
(c) A dimensa˜o do nu´cleo de 푇 e´ chamada de nulidade de 푇 e a dimensa˜o da imagem de 푇 e´
chamada posto de 푇 .
Exemplo 6.9. Sejam 푂 : ℝ푛 → ℝ푚 a transformac¸a˜o linear nula e 퐼 : ℝ푛 → ℝ푛 a transformac¸a˜o
identidade. Enta˜o 풩(푂) = ℝ푛, ℐ(푂) = {0¯}, 풩(퐼) = {0¯} e ℐ(퐼) = ℝ푛.
Teorema 6.3. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. O nu´cleo, 풩(푇 ), e a imagem, ℐ(푇 ) sa˜o
subespac¸os de ℝ푛 e de ℝ푚, respectivamente.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
390 Transformac¸o˜es Lineares
ℐ(푇 )
푇 (푋)
0¯ 0¯
푋
핍 핎
Figura 6.10: 풩(푇 ) = {0¯}
ℐ(푇 )
0¯0¯풩(푇 )
핍 핎
Figura 6.11: 풩(푇 ) ∕= {0¯}
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.2 A Imagem e o Nu´cleo 391
Demonstrac¸a˜o. Para mostrar que um conjunto e´ um subespac¸o precisamos mostrar as propriedades
(a) e (b) da pa´gina 245, ou seja, que com relac¸a˜o a`s operac¸o˜es de soma de vetores e multiplicac¸a˜o
por escalar podemos “viver” nele sem termos que sair. Vamos mostrar em primeiro lugar que o nu´cleo
de 푇 e´ um subespac¸o.
(a) Se 푋1, 푋2 ∈ 풩(푇 ), enta˜o 푇 (푋1) = 푇 (푋2) = 0¯. Logo,
푇 (푋1 +푋2) = 푇 (푋1) + 푇 (푋2) = 0¯ + 0¯ = 0¯,
ou seja, 푋1 +푋2 ∈ 풩(푇 );
(b) Se 푋 ∈ 풩(푇 ) e 훼 e´ um escalar, enta˜o 푇 (훼푋) = 훼푇 (푋) = 훼0¯. Logo, 훼푋 ∈ 풩(푇 );
Vamos mostrar, agora, que a imagem de 푇 e´ um subespac¸o.
(a) Se 푌1, 푌2 ∈ ℐ(푇 ), enta˜o existem 푋1, 푋2 ∈ ℝ푛 tais que 푇 (푋1) = 푌1 e 푇 (푋2) = 푌2. Seja
푋 = 푋1+푋2. Enta˜o, 푇 (푋) = 푇 (푋1+푋2) = 푇 (푋1)+푇 (푋2) = 푌1+푌2. Logo, 푌1+푌2 ∈ ℐ(푇 ).
(b) Se 푌 ∈ ℐ(푇 ) e 훼 e´ um escalar, enta˜o existe 푋 ∈ ℝ푛 tal que 푇 (푋) = 푌 . Como 푇 e´ linear,
enta˜o 푇 (훼푋) = 훼푇 (푋) = 훼푌 . Logo, 훼푌 ∈ ℐ(푇 ).
■
Exemplo 6.10. A imagem de uma transformac¸a˜o linear de ℝ푛 em ℝ na˜o nula, 푓 : ℝ푛 → ℝ, e´ o
conjunto ℝ, pois {0¯} e ℝ sa˜o os u´nicos subespac¸os do espac¸o vetorial ℝ.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
392 Transformac¸o˜es Lineares
Proposic¸a˜o 6.4. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Se {푉1, . . . , 푉푛} e´ uma base de ℝ푛,
enta˜o a imagem de 푇 e´ gerada por 푇 (푉1), . . . , 푇 (푉푛).
Demonstrac¸a˜o. Seja 푊 ∈ ℐ(푇 ). Enta˜o, existe 푉 ∈ ℝ푛 tal que 푇 (푉 ) = 푊 . Como {푉1, . . . , 푉푛} e´
base de ℝ푛, existem esclares 훼1, . . . , 훼푛 tais que 푉 = 훼1푉1 + . . .+ 훼푛푉푛. Assim,
푊 = 푇 (푉 ) = 푇
(
푛∑
푖=1
훼푖푉푖
)
=
푛∑
푖=1
훼푖푇 (푉푖).
Ou seja, 푇 (푉1), . . . , 푇 (푉푛) geram ℐ(푇 ). ■
Exemplo 6.11. Vamos considerar as projec¸o˜es nos eixos 푥 e 푦 (Figuras 6.2 e 6.3 na pa´gina 385)
푃푥
[
푥
푦
]
=
[
1 0
0 0
] [
푥
푦
]
, 푃푦
[
푥
푦
]
=
[
0 0
0 1
] [
푥
푦
]
.
Geometricamente vemos que o nu´cleo de 푃푥 e´ o eixo 푦, o nu´cleo de 푃푦 e´ o eixo 푥, que sa˜o os pontos
que sa˜o levados pelas transformac¸o˜es na origem. Vemos tambe´m que a imagem de 푃푥 e´ o eixo 푥,
pois todos os pontos sa˜o levados por 푃푥 no eixo 푥. Analogamente, a imagem de 푃푦 e´ o eixo 푦.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.2 A Imagem e o Nu´cleo 393
Exemplo 6.12. Vamos considerar as reflexo˜es em relac¸a˜o aos eixos 푥 e 푦 (Figuras 6.4 e 6.5 na
pa´gina 386)
푅푥
[
푥
푦
]
=
[
1 0
0 −1
] [
푥
푦
]
, 푅푦
[
푥
푦
]
=
[ −1 0
0 1
] [
푥
푦
]
,
Geometricamente vemos que o nu´cleo de 푅푥 e o nu´cleo de 푅푦 sa˜o iguais a origem, pois e´ o u´nico
ponto que e´ levado na origem pelas transformac¸o˜es. Vemos tambe´m que as imagens de 푅푥 e de
푅푦 sa˜o iguais a ℝ2, pois todo ponto (푥, 푦) e´ imagem do ponto (푥, 푦) refletido pelas respectivas
transformac¸o˜es.
Exemplo 6.13. Consideremos a projec¸a˜o ortogonal e a reflexa˜o em relac¸a˜o a uma reta
푟 : (푥, 푦) = 푡(푎, 푏)
(Figuras 6.6 e 6.7 na pa´gina 387)
푃푟
[
푥
푦
]
=
[
푎2
푎2+푏2
푎푏
푎2+푏2
푎푏
푎2+푏2
푏2
푎2+푏2
] [
푥
푦
]
, 푅푟
[
푥
푦
]
=
[
푎2−푏2
푎2+푏2
2푎푏
푎2+푏2
2푎푏
푎2+푏2
푏2−푎2
푎2+푏2
] [
푥
푦
]
.
Geometricamente vemos que o nu´cleo de 푃푟 e´ a reta 푠 : (푥, 푦) = 푡(−푏, 푎), perpendicular a` reta 푟 que
passa pela origem, pois os pontos sobre a reta 푠 sa˜o exatamente os pontos que sa˜o levados por 푃푟
na origem. Vemos tambe´m que a imagem de 푃푟 e´ a pro´pria reta 푟, pois todos os pontos do ℝ2 sa˜o
levados na reta 푟. Geometricamente vemos que o nu´cleo de 푅푟 e´ a origem, pois e´ o u´nico ponto do
ℝ
2 que e´ levado na origem. Vemos tambe´m que a imagem de 푅푟 e´ o ℝ2, pois todo ponto (푥, 푦) e´ a
imagem do ponto (푥, 푦) refletido por 푟.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
394 Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 6.14. Geometricamente vemos que a rotac¸a˜o de um aˆngulo 휃 (Figura 6.8 na pa´gina 388)
푅휃
[
푥
푦
]
=
[
cos 휃 −sen 휃
sen 휃 푐표푠휃
] [
푥
푦
]
tem nu´cleo igual a origem, pois e´ o u´nico ponto que e´ levado na origem por 푅휃. Vemos tambe´m que
a imagem de 푅휃 e´ igual ao ℝ2, pois todo ponto (푥, 푦) e´ a imagem do ponto (푥, 푦) girado de −휃.
Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Pela Proposic¸a˜o 6.2 na pa´gina 379 a transformac¸a˜o
푇 e´ dada por
푇 (푋) = 퐴푋, para todo 푋 ∈ ℝ푛,
onde 퐴 = (푎푖푗)푚×푛 = [푇 (퐸1) . . . 푇 (퐸푛) ], com 푇 (퐸푖), para 푖 = 1, . . . , 푛 escritos como matrizes
colunas e 퐸1 = (1, 0, . . . , 0), 퐸2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , 퐸푛 = (0, . . . , 0, 1). Assim, o nu´cleo de 푇 e´
o espac¸o soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo 퐴푋 = 0¯ e a imagem de 푇 e´ o subespac¸o gerado pelas
colunas de 퐴, ou seja, e´ o espac¸o coluna de 퐴.
6.2.1 Injetividade e Sobrejetividade
Dizemos que uma func¸a˜o 푓 : 퐴 → 퐵 e´ sobrejetiva se, para todo 푏 ∈ 퐵 existe 푎 ∈ 퐴 tal que
푓(푎) = 푏, ou seja, se a imagem de 푓 e´ igual a 퐵. No caso em que 푓 e´ uma transformac¸a˜o linear,
obtemos como consequ¨eˆncia da Proposic¸a˜o 6.4 o seguinte resultado.
Corola´rio 6.5. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Seja {푉1, . . . , 푉푛} base de ℝ푛. 푇 e´
sobrejetiva se, e somente se, 푇 (푉1), . . . , 푇 (푉푛) geram o ℝ푚.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.2 A Imagem e o Nu´cleo 395
Exemplo 6.15. Toda transformac¸a˜o linear de ℝ푛 em ℝ na˜o nula, 푓 : ℝ푛 → ℝ e´ sobrejetiva, pois {0¯}
e ℝ sa˜o os u´nicos subespac¸os do espac¸o vetorial ℝ.
Exemplo 6.16. A reflexa˜o em relac¸a˜o a uma reta que passa pela origem e a rotac¸a˜o sa˜o sobrejetivas
enquanto a projec¸a˜o ortogonal em uma reta que passa
pela origem na˜o e´ sobrejetiva (Exemplos 6.13
e 6.14 na pa´gina 393).
Dizemos que uma func¸a˜o 푓 : 퐴→ 퐵 e´ injetiva, se 푓(푥) = 푓(푦) implica que 푥 = 푦.
Teorema 6.6. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o, 푇 e´ injetiva se, e somente se,
풩(푇 ) = {0¯}.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que 푇 e´ injetiva. Seja 푋 ∈ 풩(푇 ). Enta˜o, como 푇 e´ injetiva, 푇 (푋) = 푇 (0¯)
implica que 푋 = 0¯.
Agora, suponha que 풩(푇 ) = {0¯}. Se 푇 (푋) = 푇 (푌 ), enta˜o 푇 (푋 − 푌 ) = 0¯, ou seja,
푋 − 푌 ∈ 풩(푇 ).
Como, 풩(푇 ) = {0¯}, enta˜o 푋 − 푌 = 0¯, ou seja, 푋 = 푌 . ■
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
396 Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 6.17. A reflexa˜o em relac¸a˜o a uma reta que passa pela origem e a rotac¸a˜o sa˜o injetivas
enquanto a projec¸a˜o ortogonal em uma reta que passa pela origem na˜o e´ injetiva (Exemplos 6.13 e
6.14 na pa´gina 393).
Teorema 6.7 (da Dimensa˜o do Nu´cleo e da Imagem). Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o li-
near. Enta˜o a soma da dimensa˜o do nu´cleo de 푇 com a dimensa˜o da imagem de 푇 e´ igual a dimensa˜o
de ℝ푛, ou seja,
dim(풩(푇 )) + dim(ℐ(푇 )) = dim(ℝ푛) = 푛.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.2 A Imagem e o Nu´cleo 397
푇 (푋)
0¯ 0¯
푋
ℝ푛 ℝ푚
Figura 6.12: Transformac¸a˜o linear injetiva
(풩(푇 ) = {0¯})
ℐ(푇 )
0¯0¯풩(푇 )
ℝ푛 ℝ푚
Figura 6.13: Transformac¸a˜o linear na˜o inje-
tiva (풩(푇 ) ∕= {0¯})
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
398 Transformac¸o˜es Lineares
Demonstrac¸a˜o. Vamos supor que 1 ≤ dim(풩(푇 )) < 푛. Sejam 푉1, . . . , 푉푝 vetores de ℝ푛, que for-
mam uma base para o nu´cleo de 푇 . Vamos estendeˆ-la a uma base de ℝ푛. Sejam 푉푝+1, . . . , 푉푛
vetores de ℝ푛 tais que 푉1, . . . , 푉푝, 푉푝+1, . . . , 푉푛 formam uma base de ℝ푛. Vamos mostrar que
푇 (푉푝+1), . . . , 푇 (푉푛) formam uma base da imagem de 푇 . Para isso, precisamos mostrar que eles
geram a imagem de 푇 e que sa˜o L.I.
Pela Proposic¸a˜o 6.4 na pa´gina 392, 푇 (푉푝+1), . . . , 푇 (푉푛) geram a imagem de 푇 , pois
푇 (푉1) = . . . = 푇 (푉푝) = 0¯. Vamos mostrar que 푇 (푉푝+1), . . . , 푇 (푉푛) sa˜o linearmente inde-
pendentes. Considere a combinac¸a˜o linear nula:
푥푝+1푇 (푉푝+1) + . . .+ 푥푛푇 (푉푛) = 0¯.
Pela linearidade de 푇 segue-se que
푇 (푥푝+1푉푝+1 + . . .+ 푥푛푉푛) = 0¯.
Mas isto implica que 푥푝+1푉푝+1 + . . . + 푥푛푉푛 ∈ 풩(푇 ). Assim, existem escalares 푦1, . . . , 푦푝 tais que
푥푝+1푉푝+1 + . . .+ 푥푛푉푛 = 푦1푉1 + . . .+ 푦푝푉푝. De onde segue-se que
푦1푉1 + . . .+ 푦푝푉푝 − 푥푝+1푉푝+1 − . . .− 푥푛푉푛 = 0¯.
Como 푉1, . . . , 푉푛 e´ base de ℝ푛, enta˜o 푦1 = . . . = 푦푝 = 푥푝+1 = . . . = 푥푛 = 0, ou seja,
푇 (푉푝+1), . . . , 푇 (푉푛) sa˜o L.I.
Portanto, a dimensa˜o da imagem de 푇 e´ igual a diferenc¸a entre a dimensa˜o de ℝ푛 e a dimensa˜o
do nu´cleo de 퐴, de onde segue-se o resultado. ■
Em geral, uma transformac¸a˜o linear pode ser injetiva sem ser sobrejetiva e sobrejetiva sem ser
injetiva. Entretanto, se a dimensa˜o do domı´nio for igual a dimensa˜o do contradomı´nio temos o seguinte
resultado, que e´ uma consequ¨eˆncia imediata do Teorema 6.7 da Dimensa˜o do Nu´cleo e da Imagem.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.2 A Imagem e o Nu´cleo 399
Corola´rio 6.8. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Suponha que 푛 = 푚.
(a) Se 푇 e´ sobrejetiva, enta˜o 푇 e´ injetiva.
(b) Se 푇 e´ injetiva, enta˜o 푇 e´ sobrejetiva.
Se uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ injetiva e sobrejetiva, enta˜o 푇 e´ chamada isomor-
fismo.
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 606)
6.2.1. Seja 푃 a transformac¸a˜o de ℝ3 em ℝ3, definida por 푃 (푥, 푦, 푧) = (푥, 푦, 0). Se a imagem de uma
reta 푟, por 푃 , e´ um ponto, enta˜o quais sa˜o as equac¸o˜es parame´tricas da reta 푟?
6.2.2. Seja 푇 : ℝ3 → ℝ3 uma transformac¸a˜o linear dada por 푇 (푥, 푦, 푧) = (푧, 푥− 푦,−푧).
(a) Encontre uma base para o nu´cleo de 푇 .
(b) Encontre uma base para a imagem de 푇 .
(c) Descreva geometricamente o nu´cleo e a imagem de 푇 .
6.2.3. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ5 uma transformac¸a˜o linear.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
400 Transformac¸o˜es Lineares
(a) Se 푇 e´ sobrejetiva e dim(풩(푇 )) = 2, qual o valor de 푛?
(b) Se 푇 e´ sobrejetiva e injetiva, qual o valor de 푛?
6.2.4. Deˆ exemplos de transformac¸o˜es lineares 푇 : ℝ3 → ℝ3 tais que
(a) 풩(푇 ) = {(푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3 ∣ 푧 = −푥},
(b) ℐ(푇 ) = {(푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3 ∣ 푥 = 푦}.
6.2.5. Deˆ um exemplo de uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ2 → ℝ2 tal que 풩(푇 ) = ℐ(푇 ).
Exercı´cios Teo´ricos
6.2.6. Determine o nu´cleo e a imagem do operador linear definido no Exercı´cio 6.1.11 na pa´gina 382.
6.2.7. Considere o plano 휋 : 푎푥+ 푏푦 + 푐푧 = 0.
(a) Determine o nu´cleo e a imagem da projec¸a˜o ortogonal no plano 휋, 푃휋. Responda se 푃휋 e´
sobrejetiva e se e´ injetiva.
(b) Determine o nu´cleo e a imagem da reflexa˜o em relac¸a˜o ao plano 휋, 푅휋. Responda se 푅휋
e´ sobrejetiva e se e´ injetiva.
6.2.8. Considere a reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = 푡(푎, 푏, 푐).
(a) Determine o nu´cleo e a imagem da projec¸a˜o ortogonal na reta 푟, 푃푟. Responda se 푃푟 e´
sobrejetiva e se e´ injetiva.
(b) Determine o nu´cleo e a imagem da reflexa˜o em relac¸a˜o a` reta 푟, 푅푟. Responda se 푅푟 e´
sobrejetiva e se e´ injetiva.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.2 A Imagem e o Nu´cleo 401
6.2.9. Seja 푓 : ℝ3 → ℝ uma transformac¸a˜o linear.
(a) Mostre que existem escalares 푎, 푏, 푐 tais que 푓(푥, 푦, 푧) = 푎푥+ 푏푦 + 푐푧.
(b) Descreva geometricamente todas as possibilidades para o nu´cleo de 푓 .
6.2.10. Sejam 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear e ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} um conjunto de vetores de
ℝ
푛
. Mostre que se 풞 = {푇 (푉1), . . . , 푇 (푉푛)} e´ L.I., enta˜o ℬ tambe´m o e´.
6.2.11. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Mostre que 푇 e´ injetiva se, e somente se,
dim(ℐ(푇 )) = 푛.
6.2.12. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Mostre que 푇 e´ injetiva se, e somente se,
a imagem de todo conjunto de vetores linearmente independente e´ um conjunto de vetores
linearmente independente.
6.2.13. Sejam 푇 : ℝ푛 → ℝ푛 uma transformac¸a˜o linear. Mostre que 푇 e´ injetiva se, e somente se, a
imagem por 푇 de uma base de ℝ푛 e´ uma base de ℝ푛.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
402 Transformac¸o˜es Lineares
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares
Sejam 푇 : ℝ푛 → ℝ푝 e 푆 : ℝ푝 → ℝ푚 transformac¸o˜es lineares. A composic¸a˜o de 푆 com 푇 ,
denotada por 푆푇 e´ a func¸a˜o de ℝ푛 em ℝ푚 definida por
(푆푇 )(푋) = 푆(푇 (푋)), para todo 푋 ∈ ℝ푛.
Proposic¸a˜o 6.9. Se 푇 : ℝ푛 → ℝ푝 e 푆 : ℝ푝 → ℝ푚 sa˜o transformac¸o˜es lineares, enta˜o a composic¸a˜o
푆푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ uma transformac¸a˜o linear.
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푋1, 푋2 ∈ ℝ푛 e 훼, 훽 escalares.
(푆푇 )(훼푋1 + 훽푋2) = 푆(푇 (훼푋1 + 훽푋2)) = 푆(훼푇 (푋1) + 훽푇 (푋2))
= 훼푆(푇 (푋1)) + 훽푆(푇 (푋2)) = 훼(푆푇 )(푋1) + 훽(푆푇 )(푋2)
■
6.3.1 Matriz de uma Transformac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o 6.3. Seja ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} uma base de ℝ푛. Todo vetor 푉 ∈ ℝ푛 se escreve de maneira
u´nica como combinac¸a˜o linear de 푉1, . . . , 푉푛 (Teorema 4.3 na pa´gina 270), ou seja, existem escalares
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 403
훼1, . . . , 훼푛 tais que 푉 = 훼1푉1 + . . . + 훼푛푉푛. Definimos o vetor de coordenadas de 푉 em relac¸a˜o
a` base (ordenada) ℬ = {푉1, . . . , 푉푛}, por
[푉 ]ℬ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
훼1
훼2
.
.
.
훼푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
404 Transformac¸o˜es Lineares
As coordenadas de um vetor 푉 em relac¸a˜o a` base ℬ sa˜o os escalares que aparecem quando
escrevemos 푉 como combinac¸a˜o linear dos vetores da base ℬ. Por exemplo, para os vetores da
base ℬ, [푉1]ℬ = 퐸1, [푉2]ℬ = 퐸2, . . . , [푉푛]ℬ = 퐸푛, em que 퐸1, . . . , 퐸푛 sa˜o os vetores da base
canoˆnica do ℝ푛. Pois, 푉푖 = 0푉1 + . . .+ 1푉푖 + . . .+ 0푉푛, para 푖 = 1, . . . , 푛.
Sejam ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e 풞 = {푊1, . . . ,푊푚} bases de ℝ푛 e ℝ푚, respectivamente. Seja
푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Sejam
[푉 ]ℬ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ , [푇 (푉1)]풞 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11
푎21
.
.
.
푎푚1
⎤
⎥⎥⎥⎦ , [푇 (푉2)]풞 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎12
푎22
.
.
.
푎푚2
⎤
⎥⎥⎥⎦ , . . . , [푇 (푉푛)]풞 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎1푛
푎2푛
.
.
.
푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ .
Enta˜o,
푇 (푉 ) = 푇 (푥1푉1 + . . .+ 푥푛푉푛) = 푥1푇 (푉1) + . . .+ 푥푛푇 (푉푛)
= 푥1(푎11푊1 + . . . 푎푚1푊푚) + . . .+ 푥푛(푎1푛푊1 + . . .+ 푎푚푛푊푚)
= (푥1푎11 + . . .+ 푥푛푎1푛)푊1 + . . .+ (푥1푎푚1 + . . .+ 푥푛푎푚푛)푊푚.
Como escrevemos o vetor 푇 (푉 ) como combinac¸a˜o linear dos vetores da base 풞, enta˜o os escalares
sa˜o as coordenadas de 푇 (푉 ) em relac¸a˜o a` base 풞, ou seja,
[푇 (푉 )]풞 =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11푥1 + . . .+ 푎1푛푥푛
푎21푥1 + . . .+ 푎2푛푥푛
.
.
.
푎푚1푥1 + . . .+ 푎푚푛푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎢⎢⎢⎣
푎11 푎12 ⋅ ⋅ ⋅ 푎1푛
푎21 푎22 ⋅ ⋅ ⋅ 푎2푛
.
.
.
.
.
.
푎푚1 푎푚2 ⋅ ⋅ ⋅ 푎푚푛
⎤
⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎣
푥1
푥2
.
.
.
푥푛
⎤
⎥⎥⎥⎦ = 퐴 [푉 ]ℬ,
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 405
em que 퐴 = [ [푇 (푉1)]풞 . . . [푇 (푉푛)]풞 ]. Esta matriz e´ chamada matriz da transformac¸a˜o linear 푇
em relac¸a˜o a`s bases ℬ e 풞 e e´ denotada por [푇 ]풞
ℬ
, ou seja,
[푇 ]풞
ℬ
= [ [푇 (푉1)]풞 . . . [푇 (푉푛)]풞 ].
Isto prova o seguinte resultado, que e´ uma generalizac¸a˜o da Proposic¸a˜o 6.2 na pa´gina 379.
Teorema 6.10. Sejamℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e 풞 = {푊1, . . . ,푊푚} bases de ℝ푛 e ℝ푚, respectivamente.
Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o, a matriz 푚× 푛
[푇 ]풞
ℬ
= [ [푇 (푉1)]풞 . . . [푇 (푉푛)]풞 ],
e´ tal que
[푇 (푉 )]풞 = [푇 ]
풞
ℬ
[푉 ]ℬ, para todo vetor 푉 ∈ ℝ푛.
Aqui [푉 ]ℬ e´ o vetor de coordenadas de 푉 em relac¸a˜o a` baseℬ, [푇 (푉 )]풞 e´ o vetor de coordenadas de
푇 (푉 ) em relac¸a˜o a` base 풞 e a matriz [푇 ]풞
ℬ
= [ [푇 (푉1)]풞 . . . [푇 (푉푛)]풞 ] e´ a matriz da transformac¸a˜o
linear 푇 em relac¸a˜o a`s bases ℬ e 풞.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
406 Transformac¸o˜es Lineares
Quando a transformac¸a˜o linear e´ a transformac¸a˜o identidade 퐼 : ℝ푛 → ℝ푛, definida por 퐼(푋) =
푋 , para todo 푋 ∈ ℝ푛, enta˜o aplicando o resultado anterior (Teorema 6.10) a esta transformac¸a˜o,
obtemos uma relac¸a˜o entre os vetores de coordenadas de um vetor 푋 em relac¸a˜o a` duas bases.
[푋]풞 = [퐼(푋)]풞 = [퐼]
풞
ℬ
[푋]ℬ = 푃 [푋]ℬ,
em que 푃 = [ [푉1]풞 . . . [푉푛]풞 ] e´ chamada matriz mudanc¸a de base de ℬ para 풞.
Corola´rio 6.11. Sejam ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e 풞 = {푊1, . . . ,푊푛} bases de ℝ푛. Enta˜o, Para todo
푋 ∈ ℝ푛,
[푋]풞 = [퐼]
풞
ℬ
[푋]ℬ,
em que 푃 = [퐼]풞
ℬ
= [ [푉1]풞 . . . [푉푛]풞 ] e´ a matriz da transformac¸a˜o linear identidade 퐼 : ℝ푛 → ℝ푛 em
relac¸a˜o a`s bases 풞 e ℬ.
Exemplo 6.18. Sejam ℬ = {퐸1 = (1, 0), 퐸2 = (0, 1)} e 풞 = {푉1 = (1, 1), 푉2 = (1,−1)} bases do
ℝ
2
. Como ℬ e´ a base canoˆnica, temos que [(푥, 푦)]ℬ =
[
푥
푦
]
. Vamos encontrar [(푥, 푦)]풞.
[(푥, 푦)]풞 = [퐼ℝ2 ]
풞
ℬ
[(푥, 푦)]ℬ
Para determinarmos [퐼ℝ2 ]풞ℬ = [ [퐸1]풞 [퐸2]풞 ] diretamente precisamos saber escrever 퐸1 e 퐸2 em
termos da base 풞. Para isto precisamos resolver as equac¸o˜es:
퐸1 = 푥1푉1 + 푦1푉2 e 퐸2 = 푥2푉1 + 푦2푉2.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 407
Temos que resolver dois sistemas lineares que teˆm a mesma matriz 퐴 = [ 푉1 푉2 ]. Como a matriz 퐴
e´ invertı´vel e e´ fa´cil encontrar a inversa de uma matriz 2×2 (ver por exemplo Exemplo 2.17 na pa´gina
126), podemos obter as soluc¸o˜es dos sistemas como 퐴−1퐸1 e 퐴−1퐸2. Como
퐴−1 =
([
1 1
1 −1
])−1
=
[
1/2 1/2
1/2 −1/2
]
,
enta˜o
[퐼]풞
ℬ
= [ [퐸1]풞 [퐸2]풞 ] = [ 퐴
−1퐸1 퐴−1퐸2 ] =
[
1/2 1/2
1/2 −1/2
]
.
Portanto
[(푥, 푦)]풞 = [퐼]
풞
ℬ
[(푥, 푦)]ℬ =
[
1/2 1/2
1/2 −1/2
] [
푥
푦
]
=
[
(푥+ 푦)/2
(푥− 푦)/2
]
.
Teorema 6.12. Sejam 푇 : ℝ푛 → ℝ푝 e 푆 : ℝ푝 → ℝ푚 transformac¸o˜es lineares. Sejam ℬ =
{푉1, . . . , 푉푛}, 풞 = {푈1, . . . , 푈푝} e 풟 = {푊1, . . . ,푊푚} bases de ℝ푛,ℝ푝 e ℝ푚 respectivamente.
Enta˜o,
[푆푇 ]풟
ℬ
= [푆]풟
풞
[푇 ]풞
ℬ
.
Ou seja, a matriz da composic¸a˜o de duas transformac¸o˜es lineares e´ o produto das matrizes das
transformac¸o˜es lineares.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
408 Transformac¸o˜es Lineares
Demonstrac¸a˜o. Sejam 퐴 = [푆]풟
풞
, 퐵 = [푇 ]풞
ℬ
e 퐶 = [푆푇 ]풟
ℬ
. Vamos mostrar que 퐶 = 퐴퐵.
(푆푇 )(푉푗) = 푆(푇 (푉푗)) = 푆
(
푝∑
푘=1
푏푘푗푈푘
)
=
푝∑
푘=1
푏푘푗푆(푈푘)
=
푝∑
푘=1
푏푘푗
푚∑
푖=1
푎푖푘푊푖 =
푝∑
푘=1
푚∑
푖=1
푎푖푘푏푘푗푊푖 =
푚∑
푖=1
(
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗
)
푊푖
Mas, por definic¸a˜o da matriz de uma transformac¸a˜o linear
(푆푇 )(푉푗) =
푚∑
푖=1
푐푖푗푊푖.
Como os vetores 푊1, . . . ,푊푚 sa˜o L.I., enta˜o 푐푖푗 =
푝∑
푘=1
푎푖푘푏푘푗 , ou seja, 퐶 = 퐴퐵, como querı´amos
provar. ■
6.3.2 Invertibilidade
Dizemos que uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ invertı´vel se, existe uma func¸a˜o
푈 : ℝ푚 → ℝ푛 tal que 푇푈 = 퐼ℝ푚 e 푈푇 = 퐼ℝ푛 . A func¸a˜o 푈 e´ u´nica (verifique!) e denotada
por 푇−1.
Proposic¸a˜o 6.13. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear invertı´vel. Enta˜o, 푇−1 : ℝ푚 → ℝ푛 e´
tambe´m uma transformac¸a˜o linear.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 409
Demonstrac¸a˜o. Sejam 푌1, 푌2 ∈ ℝ푚 e 훼, 훽 escalares. Sejam 푋1 = 푇−1(푌1) e 푋2 = 푇−1(푌2).
Enta˜o,
푇−1(훼푌1 + 훽푌2) = 푇−1(훼푇 (푋1) + 훽푇 (푋2) = 푇−1(푇 (훼푋1 + 훽푋2))
= 훼푋1 + 훽푋2 = 훼푇
−1(푌1) + 훽푇−1(푌2)
o que prova que 푇−1 e´ uma transformac¸a˜o linear. ■
Lembramos que uma func¸a˜o 푓 : 퐴→ 퐵 e´ invertı´vel se, e somente se, e´ injetiva e sobrejetiva.
Teorema 6.14. Sejam ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e 풞 = {푊1, . . . ,푊푚} bases dos espac¸os vetoriais ℝ푛 e
ℝ
푚
, respectivamente. Uma transformac¸a˜o linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 e´ invertı´vel se, e somente se, [푇 ]풞
ℬ
e´
invertı´vel. Ale´m disso, se 푇 e´ invertı´vel, enta˜o [푇−1]ℬ
풞
= ([푇 ]풞
ℬ
)−1.
Demonstrac¸a˜o. Suponha, em primeiro lugar, que 푇 e´ invertı´vel. Enta˜o 푇 e´ injetiva e sobrejetiva, o
que implica, pelo Teorema da Dimensa˜o do Nu´cleo e da Imagem 6.7 na pa´gina 396, que 푛 = 푚.
Ale´m disso, existe uma transformac¸a˜o linear, 푇−1, tal que 푇푇−1 = 퐼ℝ푚 e 푇−1푇 = 퐼ℝ푛 . Assim,
퐼푛 = [퐼ℝ푛 ]
ℬ
ℬ
= [푇−1푇 ]ℬ
ℬ
= [푇−1]ℬ
풞
[푇 ]풞
ℬ
.
Portanto, a matriz [푇 ]풞
ℬ
e´ invertı´vel e ([푇 ]풞
ℬ
)−1 = [푇−1]ℬ
풞
.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
410 Transformac¸o˜es Lineares
Suponha, agora, que 퐴 = [푇 ]풞
ℬ
e´ uma matriz invertı´vel. Enta˜o, 퐴 e´ uma matriz quadrada e
푛 = 푚. Vamos mostrar que 풩(푇 ) = {0¯}. Seja 푉 ∈ 풩(푇 ). Enta˜o, [푇 (푉 )]풞 = 퐴[푉 ]ℬ = 0¯. Como 퐴
e´ invertı´vel, enta˜o [푉 ]ℬ = 0¯. O que implica que 푉 = 0¯. Assim 푇 e´ injetiva (Teorema 6.6 na pa´gina
395) e como 푛 = 푚, enta˜o pelo Corola´rio 6.8 na pa´gina 399 segue-se que 푇 e´ tambe´m sobrejetiva e
portanto invertı´vel. ■
Exemplo 6.19. Seja 푇 : ℝ3 → ℝ3 definida por 푇 (푥, 푦, 푧) = (푥 + 푦 + 2푧, 푦 + 2푧, 푧), para todo
(푥, 푦, 푧) ∈ ℝ3. Vamos verificar se 푇 e´ invertı´vel. Seja ℬ = {퐸1, 퐸2, 퐸3}. Vamos determinar a matriz
de 푇 em relac¸a˜o a ℬ. Para isto, vamos escrever o resultado da aplicac¸a˜o 푇 em cada elemento de ℬ
como combinac¸a˜o linear dos elementos de ℬ.
푇 (퐸1) = 퐸1 = 1퐸1 + 0퐸2 + 0퐸3
푇 (퐸2) = 퐸1 + 퐸2 = 1퐸1 + 1퐸2 + 0퐸3
푇 (퐸3) = 2퐸1 + 2퐸2 + 퐸3 = 2퐸1 + 2퐸2 + 1퐸3
Assim, a matriz de 푇 em relac¸a˜o a ℬ e´
[푇 ]ℬ
ℬ
=
[
[푇 (퐸1)]ℬ [푇 (퐸2)]ℬ [푇 (퐸3)]ℬ
]
=
⎡
⎣ 1 1 20 1 2
0 0 1
⎤
⎦ .
Esta matriz e´ invertı´vel (verifique!) e assim pelo Teorema 6.14 a transformac¸a˜o linear 푇 e´ invertı´vel e
[푇−1]ℬ
ℬ
= ([푇 ]ℬ
ℬ
)−1 =
⎡
⎣ 1 −1 00 1 −2
0 0 1
⎤
⎦ .
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 411
Vamos determinar uma expressa˜o para 푇−1. Pelo Teorema 6.10 na pa´gina 405, temos que
[푇−1(푥, 푦, 푧)]ℬ = [푇−1]ℬℬ[(푥, 푦, 푧)]ℬ =
⎡
⎣ 1 −1 00 1 −2
0 0 1
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푥− 푦푦 − 2푧
푧
⎤
⎦ .
Portanto, 푇−1(푥, 푦, 푧) = (푥− 푦, 푦 − 2푧, 푧).
Quando a transformac¸a˜o linear e´ a transformac¸a˜o identidade
퐼 : ℝ푛 → ℝ푛, definida por 퐼(푋) = 푋 , para todo 푋 ∈ ℝ푛,
enta˜o aplicando o resultado anterior (Teorema 6.14) a
esta transformac¸a˜o, obtemos o seguinte resul-
tado.
Corola´rio 6.15. Sejam ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e 풞 = {푊1, . . . ,푊푛} bases de ℝ푛. A matriz mudanc¸a de
base 푃 = [퐼]풞
ℬ
e´ invertı´vel e
푃−1 = ([퐼]풞
ℬ
)−1 = [퐼]ℬ
풞
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
412 Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 6.20. Vamos determinar a expressa˜o da transformac¸a˜o linear que faz uma rotac¸a˜o de um
aˆngulo 휃 no sentido anti-hora´rio em torno de um eixo que passa pela origem e tem a direc¸a˜o e o
sentido dados por um vetor unita´rio 푈 = (푎, 푏, 푐). Seja 풞 = {푈1, 푈2, 푈3}, em que
푈1 = 푈 = (푎, 푏, 푐)
푈2 = (− 푏√
푎2 + 푏2
,
푎√
푎2 + 푏2
, 0)
푈3 = (− 푎푐√
푎2 + 푏2
,− 푏푐√
푎2 + 푏2
,
√
푎2 + 푏2)
´E fa´cil verificar que esta e´ uma base ortonormal, ou seja, uma base em que os seus vetores sa˜o
unita´rios mutuamente ortogonais. Ale´m disso, temos que
푅휃(푈1) = 푈1 = (푎, 푏, 푐)
푅휃(푈2) = cos 휃 푈2 + sen 휃 푈3 = (
−푏 cos 휃 − 푎푐 sen 휃√
푎2 + 푏2
,
푎 cos 휃 − 푏푐 sen 휃√
푎2 + 푏2
,
√
푎2 + 푏2 sen 휃)
푅휃(푈3) = −sen 휃 푈2 + cos 휃 푈3 = (푏 sen 휃 − 푎푐 cos 휃√
푎2 + 푏2
,
−푎 sen 휃 − 푏푐 cos 휃√
푎2 + 푏2
,
√
푎2 + 푏2 cos 휃).
Se ℬ = {퐸1, 퐸2, 퐸3} e´ a base canoˆnica de ℝ3, enta˜o
푅휃,푈(푋) = [푅휃,푈(푋)]ℬ = [푅휃,푈 ]
ℬ
ℬ
[푋]ℬ
Podemos escrever 푅휃,푈 = 푅휃,푈퐼 e assim
[푅휃,푈 ]
ℬ
ℬ
= [푅휃,푈퐼]
ℬ
ℬ
= [푅휃,푈 ]
ℬ
풞
[퐼]풞
ℬ
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 413
Agora,
[푅휃,푈 ]
ℬ
풞
= [ [푅휃,푈(푈1)]ℬ [푅휃,푈(푈2)]ℬ [푅휃,푈(푈3)]ℬ ] = [ 푅휃,푈(푈1) 푅휃,푈(푈2) 푅휃,푈(푈3) ],
e
[퐼]풞
ℬ
= ([퐼]ℬ
풞
)−1 = [ [푈1]ℬ [푈2]ℬ [푈3]ℬ ]−1 = [ 푈1 푈2 푈3 ]푡,
pois ℬ e´ a base canoˆnica e os vetores 푈1, 푈2 e 푈3 sa˜o unita´rios mutuamente ortogonais. Assim,
푅휃,푈(푋) = [푅휃,푈 ]
ℬ
풞
[푋]풞 = [ 푅휃,푈(푈1) 푅휃,푈(푈2) 푅휃,푈(푈3) ][ 푈1 푈2 푈3 ]
푡푋.
Mas,
[ 푅휃,푈(푈1) 푅휃,푈(푈2) 푅휃,푈(푈3) ][ 푈1 푈2 푈3 ]
푡 =⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎
−푏 cos 휃 − 푎푐 sen 휃√
푎2 + 푏2
푏 sen 휃 − 푎푐 cos 휃√
푎2 + 푏2
푏
푎 cos 휃 − 푏푐 sen 휃√
푎2 + 푏2
−푎 sen 휃 − 푏푐 cos 휃√
푎2 + 푏2
푐
√
푎2 + 푏2 sen 휃
√
푎2 + 푏2 cos 휃
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎡
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
푎 푏 푐
− 푏√
푎2 + 푏2
푎√
푎2 + 푏2
0
− 푎푐√
푎2 + 푏2
− 푏푐√
푎2 + 푏2
√
푎2 + 푏2
⎤
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =
⎡
⎣ 푎2(1− cos 휃) + cos 휃 푎푏(1− cos 휃)− 푐 sen 휃 푎푐(1− cos 휃) + 푏 sen 휃푎푏(1− cos 휃) + 푐 sen 휃 푏2(1− cos 휃) + cos 휃 푏푐(1− cos 휃)− 푎 sen 휃
푎푐(1− cos 휃)− 푏 sen 휃 푏푐(1− cos 휃) + 푎 sen 휃 푐2(1− cos 휃) + cos 휃
⎤
⎦
que e´ a matriz de 푅휃,푈 em relac¸a˜o a` base canoˆnica. Finalmente,
푅휃,푈
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦ =
⎡
⎣ 푎2(1− cos 휃) + cos 휃 푎푏(1− cos 휃)− 푐 sen 휃 푎푐(1− cos 휃) + 푏 sen 휃푎푏(1− cos 휃) + 푐 sen 휃 푏2(1− cos 휃) + cos 휃 푏푐(1− cos 휃)− 푎 sen 휃
푎푐(1− cos 휃)− 푏 sen 휃 푏푐(1− cos 휃) + 푎 sen 휃 푐2(1− cos 휃) + cos 휃
⎤
⎦
⎡
⎣ 푥푦
푧
⎤
⎦
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
414 Transformac¸o˜es Lineares
6.3.3 Semelhanc¸a
Corola´rio 6.16. Sejam ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e 풞 = {푊1, . . . ,푊푛} bases do ℝ푛. Se 푇 : ℝ푛 → ℝ푛 e´
uma transformac¸a˜o linear, enta˜o
[푇 ]풞
풞
= 푃−1 [푇 ]ℬ
ℬ
푃.
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema 6.12 na pa´gina 407 temos que
[푇 ]풞
풞
= [퐼]풞
ℬ
[푇 ]ℬ
ℬ
[퐼]ℬ
풞
.
Mas pelo Corola´rio 6.15 na pa´gina 411 a matriz 푃 = [퐼]ℬ
풞
e´ invertı´vel e 푃−1 = [퐼]풞
ℬ
. De onde segue-se
o resultado. ■
Uma transformac¸a˜o linear do ℝ푛 nele mesmo e´ chamada um operador linear. Sejam 퐴 e 퐵
matrizes 푛 × 푛. Dizemos que 퐵 e´ semelhante a 퐴 se existe uma matriz invertı´vel 푃 tal que 퐵 =
푃−1퐴푃 . Observe que com esta terminologia o Corola´rio 6.16 pode ser estabelecido da seguinte
forma:
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 415
Se 푇 : ℝ푛 → ℝ푛 e´ uma transformac¸a˜o linear, ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e 풞 = {푊1, . . . ,푊푛} sa˜o bases de
ℝ
푛
, enta˜o [푇 ]풞
풞
e´ semelhante a [푇 ]ℬ
ℬ
.
O trac¸o de uma matriz quadrada 퐴, denotado por tr(퐴), e´ definido como sendo a soma dos
elementos da sua diagonal principal. Como tr(퐴퐵) = tr(퐵퐴) (Exercı´cio 1.1.26 na pa´gina 31), enta˜o
tr(푃−1퐴푃 ) = tr(퐴).
Assim, em virtude do Corola´rio 6.16, se ℝ푛 e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, podemos definir
o trac¸o de um operador linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푛 como sendo
tr(푇 ) = tr([푇 ]ℬ
ℬ
),
onde ℬ e´ uma base de ℝ푛.
De forma ana´loga, como det(퐴퐵) = det(퐴) det(퐵) = det(퐵퐴) (Teorema 2.13 na pa´gina 117),
enta˜o
det(푃−1퐴푃 ) = det(퐴).
Assim, em virtude do Corola´rio 6.16, se ℝ푛 e´ um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, podemos definir
o determinante de um operador linear 푇 : ℝ푛 → ℝ푛 como sendo
det(푇 ) = det([푇 ]ℬ
ℬ
),
onde ℬ e´ uma base de ℝ푛 qualquer.
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
416 Transformac¸o˜es Lineares
Exemplo 6.21. Vamos obter uma expressa˜o para a reflexa˜o na reta 푟 : 푦 = 2푥, 푅푟 : ℝ2 → ℝ2,
usando o Corola´rio 6.16. Vamos escolher uma base do ℝ2, tal que a avaliac¸a˜o de 푅푟 nos elementos
desta base seja fa´cil de se obter. Por exemplo, 풞 = {푉1 = (1, 2), 푉2 = (−2, 1)}.
푅푟(푉1) = 푅푟(1, 2) = (1, 2) = 1푉1 + 0푉2
푅푟(푉2) = 푅푟(−2, 1) = (2,−1) = 0푉1 − 1푉2.
Assim,
퐵 = [푅푟]
풞
풞
=
[
1 0
0 −1
]
.
A matriz mudanc¸a de base, da base 풞 para a base canoˆnica ℬ = {(1, 0), (0, 1)} e´ dada por
푃 = [퐼ℝ2 ]
ℬ
풞
=
[
1 −2
2 1
]
.
Pelo Corola´rio 6.16, a matriz 퐴 = [푅푟]ℬℬ e´ obtida atrave´s da equac¸a˜o matricial
퐴 = [푅푟]
ℬ
ℬ
= [퐼ℝ2 ]
ℬ
풞
[푅푟]
풞
풞
[퐼ℝ2 ]
풞
ℬ
= 푃퐵푃−1.
Vamos enunciar uma versa˜o mais geral do Corola´rio 6.16, cuja demonstrac¸a˜o e´ inteiramente
ana´loga e deixamos como exercı´cio para o leitor.
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 417
Corola´rio 6.17. Seja 푇 : ℝ푛 → ℝ푚 uma transformac¸a˜o linear. Sejam ℬ = {푉1, . . . , 푉푛} e ℬ′ =
{푉 ′1 , . . . , 푉 ′푛} bases de ℝ푛 e 풞 = {푊1, . . . ,푊푚} e 풞′ = {푊 ′1, . . . ,푊 ′푚} bases de ℝ푚. Enta˜o,
[푇 ]풞
′
ℬ′
= 푃−1[푇 ]풞
ℬ
푄,
onde 푃 e´ a matriz mudanc¸a de base de 풞′ para 풞 e 푄, de ℬ′ para ℬ.
Exercı´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 608)
6.3.1. Seja 푇 : ℝ2 → ℝ2 a transformac¸a˜o linear dada por 푇 (푥, 푦) = (2푥 + 푦, 푥 − 3푦), para todo
(푥, 푦) ∈ ℝ2. Seja 풞 = {(1, 1), (1, 2)}. Determine [푇 ]풞
풞
.
6.3.2. Seja 푇 : ℝ3 → ℝ3 definida por 푇 (푋) = 퐴푋 , para todo 푋 ∈ ℝ3, onde
퐴 =
⎡
⎣ 3 −1 −20 0 −2
0 0 −1
⎤
⎦ .
Sejam 푉1 = (1, 0, 0), 푉2 = (1, 2, 0) e 푉3 = (0,−2, 1).
(a) Encontre a matriz mudanc¸a de base de 풞 = {푉1, 푉2, 푉3} para a base canoˆnica ℬ =
{퐸1, 퐸2, 퐸3};
Julho 2009 Reginaldo J. Santos
418 Transformac¸o˜es Lineares
(b) Use a matriz obtida no item anterior para determinar a matriz 퐵 que representa 푇 com
relac¸a˜o a` base {푉1, 푉2, 푉3}.
6.3.3. Considere a reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = 푡(1, 1, 1). Sejam ℬ = {퐸1, 퐸2, 퐸3} a base canoˆnica do
ℝ
3 e 풞 = {푈1, 푈2, 푈3} a base ortonormal de ℝ3 definida por 푈1 = 1/
√
3(1, 1, 1), 푈2 =
1/
√
2(−1, 1, 0) e 푈3 = 1/
√
6(−1,−1, 2).
(a) Seja 푃푟 : ℝ3 → ℝ3 a projec¸a˜o ortogonal na reta 푟. Encontre [푃푟]풞풞 e [푃푟]ℬℬ.
(b) Seja 푅푟 : ℝ3 → ℝ3 a reflexa˜o em relac¸a˜o a` reta 푟. Encontre [푅푟]풞풞 e [푅푟]ℬℬ.
6.3.4. Considere a reta 푟 : (푥, 푦, 푧) = 푡(1, 1, 0). Sejam ℬ = {퐸1, 퐸2, 퐸3} a base canoˆnica do ℝ3 e
풞 = {푈1, 푈2, 푈3} a base ortonormal de ℝ3 definida por 푈1 = 1/
√
2(1, 1, 0), 푈2 = (0, 0, 1) e
푈3 = 1/
√
2(1,−1, 0). Seja 푅휋/2,푟 : ℝ3 → ℝ3 a transformac¸a˜o linear, que e´ uma rotac¸a˜o de
um aˆngulo de 휋/2 em torno da reta 푟. Determine [푅휋/2,푟]풞풞 e [푅휋/2,푟]ℬℬ.
6.3.5. Para cada uma das transformac¸o˜es lineares 푇 verifique se 푇 e´ invertı´vel e calcule a inversa,
푇−1, se ela existe.
(a) 푇 : ℝ3 → ℝ3 definida por 푇 (푥, 푦, 푧) = (푥+ 2푦 + 푧, 푦 + 2푧, 푧).
(b) 푇 : ℝ3 → ℝ3 definida por 푇 (푎, 푏, 푐) = (푎,−2푎+ 푏,−2푎− 4푏+ 푐).
(c) 푇 : ℝ3 → ℝ3 definida por 푇 (푎, 푏, 푐) = (푎+ 푏+ 푐, 푎+ 2푏+ 푐, 푎+ 2푐).
(d) 푇 : ℝ3 → ℝ3 definida por 푇 (푎, 푏, 푐) = (푎+ 푏+ 푐,−푎+ 푐, 푎+ 푐).
Introduc¸a˜o a` ´Algebra Linear Julho 2009
6.3 Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares 419
Exercı´cios Teo´ricos
6.3.6.