2012_1_prova1_gabarito1

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1a Prova de A´lgebra Linear — Turma A — 04/04/2012
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
1. Considere o espac¸o vetorial V = {(x, y) ; x > 0 , y ∈ R} com as operac¸o˜es definidas por
(a, b)⊕ (c, d) = (ac, b+ d) e γ � (a, b) = (aγ, γb).
(a) Determine o vetor nulo de V .
(b) Determine o vetor sime´trico do vetor (x, y) ∈ V .
2. Determine quais dos conjuntos W a seguir e´ um subespac¸o do espac¸o vetorial V .
(a) V = R3, W = {(x, y, z) ∈ R3 ; xz = 1}.
(b) V = R4, W = {(x, y, z, w) ∈ R4 ; x+ y = y + 2z − w}.
3. Determine a dimensa˜o do subespac¸o de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, 2, 3, 2), v2 = (0, 1, 1, 0),
v3 = (2, 0, 1, 1), v4 = (1, 7, 9, 5).
4. Determine uma base e a dimensa˜o do espac¸o vetorial soluc¸a˜o do sistema
3x + 6y − 6z − 18u + 3v = 0
− 3x − 6y + 8z + 22u − 3v = 0
2x + 4y − 4u + 2v = 0
− 2x − 4y + z + 6u − 2v = 0
.
5. Determine k para que o vetor (3, k− 3, 5, 3) seja uma combinac¸a˜o linear dos vetores (1, 2, 1, 2),
(0,−1, 3, 1) e (1, 1, 2, 2) de R4.
6. Determine se a func¸a˜o T : R2 → R2 dada por T (x, y) = (x+ 2y, xy) e´ linear, ou na˜o.
7. Determine o nu´cleo da transformac¸a˜o linear T : R3 → R2 dada por
T (x, y, z) = (2x+ z, x+ 3y − z).
Gabarito
1. (a) Como 0� (x, y) = 0, qualquer que seja (x, y) ∈ V , obtemos
0 = 0� (x, y) = (x0, 0 · y) = (1, 0).
(b) Seja (a, b) o sime´trico do vetor (x, y). Enta˜o, pelo ı´tem anterior,
(x, y)⊕ (a, b) = 0⇒ (x · a, y + b) = (1, 0)⇒ (a, b) = (1/x,−y).
2. (a) Na˜o e´ subespac¸o vetorial de R3, pois (0, 0, 0) /∈ W .
(b) Temos que (x, y, z, w) ∈ W ⇔ x+ y = y + 2z − w ⇔ x = 2z − w.
i. E´ claro que (0, 0, 0, 0) ∈ W . Logo, W 6= ∅.
Consideremos v1 = (2z1−w1, y1, z1, w1) e v2 = (2z2−w2, y2, z2, w2) ambos em W e γ ∈ R.
Enta˜o,
i. v1 + v2 = (2(z1 + z2)− (w1 + w2), y1 + y2, z1 + z2, w1 + w2) ∈ W.
ii. γv1 = (2(γz1)− γw1, γy1, γz1, γw1) ∈ W.
Por i), ii) e iii), W e´ um subespac¸o de R4.
3. Seja W = [v1, v2, v3, v4]. Enta˜o, (x, y, z, w) ∈ W ⇔ (x, y, z, w) = av1 + bv2 + cv3 + dv4. Isto
significa que (x, y, z, w) ∈ W se, e so´ se, o sistema
a + 2c + d = x
2a + b + 7d = y
3a + b + c + 9d = z
a + c + 5d = w
possui soluc¸a˜o, o que acontece se, e so´ se, x+ 3y − 3z + w = 0. Logo,
W = {(−3y + 3z − w, y, z, w) ; y, z, w ∈ R},
e uma base de W e´ {(−3, 1, 0, 0), (3, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}. Portanto,
dim W = 3.
4. O sistema dado e´ equivalente ao sistema{
x + 2y − 2u + v = 0
z + 2u = 0
,
que tem soluc¸a˜o na forma (−2y + 2u − v, y,−2u, u, v). Logo, uma base do espac¸o soluc¸a˜o e´
{(−2, 1, 0, 0, 0), (2, 0,−2, 1, 0), (−1, 0, 0, 0, 1)} e o espac¸o tem dimensa˜o 3.
5. A equac¸a˜o vetorial x(1, 2, 1, 2)+y(0,−1, 3, 1)+z(1, 1, 2, 2) = (3, k−3, 5, 3) equivale aos sistemas
x + z = 3
2x − y + z = k − 3
x + 3y + 2z = 5
2x + y + 2z = 3
⇔

x = −8
y = −3
z = 11
0 = k − 1
que possuem soluc¸a˜o se, e so´ se, k = 1.
6. T (2(1, 1)) = T (2, 2) = (6, 4) 6= (6, 2) = 2(3, 1) = 2T (1, 1). Logo, T na˜o e´ linear.
7. (x, y, z) ∈ N(T )⇔ T (x, y, z) = (0, 0)⇔ (2x+ z, x+ 3y − z) = (0, 0). Logo,
N(T ) = {(−x, x, 2x) ; x ∈ R}.