Lista 5

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

1
ELETROMAGNETISMO I – FCM0114 – 2013 - José Schneider 
 
LISTA 5: Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis 
em coordenadas esféricas 
 
1) Uma esfera de raio R está formada por dois hemisférios mutuamente isolados. O hemisfério superior está a 
potencial constante Vo e o inferior está a potencial -Vo, ambos medidos com referência no infinito. Usando o 
método de separação de variáveis calcule, na forma de séries de polinômios de Legendre: 
a) o potencial elétrico dentro e fora da esfera. 
b) o campo elétrico dentro e fora da esfera. 
c) a densidade superficial de carga elétrica sobre a esfera. 
Ajuda: lembre da condição de paridade dos polinômios de Legendre: ( ) ( ) ( )xPxP lll 1−=− para escrever os 
coeficientes da série de forma compacta. 
 
2) Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga superficial constante σo. Usando o método de separação de 
variáveis calcule, calcule o potencial elétrico dentro e fora da esfera. (Não use a Lei de Gauss.) 
 
3) Uma esfera condutora sem carga com raio R é colocada numa região de campo uniforme zEE ˆ00 =
r
. 
a) Determine qual é a condição de contorno do potencial ( )rV r para ( )rV r para ∞→r . 
b) Usando o método de separação de variáveis, determine o potencial elétrico em todo o espaço (dentro e fora da 
esfera). Compare com o resultado obtido usando o método das imagens. Identifique na solução obtida as duas 
contribuições superpostas esperadas: potencial de campo uniforme mais potencial de dipolo elétrico. 
c) Calcule a densidade superficial de carga ( )θσ sobre a esfera. 
d) Supondo agora que a esfera tem carga Q, determine o potencial elétrico dentro e fora da esfera. 
 
4) Uma esfera de raio R está formada por dois hemisférios mutuamente isolados cada um contendo densidade de 
carga superficial constante σo para o superior e -σo para o inferior. 
a) Encontre o potencial ( )rV r dentro e fora da esfera como uma expansão em polinômios de Legendre 
b) Calcule explicitamente os coeficientes da série até ordem l = 6 e represente graficamente o potencial. 
Faça gráficos separados da dependência como função de r e θ. 
 
5) Considere duas esferas concêntricas de raios R1 e R2 com R1 < R2. A esfera interior possui uma densidade de 
carga superficial constante σo. A esfera exterior tem uma densidade de carga superficial ( ) ( )θσθσ cosC= . 
Calcule o potencial elétrico em todo o espaço como uma série de polinômios de Legendre.