aula-complementar_4

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A regra da cadeia . Operações com vetores.
As funções horárias x(t) e y(t) que descrevem o movimento de um corpo num plano relacionam-se com a equação da trajetória y(x) da seguinte forma:
				 y(t) = y[x(t)]
Note que a forma analítica da função y(x) pode ser diferente da forma analítica de y(t), embora o mesmo símbolo y seja em geral usado em ambas as funções. 
Exemplo.:
Sejam
 	x(t) = 6 + 5t 		(cm,s) 
 	y(x) = 4 + 3x – 2x2 	(cm,cm)			(1)
Então:
 	y(t) = y[x(t)] = 4 + 3 . [6 + 5t] – 2 . [6 + 5t]2 
			4 + 18 + 15 t – (72 +120 t + 50 t2) (
y(t) = -50 -105 t -50 t2 (cm,s)			(2)
					
Compare os coeficientes da função quadrática (1) com os da função quadrática (2). 
Exercício 1
a)Uma resposta errada para a função composta y[x(t)] seria dada pela substituição direta de x por t, o que levaria à mesma forma analítica de y(x) e y(t). Escreva abaixo essa resposta errada. 
							Resposta errada: 
b)Há um caso especial em que a forma analítica de y(x) é idêntica à de y(t). Diga que caso é esse, justificando a resposta. Na justificativa, use o exemplo de uma equação parabólica, y(x) = ( + (x + (x2.
						
I - A regra da cadeia e o movimento 2D
Como vimos na aula XIX, a regra da cadeia relaciona as velocidades do corpo e de suas sombras entre si:
	
 ou 
						(3)
Onde t* é um instante dado e x* = x(t*).
Exercício 2
Num dado sistema de referência a trajetória de um projétil é dada por y(x) = 0,75x – 0,3125x2 (m,m) para 0 ≤ x ≤ 3m. O movimento da sombra x descrito pela função x(t) = 4t (m,s). 
a) Usando a regra da cadeia, calcule vy(2s), velocidade da sombra y no instante t* = 2s.
b) Usando a regra da cadeia, demonstre matematicamente que a velocidade da sombra y é nula quando o projétil atinge a altura máxima.		
c)Abaixo encontra-se o gráfico da equação da trajetória, indicando a reta tangente à curva no ponto x* = 0,5m. Sabendo que tg ( = 0,4375 e supondo as escalas nos eixos idênticas, calcule vy(t*).
Exercício 3
Um corpo move-se num plano ao longo de uma curva descrita y(x) = 3,0 – 0,25x2 (x, y em metro) no sistema de referência cartesiano mostrado na FIG.1. Em t=0 a sombra x encontra-se na posição indicada por um ponto sobre o eixo x, movendo-se com velocidade vx = 2 m/s, constante. Num dado instante tf o movimento do corpo é interropido por ação de uma força externa. Suponha idênticas as escalas nos eixos x e y.
b) Dê a função x(t) que descreve o movimento da sombra x desde t=0 até t = tf. 
			
 						
c) Usando a regra da cadeia, calcule vy(0), velocidade da sombra y em t=0, escreva o vetor 
, determine seu módulo e represente-o na FIG.1. Obs.: use a escala 1 cm : 
m/s.
d)Obtenha 
, vetor aceleração, e represente-o na FIG.1 para o instante t=0. Use a escala 1cm : 1 m/s2. Obs.: determine antes a função y(t); para isso, use a função composta.
						 
e) O movimento é interrompido no instante t =0,5s. Marque na FIG.1 a posição final do corpo.
Regra da cadeia e taxa relacionada
Num dado instante de tempo t de um movimento, o vetor velocidade do corpo, 
, tem direção tangente à trajetória do corpo naquele instante, sendo o sentido do vetor 
determinado pelo sentido do movimento sobre aquela trajetória. Como vimos, a direção e o sentido do vetor velocidade são dados por suas componentes vx(t) e vy(t). Essas podem estão por sua vez relacionadas através da regra da cadeia:
Essa igualdade é também chamada de taxa relacionada pois as componentes do vetor velocidade devem estar ligadas à inclinação da trajetória de modo a garantir que o vetor velocidade seja tangente à mesma. 
Exercício 4
Para cada exemplo a seguir, determine o que for pedido no quadro de respostas
(i)Para a situação mostrada a seguir, dê também o valor de y´(x0) no instante dado.
 
(ii) Dois pequenos discos movem-se numa mesa de ar seguindo trajetórias diferentes representadas em parte pelos trechos de curvas cheia (disco 1) e tracejada (disco 2). Os discos não sofrem colisão mas suas trajetórias encontram-se nos pontos A e B. A tajetória de 2 tangencia o eixo x em C. Os movimentos dos discos não são inteiramente conhecidos mas tem-se alguns dados sobre os mesmos. Estes são fornecidos em função do parâmetro positivo ( = 3 m/s:
Disco 1: 
, representada pela seta no ponto A; 
, seta no ponto D
Disco 2: 
, não está representada; 
; em C disco 2 move-se para a direita.
Em B, tem-se 
para ambos os discos.
 
Na situações abaixo, represente o vetor velocidade e suas componentes na forma geométrica, na forma analítica e dê o módulo da velocidade do disco em m/s. 
a)disco 2, ponto A
b)disco 1 ponto D 
c)disco 2, ponto C
d)discos 1 e 2, ponto B
O vetor posição
Foi visto nas aulas anteriores que as projeções de s(t) sobre os eixos x e y não são necessariamente iguais às coordenadas x(t) e y(t). Essa igualdade se verifica no caso do vetor posição 
. Por construção, para cada instante t, as projeções de 
 sobre os eixos x e y são necessariamente iguais às coordenadas x(t) e y(t). Podemos então escrever 
e 
enquanto que as igualdades sx(t) = x(t) e sy(t) = y(t) não se verificam no caso mais geral de movimentos no plano (a única exceção é o caso do Exercício 1 da aula XVI). 
Exercício 5
Para ilustrar a afirmação acima, desenhe na figura a seguir, os segmentos de s(t) e suas projeções sx(t) e sy(t), bem como o vetor 
e suas projeções rx(t) e ry(t). Verifique, as igualdades rx(t) = x(t) e ry(t) = y(t).
Exercício 7
a)Num movimento tem-se 
(20 t ; 200 – 15t + t2) em (m,s). Encontre a equação da trajetória, y(x).
b) Mostramos na aula XVI que as componentes x e y de 
 e 
 são, respectivamente, as velocidades e acelerações das sombras x e y do corpo. Para o movimento descrito em (a), complete:
	
( 		 ;		)
	
( ; )
Exercício 8
a) A FIG.4 mostra a trajetória sobre a qual move-se um corpo, duas posições quaisquer do mesmo, 1 e 2, e o sistema de referência utilizado para descrever o movimento. Desenhe na figura os deslocamentos das sombras x e y entre esses dois pontos, respectivamente (x1 , 2 e (y1 , 2. 
b) Represente na FIG.4 um vetor ligando diretamente os pontos 1 e 2, começando em 1 e terminando em 2. Desenhando um triângulo retângulo onde esse vetor é a hipotenusa, mostre que os catetos paralelos a x e y são iguais a (x1 , 2 e (y1 , 2 respectivamente. 
c) Dado que as componentes são os deslocamentos das sombras, chamaremos ao vetor que liga as posições 1 e 2 de deslocamento vetorial do corpo entre os instantes correspondentes, t1 e t2; é representado por 
. Então:
											(1)
d) Escreva expressão que relaciona 
, (x 1,2 e (y 1 ,2.
e) Desenhe abaixo o deslocamento escalar (s 1,2 , reproduza nessa figura
 e marque V(verdadeiro) ou F(falso) ao lado das afirmações contidas no quadro. As afirmações referem-se à figura. 
Soma e diferença de vetores.
Sejam dois vetores 
e 
dados por
		
= (ax ; ay) 
= (bx ; by)
Definimos a soma e a diferença por:
		
= ( ax+ bx ; ay + by)					(2)
		 
= ( ax- bx ; ay - by)					(3)
Exercício 9
De acordo com a definição (2), pode-se escrever :
“a soma de dois vetores é um terceiro vetor cuja componente x é igual à soma das componentes x dos dois primeiros e a componente y é igual à soma das componentes y dos dois primeiros”.
 Escreva a frase correspondente à definição (3):
 
Exercício 10
De acordo com (1), (2) e (3), o
vetor 
é a diferença entre dois vetores. Diga quais são eles, quais são suas componentes e desenhe-os abaixo, juntamente com o desenho de 
.
			
Exercício 11
Como foi visto na aula complementar 3, a representação geométrica de vetores é independente do sistema de referência. Dados os desenhos de dois veotires, 
 e 
, podemos desenhar o vetor diferença 
, sem precisar determinar o sistema de referência. Desenhe abaixo o vetor diferença para cada par de vetores dado.
		
		
x
FIG.1
x(m)
y(m)
a) Obtenha o vetor posição � EMBED Equation.3 ��� usando as representações analítica e geométrica. 
		
x(m)
y(m)
(
x(m)
y(m)
x
y
 vy = 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� 
 y´(x0) = 
x0
A
disco 1
disco 2
B
C
D
FIG. 2
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� = 
� EMBED Equation.3 ���= 
Disco 1:
� EMBED Equation.3 ��� 
� EMBED Equation.3 ���( 
Disco 2: 
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ��� 
y
- R+
t
1
2
� EMBED Equation.3 ���= ( (x 1,2 ; (y 1 ,2 ) 
[ ] o módulo de � EMBED Equation.3 ���é igual ao módulo de (s1,2 pois ambos ligam 1 a 2.
[ ] o módulo do deslocamento escalar é maior do que o módulo do deslocamento vetorial.
[ ] o vetor velocidade � EMBED Equation.3 ���é paralelo a � EMBED Equation.3 ���
[ ] se a trajetória entre 1 e 2 fosse retilínea, o módulo de (s1,2 seria igaul ao de � EMBED Equation.3 ���.
x
FIG. 4
t2
t1
y
x
y
x
y
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
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