Aula 6 EDO 2012

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JU´LIO DE MESQUITA FILHO”
UNESP - Campus de Ilha Solteira - Departamento de Matema´tica
EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS ORDINA´RIAS - 2012.
Aula 06 (13/03) Equac¸o˜es Exatas via Fatores Integrantes
Multiplicar uma equac¸a˜o diferencial, que na˜o e´ exata,
por um fator integrante, convertendo-a em equac¸a˜o exata
Vamos verificar como o fator integrante µ(x, y) deve ser para fazer esta maravilha:
Consideremos a equac¸a˜o diferencial ordina´ria de primeira ordem
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 (1)
que multiplicaremos por µ(x, y),
µ(x, y) M(x, y) dx+ µ(x, y) N(x, y) dy = 0 (2)
Para que a nova equac¸a˜o seja exata o fator µ(x, y) deve ser tal que
(µ M)y(x, y) = (µ N)x(x, y) ,
ou seja,
(M µy)(x, y)− (N µx)(x, y) + [(My −Nx)µ](x, y) = 0 (3)
Portanto, se for poss´ıvel encontrar uma func¸a˜o µ(x, y) satisfazendo esta u´ltima equac¸a˜o, tal µ vai
converter a equac¸a˜o original numa equac¸a˜o exata. Ale´m disso, as soluc¸o˜es da nova equac¸a˜o tambe´m
sa˜o soluc¸o˜es da antiga.
Quando a equac¸a˜o parcial (3) tiver mais do que uma soluc¸a˜o, podemos usar qualquer uma delas
como fator integrante.
Nem sempre resolver (3) e´ mais fa´cil do que resolver (2).
1
Este me´todo dos fatores integrantes so´ e´ usado em casos especiais. Um deles e´ aquele em que µ
so´ depende de uma varia´vel, ou seja, (3) e´ uma EDO e na˜o uma EDP.
Vamos determinar condic¸o˜es necessa´rias sobre M e N para que exista um fator integrante µ que
depende so´ de x (so´ de y e´ ana´logo):
Se µ que depende so´ de x, enta˜o
(µ M)y = µ My e (µ N)x = µ Nx +N
d µ
d x︸︷︷︸
µ′ (x)
Portanto, para que (µ M)y seja igual a (µ N)x e´ necessa´rio que
µ
(My −Nx)
N
=
d µ
d x
,
isto e´, µ deve satisfazer a equac¸a˜o diferencial
d µ
d x
=
(My −Nx)
N︸ ︷︷ ︸
Q(x,y)
µ .
Se
Q(x, y) =
(My −Nx)
N
for uma func¸a˜o so´ de x, enta˜o existe um fator integrante µ que so´ depende de x.
Este fator pode ser determinado ja´ que
esta u´ltima equac¸a˜o e´ linear e separa´vel
Realmente,
d µ
d x
= Q(x) µ =⇒ d µ
d x
−Q(x)︸ ︷︷ ︸
p(x)
µ = 0︸︷︷︸
q(x)
,
e portanto
µ(x) =
1
exp(
∫
[−Q(x)] dx)
[∫ x
x0
[−Q(s)]0 ds+ C
]
= C exp
(∫
Q(x) dx︸ ︷︷ ︸
µ1(x)
Como a gente so´ precisa de um fator integrante, tomamos c = 1, isto e´,
µ(x) = exp
(∫
Q(x) dx
)
2