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APENDICE
A
TOPICOS ADICIONAIS
E dif{cil dar uma ideia global do vasto campo da Matemdtica moderna. A palavra "campo"
niio e mais adequada: tenho em mente um espafo fervilhando de belos detalhes, niio a vastidffo
uniforme de uma planicie nua, mas uma regiiio de um bela pais, inicialmente vista a distdncia
ma~ merecedora de ser examinada de um extremo a outro e estudada em seus minimos detalhes:
seus vales, rios, montanhas, florestas e flores.
Arthur Cayley
A.1 MAIS INFORMACOES SOBRE NOMEROS:
NOMEROS IRRACIONAIS, NOMEROS PERFEITOS E NOMEROS PRIMOS
DE MERSENNE
Referimo-nos diversas vezes na Se9ao 1.2 ao fato de que ..j2 e urn numero irracional. A
demonstra9ao desse fato, que e tradicionalmente atribuida a Pitagoras, e urna das primeiras
produ90es intelectuais da civiliza9ao ocidental e ainda retem seu vigor e interesse . Ela merece ser
inc1uida aqui , tanto por seu proprio .valor como por ser uma introdu9ao as propriedades dos
numeros irracionais.
Iniciamos relembrando que os numeros pares sao os inteiros O, ±2,±4, .. . , que podem ser
escritos na forma geral 2n para algum inteiro n, e que os numeros impares sao os inteiros ± 1 , ± 3 ,
± 5, .'" que pod em ser escritos na forma geral 2n + 1. E facil ver que 0 quadrado .de urn numero par
e par , pois (2n)2 = 4n2 = 2(2n2) , e 0 quadrado de urn nlimero impar e impar, pois (2n+l)2 =
4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1. Apos essas preliminares, estamos prontos para provar que Vi nao
e racional. Vamos supor que seja - contrariamente ao que desejamos estabelecer -, de modo que
V2 = alb para certos inteiros positivos a e b. Podemos supor que a 'e b nao tern fatores
592
Topicos adicionais 593
comuns> 1, pOis , se tivessem, poder{amos cancela-los ate nao sobrar nenhurn. Logo ficara claro
que a possibilidade de fazer essa suposi~ao sem perda de generalidade e crucial para a demons-
tra~ao . Agora, a equa~ao Y2 = al b implica que 2 = a2 1b2 ; logo a2 = 2b2 e a2 e par. Isto implica
que a e tambem par, pois, se fosse {mpar, entao a2 seria {mpar. ~omo a e par, ele tern a forma
a = 2c para algum inteiro c e , portanto , 4c2 = 2b 2 OU b2 = 2c2 ; logo b 2 e par. Como anterior-
mente , isto implica que b e par. Mas, como a e b sao ambos pares, eles tern 2 como fator
comum. Isto contradiz nossa suposi~ao inicial e mostra que nao pode ser verdade a afirma~ao
de que Y2 e racional. Cnegamos portanto a conclusao desejada:.J2 e irracional.
E, com freqiiencia, bern dificil determinar se urn dado nfunero e ou nao racional. Por
exemplo , 0 fato de que rr e irracional nao tinha sido provado ate 1761. ' Provaremos tal
circunstancia mais tarde , por meio de algurn racioc1nio bastante complicado, que depende do
caIculo das fun~oes trigonometricas. Infelizmente, nenhuma prova realmente simples e conhecida
ate hoje.
o argumento pitag6rico dado aqui para Y2 e essencialmente urn argumento da Teoria
Elementar dos Numeros , pois depende apenas de propriedades relativamente simples de
inteiros positivos. Ha muitas especies interessantes de inteiros positivos, com uma grande
variedade de propriedades notaveis que tern fascinado pessoas interessadas ao longo dos anos.
Mencionemos os nUmeros primos 2 , 3 , 5, 7 , 11 , 13 , 17, 19,23 , ... , os quadrados 1,4,9, 16,25, ...
e os numeros perfeitos 6,28 , ... *.
Os primos sao as pe~as construidas pela multiplica~ao dos inteiros positivQs, no sentido
de que todo inteiro positivo > 1 ou e primo ou pode ser expresso como produto de primos.
Para se constatar tal afirmativa observe que , se n> 1 nao e primo, entao n = ab, onde a e b
sao < n; se a, b ou ambos nao sao primos, podem seT fatorados de modo anaIogo, processo
que continua dessa maneira ate que todos os fatores nao sejam mais fatoniveis, obtendo-se
a prova de que n pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 198 = 2 • 99 =
= 2·3 ·33 = 2·3 ·3 • 11. Urn teorema fundamental da Teoria dos Nfuneros (chamado
Teorema da Unicidade da Fatorariio) afmna que essa fatora~ao e unica, a menos da ordem dos
fatores_ Em particular, uma fatora~ao de 198 em fatores primos jamais podera incluir 5 como
fator , e 0 fator 2 jamais podera aparecer mais de uma vez.
o Teorema da Unicidade da Fatora~ao e mais profundo que parece, mas para a maioria das
pessoas e obviamente verdadeiro. Os fatos seguintes sao muito mais surpreendentes e, portanto,
tern maior apelo a imagina~ao.
(a) 0 Teorema dos Quatro Quadrados: todo inteiro positivo pode ser expresso como a
soma de nao mais que quatro quadrados.
* Lembramos ao leitor que urn numero primo e urn inteiro p > 1 que nao tern fatores positivos (ou diviso-
res) , exceto 1 Ii p; equivalentemente , urn nlimero primo p > 1 e 0 que nao pode ser escrito na forma
p = ab, onde a e b sao ambos inteiros positivos < p .
Urn nlimero perfeito e urn inteiro positivo, como 6 = 1 + 2 + 3, que e igual a soma de seus divisores
positivos diferentes de si mesmo . Observe que 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Os numeros perfeitos subseqiientes
a 28 sao 496, 8.128 e 33 .550.336 .
594 elilculo com Geometria Analftica
(b) 0 Teorema dos Dais Quadrados: todo nfunero primo da forma 4n + 1 pode ser
expresso de uma (mica maneira, como a soma de dois quadrados.
(c) Para formularmos nossa proxima afirmayao, consideremos a progressao geometrica
cujo primeiro termo e 1 e cuja razao e qualquer numero =F 1:
1, r, ,.2 , . . . , r n , . . .
Lembramos da Algebra elementar que a soma dos n primeiros termos dessa progressao e dada
pela f6rmula*
1 - r" 1 + r + r2 + ... + 1'"-1 = ---. 1 - r
Em particular, se r = 2, dessa f6rmula teremos
1 + 2 + 22 + ... + 2"- 1 = 2" - 1.
(1)
o Teorema dos Numeros Pares Perfeitos afirma 0 seguinte: se a soma 2n - 1 e primo , entao
o produto 2n-1 (2n - 1) entre a ultima parcela e a soma e urn numero perfeito par; e, recipro-
camente, todo nfunero perfeito par e expresso dessa forma, onde 2n - 1 e primo.
A primeira parte do teorema em (c) foi provada por Euc1ides, cerca de 300 a.C., e a
segunda por Euler, em meados do seculo XVIII. Essas duas proposiyoes e suas provas constituem-se
em j6ias da Teoria Chissica dos Numeros possuindo ramificayoes que continuam a atrair a atenyao
de excelentes matematicos e tecno16gos de computayao ate hoje. Os detalhes sao suficientemente
breves para apresenta-los aqui.
* Para provar (1), denotemos a soma da esquerda por s,
s = 1 + 1'+ 1'2 +
multipliquemos ambos os membros por r,
rs = I' + r2 + 1'3 + .. . + 1'''.
e subtraiamos membro a membro, fazendo todos os cancelamentos posslveis, obtendo
S - rs = I - r" ou s( 1 - r) = 1 - 1'" .
Como r"* 1, a formula (1) segue-se imediatamente da ultima equa~o .
Topicos adicionais 595
Assinalemos, primeiro, que, para n = 1,2,3 , 4,5,6,7, os valores correspondentes de
2n - 1 sao 1, 3, 7, 15,31,63,127. Os tinicos primos nessa lista sao 3, 7 , 31 , 127. De acordo com
o teorema, os primeiros quatro nfuneros perfeitos pares sao 2-3 = 6, 4-7 = 28 , 16-31 = 496 ,
64-127 = 8.128. Nfuneros perfeitos impares nao sao conhecidos e a questao de saber se existem
ou nao e urn dos mais antigos problemas nao resolvidos na Matematica ~
Para provar 0 teorema necessitaremos de algumas ferrarnentas . Primeiro , uma notayao-
padrao: se a e urn inteiro positivo , a soma de todos os divisores de a (incluindo 1 eo proprio
a) e denotada pelo simbolo a(a) - leia-se "sigma de a". Por exemplo, a(1) = 1, a(2) = 1 + 2 = 3,
a(3) = 1 + 3 = 4, a(4) = 1 + 2 + 4 = 7, a(5) = 1 + 5 = 6, a(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12. Como urn
nfunero perfeito e urn nfunero igual a soma de seus divisores diferentes dele mesmo , os nfuneros
perfeitos sao exatarnente aqueles para os quais a(a) = 2a. A outra ferrarnenta de que necessitarnos
eo seguinte fato:
Lema para a e b inteiros positivos cujo rruiximo divisor comum e 1, a(ab) = a(a)a(b) .
Prova Como a e b nao tern fator comum maior que
1, todo divisor d de ab pode ser expresso
na forma
de urn e somente urn modo, onde ai e um divisor de a, e bj e um divisor de b. Denotarnos os
divisores de a e b por
Suas somas sao
a(a) = I + a1 + a2 + ... + a
e
a(b) = I + b1 + b2 + ... + b.
Agora consideremos todos os divisores d = aibj de ab que incluarn 0 mesmo ai. Sua soma e
•
aj" I + a;b1 + a;b2 + . .. + a;b = a;(l + b1 + b2 + . . . + b)
= a;a(b) .
Sabe~, no entanto, que nao existe numero perfeito irnpar contendo menos de 100. digitos.
596 Calculo com Geometria Analttica
Finalmente, somando esses ntimeros para todos os possfveis ai obtemos a soma de todos os
divisores de ab:
e a prow esta completa.
a(ab) = 1'a(b) + a1a(b) + a2a(b) + ... + aa(b)
= (l + a1 + a2 + : .. + a)a(b) = a(a)a(b),
Como urna Ultima observayao preliminar , salientamos que a f6rmula (1) permite-nos calcular
o valor de a(pn-I) sempre que p seja urn ntimero primo . Como os divisores de pn-l sao 1, p,
2 n-l p , ... , p , temos
a(p"-I) = 1 + P + p2 +
=p" - 1
p- 1
1 - p"
+ "- 1-P ---1-p
Em particular, quando p = 2 , isto nos da
Estamos agora prontos para prowr 0 Teorema dos Nurneros Perfeitos, que dividimos em duas
proposiyoes separadas para efeito de clareza.
Teorema 1 (Euclides) Sendo n um inteiro positivo para 0 qual 2 n - 1 e primo, entiio
a= 2n-1(2n_1) e ui'n numero perfeito par.
Pro va Como 2n - 1 ¢ primo , n deve ser pelo menos 2, e a e par. Provamos que a e perfeito
mostrando que a(a) = 2a. Primeiro , 2n - 1 e impar; logo 2n - 1 e 2n - 1 nao tern fator comum > 1.
Olema portanto nos diz que
a[2"- 1(2" - 1)] = a(2"-I)a(2" - 1).
A seguir, como 2n - 1 e primo, seus linicos divisores sao 1 e ele mesmo; logo
a(2"-1) = 1 + (2" - 1) = 2n ;
fmalmente,
logo a e perfeito.
a(a) = a[2n-l(2" - 1)]
= a(2"-I)a(2" - 1)
= (2" - 1)2"
= 2 [2 "-1(2" - 1)] = 2a,
Tbpicos adicionais 59 7
Teorema 2 (Euler) Sendo a um numero perfeito par, entao a = 2n- 1(2n - 1) para algum inteiro
positivo n tal que 2n - 1 e primo.
Prova Coloque em evidencia a maior potencia possivel de 2 que divide a
onde n e pelo menos 2 e m e impar. Provaremos que m = 2n - 1 e que 2n - 1 e primo. Como a
e perfeito e, portanto , a(a) = 2a,
logo
m2" = 2a = a(a) = a(m2"-I) = a(m)a(2"-I)
=a(m)(2" -I ),
m2"
a(m) =--.
2" - 1
Mas a(m) e inteiro ; logo 2n - 1 divide m2n; e como 2n - 1 e 2n nao tern fator comum > 1,
2n - 1 divide m. Vemos a partir disto que m/(2n-l) e urn divisor de m e esse divisor e menor
que m, pois 2n - 1 e pelo menos 3. A equayao
m2" m
a(m)=--=m+--
2" - 1 2" - 1
exibe , assim, a(m) como soma de m e de outro divisor de m . Isto implica que m tern dois e
apenas dois divisores, logo deve ser primo. Alem disso , deve ser verdade que
m
2" - 1 = 1,
logo m = 2n - 1 e 2n - 1 sao primos, 0 que completa a prova.
598 Oilculo com Geometria Analitica
As ideias discutidas aqui fazem surgir a questao natural: quais numeros da forma 2n - 1 sao
primos? A f6rmula de fatorac;:ao
an -l= (a -l )(an- l + an- 2 + an- 3+ . . . + 1)
mostra que 2n - 1 nao pode ser primo se n nao e; por exemplo,
Podemos portanto restringir nossa atenc;:ao ao caso em que 0 expoente n e urn primo p. Nossa
questao toma-se : que numeros da forma 2P - 1 sao primos? Tais primos sao chamados primos de
Mersenne em homenagem ao padre Mersenne, urn padre cientista e matematico frances do seculo
XVII. Ate 1952 somente 12 eram conhecidos: aqueles correspondentes a
p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. 6 1. 89. 107, 127.
A primalidade de 2127 - 1, urn numero com 39 digitos , foi estabelecida em 1876*. A partir de
1952, 15 novos digitos foram encontrados com ajuda de computadores eletronicos : os corres-
pondentes a
p = 52 1. 607. 1279 . 2203 .2281 , 32 17. 4253.4423.9689. 994 1.
11213, 19937.21701. 23209. 44497.
sendo que 0 ultimo de todos foi descoberto em 1979**. 0 maior nUmero primo correntemente
conhecido e.
244497 - 1.
Ele foi escrito na forma decimal , sendo urn numero com 13.395 algarismos. E tao enorme que
excede muito 0 numero total de graos de areia de todo 0 universo visivel.
*
**
o matematico ingles G. H. Hardy observou : "Podemos ser capazes de reconhecer diretamente que 5 ou
mesmo 17 seja primo , mas ninguem pode convencer-se de que
21 27 - I
seja primo , exceto estudando sua prova . Ninguem jamais teve uma imagina'rao tao vlvida e abrangente ".
Veja D. Slowinski e H. Nelson, "Serching for the 27th Mersenne Prime", Journal of Recreational
Math ematics, 11(4): 258-261 (1978-1979). Essa busca continua entre aqueles que gostam de trabalhar
com os supercomputadores e ate 0 momenta da publica~ao deste livro provavelmente serao conhecidos
novas numero s primos de Mersenne.
T6picos adicionais 599
Problemas
1. Prove que -J3 e irracional. Sugestao: modifique 0 metoda do texto e use 0 fato de que
qualquer nfunero inteiro e da forma 3n, 3n + 1 ou 3n + 2.
2. Prove que ..j5 e ..j6 sao irracionais pelo metoda do Problema 1. Par que esse metodo nao
funciona para V4?
3. Prove que V2 e {!3 sao irracionais.
4. Prove que v'2 + 0 e irracional. Sugestiio: use 0 fato de que.J6 e irracional.
5. Prove que Y2 + 0 - .J6 e irracional.
6. Use 0 Teorema da Unicidade da Fatorayao para provar que, se urn inteiro positivo m nao e
a n.esima potencia de outro inteiro , entao r;;m e irracional. Observe que esse resultado
inc1ui as Problemas 1, 2 e 3 como casos particulares.
7. Prove que 10glO 2 e irracional. Para que inteiros n logio n e irracional?
8. Prove que se urn nfunero real Xo for uma raiz de urna equayao polinomial
com coeficientes inteiros , entao Xo e au urn numero irracional ou urn inteiro ; se for inteiro ,
mostre que deve ser urn fator de co.
9. Use 0 Problema 8 para mostrar que v'2 + 0 , v'2 + <12 e 0+ m sao irracionais.
10. (a) Verifique 0 Teorema dos Quatro Quadrados para todos os inteiros de 1 a 50.
(b) Todo primo exceto 2 (isto e, todo primo impar) e da forma 4n + 1 ou 4n + 3. Para
os inteiros de 1 a 50 , verifique que todo primo do primeiro tipo po de ser expresso
como soma de dois quadrados e que isto nao ocorre com nenhum primo do segundo
tipo.
600 Ctilculo com Geometria Analftica
A.2 0 CALCULO REALIZADO POR FERMAT DElb Xli dx
PARA n RACIONAL POSITIVO 0
Vamos precisar das seguintes formulas dos Apendices A.I (deste e do Volume II):
se 0 < r < I, entao
1 - rn+ 1
1 + r + r2 + . . . + rn = ---
1- r e
1 + r+ 1'2 + ... 1 - r ' (1)
Fermat utilizou somas superiores semelhantes aquelas da Se<;:ao 6.4 , mas baseadas numa divisao
do intervalo [0, b] num mimero infinito de subintervalos diferentes , como esta sugerido na
Fig. A.la. Iniciemos com urn mimero positivo fIxo r < 1 (mas pr6ximo de I) e produzamos
os pontos de divisiio da Fig. A.I b.
b
(al (bl
FiguraA.l
A soma das areas de todos os retangulos superiores, iniciando pela direita, e uma soma infinita que
depende de r,
Sr = bn(b - rb) + (rW(rb - r 2b) + (r 2W(r 2b - r 3b) + .. .
= bn+1(1 - r) + bn+1rn+l(1 - r) + bn+ 1r2n+2(i - r) +
bn+ 1(1 - r) bn+ 1
l-rn+1 (i - rn+1)/( I-r)
bn+1
1 + r + 1'2 + . . . + rn ' (2)
Topicos adicionais 601
Aqui utilizamos primeifamente a segunda f6rmula de (1) e depois a primeira f6rmula, a ultima
requerendo que n seja inteiro positivo. Se agora thermos , -+ 1, vemos que cada urn dos n + 1
termos do denominador da ultima expressao tambem' tende al; logo chegamos a nosso resultado :
ou, de modo equivalente,
para todo inteiro positivo n.
lb bn+1 'xndx=--o n+1
(3)
(4)
A tinica parte desse argumento em que n deve ser inteiro positivo e 0 ultimo passo para
chegar a (2). Se admitirmos que n e urn nUmero racional positivo p/q, entao poderemos superar
a dificuldade por meio da substituiyao s = ,l/q calculando
como se segue:
I- /' I- sq I- sq
1 - rn+ I 1 - (sq)p/q+ I 1 - sp+q
(I - sq)/(l - s)
(I - sp+q)/(l - s)
1 + s + S2 + . . . + sq- I
1 + s + S2 + .. . + Sp+q- I '
Agora , quando, -+ 1, temos tambem s -+ 1 e a ultima expressao escrita revela que
I-r -->_q_= ___ = __
1 - r n+1 p + q p/ q + 1 n + 1 '
logo (3) e (4) permanecem vilidas para todo expoente racional positivo n.
A.3 COMO ARQUIMEDES DESCOBRIU A INTEGRACAO
A descoberta por Arquimedes da f6rmula do volume de uma esfera foi urna das maiores
realizayOes materruiticas de todos os tempos. A f6rmula em si teve importancia 6bvia, mas ainda
mais important~ foi 0 metoda que ele usou para descobri-Ia, pois esse metodo corresponde a
primeira manifestayao da ideia basica do calculo integral.
602 Calculo com Geometria Analftica
Ele provou essa f6rmula em seu tratado Sabre a esfera e 0 cilindra por meio de urn argu-
mento longo e rigoroso de perfeiyao chissica.lnfelizmente, no entanto, esse argumento era do tipo
dos que obrigam a acreditar, mas fomecem pouco ' discemimento, Era como uma grande obra
arquitetonica cujo arquiteto tivesse retirado todos os andaimes, queimado as plantas 'e ocultado
seus pensamentos particulares, dos quais 0 conceito global emergiu, Os matematicos sempre
estiveram cientes - pel os tratados formais de Arquimedes - do que ele descobriu. Entretanto,
seu metodo de fazer deseobertas permaneeeu envolto em misterio ate 1906, quando 0 aeademico
dinamarques Heiberg revelou urn manuscrito perdido tratando exatamente dessa questao *,
Nesse manuserito Arquimedes descreveu a seu amigo Erat6stenes como ele "investigara
alguns problemas de Matematica por meio da Mecanica"**. A mais maravilhosa dessas investiga-
yoes foi sua descoberta do volume de uma esfera. Para eompreender seu trabalho , e necessario
conhecer um poueo sobre 0 nivel de conhecimento do qual ele partiu .
Segundo Arquimedes, foi Dem6crito, dois seeulos antes , quem deseobrira que 0 volume de
urn cone e urn teryo do volume de urn cilindro com a mesma altura e me sma base. Nada e positi-
vamente conhecido sobre 0 metodo de Dem6crito, mas acredita-se que ele teve sueesso conside-
rando primeiro uma piramide triangular (tetraedro), depois uma pirfunide arbitraria e finalmente
urn cone como 0 limite de piramides inscritas***',
Alem disso , os gregos conheciam um pouco de Geometria Analitica, mas sem nossa notayao.
Eles estavam a par da ideia de que urn lugar geometrico plano poderia ser estudado considerando-se
as distancias de urn ponto m6vel a duas retas perpendiculares ; e que sendo eonstante a soma dos
quadrados dessas distancias, eles sabiam tratar-se de uma circunferencia, Em nossa notayao, essa
condiyao leva a equayao x 2 + y 2 = a2 .
Alem disso , foi 0 pr6prio Arquimedes quem virtualmente criou a mecanlca grega. Como
todos sabem, ele descobriu a Lei dos Corpos Flutuantes, alem do Principio da Balanya e
muitos fat os sobre os centros de gravidade.
Estamos agora preparados para seguir Arquimedes em sua procura do volume de uma esfera.
Ele considerou a esfera como gerada pela rotayao de urn circulo em tome de seu diametro. Em
notayao modema, comeyamos com a circunferencia.
x 2 + y2 = 2a.x, (1)
que tern raio a e e tangente ao eixo y na origem. Essa circunferencia e mostrada a esquerda da
Fig. A.2, quase identica a figura original de Arquimedes_
* .
**
***
Veja 0 Metodo em The Works of Archimedes, T. L. Heath (ed.), Dover (sem data).
Metodo , p.13 .
Veja 0 Capitulo 1 do livreto do autor, Precalculus Mathematics in a Nutshell, William Kaufmann , Inc ,
1981.
T6picos adicionais 603
r = x / .
_--.:-2t_' _-//
--------
Figura A.2 0 argumento da baJan«a de Arquimedes.
A equar;ao (1) contem 0 termo y2, e como y2 e a area da ser;ao transversal variavel da esfera x
unidades a direita da oIigem, e natural mul tiplicar por 1T e escrever (1) na forma
nx2 + ny2 = n2ax. (2)
Isto nos leva a interpretar 7TX 2 como a area da ser;ao transversal variavel do cone gerado pela
rotar;ao da reta y = x em tome do eixo x. Isto , par sua vez , sugere que procuremos uma
interpretar;ao semelhante para 0 termo 2ax do segundo membro· da ·equar;ao (2) . Persistindo nessa
linha , podemos talvez pensar em multiplicar por 2a e assim reescrever (2) como
(3)
A motivar;ao dessa mudanr;a reside evidentemente no fato de que 7T(2al e a area da ser;ao
transversal do cilindro com mesma altura e mesma base que 0 cone.
Temos , partanto , a esquerda da Fig. A.2, tres discos circulares de area 7Ty2 , 7TX 2 e 7T(2a)2
que sao as interser;oes de urn (mico plano com tres s6lidos de revolur;ao . Esse plano e perpendi-
cular ao eixo x a uma distancia x unidades a direita da origem, e as s6lidos sao a esfera, 0
cone , e 0 cilindro , como esta indicado na figura.
No primeiro membro da equar;iio (3), a soma das duas primeiras areas e multiplicada par
2a, e no segundo membro a terceira area e multiplicada por x . Essa observar;ao levou Arquimedes
604 Oilculo com Geometria Anaifrica
a seguinte grande ideia, como se mostra a direita da Fig. A.2. Ele deixou 0 disco com raio La
onde estava em uma posiyao vertical x unidades a dire ita da origem e deslocou os discos com
raios y e x a urn ponto La unidades a esquerda da origem , onde ele os pendurou horizontal-
mente com seus centros sob esse ponto , suspenso por urn fio sem peso. 0 objetivo 'dessa
manobra po de ser compreendido considerando-se simplesmente 0 eixo x como brayo de
uma alavanca e a origem com seu fulcro ou ponto de apoio. Pode-se ver agora que a equayao
(3) trata de momentos . (Urn momenta e 0 produto do peso suspenso pelo comprimento do
brayo da alavanca .) Desse ponto de vista , a equayao (3) afirma que as somas dos momentos dos
dois discos a esquerda sao iguais ao momenta do unico disco a direita e, assim, pelo pr6prio
principio da alavanca de Arquimedes, essa balanya esta em equillbrio.
Executamos agora a ultima etapa do raciocinio . Quando x cresce de 0 a La, as tres
seyoes transversais varrem seus respectivos s6lidos e os preenchem. Como as tres seyoes
transversais estao em equilibrio nesse processo , os pr6prios s6lidos estao tambem em
equillbrio. Seja V 0 volume da esfera, que era desconhecido ate que Arquimedes publicasse seu
calculo. Usando a f6rmula de Dem6crito para 0 volume do cone e tambem para 0 volume
do cilindro e a localizayao 6bvia de seu centro de gravidade , 0 equilibrio dos s6lidos nas
posiyoes mostradas na figura acarreta
2a[ l rr(2a)2(2a) + V j = arr(2a)2(2a).
Agora e facil resolver (4) para V e obter
As ideias discutidas aqui foram elaboradas par alguem que tern sido considerado - com toda
a razao - "0 maior genio do mundo antigo" . Mas essas ideias sao , apesar de tudo , apenas 0
comeyo. 0 ponto central do raciocinio esta na transiyao de (3) para (4), das seyoes transversais
m6veis aos s6lidos completos. Com a vantagem da perspectiva hist6rica , podemos reconhecer essa
transiyao como a essencia da integrayao , que sabemos ser urn processo de longo alcance e diversi-
dade, com incontaveis aplicayoes nas Ciencias e na Matematica. 0 pr6prio Arquimedes suspeitou
do valor potencial de suas ideias: "Estou convencido de que esse metodo sera de grande utilidade
para a Matemcitica, pois eu prevejo que , uma vez compreendido e consolidado , sera usado para
descobrir outros teoremas que nao ocorreram a 'mim por outros matematicos vivos ou ainda
por nascer"*.
* Metoda, p . 14 .
T6picos adicionais 605
A.4a UMA ABORDAGEM SIMPLES DA EQUA<;AO E = Me2
Consideremos uma particula de massa m
se movimenta no sentido positiv~ sob a a<;:ao
Segunda Lei de Movimento de Newton:
na forma
F=ma
1
a =-F
In '
que parte do repouso da origem do eixo x e
de uma for<;:a constante F. Escrevendo a
(1)
podemos considerar a for<;:a F como produtora
da acelera<;:ao constante a. Se mantivermos
essa acelera<;:ao continua por tempo suficiente , entao a velocidade v da particula cresce , alem
de quaisquer limites , superando , em particular , 0 valor de c, a velocidade da luz no vacuo. Mas ,
de acordo com Einstein , isto nao pode oconer; nada pode se movimentar mais rapido que a )uz.
Para sair desse impasse necessitamos compreender que a Lei de Newton e realmente algo
mais geral que (1) . Ela afirma que , quando uma for<;:a F atua sobre urn corpo de massa m , ela
produz urn momenta ou quantidade de movimento (= mv) numa taxa igual a for<;:a:
d
F = dl (1170) . (2)
Essa equa<;:iio reduz-se a (1) quando a massa m e constante. Mas , de acordo com Einstein , a massa
nao e constante . Ehi cresce quando a velocidade aumenta , e e determinada como fun<;:ao de v pela
f6rmula
(3)
onde mo e a chamada massa de repouso. Quando essa expressao para m e inserida em (2) ,
obtemos a Lei de Movimento de Einstein,
d ( v ) F= 1170 - .
dt .J 1 - V2/C 2
(4)
606 Oilculo com Geometria Analftica
Sera conveniente realizar a derivayao em (4) e dessa maneira introduzir a acelerayao a = dv/dt.
Temos
Esse resultado permite-nos escrever (4) na forma
(5)
que mostra quao proxima a Lei de Einstein esta da Lei de Newton (1) quando v e muito menor
que e. Entretanto , quando vesta perto da velocidade da luz , como na maioria dos fen6menos da
Fisica At6mica, entao as duas leis diferem consideravelIilente e toda a evidencia experimental
apoia a.versao de Einstein.
Retornemos agora ao nosso problema original da particula partindo do repouso na origem do
eixo x, com uma pequena alterayao : a forya F e agora suposta apenas positiva, de modo que a
acelerayao a em (5) e tambem positiva e a velocidade e crescente. Nosso objetivo e mostrar que ,
sendo a energia da particula em qualquer estagio do p.rocesso compreendida como 0 trabalho
realizado sobre ela por F, essa energia E esta relacionada com 0 aumento da massa
(M = in - mo) pel a famosa equayao de Einstein E = Mel. Comeyamos escrevendo
dv dv dx dv
a =-=--= V-.
dl dx dl dx
Dai (5) acarreta
T6picos adicionais 607
Nao e preciso dizer que essa nao e urna prova da equafi:ao de Einstein para todos os casos; ela
mostra simplesmerite que essa equafi:ao relaciona 0 aumento de massa determinado em (3) com 0
aumento da energia associada com a velocidade maior.
No en tanto , e necessario acrescentar que 0 ponto central da equafi:ao de Einstein e 0 fato
muito profundo de que a mass a de repouso mo tern tambem energia associada a ela, na
quantidade E= moc2 • Essa energia pode ·ser encarada como "energia de ser" da particula,
no sentido de que a massCi possui energia ex,atamente em virtude de existir. 0 ponto de vista da
Ffsica Modema e ainda mais direto: materia e energia, nurna forma altamente concentrada e
localizada. Deve ser tambem compreendido que a constante c2 e tao enorme que uma pequena
quantidade de massa e equivalente a uma quantidade muito grande de energia, Assim, se a massa
de urna gota de agua pudesse ser completamente convertida em energia de urn modo controlado
e util , a energia resultante seria suficiente para levar diversos caminhoes a Lua. Esta e a fonte
de energia que abastece 0 Sol, por meio das chainadas reafi:oes termonucleares que os fisicos
continuam procurando domar a nosso servifi:o.
A.4b PROPULSAO DE FOGUETE NO ESPACO CaSMICO
No inicio do Apendice AAa salientamos que a Segunda Lei de Movimento de Newton
para uma forfi:a F atuando sobre urn corpo de massa m movendo-se com velocidade v po de
ser enunciada como
(1)
Vimos tambem que essa expressao sup6e a forma mais familiar F = rna quando m e constante.
Em particular , se' o corpo se move sem a afi:ao de qualquer forfi:a externa , ou seja , F = 0, entao
(1) revela que 0 momento mv e constante .
Como ilustrafi:ao , consideremos urn foguete de massa m, velocidade ve velocidade de escape
constante c, e suponhamos que esse foguete esta se movendo em linha reta no espafi:o c6smico
sem a afi:ao de nenhurna forfi:a externa. A massa m consiste na massa estrutural do foguete mais a
massa do combustivel que transporta; logo, m decresce a medida que 0 combustivel vai sendo
queimado. Os gases de escape sao expulsos a alta velocidade pela cauda do foguete e isto
impulsiona 0 foguete para a frente exatamente como 0 ar impulsion a urna bexiga. Deterrninemos
a equafi:ao do movimento.
Suponha que no instante t a massa do foguete (incluindo 0 combustivel) e m e que ele
se move corn velocidade v (Fig. A.3); no instante t + t:.t, a massa passa a ser m + t:.m e a
velocidade v + t:.v.
608 CaZcuZo com Geometria Analttica '
Tempo t: massa m Tempo t + 11t mass a -11m massa m + 11m
-v
8:==$==-
- -v - c v + Il.v
Figura A.3 Acelela~ao do foguete pOI expulsao de gas.
A mass a do combustivel queimado nesse intervalo de tempo e -6.m (6.m e evidentemente negati-
vo) , e os produtos de escape, que tern portanto massa - 6.m, sao expelidos para tIlis com
velocidade c relativamente ao foguete ; esse material tern portanto velocidade real v-c. 0 fato
de que 0 momenta total do sistema e con stante significa que
mv = (m + Lim)(v + Liv) + (-Lim)(v - c).
Teremos
mv = mv + m ~v + (~m)v + Lim ~v - (Lim)v + Lim c,
que se reduz a
m Liv = - Lim(c + Liv). (2)
Apos a divisao por 6.t ... (2) se torna
Liv Lim
m-= --(c+Liv) Lit Lit '
e fazendo 6t ... 0, obtemos
dv dm
m -=-c - . dt . dl (3)
Esta e a equa~ao basica da propulsao do foguete no espa~o c6srnico.
Para ilustrar as conclus5es qualitativas que podem ser retiradas de (3), usamos 0 fato de que
dv/dt e a acelera~ao a e escrevemos a equa~ao como .
(4)
T6picos adiciollais 609
Como dm/dt e negativo , vemos que a e positiva e isto significa que a velocidade e crescente,
como era esperado. A quantidade entre co1chetes aqui - 0 produto da velocidade de escape
pela taxa em que 0 combustive! e consumido - chama-se empuxo do foguete . E claro que uma
acelerac;:ao grande requer urn foguete com urn grande empuxo , e urn grande empuxo e obtido
projetando-se uma maquina com uma grande velocidade de escape e uma alta taxa de consumo
de combustive!' Alem disso, se 0 empuxo for constante , entao (4) revela que a acelerac;:ao aumenta
quando m decresce; isto e , quando 0 combustive! e queimado.
Complementando as inferencias qualitativas do tipo acima, e tambem possivel obter
informac;:5es quantitativas a partir de (3)*. Escrevendo-se a equac;:ao na fo~ma
e integrando de 0 at, obtemos
dm dv =- c -
m
m(t)
v(t) = v(O) - c !n m(O)
m(O)
= v(O) + c In -(-) .
mt
(5)
Como ilustrac;:ao da maneira pela qual (5) pode ser utilizada, suponhamos que a massa inicial do
foguete seja urn decimo de estrutura e nove decimos de ' combustlve!. Se a velocidade de escape
for c = 2 mi/s e 0 foguete partir do repouso , entao sua velocidade ao terminar 0 combustlvel e
v =2ln 10~4,6mi / s .
A.5 UMA PROVA DA FORMULA DE VIETA
Para provar a f6rmula de Vieta,
.fi f2+72 .J 2 + J2+J2
-=--'
2
2 2 2
(1)
* o material seguinte exige que 0 lei tor compreenda 0 significado da formula
J dm --;; = In m,
explanada no Capitulo 8.
. 610 Clzlculo com Geometria Analftica
precisamos do limite
lim sen e = 1
.8- 0 e '
da formula do lingulo duplo para 0 seno
e e
sen e = 2 sen - cos -2 2 '
e da f6rmula do angulo-metade para 0 co-seno na forma
e 1
cos - = - .J2 + 2 cos e. 2 2
Aplicando repetidamente (3), obtemos
1 = sen!: = 2 sen!: cos !:
2 4 4
= 22 sen!: cos!: cos!:
8 4 8
~ n n 7C n
= 2 sen - cos - cos - cos -
16 4 8 16
= 2,,-1 sen.!:. cos!: cos!: . . . n 2" 4 8 cos 2"'
Com a ajuda de (4), essa Ultima pode ser escrita como
2,,-1 sen n/2"
J2 5+J2 .J 2 + 5+J2
2 2 2 2
onde 0 ultimo
fator con tern n-l sinais de raiz encaixados.
(2)
(3)
(4)
(5)
Tbpicos adicionais 611
Fazendo agora n -+ 00 e usando (2), (5) conduz a formula de Vieta (1)*.
A.6 A CATENARIA OU A CURVA DE UM FlO SUSPENSO ENTRE OOIS
APOIOS
Como exemplo especifico do uso dos metodos de integra~ao discutidos na Se~ao 10.4,
resolveremos 0 problema chissico de determinar a forma exata da curva feita por urn fio
flexivel de densidade uniforme suspenso entre dois pontos e que se sustenta por seu proprio
peso. Essa curva se chama catendria, da palavra latina catena, que significa cadeia.
Suponhamos que 0 eixo y passe pelo ponto mais baixo do fio (Fig. AA).
y
x
FiguIaA.4.
Seja S 0 comprimento do arco entre esse ponto e urn ponto variavel (x, y) e seja Wo a densidade
linear (peso por unidade de comprimento) do fio. Obtemos a equa~ao diferencial da catenana do
fato de que a parte da corrente entre 0 ponto mais baixo e (x, y) esta em equilibrio estatico sob
a a~ao de tres for~as: a tensao To no ponto mais baixo, a ten sao variavel T em (x, y) que age na
dire~ao da tangente devido a flexibilidade do flo e uma for~a para baixo WoS igual ao peso
do flo entre esses pontos.
* Neste liVIO a formula de Vieta e apenas uma jOia isolada na historia antiga da Matematica. Entretanto, eia-
pode ser encarada como sendo 0 primeiro passo de uma jornada fascinante mas exigente, que levou a
alguns dos pontos mais elevados da F(sica, Matematica Classica (a Teoria Cimltica dos Gases, a
Segunda Lei da Termodinamica etc.). Veja 0 livre to de M. Kac, Statistical Independence in Probability,
Analysis and Number Theory (John Wiley and Sons, 1959). Quanto ao proprio Fran\(ois Vieta
(1540-1603), ele foi urn frances formado em Direito, especialista em leis, 0 que 0 levou a se tomar urn
conselheiro real particular de Henrique IV; ele cultivou a Matematica como urn passatempo. Vieta deu
contribui\(oes aos primeiros desenvolvimentos da Trigonometria AnaJi'tica e Algebra, em particular,
por seu uso sistematico de letras para representar constantes e incognitas.
612 Calculo com Geometria Analftica
Igualando a componente horizontal de T a To e a componente vertical de T ao peso da
corrente , obtemos
T eos e = To e TsenO = wo s.
Por divisao , eliminamos T e obtemos tg 0 = wos/To ou
dy
-= as dx ' onde
Eliminamos a seguir a varia vel s, derivando em rela~ao a x ,
Esta e a equa~ao diferencial da catenaria.
(1)
Resolvemos agora a equa~ao (1) por integra~oes sucessivas. Esse processo e facili tado pela
introdu~ao da variavel auxiliar p = dy/dx. Substituindo·se em (1 ) teremos
dp = a.Jl + p2.
dx
Separando as variaveis e integrando , obtemos,
J dp = J adx. .J ! + p2 (2)
Para ca1cular a integral da esquerda, fazemos a substitui~ao p = tg ¢; assim dp = sec2 ¢ d¢ e
..j1+j)f = sec ¢' Entao
J dp = J sec
2 ¢ d¢ = J sec ¢ d¢
.J ! + p2 sec ¢
=!n (sec ¢ + tg ¢ ) =In (.J l + p2+ p).
Dessa maneira (2) fica
'In (.J ! + p2 + p) = ax + C1,
Como p = 0 quando x = 0, vemos que Cl = 0; logo
In Ul +p2+p)=a.x.
E facil resolver essa equayao em p. Teremos
e, por integrayao, obtemos
dy 1
- = p = - Ceax - e-a.~)
dx 2 '
T6picos adicionais 613
Se agora colocarmos a origem do sistema de coordenadas (Fig. A.4) no nfvel em que y = lla
quando x = 01 entao C2 = 0, e a equayao toma sua forma final,
(3)
A equayao (3) revela a natureza matematica precisa da catenaria e pode ser usada como base para
posteriores investigayOes de suas propriedades*.
o problema de determinar a verdadeira forma da catenaria foi proposto par James Bernoulli ,
em 1690. Galileu Iwyou, bern antes , a hip6tese de que a curva era uma parabola, mas Huygens
mostrou, em 1646 (com apenas 17 anos) , utilizando principalmente raciocfnios ffsicos, que tal
hip6tese nao estava correta. Ele, no entanto , nab Ian yOU qualquer luz sobre qual forma poderia
. ter. 0 desafio de Bernoulli produziu resultados rapidos, pois em 1691 Leibniz, Huygens (ja com
62 anos) e 0 irmao de James , John, publicaram soluyoes independentes do problema, John
Bernoulli ficou extremamente satisfeito por ter tido exito em resolver 0 problema, ao contrario
de seu irmao, que nao tinha conseguido. 0 sabor da vit6ria continuava doce 27 anos mais tarde,
como revela essa passagem de uma carta que John escreveu em 171 8:
* o co~eno hiperbOlico definido na Se~ao 9.7 permite-nos escrever a fun~ao (3) na forma
I' = 2. cosh ax.
. a
Esse fato e, as vezes , encarado como justificativa de urn estudo detalhado das fun90es hiperbolicas, mas
o autor e retico a esse respeito .
614 Ctilculo com Geometria AnaUtica
"Os esfor90s do meu irmao nao tiveram resultado. De minha parte, eu tive mais sorte, pois
tive habilidade (digo-o sem orgulho; por que deveria ocultar a verdade?) de resolve-lo completa-
mente .. . E verdade que a resolu9ao custou-me 0 estudo de uma noite inteira. Foi uma grande
realiz~ao para a a epoca e considerando-se a pouca idade e experiencia que eu tinha entao. Na
manha seguinte, corri com alegria para meu irmao, que ainda estava lutando na tentativa de
desatar seu n6 g6rdio sem obter nenhum progresso, pensando como Galileu que a catenaria era
uma parabola. Pare! Pare! disse a ele, nito se torture mais tentando provar a identidade da catenaria
com a parabola, pois isto "e inteiramente falso."
Entretanto , James alcan90u um feito equivalente provando no mesmo ano de 1691 que , de
todas as possiveis formas que urn fio suspenso entre dois pontos fixos pode ter , a catenaria tern
o centro de gravidade mais baixo e, portanto, a menor energia potencial. Foi uma descoberta
muito significativa, pois tratou-se da primeira manifesta9ao da ideia profunda de que , de alguma
maneira misteriosa , as configura90es reais da natureza sao aquelas que minimizam a energia
potencial.
A.7 ASEOOENCIA DOS PRIMOS
A Teoria dos Numeros trata principalmente das propriedades dos inteiros positivos 1, 2 , 3 , ...
A n09ao de inteiro positivo e talvez 0 mais simples e mais claro de todos os conceitos matematicos.
Apesar disto, como veremos , e facil formular questoes elementares envolvendo esses numeros ,
que sao irrespondiveis mesmo com os recursos mais profundos da Matematica Moderna. Essa
mistura admiravel de sirnplicidade e profundidade faz parte da atra9ao permanente que esse
assunto exerce sobre as pessoas.
No Apendice A. 1 consideramos diversos t6picos interessantes da Teoria dos Numeros, cujo
tratamento nao depende de instrumental mate matico complicado. Continuaremos aqui com
alguns t6picos adicionais dessa natureza e tambem ampliaremos 0 alcance de nossa pesquisa
incluindo algumas ideias que nao podem"ser compreendidas sem algum conhecimento de ccilculo.
E 6bvio que todo inteiro positivo e divisivel por 1 e por si mesmo. Se urn inteiro p > 1 nao
tern divisores positivos , exceto 1, p chama-se ru1mero primo ou, simplesmente, primo ; caso
contrario , diz-se composto. Os primeiros primos , e facil ver , sao
2, 3, 5,711,13,1719,23, 29, 31 , 37, 41 , 43 . .. ..
E parte da experiencia comum 0 fato de que to do numero inteiro positivo > 1 ou e primo ou
pode ser decomposto em fatores primos. Assim, por exemplo, 84 = 2 - 24 = 2 - 2 · 21 = 2 ' 2' 3 - 7
e 630 = 2-3 15 = 2-3-105 = 2 -3 -3-35 = 2 '3-3-5-7 . Sentimos tambem que deveriamos obter os
T6picos adicionais 615
mesmos fatores primos independentemente do metodo de fatorac;:ao usado. Essas observac;:oes sao
o conteUdo do Teorema da Unicidade da Fatorafiio - tambem chamado de Teorema Fundamental
da A ritmetica - , que enunciamos a seguir.
Teorema 1 Todo inteiro positivo > 1 ou e primo ou pode ser expresso como um produto de
primos; essa expressiio e imica a menos da ordem dos fatores primos.
Prova Pedimos aos estudantes para considerarem essa pro va no Problema 1.
Essa proposic;:ao
parece , a primeira vista , ser tao obviamente verdadeira que a maioria das
pessoas se sente inclinada a sup6-1a valida e aceita-Ia sem demonstrac;:ao . Contudo , ela esta longe
de ser trivial e ad quire grande significado quando se encontram sistemas de " inteiros" e " primos"
para os quais e falsa (veja 0 Problema 2). As quest6es relacionadas levam ao ramo da Matematica
Moderna conhecido como Teoria Algebrica dos Numeros.
Quando percorremos a seqiiencia dos inteiros positivos , observamos que os primos parecem
ocorrer cad a vez com menos frequencia . Tal observac;:ao e bern razoavel ; e mais plausivel que seja
composto urn numero grande que urn pequeno , pois ele esta alerri de uma quantidade maior de
numeros que podem ser seus fatores. E ainda concebivel que os primos terminem e que todos os
numeros suficientemente grandes sejam compostos. A prova de Euclides de que esse nao e 0
caso e modelo de elegancia matematicaja ha mais de 2.000 anos.
Teorema 2 (Teorema de Euclides) Ex istem infinitos numeros primos.
Pro va E suficiente mostrar que , sendo p urn primo qualquer dado , entao existe urn primo > p.
Seja 2, 3 , 5 , ... , p a lista completa dos numeros primos ate p. F ormamos 0 numero
N = (2' 3·5· •• p ) + 1. E claro que N > p e tambem que N nao e divisivel por quaisquer dos
primos 2 , 3 , 5 , .. . , p. Entretanto , sabemos que N ou e primo ou e divisivel por algum primo
q < N. No Ultimo caso a observac;:ao anterior implica que q > p . Assim, em qualquer caso , existe
urn primo > p e isto e 0 que nos propusemos provar .
Como todo primo> 2 e impar , 0 Teorema de Euclides e equivalente a asserc;:ao de que a
progressao aritmetica
1.3 5, . . . , 2n+ 1, . ..
de todos os inteiros positivos impares contem infmitos numeros primos. E, portanto , natural
desejar saber ace rca de primos em outras progress6es aritmeticas. Por exemplo , e claro que todo
primo impar pertence a uma das duas progressoes
(a) I , 5, 9, I3 , I7, .. . , 4n+I , . .. ;
(b) 3, 7, 11, 15, 19, ... . 4n+3, . .. .
616 Calculo com Geometria Analftica
Sabemos que as duas progressoes juntas contem infinitos primos, mas e ainda possivel que uma
delas possa conter apenas urn numero finito . Podemos eliminar essa possibilidade para a progressao
(b) usando urn pequeno refinamento do argumento de Euclides.
Teorema 3 A progressao 3, 7, 11, ... , 4n + 3, ... contem infinitos primos.
Prova E claro que 0 termo geral de nossa progressao tambem pode ser escrito como 4n - 1.
Exatamente como no Teorema 2, mostramos que, sendo p urn primo qualquer dado dessa
forma, existe necessariamente urn primo maior dessa mesma forma. Seja 3, 7, 11, .. . , p a lista
completa dos primos da progressao (b) ate p ; formamos 0 numero N = 4(3 ' 7'11" .p) - 1. E clarQ
que N> p e tambem que N nao e divisivel por 2 ou por qualquer dos primos 3, 7, 11, ... , p.
Se N for primo, entao ele pr6prio e urn primo da forma 4n - 1, que e > p . Suponha que N nao
seja primo. Pela observa9ao anterior, ele e urn produto de primos impares < N, que nao pode
incluir qualquer dos primos 3, 7 , 11, ... ; p. Observamos que todo primo impar e da forma
4n + 1 ou 4n - 1 e, como
(4117 + 1)(4n + 1) = 4(411711 + 117 + n) + l.
e claro que todo produto de numeros da forma 4n + 1 e novamente dessa forma. Esses fatos
implicam que, na nossa situa9ao presente, isto e, em que N e urn produto de primos impares
que nao pode incluir qualquer dos primos 3, 7 , 11, ... , p , deve ser verdadeiro que pelo menos
urn dos fatores primos e da forma 4n - 1 e, portanto , > p. Conc1uimos que em cad a caso existe
urn primo na progressao (b) , que e > p, e isto completa a prova.
E tambem verdade que a progressao (a) contem infinitos primos. Entretanto, a ideia utili-
zada na prova do Teorema 3 falha nesse caso e deve ser substitufda por outra (veja 0 Problema 3).
Uma situa9ao analoga acontece com as duas progressoes cujos termos sao da forma 6n + 1 e
6n + 5, pois juntas elas contem evidentemente todos os primos, exceto 2 e 3, e metod os
razoavelmente elementares sao suficientes para mostrar que existem infinitos primos em cad a
uma delas .
Vamos agora procurar primos numa progressao aritmetica geral
a, a + b, a + 2b, . . .. a + nb. . . . ,
onde a e b sao inteiros positivos dados. E facil ver que nao ha nenhum primo nessa sucessao
(exceto talvez 0 pr6prio a) se a e b tiverem urn fator com urn > 1. Excluindo-se esse caso , e
natural conjecturar que a progressao contera infinitos primos. Isto generaliza nossas proposi90es
anteriores sobre os primos em progressoes aritmeticas particulares e e 0 conteudo de urn
famoso teorema provado pelo matematico alemao Dirichlet, em 1837 .
T6picos adicionais 617
Teorema 4 (Teorema de Dirichlet) Se a e b sao inteiros positivos semfator comum > 1, entiio
a progressao aritmetica a, a + b, a + 2b, a + nb , ... contem infinitos numeros primos.
Os metod os de prova que funcionam nos casos particulares discutidos sao insuficientes para
dar conta da progressao aritmetica geral desse teorema. A prova de Dirichlet utilizou ideias e
tecnicas de amilise avanyada e abriu novas linhas de pensamento na Teoria dos Numeros; essas
linhas continuam muito fecundas. (Aruilise e 0 termo-padrao para a parte da Matematica que
consiste em caIculo e de outros assuntos que dependem do caIculo mais ou menos diretamente,
como equayoes diferenciais, caIculo avanyado etc. Veja a Fig. 21 .21 do Volume II).
Muitos dos fatos mais interessantes e importantes sobre os numeros primos foram
descobertos por uma combinayao de observayao e experiencia. Nessa especie de investigayao e
Util ter-se disponivel uma lista de todos os primos ate urn certo limite preestabelecido N. Urn
metoda 6bvio para construir tal lista e anotar em ordem todos os inteiros de 2 a N e dai
eliminar sistematicamente os numeros compostos. Assim , como 2 e 0 primeiro primo, e todo
multiplo pr6prio de 2 e composto, riscamos 4, 6, 8 etc. 0 numero seguinte nao eliminado e 3,
que e primo , pois nao e multiplo do unico primo menor que ele, ou seja, 2. Como os mUltiplos
pr6prios de 3 sao compostos, riscamos todos esses numeros que ainda nao foram retirados
quando retiramos os multiplos de 2. 0 sobrevivente seguinte e 5, que e primo, pois nao e multiplo
de 2 nem de 3; logo, riscamos todos os multiplos de 5 ainda nao removidos nas etapas anteriores.
E assim por diante. Observamos que urn nilmero composto n deve evidentemente ter urn fator
primo :s;;; y'ft Isto mostra que 0 processo estani completo quando tivermos eliminado os
multiplos pr6prios de todos os primos :s;;;.,f7'i 0 procedimento descrito aqui chama-se crivo de
'Eratostenes, em homenagem a seu descobridor* .
o resultado da aplicayao do crivo ao caso N= 100 e dado na tabela seguinte. Devemos notar
que, como yT50 = la , a tabela estara completa quando todos os mwtiplos pr6prios de 7 forem
riscados.
*
2 3 ~ 5 6 7 3 ~ 10 11 11 13 1~ Ii 16 17 13 1910
11 11 23 1~ 1i 16 11 13 29 Z0 31 z1 ZZ Z~ zi Z6 37 Z3 Z~ ~0
41 ~1 43 ~~ ~i ~6 47 ~3 ~~ i0 il i1 53 i~ ii i6 i1 i3 59 60
61 61 6Z 6~ 6i 66 67 63 6~ 10 71 11 73 1~ 1i 16 11 13 79 30
31 31 83 3~ gi 36 g1 33 89 ~0 ~1 ~1 ~Z ~~ ~i ~6 97 ~3 ~~ 100
o cientista grego Eratostenes (276-194 a.C.) era responsavel pela famosa Biblioteca de Alexandria. Escre-
veu sobre Astronomia, Geografia, Cronologia, ~tica, Matematica e outros assuntos. Ele e lembrado pOI seu
crivo dos mimeros primos e por ter sido 0 primeiro a medir corn precisao (a menos de 50 milhas!) a
circunferencia da Terra. Estando informado que ao meio-dia do solstlcio de verao 0 Sol iluminava a base
de urn p090 em Aswan (isto e, 0 Sol estava bern a pino), ele mediu 0 angulo entre 0 zenite e 0 Sol ao
meio.<J.ia, no solstlcio de verao em Alexandria, e tambem a distancia entre Alexandria e Aswan, cidades
que estao aproximadamente no mesmo meridiano . Urn simples calculo entao
deu a circunferencia da
Terra. Ele foi tamoom amigo de Arquimedes (287-212 a.C.) - 0 maior intelecto da Antiguidade - e 0
receptor de uma famosa carta (chamada Metodo) em que Arquimedes revelou seu metodo de fazer desco-
bertas matematicas . Ern sua velhice, Eratostenes ficou cego e dizem que se suicidou deixando de
se alimentar.
618 Colrulo com Geometria Analftica
Tabelas completas de primos, ate urn pouco mais de 10 milhoes, foram compUadas por refma-
mentos desse processo*. Essas tabelas fornecem ao investigador uma enorme massa de dados
brutos que podem ser utilizados para formular e testar hip6teses, fazendo com que 0 estudo de
numeros primos se assemelhe a uma ciencia de laborat6rio. Por exemplo, uma inspeyao de nossa
pequena tabela mostra que hli diversas cadeias de 5 numeros compostos consecutivos e uma
de 7. Pode 0 comprimento de uma tal cadeia ser tornado tao grande quanta quisermos? A resposta
a essa questao e sim, como se pode ver facilmente: se n for urn inteiro positivo grande, entao
n! + 2, n! + 3, n! + 4, w •• , n! + n e uma cadeia de n - 1 numeros compostos consecutivos.
Por outro lado, os primos tendem a agrupar-se aqui e ali. Em nossa tabela, ha 8 pares de primos
gemeos, isto e, como 3 _e 5 separ~dos por urn unico numero par. Existem infmitos pares de primos
gemeos? As maiores tabelas sugerem que existem, mas ninguem sabe ao certo. Em 1921 0
matematico noruegues Viggo Brun generalizou 0 crivo de Erat6stenes para mostrar que a soma
dos inversos dos primos gemeos
1 1 1 1 1 1 1 1 1
- + - +-+- +- + - + - + - +-+ 3 5 7 11 13 17 19 29 31
e ou finita ou convergente. Esse resultado deve ser contrastado com 0 fato (que esta provado
no Apendice A.II do Volume II) de que a soma dos inversos de todos os primos diverge .
Vimos que os primos sao muito irregularmente distribuidos no meio de todos os inteiros
positivos. 0 problema de descobrir a lei que governa sua ocorrencia - e de compreender as raz6es
disso - e urn dos que tern desafiado a curiosidade humana ha centenas de anos * * .
Muitas tentativas foram feitas para descobrir formulas simples para 0 n.esimo primo p n
e para 0 numero exato de primos entre os primeiros n inteiros positivos. Todos esses esforyos
falharam e foi alcanyado algum progresso real apenas quando os matematicos comeyaram a
procurar informayoes ace rca da distribuiyao media dos primos entre os inteiros positivos.
E costume denotar por 1T(X) 0 numero de primos ~ urn nlirnero positivo x . Assim, 1T(1) = 0,
rr(2) = 1, rr(3) = 2, 1T(4) = 2 e rr(Pn) = n. Em sua adolescencia Gauss , 0 grandematematico,
estudou essa funyao por meio de tabelas de primos, com 0 objetivo de descobrir uma funyao
simples que aproximassse rr(x) com urn erro relativo pequeno para x grande. Mais precisamente ,
ele procurava uma funyao [(x) com a propriedade de que
*
**
\. f (x) - n(x) _ l' ( f (X) - 1) - 0 1m - 1m -- -.
x _ x n(x) x _x n(x)
A referencia-padrao e D. N. Lehmer , List of Prime Numbers from 1 to 10.006.721, Carnegie Institution
of Washington Publication 165 , 1914 .
Em 1751 , Euler exprimiu da seguinte maneira sua perplexidade: "Os matematicos tentaram em wo ate
hoje descobrir alguma ordem na seqiiencia dos numeros primos e temos razao de acreditar que isto e urn
misterio em que a mente humana jamais penetrara". Felizmente , Euler estava errado nessa previ sao
pessimista .
Topicos adicionais 619
isto e, tal que
. 7! (x)
hm f( _) = 1.
x-oc .x
Baseado em suas observayoes ele conjecturou (em 1792, com 14 ou 15 anos) que ambas funyoes
x
In x e
Ji(X) = _ I Ix d ~ In I
eram boas aproximayoes. A funyao li(x) e conhecida como a integrallogaritmica. A tabela seguinte
mostra que sucesso tern essas funyoes.
X 1T(X) x /In x li(x)
1.000 168 145 178
10.000 1.229 . 1.086 1.246
100.000 9.592 8.686 9.630
1.000.000 78.498 72.382 78 .628
10.000.000 664.579 620.421 664.918
Mesmo adulto, Gauss foi incapaz de provar suas conjecturas. Os primeiros resultados solidamente
estabelecidos nessa direyao forani obtidos em tome de 1850, pelo matematico russo Chebyshev,
que mostrou que as desigualdades
sao validas para todo x suficientemente grande. Ele provou tambem que , se 0 limite
I . 7!(x) lm --
x-x x/ In .\"
existe , entao seu valor deve ser 1. 0 passo seguinte - grandioso - foi dado por Riemann em 1859
num artigo breve, de apenas 9 paginas , famoso por sua riqueza de ideias profundas. Riemann , no
entanto , simplesmente esboyou suas provas e assim seu trabalho foi inconclusivo em diversos
aspectos. 0 fim dessa parte da hist6ria veio em 1896, quando Hadamard e de la Vallee Poussin ,
trabalhando independentemente mas baseados nas ideias de Riemann , estabeleceram a existencia
desse limite e desse modo completaram a prova do Teorema dos Numeros Primos:
lim n(x) = 1.
x-~ x/In x
(1)
620 Calculo com Geometria A nalftica
Essa lei relativamente simples e urn dos fatos mais notaveis de toda a Matematica. Se a
escrevermos na forma
lim n(x)/x = I
x-~ I/ In x '
(2)
entao ela adrnite a seguinte interpreta9ao interessante em termos de probabilidade. Sendo n urn
inteiro positivo , entao a razao rr(n)Jn e a proporyao de primos entre os inteiros 1, 2, ... , n; ou ,
de modo equivalente, e a probabilidade de ser primo urn desses inteiros escolhidos ao acaso.
Podemos pensar em (2) como a afirmayao de que essa probabilidade e aproximadamente 1/1n n
para n gran des .
Segue·se bern facilmente do Teorema dos Nfuneros Primos que 0 n.esimo primo e aproxima-
damente n In n, no sentido de que
lim~=1 n-~ n In n . (3)
Para provar , usamos 0 fato de que rr(Pn) = n e inferimos de (1) que
ou lim~=1 n-~ n In Pn . (4)
Tomando agora 0 logaritmo de (4) e usando a continuidade do logaritmo na forma In lim = lim In ,
obtemos
lim (In Pn - In n - In In Pn) = 0
n-=
au
. [In n In In Pn ] bm InPn 1------- =0.
n-= In Pn In Pn
Isto implica que a expressao entre colchetes deve tender a 0, e como a terceira parcela dela
tambem tende a 0 [recordemas que (In n)Jn -+ 0], devemos ter
I· In n 1 lm--= . n-~ In Pn
(5)
Topicos adicionais 621
Com 0 awu1io de (5), obtemos de (4)
I· Pn l' Pn In Pn Im--= Im--'--=l n-~ n In n n-~ n In Pn In n '
o que termina a prova de (3).
E tambem interessante ver que 0 Teorema dos Nfuneros Primos e equivalente a afirma~ao
de que
. n(x)
hm -1'( ) = 1.
x- co 1 X
Para provar, basta mostrar que
pois, se assim for
lim li(x) = l'
x-'" x/In x '
lim n(x) = lim n(x). li(x) = lim ~(x) .
x-'" x/In x x-~ li(x) x/In x x-~ li(x)
Provemos (7). Integrando-se li (x) por partes, obtemos
. (x dt x 2 (x dt
h(x) = J2 };t = In x - In 2 + J2 (In tf'
Como l/(ln t)2 e positivo e decrescente para t> 1, se x;;:. 4 temos
(x dt (-IX dt JX dt
0< J2 (In t)2 = J2 (In tf + -IX (In t)2
..Jx - 2 x - ..Jx
<--+--(In 2)2 (In ..Jx)2
< ..Jx +~ (In 2)2 (In X)2 .
(6)
(7)
(8)
622 Ctilculo com Geometria Analftica
Isto leva a
r x dl/(ln 1)2 I 4
o < )2 < n x + __ .
x/In x JX(ln 2)2 In x
Logo
r x dt/(ln 1)2
lim )2 = o.
x-"" x/In x
(9)
Dividindo-se (8) por x/In x, (7) segue imediatamente de (9) e a prova esta terminada. Esse
resultado mostra que as duas conjecturas do menino Gauss foram confirmadas quando 0 Teorema
dos Nfuneros Primos foi fmalmente provado.
o Teorema dos Nfuneros Primos como proposiyao envolvendo a fuoyao logaritrnica e urn
limite esta obviamente relacionado a AnaIise. Esse fato e muito surpreendente ern vista de que os
primos sao objetos discretos que nao tern aparentemente ligayao com as fuoyoes continuas e
processos de passagem a limite, que sao a essencia da anaIise. Contudo, quase todo trabalho
significativo sobre 0 Teorema de Dirichlet e 0 Teorema dos Nllmeros Primos depende do instru-
mental analitico avanyado
de series infinitas, de Teoria da Variavel Complexa, de transformadas
de Fourier etc. Conseqtientemente, essa parte da Matematica tomou-se conhecida como Teoria
Analitica dos Numeros*.
Problemas
1. (a) Sendo n urn inteiro > 1 nao-primo, mostre que ele pode ser expresso como urn
*
produto de primos. Sugestao : existem inteiros a e b , ambos> 1 e < n tais que
n =ab.
Para inforrnayao suplementar sobre os topicos discutidos acima , veja H. M . Edwards , Riemann 's Zeta
Function, Academic Press, pp . 1-6 e T. M. Apostol , Introduction to Analytic Number Theory, Springer-
Verlag. 1976 , pp . 1-12. Para algumas discussOes sobre plausibilidades extremarnente interessantes que
exprimem urn sentirnento intuitivo do significado do Teorema dos Numeros Primos , veja David
Hawkins, "Mathematical Sieves", Scientific American, Dezembro 1958 e R. Courant e H. Robbins ,
What Is Mathematics? (Oxford University Press, 1941), pp . 482486.
Topicos adicionais 623
(b) Se P1P2 ., . Pm =qlq2 ... qn' on de os P e q sao primos taisque Pl ~P2 ~ ...
~Pm eql ~q2 ~ ... ~qn' mostreque m=ne Pl = q l , P2=q2,·· ·,Pn =qn·
Sugestao: suponha que urn primo que divide urn produto de inteiros positivos divide
necessariamente urn dos fatores (esse fato chama-se Lema de Eue/ides).
2. (Esse problema tern a inten9ao de sugerir que 0 Teorema da Unicidade da Fatora9ao pode
nao ser tao "6bvio" como parece.) A progressao aritmetica 1, 4 , 7,10, ... , 3n + 1, ... e urn
sistema de numeros que - como os inteiros positivos - e fechado para multiplica9ao, no
sentido de que 0 produto de dois nUmeros quaisquer da progressao esta novamente na
progressao. Urn numero P > 1 nessa progressao chama-se pseudoprimo se sua unica fatora-
9ao em fatores que estao ambos na progressao e P = 1 • p_
(a) Mostre que todo nUmero > 1 na progressao e ou urn pseudoprimo ou pode ser expres-
so como urn produto de pseudoprimos.
(b) Liste todos os pseudoprimos ~ 100.
(c) Determine urn numero da progressao que pode ser expresso como urn produto de
pseudoprimos de duas maneiras diferentes.
3. (a) Afirma-se no texto que a progressao aritmetica 1, 5, 9 , l3 , 17 , .. . , 4n + 1, ... contem
infinitos primos. Tente provar tal afirma9ao imitando a prova do Teorema 3 , ou seja,
listando todos os primos da progressao ate algum primo P dado (5, 13 , 17, ... , p) e
considerando 0 numero N= 4 (S-l3-17· . • p) + 1. Em que ponto falha essa prova?
(b) Sabe-se (e foi primeiramente provado por Euler em 1749) que todo fator primo impar
de urn numero da forma a2 + 1 e necessariamente da forma 4n + 1. Use isto para
provar a afirmativa em (a) considerando 0 numero
M = (2 ' 5 · 13 · 17 .. . p)2 + 1
=4(5 '1 3'1 7 .. . p)2 + 1.
4. Prove que a progressao aritmetica 5, 11, 17, ... , 6n + 5, .. , contem fnfinitos primos. Sugestao:
o termo geral dessa progressao e 6n - 1.
5. Prove a equa9ao (7) usando a regra de L'Hospital.
A.a A SOLUCAO DE BERNOULLI PARA 0 PROBLEMA DA
BRAQUISTOCRONA
Como explicamos na Se9ao 17.2 (y olume II), iniciaremos com urn ponto P o e urn ponto
mais abaixo P1 e procuraremos a forma do fio curvo que une esses pontos no qual uma conta
deslizar4 sem atrito no menor tempo poss(vel.
624 Calculo com Geometria Analftica
Consideraremos inicialmente urn problema, aparentemente nao-relacionado, de 6ptica.
A Fig. A. 5 ilustra uma situa9ao em que urn raio de luz vai de A a P com velocidade constante
V 1 e depois , entrando num meio mais denso , vai de P a B com uma velocidade menor V2'
Figura A.5 A refra~1io da luz.
Em termos da nota9ao da figura, 0 tempo total T necessario para 0 percurso e dado por
Admitind6 que esse raio de luz seja capaz de escolher sua trajet6ria de A aB de modo a minimizar
T, entao dT/dx = 0 e com urn pouco ae trabalho vemos que a trajet6ria que minimiza T e
caracterizada pela equa9ao
sen a l = sen a 2
VI V2
Esta e a Lei da Refrariio de Snell * . A hip6tese de que a luz vai de urn ponto a outro ao longo da
trajet6ria no menor tempo chama-se Princz'pio do Menor Tempo de Fermat. Esse principio nao
apenas fornece urna base racional para a Lei de Snell- que e fato experimental - mas tambem
pode ser aplicado para determinar a trajet6ria de urn raio de luz atravessando urn meio de
densidade variavel, onde em geral a luz realizara percursos curvos em 'vez de retos. Na Fig. A.6a
temos urn meio 6ptico estratificado. No interior das camadas a velocidade da luz e constante , mas
a velocidade decresce de urna camada para a'que esta abaixo dela.
* Veja 0 Exemplo 4 da Se~o 4.4 .
T6picos adicionais 625
(II I (b )
Figura A.6 Refra~ao em outros meios opticos.
Quando 0 raio de luz descendente passa de camada a camada , e refratado mais e mais em direyao a
vertical a interface. Aplicando a Lei de Snell nas fronteiras entre as camadas , obtemos
Se , a seguir , considerarmos que essas camadas se torn am mais finas e mais numerosas, entao no
limite a velocidade da luz decresce continuamente quando 0 raio de luz desce ; concluimos que
sen Cl'
-- = constante.
v
Essa situa9ao e indicada na Fig. A.6b; e aproximadamente 0 que acontece a urn raio de luz de
Sol caindo sobre a Terra , sendo amortecido ao atravessar a atmosfera de densidade crescente .
Voltemos agora ao problema da braquist6crona : introduzimos urn sistema de coordenadas,
como na Fig. A.7 , e consideramos que a conta (como 0 raia' de luz) seja capaz de escolher a
trajet6ria em que ira deslizar de Po a PI no menor tempo possive!. 0 arglimento dado acima leva a
sen Cl' = constante.
v
(1)
626 Ctilculo com Geometria Analttica
Se a conta tern massa m, mg e a for~a dirigida para baixo que a gravidade exerce sobre ela.
Sabemos que 0 trabalho realizado pela gravidade fazendo a conta deslizar e , pelo fio e igual ao
aumento da energia cinetica da conta e, portanto, mgy = ; mv2 • Isto da
v = .f5iY. (2)
Pela geometria da situa~ao, temos tambem
FiguraA.7
1 1
sen 0' = cos fJ = -- = r.=:===;~
sec fJ .J 1 + tg 2 {3 ,j 1 + (y')2 (3)
Cornbinando as equa~Oes (1), (2) e (3) - obtidas da Optica, Mecanica e Clilculo . obtemos
y [ 1 + (y')2 ] = c, (4)
que e a equa~ao diferencial da braquistocrona.
Completamos nossa discussao descobrindo que a curva e realmente a braquistocrona por
meio da resoluyao da equayao (4). Substituindo·se y' por dy/dx e separando·se as variaveis , (4)
se torna
logo
dx = ~ Y dy,
c - y
x= f ~ Y dy.
c- y
Calculamos essa integrallanyando mao da substituiyao algebrica u2 = y/(c - y):
cu2
y= 1 + u2 e
2cu
dy = (1 + u2)2 duo
T6picos adicionais 627
EnHio
Agora utilizando a substitui9ao trigonometrica U = tg 1/>, du = sec2 I/> dl/> obtemos
x = f 2c tg 2 ¢ sec2 ¢ d~
(I + tg 2 ¢)2 '+'
f tg 2 ¢ f = 2c sec2 ¢ d¢ = 2c sen 2 ¢ d¢
= c f (I - cos 2¢) d¢ = ~ C(2¢ - sen 2¢).
A constante de integra9ao e zero, pois y = 0 quando I/> = 0 , e como Po esta na origem, queremos
tambem ter x = 0 quando I/> = O. A f6rmula para y e
_ C tg 2 ¢ _ 2 _ I
Y - 2 ,J.. - C sen ¢ - -2 c( 1 - cos 2¢).
sec '+'
1 Simplificamos agora nossas equa90es escrevendo a = "2 c e () = 2ip , chegando fmalmente a
x = a(8 -sen 8), y = a( 1 - cos 8).
Estas sao as equa90es parametricas padrao da cicl6ide, com uma cuspide na origem. Observamos
que existe urn unico valor de a com 0 qual 0 primeiro arco invertido dessa cicl6ide passa pelo
ponto P l na Fig. A.7, . pois, se a assume valores de 0 a 00, entao 0 arco se infla, varre 0 prirneiro
quadrante do plano e passa evidentemente por Pl para urn linico valor de a.
APENDICE
B
A TEaR IA DO CALCU La
Quando um estudante comera a estudar Matemdtica seriamente, ele acredita que sabe 0 que e
[rariio, 0 que e continuidade e 0 que e area de uma super[icie curva; ele considera como evidente,
por exemplo, que uma [unriio continua
niio pode mudar de sinal sem se anular. Se, sem
qualquer preparariio, dissermos a ele: Niio! isto niio e, de modo algum, evidente e devemos
demonstrd-lo e se a demonstrariio repousa sabre premissas que niio the parecem mais evidentes do
que a conclusiio, 0 que pensard esse in[eliz estudante? Ele pensard que a Matemdtica e apenas
uma acumularao arbitraria de sutilezas inuteis, [icard desapontado ou ird se divertir com ela como
se [osse um jogo e chegard a um estado mental semelhante ao dos sofistas gregos.
Henri Poincare
o que e tempo? Se ninguem me perguntar, eu sei 0 que e; se eu desejar explicar a quem perguntar,
niio sei.
Santo Agostinho
A convicriio niio e um teste de certeza. Podemos estar absolutamente certos de muitas coisas que
niio siio certas.
O. W. Holmes, Jr.
8.1 0 CONJUNTO DOS NOMEROS REAIS
Quando considerado por si mesmo e independente de quaisquer aplicayoes que possa ter ,
o conjunto dos numeros reais surge como uma estrutura intelectual intrincada cujas complexidades
sem fim sao de interesse principalrnente dos matematicos. Entretanto, do ponto de vista pnitico,
e 0 fundamento sobre 0 qual repousam todos os outros ramos da Matematica, e , como tal , esta
na base de todo aspecto quantitativo da vida civilizada.
628
A teoria do cdlculo 629
A maioria das pessoas aprende na escola a utilizar os numeros reais para contagem, medida e
resoluyao de problemas algebricos. Apesar disso, nao importa quanta habilidade dessa especie
desenvolvamos , somente algumas pessoas se confrontam com a questao de saber exatamente 0
que_ sao os numeros reais . Nosso prop6sito aqui e responder a essa questao tao breve e c1aramente
quanta possivel. Ao fazer assim, forneceremos tambem urna base adequada para as discussoes
da Teoria do Ca1culo, que ·sao apresentadas nas seyoes seguintes.
Ha diversas maneiras de se apresentar 0 conjunto dos numeros reais. Adotamos a mais
eficiente delas - a abordagem axiomatica -, na qual comeyamos com os pr6prios numeros reais
como objetos indefmidos dados possuindo certas propriedades simples que utilizamos como
axiomas. Isto significa que supomos que exista urn conjunto R de objetos, chamados nUmeros
reais, que satisfazem os dez axiomas listados nas paginas seguintes. Todas as propriedades
subsequentes dos numeros reais , independentemente de quao profundas elas possam ser, sao, em
ultima instiincia , demonstraveis como consequencias 16gicas. Os axiomas se colocam em tres
grupos naturais . Os do primeiro grupo sao enunciados em termos das duas operayOes + e ., adiyao
e multiplicayao, que podem ser aplicadas a qualquer par x e y de numeros reais para produzir
sua soma x + y e seu produto x . y (denotado tambem mais simplesmente por xy).
Axiomas de Algebra
1. Leis comutativas : x + y = Y + x, xy = yx.
2. Leisassociativas x+(y+z)=(x+y)+z, x (yz)=(xy)z.
3. Lei distributiva : x (y + z) = xy + xz.
4. Existencia de elementos neutros : existem dois numeros reais distintos, denotados por 0 e 1,
tais que 0 +x =x + O=x e 1 . x =x . 1 =x para todox .
5. Existencia de opostos: para cada x, existe urn unico y tal que x + y = Y + x = O.
6. Existencia de inversos: para cada x =1= O. existe urn unico z tal que xz = zx = l.
o numero y em (5) e costumeiramente denotado por -x, e z, em (6), por l/x ou x- l . A
subtrayao e a divisao podem agora ser definidas por x - y = x + (-y) e x/y = x(l ly). Todas as
leis usuais da Algebra Elementar podem ser deduzidas a partir desses axiomas e defmiyoes.
Ilustramos esse processo dando tres provas muito curtaS.
Exemplo 1 (i) x + Y = x + z implica y = z (a lei do cancelamento da adiyao). Prova Como
x +y=x +z, (-x) +(x +y) = (-x) +(x +z) ; por (2), [(-x)+x] +y= [(-x)+x]+z;por(5),
o + y = 0 + z; e por (4) y = z.
(ii) x . 0 = O. Prova (4) da 0 + 1 = 1, logo x (0 + 1) = x . 1 por (3),x • 0 + x • 1 = x· 1; por (4),
x . O+x =x = 0 +x;por(l) ,x +x • O=x + O; e por(i) ,x . 0= O.
630 Oilculo com Geometria Anal(tica
(iii) (-1)(-1) = 1. Prova (5) da 1 + (-1) = 0, logo multiplicando-se por (-1) e usando (3),(4)
e (ii), obtemos (-1) + (-1) . (-1) = 0; e somando 1 a ambos os membros desta , obtemos
( - 1) . (-1) = 1 ap6s red uyao cuidadosa.
o pr6ximo grupo de axiomas permite-nos estabelecer uma relayao de ordem no conjunto
dos nfuneros reais. E conveniente introduzir essa relayao indiretamente , baseando-a nurn conceito
de positividade. Isto significa que supomos que exista em R urn subconjunto especial P,
chamado 0 conjunto dos numeros positivos, que satisfaz os tres axiomas listados a seguir.
A afirmayao de que urn numero x pertence ao conjunto P e simbolizada escrevendo-se
o < x, ou, de modo equivalente,x > o.
Axiomas de Ordem
7. Para cada x, uma e somente uma das seguintes possibilidades e verdadeira:
x =O, X>O , - x >O.
8. Se x e y sao positivos , entao x + y tambem e.
9. Se x e y sao positivos , entao xy tambem e.
Introduzimos agora as familiares relayoes de ordem< e >como se segue:x <y significa que
y - x > 0 ex> y e equivalente a y < x. Como e usual ,x o;;;; y significa que x <y oux:: y,
e x ~ y e equivalente a y 0;;;; x. Todas as regras habituais para se trabalhar com desigualdades
podem ser provadas como teoremas com base nesses axiomas e defmiyOes.
Exemplo 2 E muito facil mostrar que , para quaisquer nfuneros reais x e y, uma e somente uma
dessas propriedades e verdadeira: x :: y, X < y, x > y (Prova: aplique (7) ao numero y - x _)
Consideramos a seguir as provas dos seguintes fatos familiares:
Sex <y ey <z, entao x <Z.
Se x> 0 e y <z, entao xy <XZ.
Se x < Oey <z,.entaoxy>xz.
Se x <y, entao x + y <y + Z para qualquer z.
As definiyoes permitem-nos expressar essas afumayoes em formas equivalentes que sao mais
convenientes do ponto de vista de fornecer provas:
Se y - x > 0 e z - y > 0 , entao z - x > O.
Se x > 0 e z - y > 0 , entao xz - xy > O.
Se -x > 0 e z - y > 0, entao xy - XZ > O.
Se y - x > 0, entao (y + z) - (x + z) > 0 para qualquer z.
A teoria do ctilculo 631
A prime ira dessas asseryoes e uma consequencia 6bvia de (8) , a segunda e a terceira
seguem-se diretamente de (9) e a quarta e trivial , pois
( y + z) - (x + z) = y - x.
o programa de deduzir cuidadosamente todas as propriedades algebricas e de ordem de R
a partir dos axiomas (1) a' (9) e bastante longo e mon6tono , e nenhum objetivo util poderia
ser atingido prosseguindo nesse aspecto do assunto. E suficiente que os estudantes compreendam
que esse programa pode ser executado. Ornitimos os detalhes.
Os nove axiomas dados acima nao deterrninam completamente 0 conjunto dos nlimeros
reais. Isto e muito facil de se ver observando-se que 0 conjunto Q de todos os numeros raciQnais
e urn conjunto de numeros diferente de R mas satisfaz tambem todos os nove axiomas.
Naturalmente, a diferenya entre Q eRe sirnplesmente que' Q nao contem os irracionais , que
todo sistema de numeros trabalhavel deveria conter. Urn axioma a mais e necessario para garantir
que R esteja livre desse defeito , ou , de modo equivalente, para que 0 conjunto dos numeros
reais nao tenha "falhas" ou "buracos".
Duas definiyoes preliminares sao necessarias antes de enunciarmos 0 nosso axioma final .
Ambas referem-se a urn conjunto arbitrario S de numeros reais. Urn numero real b chama-se
urn majorante de S se x ';;;; b para todo x de S. Alem disso , urn numero real bo chama-se
supremo de S se (i) bo e urn majorante de S e (ii) bo ,;;;; b para todo majorante b de S. Urn
conjunto tera muitos majorantes se tiver urn , mas pode ter apenas urn supremo. A prova e facil :
se bo e b l sao ambos supremos de S, entao bo ,;;;; b l (pois bo e urn supremo e b l e urn
majorante) e b I ,;;;; bo (pois b l e urn supremo e bo e urn majorante) , logo bo = b l . Esse
argumento perrnite-nos falar de a supremo de S. Esses conceitos podem ser ,visualizados da
maneira usual, na Fig. B.l.
Supremo bo Majorantes b
,~ ~
Figura B.l
Exemplo 3 0 conjunto de todos os inteiros positivos nao tern majorante . Se S e 0 intervalo
fechado 0 ,;;;; x ,;;;; 1, entao os numeros 1; 2 ; 3 ,74 e 513 (dentre outros) sao todos majorantes de
S e 1 e 0 menor dos majorantes. As mesmas afirmayoes sao verdadeiras se S eo intervalo aberto
o < x < 1. No primeiro caso, 0 supremo 1 pertence ao conjunto S mas , no segundo caso , nao. 0
1 2 3 n
conjunto S, constitu{do de todos os mimeros da sequencia "2' 3"' "4 ' ... , n + 1 ' ... , tambem
tern 1 como seu supremo.
632 Ctilculo com Geometrio Analftica
o axioma seguinte e 0 axioma fmal para 0 conjunto dos nfuneros reais R.
Axiomas do Supremo
10. Todo conjunto nao-vazio de nfuneros reais que tern majorante tern tarnbem supremo.
Esse axioma garante que 0 conjunto de nfuneros reais tern a propriedade de "completivi-
dade" ou "continuidade" que e absolutamente essencial para 0 desenvolvimento do c,ilculo. A
melhor maneira de compreender 0 significado desse axiom a e observar que nao e verdadeiro
para 0 conjunto Q dos mimeros racionais. Se S e tornado como sendo 0 conjunto dos racionais
positivos r tais que r2 < 2, enta~ Stem majorante em Q mas nao tern supremo em Q (0
supremo de S em R e 0 , mas esse numero nao esta em Q).
Observayao 1 Inferimos mas nao estabelecemos de fato que os 10 axiomas dados aqui caracte-
rizam completamente 0 sistema dos numeros reais R. 0 significado dessa afirmayao pode ser
esclarecido formulando-se nossas ideias a urn nivel mais abstrato , como se segue. Na Algebra
Moderna , urn conjunto de objetos que satisfaz os axiomas (1) a (6) charna-se corpo. Ha muitos
corpos diferentes, alguns finitos e outros infinitos. 0 mais simples deles consiste em dois
elementos 0 e 1 apenas; com adiyao e multiplicayao definidas por
0+ 0 = 0,
0'0=0,
0+ 1 = 1 +0= 1,
0·1 = 1·0 = 0,
1 + 1 = 0,
1·1 = l.
Urn corpo que satisfaz os axiomas adicionais (7) a (9) charna-se corpo ordenado. Tanto Q como
R sao corpos ordenados, mas existem tambem outros. Pode ser provado que urn corpo orden ado
deve ter infinitos elementos distintos; logo, alguns corpos - incluindo 0 corpo de dois elementos
acirna mencionado - nao podem ser ordenados. Utilizamos 0 axioma (10) para estreitar nosso
objetivo ainda mais : urn corpo ordenado que satisfaz ' esse axioma charna-se corpo ordenado
comp/eto. Pode ser provado que dois corpos ordenados completos sao abstratamente identicos
num sentido bastante preciso , logo existe realmente apenas urn , ou seja, R *.
E portanto possivel defmir urn nfunero real muito sirnplesmente como urn elemento de urn
corpo ordenado completo. Entretanto, e claro que urna tal definiyao pode ser considerada
insatisfatoria , sem uma boa quantidade de explicayoes e provas prelirninares.
Observayiio 2 Pode haver alguns leitores excessivarnente ceticos que pensem consigo mesmos :
"0 que 0 autor diz parece ser suficientemente razoavel, casa, em primeiro lugar, exista 0 conjunto
dos numeros reais R . Mas como sabemos que existe? Alem disso , esse sistema numerico nao e urn
objeto fisico que possa ser visto e tocado , mas urna criayao da mente - como urn unic6rnio - e
talvez nos nos enganemos supondo que exista".
* Para uma discus sao posterior com pro vas (ou esboyos de provas) veja pp. 1-8 do primeiro volume de
E. Hille, Analytic Function Theory, Ginn & Co , 1959.
A teona do cdlculo 633
Ha duas maneiras de responder a essa objeyao. Uma e dar uma definiyao concreta de R
como 0 conjunto de todos os decimais infinitos, com a concordiincia usual de que decimais tais
como 0,25000 ... e 0,24999 ... devem ser considerados iguais . A adiyao, mUltiplicayao eo conjunto
dos numeros positivos devem agora ter definiyoes satisfat6rias e , nesse esquema, nossos axiomas
(1) a (10) tornam-se teoremas cujas provas ap6iam-se pesadamente sobre essas defmiyoes. Esse
programa e surpreendentemente diflcil de ser cumprido *.
Uma segunda abordagem e utilizar os inteiros positiv~s muito mais basicos como suporte
para a construyao explfcita passo a passo do sistema de numeros reais - primeiro os inteiros,
depois os racionais e finalmente os reais. Dessa vez os axiomas (1) a (10) aparecem como teoremas
que podem ser deduzidos a partir das propriedades dos inteiros positivos**.
Nao encorajamos os estudantes a investigarem esses assuntos , pOis nao ha parte da
Matematica mais tediosa e menos gratificante do que a construyao detalhada do sistema dos
numeros reais, quaisquer que sejam os metod os.
B.2 TEOREMAS SOBRE LlMITES
Comeyamos recordando a definiyao de limite de uma funyao dada na Seyao 2.5. Considere
uma funyao [(x) definida para valores de x arbitrariamente pr6ximos de urn ponto a sobre 0
eixo x mas nao necessariamente no pr6prio a. Urn outr~ modo de exprimir esse requisito e
dizer que hli x no domlnio da funyao que satisfazem as desigualdades 0 < Ix - al < 0 para
todo numero positiv~ 0. Nessas circunstancias, a afirmayao de que
lim f(x) = L
significa, por definiyao , 0 seguinte: para cada numero positivo € , existe urn numero positivo 0
com a propriedade de que
If(x) - L I < E
para todo x no dominio da funyao que satisfaz as desigualdades
o <Ix -al< 6.
* Veja 0 Cap Itulo 1 de 1. F . Ritt , Theory of Functions, King's Crown Press, 1947.
** A Conte classica dcssa constru ~iio e E . Landau, Foundations of Analysis, Chelsea , 1951.
634 Cdlculo com Geometria Analftica
Na esperanya de esc1arecer 0 significado da defmiyao, examinamos a maneira em que e usada
num caso particular simples. E 6bvio, por verificayao direta, que
lim (3x- 1) = 2. (1)
x-I
Entretanto, para provar isto utilizando a defmiyao, devemos comeyar com urn numero
positivo E e determinar urn [) > 0 que "funcione" para esse E no sentido de que
o <lx -l l< o implica l(3x - 1) - 21 < E. (2)
Mas a ultima desigualdade aqui e a mesma que 13x - 31 < E ou - E < 3x - 3 < E; ap6s
divisao por 3 se torna - ~ E < x-I < ~ E. Isto sugere que [) = ~ E deve servir. Para mostrar
que e assim, observamos que se 0 < Ix - 11 < . ~ E, entao -~E < x-I < ~ E, 0 que
1 implica - E < 3x - 3 < E ou 1(3x - 1) - 21 < E. Assim, para todo E > 0, 0 nUmero [) = 3" E tern
realmente a propriedade enunciada em (2). 0 requisito da definiyao esta portanto satisfeito e (1)
esta provado.
E natural fazer objeyao de que esse procedimento de provar cuidadosamente uma afmnayao
transparente como (1) e urn ritual vazio e uma perda de tempo. Entretanto, a questao e esta:
(1) e obviamente verdadeiro e nao preCisa realmente de uma prova, mas muitos limites impor-
tantes estao longe de serem 6bvios e nao podem ser tratados com simples inspeyao. Por exemplo,
nao ha exagero em dizer que grande parte .da Matematica avanyada desapareceria como furnaya
sem as ideias e os metodos que dependem dos limites fundamentais
lim sen x = 1
x-a x
e lim (1 + X)I /X = e.
x- a
(A constante fundamental denotada por e foi oficialmente introduzida no Capitulo 8; 0 seu valor
aproximado e 2,71828.) Necessitamos de instrumentos poderosos para tratar limites como esses
e nao de ideias vagas e conceitos confusos. Provamos (1) nao por si mesma mas para ilustrar 0
uso da defmiyao de limite de uma funyao. Essa definiyao nao tern a intenyao de ser meramente
uma descriyao passiva no sentido de muitas definiyOes de dicionario. Pelo contrmo, e urn illstru-
mento afiado para demonstrayoes que e capaz de ser manipulado efetivamente em argumentos
complexos e sutis onde 0 pensamento descuidado nao traz nada a nao ser· confusao. Almejamos
dois objetivos com os teoremas e provas dados abaixo: prime"iro, estabelecer os pr6prios resultados
e consequentemente fomecer urna s6lida · fundamentayao 16gica para todo nosso trabalho que
depende de limites de funyoes; e , segundo, ilustrar adicionalmente
0 usa da defmiyao no'
instrumental de pro vas formais.
A teoria do cliclulo 635
Nosso primeiro teorema enuncia urn fato que muitas pessoas assumem como garantido
sem compreender completamente , ou seja, que uma fun~ao rCx) nao pode tender a dois limites
diferentes quando x tende a a.
Prova Nosso metodo de prova e mostrar que a hip6tese LI =1= L2 leva a conc1usao absurda
ILl - L21 < IL I - L21. Assumimos, portanto , que LI =1= L 2 , de modo que ILl - L2 Ie positivo
1
e seja E 0 numero positivo 2" I L I - L21. Pela prime ira hip6tese existe urn numero 8 I > 0
tal que
irnplica II(x) - Ld < E.
e , pela segunda hip6tese , existe urn numero 82 > 0 tal que
implica IICr) - L21 < E.
Defina 8 como 0 menor dos numeros 8 I e 82 . Entao , 0 < I x - a I < 8 implica ambas
e , portan to ,
II(x) - L II < E e
IL l - L 21 = I[L I - ICx) ] + [I(x) - Lz]1
,s IL l - I(x) I + I/(x) - L 21
Essa contradi~ao - de que 0 numero ILl - L 2 Ie menor que ele mesmo - mostra que nao pode
ser verdade que ILl - L21 seja positivo; logo , LI =L 2 .
636 Oilculo com Geometria Analftica
Teorema 2 Se f(x) = x , entao lim f(x ) = a;
isto e,
lim x = a.
Prova Seja E > 0 dado e escolha [j = E. Entao 0 < Ix - al < [j = E implica If(x) - al < E, pois
f(x) =x.
Teorema 3 Se f(x) = e, onde c; e uma constante, entao lim f(x) = e, isto e,
lim e = e.
Prova Como If(x) - el = Ie - el = 0 para todo x, qualquer [j > 0 serve, pois If(x) - el sera
< E para todo E > 0 dado e para todo x.
Teorema 4 Se limx_a f(x) = L e limx_ a g(x) = M ,
entao
(i) limx_ a [f(x) + g(x) ] = L + M ;
(ii) limx_ a [f(x) - g(x) ] = L - M; e I
(iii) limx_ al(x )g(x) = LM.
Prova Para (i), seja dado E> 0 , seja [j 1 > 0 urn nfunero tal que
implica If(x) - L I < tE,
A teona do cdlculo 637
e seja 02 > 0 urn nfunero tal que
impIica Ig(x) - MI < !E.
Defma 0 como 0 menor dos numeros 01 e 02' Entao 0 < Ix - al <0 implica
e isto prova (i).
l[f(x) + g(x)]- (L + M)I = l[f(x) - L] + [g(x) - MTI
:S If(x) - L I + Ig(x) - M]
<!E + 1E = E,
o argumento para (ii) e quase identico ao que acabamos de dar e sera omitido. Para provar
(iii) desejamos fazer a diferenya I(x) g(x) -:- LM depender das diferenyas 1(X) - L e g(x) - M.
Isto pode ser obtido subtraindo e somando/(x)M como se segue :
If(x)g(x) - LM] = l[f(x)g(x) - f(x)M ] + [f(x)M - LM]I
:S If(x)g(x) - f(x)MI + If(x)M - LM]
= If(x)llg(x) - M] + 1M] If(x) - L I
:S If(x)llg(x) - M] + (IMI + 1)lf(x) - L I·
Seja dado E > O. Sabemos que existem numeros positivos 01,02 e 03 tais que
implica If(x) - L I < 1,
que por sua vez, implica If(x)1 < ILl + 1;
o < Ix - al < O2 implica Ig(x) - MI < ~ E CLI ~ 1);
o < Ix - al < 03 implica If(x) - L I < ~ E CM] 1+ 1)·
638 Ctilculo com Geometrio Analftica
Defina 0 como 0 menor dos nfuneros 0 1 , 02 ,0 3 , Entao 0 < Ix - al < 0 implica
If(x)g(x) - LM! < te + ! e = e,
e a prova de (iii) esta terminada.
Teorema 5 Se limx_ a!(x) = L e limx _ a g(x) = M onde M =1= 0, entiio
lim f(x) =~ .
x - a g(x) M
Prova Do Teorema 4 [parte (iii)] e do fata de que
basta provar que
f(x) 1
g(x) = f(x) . g(x) ,
. r 1 lim -=-.
x -a g(x) M
Comeyamos com 0 fato de que , se g(x) =I=- 0, en tao
I
1 1 I Ig(x) - MI
g(x) - M = 1M! Ig(x)1 .
Escolha (j 1 > 0 de modo que
Para esses x temos
1 Ig(x) I > 2 1MI
implica Ig(x) - M! < tiM! . .
ou
1 2
-- < -
Ig(x) I IMI '
A teoria do ctilculo 639
e, portanto ,
1
1 1 I 2 g(x) - M < IMI2Ig(x ) - MI.
Seja € > 0 dado e escolha {j2 > ,0 de modo que
implica Ig(x) - MJ < IA~F E.
Definimos agora {j como 0 menor dos numeros {j 1 e {j 2. Observando que
0 < Ix - al < c5 implica
conc1uimos 0 argumento.
Teorema 6 Se existir um numero positivo p com a propriedade de que
g(x) :s f(x) :S hex)
para todo x que satisfara as desigualdades 0 < Ix - al <p, e se limx~a g(x) = L e
lill7x~a hex) = L, entao
lim f(x) = L.
x~a
Prova Essa proposicrao e as vezes chamada "Teorema do Confronto (ou do sandufche)", po is diz
que uma funcrao , comprimida entre duas funcroes que tendem ao mesmo limite L , deve tambem '
tender a L (veja a Fig. B.2). Para provarmos , seja dado € > 0 ; escolha numeros positivos {j 1 e
{j2 de modo que
implica L - € < g(x) < L + €
e
implica L - E < hex) < L + E.
640 Ctilculo com Geometria Analftica
y
•
a
Figura B.2
x
Defma 0 como 0 menor dos nfuneros p, 0 1 , 02 . Entao 0 < I x - a I < 0 implica
L - E < g(x) ~ f(x) ~ h(x) < L + E,
logo If(x ) - L I < E , e a prova esta completa.
ContinuarI).os provando alguns fatos simples sobre funyoes continuas que se seguem quase
imediatamente desses teoremas sobre limites. Antes , no entanto , vamos recordar que uma funyao
f(x ) se diz contz'nua num ponto a se
lim f(x) = f(a) .
x~a
Convem, as vezes , usar a versao em epsilon e delta dessa afirmayao : para cad a E > 0 existe
urn 0 > 0 com a propriedade de que
If(x) - f(a) I < E
para todo x no domfnio da funyao que satisfaz a desigualdade
Ix - al < 15.
Teorema 7 Se fC?:) e g(x) sao contz'nuas num ponto a, entao f(x) + g(x), f(x) - g(x) e f(x )g(x)
sao tambem contz'nuas em a. Alem disso, f(x )/g(x ) e contz'nua em a se g(a) =1= O.
A teoria do cdlculo 641
Prova Provarnos apenas a afrrmacrao relativa a [(x) + g(x) , sendo semelhantes os argumentos
para as outras demonstracroes. Como [ (x ) e g(x) sao continuas em a, temos
lim I(x) = I(a) e lim g(x) = g(a).
x~a
A parte (i) do Teorema 4 garante-nos agora que
lim [f(x) + g(x)] = I (a) + g(a),
x~a
e isto prova que [(x ) + g(x ) e continua em a.
Teorema 8 As [unroes [(x) = x e g(x) = c, onde c e uma constante, sao continuas para todos
os valores de x .
Prova Essas proposicroes seguem-se imediatarnente dos Teoremas 2 e 3.
Teorema 9 Todo polinomio
(3)
e continuo para todos os valores de x.
Prova Pelo Teorema 8 e pel a parte de multiplicacrao do Teorema 7, cada uma das seguintes
fu.ncroes e continua para todos os valores de x: x, x 2 = X • x; x 3 = X • x 2 , . •• , x" para todo inteiro
positiv~ k e cxk , onde c e uma constante qualquer. Como 0 tenno constante ao e continuo,
isto nos diz que cada tenno de (3) e continuo para todos os valores de x e obtemos a conclusao
por aplicacrao repetida da parte de adicrao do Teorema 7.
Teorema 10 Toda [unriio radonal
P(x)
R(x ) = Q(x) ,
onde P(x) e Q(x) sao polinomios, e continua para todos os valores de x para os quais Q(x) * O.
Prova Esta e uma consequencia imediata do Teorema 9 e da parte da divisao do Teorema 7.
Concluimos esta secrao provando que "uma funcrao continua de uma funcrao continua e
continua" .
642 Calculo com Geometrio Analftica
Teoremall Se g(x) e continua no ponto a e se [(x) e cont(nua em g(a), entiio a [urlfiio
composta [(g(x)) e contz'nua no ponto a.
Prova Seja dado € > O. Como [(x) e continua em g(a) , sabernos que existe <5 1 > 0 tal que
I!(g(x)) - !(g(a))1 < E (4)
se
Ig(x) - g(a)1 < 61 • (5)
Mas g(x) e continua em a, logo existe <5 > 0 tal que Ix - al < <5 irnplica Ig(x) - g(a)1 < <5 1 .
Vernos , portanto , que Ix - al < [j irnplica (5) , 0 que por sua vez implica (4) , e isto e tudo 0 que
e necessario para cornpletar a prova.
B.3 ALGUMAS PROPRIEDADES MAIS PROFUNDAS DAS FUNCOES
CONTrNUAS
Recordamos que urn intervalo [echado [a, b] do eixo x e urn intervalo ao qual pertencern
suas extrernidades a e b. Urna funyao diz-se continua num intervalo [echado se e defmida e
continua em cada ponto do intervalo. Funyoes dessa especie tern diversas propriedades
importantes que discutirernos e provarernos agora.
Teorema 1 (Teorema da Limitayao) Seja [(x) uma [unriio continua sobre um intervalo [echado
[a, b]. Entiio [(X)I e limitada sobre [a, b], isto e,
existe um numero C com a propriedade de que
I [(x) I ~ C para todo x em [a , b] .
Urn born modo de estudar criticamente urn teorerna como este ever 0 que acontece se as
hip6teses forern enfraquecidas ou eliminadas. No Teorerna 1 ha duas hip6teses principais : (1) 0
intervalo [a , b] e fechado; e (2) a funyao [(x ) e continua em cada ponto do intervalo. Mostramos
por exernplos que se algurna das hip6teses for enfraquecida, entao a conc1usao do teorerna podera
ser falsa.
Exemplo 1 A funyao [(x) = .l e evidenternente continua sobre 0 intervalo fechado [1,2];
x
logo , de acordo com 0 Teorema 1,f(x) deve ser limitada nesse intervalo. De fato , urna lirnitayao
C e facil de encontrar :
1 [(x) l ~ l paratodoxern [1 ,2 ].
Al<~m disso (veja a Fig. B.3),
y
•
• o
3
1
"2
A teoria do cdlculo 643
x
2
Figura B.3
f(x) e continua sobre 0 intervalo [l In, 2] para todo inteiro positivo n e , nesse caso , 0 numero n
e uma limi ta<;ao :
I [(x) I,,;;, n para todo x em [l In, 2].
Por outro lado, f(x) e tambem continua no intervalo nao-fechado (0, 2], mas f(x) nao e
limitada nesse intervalo . Pois , nao importa quao grande seja 0 valor de C que tomemos , hci pontos
no intervalo para os quaisf(x) > C; especificamente se 0 < x < l / C, entao [(x) = llx > c. Isto
mostra que a hip6tese exigindo que 0 intervalo [a, b] seja fechado e necessaria.
Agora ampliamos a defini<;ao de [(x) para incluir 0 ponto x = 0 , colocando
I(x) = {~/X seO <x,,; 2,
se x = O.
Essa fun<;ao e definida em todo 0 intervalo fechado [0 , 2] e e ilimitada nesse intervalo pela
mesma razao. Dessa vez a conclusao do Teorema 1 e falsa, porque a fun<;ao [(x) nao e continua
em cad a ponto do intervcilo fechado; ela e descontinua no ponto x = O.
Essas observa<;oes mostram que as hip6teses do Teorema 1 nao podem ser enfraquecidas e
a prova seguinte demonstra que, com ambas as hip6teses no lugar, a conclusao do teorema e
inevitavel.
644 Calculo com Geometria Analftica
Prova do Teorema 1* Nossa prova utiliza 0 fato de que urn conjunto nao-vazio de nfuneros
reais com urn majorante tern necessariamente urn supremo (veja 0 Apendice B.l). Seja S 0
conjunto de todos os pontos c em [a, b] com a propriedade de que I(x) e limitada em [a, c] .
E claro que S e nao-vazio e tern b como urn majorante e, portanto, tern urn supremo que
denotaremos por Co. Afirmamos que Co = b. Para provar isto, suponha que Co < b. Como I(x)
e continua em x = co, e facil ver que I(x) e limitada sobre [co - e , Co + e] para algurn e> O.
Comof(x) e tambem limitada sobre [a, Co - e], e evidentemente limitada sobre [a , Co + e] . Isto
contradiz 0 fato de que Co e 0 supremo de S; logo , Co = b. Isto nos diz que I(x) e limitada sobre
[a, c] para todo c < b. Urn passo a mais e necessario para terminar a prova. Como I(x) e
continua em x = b, e limitada sobre algum intervalo fechado [b - e, b). Pelo que acabamos de
provar , I(x) e tambem limitada sobre [a, b - e]; logo , e limitada sobre todo [a, b].
Se urna funyao I(x) e limitada sobre [a, b], entao sua imagem - 0 conjunto de todos
os seus valores - tern urn majorante e urn minorante. Se M e m sao 0 supremo e 0 infuno da
imagem, entao
m ";;'/(x)";;'M para todox em [a, b] .
Para funyoes limitadas em geral , os nfuneros M e m nao precisam pertencer a imagem.
Entretanto, nosso proximo teorema assevera que se I(x) e continua, entao ambos os nfuneros
M e m sao realmente assumidos como valores da funyao .
Teorema 2 (Teorema do Valor Extremo) Seja I(x) uma IU11fao continua sobre urn intervalo
fechado [a, b1. Entiio f(x) assume urn valor rruiximo Meum valor m[nimo m, isto e, existem
pontos Xl e X2 em [a, b1 tais que
para todo X em [a, b).
Essa proposiyao e intuitivamente clara se pensarmos em uma funyao continua sobre urn
intervalo fechado como urna funyao cujo grafico consiste em urna unica linha continua, sem
quaisquer lacunas ou buracos; pois quando nos movemos sobre a curva da extremidade esquerda
(a,/(a)) a extremidad~ direita (b,/(b)), sentimo-nos obrigados a acreditar que deve haver urn
ponto mais alto sobre a curva em que I(x) tern seu valor maximo e urn ponto mais baixo em
que I(x) tern seu valor minimo. Isto e verdade, mas a situayao novamente e muito delicada,
pois se uma das hipoteses for enfraquecida - mesmo que ligeiramente - entao a conclusao do
teorema pode ser falsa .
* Alguns detalhes das prows deste apendice sao deixados para os estudantes .
A tearia do cdlculo 645
Exemplo 2 Considere a func;:ao f(x) definida por f(x) = x sobre 0 intervalo nao-fechado [0, 1)
e tarnbem a func;:ao g(x) definida por
{
X se 0 oS: X < 1, g(x) = 0 se loS: x oS: 2
sobre 0 intervalo fechado [0, 2]. Ambas as func;:oes sao mostradas na Fig. B.4. A func;:ao [(x)
nao assume urn valor maximo, embora seja continua no intervalo [0, 1), pois esse intervalo nao
e fechado; e a func;:ao g(x) nao assume urn valor maximo, embora 0 intervalo [0 , 2] seja fechado ,
pois g(x) e descont[nua no ponto x = 1. Em cada caso, os valores da func;:ao ficarn perto do
numero 1 (que e 0 supremo M da imagem) quando x 4- 1 pela esquerda , mas nao existe
nenhum ponto em que a func;:ao realmente tenha 0 valor 1.
y y
g(x )
x
o· o 2
Figura B.4
Prova do Teorema 2 Provarnos a proposic;:ao ace rca de assumir urn valor maximo. Pelo Teorema
1, [(x) e limitada sobre [a, bJ; logo, a imagem tern urn majorante e , portanto, tern urn supremo
M. Devemos mostrar que existe urn ponto X2 em [a , b] tal que [(X2 ) = M. Suponha que nao
exista tal ponto, isto e, suponha que [(x) <M para todo x em [a , b]. Entao M - [(x) e
positivo sobre [a , b], a func;:ao
1
g(x) = 111 - I(x)
e continua sobre [a, b] e 0 Teorema 1 implica que essa func;:ao e limitada. 1sto significa que existe
urn numero C tal que
1
---::--oS: C
111 - I(x)
646 Oilculo com Geometria Analttica
para todo x em [a, b]; logo ,
1 -~ M -j(x)
C ou
1 j(x) ~ M --.
C
Isto contradiz 0 fato de que M eo supremo do conjunto de ' todos os f(x) , e somos assim
for9ados a conc1usao desejada : existe pelo menos urn ponto X2 em [a, b] para 0 qual f(x) =M.
A afirma9ao de que fC?c) assume urn valor minima em algum ponto Xl e provada de modo
amilogo. .
o Teorema do Valor Extremo diz que uma fun9ao continua sobre urn intervalo fechado
realmente assume um valor maximo e uin valor minimo. Existe urn companheiro desse teorema
que afirma que uma tal fun9ao assume todos os valores entre seus valores maximo e minimo.
Assim, uma fun9ao continua sobre urn intervalo fechado tern uma imagem que e, ela mesma ,
um intervalo fechado. Colo cando de outra maneira, tal fun9ao nao pula quaisquer valores. Come9a-
mos com urn teorema preliminar que tern muitas aplica90es por si mesmo (veja a Se9ao 4.6).
Teorema 3 Seja f(x) uma funrao continua sobre um intervalo fechado [a , b] . Se /(a) e f(b )
tem sinais opostos, isto e, se
j(a) < 0 <j(b) ou j(a) > 0 > j(b) ,
entao existe um ponto c entre a e b tal que fCc) = o.
Isto diz - com efeito - que 0 gnifico de uma fun9ao continua sobre um intervalo fechado
nao pode ir de urn lado do eixo x para 0 Qutro lado sem realmente atravessar esse eixo num ponto
definido (Fig. B.S , a esquerda). Entretanto, essa conclusao pode ser falsa , se a fun9ao deixar de ser
continua mesmo num unico ponto. Tal situa9ao e mostrada (Fig. B.S , a direita) pela fun9ao
f(x) defmida sobre 0 intervalo [1 , 3] : {-I se 1 ~ x < 2, j(x) = 1
se 2 ~ x ~ 3.
y y
J. x x 2 3
-
Figura 8.5
A teoria do cdlculo 647
Prova do Teorema 3 Suponha primeiro que f(a) < 0 <feb). Como f(a) < 0 e f(x) e continua
em a, existe urn numero d no intervalo aberto (a, b) tal que f(x) e negativo sobre [a, d). Seja c
o supremo do conjunto de todos esses d e observe que f(x) e negativa para todo x < c. Nao
pode ser verdade que fCc)
> 0, pois em virtude da continudade, isto implicaria que f(x) seria
positiva sobre algum intervalo (c - e, c], contrario ao que acabarnos de observar. Tarnbem nao
pode ser verdade que f(c) < 0, pois, em virtude da continuidade, isto implicaria que f(x) seria
negativa em algurn intervalo [a, c + e), contrmo a definic,:ao de c. Conclufmos que f(c) = o.
o argumento para 0 outro caso e semelhante.
Teorema 4 (Teorema do Valor Intermediano) Seja f(x) uma funriio continua sobre um
intervalo fechado [a, b]. Se M em sao os valores nuiximo e minimo de f(x) sobre [a, b] e se
C e qualquer numero entre M e m, de modo que m < C < M, entiio existe um ponto c em
[a, b] tal que f(c) = c.
Prova A func,:ao g(x) = f(x) - C e tarnbem continua sobre [a, b] . Se x I e x 2 sao pontos em
[a, b] em que f(x d = m e f(X2 ) = M, entao g(x) e negativa em x I e positiva em X2 :
e
PeloTeorema3 , existeurnponto c entre X I e x 2 (eportantoem[a,b]) talqueg(c)=O.
Mas isto significa que f(c ) - C = 0 ou f (c) = c.
Como urna outra con sequencia do Teorema 3 , temos
Teorema 4 Seja f(x ) uma funriio contz'nua sobre 0 intervalo unitdrio [0 , 11 que tem a proprie-
dade adicional de que os seus valores estiio nesse intervalo (Fig. B. 6) .Entiio existe pelo menos um
ponto c em [0,1] tal que f(c) = c.
y
1 T
o c
Figura B.6
x
648 Oilculo com Geometria Analftica
Prova A funyao g(x) = f(x) - X e continua em [0, 1] e tern a propriedade de que g(O) = f(O) - 0 =
f(O) ;;;;. 0 e g(l) = f(l) - 1 ::;;;; O. Pelo Teorerna 3, existe urn ponto c em [0, 1] tal que
g(c) = f(c) - c = 0; logo, f(c) = c.
Urna funyao f(x) com as propriedades assurnidas aqui chama-se, com freqiiencia, aplicariio
continua do intervalo [0, 1] em si mesmo, e 0 ponto c chama-se ponto fixo dessa apJicayao.
o Teorerna 5 e urn caso particular de urn famoso e abrangente teorerna da Matematica Moderna
chamado Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, . que afirma que aplicayoes continuas de certos
espayos rnuito gerais em si rnesrnos sernpre tern pontos fixos.
8.4 0 TEOREMA DO VALOR MEDIO
Esse teorema e urn dos fatos rnais uteis na parte te6rica do Calculo. Em linguagern geornetrica,
e facil enuncia-Io e e intuitivamente plausivel. Ele afirrna que entre dois pontos P e Q sobre 0
grafico de uma funyao diferenciavel existe pelo menos urn ponto em que a reta tangente e
paralela a corda que liga P e Q, como se mostra na Fig. B.7.
p
....
a C
Declive f(b) - j{a)
b - a
• b
Figura B.7
x
Para a curva da figura ha dois desses pontos. Podem existir muitos , mas 0 teorerna garante que
sempre deve existir pelo menos urn desses pontos. Usando a notay.ao da figura, podernos exprirnir
a afmnayao do teorema analiticamente dizendo que existe pelo menos urn nurnero c entre a e b
(a < c < b) com a propriedade
!'(c) = /(b) - /(a)
b - a
o significado do Teorerna do Valor Medio esta nao em si mesmo mas em suas consequencias , pois
fornece urn modo conveniente de se alcanyar uma compreensao sobre rnuitos fat os te6ricos de
irnportancia pratica. Isto ficara claro nos Teoremas 3 e 4 e tambem em seyoes posteriores deste
apendice.
A teoria do cdlculo 649
Vma prova rigorosa do Teorema do Valor Medio e usualmente desenvolvida da seguinte
maneira. Comeyamos estabelecendo 0 caso particular do teorema em que P e Q estao ambos
sobre 0 eixo dos x:
Teorema 1 (Teorema de Rolle) Se uma funrao f(x ) e contz'nua sobre 0 intervalo fechado
a ~ x ~ be diferencUivel no intervalo abertoa <x < b e se f(a ) = f eb) = a ,en tao existe pelo menos
um numero c entre a e b com a propriedade de que f(c) = a.
Figura B.B
Esse teorema diz que se uma curva diferenciavel toca ou corta 0 eixo x em dois pontos,
entao deve haver pelo menos urn ponto sobre a curva entre esses pontos em que a tangente e
horizontal (Fig. B.8). Equivalentemente , os zeros de uma funyao diferenciavel sao sempre separa-
dos por zeros de sua derivada.
Os economist as tern uma maxlma : "Nao existe uma coisa tal como urn lanche gratis".
Para n6s - na area da Matematica Pura - isto significa que nao podemos receber algo por nada ;
ou , em outras palavras , conclusoes fortes exigem hip6teses fortes. A conclusao do Teorema de
Rolle depende fortemente de suas hip6teses, e os seguintes exemplos mostram que essas hip6teses
nao podem ser enfraquecidas sem destruir a conclusao.
Exemplo 1 A funyao
f(x) ={ x. 2- x.
(veja a Fig. B.9) e nula emx = a ex = 2 e e continua sobre 0 intervalo fechado a ~x ~ 2.
650 Oilculo com Geometria Analftica
y
x
o 2
FiguraB.9
E diferenciavel no intervalo aberto 0 < x < 2, exceto no unico ponto x = l, onde a derivada
nao existe. A derivada ['(x) e evidentemente nao-nu3 em qualquer ponto do intervalo , e essa
falha da conc1usao do Teorema de Rolle aparece pelo fato de que a funyao deixa de ser
diferenciavel num unico ponto .
Exemplo 2 A funyao
I(x) ={x,
0,
0:$ x < 1,
x =1
(veja a Fig. B.lO) e nula em x = 0 e x = 1 e e diferenciavel no intervalo aberto 0 <x < 1.
x
o
Figura B.10
E continua no intervalo fechado 0 ~ x ~ l , exceto num (mico ponto x = 1. A derivada
ftx) nao e zero em nenhum ponto do intervalo e, nesse caso , a falha da conc1usao do Teorema
de Rolle apan:ce pela descontinuidade da funyao num (mico ponto.
A teoria do cdlculo 651
Prova do Teorema 1 Pelo Teorema 2 da Seyao B.3, nossa hip6tese de continuidade implica que
f(x) assume urn valor maximo Meum valor minimo m sobre [a, b) . 0 fato de ser f(x) zero nas
extremidades a e b diz-nos que m ~ 0 ~ M Se f(x) for zero em todo ponto de [a, b], entiio,
evidentemente,f'(c)= 0 para todo c em (a, b) , e, nesse caso trivial, a conc1usiio e verdadeira.
Podemos portantci supor que a . funyiio assume valores niio-nulos , de modo que M> 0 ou m < 0
(ou talvez ambas). Consideramos primeiro 0 caso em que M> O. 'Se c e urn ponto em que
f(c) = M, 'entiio a <c < b, pois a funyiio e zero nas extremidades a e b. Como f(x) e diferen-
ciavel no intervalo aberto a <x < b, a derivad'a
f 'C ) - I ' fCx) - fCc) . c - 1m x~c X - C (1)
existe*.
E parte do significado de (1) que esse limite deve existir e ter 0 mesmo valor quando x
tende a c pela esquerda e pela direita. Se x tende a c pela esquerda, temos
x - c<O e fCx) - fCc) ,,; 0,
onde a segunda desigualdade vern do fato de que f(c) = Meum valor maximo. Isto imp lie a que
/'Ce) = lim f Cx) - fCc) ~ 0. (2)
x~c- X - C
Analogamente, se x tende a c pela direita , temos
x - c> O e fCx) - fCc) ,,; 0,
logo ,
['(c) = lim fCc + lIx) - fCc) ,,; 0.
lIx-O lIx
(3)
Conc1uimos de (2) e (3) que f'(c) = 0 , como foi afirmado. Se M = 0, entao m < 0, e esse
easo pode ser tratado por urn argumento semelhante .
* A equagao (1) e evidentemente urn modo equivaiente de escrever
ftc) = lim fCc + lIx) - fCc)
lIx-O lIx
652 Calculo com Geometria Analftica
Nosso principal teorema pode agora ser enunciado como se segue (veja a Fig. B.7).
Teorema 2 (Teorema do Valor Medio) Se uma [unrao [(x) e contznua sobre 0 intervalo [echado
a ~ x ~ b e diferencitivel no intervalo aberto a < x < b, entao existe pelo menos um numero c
entre a e b com a propriedade de que
!'(c) = feb) - f (a)
b-a
Prova E facil ver que a equayao da corda que une P e Q na Fig. B.7 e
y = f(a) + [ f(b~ = ~(a) ] (x - a).
A funyao
F(x) = f(x) - f(a) - [ f(; = ~(a) ] (x - a)
(4)
(5)
e, portan to , a distancia vertical da corda ate 0 grafico de y = [(x). E [acil ver que a funyao (5)
satisfaz as hip6teses do Teorema 1; logo , existe urn ponto c entre a e b com a propriedade
de que F'(c) = O. Mas isto e equivalente a
!'(c) - f eb) - f(a) = 0,
b - a
que , por sua vez, e equivalente a (4); logo , a prova esta completa.
Consider amos agora algumas das aplicayoes desse teorema.
E claro que a derivada de uma
funyao con stante e zero. E a reciproca verdadeira? Ou seja,
se a derivada de uma funyao e nula num intervalo , a [uriyao e necessariamente constante nesse
intervalo? No come yO da Seyaq 5.3 encontramos urn modo importante de raciocinio acerca de
integrais indefmidas em que essa reciproca foi necessaria e a assurnimos como valida. Estamos
agora em posiyao de prova-la usando 0 Teorema do Valor Medio.
Teorema 3 Se uma[unrao [(x) e contInua sobre um intervalo [echado e se ['(x) existe e e zero
no interior de I, entao [(x) e constante sobre I.
A teoria do ctilculo 653
Prova Dizer que [(x) e constante sobre I significa que ela tern s6 urn valor ai. Paraprovar que
este e 0 caSo, suponha que ela tenha dois valores diferentes , digamos [ (a) =1= [(b) para a < b em
I. Entao , o Teorema do Valor Medio implica que para algum c entre a e b temos
f'(c) = [(b) - [(a) * O.
b - a
Mas isto nao pode ser verdade, pois ['(x) = 0 em todos os pontos do interior de I. Essa
contradi9ao mostra que [(x) nao pode ter valores diferentes em lee, portanto , constante sobre
I, como desejavamos provar.
No inicio do Capitulo 4 baseamos nosso trabalho de esb09ar curvas no fato "intuitivamente
6bvio" de que uma func;:ao e crescente ou decrescente conforme sua derivada seja positiva ou
negativa. 0 Teorema do Valor Medio faz com que seja possivel dar uma prova rigorosa disto.
Teorema 4 Seja [(x) uma [unrao contz'nua sobre urn intervalo [echado I e di[erencitivel no
interior de 1. Se ['(x) > 0 no interior de I, entao [(x) e crescente sobre I. Analogarnente,
.se['(x) < 0 no interior de I, entao [(x) e decrescente sobre I.
Prova Provaremos apenas a primeira asserc;:ao em que assumimos que [lX) > 0 no interior de I.
Para quaisquer dois pontos a < b em I, 0 Teorema do Valor Medio diz -nos que
f'(c) = f(b) - f(a)
b - a
para algum c entre a e b. Mas f'(c) > 0; logo , a fra9ao a direita dessa equa9ao e positiva.
Como b - a e positivo, segue-se que [(b) - [(a) e tambem positivo. Logo ,.t(a) <[(b) e, conse-
qiientemente , [(x) e crescente sobre I.
Finalmente usamos 0 Teorema de Rolle para provar uma extensao tecnica do Teorema do
Valor Medio que e necessaria para estabelecer a regra de L'Hospital no Capitulo 12.
Teorema 5 (Teorema do Valor Medio Generalizado) Sejam [(x) e g(x ) contz'nuas sobre 0
intervalo [echado a :0;;;; x :0;;;; b e derivdvel no intervalo aberto a < x < b e suponha, aiem disso,
que g'(x) =1= 0 para a < x < b. Entao existe pelo menos urn nurnero c entre a e b com a
propriedade de que
f'(c) f(b) - f(a)
g'(c) g(b) - g(a) . (6)
654 011culo com Geometria Analftica
·Prova Come9amos notanda que se g(a) = g(b) , entao , pelo Teorema de Rolle, g'(x) se anula em
algum ponto entre a e b, contnirio a hipotese . Portanto , g(a) =#=g(b), eo segundo membro de -
(6) faz sentido. Para provar 0 teorema , 'considere a fun9ao .
F(x) = [feb) - j(a) ] [g(x) - g(a) ] - [f(x) - j(a) ] [g(b) - g(a) ].
E facil ver que essa fun9ao satisfaz as hipoteses do Teorema de Rolle ; logo, existe urn ponto
c entre a e b com a propriedade de que' F'(c) = O. Mas isto e equivalente a
[feb) - j (a) ]g' (c) - j'(c)[g(b) - g(a)] = 0,
que e equivalente a (6).
Os estudantes devem no tar que esse teorema se reduz ao Teorema 2 se g(x) =x.
8.5 A INTEGRA81L1DADE DE FUNCOES CONTfNUAS
Na Se9ao 6.4 a integral definida de uma fun9ao sobre urn intervalo foi definida por meio de
uma compliGada passagem ao limite, como se segue .
Come9amos com uma fun9ao limitada arbitraria [(x) definida sobre urn intervalo fechado
[a, b] . Subdividimos esse intervalo em n subintervalos iguais ou desiguais inserindo n - 1 pontos
de divisao Xl, X2, ... , x n_1 ' de modo que
a = Xo < X l < X2 < . . . < X n- l < Xn = b. (1)
Esses pontos dizem-se constituir uma partiriio P de [a, b] nos subintervalos
Se 6xk = xk -xk_l eo comprimento do k.esimo subintervalo , entao 0 comprimento
do maior subintervalo chama-se norma da parti9ao e e denotado pelo sfmbolo liP II,
A teoria do ctilculo 655
Em cad a urn dos subintervalos [xk_l' xk] escolhemos urn ponto arbitnirio xt . Multiplica-
mos agora 0 valor da fun~ao [(x) no ponto xt pelo comprimento f..xk do correspondente
subintervalo e formamos a soma desses produtos quando 0 indice k varia de 1 a n :
(2)
Para cada inteiro positivo n consideramos todas as possiveis parti~oes (1) e todas as possiveis
escolhas dos pontos xk e , portanto, todos os valores possiveis da soma (2). Se existir urn numero
I tal que a soma (2) tenda a I quando n ~ 00 e II PII -+ 0, independentemente de como as
parti~oes P sao formadas e de como os pont os xk sao escolhidos, entao chamamos esse
numero I integral de[inida (ou simplesmente integral) de [(x) sobre [a, b] e denotamo-lo
pelo simbolo
J= f f(x) dx.
Nessas circunstiincias , a fun~ao [(x) diz-se integrdvel sobre [a, b] . E costume exprirnir essas ideias
escrevendo
l b n f(x) dx = lim "} f(xt) D.xk a IPI- O t='I (3)
onde nao ha necessidade de especificar que n -+ 00, pois isto esta implicado pela condi~ao mais
forte lIP II -+ O.
Como dissemos no inicio, a opera~ao de limite em (3) e bastante complicada e tern apenas
urna semelhan~a superficial com limites diretos tais como
lim (x2 + 1) = 5
x-2
e lim (2 + .!.) = 2.
n_oc n
Em cad a urn desses casos consideramos 0 comportamento de urna certa fun~ao em termos do
comportamento de urna variavel independente, mas (3) nao se presta a esse modo de raciocinio.
Poderiamos tentar usar IIPII como uma variavel independente e descrever 0 limite em termos da
ideia expressa pelo simbolo II PII -+ O. Mas isto e dificil , pois a soma (2) nao e uma fun~ao da
quantidade IIPII; para urn dado valor de IIP II corresponde urn numero infmito de parti~oes
diferentes P e urn nUmero infmito de maneiras de escolher os pontos x; e, portanto , urn
numero infinito de valores da soma (2) .
656 Cdlculo com Geometria Analftica
A complexidade da operaylio-limite em (3) e urna inconveniencia considenivel quando e
para dar provas rigorosas de teoremas. A notayao complicada exigida para tais provas forya 0
pr6prio raciocinio a ser desajeitado e confuso. Por essa razao , e costume em tratamentos
modernos da teoria da integrayao defmir a integral definida de ' urn modo muito diferente , em
que se evita apelar para qualquer especie de passagem ao limite. Descrevemos agora essa
abordagem mais conveniente e a usamos para provar nosso principal teorema.
Portanto ignoramos nossa defmiyao anterior e comeyamos tudo de novo desde 0 comeyo,
com uma funyao f(x) lirnitada arbitniria defmida sobre urn intervalo fechado [a, b]. Como f(x)
e limitada, tern urn infuno meum supremo M. Se P e uma partiyao dada qualquer de
[a, b], denotamos por mk e Mk 0 infimo e 0 supremo de f(x) sobre 0 k.esimo subintervalo
[xk-l' xd· (Se f(x) fosse adrnitida continua sobre [a, b] , entao pelo Teorema 2 do Apendice
B.3, ,os m e M seriam os valores minima e maximo da ftinyao . Mas nao estamos assurnindo
continuidade nesse estagio ; logo, devemos trabalhar, em vez disso , com infunos e supremos.)
Formamos agora a soma inferior
e a soma superior
n
Sp = L mk ~Xk
k-l
E 6bvio que sp ~Sp. Alem disso, temos 0 importante
Lema Toda soma inferior e menor ou iguai a toda soma superior; isto e, se PI e P2 silo duas
partiroes quaisquer de [a, b], entao s p ~ S p _
I 2
Prova E facil ver que se urn unico ponto for adicionado a partiyao , entao a Soma inferior nao
muda ou cresce e a soma superior nao mud a ou decresce ; e 0 mesmo e verdadeiro se qualquer
nUmero fmito de pontos e adicionado para produzir urn refinamento da partiyao dada. Aplicamos
agora esse fato a nova partiyao P3 , que e formada pelos pontos PI e P2 tornados juntos. Como
P3 e evidentemente urn refinamento de ambasP I e P2 segue-se que
o que completa 0 argumento.
A leona
do cdlculo 657
Dentre outras eoisas, esse lema diz-nos que toda soma superior e urn majorante do conjunto
de todas as somas inferiores e que toda' soma inferior e urn minorante do conjunto de todas as
somas superiores. Podemos portanto formar 0 supremo de todas as possiveis somas inferiores ,
que se chama integral inferior e e denotada por
I = ib f (x ) dx.
Analogamente , 0 infuno de todas as somas superiores chama-se integral superior e e
denotada por
-
1= i b f(x) dx.
Nesse ponto faremos urna aplicac;:ao adieional do lema para conduir que
Consequentemente , toda func;:ao limitada definida sobre urn intervalo fechado tern uma
integral inferior e urna integral superior , e essas duas integrais sao definidas sem fazer qualquer
apelo ao conceito de limite. Se as integrais inferior e superior coincidirem , entao chainamos seu
~alor comum de integral de f (x ) sobre [a, b] e 0 denotamos pelo simbolo usual
1= f f(x) dx;
e nesse caso a func;:ao f(x) diz-se integrdvel sobre [a, b]. Por outro lado , e bern possivel ter ! <!
e , nesse caso,/(X) e nao-integhiveL A func;:ao descrita na Observac;:ao 4 da Sec;:ao 6.4 fomece urn
born exemplo desse comportamento recalcitrante .
Chegamos agora ao nosso principal teorema, que garante que a maioria das funyoes que
eneontramos na pnitiea e integnivel. Primeiro , urn poueo de terminologia nova que sera util na
prova. Se f(x) e uma func;:ao limitada definida em urn intervalo [a, b] e se rn e M sao seu infimo
e seu supremo sobre esse interva}o , entao a diferenya M - rn chama-se oscilat;iio de f(x ) sobre
[a, b].
Teorema Se uma funt;iio f(x) e continua sobre urn intervalo fechado [a, b] , entiio e integrdvel
sobrel[a, b].
658 Cdlculo com Geometria AnaUtica
Prova Considere uma partiyao P de [a, b] em subintervalos [xk _1, xk ] e forme as somas inferio-
res e superiores
n
e Sp = L M k Ink'
k-l
A diferenya entre essas somas e
n
Sp - Sp = L (Mk - m k) D.Xb
k - l
(4)
onde Mk - mk e a oscilayao de [(x) sobre 0 k.esimo subintervalo [xk_l ' xk]' Se mostrarmos
que a diferenya (4) pode ser feita tao pequena quanto quisermos escolhendo uma partiyao
adequada P, en tao isto sera evidentemente suficiente para provar 0 teorema. Realizamos isto
do seguinte modo: seja E urn dado numero positivo pequeno. Se for possIvel mostiar que a
oscilayao da funyao e menor que E/(b - a) sobre todo subintervalo, isto e,
E
Mk - m k < -b--· para k = 1, 2, .. . , n,
-a
entao seguir-se-a que
Como E pode ser feito tao pequeno quanta quisermos , isto completara a prova.
Devemos portanto provar a existencia de uma partiyao P com a requerida propriedade .
Se simplificarmos a notayao escrevendo EJ = E/(b - a), de modo que EJ seja entendido como
simplesmente urn outro ntimero positivo que pode ser escolhido tao pequeno quanto se queira ,
entao essa propriedade da partiyao P pode ser enunciada como se segue: a oscilayao da funyao
continua[(x)sobre todo 0 subintervalo da partiyao deve ser menor que EJ*.
Damos uma prova indireta , isto e, assumimos que para pelo menos urn numero EJ > 0 nao
existe nenhuma partiyao do tipo desejado e mostramos que essa hip6tese leva a uma contradiyao.
Seja C 0 ponto medio de [a, b]. Entao nao existe nenhuma partiyao do tipo desejado para pelo
menos urn dos dois subintervalos [a, c] e [c, b], pois se cad a urn desses subintervalos tivesse tal
partiyao, entao todo 0 intervalo [a, b] tambem teria. Seja [a J, bJ] a metade de [a, b], que nao
tern tal partiyao; e se ambas as metades nao tern tal partiyao, seja [aJ ' b J ] a metade da esquerda,
[a, c]. Agora , bisseccione [aJ, b J] e , da mesma maneira , produza uma de suas metades, digamos
* Esse fato sobre uma funr;ao contInua definida sobre urn intervalo fechado e usualmente referido na
litera.tura como Teorema da Continuidade Uniforme.
A teona do cdlculo 659
[a2' b2 ], sem tal partiyao; e continue 0 processo indefmidamente. Observamos que a oscilayao
de [(x) sobre 0 n.esimo subintervalo [an, bn ] e pelo menos €j , e tambem que 0 comprimento
desse subintervalo e (b - a)/2n. Seja ao 0 supremo do conjunto das extremidades esquerdas
ai , a2, a3, ... dessa sequencia encaixada de subintervalos. Entao ao certamente esta no intervalo
[a, b] ; e pela continuidade de [(x) em ao, existe urn intervalo (ao - 0 ,ao ,: 0) em que a oscilayao
de [(x) e menor que € I ' Entretanto , se n e suficientemente grande , 0 intervalo [an , bn ] esta total-
mente dentro do intervalo (ao - 0, ao + 0), e, portanto, a oscilayao de [(x) sobre [an' bn ] deve
ser tambem menor que € I , contradizendo nossa inferencia previa de que a oscilayao de [(x) sobre
[an' bn ] e pelo menos €I . Essa contradiyao conclui fmalmente a pro va do teorema.
Se os estudantes desejarem saber se urna funyao descontinua pode ser integnivel , a
resposta e sim. A funyao cujo grafico e mostrado na Fig. B.ll fornece urn exemplo dessa
asseryao. Ela e defmida sobre 0 intervalo fechado [0 , l] e seus valores sao
1 1 2" para 0 =:; x < "2 '
3 · 1 3
- para '- =:; x < -
4 2 4 '
7 3 7
-8 para - =:; x < -4 8 '
1 para x = 1.
Essa funyao tern urn nfunero infinito de pontos de descontinuidade mas tern tambem a
propriedade de ser nao-decrescente, no sentido de que XI < X2 implica [(xd ~ [(X2) e toda
funyao como essa e integravel sobre qualquer intervalo fechado [a , b] . Os estudantes estao
convidados a provar isto por si mesmos observando que neste caso a diferenya (4) pode ser
escrita como
" Sp - sp = L (Mk - mk) tJ. Xk
k-l
"
=:;IIPII ~ (Mk - mk) = IIPII[f(b) - I(a) ].
o conjunto de todas as funyoes integrliveis pode ser caracterizado de urn modo simples e
absolutamente preciso , mas nao prosseguiremos neste assunto aqui.
660 Cdlalio com Geometria Analftica
y
•
.......
-
• • • ••• x o I 1 2 I
"2 4 8
Figura B.ll
B.6 UMA OUTRA PROVA DO TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO
A prova que apresentamos usa 0 Teorema do Valor Medio estabelecido no Apendice B.4 ;
supomos que os estudantes tenham compreensao dos conceitos desenvolvidos no Apendice B.S .
Para preparar 0 argumento, consideramos uma func;:ao [(x) continua num intervalo fechado
[a, b]. Se F(x) e tal que F'(x) == [(x) , devemos provar que
f f(x) dx = F (b) - F (a ). (1)
Provaremos mostrando que 0 nfunero do segundo membro de (1) esta entre a soma inferior
e a soma superior associadas a uma partic;:ao arbitniria
a = Xo < XI < X2 < .. . < Xn- I < Xn = b (2)
do intervalo [a, b] .
o raciocinio e 0 seguinte: a func;:ao F(x) satisfaz as hip6teses do Teorema do Valor Medio em
cada subintervalo da partic;:ao (2). Esse teorema garante , portanto , a existencia de pontos
X r, X2 ,x~ nesses subintervalos tais que
F (x,) - F(a) = F'(Xi)(XI - a) = f(xi) ~XI'
F(x2) - F (x,) = F'(X!)(X2 - XI) = f(x!) ~X2 '
A teoria do cd/ado 661
Se somamos essas equayoes e aproveitamos os cancelamentos a esquerda, temos
n
F (b) - F(a) = ~ f (xZ) tU k ' (3)
o segundo membro de (3) esta evidentemente entre a soma inferior e a soma superior
associadas a partiyao (2) , 0 que conclui a prova.
B.7 A EXISTENCIA DE e = lim (1 + h)1/h
h-+O
Nesta discussao comeyamos definindo e como 0 limite
. ( l)n e= lim 1 + - .
n_oo n (1)
Entao estenderemos cuidadosamente essa f6rmula , passo a passo , ate chegarmos a conclusao
rnais geral de que
e = lim (1 + h)l/h, (2)
h- O
onde a h e permitido tender a 0 de qualquer mane ira , por valores racionais ou irracionais ,
positivos ou negativos.
Nossa prirne,ira tarefa e provar a existencia do limite (1) e de sse modo legitimar essa
definiyao de e. Pelo Teorema do Bin6rnio de Newton , a quantidade
e expressa como a seguinte soma de n + 1 termos:
1 + n ' .!.+ n(n - I).~+ n(n-l)(n-2).~+ ... +~
n 1 . 2 n2 1 ·2· 3 . n3 nn
= 1 + 1 + _1_ (I -.!.) + _I - (I -.!.) (I
-~) +
1·2 n 1·2·3 n n
1
+-. nn
(3)
662 Ctilculo com Geometria AnaUtica
Quando n cresce, 0 numero de termos nessa soma cresce e tambem cada termo ap6s 0
segundo cresce . Isto mostra que
Tambem, a expansao (3) revela que
( 1 1 1 ) < 1+1+ -+-+ ... +- < 1+1+1=3 2 22 2n-l '
pois a expressao entre parenteses e parte da serie geometrica familiar
·1 +-+ ... = 1. 2n- 1
(4}
(5)
Por (4) e (5), os xn crescem uniformemente , mas sempre permanecem < 3; logo , eles
tendem necessariamente a urn valor-limite. No presente contexto , esse valor-limite e e por
defmiyao. Esse argumento prova (1) . Ve-se claramente que
(
1 ) n+l
e =lim 1 +-- ,
n-= n + 1
o que sera necessario abaixo.
A seguir, consideramos 0 limite (2) para 0 caso especial em que h tende a 0 por valores
positiv~s . Quando h < 1, existe urn unico inteiro positivo n tal que
Isto irnplica
que, por sua vez, pode ser escrito como
[1 + l/(n + 1)]n+l <(1 +h)llh«1 +.!.)n(1 +.!.) .
1 + 1/(n + 1) n n
(6)
A teona do cdlculo 663
Quando h ~ 0 , n ~ 00 , e os termos primeiro e terceiro da desigualdade (6) tendem a e.
Como (1 + h)l /h esta cercada entre os dois , deve ter 0 mesmo limite e , portanto , provamos (2)
para 0 caso em que h ~ 0 por valores positivos.
Concluimos nossa analise estabelecendo (2) para 0 caso em que h tende a 0 por valores
negativos. Fazendo-se h = -k, entao
(l + h)llh = (1 _ k)- llk = (_l_) llk
l- k
( k ) llk ( k ) <I-kl1k ( k) = 1 + 1 _ k = 1 + 1 _ k 1 + 1 _ k -> e · 1 = e,
pelo resultado do paragrafo anterior.
B.8 A VALIDADE DA INTEGRACAO POR SUBSTITUICAO INVERSA
Ao fazermos as substituiyoes diretas discutidas na Seyao 10.2, nosso procedirnento consis-
tiu em por Ii = g(x), onde g(x) fazia parte do integrando. Para esse metodo funcionar , tfnhamos
de ter du = g '(x) dx como uma oufra parte do integrando , e isto significava que , de modo geral ,
o integrando deveria ter uma forma urn pouco especial.
Um modo muito mais natural de fazer uma mudanya de variavel numa integral f f(x) dx e
introduzirumanovavarhivel u escrevendo ·x=h(u) e dx=h'(u)du, onde h(u)ealgumafunyao
sugerida pela forma da integral. Isto significa que traduzimos a integral dada da notayao x para
a notayao u escrevendo
J f(x) dx = J f [h(u)]h'(u) du = J g(u) du, (1)
onde g(u) = f[ h(u)] h '(u ); a expectativa e de que a integral 11 direita seja facil de calcular. De fato ,
se
J g(u) du = G(u), (2)
entao poderemos ter
J f(x) dx = G[k(x)), (3)
664 Ctilculo com GeometrUz Analftica
onde u = k(x) e a func;:ao inversa de x = h(u)* . Esse processo charna-se substituipio inversa. E urn
metodo muito util, quando podemos encontrar G(u) e se conhecemos a func;:ao inversa u = k(x) .
Essas observac;:6es constituem uma descric;:ao geral do que ocorre com 0 metodo de substituic;:6es
trigonometricas e tarnbem em alguns dos metodos sugeridos na Sec;:ao 10.8.
Podemos provar a validade da substituic;:ao inversa da seguinte forma. A questao e: na
substituic;:ao direta, como foi discutido na Sec;:ao 10.2, usarnos a transformac;:ao integral (1) no
sentido oposto , para calcular f g(u) duo Mostramos que se
f f(x) dx = F(x),
entao
f g(u) du = F[h(u)).
Assirn, no presente contexto , onde tarnbem temos (2), segue-se que
F[h(u)) = G(u) + c
para alguma constante C. Mas isto eo mesmo que
F(x) = G[k(x)) + c,
e , portanto , G [k(x)] e uma integral de f(x), como estabelecia (3).
Ainda mais , podemos usar 0 mesmo metodo para tratar de integrais definidas se os lirnites de
integrac;:ao forem corretamente trocados ; isto e,
lab f(x) dx: = Id g(u) dll ,
onde C = k(a) e d = k(b). Podemos provar essa igualdade muito facilmente, pensando nela em
outro sentido:
Jd g(u) du = lab f(x) dx,
onde a ~ h(c) e b = h(d) , pOis essa segunda versao foi provada na Sec;:ao. 10.2.
* Ou seja , U =k(x) e 0 resultado da resolu9ao de x =h (u) para u em termos de X. 0 conceito de fun~ao
inversa [oi discutidona Observa9ao 2 da Se9ao 9.5.
A teoriIJ do edlculo 665
B.9· PROVA DO TEOREMA DAS FRACOES PARCIAIS
Nosso prop6sito aqui e estabelecer a vaJidade da decomposiyao em frayoes parciais como
foi enunciada de uma mane ira detalhada na Seyao 10.6. Estamos considerando uma funyao
racional P(x)JQf?c) e supomos que Q(x) seja urn polinomio de grau n completamente fatorado
em fatores lineares e quadniticos com suas varias multiplicidades. No inlcio , nao suporemos que
P(x)JQ(x) seja pr6pria. Isto nos permitira compreender mais claramente 0 significado dessa
hip6tese quando se tomar necessario . Nosso instrumento basico e 0 seguinte lema sobre a
remoyao de urn fator linear do denominador:
Lerna Seja x - r um fator linear de Q(x) de multiplicidade 1, de modo que Q(x) = (x - r)
QI (x) com QI (r) =1= O. Entiio P(x)JQ(x) pode ser escrito naforma
P(x) = P(x) = _ .-1_ + _P_lX"_) .
Q(x) (x - r)QI(x) x - r Q lx') (1)
onde A e uma constante e PI (x) e um polinomio tal que PI (X)/QI (x) e uma funriio racional
propria sempre que P(x) JQ(x) 0 seja. A constante A pode ser calculada de uma das formulas
P(r) P(r)
~=-- =--
. Q I(r) Q'( r)' (2)
Prova Devemos obter A e PI (x) convenientes e fazemos isto deixando (1) sugerir como devem
ser suas definiyoes. Com essas definiyoes , mostramos entao que (1) e valida.
Combinando as frayoes do segundo membro de (1), vemos que A e PI (x) devem ser escolhi-
dos de modo que os numeradores sejam ictenticos:
(3)
Como devemos ter uma identidade , ela deve valer em particular para x = r. Isto da
per) = AQ 1 (r) + O. Logo , fazemos
P(r)
-/=--
. QI(r)'
Esta e uma defmiyao legltima, pois QI (r) =1= O. Como
e
(4)
666 Oilculo com Geometria Ana[(tica
vemos que Q '(r) = QI (r) e assim estabelecemos a segunda formula para A enunciada em (2).
Usando a formula para A dada por (4), resolvemos agora (3) para PI (x),
PI(x) = P(x ) - AQI(x) = P(x) - [P(r) / QI(r)]QI(x)
x - r x -r
1 P(x)QI(r) - P(r)QI(x)
QI(r) x - r
(5)
Adotamos esta como nossa definiyao de PI (x). Pode parecer que essa funyao nao seja urn
polinomio. Entretanto, 0 numerador dessa frayao e nitidamente urn polinomio que tern 0 valor 0
para x = r; logo, pelo Teorema de Fatorayao da Algebra , ele tern x - r como fator. 0 fator
comum x - r pode ser cancelado do numerador e do denominador e conc1uimos que PI (x)
e , de fato, urn polinomio. Mostraremos agora que (1) e valida quando A e PI (x) sao definidos
como 0 foram acima:
_ A_ + _P_I(x_) = _A-=Qc:..:I(,:-,x),-+--,-:-(x-::-,--:-'r),-P.:.:I(.....:..x)
x - r QI(X) (x - r)QI(x)
[P(r)/QI (r) ]QI(x) + [1 /QI(r)][P(x)QI(r) - P(r)QI(x)]
(x - r)QI(x)
P(X)
Finalmente , a afirmayao de que PI (X)/QI (x) e propria sempre que P(x)/Q(x) for propria
segue-se de (3) usando 0 fato de que 0 grau de Q I (x) e n-J; se 0 grau de PI (x) for n- l , entao de
(3) teriamos que 0 grau de p(x) seria ~ n.
Esse lema permite-nos fazer tudo que desejamos com relayao ao desdobramento em frayoes
parciais gerado por fatores lirieares de Q(x) . Nesse estagio , assumimos especificamente que
P(x)/Q(x) e propria , de modo que , cad a vez que 0 lema for aplicado , a funyao racional residual
PI (X)/QI (x) sera tambem propria.
Observamos primeiro que se Q(x) puder ser fatorado inteiramente em fatores lineares
distintos , de modo que
entao
A teoria do ctilculo 667
pois po demos eliminar os fatores do denominador urn por vez de acordo com 0 lema. Na ultima
etapa, o denominador residual ex - 'n ' e, como 0 numeradbr e necessariamente de grau inferior;
esse nurnerador deve ser urna constante.
Suponhamos a seguir que x - , seja urn fator linear de Q(x) de multiplicidade m, de modo
queQ(x)=(x-,yn Q1 (x) com Q1 (,) "* O. Para enfrentar essa situa~ao , aplicamos 0 lema repeti-
damente de urn modo urn pouco diferente. Primeiro
, por (l) , temos
Dividindo por x - , e aplicando (1) de novo , temos
Continuando dessa maneira , obtemos no fim que
P(x) = P(x)
Q(x) (x - r)mQI(x)
Dessa maneira eliminamos todos os fatores lineares do denominador de nossa fun~ao propria
P(x)/Q(x) e geramos as correspondentes fra~5es parciais como descrito na Se~ao 10.6.
o restante da prova exige urn conhecimento de nfuneros complexos, pois as raizes imagina-
rias de urn polinomio real vern aos pares conjugados e esse fato desempenha urn papel essencial
no argumento. Antes de come~ar , e necessario observar que nosso lema fundamental funciona
exatamente da mesma maneira se os numeros , forem imaginlirios.
Agora suponhamos que x 2 + bx + c seja urn fator quadratico de Q(x ) de multiplicidade
1, que e irredutivel no sentido de que b2 - 4c < 0 e as raizes'1 e'2 da equa~ao x 2 + bx + c = 0
sao numeros complexos conjugados* .
Entao
• Se x 2 + bx + C D:io fosse irredutivel , teria sido fatorado ern fatores lineares reais na fatora~o "cornpleta"
de Q(x) anteriorrnente rnencionada .
668 Calculo com Geometria Analftica
e por duas aplicayoes sucessivas de nosso lema, podemos determinar constantes Al e A2 e urn
polinomio P2 (x) tais que
Usando (2) vemos que
e
e essas f6rmulas implicam que Ale A 2 sao tarnbem numeros complexos conjugados. Combinando
as correspondentes frayoes parciais, podemos escrever agora
P(x) = (A I + A2)x - (Ah + A2r l ) + Pix) = Ax + B + P2(X)
Q(x) (x - r l)(x - ' 2) Q2(X) x 2 + bx + c Qix) ,
onde os numeros A = A 1 + A2 e B = - (A I'~ + Az'd sao reais, POiS'I, '2 e AI, A2 sao pares de
numeros complexos conjugados. Sabemos tarnbem, pel a ultima expressao, que P2 (x) e urn poli-
nomio real . Se 0 fator x 2 + bx + c ocorre com multiplicidade m > 1, entao simplesmente 0
removemos sucessivarnente da maneira utilizada acima com repetidos fatores lineares. Isto produz
exatarnente a decomposiyao em frayOes parciais descrita na Seyao 10.6.
Quando esses procedimentos forem aplicados a cada urn dos fatores lineares e quadniticos
reais de Q(x), todas as frayoes parciais correspondentes serao obtidas, nao sobrara nada em Q(x),
a decomposiyao estani completa eo Teorema das FrayOes Parciais estara totalmente provado.
Ate esse ponto nao dissemos nada ace rca da unicidade, mas vale a pen a observar que uma
funyao racionaI pr6pria pode ser decomposta em frayOes parciais de uma unica maneira. Isto se
segue imediatarnente de nossa discussao global se conseguirmos mostrar no lema que a expansao
(1) e unica. Mas isto e flici!; se supusermos duas formas para a expansao
teremos:
F azendo x ~ r, vemos que B = A ; logo, A em (1) e unico, e isto implica que PI (x) em (1) tarnbem
e uriico.
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