P2_CALCULO_I_ (10)

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES 
 
Segunda Prova de Cálculo I – 2010/2 
 
Aluno:___________________________________________________________________ 
Data: 29/10/2010 
 
 
Questão 1 (3,5 pontos) 
Considere a função ( )
2
2
3
−
=
x
x
xf . 
 
a) Determine o domínio de f . 
b) Determine as assíntotas verticais e horizontais de f . 
c) Mostre que ( ) ( )23
3
2
14'
−
+
−=
x
x
xf . 
d) Mostre que ( ) ( )( )33
32
2
412''
−
+
=
x
xx
xf . 
e) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f , e os pontos de extremos 
locais de f. 
f) Determine os intervalos em que f tem concavidade para cima e em que f tem 
concavidade para baixo, e os pontos de inflexão de f. 
g) Utilize as informações obtidas nos itens anteriores parar esboçar o gráfico de f . 
 
Questão 2 (3,0 pontos) 
Determine: 
 
a) ( ) ( )2tg
1
2lim x
x
x
pi
−
→
; 
b) ''y , sendo que 133 =+ yx . 
 
Questão 3 (1,5 ponto) 
Um copo de papel tem a forma de um cone circular reto com 10 cm de altura e 3 cm de raio 
(no topo). Água é colocada dentro do copo a uma taxa (vazão) constante. A rapidez com 
que o nível da água se eleva, quando ela tem 2 cm de profundidade, é 1 cm/s. Determine a 
rapidez com que o nível da água se eleva, quando ela tem 6 cm de profundidade. 
 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Um trapézio ABCD está inscrito em um semicírculo de raio 2, de modo que o lado AB 
coincida com o diâmetro. Determine o maior valor possível para a área de ABCD. 
(Sugestão: expresse a área de ABCD em função do ângulo DOA ˆ , sendo O o centro do 
semicírculo.)