Gabarito3

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MAE 219: Introdução á Probabilidade e á Estatística I 
3ª lista de exercício – Gabarito 
 
1)a) Ω = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), 
(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
b) Ω = [0,∞[ 
c) Ω = {(M,M,M,M), (M,M,M,F), (M,M,F,F), (F,F,F,F)} 
d) Ω = [0,∞[ 
e) Ω = [0,∞[ 
f) Ω = {(A,A), (A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,A), (B,B), (B,C), (B,D), (B,E), (C,A), (C,B), (C,C), (C,D), 
(C,E), (D,A), (D,B), (D,C), (D,D), (D,E), (E,A), (E,B), (E,C), (E,D), (E,E)} 
g) Ω = { (A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,A), (B,C), (B,D), (B,E), (C,A), (C,B), (C,D), (C,E), (D,A), (D,B), 
(D,C), (D,E), (E,A), (E,B), (E,C), (E,D)} 
 
2)a) A= {(cara,cara), (cara,coroa), (coroa,cara)} 
b) A= {(cara,cara)} 
c) A={(cara,coroa), (coroa,cara), (coroa,coroa)} 
 
3) AUB = {(3,6), (4,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} 
 AПB = {(5,4), (6,3)} 
Ac = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), 
(3,4), (3,5), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,4), (6,5), 
(6,6)} 
 
4) 2) a) ¾ b) ¼ c) ¾ 
 3) a) 14/36 = 7/18 b) 2/36 = 1/18 c) 32/36 = 8/9 
 
5) 
 
 
a) 74/248 = 0,30 (total de aluno = 248) 
b) 42/248 = 0,17 
 
 
6) Distancia( (x,y) , (0,0) ) = ��� � 0�² � �	 � 0�² 
 
 A: D < 1 = ��² � 	² < 1 = x² + y² < 1 à equação de círculo de raio 1 
 
a) Um quadrante de um círculo de raio 1 
 
 
b) P(A) = área do quadrante de um círculo de raio 1 = 
��
 = 
 
c) P (B) = P (x ≥ b) + P (y ≥ b) – P( x ≥ b e y ≥ b) = (1-b) + (1-b) – (1-b²) = 1 – 2b + b² = (b-1)² 
d) P(Bc) = 1 – P(B) = 2b – b² 
7) P(A) = área (A) = 
�
�	
 . 
�
�
 = 
�
�
 
 P(B) = área (B) = 
�
�	
 . 
�
�
 = 
�
 
 P (AUB) = P(A) + P(B) – P(AПB) = 
�
�
�	�	
�	�
�
	 . �	
�	 �	
�
	 
 P(Ac) = 1- P(A) = 
�	
�
 
 P(Bc) = 1 – P(B) = 
�	
 
 P (AcП Bc) = 1 – P(AUB) = 
�	
�
 
8) área do evento / área total 
9)a) 0,1 b) 0,1 c)0,9 d)0,45 e)0,55 f) 0,1 g)0,06 h)0,1 
 i) 0,16 
 
10) a) 
��
��
	 . �	
��
� 0,375				b)	��
��
	 . �	
��
�	 �
��
	 . �	
��
�	0,5 c)��
��
	 . �	
��
�	 �
��
	 . ��	
��
�	0,5 
 
11) X = dia do aniversário da pessoa escolhida 
 X é uniformemente distribuída de 1 a 365 
 K = número de pessoas na sala 
P (ocorrer uma duplicata) = 1 - 
���
���
	 . ��
	
���
. ���
���
… ������ 	��	
���
� 1 �	 ������ 	��!	
�������!����#�
	 
 
12) P(ser resolvido) = P(A sim e B não) + P (B sim e A não) + (A sim e B sim) = 
�
�
	 . �	
�	�
	 . �	
�
�
	�
�
	 . �	
� 0,92 
 
13) P ( A / B) = 
�,�
�,��
� 0,33	 & P(A) = 0,10 , portanto não são independentes 
 
14) Para ganhar: Evento A ={ (6, 1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6), (1,4), (2,4)} 
P(A) = 8 . 
�
�
	 . �	
�
� 0,22 
 
15) P( preta, preta) = 
�
�
	 . �	
'
� 0,11 
 P(verm, preta) = 
�
�
	 . �	
'
� 0,27 
 P(preta, verm) = 
�
�
	 . �	
'
� 0,27 
 P(verm, verm) = 
�
�
	 . 
	
'
� 0,36 
 
16) a) 0,11 
b) P( (verm, verm) ou (verm, preta)) = 0,27 + 0,36 = 0,63 
c) P( (preta,preta) ou (verm,preta)) = 0,11 + 0,27 = 0,38 
17) P(2 pretas, 2 azuis, 1 amarela) = 
5
13
	 .
4	
12
	 . 3
11
	 .
3	
10	
. �
9
� 0,0023	 
 
18) 
J: A vs. B = A vence à A vs. C = A vence à termina A vencedor 
K: A vs. B = B vence à B vs. C = B vence à termina B vencedor 
L: A vs. B = A vence à A vs. C = C vence à C vs. B = C venceà termina C vencedor 
M: A vs. B = A vence à B vs. C = C vence à C vs. A = C venceà termina C vencedor 
N: A vs. B = A vence à A vs. C = C vence à C vs. B = B venceà B vs. A = B vence à termina B 
vencedor 
O: A vs. B = A vence à A vs. C = C vence à C vs. B = B venceà B vs. A = A vence à termina por 4 
jogadas 
 Q: A vs. B = A vence à B vs. C = C vence à C vs. A = A venceà A vs. B = A vence à termina A 
vencedor 
R: A vs. B = A vence à B vs. C = C vence à C vs. A = A venceà A vs. B = A vence à termina por 4 
jogadas 
 
19) a) P(J) = P(K)= (
�
�
�² �	 �
 
 P(L) = P(M)= (
�
�
�³ �	 �
�
 
 P(N) = P(O)= P(Q) = P(R) = (
�
�
�^4 � �
��
	 
 Soma = = 
�
�
2	
�
� 
16
� 1 
c) P (A vencedor em 2 partidas) = P (J) = 
�
 
P(B vencedor em 2 partidas) = P (L) =
�
 
P(sem decisão) = P(O) + P(R) = 
�
�
 
 
20) a) P(N) = 0,23 P(S) = 0,42 P(H) = 0,35 
 b) P(1º e N) = 0,075 P(3º e S) = 0,11 P(4º e H) = 0,7 
 c) P(L e H) = P(1º e H) + P(2º e H) = 0,1 + 0,09 = 0,19 
 P(U e N) = P(3º e N) + P(4º e N) = 0,05 + 0,045 = 0,095 
 d)P(N ou S) = P(N) + P(S) = 0,23 + 0,42 = 0,65 
 P(U ou H) = P(U) + P(H) – P(U e H) = P(3º) + P(4º) – P(3º e H) – P(4º e H) = 0,25 + 0,20 + 
0,35 – 0,09 -0,07 = 0,64 
e)P(N/4º) = 0,225 P(4º/N) = 0,20 P(H/N) = 0 
 
22) Se o sorteio for realmente aleatório, a probabilidade de seu time não ser escolhido é 
sempre maior que zero, assim, não há razão para reclamações 
 
23) a) G = {12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 
96} 
P(G)= 
��
��
� 0,24 
H = {15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95} 
P(H) = 
��
��
� 0,20 
 
b)P(GПH) = 
��
� 0,04 
c)Não, há intersecção 
d) P(G/H) = 
�,�
�,��
� 0,22	 & ,�-� � 0,24 , assim, não são independentes 
e) P(GUH) = 0,24 + 0,20 – 0,04 = 0,40 
 
24) P(passar a dor) = P(escolher A e A funcionar) + P(escolher B e B funcionar) 
 
Como a escolha do remédio é ao acaso: P(escolher A) = P(escolher B) = 
�
�
 
 
P(passar a dor) = 
�
�
	 . �
�	�
�
	 . �
�
�	0,71 
 
25) P(ser defeituoso) = P(A e defeito) + P(B e defeito) + P(C e defeito) = 0,25.0,05 + 
0,35.0,03 + 0,40.0,02 = 0,031 
 
P(A/defeituoso) = 
.�/	0	1020345676�
.�1020345676�
�	 �,��	.�,��
�,���
� 0,40 
Analogamente, 
P(B/defeituoso) = 0,34 
P(C/defeituoso) = 0,26 
 
26)a) P(Ac П Bc) = P(Ac). P(Bc) = (1-p)(1-q) 
 b) 1 - P(Ac П Bc) = 1 – (1-p)(1-q) 
 
27) A e Bc 
 P(A) = P(A П B) + P(A П Bc) = P(A) . P(B) + P(A П Bc) 
 P(A) – P(A).P(B) = P(A П Bc) 
 P(A) [ 1 – P(B)] = P(A П Bc) 
 P(A) P(Bc) = P(A П Bc) , assim, são independentes 
 
 Ac e B: análogo 
Ac e Bc 
 
P(Ac) = P(Ac П B) + P(Ac П Bc) = P(Ac).P(B) + P(Ac П Bc) 
P(Ac )[ 1 – P(B)] = P(Ac П Bc) 
P(Ac ).P(Bc)= P(Ac П Bc) , assim, são independents 
 
28) P(aprovado) = P(A) = P(BП A) + P(MП A) + P(PП A) = 0,25.0,8 + 0,5.0,5 + 0,25.0,2 = 0,5 
 
P(B/A) = 
�,�	.�,��
�,�
� 0,1 
P(M/A) = 
�,�	.�,�
�,�
� 0,5 
P(B/A) = 
�,��	.�,�
�,�
� 0,4 
 
29) Se forem exclusivos: P(AП B) = 0 
 
P(A) = P(A П B) + P(A П Bc) 
P(A) = P(A П Bc) 
P(A) = P(A/ Bc ) . P(B c) 
�
�
 = P(A/ Bc ) . 
�
 
 
P(A/ Bc ) = 
�
 > 1 ABSURDO! Portanto não podem ser exclusivos