Sexta aula - Princípios de Conservação de Energia

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MATERIAIS E CIRCUITOS 
MAGNÉTICOS 
6ª. AULA 
Disciplina: Conversão de energia 
Universidade Federal do Amazonas 
Faculdade de Tecnologia 
Departamento de Eletricidade 
Prof. Dr. Rubem Cesar Rodrigues Souza 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO 
DE ENERGIA 
O princípio da conservação de energia afirma que esta não é criada nem destruída, 
apenas muda de forma. 
Na convenção como motor pode-se escrever o princípio como: 
Este princípio é bastante conveniente para determinar as característica de um 
acoplamento eletromecânico. 











































calorem
convertida
Energia
armazenada
energia
deAumento
mecânica
energia
deSaída
elétrica
entrada
deEnergia
Na convenção como gerador tem-se: 











































calorem
convertida
Energia
armazenada
energia
deAumento
elétrica
energia
deSaída
mecânica
entrada
deEnergia
No nosso curso vamos adotar a convenção como motor. 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO 
DE ENERGIA 
A conversão irreversível de energia em calor tem três causas. 
1. Perda por efeito Joule nas resistências dos enrolamentos que constituem parte 
dos dispositivos. Estas são normalmente chamadas de perdas no cobre. 
Na teoria a seguir serão desprezadas as perdas magnéticas e dielétricas. 
2. Parte da potência mecânica desenvolvida é absorvida no atrito e ventilação e 
então convertida em calor. Estas perdas são chamadas de perdas mecânicas. 
3. Perdas magnéticas (em dispositivos magnéticos) ou dielétricas (em dispositivos 
elétricos). Estas perdas estão associadas ao campo de acoplamento. 
Além destes três tipos de perdas deve-se, em estudos mais aprofundados, 
considerar as perdas suplementares que possuem diversas causas. 
Nos dispositivos magnéticos, as perdas magnéticas são devidas as correntes de 
Foucault e à histerese. 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO 
DE ENERGIA 
Pode-se escrever o balanço de energia na convenção como motor como: 
O primeiro membro da equação pode ser expresso em termos das 
correntes e tensões nos circuitos elétricos do dispositivo de acoplamento. 
]1[




































armazenada
energia
deAumento
mecânicasperdas
maismecânica
energiadeSaída
elétricas
perdasmenos
elétricaenergia
deEntrada
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO 
DE ENERGIA 
Considere o circuito a seguir: 
Se pode escrever: 
Sistema
elétrico
Sistema de
conversão
de energia
Sistema
mecânico
i
r
u e
Perdas
Joule Perdas
mecânicas
u i dt → diferencial de energia elétrica na entrada. 
r i2 dt → diferencial de energia perdida por efeito Joule. 
dWele = u i dt – r i
2 dt = (u – r i) i dt = e i dt → diferencial de energia 
elétrica líquida de entrada no dispositivo de acoplamento. 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO 
DE ENERGIA 
Desconsiderando as resistências dos circuitos, bem como, as perdas 
por atrito e ventilação, verifica-se que o importante no processo de 
conversão é o campo de acoplamento e sua ação e reação nos 
sistemas elétricos e mecânicos. 
Onde: 
dWele → diferencial de energia recebida pelo campo de acoplamento. 
Assim, a equação [1] pode ser escrita na forma diferencial como: 
]2[meccampoele dWdWdW 
dWcampo → diferencial de energia do campo de acoplamento. 
dWmec → diferencial de energia convertida em mecânica. 
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO 
DE ENERGIA 
Para uma avaliação completa de um dispositivo eletromecânico não é 
suficiente a equação [2], que traduz o princípio de conversão da energia 
(bloco central da figura 1), deverá ser levado em conta as equações que 
traduzem a interligação ao sistema elétrico e as equações que o 
interligam ao sistema mecânico. 
Para análise de um dispositivo eletromecânico de natureza magnética 
adota-se como base o que segue: 
- Equação [2]; 
- 2ª. Lei de Newton (para a interligação mecânica) e; 
- Lei de Faraday (para a interligação elétrica). 
Para análise de um dispositivo eletromecânico de natureza elétrica adota-
se o que segue: 
- Equação [2]; 
- 2ª. Lei de Newton (para a interligação mecânica) e; 
- Lei da conservação da carga (para a interligação elétrica). 
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO 
Assim, a energia magnética é função de duas quantidades: 
Figura 2. Relé eletromecânico 
No relé da figura a energia 
magnética depende das 
grandezas elétricas e da posição 
x da peça móvel. 
u
x
armadura
n
r
i
guia
A energia magnética Wm 
armazenada na carcaça é uma 
função do fluxo λ, criado pela 
corrente i, e da relutância do 
circuito, que por sua vez também 
é função da posição x da 
armadura. 
),( xfWm 
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO 
A energia elétrica elementar fornecida pela fonte ao campo, vale: 
Figura 2. Relé eletromecânico 
Expressão da força 
eletromagnética em função da 
energia 
u
x
armadura
n
r
i
guia
Considerando as perdas Joule 
concentradas na resistência r, 
tem-se: 
 didti
dt
d
dtiedWele 
dt
d
e


EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO 
Nestas condições a expressão que traduz o princípio da conservação de 
energia [2], assume a forma: 
Figura 2. Relé eletromecânico 
Expressão da força 
eletromagnética em função da 
energia 
u
x
armadura
n
r
i
guia
Se a peça móvel se deslocar uma 
distância dx, o diferencial de 
energia mecânica consumido 
vale: 
dxFdW emmec 
  ]3[dWdxFdi
núcleodomagnéticaEnergia
m
mecânicaEnergia
em
elétricaEnergia


EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO 
Substituindo-se a equação [4] na [3], obtêm-se: 
Figura 2. Relé eletromecânico 
Expressão da força 
eletromagnética em função da 
energia 
u
x
armadura
n
r
i
guia
O diferencial da função energia 
magnética escreve-se na forma 
geral como: 
]6[0
]5[























dx
x
W
Fdi
W
ou
dx
x
W
d
W
dxFdi
m
em
m
mm
em





  ]4[, dx
x
W
d
W
xdW mmm





 
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO 
A Fem é definida como a derivada parcial da função energia magnética em 
função da posição. A função energia magnética é uma função de estado e 
deverá estar escrita em termos do fluxo λ e da posição x. 
Figura 2. Relé eletromecânico 
Expressão da força 
eletromagnética em função da 
energia 
u
x
armadura
n
r
i
guia
Para que a relação [6] seja 
sempre verdadeira é necessário 
que as funções que multiplicam dλ 
e dx sejam sempre nulas. Assim, 
   
]8[
,
]7[
,
x
xW
Fe
xW
i mem
m









As equações [7] e [8] são denominadas de equações paramétricas. 
Quando a força é negativa ela é de atração (convenção). 
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO (Exercício) 
Determine: 
(a) A expressão da energia magnética armazenada no dispositivo.
Considere o circuito magnético do ferro linear. 
(b) O valor da força e o seu sentido em função da coordenada de posição 
x. 
 
Figura 2. Relé eletromecânico 
O dispositivo representado na 
figura 2 tem um comprimento da 
linha média do seu circuito 
magnético igual a l, uma seção S 
e n espiras. O núcleo do 
dispositivo é percorrido por um 
fluxo contatenado λ. Considere a 
permeabilidade magnética relativa 
do ferro igual a μr. 
u
x
armadura
n
r
i
guia
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• SOLUÇÃO 
Figura 2. Relé eletromecânico 
(a) Expressão da energia magnética. 
u
x
armadura
n
r
i
guia
(i) Cálculo das relutâncias 
(i.1) Relativa ao ar 
S
x
o
ar


(i.2) Relativa do ferro 
S
x
or
fe



l
(i.3) Relutância total do circuito 


























rorrooro
t x
S
1x
x
S
1
S
x
S
x l
*
l
*
l
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
Figura 2. Relé eletromecânico 
(a) Expressão da energia magnética. 
u
x
armadura
n
r
i
guia
(ii) Expressão da energia magnética 
2
m
2
1
W 
OBS: Essa expressão foi escolhida 
pelo fato da energia ser uma função 
de estado de x e do Ø. 
2
ro
2
ro
m
n
x
S2
1
x
S2
1
W 




 


















 *
l
**
l
*
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
Figura 2. Relé eletromecânico 
(b) Cálculo da força 
u
x
armadura
n
r
i
guia
]a[
S
1
n2
1
xn2
1
x
W
F
o
2
m
2
m
em












 








 




OBS: A força será de atração, conforme 
convencionado. 
Como a fonte produz uma corrente i, tem-se: 
niFmm 
Assim, 
]b[
in
:
ni
m
2
m 



Substituindo [b] em [a], obtêm-se: 
















S
1in
2
1
F
o
2
m
22
em
DEFINIÇÃO DE CO-ENERGIA 
Na situação anterior admitiu-se como variável o fluxo magnético, para 
determinar a energia magnética do sistema. Entretanto, em muitos casos, é 
mais conveniente adotar como variável a corrente elétrica i. 
Para fazer essa mudança de variável, defini-se uma grandeza chamada de co-
energia, que corresponde ao complemento da energia armazenada em 
relação ao produto do fluxo pela corrente. 
ii
M
energia - W
coenergia - W'
0


i'WW 
][diid'dWdW 9
Substituindo- [9] em [3], obtêm-se: 
]10[didWdxF0
ou
diiddWdxFid
'
mem
'
mem


Figura 3. Curva λ x i 
DEFINIÇÃO DE CO-ENERGIA 
A co-energia pode ser escrita como: 
Substituindo [11] em [10], obtêm-se: 
  ][dx
x
W
di
i
W
x,idW
'
m
'
m'
m 11






i
W
e
][
x
W
F
di
i
W
dx
x
W
F
ou
didx
x
W
di
i
W
dxF
'
m
'
m
em
'
m
'
m
em
'
m
'
m
em


































12
0
0
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO (Exercício 2) 
SOLUÇÃO: 
Figura 2. Relé eletromecânico 
Determine a expressão da 
força exercida sobre a 
armadura, no dispositivo do 
exemplo anterior, utilizando a 
expressão [12]. 
u
x
armadura
n
r
i
guia
Como o circuito é linear, energia e co-energia são iguais, assim: 
   
 












ro
m lx
S
n
x
n
xLixL'W
12
1 222
EXPRESSÕES DA FORÇA MECÂNICA E ENERGIA 
• DISPOSITIVO ELETROMECÂNICO DE TRANSLAÇÃO (Exercício 2) 
 
 
 
S
.
ni
F
:seTem
Sx
:Como
dx
d
.
x
in
dx
xdL
i
x
W
F
om
em
o
m
m
m
'
m
em













1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
222
CONVERSOR ROTATIVO 
• CONVERSOR ROTATIVO 
Figura 3. Relé eletromecânico 
Difere do dispositivo anterior pelo fato 
da posição do rotor ser definida por 
um ângulo (θ) e as variações de 
energia magnética produzem um 
binário eletromagnético (Mem). 
Utilizando raciocício análogo ao 
adotado para o dispositivo anterior, 
pode-se escrever: 
 dMdW emmec
A energia magnética (W) passa a ser uma função de λ e θ. Assim, o binário 
(torque eletromagnético) será dado por: 
 
 
][
,iW
M
energiacodafunçãoemou
][
,W
M
'
m
em
m
em
14
13







POR HOJE É SÓ. 
 
MUITO OBRIGADO!