Resumo dos testes de convergência

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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 3 
Resumo dos Testes de Convergência 
Nome Afirmação 
Teste da 
Divergência Se n n
n = 1
lim a 0 ou não existe então a 
x
∞
→∞
≠ ∑ diverge. 
Teste da 
Comparação Sejam n
n = 1
 a 
∞
∑ e n
n = 1
 b 
∞
∑ com 0 n na b< ≤ , para todo n. 
a) Se n
n = 1
 b 
∞
∑ converge então n
n = 1
 a 
∞
∑ converge 
b) Se n
n = 1
 a 
∞
∑ diverge então n
n = 1
 b 
∞
∑ diverge. 
Teste da 
Comparação no 
Limite 
Sejam n
n = 1
 a 
∞
∑ e n
n = 1
 b 
∞
∑ séries de termos positivos. 
a) Se n
n
a
lim 0,
bn
L
→∞
= > então ambas as séries convergem ou ambas divergem. 
b) Se n
n
a
lim 0,
bn→∞
= e se n
n = 1
 b 
∞
∑ converge então n
n = 1
 a 
∞
∑ converge. 
c) Se n
n
a
lim ,
bn→∞
= ∞ e se n
n = 1
 b 
∞
∑ diverge então n
n = 1
 a 
∞
∑ diverge. 
Teste da 
Integral 
Seja f uma função contínua, decrescente e positiva para todo n a≥ e tal que 
( )na f n= para n a≥ . 
a) Se f(x) dx converge 
a
∞
⇔∫
 
 n
n = a
 a converge.
∞
∑ 
b) Se f(x) dx diverge 
a
∞
⇔∫ n
n = a
 a diverge.
∞
∑ 
Teste da Série 
Alternada 
( Critério de 
Leibniz) 
Seja 
n
n
n = 1
(-1) a 
∞
∑ com 0, nna > ∀ . Se 
a) 1n na a+ ≤ , ou seja , { }na decrescente 
b) nlim a 0
n→∞
= 
Então a série alternada converge. 
 
 
Teste da Razão 
 Seja a série n
n = 1
 a :então
∞
∑
 
a) n+1
n
a
lim 1, a série é absolutamente convergente.
an
L
→∞
= < 
b) n+1 n+1
n n
a a
lim 1, lim a série diverge.
a an n
L ou
→∞ →∞
= > = ∞ 
c) n+1
n
a
lim 1, nenhuma conclusão.
an→∞
= 
 
Teste da Raiz 
Seja a série n
n = 1
 a :então
∞
∑
 
n
n) lim a 1, a série é absolutamente convergente.
n
i L
→∞
= <
 
n n
n n) lim a 1, ou se lim a , a série é divergente.
nn
ii L
→∞→∞
= > = ∞
 
n
n) lim a 1, nenhuma conclusão.
n
iii
→∞
=