APLICAÇÃO DAS DERIVADAS

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Aplicação das Derivadas 
Propriedades Geométricas dos Gráficos e Funções 
Padilha 
Aplicação das Derivadas 
Propriedades Geométricas dos Gráficos e Funções. 
FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 
PONTO CRÍTICO 
Definição: “Diz-se que é um ponto crítico de ( ) se ( ) ou se ( ) não 
é definida em ” 
Roteiro de Teste para Funções Crescentes e Decrescentes 
1. Derive ( ) 
2. Encontre todos os pontos críticos. 
“Diz-se que é um ponto crítico de ( ) se ( ) 0 ou se ( ) não é 
definida em ”. 
3. Teste o sinal de ( ) em um ponto arbitrário pertencente a cada intervalo de 
teste. 
4. Use o teste para determinar se ( ) é crescente ou decrescente. 
 
Exemplo 1. Teste para determinar se a função é crescente ou decrescente. 
Mostre que ( ) é decrescente em ( - ) e crescente em (0, ). 
Solução: 
1. Derive ( ) ( ) 
2. Ponto crítico: ( ) em 
3. Para negativo ( ) , logo a função é decrescente 
4. Para positivo, ( ) portanto a função é crescente. 
Vejamos o gráfico da função: 
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Exemplo 2. Determinando os intervalos nos quais uma função é crescente e 
decrescente. 
Determine os intervalos abertos nos quais ( ) 
 
 
 é crescente 
ou decrescente. 
Solução: 
Vamos seguir o Roteiro. 
1. Calculamos a primeira derivada de ( ), a saber: ( ) 
2. Calculamos os números críticos, fazendo a 1ª derivada nula ( ) 
 Assim: ( ) 
Assim: os números críticos são: 
3. Assim os intervalos são: (- ), (0, 1) e ( 1, ). 
 
Vejamos a tabela: 
 
 
 
Intervalo - 0 1 
Valor de Teste ⁄ 
 
Sinal de ( ) (-1) ( ) (2) 
Conclusão Crescente Decrescente Crescente 
 
 
 
 
 
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4. Gráfico 
 
 
 
CONCAVIDADE 
Teste da Concavidade e o Teste da Segunda Derivada. 
 
1. ( ) , no intervalo considerado I 
2. ( ) , no intervalo considerado I 
Roteiro para o Teste da Concavidade 
1. Determine os valores para os quais ( ) ou ( ) não é definida. 
2. Use esses valores para determinar os intervalos de teste. 
3. Verifique o sinal de ( ) em todos os intervalos de teste. 
 
Exemplo 1. Determinando a concavidade. 
Determine os intervalos nos quais a concavidade da curva da função dada é 
para cima e os intervalos nos quais a concavidade é para baixo. 
Seja: ( ) 
 
 
 
 
Solução: 
Cálculo de ( ) 
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 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 Ou ( ) 
 
( ) 
 
Finalmente, 
 
 ( ) 
( ) ( ) ( )( )( )( )
( ) 
 = 
 ( )
( ) 
 
 
 mostra que ( ) é definida para qualquer valor de e 
 ( ) para Logo podemos testar a concavidade de 
 ( ) testando o sinal de ( ) nos intervalos ( ), ( ) e ( ) 
como visto na tabela a seguir: 
 
 
Intervalo 
Valor de Teste 
Sinal de ( ) ( ) ( ) ( ) 
Conclusão Côncava para cima Côncava para baixo Côncava para cima 
 
 
 
 
Observe, no gráfico abaixo, os pontos nos quais a curva muda a concavidade 
que são em e 
A função tem seu valor máximo, de amplitude em 
 
 
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 PONTOS DE INFLEXÃO 
Definição: é o ponto onde a curva muda de côncava para cima para côncava 
para baixo. 
Propriedade do ponto de Inflexão. 
“Se (c, f(c)) é um ponto de inflexão de f( ) ( ) ou ( ) não é definida 
no ponto onde .” 
Exemplo 2: Determinação de Pontos de Inflexão. 
Discuta a concavidade da curva da função ( ) + 1 e 
determine os pontos de inflexão. 
 
Solução: 
 
Vamos derivar duas vezes, pois, teremos que determinar a segunda derivada da 
função dada. 
 
Assim: 
 
1) Calculamos ( ) 
 ( ) + - 
 ( ) + – 
Fatorando, temos: ( ) ( )( ) 
2) O resultado mostra os possíveis pontos de inflexão em ⁄ , e 
 Testando nos intervalos ( ) ( ⁄ ) (
 
 ⁄ ), vemos que: 
3) Concavidade para cima em ( ) 
4) Concavidade para baixo em ( ⁄ ) 
5) Concavidade para cima em ( ⁄ ) 
6) Como a concavidade muda em ⁄ existem dois pontos de 
inflexão. 
7) Gráfico da função ( ) + 1 
 
 
EXTREMOS RELATIVOS E O TESTE DA PRIMEIRA DERIVADA 
Exemplo: Determine todos os extremos da função: 
 ( ) 
Solução: Calculamos os números críticos de ( ) 
 ( ) .... Cálculo da 1ª derivada 
 ( ) ....Igualo a zero 
 ( ) .................Coloca-se 6 em evidência 
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 ( )( ) .............Fatora-se a expressão 
 que são os números críticos. 
 ( ) ( ) ( ). 
Vamos, assim, montar a tabela abaixo: 
 
Intervalo 
Valor de Teste 
Sinal de ( ) ( ) ( ) ( ) 
Conclusão Crescente Decrescente Crescente 
 
 
 
Assim, x = -2 ( número crítico) corresponde a um máximo relativo igual a 58 
( o sinal de f’(x) passa de positivo para negativo) e o número crítico x = 3 
corresponde a um mínimo relativo igual a -67 ( o sinal de f’(x) passa de 
negativo para positivo). Observemos no gráfico abaixo estas afirmativas. 
 
 
 
 
Resumindo: 
Máximo relativo: ( ) 
Mínimo relativo : ( ) 
 
 
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O TESTE DA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMO e MÍNIMO RELATIVO 
 
Teste: “ Seja ( ) ; suponha que ( ) exista em um intrervalo 
aberto que contenha . Então: 
1. Se ( ) , ( ) é um mínimo relativo; 
2. Se ( ) , ( ) é um máximo relativo; 
3. Se ( ) , ( ) o teste não permite chegar a nenhuma 
conclusão. Nesse caso usar o Teste da Primeira Derivada. 
 
Exemplo: Uso do Teste da Segunda Derivada. 
Determine os extremos relativos da função ( ) . 
 
Solução: 
1. Calculando os números críticos: 
2. Derivando ( ) (1) 
 ( ) ou 
 ( ) ( ) .....(2) 
A equação (2) nos dá 3 números críticos, a saber: 
 
Estes números críticos correspondem aos pontos(ver equação (1) 
 Para ( ) ( ) ( ) = . Assim o ponto é ( ). 
Para ( ) . Logo o ponto é ( ) 
Para ( ) ( ) ( ) . Assim o ponto é ( ) 
Eles são os únicos números críticos de ( ). 
3. Calculando a segunda derivada: ( ) .....(3) 
4. Aplicando o Teste da Segunda Derivada – Tabela 
 
Ponto Sinal de ( ) Conclusão 
( ) ( ) Mínimo relativo 
( ) ( ) Indefinido 
( ) ( ) Máximo relativo 
 
Como o Teste não é satisfatório no ponto (0,0), aplica-se o Teste da Primeira 
Derivada e concluímos que que o ponto (0,0) não é nem mínimo relativo e nem
máximo relativo. Na verdade, o Teste da Concavidade mostra que se trata de 
um ponto de inflexão. 
 
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5. Gráfico de ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXTREMOS ABSOLUTOS 
Os termos máximo relativo e mínimo relativo são usados para descrever o 
comportamento local de uma função. Para descrevermos o comportamento 
global de uma função, i.e, o comportamento em um dado intervalo, usa-se o 
termo máximo absoluto ou mínimo absoluto. 
 
TEOREMA: 
“Se a função ( ) é contínua em um intervalo I, ( ) possui um valor mínimo e 
um valor máximo em I.” 
 
 
 
1. ( ) ( ) ( ) ; 
2. ( ) ( ) ( ). 
Às vezes chamamos de somente MÁXIMO e MÍNIMO. 
 
 
 
 
 
ROTEIRO PARA DETERMINAR EXTREMOS 
(Intervalo Fechado) 
1. Determine os valores de ( ) nos pontos críticos do intervalo; 
2. Determine os valores de ( ) nas extremidades do intervalo; 
3. O menor desses valores é o mínimo e o maior é o máximo. 
Exemplo: 
 Determine os valores máximo e mínimo de ( ) , no 
intervalo [ ] 
 
Solução: 
1. Começamos calculando os números críticos: 
de ( ) 
 ou 
2. Como está no interior do intervalo dado, devemos testar os 
valores de ( ) nesse número e nas extremidades do intervalo, como na 
tabela a seguir: 
 
 
 
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3. Tabela 
 
Valor de Extremidade Nº crítico = 3 
 
Extremidade 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Conclusão Máximo Mínimo Nem máximo e nem 
mínimo 
 
4. Gráfico de de ( ) 
 
 
 
 
 
Observe: 
 O ponto de máximo (0, 2); 
O ponto de mínimo (3, -7) 
O ponto que não é nem máximo e nem mínimo (5, -3) 
 
 
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Bibliografia: 
1. LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. 6ª ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2008. 
2. HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo – Um Curso Moderno e 
Suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC, 2011.