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05_Atrito Cin�tico.pdf AtritoAtrito CinCinééticotico ObjetivoObjetivo Determinar o coeficiente de atrito cinético µc, entre superfícies em movimento. IntroduIntroduççãoão Um bloco de massa M é colocado em repouso sobre a mesa e conectado a uma caçamba de massa m, por meio de um fio inextensível. m Bloco M massa T T fa mg Mg N = Mg Diagrama de forças do bloco Mbloco M e da massa mmassa m Quando o corpo de massa m é largado de uma altura H, o bloco de massa M é acelerado pela resultante das forças de tração do fio (T) e de atrito (fa), deslizando sobre a mesa. No instante em que o corpo de massa m atinge o anteparo, a tração do fio é anulada. A partir de então, o bloco M passa a ser desacelerado, pela força de atrito, e percorre uma distância d, até parar. A distância total percorrida pelo bloco é L = H + d Movimento do bloco de massa M sobre a mesa. m M Corpo de massa m é largado de uma altura H. Bloco de massa M é acelerado. m M Corpo de massa m atinge o anteparo, a tração do fio é anulada. m M O bloco M é desacelerado, pela força de atrito, e percorre uma distância d, até parar. m M AnAnáálise do lise do movimentomovimento Na primeira fase do movimento, o bloco de massa M percorre a distância H, sujeito à resultante das forças T - fa . m M m Bloco M Mg N T T fa mg mg – T = ma T – fa = Ma fa = µc N N = Mg Forças que agem sobre cada massa, e as equações de movimento nesta fase. Pelas equações de movimento, podemos determinar a aceleração, a, das duas massas nesta primeira fase do movimento. g Mm Mma + µ−= c Considerando que ambas as massas partem do repouso e que descrevem um movimento uniformemente acelerado nesta fase, a velocidade com que a massa m atinge o anteparo será: 2aHv = Na segunda fase do movimento, quando a massa m está em repouso sobre o anteparo, o bloco de massa M está sujeito somente à força de atrito, uma vez que T=0. Nesta fase, o bloco M é freado com uma aceleração determinada pela equação de movimento - fa = Ma’ ou - µcMg = Ma’ a’= - µcg Como as velocidades das duas massas são as mesmas no instante que a massa m atinge o anteparo, pode-se considerar que neste instante bloco de massa M tem uma velocidade v dada pela relação : A partir daí, ele é freado até parar, a uma distância d pela desaceleração a’. d2a'v = 2aHv = A figura mostra essa fase do movimento. m Bloco M g Mm Mma + µ−= c 2aHv = d2a'v = Sendo d = L – H, e igualando-se as velocidades, tem-se: H a' a'aL += gµa' c= 1a fase 2a fase ++= 1µ 1 Mm mB c L = B H O Coeficiente de atrito µc é determinado pelas relações ExperimentoExperimento Atrito CinAtrito Cinéético tico Coloque uma massa m1 na caçamba para alinhar o sistema. O fio que une o bloco e a caçamba deverá ficar esticado, e a caçamba apoiada no piso. Marque na fita de fórmica a referência, para a medida de H. O Escolha uma altura H. O H Posicione o bloco para a altura H, arrastando-o. O H Solte o bloco. O H H Meça a distância L que o bloco percorreu sobre a mesa. O Distância L O H d L 06_Colis�es.pdf ColisõesColisões em umaem uma DimensãoDimensão ObjetivoObjetivo Estudar as leis de conservação do momento linear e da energia, numa colisão entre dois corpos. IntroduIntroduççãoão O estudo de colisão entre dois corpos será realizado utilizando dois pêndulos, constituídos de esferas presas à extremidade de fios de comprimento ℓ . A trajetória da esfera é um arco de circunferência de raio ℓ . ℓ No ponto mais baixo da trajetória (posição de equilíbrio), a força resultante que atua sobre a esfera está na direção vertical. Sendo assim, no instante em que o pêndulo passa por este ponto, não existe nenhuma força atuando na direção horizontal. Como conseqüência, a componente da aceleração nesta direção (horizontal) é nula. Além disso, o módulo da velocidade v do pêndulo é máximo neste ponto e é dado aproximadamente pela expressão: x T 2v π≈ x T 2v π≈ onde T é o período do pêndulo, que independe da massa, e x, que é muito menor do ℓ (comprimento do pêndulo), é o afastamento horizontal da posição de equilíbrio. Colisão Colisão ElEláásticastica Considere-se dois pêndulos de mesmo comprimento ℓ , formado por esferas de massas m1 e m2, sendo m1<m2, dispostos de forma que suas posições de equilíbrio correspondam às esferas em ligeiro contato, isto é, tangenciando-se mutuamente, como mostra a figura. Deslocando a esfera m1 de uma distância xo, da posição de equilíbrio, e soltando-a ela colidirá com a massa m2. A colisão se dará na posição de equilíbrio. No “instante” da colisão, a única força na direção horizontal que atua sobre m1 é a força exercida pela esfera colidida (isto é, m2). Considerando-se o sistema formado pelas massas m1 e m2, no “instante” da colisão, o momento linear do sistema na direção horizontal é conservado, pois a componente horizontal da resultante das forças externas exercidas sobre ele é nula. O momento linear total do sistema imediatamente antes da colisão, pantes, é dado por pantes = m1 vo onde vo é a velocidade da massa m1 no instante que esta atinge o ponto mais baixo de sua trajetória, isto é, a posição de equilíbrio. 00 xT 2v π= Após a colisão, o momento linear total do sistema é distribuído entre m1 e m2, de tal modo que estas massas adquirem velocidades v1 e v2 respectivamente. O momento linear total pdepois do sistema, após a colisão, passa a ser expresso por: pdepois = m1v1 + m2v2 Convém observar que essas equações têm caráter vetorial, mesmo estando todos os vetores na mesma direção. Cada uma dessas velocidades pode ser calculada a partir da equação onde o período T e o afastamento x1,2 são obtidos experimentalmente. 1,21,2 xT 2v π= A conservação do momento linear total do sistema é expressa por: pantes = pdepois No caso de uma colisão perfeitamente elástica, além da conservação do momento linear, ocorre também a conservação da energia cinética. Ecinética antes = Ecinética depois. 2 cinética antes C0 1 0 1E E m v 2 = = 2 2 cinética depois C1 C2 1 1 2 2 1 1E E E m v m v 2 2 = + = + ExperimentoExperimento Colisões em uma Colisões em uma dimensãodimensão Colisão Colisão ElEláásticastica Medida do período do pêndulo. Intervalo de tempo entre a massa deixar a posição de maior afastamento (x) da vertical até a massa retornar à posição inicial Colisão elástica Desloque a esfera de massa m1 (m1 < m2) e meça o afastamento horizontal x0, utilizando a tira de fórmica. determinando as referências Deslocando a esfera de massa m1 determinando o afastamento horizontal x0 Afastamento horizontal x0 x0 Afastamento horizontal x0 x0 Solte o pêndulo de massa m1 e meça os afastamentos x1 e x2 de cada esfera, m1 e m2, respectivamente, após a colisão. sistema em repouso soltando m1 medindo x1 após o choque medindo x2 após o choque Afastamentos x1 e x2 de cada esfera, m1 e m2, respectivamente, após a colisão. x0 x1x2 Afastamentos x1 e x2 de cada esfera, m1 e m2, respectivamente, após a colisão. x1x2 07_ Colis�es no plano .pdf Colisões Colisões no Planono Plano ObjetivoObjetivo Estudar o processo de colisão entre dois corpos, verificando, experimentalmente, o princípio da conservação do momentum linear em sua forma vetorial. IntroduIntroduççãoão As propriedades do movimento de queda livre de um corpo serão usadas no estudo da conservação da quantidade de movimento e da energia cinética, na colisão elástica entre duas esferas. A figura mostra uma rampa de lançamento com a esfera, na posição inicial (1), no ponto em que ela deixa a rampa (2) e sua trajetória no ar, que é um arco de parábola. x vo d y o A esfera de massa m1 é largada de um ponto da rampa, a partir do repouso. Ela rolar sem deslizar até projetar-se no ar com uma velocidade v , na direção horizontal. Após deixar a rampa, a trajetória da esfera é um arco de parábola. As equações paramétricas da trajetória parabólica da esfera no ar são as seguintes: 2t g 2 1 y = tvx = Eliminando-se t nas equações acima obtém-se : 2 2 x v2 gy = onde g é a aceleração da gravidade e v a velocidade com que a esfera deixa a rampa. Quando a esfera atinge a superfície da bancada, y = H (altura do trilho), e x = d (alcance da esfera). 2gH 22 v d= Esta expressão permite determinar a velocidade v com que a esfera deixa a rampa a partir do conhecimento da altura H e do alcance d da esfera no plano. d H 2 gv= d H 2 gv = x vo d z o Considerando a aceleração da gravidade local igual a 979,0 cm/s2, a relação pode ser re-escrita como: ) s cm ( d H 22,125 v rr = O caráter vetorial da velocidade é indicado através do vetor alcance d. A direção e o sentido do alcance dependem da direção e sentido da velocidade de lançamento. Uma segunda esfera, de massa m2, é posicionada no final da rampa de lançamento de modo a produzir uma colisão fora da rampa. A velocidade da esfera de massa m1 ao incidir sobre a outra esfera é denotada por V0 . lançamento colisão posições definidas pelos vetores e1d r 2d r do2 o1 do2 o1 d d1 d2 o1o2 A componente do momento linear total no plano xz se conserva, porque as forças internas (entre as esferas) se cancelam e, neste plano, as forças externas são desprezíveis, enquanto as esferas não tocam na mesa. O momento total do sistema antes da colisão é expresso por: oo dk1mvmP antes Total rrr == 1 sendo k a constante de proporcionalidade entre a velocidade de lançamento e o alcance. d H 22,125d k v rrr == O momento total do sistema depois da colisão é expresso por: Pela conservação do momento tem-se: ( )22112211depoisTotal dmdmkvmvmP rrrrv +=+= 221101 vmvmvm rrr += 2211o1 dmdmd m rrr += No caso da colisão entre duas esferas de mesma massa, o alcance inicial do , é a soma vetorial dos alcances, d1 e d2, das esferas após a colisão. d d1 d2 o1 o2 0 1 2d d d= + r r r ExperimentoExperimento Colisões em duas Colisões em duas dimensõesdimensões Meça a altura H de lançamento H Ponto do lançamento das esferas posição do fio de prumo origem da esfera que abandona a rampa - O1 O1 Ponto do lançamento das esferas posição do fio de prumo origem da segunda esfera - O2 O2 Medida do alcance d0 h altura h Medida do alcance d0 O1 O2 d0 Colisão com a segunda esfera mesma altura h utilize o batente Colisão com a segunda esfera Projeções Fazendo o transporte paralelo Componentes 08_In�rcia.pdf Momento Momento de Inde Inéérciarcia ObjetivoObjetivo Estudar a dependência do momento de inércia de um sistema com a distribuição de sua massa. IntroduIntroduççãoão O momento de inércia (I) de um corpo, em relação a um eixo fixo, depende de sua massa, e de como ela está distribuída em relação ao eixo. Onde Ri é a distância da massa mi ao eixo. 2 ii RmI ∑= Considere um sistema que pode girar em torno de um eixo vertical. Este sistema é constituído por um cilindro C de raio R onde é montada uma haste H. Dois discos de massa M podem ser colocados simetricamente na haste a uma distância d do eixo de rotação. dd MM R Haste Cilindro O sistema permite variar a distribuição de massa, e portanto, o seu momento de inércia, sem alterar a sua massa. Um fio de massa desprezível é enrolado no cilindro C e em sua outra extremidade é colocado um corpo de massa m. O fio passa por uma roldana de raio r e momento de inércia i. A tração do fio, faz o sistema girar em torno de um eixo vertical. r m i A figura mostra as forças que atuam sobre cada um dos componentes do sistema. mg T2 T1 T1 T2 As equações de movimento de cada um dos componentes são: - translação da massa m; mg – T1 = ma - rotação da roldana; (T1 – T2)r = iα’ - rotação do sistema cilindro – haste - discos T2 R = Iα As tensões T1 e T2 têm que ser diferentes, do contrário a roldana não gira. Eliminando-se as tensões nas equações e supondo que a = α’r = α R obtém-se: 2 2 2 R rIi1 a gmr +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − Onde a é a aceleração do corpo de massa m medida através da cronometragem do tempo t que a massa m leva para cair de uma altura H. Como a roldana possui uma massa muito pequena, o seu momento de inércia i é muito menor do que o momento de inércia do sistema cilindro, haste e discos I. Neste caso a expressão se escreve: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1 a g RmI 2 A figura mostra o diagrama do dispositivo experimental utilizado na medida do momento de inércia 2t 2H=a MM R r I é o momento de inércia do sistema. ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1 a gRmI 2 Momento de InMomento de Inéércia dorcia do SistemaSistema Cilindro Cilindro –– Haste Haste -- DiscosDiscos O momento de inércia de um sistema de corpos em relação a um eixo fixo é a soma dos momentos de inércia de cada componente do sistema em relação ao eixo. I = I1 + I2 + ... + In DefiniDefiniççãoão O momento de inércia do sistema cilindro- haste e discos, pode ser expresso como a soma do momento de inércia do cilindro-haste (ICH) com o momento de inércia dos discos (2ID). O momento de inércia ICH é relativo ao conjunto Cilindro-Haste, em torno do eixo que passa pelos centros de massa da haste e do cilindro. O momento de inércia dos discos, 2 ID, é relativo aos 2 discos em torno do eixo de rotação que não passa pelos seus centros de massa. O Teorema dos Eixos Paralelos nos permite escrever ID como: ID = ID(c.m.) + M d2 O momento de inércia total do sistema pode ser então escrito como I = ICH + 2 ID I = ICH + 2 ID(c.m.) + 2 Md2 I = I0 + 2 Md2 ExperimentoExperimento Momento de Momento de InInéérciarcia Fixe os discos em posições equidistantes do eixo de rotação medindo a distância d entre o eixo e o centro de massa dos discos. d d 1,0 cm Enrole o fio no cilindro de alumínio. O pequeno cilindro de massa m será elevado de uma altura H. altura H Altura H H medida de H H m Solte a haste e meça o tempo de queda t da massa m. soltando a haste e acionando o cronômetro medida de t Varie a distância d entre os discos de latão e o eixo de rotação. d d 09_Momento Angular_I.pdf ConservaConservaççãoão do Momentodo Momento AngularAngular ObjetivoObjetivo Determinar experimentalmente a conservação do momento angular por meio de experiência envolvendo a colisão entre dois pêndulos. IntroduIntroduççãoão Quando um pêndulo de comprimento ℓ passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória, a resultante das forças que atuam sobre sua massa está na direção vertical. ℓ Neste ponto, o torque resultante atuando sobre o pêndulo é nulo. E o módulo da velocidade linear v do pêndulo é máximo e é dado aproximadamente pela expressão x T πv p 2≈ − Τp é o período do pêndulo − x (<<ℓ ) é o afastamento horizontal do pêndulo Como v = ωℓ, a velocidade angular ω do pêndulo pode ser obtida dividindo-se a velocidade linear pelo comprimento do pêndulo. O momento de inércia rotacional I do pêndulo pode ser calculado através de I = mℓ2. O produto destas duas grandezas Iω é igual ao módulo do momento angular L do pêndulo em relação ao pino localizado no teto. Agora considere um sistema formado por dois pêndulos de massas m1 e m2 ambos de comprimento ℓ. T T ℓ Quando um dos pêndulos é afastado da sua posição de equilíbrio, a força da gravidade provoca um torque, em relação pino de sustentação, fazendo com que o pêndulo de massa m1 ganhe velocidade angular e colida com o pêndulo de massa m2 que está parado. As forças que agem durante a colisão são F12 e F21 e formam um par ação- reação. Se a colisão for perfeitamente inelástica, os dois corpos permanecerão juntos após a colisão. Como o torque em m1 devido à F21 tem sinal contrário ao torque em m2 devido à F12 e as forças de colisão F12 e F21 formam um par ação-reação, o torque resultante é zero. Portanto, podemos afirmar que o momento angular imediatamente antes é igual ao momento angular imediatamente depois da colisão. Supondo que a duração da colisão é muito curta e desprezando o deslocamento das massas durante o processo, podemos determinar a velocidade angular do conjunto logo após a colisão: depois depois p v 2 x T πω = ≈? ? Tp é o período do pêndulo e xdepois é a projeção horizontal do deslocamento das massas m1 em2 logo após a colisão. A conservação do momento angular neste caso pode ser escrita como: Iantes ωantes = Idepoisωdepois - Iantes é o momento de inércia do pêndulo de massa m1 (m1ℓ2) - Idepois é o momento de inércia do pêndulo formado pelas massas m1 e m2 [(m1+ m2) ℓ2]. ExperimentoExperimento ConservaConservaçção do ão do Momento Angular Momento Angular Medida do período do pêndulo. Intervalo de tempo entre a massa deixar a posição de maior afastamento (x) da vertical Até a massa retornar à posição inicial Colisão Inelástica Coloque uma pequena quantidade de massa de modelar entre as duas esferas. Deslocando a esfera de massa m1 determinando o afastamento horizontal xantes Afastamento horizontal xantes xantes Solte o pêndulo de massa m1 e meça o deslocamento xdepois do conjunto (m1 + m2) após a colisão. sistema em repouso soltando m1 medindo xdepois após o choque medindo xdepois após o choque medindo xdepois após o choque xdepois Deslocamentos xantes e xdepois. xantesxdepois 10_ Momento Angular II.pdf Momento Momento AngularAngular ObjetivoObjetivo Verificar lei de conservação do momento angular total de um sistema. IntroduIntroduççãoão A variação temporal do momento angular de um sistema, dL/dt, é conseqüência da ação do torque τ resultante das forças que atuam sobre o sistema: dt Ld r r =τ Este resultado é conseqüência das equações de Newton. O torque resultante, ou momento resultante das forças externas, é a soma do torque ou momento da força externa que age sobre cada componente do sistema. ∑τ=τ i i rr No caso em que o torque externo resultante é nulo, τ = 0, o momento angular total do sistema é constante, isto é, o momento angular total, é conservadoconservado. Considere o sistema formado por uma rampa de onde é lançada uma esfera de massa m e uma haste que pode girar em torno de um eixo vertical, conforme figura. A esfera de massa m incide perpendicularmente à haste com velocidade vo. mvo l Após a colisão, a esfera permanece solidária enquanto a haste gira. Após a colisão, a esfera permanece solidária enquanto a haste gira. Após a colisão, a esfera permanece solidária enquanto a haste gira. l r ovmL = Quando ocorre a colisão, entre a esfera de massa m e velocidade vo e a haste, o torque externo resultante é nulo. A força da esfera sobre a haste e a força da haste sobre a esfera, no momento da colisão, são forças internas ao sistema e não contribuem para o torque externo. Se consideramos desprezível a força de atrito no eixo de rotação da haste, o torque externo também o será. Sendo assim, pode-se considerar que o momento angular total do sistema é conservado, isto é, permanece constante antes, durante e depois da colisão. Antes da colisão - Depois da colisão - l r ovmL = ω= ILr I é o momento de inércia do conjunto esfera-haste após a colisão e ω a velocidade angular do sistema em rotação. Como é constante temosL r ω= Ivm o l ExperimentoExperimento ConservaConservaçção do ão do Momento Angular Momento Angular II II Medida das velocidades de lanMedida das velocidades de lanççamento.amento. Origem na superfície horizontal. Determinando a origem Altura H em que a esfera deixa a rampa. H Solte a esfera das várias posições indicadas na rampa de lançamento. Posição 8 Meça o alcance d para cada lançamento. medida do alcance d, para a posição de lançamento 8 DeterminaDeterminaçção do momento angular.ão do momento angular. Meça a distância da posição de impacto ao eixo de rotação ℓ . ℓ Anote a massa da esfera m. Alinhe a posição de impacto na haste com a rampa de lançamento. A rampa deve estar perpendicular à haste. sistema alinhado para o lançamento Meça o tempo de ¼ de revolução t1/4. batente Meça o tempo de ¼ de revolução t1/4. esfera na posição de lançamento Meça o tempo de ¼ de revolução t1/4. soltando a esfera acionando o cronômetro assim que a esfera atinge a haste batente Meça o tempo de ¼ de revolução t1/4. parar o cronômetro quando a esfera atingir o batente, completando um quarto de revolução, t1/4. 01_Gr�ficos.pdf s (m) t (s) GrGrááficosficos 15,0 10,0 5,0 0 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 7,05,0 8,0 IntroduIntroduççãoão Quando se obtêm dados em uma experiência é conveniente, quando possível, identificar alguma relação entre esses dados. Esta relação dará informações sobre o fenômeno medido. A tabela 1 mostra o registro do peso de 20 pessoas numa balança situada em uma farmácia. Os dados foram coletados a cada hora. Tempo (h) Peso (kgf) 1 28 67 2 36 40 3 42 71 4 6 42 5 92 57 6 55 97 7 34 25 8 50 22 9 31 49 10 45 31 Gráfico dos dados da Tabela 1 Este gráfico representa um conjunto de pessoas grandes, pequenas, gordas ou magras se pesando a cada hora. Observa-se que não há qualquer regularidade no gráfico, isto é, não existe correlação entre os dados obtidos. A figura mostra a distância percorrida por um carro, em função do tempo. Neste caso pode-se traçar uma reta passando muito próxima de todos os pontos. Portanto, a equação de uma reta é um bom modelo matemático para descrever os resultados experimentais encontrados. Isto indica uma relação linear entre a posição do carro e o instante em que foi medida esta posição. GrGrááficofico LinearLinear Os dados da Tabela 2 representam a força de uma mola em função de sua deformação. DEFORMAÇÃO FORÇA ( 0,01 m ) (N) 1,50 0,5 3,20 1,0 5,30 1,5 7,00 2,0 8,70 2,5 10,30 3,0 11,70 3,5 13,70 4,0 TABELA 2 PESO FORÇA DA MOLA D E F O R M A Ç Ã O 0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 F O R Ç A D A M O L A ( N ) DEFORMAÇÃO DA MOLA (X) 10-2 m A FORÇA VARIA LINEARMENTE COM A DEFORMAÇÃO F = K X 1,50 0,5 3,20 1,0 5,30 1,5 DEFORMAÇÃO FORÇA 7,00 2,0 8,70 2,5 10,30 3,0 11,70 3,5 13,70 4,0 0 2 4 6 8 10 12 14 0 1 2 3 4 5 ∆X = 4 x 10 –2 m ∆F(N) = 1,2 N F O R Ç A D A M O L A ( N ) DEFORMAÇÃO DA MOLA (X) 10-2 m A FORÇA VARIA LINEARMENTE COM A DEFORMAÇÃO F = K X X FK ∆ ∆= Os pontos que se distribuem em uma reta são descritos pela equação: Y = ax + b Sendo a, a inclinação da reta (coeficiente angular), e b, o coeficiente linear. No caso da força da mola, como a reta passa pela origem, o coeficiente linear, b, é igual a zero, e a inclinação da reta, a, representa a constante elástica da mola. Sendo a variável x, o tempo, e Y, a distância percorrida pelo carro, o gráfico representa o movimento do carro. ya , x ∆= ∆ Tempo (s) D i s t â n c i a ( k m ) A partir deste gráfico pode-se determinar a inclinação da reta, a (velocidade do carro), através da seguinte relação: e o valor do coeficiente linear, b, pode ser obtido tomando o valor de y para x = 0, isto é, o ponto onde a reta corta o eixo vertical (na figura, b = 8). Tempo (s) D i s t â n c i a ( k m ) 8 ExperimentoExperimento ObtenObtençção da ão da densidade do densidade do alumalumíínionio 1) Medindo com o paquímetro, a altura L do cilindro de alumínio. Medida da altura do cilindro 1) Medindo com o paquímetro, o diâmetro d do cilindro de alumínio. Medida do diâmetro do cilindro Leitura do Paquímetro Escala fixa Escala do cursor a) Ler na escala fixa, o número de milímetros inteiros (à esquerda do zero da escala do cursor). No exemplo, vê-se que o zero (0) da escala do cursor se encontra entre 13 mm e 14 mm da escala fixa do paquímetro, indicando que o comprimento medido está entre esses dois valores. b) Ler a parte fracionária da medida observando qual traço da escala do cursor coincide com algum traço da escala fixa. No exemplo, observa-se que o 6 coincide perfeitamente com uma divisão qualquer da escala fixa do paquímetro. Medida final do exemplo: 13, 60 mm. 2) Medindo a massa m dos cilindros . Ligando a balança Medindo a massa do cilindro de alumínio 3) Confecção do gráfico. a)escolha escalas adequadas para inserir os valores nos eixos (com suas respectivas unidades). Os valores das grandezas devem ser expressos apenas com os números necessários à leitura; não coloque valores especiais. r2 (cm2) m (g) Gráfico m x r2 Exemplo m(g) r2 (cm2) 10,0 0,4 22,8 0,9 42,2 1,6 94,5 3,7 Observações: b)procure traçar a melhor reta ou curva, ou seja, aquela que represente o maior número de pontos. r2 (cm2) m (g) Gráfico m x r2 02_ Vetores.pdf VetoresVetores IntroduIntroduççãoão Para localizar um ponto P em uma reta, três elementos são necessários: uma referência R, escolhida arbitrariamente, um número, que indica a distância de P até a referência R e uma convenção de sinais, que indica a posição relativa de P (se está à direita ou à esquerda de R, acima ou abaixo de R, etc.). Este conjunto de elementos constitui uma coordenada. P1 R+- 4 cm P2 R + - 3 cm (direita e esquerda) (acima e abaixo) Figura 1-a Figura 2-a A coordenada de P1 em relação a R é -4cm (Figura 1-a). A coordenada de P2 em relação a R é 3cm (Figura 2-a). A coordenada de R em relação a R é zero, porque a distância de R em relação a R é zero. É costume chamar a referência R de origem O das coordenadas. A reta juntamente com a origem O e a convenção de sinais definida sobre ela se chama eixo. Podemos indicar a posição de um ponto P por meio de uma seta sobre o eixo, que parte da origem e vai até P. Esta seta representa um vetor (vetores em negrito). - O V1 Representação de vetores Acima, o vetor está desenhado, mas é claro que seria muito conveniente ter uma forma mais prática de tratar vetores, que não exigisse que os desenhássemos sempre em todos os nossos trabalhos. Vamos então introduzir um tratamento analítico, que dispense a forma gráfica de lidar com vetores. Vetor V1 ponto P1 Figura 1-b O +- P1 + V2 P2 Vetor V2 ponto P2 Figura 2-b Para isso, introduzimos um vetor unitário: ele serve para indicar a direção do eixo e seu sentido positivo. Unitário i Figura 1-c O î Para a Figura 1-c , o vetor unitário indica que a direção do eixo é horizontal e o sentido positivo é da esquerda para a direita. Vamos chamar de i este vetor unitário. Agora, o vetor posição de P1 na Figura 1-b pode ser escrito analiticamente como V1 = -4i (cm). Esta expressão quer dizer que P1 está sobre o eixo horizontal, 4cm à esquerda da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V1 tem direção horizontal, sentido negativo e módulo 4 (cm). V1 O +- P1 Analogamente, para a Figura 2-c , o vetor unitário indica que a direção do eixo é vertical, e o sentido positivo é de baixo para cima. Vamos chamar de j este vetor unitário. ĵ O Unitário j Figura 2-c Agora, o vetor posição de P2 na Figura 2-b pode ser escrito analiticamente como V2 = 3j (cm). Esta expressão quer dizer que P2 está sobre o eixo vertical, 3cm acima da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V2 tem direção vertical, sentido positivo e módulo 3 (cm). - O + V2 P2 Na representação gráfica, o módulo do vetor deve ser proporcional ao comprimento da seta. Vemos agora porque i e j são chamados unitários: eles devem ter módulo 1, para que V1 = -4i (cm) tenha módulo 4 (cm) e V2 = 3j (cm) tenha módulo 3 (cm). Para localizar um ponto em uma superfície, uma única coordenada não é suficiente. Vamos então utilizar o que já conhecemos sobre as coordenadas em uma reta e traçar na superfície duas retas que se cruzam perpendicularmente. Escolhemos como origem O o ponto em que as retas se cruzam, porque assim temos a mesma origem para as duas retas. Para cada reta escolhemos uma convenção de sinais, que indica a posição relativa a O e medimos a distância de P (que está sobre a reta) até O. Temos assim dois eixos. Cada um recebe um nome, para que possamos distingui-los; é costume chamar a um deles de eixo X e ao outro de eixo Y. V1 V2 y xP1 P2 O ponto P1 tem coordenada x = -4cm (isto é, coordenada sobre o eixo X igual a - 4cm) e o ponto P2 tem coordenada y = 3cm (isto é , coordenada sobre o eixo Y igual a 3cm). Portanto, os vetores posição dos pontos P1 e P2 são, respectivamente V1 = -4i (cm) e V2 = 3j (cm). V1 V2 y xP1 P2 Como representar um ponto P que está na superfície, mas não está sobre nenhum dos dois eixos? P V y x Para isso, vamos agora considerar a regra do paralelogramo para a soma de dois vetores. Trata-se de uma construção gráfica em que desenhamos os dois vetores com a mesma origem e construímos o paralelogramo que tem os dois vetores como seus lados. A soma dos vetores é a diagonal que vai da origem até o vértice oposto. a b a + b Verificamos então que a soma de V1 e V2 fornece o vetor V, que é o vetor posição do ponto P, situado sobre a superfície e fora dos eixos. P V y x V2 V1 Assim, usando os unitário i e j, e todos os possíveis pares de coordenadas x e y, podemos representar todos os pontos sobre uma superfície. As coordenadas x e y são as componentes x e y do vetor. Para o vetor V da Figura abaixo, Vx (a componente x de V) é -4(cm) e Vy (a componente y de V) é 3 (cm). P V y x V2 V1 As componentes são utilizadas para um tratamento analítico da soma vetorial: se V = V1 + V2 então Vx = V1x + V2x e Vy = V1y + V2y , ou seja, a componente da soma é a soma das componentes. Este resultado vale para a soma de qualquer número de vetores e dispensa o uso de desenhos. Pela Figura abaixo verificamos que V, V1 e V2 formam um triângulo retângulo. As componentes de V podem então ser facilmente calculadas, a partir da definição das funções trigonométricas. V y x V2 V1 θ P Como sen θ = (cateto oposto sobre a hipotenusa) então Vy = V sen θ. Analogamente, como cos θ = (cateto adjacente sobre a hipotenusa) então Vx = V cos θ. V Vy V Vx Uma vez que o módulo do vetor corresponde ao tamanho da seta que o representa, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o módulo de V = |V| se conhecermos suas componentes: |V|2 = Vx2 + Vy2 . No caso da Figura abaixo, |V|= 5 (cm). Portanto, mais uma vez, conhecer as componentes dispensa o uso de desenhos. V y x V2 V1 θ P Por meio das componentes, podemos determinar o ângulo θ que o vetor faz com o eixo X θ= tg-1 (cateto oposto sobre cateto adjacente). No caso da Figura, ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ x y V V 750 4 3 , )(V V x y −=−= → θ = 143,1o P V y x V2 V1 Conhecendo as componentes conhecemos tudo sobre o vetor. 5 y x 3 4 143,1o ExperimentoExperimento VetoresVetores O equipamento está montado com um dinamômetro (instrumento que serve para medir a intensidade de uma força), duas roldanas e dois fios que passam por elas tendo em suas extremidades massas iguais de 50,0g. Fio1 Fio2 dinamômetro RESULTANTE DE DOIS VETORES Verificar a montagem: sistema em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; fio 1 alinhado com o eixo X (θ1 = 0) formando um ângulo de 60º com o fio 2. eixo X Fio1 Fio2 Anotar o valor do módulo da força F indicado no dinamômetro. O cilindro interno do dinamômetro não deve tocar em suas paredes laterais. A menor divisão da escala do dinamômetro corresponde a 0,02N Fio1 Fio2 θR Anotar o ângulo que F faz com o eixo X (sentido positivo: anti horário). RESULTANTE DE TRÊS VETORES Cuidadosamente, substituir a montagem de dois fios pela de três. Fio1 Fio2 Fio3 Fio1 Fio2 Fio3 Sistema em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; massas distribuídas de acordo com a figura. 50,0g 50,0g 100,0g Alinhamento do sistema eixo X Fio1 Fio2 Fio3 Primeira roldana - Fio 1 com o eixo X (θ1 = 0). Segunda roldana - Fio 2 → ângulo θ12 = 60º com o fio 1. Terceira roldana - Fio 3 → ângulo θ23 = 80º com o fio 2. Anotar o valor do módulo da força F indicado no dinamômetro. O cilindro interno do dinamômetro não deve tocar em suas paredes laterais. A menor divisão da escala do dinamômetro corresponde a 0,02N Anotar o ângulo que F faz com o eixo X (sentido positivo: anti horário). θR 03_Proj�teis.pdf MovimentoMovimento dede ProjProjééteisteis ObjetivoObjetivo Descrever, com base em conhecimentos de cinemática, o movimento de um corpo com aceleração constante. Para tanto, será estudada a trajetória descrita por uma esfera, que rola sem deslizar, sobre um plano inclinado. Dispositivo experimental utilizado neste experimento ℓ Trajetória da esfera ao ser largada no plano inclinado. IntroduIntroduççãoão As forças que atuam sobre uma esfera, rolando sem deslizar, em um plano inclinado com atrito são: o peso P, a normal N e a força de atrito fat. A Figura apresenta o diagrama das forças que agem sobre a esfera. N P sen θ P cos θ fat Pθ A 2ª lei de Newton é escrita, como sendo no caso da esfera no plano inclinado se escreve como: amF ?? =∑ amfNP at ???? =++ Observe que em relação ao ponto de contato da esfera com o plano inclinado, é a força de atrito a única responsável pelo seu rolamento pois ela exerce um torque sobre a esfera. Este fato mostra que o ponto de contato da esfera com o plano inclinado é o centro instantâneo de rotação. É este torque, em princípio, que provoca o rolamento da esfera ao longo do plano inclinado, mas se não existisse a força de atrito, fat, a esfera não rolaria, apenas deslizaria. Em relação ao centro da esfera é o torque da força de atrito que provoca o rolamento da mesma. O aspecto importante na análise do movimento, é que a resultante das forças que agem sobre a esfera, encontra-se exclusivamente sobre o eixo y, que é um eixo paralelo ao plano inclinado. Assim, decompondo-se o movimento da esfera ao longo dos eixos x e y, verifica-se que a projeção do movimento no eixo x é uniforme, isto é, vx = constante. E que no eixo y, o movimento é uniformemente acelerado. vx = v0 x y v0 vy x y v0 vy x y v0 vy x y v0 vy x y v0 vy x y v0 A descrição teórica do movimento da esfera envolve conceitos mais avançados de física e matemática. Por isso será dado um tratamento mais simplificado ao problema envolvendo somente conceitos cinemáticos. A Figura mostra o plano inclinado e a esfera em diversas posições. y x θ h v 01 2 ℓ A origem do sistema de coordenadas x, y, é o centro da esfera na posição em que ela sai da calha para o plano inclinado (posição 2) com velocidade v0, na direção horizontal. Neste sistema de eixos as equações do movimento são: 2ta 2 1y y= tvx 0= v0 D H 2 Convém observar que uma mudança na origem do sistema de coordenadas acarretará em uma mudança na forma das equações : 2ta 2 1y y= tvx 0= A aceleração ay é determinada pelas equações que correspondem à 2ª lei de Newton, de acordo com as forças representadas na figura: P senθ - fat = may e fat = 2/5 may N P sen θ P cos θ fat Pθ A aceleração ay é dada pela expressão: y 5a g senθ 7 = A deduA deduçção da expressão da aceleraão da expressão da aceleraçção ão aayy, , envolve o estudo do movimento do corpo envolve o estudo do movimento do corpo rríígido.gido. A equação da trajetória da esfera no plano inclinado, pode ser obtida eliminando t na lei do movimento: 2 0 y 2v a=K2xy k= 2ta 2 1y y=tvx 0= e onde O que resulta: v0 D H A trajetória da esfera é, aproximadamente, um ramo de parábola. Observe na figura anterior, que quando y = H (altura), a esfera atinge a barra horizontal na coordenada x = D (alcance). Pela equação da trajetória, 2 2 0 y D 2v a H = O que permite determinar v0. Y Xvo y x H D x = vo t y = 1/2 ay t2 D 2H a v y0 = ExperimentoExperimento Movimento de Movimento de ProjProjééteisteis Medindo diretamente o valor de senθ, através do quociente h/ ℓ. ℓ Medida de h h Medida de ℓ ℓ Lançamento da esfera do ponto A, utilizando o anteparo triangular, de modo a determinar as coordenadas x (marcada na barra de alumínio - na base do plano inclinado) e y (marcada pela colisão da esfera com a fita de carbono). Lançamento do ponto A Utilize o anteparo triangular de madeira, de modo a determinar as coordenadas x e y. coordenada x: graduação na barra de alumínio. coordenada y: marcada pela colisão da esfera com a fita de carbono no anteparo triangular. Faça lançamentos do mesmo ponto A até que a esfera atinja a base do plano inclinado, variando a coordenada x de três em três centímetros, a partir de x = 0 (zero). x=0 x=3,0 cm x=6,0 cm x = 3,0 cm Coordenada y: colisão da esfera com a fita de carbono no anteparo triangular de madeira. (x,y) = (0,0) cm x = 6,0 cm x = 9,0 cm x = 12,0 cm x = 15,0 cm x = 18,0 cm Medida da coordenada y no anteparo. (x,y) = (0,0) Medida da distância H, correspondente à distância entre a base da rampa de lançamento e a barra horizontal. H Medida da distância D, correspondente ao ponto em que a esfera colide com a barra horizontal. Fita de carbono na barra horizontal Distância D 04_ Atrito est�tico.pdf AtritoAtrito EstEstááticotico ObjetivoObjetivo Análise do comportamento de duas superfícies em contato. Determinação do coeficiente de atrito. Ao movimentar um objeto sobre uma superfície, além da FORFORÇÇA NORMALA NORMAL,, aparece uma força conhecida como FORFORÇÇA DE ATRITOA DE ATRITO. IntroduIntroduççãoão As forças de atrito se originam na interação entre os átomos de cada superfície. No bloco sobre a mesa, atuam as forças peso e uma força normal à superfície que o impede de cair. Se bloco estiver em equilíbrio estático, estas duas forças se anulam. MASSA M Peso Normal Quando uma força paralela à superfície é aplicada ao bloco, uma força contrária à força aplicada aparece, até um valor limite. A partir desse valor, aumentando-se a força aplicada, o bloco entrará em movimento. Essa força contrária é conhecida como forforçça de atritoa de atrito. Peso Normal Força aplicada Força de atrito No limite do escorregamento, isto é, quando o corpo está a ponto de escorregar sobre a mesa, o módulo da força de atrito é proporcional ao módulo da componente normal da força de reação. MASSA M Normal (N) Força de atrito Peso (Mg) Força aplicada Fatrito = µ N = µ M g MedidaMedida da da ForForçça de Atritoa de Atrito Na determinação da força de atrito, será aplicada uma força sobre o bloco, utilizando um dinamômetro. Um dinamômetro é uma mola de constante elástica k conhecida. dinamômetro Diagrama experimental dinamômetro superfície bloco M bloco dinamômetro Ao colocar o bloco em movimento, através do dinamômetro, além da força peso e da normal, aparecem no bloco duas outras forças: F, que tende a colocar o bloco em movimento, e a força de atrito estático, fat, que atua na mesma direção e no sentido contrário de F. M N Mg Ffat atf Enquanto o bloco permanece imóvel, a força de atrito estático equilibra a força exercida pela mola do dinamômetro, de forma que: = F A situação de imobilidade do bloco permanece até que a força de atrito estático atinja seu limite máximo . Se a força exercida no bloco pelo dinamômetro for tal que Fdina > o bloco entrará em movimento. A situação intermediária entre a imobilidade e o movimento caracteriza a iminência do movimento. Na iminência do movimento, e somente nela, admite-se que: max atf max atf = µe Nmaxatf Iminência do movimentoIminência do movimento = µe Nmaxatf F = µe é o coeficiente de atrito estático e N a componente normal da reação . M N Mg Ffat max atf ExperimentoExperimento Medida da ForMedida da Forçça a de Atritode Atrito Medida do coeficiente de atrito estático bloco Bloco de massa M com o lado de borracha sobre a superfície plana. Dinamômetro preso ao bloco na posição horizontal – mola relaxada. bloco dinamômetro Medida do coeficiente de atrito estático Desloque o dinamômetro mantendo-o na posição horizontal até que o bloco comece a se mover. dinamômetro bloco Fcrítica em Newtons Medida da Fcrítica , na iminência do movimento do bloco. Bloco parado Bloco na iminência do movimento Varie a massa M do bloco utilizando as massas m1, m2 e m3. Medida da massa do bloco M Medida da massa m Varie a massa M do bloco utilizando as massas m1, m2 e m3, realizando novas medidas de Fcrítica. massa m Medida da Fcrítica , na iminência do movimento do bloco. Bloco parado Bloco na iminência do movimento Medida da Fcrítica , através do ângulo crítico. Leitura do ângulo 10 Momento Angular 2 Roteiro.pdf CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR 2 (objeto com dimensão finita) Objetivo Estudar o princípio da conservação do momento angular através da colisão entre uma partícula pontual e um objeto de dimensão finita. Introdução Considere o sistema formado por uma rampa de onde é lançada uma esfera, tratada como uma partícula pontual de massa m e uma haste que pode girar em torno de um eixo vertical, conforme a Figura 1. Figura 1 A massa m incide perpendicularmente à haste com velocidade de módulo v0 e após a colisão permanece solidária à mesma. Segundo o princípio da conservação do momento angular, nos casos em que o torque interno resultante for nulo, o momento angular é constante, isto é, conservado, se o torque externo resultante também for nulo, porque então o torque total (interno e externo) é nulo. Assim, considere a equação (1) r rτ = dL dt (1) onde rτ é o torque externo e rL o momento angular total do sistema partícula-haste. Quando ocorre a colisão entre a esfera, de massa m e velocidade v0, e a haste, o torque externo ao sistema é nulo. (Considere desprezível a força de atrito no eixo de rotação da haste). Como o torque interno resultante também é nulo, o torque total é nulo. Sendo assim, o momento angular total é conservado, isto é, permanece constante antes, durante e depois da colisão. Para este sistema podem-se escrever as seguintes expressões para o momento angular: Antes da colisão - lmvL 0|| = r (2) Depois da colisão - ωI|L| =r (3) sendo I o momento de inércia do conjunto esfera-haste após a colisão e ω a velocidade angular do sistema em rotação. A esfera pode ser aproximada por uma partícula pontual, sendo possível obter seu momento angular por pxrL =r ,mas para o conjunto esfera- haste isso não é possível. Portanto, para este conjunto, é indispensável utilizar o conceito de momento de inércia. Como r L é constante temos l0mv = ωI (4) Nesta experiência será verificada a validade da equação (4) variando-se o módulo da velocidade da esfera v0, imediatamente antes da colisão, e medindo-se a velocidade angular ω do sistema após a mesma. Bancada ___________ Data________________ Turma_____ Nome: ________________________________________________________ Procedimento Experimental: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR - (OBJETO COM DIMENSÃO FINITA) 1. Medida das velocidades de lançamento: 1.1. Marque com o fio de prumo a posição da origem na superfície horizontal. 1.2. Meça a altura H em que a esfera deixa a rampa. Altura H = ______________ 1.3. Solte a esfera das várias posições indicadas na rampa de lançamento. Meça o alcance d para cada lançamento. Calcule os valores de v0 correspondentes a cada alcance d. )s cm(d H 22,125v0 = Coloque os dados na Tabela. Alcance d (cm) Posição de lançamento d1 d2 d3 dmédio v0(cm/s) Tempo de ¼ de revolução t1/4 (s) Velocidade angular ω (rad/s) IMPORTANTE: Determinar v0 e, imediatamente após, a velocidade angular (veja 2.3 e 2.4). 2. Determinação do momento de inércia: 2.1. Meça a distância da posição de impacto ao eixo de rotação ℓ. ℓ = ______________ 2.2.1 Anote a massa da esfera m = ______________ 2.2.2 Alinhe a posição de impacto na haste com a rampa de lançamento. A rampa deve estar perpendicular à haste. Solte a esfera das mesmas posições marcadas para as medidas das velocidades de lançamento v0. 2.3. Após cada lançamento meça o tempo de um quarto de revolução t1/4. 2.4. Calcule então a velocidade angular ω =( 2π⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠1/ 4 t ) e complete a Tabela acima. 2.5 Faça um gráfico em papel linear de v0 em função de ω. 2.6 A partir deste gráfico estime o momento de inércia I do sistema após a colisão. Lembre-se que a conservação do momento angular do sistema é dada pela equação: I ω=m v0 ℓ 01 Graficos Roteiro .pdf GRÁFICOS INTRODUÇÃO Quando se extraem dados experimentais de uma medida é conveniente, quando possível, identificar alguma regularidade neles. Esta regularidade nos dará informações preciosas sobre o fenômeno que estamos analisando. Mostramos, nas figuras abaixo, dois conjuntos de dados experimentais. O gráfico (a) é o registro dos valores de uma balança de farmácia, enquanto que o segundo (b) é o registro do odômetro de um carro, ambos em função do tempo. No primeiro caso temos pessoas grandes, pequenas, gordas ou magras que se pesam em momentos aleatórios. Não há nenhuma regularidade neste gráfico. Isto é, não existe correlação entre os dados obtidos. No segundo caso, no entanto, vemos que poderemos traçar uma reta passando muito próxima de todos os pontos. Isto nos indica uma relação linear entre a posição do carro e o instante em que foi medida esta posição. A interpretação que podemos dar é que o carro se move com velocidade constante. Inserir uma linha por um conjunto de pontos é uma técnica muito útil na análise dos dados experimentais. Isso significa tentar estabelecer uma função entre as duas grandezas físicas representadas nos dois eixos coordenados. Esta função representa um modelo matemático para os resultados experimentais obtidos. GRÁFICOS LINEARES Como foi dito acima, é importante obter-se uma equação analítica que represente um modelo matemático para os resultados experimentais obtidos. Observando o gráfico da figura (b), verifica-se que a equação de uma reta é um bom modelo matemático para descrever os resultados experimentais encontrados. A equação da reta é muito simples, depende apenas de dois parâmetros. Assim, quando uma reta se aproxima bastante dos pontos experimentais, estes últimos são descritos por um modelo matemático que depende apenas de dois parâmetros. Vamos então recordar a equação analítica que representa uma reta Y (x) = ax + b Na figura ao lado mostramos o gráfico de uma função Y(x) dada pela equação acima. O coeficiente angular a da equação da reta é dado por e o coeficiente linear b é dado pelo valor de Y quando x = 0; este é o ponto em que a reta corta o eixo vertical (na figura acima, o coeficiente linear b = 8). O modelo matemático que descreve resultados experimentais por meio da equação de uma reta chama-se modelo linear. Este é o caso do movimento de uma partícula com velocidade constante, quando estudamos sua posição em função do tempo. A coordenada vertical Y representará a coordenada de posição da partícula (S) e a coordenada horizontal x representará o tempo (t). Nestas variáveis ( S e t ) a equação toma então a forma: S (t) = a t + b onde o coeficiente angular a = ∆ S / ∆ t representa a velocidade da partícula e o coeficiente linear b = S(0) representa a coordenada de posição inicial (t = 0) da partícula no sistema de coordenadas considerado. ya , x ∆= ∆ Bancada ______ Data ____________ Turma ________ Nome: ________________________________________________________ GRÁFICOS – OBTENÇÃO DA DENSIDADE DO ALUMÍNIO Procedimento Experimental A densidade volumétrica de um corpo é dada pela expressão: V m=ρ , onde m é a massa do corpo e V é o seu volume. Você dispõe de 4 cilindros de alumínio, cujos volumes são dados por: 4 2LdV π= , onde L é a altura e d é o diâmetro de cada cilindro. 1. Meça, com a balança, a massa m dos cilindros, em gramas, usando três algarismos significativos. Preencha a coluna das massas na tabela abaixo. Meça, com o paquímetro, a altura e o diâmetro dos cilindros de alumínio A, B, C e D. Preencha a tabela com estes resultados usando também neste caso três algarismos significativos. Isto é possível porque o paquímetro utilizado é um instrumento de precisão e assim suas medidas devem ser precisas. Suas medidas devem ser feitas cuidadosamente. Se elas estiverem incorretas, todos os seus dados não terão valor e muito menos os resultados que deverão ser obtidos a partir deles. m ( ) L ( ) d ( ) d2 ( ) A B C D Calcule o valor da altura média dos cilindros Lmédio. Lmédio = ___________ ( ) 2 A densidade dos cilindros de alumínio é dada por: Logo, podemos escrever: Ld m V m 2 4 πρ == 4 2Ldm πρ= 3. Faça um gráfico da massa em função do diâmetro ao quadrado (m versus d2). Siga as regras para se fazer gráficos contidas no texto fornecido. Trace a curva que melhor se ajusta aos dados experimentais. Que modelo matemático seria adequado para representar os pontos experimentais lançados neste gráfico? 4. Utilizando o modelo matemático do item 3, escreva a expressão teórica para a inclinação (a) do gráfico m x d2, a partir da expressão para a massa mostrada no item 2. ? 5. Juntemos os dados experimentais com a modelagem matemática. Para isto, calcule a inclinação a = ∆m / ∆ d 2 do gráfico do item 3 inclinação (a) = ________ ( ); e, com este resultado, e a expressão obtida no item 4, obtenha o valor da densidade do alumínio (ρ). Utilize o valor de Lmédio. π = 3,14 densidade (ρ) = ________ ( ). 6. Faça um gráfico da massa em função do diâmetro (m versus d). Siga as regras para se fazer gráficos contidas no texto fornecido. Trace a curva que melhor se ajusta aos dados experimentais. Que modelo matemático descreve bem os pontos experimentais lançados neste gráfico? É fácil obter a densidade do alumínio por meio desta curva? 2d ma ∆ ∆= =a 02 Vetores Roteiro.pdf VETORES Objetivo Estudar propriedades de vetores e a obtenção de resultantes. Introdução Para localizar um ponto P em uma reta, três elementos são necessários: uma referência R, escolhida arbitrariamente, um número, que indica a distância de P até a referência R e uma convenção de sinais, que indica a posição relativa de P (se está à direita ou à esquerda de R, acima ou abaixo de R, etc.). Este conjunto de elementos constitui uma coordenada. A coordenada de P1 em relação a R é -4cm (Figura 1-a). A coordenada de P2 em relação a R é +3cm (Figura 2-a). A coordenada de R em relação a R é zero, porque a distância de R em relação a R é zero. É costume chamar a referência R de origem O das coordenadas. Chama-se eixo à reta com a origem O e a convenção de sinais definida sobre ela. Podemos indicar a posição de um ponto P por meio de uma seta sobre o eixo, a qual parte da origem e vai até P. Esta seta representa o vetor posição do ponto P. Por convenção, representaremos um vetor por uma letra em negrito. Nas figuras acima, o vetor está desenhado, mas é claro que seria muito conveniente ter uma forma mais prática de tratar vetores, que não exigisse que os desenhássemos vetor V2 vetor posição do ponto P2 P2 R + - 3 cmP1 R + - 4 cm Figura 2-a Figura 1-a (acima e abaixo) (direita e esquerda) + V2 O - P2 O + - V1 P1 vetor V1 vetor posição do ponto P1 Figura 2-b Figura 1-b sempre em todos os nossos trabalhos. Vamos então introduzir um tratamento analítico, que dispensa a forma gráfica de lidar com vetores. Para isso, introduzimos um vetor unitário: ele tem módulo um (1) e serve para indicar a direção do eixo e seu sentido positivo. Para a Figura 1-c , o vetor unitário indica que a direção do eixo é horizontal e o sentido positivo é da esquerda para a direita. Vamos chamar de i este vetor unitário. Agora, o vetor posição de P1 na Figura 1-b pode ser escrito analiticamente como V1 = -4i (cm). Esta expressão quer dizer que P1 está sobre o eixo horizontal, 4cm à esquerda da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V1 tem direção horizontal, sentido negativo e módulo 4 (cm). Analogamente, para a Figura 2-c , o vetor unitário indica que a direção do eixo é vertical, e o sentido positivo é de baixo para cima. Vamos chamar de j este vetor unitário. Agora, o vetor posição de P2 na Figura 2-b pode ser escrito analiticamente como V2 = 3j (cm). Esta expressão quer dizer que P2 está sobre o eixo vertical, 3cm acima da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V2 tem direção vertical, sentido positivo e módulo 3 (cm). Na representação gráfica, o módulo do vetor deve ser proporcional ao comprimento da seta. Vemos agora porque i e j devem ser unitários, isto é, devem ter módulo 1: é para que V1 = -4i (cm) tenha módulo 4 (cm) e V2 = 3j (cm) tenha módulo 3 (cm). Como a multiplicação de um número por 1 resulta no mesmo número, assim fica mais simples. Do contrário, teríamos que levar em conta o valor do módulo de i e j para obter o módulo de V1 e de V2. Para localizar um ponto em uma superfície, uma única coordenada não é suficiente. Vamos então utilizar o que já conhecemos sobre as coordenadas em uma reta e traçar na superfície duas retas que se cruzam perpendicularmente. Escolhemos como origem O o ponto em que as retas se cruzam, porque assim temos a mesma origem para as duas retas. Para cada reta escolhemos uma convenção de sinais, que indica a posição relativa a O. Temos assim dois eixos. Cada um recebe um nome, para que possamos distingui- los; é costume chamar a um deles de eixo X e ao outro de eixo Y. Para localizar um ponto P que está sobre um destes eixos medimos a distância de P até O e utilizamos a convenção de sinais adotada. O O ĵ î Unitário j Unitário i Figura 2-c Figura 1-c O ponto P1 tem coordenada x = -4cm (isto é, coordenada sobre o eixo X igual a - 4cm) e o ponto P2 tem coordenada y = 3cm (isto é , coordenada sobre o eixo Y igual a 3cm). Portanto, os vetores posição dos pontos P1 e P2 são, respectivamente V1 = -4i (cm) e V2 = 3j (cm). Como representar um ponto P que está na superfície, mas não está sobre nenhum dos dois eixos? Para isso, vamos agora considerar a regra do paralelogramo para a soma de dois vetores. Trata-se de uma construção gráfica em que desenhamos os dois vetores com a mesma origem e construímos o paralelogramo que tem os dois vetores como seus lados. V1 V2 y xP1 P2 Figura 3 y V P x Figura 4 a b a + b Regra do paralelogramo Figura 5 O vetor V = a + b, isto é o vetor que é a soma dos vetores a e b é dado pela seta diagonal que vai da origem até o vértice oposto. Considerando nossos vetores V1 e V2 como os vetores a e b da regra do paralelogramo estudada acima , verificamos então que a soma de V1 e V2 fornece o vetor V, que é o vetor posição do ponto P, situado sobre a superfície e fora dos eixos. Assim, usando os unitário i e j, e todos os possíveis pares de coordenadas x e y, podemos representar todos os pontos sobre uma superfície. As coordenadas x e y são as componentes x e y do vetor. Para o vetor V da Figura 6, Vx (a componente x de V) é -4(cm) e Vy (a componente y de V) é 3 (cm). As componentes são utilizadas para um tratamento analítico da soma vetorial: se V = V1 + V2 então Vx = V1x + V2x e Vy = V1y + V2y , ou seja, a componente da soma é a soma das componentes. Este resultado vale para a soma de qualquer número de vetores e dispensa o uso de desenhos. Pela Figura 7 verificamos que V, V1 e V2 formam um triângulo retângulo. As componentes de V podem então ser facilmente calculadas, a partir da definição das funções trigonométricas. Como sen θ = V Vy (cateto oposto sobre a hipotenusa) então Vy = V sen θ. y P V V2 xV1 Figura 6 V y x V2 V1 θ P Figura 7 Analogamente, como cos θ = V Vx (cateto adjacente sobre a hipotenusa) então Vx = V cos θ. Uma vez que o módulo do vetor corresponde ao tamanho da seta que o representa, podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o módulo de V = |V| se conhecermos suas componentes: |V|2 = Vx2 + Vy2 . No caso da Figura 7, |V|= 5 (cm). Portanto, mais uma vez, conhecer as componentes dispensa o uso de desenhos. Por meio das componentes, podemos determinar o ângulo θ que o vetor faz com o eixo X: θ = tg-1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ x y V V (cateto oposto sobre cateto adjacente). No caso da Figura 6, 750 4 3 , )(V V x y −=−= → θ = 143,1 o Conhecendo as componentes, conhecemos tudo sobre o vetor. 5 y x 3 4 143,1o Figura 8 Bancada ______ Data ____________ Turma ________ Nome: ________________________________________________________ VETORES Procedimento Experimental Parte I - RESULTANTE DE DOIS VETORES 1. Este equipamento é MUITO sensível e já está calibrado e alinhado. O manuseio deve ser muito cuidadoso para a obtenção dos resultados. 2. O equipamento está montado com um dinamômetro (instrumento que serve para medir a intensidade de uma força), duas roldanas e dois fios que passam por elas tendo em suas extremidades massas iguais de 50,0g (Figura 1). Figura 1 3. Verificar a montagem: sistema em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; fio 1 alinhado com o eixo X (θ1 = 0) formando um ângulo de 60º com o fio 2. (Figura 2) Verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não toque em suas paredes laterais. Isto ajuda a impedir que o atrito entre estas partes do dinamômetro perturbe as medições. Fio1 Fio2 Figura 2 4. Calcular, no sistema MKS, os módulos das forças F1 e F2 (tensão no fio 1 e tensão no fio 2). g = 9,79m/s2 |F1 |= _______ ( ) |F2 | = _______ ( ) 5. Anotar o valor do módulo da força F indicado no dinamômetro. (a menor divisão da escala do dinamômetro corresponde a 0,02N) |F |= ________( ) e do ângulo que ela faz com o eixo X (sentido positivo: anti horário). θ = ________ Como forças são vetores, para calcular a resultante FR = F1 + F2 podemos usar o método analítico (soma das componentes) ou o método gráfico (regra do paralelogramo). 6. Traçar um sistema de eixos cartesianos em uma folha de papel milimetrado. Representar os vetores F1 e F2 no sistema de eixos cartesianos observando os ângulos que eles formam com o eixo x. Fazendo as projeções adequadas, obter as componentes F1x = ________( ) F1y = ________( ) F2x = ________( ) F2y = ________( ) 7. Usar as componentes para determinar a força resultante entre F1 e F2, FR = F1 + F2 : a) Obter a s componentes de FR FRx = F1x + F2x = ________ ( ) eixo X Fio1 Fio2 FRy = F1y + F2y = ________ ( ) b) Obter o módulo de FR |FR | =| F1 + F2 | = = ________ ( ) c) Obter o ângulo que FR faz com o eixo X. θ R = tg-1 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ xR yR F F = ________ 8. Determinar o módulo da força resultante entre F1 e F2 pela regra do paralelogramo. Escala: 1N = 10cm |FR | =| F1 + F2 | = ________( ) Medir o ângulo que FR faz com o eixo X. θ R = ________ Comparar com os resultados do item 7 9. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre F, F1 e F2 ? 10. Comparar os resultados dos itens 5, 7 e 8 e verificar se estão de acordo com a relação obtida no item 9. Parte II - RESULTANTE DE TRÊS VETORES Figura 3 1. Cuidadosamente, substituir a montagem de dois fios pela de três. Verificar que o sistema esteja em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o centro da mesa de forças; massas de acordo com a figura 3. Verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não toque em suas paredes laterais. Alinhamento de acordo com Figura 4. Girar o transferidor e alinhar o fio 1 com o eixo X (θ1 = 0). Deslocar a segunda roldana até que o fio 2 faça um ângulo θ12 = 60º com o fio 1. Deslocar a terceira roldana até que o fio 3 faça um ângulo θ23 = 80º com o fio 2. Figura 4 m1 = 50 ( ) Fio3 Fio1 Fio2 Fio3 Fio2 Fio1 eixo X m2 = 50 ( ) m3 = 100 ( ) 2. Calcular os módulos das forças F1 , F2 e F3 (tensões nos fios 1, 2 e 3). |F1 |= ________ ( ) |F2 | = ________ ( ) |F3 | = ________ ( ) 3. Anotar o valor do módulo da força F indicada no dinamômetro. |F |= ________( ) e do ângulo que ela faz com o eixo X. θ= _______ O método gráfico para a soma de vetores torna-se inconveniente quando cresce o número de vetores a serem somados. Vamos então trabalhar agora apenas com o método analítico. 4. Traçar um sistema de eixos cartesianos em uma folha de papel milimetrado. Representar os vetores F1 , F2 e F3 no sistema de eixos cartesianos observando os ângulos que eles formam com o eixo x. Fazendo as projeções adequadas, obter as componentes. F1x = ________( ) F1y = ________( ) F2x = ________( ) F2y = ________( ) F3x = ________( ) F3y = ________( ) 5. Usar as componentes para determinar a força resultante entre F1 , F2 e F3 FR = F1 + F2 + F3 a) Obter as componentes de FR FRx = _______________( ) FRY = ________________( ) b) Obter o módulo de FR |FR | =| F1 + F2 + F3 | = ________( ) c) Obter o ângulo que FR faz com o eixo X. θR= _______ 6. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre FR, F1 , F2 e F3? 7.Comparar os resultados dos itens 3 e 5 e verificar se estão de acordo com a relação obtida no item 6. 03- Movimento de projéteis Roteiro.pdf MOVIMENTO DE PROJÉTEIS Objetivo. Verificação experimental, com base em conhecimentos de cinemática, do movimento de um corpo com aceleração constante. Para tanto será estudada a trajetória descrita por uma esfera que rola sem deslizar sobre um plano inclinado (plano de Packard) até atingir uma barra horizontal. Introdução. As forças que atuam sobre uma esfera rolando sem deslizar em um plano inclinado com atrito são: o peso P, a normal N e a força de atrito fat. A Figura 1 apresenta o diagrama das forças que agem sobre a esfera. Figura 1 Decompondo-se o movimento ao longo dos eixos x e y (Figura 2), verifica-se que a projeção do movimento da esfera no eixo x é uniforme, ax = 0, e que ao longo do eixo y, o movimento é uniformemente acelerado sendo ay = 5/7 g sen θ. O fator 5/7 se deve ao fato de não estarmos trabalhando com uma partícula pontual, mas sim com uma esfera de tamanho finito que rola sem deslizar. A Figura 2 representa o dispositivo experimental a ser utilizado. Figura 2 N P senθ P cosθ fat P θ ℓ A origem do sistema de coordenadas x, y, é o centro da esfera na posição em que ela é lançada no plano inclinado, com velocidade v0 na direção horizontal. Neste sistema de eixos as equações do movimento são: x =v0 t (1) A variação de y em função de x pode ser obtida substituindo t = x / v0 na equação que fornece y em função de t. 22 02 x v a y y= (2) 2 2 1 tay y= θgsena y 7 5= Bancada ___________ Data________________ Turma_____ Nome: ________________________________________________________ MOVIMENTO DE PROJÉTEIS PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: 1. Observe que o plano inclinado por onde a esfera de aço “rolará sem deslizar” faz um ângulo θ com o plano horizontal (ou seja, com a superfície da mesa); 2. Meça diretamente o valor de senθ, determinando o quociente h / ℓ : h (cm) ℓ (cm) sen θ 3. Calcule ay, sabendo que O fator 5/7 se deve ao fato de não estarmos trabalhando com uma partícula pontual, mas sim com uma esfera de tamanho finito que rola sem deslizar. ay = ________________ ( ) 4. Obtenha a equação da parábola eliminando t nas equações do movimento: x=v0t e y= ½ ayt2, de modo a obter uma equação do tipo y = Kx2. Determine a expressão para K . ℓ 2 02v a K y= 5. Lance a esfera do ponto A e use o anteparo triangular de madeira, com a fita de carbono voltada para o ponto onde a esfera abandona a calha de lançamento, de modo a determinar as coordenadas x (marcada na barra de alumínio que está na base do plano inclinado) e y (marcada pela colisão da esfera com a fita de carbono). Para cada valor de x, lance a esfera três vezes, calcule a média da posição y e anote na tabela. Faça lançamentos do mesmo ponto A até que a esfera atinja a barra (régua) de alumínio da base do plano inclinado, variando a coordenada x de três em três centímetros, a partir de x = 0 (zero). Atenção para o sistema de eixos escolhido que aparece na figura acima. x (cm) y (cm) ymédio (cm) x2 (cm2) 6. Utilize um papel linear para representar um gráfico de ymédio em função de x2, escolhendo fatores de escala convenientes. Calcule a inclinação da reta. K = _______________________ ( ) 7. A partir da inclinação da reta, calcule o valor de v0 considerando a expressão, obtida no item 3. Valor de v0 (obtido a partir do gráfico) = _____________ ( ) 8. Meça H (distância entre a base da rampa de lançamento e a barra horizontal). H = ______________ ( ) 9. Sem o anteparo de madeira, meça o alcance D, correspondente ao ponto em que a esfera colide com a barra horizontal. D = ______________ ( ) 10. Determine o valor da velocidade inicial v0, a partir da aceleração ay e dos valores de H e D, usando que H= ½ ay (D/ v0)2. Valor de v0 (obtido a partir de uma única medida) = _____________ ( ) 11. Compare os valores de v0 obtidos nos itens 7 e 10 e comente. Qual o resultado mais confiável? Por que este resultado é mais confiável? 04 Atrito estático Roteiro.pdf ATRITO ESTÁTICO Objetivos Utilização de um dinamômetro e determinação do coeficiente de atrito estático entre duas superfícies. Introdução e análise teórica Seja a mola de comprimento l e massa desprezível representada na figura 1a. A mola se encontra relaxada e uma de suas extremidades está presa a um anteparo fixo. Na figura 1b, a mesma mola é representada numa situação em que sua outra extremidade (ponto P) está submetida a uma força Faplicada. Em resposta à Faplicada a mola se deforma alongando seu comprimento de l até l + x , a situação estática.. Como o sistema encontra-se em equilíbrio (figura 1.b), a resultante das forças que atuam sobre a mola é nula. Nesta condição a força aplicada é anulada pela força da mola. Assim, a mola exerce uma força Fmola igual em módulo e direção e de sentido contrário à Faplicada , o que fornece uma força resultante nula. Observa-se que no caso de pequenas deformações a força exercida pela mola é proporcional à sua deformação (x). Portanto, pode-se escrever Fmola = - k x (lei de Hooke) e assim tem-se: Fmola = - Faplicada = - k x (1) onde k tem dimensão de força por unidade de comprimento. A constante k é medida submetendo-se a mola a uma força de magnitude conhecida. Isso pode ser feito colocando-se a mola na vertical e medindo-se a deformação xp causada por diferentes pesos conhecidos colocados na caçamba (Figura 2). Figura 1 FIGURA 2 L0 Lp xp m Figura 2 O dinamômetro é usado para medir forças e consiste, na sua forma mais simples, em uma mola calibrada, ou seja, com constante elástica k conhecida. Em nosso caso ele será aplicado para medir a força de atrito estático, conforme ilustra o esquema abaixo (Figura 3). Figura 3 A mola dentro do dinamômetro é esticada quando este, depois de preso à massa M, é deslocado. Com isso, além da força peso e da normal (Figura 4), aparecem no bloco duas outras forças: Fmola, que tende a colocar o bloco em movimento, e a força de atrito estático eatf , que atua na mesma direção e no sentido contrário de Fmola. Quando a força exercida pela mola cresce a força de atrito estático também cresce. Enquanto o bloco permanece imóvel, a força de atrito estático equilibra a força exercida pela mola de forma que: eatf = Fmola (2) A situação de imobilidade do bloco permanece até que, ao aumentar a força da mola, a força de atrito estático atinge seu limite máximo emaxatf . Se a força exercida no bloco pela mola for tal que Fmola > emax atf o bloco entrará em movimento. A situação intermediária entre a imobilidade e o movimento caracteriza a iminência do movimento. Na iminência do movimento, e somente nela, admite-se que: emaxatf = µe N (3) críticaF = emax atf (4) onde µe é o coeficiente de atrito estático e N a normal (Figura 4). Figura 4 bloco M dinamômetro mesa A Figura 5 ilustra, qualitativamente, as situações descritas acima em termos do módulo das forças atuando no sistema. A iminência do movimento é atingida quando a mola é distendida de um valor crítico ou seja, críticaF = µe N . Figura 5 Um outro método simples de se determinar o coeficiente de atrito estático é através da utilização de um plano inclinado. Suponhamos que um plano esteja inclinado de um ângulo θ com a horizontal e que um bloco de massa m seja colocado sobre sua superfície. O atrito estático entre a superfície do plano e a superfície do bloco é representado pelo coeficiente µe. O bloco permanecerá parado em relação ao plano para os ângulos 0 ≤ θ ≤ θc. Nesta situação, a componente da força peso ao longo do plano inclinado, mg sen(θ), é menor que o valor máximo da força de atrito estático. Ao atingirmos um ângulo crítico θc o bloco fica na iminência de deslizar. Para qualquer ângulo maior que θc a componente do peso ao longo do plano inclinado torna-se maior que o valor máximo da força de atrito estático, e bloco desliza plano abaixo. Na situação em que a inclinação atinge o ângulo crítico θc a componente da força peso perpendicular ao plano inclinado é mg cos(θc), que é igual à força Normal. Portanto, no limiar do movimento, a força de atrito estático máxima é igual à µe mg cos(θc). Como na situação crítica a componente da força peso ao longo do plano inclinado é dada por mg sen(θc), e como ainda não há movimento, então mg sen(θc) = µe mg cos(θc), ou seja µe = tg (θc). Assim, a tangente do ângulo crítico θc é igual ao coeficiente de atrito estático. críticaF N mg Fat θ Bancada ___________ Data________________ Turma_____ Nome: _____________________________________________________________ ATRITO ESTÁTICO Procedimento Experimental: 1. Coloque a superfície de maior área do bloco de massa M com o lado da borracha sobre a superfície plana. Bloco M = _________ (kg) Coloque o dinamômetro preso ao bloco na posição horizontal, de modo que a mola dentro dele esteja relaxada. Desloque lentamente o dinamômetro para a esquerda mantendo-o na posição horizontal até que o bloco comece a se mover. 2. Leia o módulo da força Fcrítica em Newtons. Repita o procedimento 3 vezes e calcule a média. Varie a massa M do bloco utilizando as massas m1, m2 e m3, disponíveis: m1 = ___________ (kg) m2 = ___________ (kg) m3= ___________ (kg) Preencha a Tabela com as medidas de massa M, o módulo da força normal N (=Mg), e do módulo da força exercida pela mola na iminência do movimento Fcrítica. Atente às unidades ao preencher a tabela. Massa Total (kg) Força Normal (N) Fcrítica1 (N) Fcrítica2 (N) Fcrítica3 (N) críticaF (N) bloco M dinamômetro 3. Faça um gráfico linear do módulo de <Fcrítica > em função de N. 4. Lembrando que o módulo da força Fcrítica é igual ao módulo da força de atrito estático máxima emaxatf críticaF = emax atf = µe N , calcule µe a partir do gráfico. 5. Coloque o bloco no plano inclinado e aumente lentamente a inclinação do plano até o bloco ficar na iminência de deslizar. Anote o ângulo crítico (θc), repetindo o procedimento 10 vezes. Calcule a média <θc>. Calcule a tg<θc> , obtendo o coeficiente de atrito. Compare com o valor obtido anteriormente. µe = _____________ ( ) tg<θc> = _____________ < θc > = _____________ 05 Atrito Cinético Roteiro.pdf ATRITO CINÉTICO Objetivo Determinar experimentalmente o coeficiente de atrito cinético µc através da medida da distância percorrida por um bloco sobre uma mesa. Introdução O estudo do atrito cinético será realizado com o aparato ilustrado esquematicamente na Figura 1. O bloco de massa M está colocado em repouso na posição x = -H sobre a mesa e conectado a uma caçamba de massa m através de um fio inextensível. Em t = 0 a caçamba é solta de uma altura y = H. Com a queda da caçamba o bloco é acelerado deslizando sobre a mesa com atrito. No instante tcol, a caçamba colide com o banco em y = 0 e o bloco se encontra em x = 0 tendo a máxima velocidade alcançada em sua trajetória. A partir de t = tcol a tensão no fio é nula e a aceleração do bloco sofre uma descontinuidade (Figura 2). O bloco é então desacelerado pela ação da força de atrito cinético até atingir o repouso em x = d no instante t = tf percorrendo uma distância total L. Figura 1 Esta situação é facilmente analisada considerando as etapas de aceleração e desaceleração separadamente, conforme está ilustrado nos gráficos apresentados na Figura 2. M Figura 2 Um tratamento cinemático do problema fornece (Apêndice I): L = B H (1) O coeficiente de proporcionalidade B depende da aceleração e da desaceleração sofridas pelo bloco de massa M, durante seu movimento. - Modelo dinâmico A análise completa do problema requer o conhecimento das forças que atuam no sistema e a aplicação das leis de Newton. A Figura 3 ilustra o diagrama de forças sobre a caçamba e sobre o bloco isoladamente em qualquer instante t < tcol. Pode-se escrever um sistema de equações para o movimento: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = = =− =− MgN Nf MfT mTmg c c at c at µ a a (2) onde m é a massa da caçamba, M é a massa do bloco, T é a tensão no fio, catf é a força de atrito cinético, N é a normal, g é a aceleração da gravidade e µc é o coeficiente de atrito cinético. Resolvendo o sistema de equações acima, obtém-se a aceleração a da primeira fase do movimento. ga Mm Mm c + µ−= (3) Figura 3 A figura 4 ilustra o diagrama de forças sobre o bloco em um instante t > tcol. Pode-se escrever um segundo sistema de equações para o movimento: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ = µ= = MgN Nf 'Mf c c at c at a (4) resolvendo o sistema, obtém-se a aceleração do bloco com a caçamba em repouso no anteparo : a’ = µc g (5) Figura 4 Utilizando as equações 3 e 5 , e determinando a velocidade do bloco em t=tcol (Apêndice 1), pode-se determinar o coeficiente de proporcionalidade B, mencionado anteriormente , em termos de m, M e µc: ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +µ+= 1 1 M)(m mB c (6) AAPPÊÊNNDDIICCEE - Modelo cinemático Em t = 0 o bloco está em x = - H com v = vo = 0. Na hipótese de que a aceleração imposta pela queda da caçamba é constante, a equação de Torricelli fornece a velocidade do bloco, V, na posição x = 0 no instante t = tcol: V2 = vo2 + 2aH = 2aH (I.1) onde a representa o valor da aceleração do bloco até o instante t = tcol fornecida na equação (3). Na segunda etapa do movimento o bloco é desacelerado da velocidade dada pela equação acima até o repouso (velocidade final vf = 0) após percorrer uma distância d. Se a desaceleração for constante a equação de Torricelli pode ser novamente aplicada fornecendo: vf2 = V2-2a’d = 0 (I.2) Caçamba em repouso Bloco onde a’ representa o valor da aceleração do bloco entre os instantes t = tcol e t = tf fornecida pela equação (5). Substituindo (I.1) em (I.2) e lembrando que d = L - H tem-se BHH ' )'(L =+= a aa (I.3) ou seja, admitindo-se que as acelerações a e a’ são constantes, a distância total percorrida pelo bloco sobre a mesa, L , é proporcional à altura H de onde a caçamba é solta. As variáveis m, M e µc estão relacionadas com a dinâmica do problema e mudam o coeficiente de proporcionalidade B que aparece na relação entre L e H. Bancada ___________ Data________________ Turma_____ Nome: ________________________________________________________ ATRITO CINÉTICO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: M = massa do bloco= _______________ Massa da caçamba (mc)= _________________ 1. Coloque uma massa m1 na caçamba de modo que o sistema se mova quando solto. Obs: Utilize a fita de fórmica para fazer as marcações. Se cometer algum erro ao marcar os pontos, cuidado para não deixar restos de borracha sobre a mesa onde o bloco desliza, pois isso aumentará o atrito e modificará suas medidas. mi = m1 + mc = ____________________ 2. Escolha uma altura H e deixe a caçamba cair. Meça a distância L que o bloco percorreu sobre a mesa. Repita a medida para diferentes alturas H. H (cm) L (cm) 3. Repita o procedimento acima para outro valor de massa, m2 , preenchendo a tabela. mi = m2 + mc = ____________________ H (cm) L (cm) 4. Trace um gráfico em escala linear de L em função de H para os dois casos. Obtenha o coeficiente de proporcionalidade B (de L=BH) nos dois casos e calcule o coeficiente de atrito cinético µc a partir de: i i i c m 1B 1 (m M) µ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ 06 Colisões em uma Dimensão Roteiro.pdf COLISÕES EM UMA DIMENSÃO Objetivo Estudar as leis de conservação do momento linear e da energia numa colisão entre dois pêndulos. Introdução É conveniente lembrar algumas propriedades do movimento do pêndulo simples antes de iniciar o estudo de colisão unidimensional de que trata esta experiência. A primeira, e mais importante delas, é a de que ao passar pelo ponto mais baixo de sua trajetória a resultante das forças que atuam sobre a massa do pêndulo está na direção vertical. Em sendo assim, no instante em que o pêndulo passa por este ponto, não existe nenhuma força atuando na direção horizontal. Como conseqüência a componente da aceleração nesta direção é nula. Além disso, o módulo da velocidade v do pêndulo é máximo neste ponto e é dado aproximadamente pela expressão (1), abaixo – vide apêndice II . xv pT 2π≈ (1) onde Tp é o período do pêndulo, o qual independe da massa do mesmo, e x (<<ℓ) é o afastamento horizontal quando o pêndulo é levado do ponto O ao ponto b, conforme está ilustrado na Figura 1. Figura 1 T T ℓ A seguir, com base em princípios fundamentais, será discutida a colisão entre dois pêndulos simples de mesmo comprimento. Considerem-se dois pêndulos, de massas m1 e m2, sendo m1 < m2, dispostos de forma que suas posições de equilíbrio correspondam às esferas em ligeiro contato, isto é, tangenciando-se mutuamente, como mostra a figura 2. A esfera de massa m1 é deslocada de sua posição de equilíbrio, ao longo de um pequeno arco de circunferência, cuja projeção sobre a mesa é o afastamento horizontal x em relação à origem, conforme está mostrado na Figura 1. Quando a esfera é solta, m1 adquire velocidade crescente ao longo de sua trajetória e colide com a massa m2 que está no ponto mais baixo do arco de circunferência. No “instante” da colisão, a única força na direção horizontal que atua sobre m1 é a força exercida pela esfera colidida (isto é, m2). Considerando-se o sistema formado pelas massas m1 e m2, no “instante” da colisão, o momento linear do sistema na direção horizontal é conservado, pois a componente horizontal da resultante das forças externas exercidas sobre ele é nula. A conservação do momento linear do sistema formado pelas massas m1 e m2 no “instante” da colisão será examinada com maior detalhe no Apêndice I. O momento linear do sistema imediatamente antes da colisão, pantes, é dado por pantes = m1 vo (2) onde vo é a velocidade da massa m1 no instante que esta atinge o ponto mais baixo de sua trajetória. Após a colisão, o momento linear do sistema é distribuído entre m1 e m2, de tal modo que estas massas adquirem velocidades v1 e v2 respectivamente. O momento linear pdepois do sistema, logo após a colisão, passa a ser expresso por: pdepois = m1v1 + m2v2 (3) Convém observar que as equações (2) e (3) têm caráter vetorial, mesmo estando todos os vetores na mesma direção. Cada uma dessas velocidades pode ser calculada a partir da equação (1), onde o período Tp e o afastamento x são obtidos experimentalmente. A conservação do momento linear do sistema é expressa por: pantes = pdepois (4) Figura 2 No caso de uma colisão perfeitamente elástica, além da conservação do momento linear, ocorre também a conservação da energia cinética (isto é, Kantes = Kdepois.). As expressões de Kantes e Kdepois. são dadas, respectivamente, por: Kantes ≡ Ko = 2o1vm2 1 (5) Kdepois ≡ K1 + K2 = 222211 vm2 1vm 2 1 + (6) No caso de uma colisão inelástica, existe transformação de energia cinética em outros tipos de energia (deformação, por exemplo) e, assim, Kantes> Kdepois. Numa colisão perfeitamente inelástica, as velocidades de m1 e m2 após a colisão são iguais, isto é, v1 = v2 = V. A velocidade V do sistema, após a colisão, também pode ser calculada a partir da equação (1), onde o período Tp e o afastamento x são obtidos experimentalmente. Para a colisão inelástica, a expressão (3) passa a ser: pdepois = ( m1+ m2) V (7) Apêndice I - A conservação do momento linear Sejam duas partículas de massas m1 e m2 cujo movimento, restrito ao eixo x, foi iniciado no instante t=0 (vide Figura Ia). Considere que uma força F1 atue em m1 e F2 atue em m2 de forma que as duas partículas se aproximam uma da outra em rota de colisão. Em um dado instante, tcol, as partículas começam a se tocar dando início ao processo de colisão (vide Figura IIb). Durante este processo além da força externa F2, age sobre a partícula de massa m2 a força de interação F12 devida à colisão com a partícula de massa m1. Sobre a partícula de massa m1 além da força externa F1 age também a força de interação F21 devida à colisão com a partícula de massa m2. Estas forças de interação, que aparecem em razão do processo de colisão entre as partículas, são forças internas ao sistema formado por elas. A soma vetorial destas duas forças F12 e F21, é nula, em decorrência da 3ª lei de Newton (elas formam um par ação – reação): F12 + F21 = 0 (I.1) O intervalo de tempo ∆t , durante o qual agem as forças de interação é muito pequeno. Trata-se do “instante” mencionado no texto. A dependência temporal destas forças não é simples (vide gráfico à direita da Figura IIb). Apesar da curta duração, as forças de interação ou forças internas podem alterar significativamente as velocidades das partículas (vide Figura IIc). Nos instantes t < tcol e t > tcol + ∆t o movimento das partículas é regido pelas equações: m1a1 = F1 (I.2a) m2a2 = F2 (I.2b) onde a1 e a2 são as acelerações das partículas de massas m1 e m2 respectivamente. Figura II No intervalo de tempo entre tcol e tcol + ∆t além das forças externas F1 e F2 agem também as forças de interação F12 e F21 devidas à colisão entre as partículas. As equações de movimento são então: m1a1 = m1 dv dt 1 = F1 + F21 (I.3a) m2a2 = m2 dv dt 2 = F2 + F12 (I.3b) Somando (II.3a) e (II.3b) e fazendo uso de (II.1) vem: d dt ( m1v1 + m2v2 ) = F1 + F2 (I.4) onde foi considerado que m1 e m2 não dependem do tempo. Sendo o momento linear total do sistema a soma dos momenta das partículas, p = m1v1 + m2v2 e chamando de força externa total a soma Fext = F1 + F2, a equação (II.4) fica: p ext t d = F d (I.5) Note que as forças de interação F12 e F21 (forças internas no sistema constituído pelas partículas de massas m1 e m2) não aparecem nesta equação. Se o somatório das forças externas atuando no sistema for nulo (ou seja, se a resultante das forças externas for igual a zero), o momento linear total do sistema será constante, isto é, independente do tempo: p t d d = 0 ou p = constante (I.6) ou seja, p tem o mesmo valor antes, durante e depois da colisão. Esta é a lei de conservação do momento linear e pode facilmente ser generalizada para um sistema de muitas partículas. Apêndice II - Velocidade do pêndulo no ponto mais baixo de sua trajetória Nosso pêndulo simples é constituído por uma massa M conectada a um suporte por um fio de comprimento ℓ, supostamente inextensível, e de massa desprezível. Duas forças agem sobre o pêndulo: a força gravitacional P; e a tensão no fio Τ. O sistema possui uma posição de equilíbrio estável na qual essas duas forças são verticais e opostas. Quando o pêndulo se encontra em repouso, as forças P e Τ têm mesmo módulo. Ao ser afastado da origem, o pêndulo adquire energia potencial gravitacional (U = MgH) e as forças que atuam no pêndulo deixam de ser colineares. Quando solto, o pêndulo apresenta um movimento oscilatório em torno do ponto mais baixo de sua trajetória (a origem O), a qual é um arco de circunferência. A velocidade linear do pêndulo no instante em que a massa M passa pela origem pode ser calculada de acordo com o princípio da conservação de energia mecânica. Toda a energia potencial é transformada em energia cinética: MgH Mv= 1 2 2 (II.1) ou v 2gH= (II.2) onde H corresponde à altura que o pêndulo adquire quando afastado horizontalmente da posição de equilíbrio de uma distância x. Não é muito fácil medir a altura H. É mais fácil medir a distância x. Vamos então expressar a velocidade v em termos do afastamento horizontal x. Para isto notamos que na posição de altura máxima H ℓ 2 = x2 + (ℓ - H)2 (II.3) T T ℓ ℓ -H Desenvolvendo (II.3) obtemos 2 2 2 H2 H x 1 x ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ ? (II.4) No caso desta experiência, H2 << x2. Podemos então desprezar o termo H2/x2 em relação a 1 e escrever de maneira aproximada: 2xH 2 = ? (II.5) Substituindo (II.5) em (II.2) tem-se: gv x≈ ? (II.6) Em termos do período do pêndulo pT 2 g = π ? (II.7) temos p g 2 T π=? (II.8) Agora, levando (II.8) em (II.6) chegamos à expressão desejada, que fornece v em termos de x xv pT 2π≈ (II.9) Note que o período é independente da massa na aproximação de pequenas oscilações que estamos considerando. Bancada ___________ Data________________ Turma_____ Nome: ________________________________________________________ Procedimento Experimental: COLISÕES EM UMA DIMENSÃO 1. Meça o período Tp de um dos pêndulos. Para tanto, deixe a massa oscilar a partir de um afastamento x. O período Tp pode ser definido como sendo o tempo decorrido desde o instante em que a massa do pêndulo deixa a posição de maior afastamento da vertical, até o instante em que ela retorna à mesma posição. Determine um intervalo de tempo ∆t correspondente a n períodos, de modo que Tp = ∆t / n. Se você considerar n = 5, por exemplo, seu resultado terá menor incerteza do que se medir apenas um único período. Período Tp de um dos pêndulos = ________________ Massa m1 do pêndulo 1 = ______________________ Massa m2 do pêndulo 2 = ______________________ 2. Colisão elástica 2.1- Desloque a esfera de massa m1 (m1 < m2) de sua posição de equilíbrio e meça cuidadosamente o afastamento horizontal x0. 2.2- Solte então o pêndulo de massa m1 e meça os afastamentos x1 e x2 de cada uma das duas esferas, m1 e m2, respectivamente, após a colisão. 2.3- Para tanto, determine primeiro o afastamento x1, coloque o sistema em equilíbrio e volte a soltar a esfera de massa m1 da mesma posição x0 anterior. Meça agora o afastamento x2 da esfera m2. 2.4- Repita o procedimento descrito acima para outros afastamentos x0 e preencha a tabela. Atente às unidades ao preencher a tabela x0 ( ) x1 ( ) x2 ( ) pTotal antes ( ) p1 depois ( ) p2 depois ( ) pTotal depois ( ) xv pT 2π≈ 2.5- Para cada valor de x0 determine a variação percentual relativa da quantidade de movimento. 100 x p |)p(p| antes antesdepois − x0 % Média 2.6- Preencha a tabela abaixo. Lembre-se que a energia cinética pode ser calculada como K = p2/2m. 2.7- Para cada valor de x0 determine a variação percentual relativa da energia cinética depois antes antes K -K 100 K × . x0 % Média x0 ( ) K0 ( ) K1 ( ) K2 ( ) KTotal depois ( ) 07 Colisões no plano Roteiro .pdf COLISÃO EM 2 DIMENSÕES Objetivo O objetivo desta experiência é estudar o processo de colisão entre dois corpos, verificando, experimentalmente, o princípio da conservação do momentum linear em sua forma vetorial. Introdução As propriedades do movimento de queda de um corpo serão usadas para facilitar o estudo dos princípios de conservação da quantidade de movimento e energia na colisão. Em sendo assim, considere inicialmente uma rampa de lançamento cuja ilustração esquemática aparece na Figura 1. Uma esfera de massa m1 é largada de um ponto da rampa, a partir do repouso, de modo a rolar sem deslizar até projetar-se no ar com uma velocidade rv0 , na direção horizontal. Após deixar a rampa, a trajetória da esfera é um trecho de parábola, conforme está ilustrado na Figura 1. Figura 1 O sistema tridimensional de coordenadas escolhido tem como origem o ponto em que a esfera deixa a rampa. A direção y é a direção vertical e o sentido positivo é da rampa para a mesa. A Figura 1 mostra a projeção, sobre a mesa, dos eixos x e z. As equações paramétricas da trajetória parabólica da esfera no ar são as seguintes: 2gt 2 1 y = (1) t0vx = (2) Eliminando-se t nas equações (1) e (2) obtém-se: y g 2v x 0 2 2= (3) onde g é a aceleração da gravidade e v0 a velocidade com que a esfera deixa a rampa. o Z Quando a esfera atinge a superfície da bancada ( y = H ), o afastamento horizontal é o alcance ( x = d ). Neste caso, substituindo H e d na equação (3), que descreve matematicamente a trajetória parabólica (y = kx2), podemos calcular o módulo da velocidade de lançamento v0: d 2H g v0 = (4) Considerando a aceleração da gravidade local igual a 979,0 cm/s2, a relação (4) pode ser re-escrita como: )s cmd( H 22,125 v0 = (5) Considere agora a ilustração mostrada na Figura 2. Trata-se de uma situação na qual uma segunda esfera, de massa m2, foi posicionada ao final da rampa de lançamento de modo a que a colisão se processasse fora da rampa e com os centros de massa das esferas alinhados na horizontal. O princípio físico fundamental envolvido numa colisão é a conservação da quantidade de movimento (ou momentum linear), cuja expressão matemática vetorial é: r r P PTotalant Total dep= (6) Lembremos que a conservação do momento linear total ocorre quando não há forças externas atuando no sistema e as forças internas se cancelam. Em nossa experiência, embora as forças internas que agem durante a colisão efetivamente se cancelem, há uma força externa (gravidade) atuando na direção y; logo, nesta direção não há conservação de momento linear total. Mas no plano horizontal xz (representado nas Figuras 1 e 2) as forças externas são desprezíveis, de modo que as componentes x e z do momento linear total se conservam. Portanto, a componente do momento linear total no plano xz é a mesma antes e depois da colisão. As direções de queda das esferas ficam definidas pelos vetores quantidade de movimento das esferas logo após o choque, pois os alcances são proporcionais às velocidades de lançamento das esferas. Pelas equações de (1) a (5), podemos escrever uma equação vetorial do tipo: d H 22,1 v rr = (7) A quantidade de movimento total é dada pela soma vetorial das quantidades de movimento de cada corpo do sistema. Neste caso, entretanto, a esfera 2, de massa m2, está em repouso antes da colisão. Assim, a quantidade de movimento do sistema antes da colisão é apenas a quantidade de movimento da esfera de massa m1, que é dada por: dkmvmP 101 ant Total rrr == (8) onde H 22.1 k = é uma constante pois as trajetórias de ambas as esferas têm como projeção vertical inicial a mesma altura H. Em decorrência do princípio de conservação acima mencionado a componente no plano xz da quantidade de movimento total após a colisão é dada por: ( ),,,, 22112211depTotal dmdmkvmvmP rrrrv +=+= (9) Considerando-se as equações de (6) a (9), tem-se: m d m d m d1 1 1 , 2 2 ,r r r= + (10) Figura 2 O1 O2 Z Bancada ___________ Data________________ Turma_____ Nome: ________________________________________________________ Procedimento Experimental: COLISÕES EM 2 DIMENSÕES m1 = m2 = m m = _______ g 1. Meça a altura H de lançamento. H = ______________ 2. Por meio do fio de prumo marque no plano horizontal o ponto do lançamento para as duas esferas. 3. Com a segunda esfera afastada da trajetória de colisão solte a esfera incidente de uma altura h e meça o alcance d0. 4. Determine o módulo da velocidade de lançamento v0 através da medida do alcance d0. = 00 22,125 cmv d ( )sH rr d0 = ______________ v0 = ______________ 5. Trace uma linha da origem de lançamento da esfera incidente até o ponto de impacto desta com o solo. Esta direção será escolhida como o eixo x que é paralelo ao vetor velocidade de lançamento. O eixo z será na direção perpendicular a esta. 6. Preencha a tabela. Vetor alcance Componentes Vetor Momentum Componentes Posição de Lançamento módulo x ( ) z ( ) módulo px ( ) pz ( ) Inserir valor d0 7. Coloque a segunda esfera, na posição de colisão e solte novamente a esfera incidente, da mesma altura h anterior. Observe que as esferas cairão no solo em posições definidas pelos vetores 1d r e 2d r conforme está ilustrado na Figura. 8. Preencha a tabela. Vetor alcance Componentes Vetor Momentum Componentes Posição de Lançamento módulo x( ) z( ) módulo px( ) pz( ) d1 Inserir valor d2 9. Dado que as massas são iguais, verifique vetorialmente (pela regra do paralelogramo), a conservação da quantidade de movimento antes e depois da colisão. o1 o2 Z 08 Momento de Inércia Roteiro.pdf Momento de Inércia Objetivo Estudar a variação do momento de inércia de um sistema de massa constante em função da distribuição de sua massa. Introdução Seja uma partícula de massa m1 girando numa circunferência horizontal de raio R1 com velocidade constante v1. Sua energia cinética é T1 = ½ m1 v12. Esta expressão não se altera quando multiplicamos e dividimos v12 por R12 : T1 = ½ m1 R12 ( v12 / R12 ). Podemos então escrever a energia cinética da partícula em termos de sua velocidade angular ω = v1 / R1 de modo que T1 = ½ m1 R12 ( v12 / R12 ) = ½ m1 R12 ω2. Acrescentemos ao nosso sistema outra partícula, de massa m2 , girando numa circunferência horizontal concêntrica à primeira, mas de raio R2 e com velocidade constante v2 tal que ω = v2/ R2 , ou seja, ela tem a mesma velocidade angular que a primeira. Ao escrever a energia cinética total do sistema T1 + T2 = ½ m1 v12 + ½ m2 v22 em termos da velocidade angular ω, esta pode ser posta em evidência, por ser a mesma para ambas as partículas: T1 + T2 = ½ [ m1 R12 + m2 R22 ] ω2. Nota-se que a expressão obtida é análoga à que se escreve em termos da velocidade v, sendo esta última substituída pela velocidade angular ω e a massa substituída pelo termo I = [ m1 R12 + m2 R22 ] ou seja T1 + T2 = ½ I ω2 Acrescentando novas partículas com massas diferentes e trajetórias circulares horizontais concêntricas, mas com raios diferentes, a energia cinética total do sistema com n partículas será T = ½ I ω2 com I = m1R12 + m2 R22 + . . . + mnRn2. Este é o momento de inércia do sistema em relação ao eixo que passa pelo seu centro e que é o eixo de rotação de nosso sistema. Nota-se que, embora exerça um papel análogo ao da massa, trata-se de quantidade mais complexa, pois depende também da disposição das massas em relação ao eixo de rotação. Dois sistemas com a mesma massa e o mesmo eixo de rotação terão momentos de inércia diferentes se as massas que os compõem tiverem diferentes distâncias em relação ao eixo. Até aqui tratamos de um sistema de partículas pontuais, todas com a mesma velocidade angular ω. Consideremos agora um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo. Todas as partículas que o compõem têm a mesma velocidade angular. Torna-se então muito fácil escrever sua energia cinética: T = ½ I ω2 , restando calcular I. Já vimos acima que o momento de inércia total é a soma dos momentos de inércia parciais. Se dividirmos o corpo rígido em partículas com massas infinitesimais dm = ρ dV, onde ρ é a densidade volumétrica de massa do corpo, o momento de inércia total será a soma, no caso a integral, sobre os momentos de inércia de todas as partículas de massa dm I = ∫ R2 dm = ∫ R2 ρ(R) dV onde R é a distância da partícula de massa dm ao eixo de rotação e a integral se calcula sobre todo o volume do corpo. Dependendo do formato do corpo e da variação de ρ com a posição, o cálculo direto da integral pode ser difícil. Daí a importância da análise de simetrias e do uso de vários teoremas que podem ajudar a calcular o momento de inércia. Considere o sistema ilustrado na figura 1. O objeto apoiado sobre a mesa pode girar livremente em torno de seu eixo. Ele é constituído por um cilindro de alumínio de raio R onde é montada uma haste também de alumínio. Dois discos de latão de massa M podem ser colocados simetricamente na haste de alumínio a uma distância d do eixo de rotação. Dessa forma, variando d é possível variar a distribuição de massa do objeto, variando assim o seu momento de inércia I, sem variar a sua massa. Um fio de massa desprezível é enrolado no cilindro de alumínio e em sua outra extremidade é colocado um pequeno cilindro de massa m. O fio passa por uma roldana de raio r e momento de inércia i. O peso do cilindro faz com que a roldana gire e provoca um torque no objeto que está sobre a mesa. A aceleração de queda a da massa m depende do momento de inércia do objeto I. Figura 1 (observe que esta figura está fora de escala, pois r>R) m r R As forças atuando no sistema estão assinaladas na Figura 1. Podem-se escrever as equações para: (1) o movimento de translação da massa m; (2) a rotação da roldana; e (3) a rotação do objeto do qual se quer medir o momento de inércia. Tem-se: 1 1 2 2 mg-T m ( ) (T -T ) r ' ( ) T R I ( ) =⎧⎪ =⎨⎪ =⎩ a iα α 1 2 3 As tensões T1 e T2 têm que ser diferentes, do contrário a roldana não gira. Este sistema de equações pode ser resolvido sabendo que a = α’r = α R. A soma das equações (1) e (2) com a substituição T2 por Ia/ R2 , expressão esta obtida de (3), resulta em: 2 2 2 R rIi1 a gmr +=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − (4) Uma vez que a roldana possui uma massa muito pequena, seu momento de inércia é desprezível frente ao momento de inércia do objeto, i << I. Além disso, no sistema experimental tem-se a condição r > R. Assim, o primeiro termo do lado direito da equação (4) pode ser desprezado em relação ao segundo termo e com isso tem-se uma relação do momento de inércia do objeto I com a aceleração de queda a da massa m: ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1 a gmRI 2 (5) A aceleração a pode ser medida através da cronometragem do tempo t que a massa m leva para cair, em movimento uniformemente acelerado, de uma altura H: 2t 2H=a (6) As equações (5) e (6) serão utilizadas na determinação experimental do momento de inércia I para uma dada configuração geométrica do sistema. Propriedades do momento de inércia O momento de inércia de um sistema de corpos em relação a um eixo fixo é dado por: I = I1 + I2 + ... + In (7) Sendo ICH o momento de inércia do sistema cilindro de alumínio mais haste e ID o momento de inércia de cada disco de latão, pode-se escrever uma relação para o momento de inércia total do objeto sobre a mesa. I = ICH + 2 ID (8) O momento de inércia ID pode ainda ser escrito em termos da distância d de acordo com o teorema dos eixos paralelos: ID = ID(centro de massa) + Md2 (9) onde ID (centro de massa) é o momento de inércia de um disco em relação a um eixo paralelo ao seu diâmetro, passando pelo seu centro de massa. Substituindo (9) em (8) vem: I = I0 + 2Md2 (10) onde I0 = ICH+2ID (centro de massa) é independente da variável d e permanece constante durante a experiência. BANCADA ___________ DATA________________ TURMA_____ Nome: ________________________________________________________ PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL: MOMENTO DE INÉRCIA 1. Fixe os discos de latão em posições eqüidistantes do eixo de rotação medindo a distância d entre o eixo e o centro de massa dos discos. Comece de modo que a distância entre os discos seja a menor possível. Enrole o fio no cilindro de alumínio. Em conseqüência, o pequeno cilindro de massa m será elevado de uma altura H. 2. Anote os valores de H, m, M, R e g ( = 979cm / s2). H = __________________ m = __________________ M = __________________ R (raio do suporte de alumínio) = 1,65 cm m rR 3. Solte a haste e meça o tempo de queda t da massa m. Repita o procedimento 3 vezes. 4. Varie a distância d entre os discos de latão e o eixo de rotação e repita o procedimento acima preenchendo a tabela. Lembre que ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 1t 2H gmRI 22 tempo de queda (s) d (cm) t1 t2 t3 tmédio I (g.cm2) 5. Trace um gráfico em papel linear de I em função de d2. A partir do gráfico, determine os valores de M e de I0. - M (a partir do gráfico de I em função de d2 ) = __________________ - I0 (a partir do gráfico de I em função de d2) = _________________ Lembre-se que I = I0 + 2Md2 09 Momento Angular 1 Roteiro.pdf CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR (partículas pontuais) Objetivo Determinar experimentalmente a conservação do momento angular numa colisão entre partículas pontuais, por meio de experiência envolvendo a colisão entre dois pêndulos, cujas massas são tratadas como partículas, sendo desprezíveis as massas dos fios. Introdução Vamos tomar como origem de nosso sistema de coordenadas o ponto onde está o pino no qual se prende o pêndulo. Este ponto é indicado pela letra a na Figura 1. Quando o pêndulo de comprimento ℓ passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória, a resultante das forças que atuam sobre sua massa está na direção vertical. Sendo assim, no instante em que o pêndulo passa por este ponto, o torque resultante atuando sobre ele é nulo, uma vez que neste ponto o vetor posição da massa também está na direção vertical, fazendo um ângulo de π radianos com a força resultante; assim o produto vetorial r x F = 0. Além disso, o módulo da velocidade linear v do pêndulo é máximo neste ponto e é dado aproximadamente pela expressão (1). x T πv p 2≈ (1) onde Τp é o período do pêndulo, o qual independe da massa do mesmo, e x (<<ℓ ) é o afastamento horizontal quando o pêndulo é levado do ponto O ao ponto b, conforme está ilustrado na Figura 1. Como v = ω ℓ, a velocidade angular ω do pêndulo pode ser obtida dividindo-se a velocidade linear pelo comprimento do pêndulo e o seu momento de inércia rotacional I em relação ao pino pode ser calculado através de I = mℓ 2. O produto destas duas grandezas Iω é igual ao módulo do momento angular L do pêndulo em relação ao pino localizado no ponto a. Considere agora um sistema formado por dois pêndulos de massa m1 e massa m2 ambos de comprimento ℓ. Quando um dos pêndulos é afastado da sua posição de equilíbrio, a força da T T ℓ gravidade provoca um torque, em relação pino de sustentação, fazendo com que o pêndulo de massa m1 ganhe velocidade angular e colida com o pêndulo de massa m2 que está parado. Se a colisão for perfeitamente inelástica, os dois corpos permanecerão juntos após a colisão. Consideremos as forças internas ao sistema, F 21 e F 12. Como o torque provocado pela colisão no pêndulo de massa m1 é ℓ F21 na direção –z, o torque no pêndulo de massa m2 é ℓ F12 na direção +z e as forças de colisão F12 e F21 formam um par ação e reação, o torque resultante é zero. Portanto, o torque interno é nulo; o externo também é nulo, como já foi visto no primeiro parágrafo desta introdução. Assim, o torque total é nulo e consequentemente podemos afirmar que o momento angular imediatamente antes é igual ao momento angular imediatamente depois da colisão. Independentemente da colisão ser elástica ou inelástica, haverá conservação do momento angular. Como é muito pequena a duração da colisão podemos desprezar o deslocamento das massas durante o processo de interação. Admitindo-se esta aproximação, podemos facilmente determinar a velocidade angular do conjunto logo após a colisão, através de: XT πvω p depois ?? 2≈= (2) onde Tp é o período do pêndulo e X é a projeção horizontal do deslocamento das duas massas m1 e m2 logo após a colisão. A expressão da conservação do momento angular neste caso pode ser dada por: Iantes ωantes = Idepois ωdepois (3) onde Iantes é o momento de inércia do pêndulo de massa m1 (m1 ℓ2) e Idepois é o momento de inércia do pêndulo formado pelas duas massas m1 e m2 [(m1+ m2) ℓ2]. Note que como o momento angular se conserva e o momento de inércia aumenta após a colisão, a velocidade angular após a colisão vai diminuir. Bancada ___________ Data________________ Turma_____ Nome: ________________________________________________________ Procedimento Experimental: CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR – (PARTÍCULAS PONTUAIS) 1. Meça o período Tp de um dos pêndulos. Para tanto, deixe a massa oscilar a partir de um afastamento qualquer. O período Tp pode ser definido como sendo o tempo decorrido desde o instante em que a massa do pêndulo deixa a posição de maior afastamento da vertical, até o instante em que ela retorna à mesma posição. Determine um intervalo de tempo ∆t correspondente a n períodos, de modo que Tp = ∆t / n. Se você considerar n = 5, por exemplo, seu resultado terá menor incerteza do que se medir apenas um único período. Período Tp de um dos pêndulos = ________________ Massa m1 (m1 < m2) do pêndulo 1 = _______________ Massa m2 do pêndulo 2 = ______________________ Comprimento ℓ dos pêndulos = 210 cm 2. Cálculo dos momentos de inércia rotacional. Iantes = m1ℓ2 = ______________________ Idepois = (m1+ m2)ℓ2 = ______________________ 3. Colisão perfeitamente inelástica 3.1- Para estudar a colisão inelástica coloque uma pequena quantidade de massa de modelar entre as duas esferas. 3.2- Em seguida, desloque a esfera de massa m1 de sua posição de equilíbrio e meça cuidadosamente o afastamento horizontal xantes. 3.3- Solte então o pêndulo de massa m1 e meça o deslocamento xdepois do conjunto (m1 + m2) após a colisão. 3.4- Repita o procedimento descrito acima para outros afastamentos xantes e preencha a tabela calculando as velocidades angulares antes e depois da colisão e as energias cinéticas antes e depois da colisão. x T πvω p?? 2≈= Atente às unidades ao preencher a tabela xantes ( ) xdepois ( ) ωantes ( ) ωdepois ( ) Kantes ( erg ) Kdepois ( ) 3.5- Calcule o momento angular antes Lantes e o momento angular depois Ldepois da colisão. Escreva em notação científica utilizando 2 algarismos significativos. Lantes ( ) Ldepois ( ) 3.6- Faça um gráfico em papel linear de Lantes em função de Ldepois e verifique se a inclinação da reta é aquela esperada em decorrência da conservação do momento angular. 3.7- Para cada valor de xantes determine a variação percentual relativa da energia cinética 100 x K )K(K antes antesdepois − . xantes % Média Normas .pdf LABORATÓRIOS PIERRE LUCIE PUC-RIO NORMAS PARA O FUNCIONAMENTO DDOO LLAABBOORRAATTÓÓRRIIOO DDEE MMEECCÂÂNNIICCAA NNEEWWTTOONNIIAANNAA FIS 1027 e FIS1034 1-É obrigatória a presença às aulas em sua turma. Não será atribuída em nenhuma hipótese a presença no caso do aluno assistir aula em outra turma diferente daquela em que está matriculado. A possibilidade de assistir aula em outra turma está vinculada à autorização do professor e à existência de bancadas disponíveis na sala. 2-A duração de cada aula é de 2 horas, sendo importante que se inicie no horário determinado. 3-A tolerância de atraso para a entrada em sala de aula dos alunos é de 10 minutos. 4-As experiências em sala serão realizadas em dupla. Os relatórios e gráficos serão feitos individualmente. 5-A avaliação do rendimento do aluno no laboratório será feita através de duas provas, PL1 (experimentos de 1 a 5) e PL2 (experimentos de 6 a 10) 6-Não será atribuído grau ao aluno que fizer prova em outra turma diferente daquela em que está matriculado. 7-Os alunos poderão ter no máximo 2 faltas nas aulas referentes a cada prova, MAS O NÚMERO TOTAL DE FALTAS NO SEMESTRE NÃO PODE SER SUPERIOR A 3. Caso o aluno tenha três ou mais faltas em aulas referentes à PL1 ou à PL2 , será atribuído grau ZERO na respectiva prova. Não há abono de faltas, em nenhuma circunstância, como se pode verificar na DAR (normas acadêmicas). 8-A média final do laboratório será calculada da seguinte forma: Se GL2 ≥ 3,0 L = ( GL1 + GL2 ) / 2 Se GL2 < 3,0 L = ( GL1 + 3 GL2 ) / 4 O aluno estará aprovado no Laboratório se GL ≥ 5. Guia para confecção de gráficos.pdf Guia para confecção de gráficos 1. Roteiro para obter um bom gráfico Gráficos são uma das principais maneiras de se apresentar e analisar dados em ciência e tecnologia. Devem ser claros e conter um título, eixos, escalas, unidades e barras de erro. A lista abaixo é de utilidade para que o iniciante não se esqueça de alguns quesitos necessários para que o gráfico seja bem interpretado e efetivamente útil. - Escolha a área do papel com o tamanho adequado. Em geral a relação de aspecto (altura / largura) deve ser menor do que 1, pois o gráfico será de mais fácil leitura (por esta razão é que a tela de cinema e a da televisão tem relação de aspecto menor do que 1). No entanto, em alguns casos, em função de uma escala mais adequada, utiliza-se uma relação maior do que 1. - Desenhe os eixos claramente: a variável dependente deve estar sempre no eixo vertical (y) e a variável independente no eixo horizontal (x). - Marque nos eixos as escalas, escolhendo divisões que resultem em fácil leitura de valores intermediários (por exemplo, divida de 2 em 2, ou de 5 em 5, e não de 7,7 em 7,7). - Se adequado, cada um dos eixos deve começar em zero. - Marque abaixo do eixo horizontal e ao lado do eixo vertical o nome da variável ali representada e, entre parênteses, as unidades usadas. - Escreva, na parte superior da área do gráfico, o título do gráfico ou uma legenda breve explicando de que se trata o gráfico. - Marque cada um dos pontos do gráfico cuidadosamente e claramente, escolhendo para isto um símbolo adequado e de tamanho facilmente visível (por exemplo, um círculo ou um quadradinho) com um pontinho no centro. Nunca marque os pontos apenas com um pontinho do lápis. - Se a experiência que estiver realizando envolver análise de erros, marque claramente as barras de erro em cada ponto. Se o erro for muito pequeno para aparecer na escala escolhida anote ao lado: "as barras de erro são muito pequenas para aparecer na figura". - Trace uma linha suave que melhor se ajuste aos pontos, e que represente o maior número de pontos, não deixando todos os pontos acima (ou abaixo) da curva. Se os erros forem aleatórios, aproximadamente 1/3 das barras de erro poderão ficar fora da linha. 2. Exemplos Um gráfico bem feito é talvez a melhor forma de apresentar os dados experimentais. Tem muitos parâmetros que devem ser escolhidos criteriosamente como a função a ser representada, as escalas dos eixos, o tamanho, o símbolo para os pontos experimentais, etc. A função que você vai representar depende do tipo de informação que você quer extrair ou transmitir e como se encaixa esta informação no argumento que você está seguindo para demonstrar algo. Por exemplo, se seus dados descrevem o movimento de queda livre de uma partícula, você pode representar x(t) se quer mostrar visualmente que o movimento é parabólico, mas se quiser determinar a aceleração da gravidade é mais conveniente representar x(t2) já que aceleração pode ser extraída da inclinação desta reta. O guia para as outras escolhas deve ser sempre o conceito de que um gráfico é uma ajuda visual para a sua argumentação e para que o leitor entenda rapidamente as evidências experimentais. Você deve escolher o tamanho do gráfico de modo que caibam na folha de papel do seu texto (seja este no seu caderno de laboratório, relatório ou artigo), ocupando não mais que a metade da folha. Isto não é um critério estético, é um critério de eficácia da apresentação baseada no fato de que dificilmente alguém consegue focalizar os olhos numa área maior a uns 30 cm dos seus olhos. A Figura 1 ilustra um gráfico eficiente para mostrar que, dentro do erro experimental, os dados seguem um determinado modelo teórico. Figura 1. Exemplo de gráfico bem feito. Os mesmos dados experimentais da Figura 1 estão representados novamente nos quatro gráficos da Figura 2 para ilustrar defeitos típicos. Figura 2. Exemplos de gráficos mal feitos. -O tamanho dos pontos deve ser tal que cada ponto seja bem visível; nem muito pequeno como no gráfico 2.1 nem exagerado como no gráfico 2.2, onde o tamanho do símbolo é maior que a barra de erro para a maioria dos pontos. -No gráfico 2.2, os números das escalas são difíceis de ler. -No gráfico 2.3 as escalas foram mal escolhidas, desaproveitando a área; o fator 1/70 e os números das marcas da escala horizontal dificultam a leitura. -No gráfico 2.4 a escala horizontal não deve ser indicada com os valores individuais dos pontos. 3. Referências 1. Guia para Física Experimental - Caderno de Laboratório, Gráficos e Erros- Instituto de Física, Unicamp, IFGW, 1997.
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A) A ...
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A) A abolição da escravatura em todos os...
- Qual das alternativas abaixo caracteriza o fenômeno da 'precarização' no mundo do trabalho causado pelo capitalismo?
A) Redução da jornada de traba...
- Segundo a teoria do materialismo histórico de Karl Marx, qual seria o fator central na mudança das estruturas sociais?
A) Transformações culturais
...
- Qual das alternativas a seguir NÃO representa um fator que contribui para a desigualdade dentro do capitalismo?
A) Concentração de riquezas nas mão...
- Como deve ser realizado o uso, manutenção e calibração dos equipamentos médicos para garantir a segurança e eficácia?
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