Problema_Consumidor

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Resumo do Problema do Consumidor
Autor: Murilo Ferreira de Moraes∗
Mestrado em Economia
Faculdade de Economia, Administrac¸a˜o e Contabilidade
Universidade de Sa˜o Paulo
Prof. Ricardo Madeira
Monitores: Murilo Ferreira de Moraes e Paula R. Kasmirski
Revisado em 16 de abril de 2011
Suma´rio
1. Problema de Maximizac¸a˜o de Utilidade 1
1.1 Func¸a˜o de utilidade indireta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Problema de Minimizac¸a˜o do Dispeˆndio 3
2.1 Func¸a˜o de dispeˆndio mı´nimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Dualidade 4
3.1 Equac¸a˜o de Slustky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Variac¸a˜o de bem estar 6
5. Exemplo: Utilidade Stone–Geary 9
6. Soluc¸a˜o da provinha III 11
6.1 Problema de Maximizac¸a˜o de Utilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2 Problema de Minimizac¸a˜o do Dispeˆndio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A Apeˆndice 1 15
B Apeˆndice 2 16
Resumo
Este resumo procura cobrir alguns resultados importantes do problema de consumidor. Vamos
nos concentrar em um problema gene´rico com apenas dois bens, ignorando soluc¸o˜es de canto para
facilitar o entendimento.
1. Problema de Maximizac¸a˜o de Utilidade
Temos que resolver o seguinte problema
Max
x,y
U(x, y)
s.a. xpx + ypy = I.
∗murilofmoraes@gmail.com
1
Ou seja, maximizamos uma determinada func¸a˜o de utilidade sujeita a uma restric¸a˜o orc¸amenta´ria.
O Lagrangeano associado a esse problema e´
L = U(x, y) + λ(I − xpx − ypy).
com condic¸o˜es de primeira ordem dadas por
∂L
∂x
=
∂U(x, y)
∂x
− λpx = 0⇒ ∂U(x, y)
∂x
= λpx
∂L
∂y
=
∂U(x, y)
∂y
− λpy = 0⇒ ∂U(x, y)
∂y
= λpy
∂L
∂λ
= I − xpx − ypy = 0⇒ I = xpx + ypy
Dividindo a primeira pela segunda temos
TMSx,y =
∂U(x, y)/∂x
∂U(x, y)/∂y
=
px
py
A partir da relac¸a˜o entre a TMS e a raza˜o de prec¸os podemos encontrar uma relac¸a˜o entre x e y
em func¸a˜o dos prec¸os1. Dada essa relac¸a˜o, podemos substituir x por alguma func¸a˜o f(y, px, py) na
restric¸a˜o orc¸amenta´ria de maneira que encontraremos a demanda marshaliana de y. Ou seja,
TMSx,y =
px
py
⇒ x = f(y, px, py)
⇓
f(y, px, py)px + ypy = I
⇓
y∗ = y(px, py, I)
Analogamente, podemos definir
x∗ = f(y∗, px, py) = f(y(px, py, I), px, py)
= x(px, py, I)
1.1 Func¸a˜o de utilidade indireta
A func¸a˜o de utilidade indireta determina o n´ıvel de utilidade alcanc¸ado, no problema de maximizac¸a˜o
de utilidade, para determinados valores de px, py e I. Do problema de maximizac¸a˜o de utilidade
encontramos as demandas marshalianas x(px, py, I) e y(px, py, I) que sa˜o func¸o˜es apenas dos prec¸os
e da renda. Logo,
V (px, py, I) = U
(
x(px, py, I), y(px, py, I)
)
representa justamente o n´ıvel de utilidade alcanc¸ado quando consumimos essas quantidades de x e
y, ou seja, representa a func¸a˜o de utilidade indireta.
1ver o Apeˆndice 1 para uma discussa˜o mais detalhada sobre a relac¸a˜o da TMS com a raza˜o de prec¸os.
2
2. Problema de Minimizac¸a˜o do Dispeˆndio
Temos que resolver o seguinte problema
Min
x,y
xpx + ypy
s.a. U(x, y) = u¯
cujo lagrangeano e´
L = xpx + ypy + γ(u¯− U(x, y)).
As condic¸o˜es de primeira ordem desse problema sa˜o
∂L
∂x
= px − γ ∂U(x, y)
∂x
= 0⇒ px = γ ∂U(x, y)
∂x
∂L
∂y
= py − γ ∂U(x, y)
∂y
= 0⇒ py = γ ∂U(x, y)
∂y
∂L
∂λ
= u¯− U(x, y) = 0⇒ U(x, y) = u¯
Dividindo a primeira pela segunda temos
TMSx,y =
∂U(x, y)/∂x
∂U(x, y)/∂y
=
px
py
Observe que obtemos a mesma condic¸a˜o exposta no problema de maximizac¸a˜o da utilidade. A
dualidade entre os problemas impo˜e que, se u¯ = U(x∗, y∗), enta˜o a demanda obtida no problema de
minimizac¸a˜o sera´ igual a`quela obtida no problema de maximizac¸a˜o de utilidade. Novamente, a partir
da relac¸a˜o entre a TMS e a raza˜o de prec¸os podemos encontrar uma relac¸a˜o entre x e y em func¸a˜o
dos prec¸os. Dada essa relac¸a˜o, podemos substituir x por alguma func¸a˜o fˆ(y, px, py) na func¸a˜o de
utilidade para obter a demanda hicksiana de y. Ou seja,
TMSx,y =
px
py
⇒ x = fˆ(y, px, py)
⇓
U(fˆ(y, px, py), y) = u¯
⇓
y∗c = yc(px, py, u¯)
em que a passagem acima considera poss´ıvel isolar o y e deixa´-lo em func¸a˜o dos prec¸os e de u. Assim,
temos que
x∗c = fˆ(y∗c, px, py) = fˆ(y
c(px, py, u¯), px, py)
= xc(px, py, u¯)
2.1 Func¸a˜o de dispeˆndio m´ınimo
Analogamente a` func¸a˜o de utilidade indireta, temos que a func¸a˜o de dispeˆndio determina o menor
n´ıvel de gasto que garante uma determinada utilidade, dados px e py. Do problema de minimizac¸a˜o
3
de gasto encontramos as demandas hicksianas (ou compensadas) xc(px, py, u¯) e y(px, py, u¯) que sa˜o
func¸o˜es apenas dos prec¸os e da utilidade u¯. Logo,
E(px, py, u¯) = x
c(px, py, u¯)px + y
c(px, py, u¯)py
representa justamente o custo mı´nimo para alcanc¸ar u¯, ou seja, representa a func¸a˜o de dispeˆndio
mı´nimo.
3. Dualidade
Vamos supor que no problema de maximizac¸a˜o de utilidade temos
V (px, py, I) = u¯
ou seja, a utilidade ma´xima dados px, py e I e´ u¯. Do problema de minimizac¸a˜o temos
E(px, py, u¯) = I
′.
Vamos argumentar que I ′ = I. Imagine que
E(px, py, u¯) = I
′ > I,
ou seja, o gasto mı´nimo para conseguir u¯ seja maior que I. Isso contradiz o problema de maximizac¸a˜o,
uma vez que para um n´ıvel de renda I conseguimos obter u¯ (ou seja, podemos gastar menos que I ′
e garantir a mesma utilidade). Analogamente, imagine que
E(px, py, u¯) = I
′ < I,
ou seja, o gasto mı´nimo para obter u¯ e´ menor que I. Temos novamente uma contradic¸a˜o com o
problema de maximizac¸a˜o: se gasto menos que I para obter u¯ enta˜o poderia aumentar o consumo de
algum dos bens e obter uma utilidade maior. Portanto, u¯ na˜o poderia ser a utilidade ma´xima obtida
com px, py e I. Dessa maneira temos que
V (px, py, E(px, py, u¯)) = u¯ e E(px, py, V (px, py, I)) = I
3.1 Equac¸a˜o de Slustky
A partir da relac¸a˜o acima, temos que
xc(px, py, u¯) = x(px, py, E(px, py, u¯)),
4
ou seja, a dualidade entre os problemas implica que a soluc¸a˜o para os mesmos valores de u¯ e de renda
I sera´ a mesma.
Derivando em relac¸a˜o a px, obtemos
∂xc
∂px
=
∂x
∂px
+
∂x
∂E
∂E
∂px
.
Do problema de minimizac¸a˜o, temos que
∂E
∂px
=
∂L
∂px
= x;
substituindo x pela soluc¸a˜o minimizadora (Teorema do Envelope)2,
∂E
∂px
= xc(px, py, u¯) = x(px, py, I).
Rearranjando os termos da segunda equac¸a˜o, temos
∂x
∂px
=
∂xc
∂px
− ∂x
∂I
x ou
∂x
∂px
=
∂x
∂px
∣∣∣∣
U=u¯
− ∂x
∂I
x
O primeiro termo da direita representa o efeito substituic¸a˜o: para um mesmo valor de utilidade, mos-
tra como a demanda de x e´ afetada frente uma variac¸a˜o no prec¸o. Representa, portanto, movimento
em x ao longo da mesma curva de utilidade.
O segundo termo representa o efeito renda. Quando temos uma variac¸a˜o no prec¸o temos uma
reduc¸a˜o da renda real, i.e., a renda nominal e´ capaz de comprar uma menor quantidade de bens. Logo,
isso afeta diretamente o consumo dos bens pela reduc¸a˜o do orc¸amento real. Pore´m, essa variac¸a˜o e´
proporcional a` quantidade consumida de x: se a quantidade de x e´ muito elevada, variac¸o˜es no seu
prec¸o devera˜o afetar mais o consumo do que quando tal bem e´ consumido em quantidades pequenas.
Graficamente, temos (considerando prefereˆncias convexas e uma mudanc¸a de p1’ para p1”)
ESER
I / p1” I / p1’
U´
U´´
x1
x2
Veja que a reta orc¸amenta´ria que cruza o eixo x1 em I/p
′
1 representa a restric¸a˜o orc¸amenta´ria
original. O aumento do prec¸o para p′′1 faz com que a reta cruze esse eixo em um ponto inferior: como
o prec¸o e´ mais alto, se alocartoda a renda no bem 1 consigo consumir uma menor quantidade desse
2ver o apeˆndice 2
5
bem. Para encontrar o efeito substituic¸a˜o e´ necessa´rio encontrar a quantidade de x1 consumida, aos
novos prec¸os, mas que garanta a mesma utilidade anterior (ou seja, encontrar a demanda hicksiana
aos novos prec¸os que garanta U ′). Para isso basta deslocar a nova restric¸a˜o ate´ que ela tangencie a
curva de indiferenc¸a anterior (ou seja, ate´ a reta pontilhada). O efeito renda e´ dado pelo res´ıduo da
variac¸a˜o na demanda de x1, descontando o efeito substituic¸a˜o.
A partir da equac¸a˜o de Slustky e´ poss´ıvel entender a relac¸a˜o entre a inclinac¸a˜o da demanda
marshaliana e da hicksiana. Suponha um bem normal, i.e., ∂x
∂I
> 0. Logo, temos que
∂x
∂px
=
∂xc
∂px
<0︷ ︸︸ ︷
− ∂x
∂I︸︷︷︸
>0
x⇒ ∂x
∂px
<
∂xc
∂px
ou seja, a demanda marshaliana e´ mais horinzontal que a hicksiana (veja que quando desenhamos as
demandas colocamos o prec¸o no eixo vertical e por isso a demanda marshaliana e´ mais horizontal;
caso o prec¸o ficasse no eixo horizontal ter´ıamos que essa e´ mais inclinada).
Assim, para um aumento de prec¸o a queda na demanda marshaliana supera a queda na demanda
hicksiana (e´ a soma da substituic¸a˜o decorrente do bem cujo prec¸o aumentou pelos demais e da reduc¸a˜o
do consumo ocasionada pela reduc¸a˜o da renda real). Graficamente (considerando um exemplo ana´logo
aos valores do gra´fico anterior),
p1”
p1’
x1
p1
x1*
xc1(U’)
xc1(U” )
ESER
A notac¸a˜o xc1(U
′) representa a demanda hicksiana quando mantemos a mesma utilidade antes da
mudanc¸a de prec¸o (corresponde ao deslocamento da restric¸a˜o ate´ a restric¸a˜o pontilhada no gra´fico
anterior).
4. Variac¸a˜o de bem estar
Uma das importantes aplicac¸o˜es dos conceitos definidos no problema do consumidor e´ a ana´lise da
variac¸a˜o do bem estar frente a variac¸o˜es nos paraˆmetros do problema (prec¸os e renda). A definic¸a˜o
de uma medida moneta´ria capaz de expressar a variac¸a˜o na utilidade e´ de extrema importaˆncia
se considerarmos casos pra´ticos como criac¸a˜o de impostos ou subs´ıdios, por exemplo. Considere a
6
func¸a˜o dispeˆndio definida como
E(ptx, p
t
y, U
t) = xc(ptx, p
t
y, U
t)ptx + y
c(ptx, p
t
y, U
t)pty
representando justamente o custo mı´nimo para alcanc¸ar U t, ou seja, representa a func¸a˜o de dispeˆndio
mı´nimo. xc e yc correspondem a`s demandas hicksianas associada ao problema de minimizac¸a˜o do
dispeˆndio e o ı´ndice t associado ao prec¸os e a utilidade correspondem a um per´ıodo no tempo.
Suponha que em t = 0 temos
E(p0x, p
0
y, U
0)
e em t = 1 temos uma mudanc¸a de p0x para p
1
x, de maneira que o gasto mı´nimo para atingir a mesma
utilidade fica
E(p1x, p
0
y, U
0).
Logo,
V C = E(p1x, p
0
y, U
0)− E(p0x, p0y, U0).
representa o que denominamos de Variac¸a˜o Compensadora; i.e., a variac¸a˜o na renda do indiv´ıduo
necessa´ria para deixa´-lo no mesmo n´ıvel de utilidade anterior. Como na pra´tica a func¸a˜o dispeˆndio
na˜o e´ observada (uma vez que na˜o temos o n´ıvel de utilidade), uma maneira adequada de obter a
Variac¸a˜o Compensadora seria atrave´s do lema de Sheppard:
xc(px, py, U) =
∂E(px, py, U)
∂px
⇒
∫
xc(px, py, U)dpx =
∫
∂E(px, py, U)
∂px
dpx = E(px, py, U).
Portanto,
V C = E(p1x, p
0
y, U
0)− E(p0x, p0y, U0) =
∫ p1x
0
xc(px, py, U
0)dpx −
∫ p0x
0
xc(px, py, U
0)dpx
=
∫ p1x
p0x
xc(px, py, U
0)dpx.
ESER
p1xp1x
px
xc(U0)
xc(U1)
p0x
x
x*
No entanto, podemos pensar nesse problema com uma visa˜o diferente. Considere, por exemplo,
que o consumidor frente a variac¸a˜o de prec¸o, otimiza novamente sua func¸a˜o de utilidade e atinge U1.
7
Logo, poder´ıamos pensar em outra medida de variac¸a˜o de bem estar, dada por
V E = E(p1x, p
0
y, U
1)− E(p0x, p0y, U1)
denominada Variac¸a˜o Equivalente. Tal medida representa a quantidade moneta´ria que tornaria o
consumidor indiferente entre uma mudanc¸a na sua renda nesse montante e a variac¸a˜o no prec¸o. Ou
seja, se o consumidor atinge no ma´ximo U1 aos prec¸os p1x e p
0
y e renda m, quando precisamos variar
a renda dele aos prec¸os p0x e p
0
y para que ele atinja no ma´ximo U
1. Analogamente, temos
V E = E(p1x, p
0
y, U
1)− E(p0x, p0y, U1) =
∫ p1x
0
xc(px, py, U
1)dpx −
∫ p0x
0
xc(px, py, U
1)dpx
=
∫ p1x
p0x
xc(px, py, U
1)dpx.
ESER
p1xp1x
p0x
px
xc(U0)
xc(U1)
x
x*
Por fim, uma terceira alternativa para o ca´lculo da variac¸a˜o no bem estar do consumidor, e´ o uso
da demanda marshaliana para calcula a Variac¸a˜o no Excendente do Consumidor, dada por
V EC =
∫ p1x
p0x
x(px, py,m)dpx.
x
x*
ESER
p1xp1x
p0x
xc(U0)
xc(U1)
px
Veja que no caso de bens inferiores, a relac¸a˜o entre a inclinac¸a˜o das demandas marshalianas sera´
8
distinta e isso afetara´ a relac¸a˜o entre as variac¸o˜es compensadora, equivalente e do excendente do
consumidor (use o mesmo racioc´ınio para a equac¸a˜o de Slutsky com bens inferiores para derivar esse
resultado).
5. Exemplo: Utilidade Stone–Geary
Pensando em uma extensa˜o do modelo Coob-Douglas para n bens ter´ıamos:
U(x1, . . . , xN ) =
n∏
i=1
xβii
com
∑n
i=1 βi = 1 (ou seja, n bens com o expoente somando 1; o caso simples e´ quando temos apenas
dois bens, x e y). O problema de maximizac¸a˜o associado a essa utilidade sera´
Max
x1,...,xn
∏n
i=1 x
βi
i
s.a. p1x1 + . . .+ pnxn =
∑n
i=1 pixi = m
com lagrangeano
L =
n∏
i=1
xβii + λ
(
m−
n∑
i=1
pixi
)
.
As condic¸o˜es de primeira ordem desse problema sa˜o
∂L
∂x1
= β1
∏n
i=1 x
βi
i
x1
− λp1 = 0
...
∂L
∂xj
= βj
∏n
i=1 x
βi
i
xj
− λpj = 0
...
∂L
∂xn
= βn
∏n
i=1 x
βi
i
xn
− λpn = 0
∂L
∂λ
= m−
n∑
i=1
pixi = 0.
Tomando duas condic¸o˜es de primeira ordem k, l e dividindo uma pela outra temos:
βk
βl
xl
xk
=
pk
pl
⇒ xl = βl
pl
pk
βk
xk.
Podemos separar a restric¸a˜o entre k e os demais bens; ou seja,
n∑
i=1
pixi = pkxk +
n∑
i=1
i 6=k
pixi = m
9
e substituindo xi pela expressa˜o anterior,
pkxk +
n∑
i=1
i 6=k
pi
(
βi
pi
pk
βk
xk
)
= pkxk +
pkxk
βk
1−βk︷ ︸︸ ︷
n∑
i=1
i 6=k
βi = βkpkxk + (1− βk)pkxk = βkm
e, portanto, ∀k = 1, . . . , n
xk =
βkm
pk
.
E´ poss´ıvel notar que esse e´ justamente o resulta quando temos apenas 2 bens; por exemplo, para a
func¸a˜o de utilidade
U(x, y) = xβy(1−β)
as demandas marshalianas sa˜o
x∗(px, py,m) =
βm
px
e y∗(px, py,m) =
(1− β)m
py
.
Uma extensa˜o desse modelo seria
U(x1, . . . , xN ) =
n∏
i=1
(xi − γi)βi
que seria ideˆntico ao problema anterior, se γi = 0, ∀i = 1, . . . , n. Vamos definir
xˆi = xi − γi
de maneira que podemos fazer a seguinte modificac¸a˜o na restric¸a˜o orc¸amenta´ria
n∑
i=1
pixi = m
n∑
i=1
pixi −
n∑
i=1
piγi = m−
n∑
i=1
piγi
n∑
i=1
pi(xi − γi) = m−
n∑
i=1
piγi
n∑
i=1
pixˆi = mˆ
Dessa maneira, temos que o problema do consumidor fica ideˆntico ao caso da Cobb-Douglas:
Max
xˆ1,...,xˆn
∏n
i=1 xˆ
βi
i
s.a.
∑n
i=1 pixˆi = mˆ
10
de maneira que a soluc¸a˜o do problema ∀k = 1, . . . , n
xˆ∗k =
βkmˆ
pk
x∗k − γk =
βk(m−
∑n
i=1 piγi)
pk
x∗k = γk +
βk(m−
∑n
i=1 piγi)
pk
em que apenas usamos as definic¸o˜es de xˆ e mˆ. O uso comum desse tipo de modelo e´ para situac¸o˜es
em que o consumo dos bens esta´ restrito a algum n´ıvel de subsisteˆncia. Podemos ver na demanda
marshaliana que γk corresponde justamente a esse n´ıvel de subsisteˆncia; para todo k o consumo de xk
parte de γk mais uma parcela da renda. Essa parcela da renda e´ dada pelo termo
βk(m−
∑ni=1 piγi)
pk
.
Analisando por partes temos que m − ∑ni=1 piγi corresponde a quanto “sobra” da renda apo´s o
consumo de subsisteˆncia de todos os bens. Como em uma Cobb-Douglas a parcela dessa renda gasta
com xk dependera´ do expoente βk, ou seja, consome-se uma parcela βk (lembre-se que 0 < βk < 1)
da renda discriciona´ria (aquela que sobra apo´s o consumo de subsisteˆncia).
6. Soluc¸a˜o da provinha III
6.1 Problema de Maximizac¸a˜o de Utilidade
O problema do indiv´ıduo e´
Max
x1,x2
2
√
x1 + x2
s.a. p1x1 + p2x2 = m
cujo lagrangeano e´
L = 2√x1 + x2 + λ(m− xp1 − yp2).
As condic¸o˜es de primeira ordem desse problema sa˜o
∂L
∂x1
=
1√
x1
− λp1 = 0⇒ 1√
x1
= λp1
∂L
∂x2
= 1− λp2 = 0⇒ 1 = λp2
∂L
∂λ
= m− xp1 − yp2 = 0⇒ m = xp1 + yp2
Dividindo a primeira pela segunda temos
TMSx1,x2 =
1√
x1
=
p1
p2
⇒ x∗1 =
(
p2
p1
)2
.
Logo, vemos que no o´timo o consumo de x1 independe da renda. O consumo o´timo de x2 e´ encontrado
a partir da restric¸a˜o orc¸amenta´ria:
p1x
∗
1 + p2x
∗
2 = m⇒ p1
(
p2
p1
)2
+ p2x
∗
2 = m⇒ x∗2 =
m− p22
p1
p2
11
Como o consumo de x∗1 independe da renda, temos que o consumo de x2 corresponde ao res´ıduo da
restric¸a˜o orc¸amenta´ria. No entanto, e´ importante perceber a existeˆncia de uma restric¸a˜o adicional
sobre o consumo dos bens: nenhum dos bens pode ser consumidor em quantidade negativa. Portanto,
o consumo de x∗2 se divide em dois casos:
x∗2 =

m− p22
p1
p2
, se m >
p22
p1
0, se m ≤ p
2
2
p1
.
Por essa restric¸a˜o, a demanda por x1 tambe´m se divide em dois casos: caso o consumo de x
∗
2 seja
nulo, enta˜o toda a renda e´ gasta em x∗1 e, portanto,
x∗1 =

(
p2
p1
)2
, se m >
p22
p1
m
p1
, se m ≤ p
2
2
p1
.
i) As demandas marshalianas para m >
p22
p1
sa˜o
x∗1 =
(
p2
p1
)2
e x∗2 =
m− p22
p1
p2
ii) A func¸a˜o de utilidade indireta neste caso sera´
V (x1, x2) = U(x
∗
1, x
∗
2) = 2
√
x∗1 + x
∗
2 = 2
√(
p2
p1
)2
+
m− p22
p1
p2
=
p2
p1
+
m
p2
iii) As demandas marshalianas para m ≤ p22
p1
sa˜o
x∗1 =
m
p1
e x∗2 = 0
iv) A func¸a˜o de utilidade indireta neste caso sera´
V (x1, x2) = U(x
∗
1, x
∗
2) = 2
√
x∗1 + x
∗
2 = 2
√
m
p1
v)
vi) Se m =
p22
p1
temos, pelo item (iv), que a utilidade e´ dada por
V (x1, x2) = 2
√
m
p1
⇒ m = p
2
2
p1
⇒ 2
√√√√ p22p1
p1
= 2
√(
p2
p1
)2
= 2
p2
p1
12
6.2 Problema de Minimizac¸a˜o do Dispeˆndio
Temos que resolver o seguinte problema
Min
x,y
x1p1 + x2p2
s.a. 2
√
x1 + x2 = u¯
cujo lagrangeano e´
L = x1p1 + x2p2 + γ(u¯− 2√x1 − x2).
As condic¸o˜es de primeira ordem desse problema sa˜o
∂L
∂x
= p1 − γ√
x1
= 0⇒ p1 = γ√
x1
∂L
∂y
= p2 − γ = 0⇒ p2 = γ
∂L
∂λ
= u¯− 2√x1 − x2) = 0⇒ 2√x1 + x2) = u¯
Dividindo a primeira pela segunda temos
TMSx,y =
1√
x1
=
p1
p2
⇒ xc1 =
(
p2
p1
)2
.
Novamente, vemos que no o´timo o consumo de xc1 independe da renda. O consumo o´timo de x2 e´
encontrado a partir da restric¸a˜o sobre a utilidade:
2
√
xc1 + x
c
2 = u¯⇒ 2
√(
p2
p1
)2
+ xc2 = u¯⇒ xc2 = u¯− 2p2
p1
Analogamente ao problema de maximizac¸a˜o de utilidade, e´ importante perceber a existeˆncia de uma
restric¸a˜o adicional sobre o consumo dos bens: nenhum dos bens pode ser consumidor em quantidade
negativa. Portanto, o consumo de xc2 se divide em dois casos:
xc2 =

u¯− 2p2
p1
, se u¯ > 2
p2
p1
0, se u¯ ≤ 2p2
p1
.
Por essa restric¸a˜o, a demanda por x1 tambe´m se divide em dois casos: caso o consumo de x
c
2 seja
nulo, enta˜o toda a utilidade corresponde ao consumo de xc1 (2
√
xc1 = u¯⇒ xc1 = u¯
2
4
) e, portanto,
xc1 =

(
p2
p1
)2
, se u¯ > 2
p2
p1
u¯2
4
, se u¯ ≤ 2p2
p1
.
vii) As demandas hicksianas para u¯ > 2 p2
p1
sa˜o
xc1 =
(
p2
p1
)2
e xc2 = u¯− 2p2
p1
.
13
viii) As demandas hicksianas para u¯ ≤ 2 p2
p1
sa˜o
xc1 =
u¯2
4
e xc2 = 0.
Os efeitos renda e substituic¸a˜o podem ser obtidos atrave´s da equac¸a˜o de Slutsky, dada por
∂x1
∂p1
=
Efeito substituic¸a˜o︷︸︸︷
∂xc1
∂p1
Efeito renda︷ ︸︸ ︷
−∂x1
∂m
x1
ix) Substituindo pelos valores encontrados, temos para u¯ > 2 p2
p1
∂xc1
∂p1
=
∂
((
p2
p1
)2)
∂p1
= −2p
2
2
p31
e
− ∂x
∂m
x = 0
x) Para u¯ ≤ 2 p2
p1
∂xc1
∂p1
= 0
e
− ∂x
∂m
x = −
∂
(
m
p1
)
∂m
m
p1
= −m
p21
14
A Apeˆndice 1
Da definic¸a˜o de Taxa Marginal de Substituic¸a˜o (TMS), temos
TMS = − dy
dx
∣∣∣∣
U=cte
,
ou seja, a raza˜o diz respeito a taxa que o agente esta´ disposto a trocar um bem pelo outro, de maneira
a permanecer na mesma curva de indiferenc¸a. A raza˜o de prec¸o
py
px
por sua vez, diz respeito a taxa
de troca do mercado entre y e x. E´ natural, portanto, que no ponto o´timo a taxa de substituic¸a˜o
em termos de utilidade se iguale a taxa de subtituic¸a˜o moneta´ria (a raza˜o de prec¸os). Imagine que
esse na˜o fosse o caso; por exemplo, imagine que a TMS seja inferior a raza˜o de prec¸o. Ou seja, seria
poss´ıvel abrir ma˜o de uma quantidade de y e com esse valor comprar x de maneira a obter um n´ıvel
de utilidade maior, violando a hipo´tese de que estamos em um ponto o´timo. Outra forma de enxergar
isso seria atrave´s do multiplicador de Lagrange. Para isso suponha o seguinte problema
Max
x,y
U(x, y)
s.a. pxx+ pyy = I
de maneira que o Lagrangeano de tal equac¸a˜o seria
L = U(x, y) + λ(I − pxx− pyy).
Resolvendo, obtemos as seguintes condic¸o˜es de primeira ordem
∂L
∂y
=
∂U
∂y
− λpy = 0
∂L
∂x
=
∂U
∂x
− λpx = 0
∂L
∂λ
= I − pxx− pyy = 0.
Das duas primeiras condic¸o˜es obtemos a seguinte relac¸a˜o, dada pelo multiplicador de Lagrange:
λ =
∂U/∂x
px
=
∂U/∂y
py
.
Essa equac¸a˜o diz que por unidade moneta´ria gasta, a contribuic¸a˜o em termos de utilidade marginal
tem que ser igual para todos os bens. Logo,
∂U/∂y
∂U/∂x
<
py
px
⇒ ∂U/∂y
py
<
∂U/∂x
px
implica que a utilidade marginal por unidade moneta´ria gasta em x e´ maior que por unidade mone-
ta´ria gasta em y.
15
(x*,y*)
y
x
B Apeˆndice 2
Considere a seguinte versa˜o gene´rica do teorema do envelope. Seja f(x, a) uma func¸a˜o do vetor de
varia´veis x e do vetor de paraˆmetros a. Suponha que a restric¸a˜o para a maximizac¸a˜ (ou minimizac¸a˜o)
o dessa func¸a˜o seja
g(x, a) = 0.
Logo, temos que resolver o seguinte problema:
Max
x
f(x, a)
s.a. g(x, a) = 0.
com lagrangeano dado por
L(x, a) = f(x, a)− λ · g(x, a).
A formulac¸a˜o geral do teorema do envelope e´
df∗(a)
dai
=
∂L(x, a)
∂ai
∣∣∣∣∣
x=x∗(a),λ=λ(a)
Ou seja, podemos calcular a variac¸a˜o da func¸a˜o objetivo no o´timo em func¸a˜o de uma variac¸a˜o nos
paraˆmetros calculando a derivada do lagrangeano e avaliando tal derivada no ponto o´timo. Pensando
no problema de minimizac¸a˜o de dispeˆndio do consumidor temos
Max
x
n∑
i=1
pixi
s.a. g(x, u) = u− U(x) = 0.
O lagrangeano desse problema e´ dado por
L(x, p,m) =
n∑
i=1
pixi + λg(x, u) =
n∑
i=1
pixi + λ (u− U(x)) .
Sendo xc(p, u) o vetor de demanda hicksiana que resolve problema e E(p, u) =
∑n
i=1 pix
c
i (p, u) a
func¸a˜o dispeˆndio mı´nimo (ou seja, o gasto mı´nimo que garante u) temos que o teorema do envelope
16
nos diz que
dE(p, u)
dpi
=
∂L(x, p, u)
∂pi
∣∣∣∣∣
x=xc(p,u),λ=λ(p,u)
= xci (p, u)
pois os prec¸os so´ entram no problema afetando o gasto (e, portanto, a derivada e´ igual ao bem
associado a esse prec¸o3).
3derive a restric¸a˜o orc¸amenta´ria em func¸a˜o do prec¸o e voceˆ encontrara´ esse resultado
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