Aplicação-de-Integrais-no-Cálculo-de-Volumes

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Nesta aula estudaremos como aplicar o conceito de integral para
calcular o volume de so´lidos.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Do estudo da Geometria Espacial, no´s ja´ temos a noc¸a˜o do
conceito de volume. Fac¸amos uma discussa˜o sobre esse conceito.
Considere uma regia˜o plana qualquer, como ilustra a figura abaixo.
Vamos chamar essa regia˜o de base.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Do estudo da Geometria Espacial, no´s ja´ temos a noc¸a˜o do
conceito de volume. Fac¸amos uma discussa˜o sobre esse conceito.
Considere uma regia˜o plana qualquer, como ilustra a figura abaixo.
Vamos chamar essa regia˜o de base.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Se “empilhamos” va´rias dessas regio˜es ate´ uma certa altura h, no´s
obtemos o so´lido ilustrado na figura abaixo.
h
O volume desse so´lido sera´ dado pela relac¸a˜o
Volume = (A´rea da Base) × (Altura)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Se “empilhamos” va´rias dessas regio˜es ate´ uma certa altura h, no´s
obtemos o so´lido ilustrado na figura abaixo.
h
O volume desse so´lido sera´ dado pela relac¸a˜o
Volume = (A´rea da Base) × (Altura)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Considere que o problema agora fosse calcular o volume do so´lido
abaixo. A relac¸a˜o anterior ja´ na˜o poderia ser usada diretamente.
h
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Uma estrate´gia para calcular o volume desse so´lido consiste em
fatia´-lo em pequenos so´lidos, para os quais vamos aproximar o
volume usando a relac¸a˜o dada anteriormente.
ba
A(a)
A(b)
ba
A(x)
x+∆xx
Note que o volume V do so´lido pequeno pode ser calculado por
V = A(x)∆x .
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Introduc¸a˜o
Uma estrate´gia para calcular o volume desse so´lido consiste em
fatia´-lo em pequenos so´lidos, para os quais vamos aproximar o
volume usando a relac¸a˜o dada anteriormente.
ba
A(a)
A(b)
ba
A(x)
x+∆xx
Note que o volume V do so´lido pequeno pode ser calculado por
V = A(x)∆x .
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Definic¸a˜o
Considere um so´lido S posicionado entre os planos x = a e x = b.
Seja A uma func¸a˜o cont´ınua definida no intervalo [a, b], de modo
que A(x) representa a a´rea da sec¸a˜o transversal de S
(perpendicular ao eixo x) no ponto x ∈ [a, b]. Divida o intervalo
em n subintervalos [xi , xi+1], sendo que x0 = a e xn = b.
Considere que ∆xi = xi+1 − xi e´ o comprimento desse
subintervalo. Tome qualquer nu´mero x i dentro desse subintervalo.
O volume de S sera´ dado por
V = lim
max ∆xi→0
n−1∑
i=0
A(x i )∆xi =
∫ b
a
A(x) dx .
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule o volume de uma esfera de raio 2 u.c..
Primeiro, vamos posicionar essa esfera de forma conveniente, com
seu centro na origem do sistema como ilustra a figura abaixo.
Note que cada sec¸a˜o transversal e´ um c´ırculo de raio y . Ale´m
disso, temos que y =
√
22 − x2 = √4− x2.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule o volume de uma esfera de raio 2 u.c..
Primeiro, vamos posicionar essa esfera de forma conveniente, com
seu centro na origem do sistema como ilustra a figura abaixo.
Note que cada sec¸a˜o transversal e´ um c´ırculo de raio y . Ale´m
disso, temos que y =
√
22 − x2 = √4− x2.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Exemplo 1: Calcule o volume de uma esfera de raio 2 u.c..
Primeiro, vamos posicionar essa esfera de forma conveniente, com
seu centro na origem do sistema como ilustra a figura abaixo.
Note que cada sec¸a˜o transversal e´ um c´ırculo de raio y . Ale´m
disso, temos que y =
√
22 − x2 = √4− x2.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = piy2 = pi
(√
4− x2
)2
= pi
(
4− x2) .
Escrevendo enta˜o A(x) = pi
(
4− x2), podemos calcular o volume
da esfera atrave´s da integral
V = 2
∫ 2
0
A(x) dx = 2
∫ 2
0
pi
(
4− x2) dx
= 2
[
pi
(
4x − x
3
3
)]2
0
=
32pi
3
(u.v. – unidade de volume)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = piy2 = pi
(√
4− x2
)2
= pi
(
4− x2) .
Escrevendo enta˜o A(x) = pi
(
4− x2), podemos calcular o volume
da esfera atrave´s da integral
V = 2
∫ 2
0
A(x) dx
= 2
∫ 2
0
pi
(
4− x2) dx
= 2
[
pi
(
4x − x
3
3
)]2
0
=
32pi
3
(u.v. – unidade de volume)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = piy2 = pi
(√
4− x2
)2
= pi
(
4− x2) .
Escrevendo enta˜o A(x) = pi
(
4− x2), podemos calcular o volume
da esfera atrave´s da integral
V = 2
∫ 2
0
A(x) dx = 2
∫ 2
0
pi
(
4− x2) dx
= 2
[
pi
(
4x − x
3
3
)]2
0
=
32pi
3
(u.v. – unidade de volume)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = piy2 = pi
(√
4− x2
)2
= pi
(
4− x2) .
Escrevendo enta˜o A(x) = pi
(
4− x2), podemos calcular o volume
da esfera atrave´s da integral
V = 2
∫ 2
0
A(x) dx = 2
∫ 2
0
pi
(
4− x2) dx
= 2
[
pi
(
4x − x
3
3
)]2
0
=
32pi
3
(u.v. – unidade de volume)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
A a´rea de cada sec¸a˜o transversal sera´ dada por
A = piy2 = pi
(√
4− x2
)2
= pi
(
4− x2) .
Escrevendo enta˜o A(x) = pi
(
4− x2), podemos calcular o volume
da esfera atrave´s da integral
V = 2
∫ 2
0
A(x) dx = 2
∫ 2
0
pi
(
4− x2) dx
= 2
[
pi
(
4x − x
3
3
)]2
0
=
32pi
3
(u.v. – unidade de volume)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em
torno do eixo x , da regia˜o R delimitada pelos gra´ficos das func¸o˜es
f (x) =
2(x + 1)
5
e g(x) =
√
x .
Primeiro, precisamos determinar a regia˜o R. Fazendo um esboc¸o
dos gra´ficos das func¸o˜es, obtemos a figura abaixo.
R
a b
f
g
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Exemplo 2: Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o, em
torno do eixo x , da regia˜o R delimitada pelos gra´ficos das func¸o˜es
f (x) =
2(x + 1)
5
e g(x) =
√
x .
Primeiro, precisamos determinar a regia˜o R. Fazendo um esboc¸o
dos gra´ficos das func¸o˜es, obtemos a figura abaixo.
R
a b
f
g
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Para determinar os pontos de intersec¸a˜o entre os gra´ficos
precisamos resolver a equac¸a˜o f (x) = g(x). Desse modo, temos
que
2(x + 1)
5
=
√
x
[
2(x + 1)
5
]2
=
(√
x
)2
4x2 − 17x + 4 = 0
Resolvendo essa equac¸a˜o, facilmente obtemos que as soluc¸o˜es sa˜o
x = 14 e x = 4.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Para determinar os pontos de intersec¸a˜o entre os gra´ficos
precisamos resolver a equac¸a˜o f (x) = g(x). Desse modo, temos
que
2(x + 1)
5
=
√
x
[
2(x + 1)
5
]2
=
(√
x
)2
4x2 − 17x + 4 = 0
Resolvendo essa equac¸a˜o, facilmente obtemos que as soluc¸o˜es sa˜o
x = 14 e x = 4.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Para
determinar os pontos de intersec¸a˜o entre os gra´ficos
precisamos resolver a equac¸a˜o f (x) = g(x). Desse modo, temos
que
2(x + 1)
5
=
√
x
[
2(x + 1)
5
]2
=
(√
x
)2
4x2 − 17x + 4 = 0
Resolvendo essa equac¸a˜o, facilmente obtemos que as soluc¸o˜es sa˜o
x = 14 e x = 4.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Para determinar os pontos de intersec¸a˜o entre os gra´ficos
precisamos resolver a equac¸a˜o f (x) = g(x). Desse modo, temos
que
2(x + 1)
5
=
√
x
[
2(x + 1)
5
]2
=
(√
x
)2
4x2 − 17x + 4 = 0
Resolvendo essa equac¸a˜o, facilmente obtemos que as soluc¸o˜es sa˜o
x = 14 e x = 4.
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo x. No´s
obtemos assim o so´lido ilustrado na figura abaixo.
a b a b
g
f
g
f
g
Note que cada sec¸a˜o transversal e´ uma coroa circular, de raio
externo g e raio interno f . A a´rea dessa coroa sera´ dada por
A(x) = pi[g(x)]2 − pi[f (x)]2 = pi
25
(−4x2 + 17x − 4).
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Fac¸amos agora a rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo x. No´s
obtemos assim o so´lido ilustrado na figura abaixo.
a b a b
g
f
g
f
g
Note que cada sec¸a˜o transversal e´ uma coroa circular, de raio
externo g e raio interno f . A a´rea dessa coroa sera´ dada por
A(x) = pi[g(x)]2 − pi[f (x)]2 = pi
25
(−4x2 + 17x − 4).
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido atrave´s da integral
V =
∫ 4
1
4
pi
25
(−4x2 + 17x − 4) dx
=
[
pi
25
(
−4x
3
3
+
17x2
2
− 4x
)]4
1
4
=
45pi
32
(u.v. – unidade de volume)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido atrave´s da integral
V =
∫ 4
1
4
pi
25
(−4x2 + 17x − 4) dx
=
[
pi
25
(
−4x
3
3
+
17x2
2
− 4x
)]4
1
4
=
45pi
32
(u.v. – unidade de volume)
Aplicac¸a˜o de Integrais no Ca´lculo de Volumes
Exerc´ıcio
Podemos enta˜o calcular o volume do so´lido atrave´s da integral
V =
∫ 4
1
4
pi
25
(−4x2 + 17x − 4) dx
=
[
pi
25
(
−4x
3
3
+
17x2
2
− 4x
)]4
1
4
=
45pi
32
(u.v. – unidade de volume)