prova 2 - 2011 - Ana Claudia

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Coleção de Provas
Disciplina: Álgebra Linear I
Curso: Matemática
Período: 2011/1
Prova: P2
Professor: Ana Claudia
1. Seja T : R3 → R3 o operador linear dado por T(x, y, z) = (x+ y+ z, x+ y+ z, x+ y+ z).
(a) Determine o polinômio característico, os autovalores, e todos os autovetores de T.
(b) Determine, se possível, uma base ortonormal β de R3 tal que [T]ββ seja diagonal.
(c) Determine uma matriz ortogonal P tal que P−1[T]ααP = [T]
β
β, onde α é a base canônica de
R3. Justifique.
2. Seja W = [(1, 1, 1,−1)] subespaço vetorial de R4.
(a) Determine uma base para W⊥.
(b) Use Gran-Schmidt para obter uma base ortogonal de W⊥.
3. (a) Determine um operador linear T : R3 → R3 cujos autovalores sejam λ1 = 1 e λ2 = −3,
com autovetores associados formando o plano com equação x − y+ 2z = 0 e a reta que
contém o vetor (1, 0, 1), respectivamente.
(b) O operador do item (a) é ortogonal? justifique.
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