Pré cálculo Uerj

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TUTORIAL DE PRE´-CA´LCULO
AUGUSTO CE´SAR DE CASTRO BARBOSA
CLA´UDIA FERREIRA REIS CONCORDIDO
2009
2
ISBN: 978-85-910456-0-0
Introduc¸a˜o
Os problemas referentes ao ensino de Ca´lculo Diferencial e Integral I teˆm motivado
diversos trabalhos de pesquisa na a´rea de educac¸a˜o matema´tica. Em va´rias partes do mundo
e´ comum encontrar altos ı´ndices de reprovac¸a˜o nesta disciplina. A reprovac¸a˜o e´, em grande
parte, fruto do baixo conhecimento de matema´tica por parte dos calouros. Uma proposta
pedago´gica bastante utilizada para se enfrentar o problema e´ oferecer uma disciplina nos
moldes de Pre´-Ca´lculo aos alunos que ingressam na Universidade. Tal disciplina possibilita
ao aluno rever conceitos importantes de matema´tica ba´sica, assim como aprofunda´-los.
Com frequ¨eˆncia, os estudantes apresentam grandes dificuldades no entendimento
do conceito de func¸a˜o e na construc¸a˜o e interpretac¸a˜o de seus gra´ficos. Ale´m disso, e´ co-
mum tambe´m verificar que uma parcela significativa de estudantes possui deficieˆncias nas
operac¸o˜es elementares com nu´meros racionais, na teoria elementar de polinoˆmios e nos con-
ceitos ba´sicos de geometria. Ocorrem tambe´m situac¸o˜es em que o estudante, apesar de
ter um conhecimento razoa´vel dos pre´-requisitos, na˜o os domina no n´ıvel exigido em uma
disciplina de Ca´lculo.
Essas deficieˆncias se agravam pelo fato de os alunos demonstrarem muita dependeˆncia
do acompanhamento do professor para desenvolver seu estudo e dirigir seu racioc´ınio.
A questa˜o que se coloca enta˜o e´ a escolha do caminho que se deve tomar de modo a
dar a formac¸a˜o mı´nima necessa´ria ao estudante que ingressa na Universidade.
Em 2003, propusemos a criac¸a˜o de uma disciplina de Pre´-Ca´lculo para os alunos
rece´m ingressantes na UERJ, que possu´ıam Ca´lculo I na grade curricular. Ela foi oferecida
nos dois per´ıodos letivos de 2003 com o nome de Matema´tica Instrumental, sem fazer parte
da grade curricular dos cursos de graduac¸a˜o e na˜o podendo ser aproveitada como disciplina
eletiva na contagem de cre´ditos.
Esta disciplina desenvolveu-se atrave´s do esquema de Ensino Colaborativo, visando
aumentar a participac¸a˜o e a interac¸a˜o entre os alunos no processo de aprendizagem. Esse
me´todo envolve um conjunto de abordagens para a educac¸a˜o e algumas vezes e´ chamado de
“aprendizagem de pequenos grupos”. O objetivo principal desta te´cnica e´ criar um ambiente
que envolva os estudantes na construc¸a˜o de conhecimentos de forma solida´ria e os leve a
pensar sobre esses conhecimentos que eles construiram.
Cada turma ficou a cargo de um instrutor. Os instrutores eram alunos dos per´ıodos
finais do curso de Licenciatura em Matema´tica, escolhidos atrave´s de exame curricular e
entrevista, e recebiam por esta tarefa uma bolsa de treinamento oferecida pela Sub-Reitoria
de Graduac¸a˜o da UERJ. No primeiro dia de aula realizou-se um teste e, a partir da notas
obtidas, as turmas foram divididas em grupos de 4 ou 5 estudantes de maneira a se ter o mais
3
4
alto grau de heterogeneidade no que tange ao seu n´ıvel de conhecimento em Matema´tica.
Nas aulas, a exposic¸a˜o dos conceitos era breve, seguida da aplicac¸a˜o de listas de
exerc´ıcios de fixac¸a˜o, as quais eram desenvolvidas em grupo e corrigidas durante as aulas. As
atividades se desenvolveram neste esquema, com os estudantes ajudando e sendo ajudados
pelos companheiros do grupo. Durante a resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios, em caso de du´vida, os
grupos podiam solicitar a ajuda do instrutor. Vale mencionar que as atividades desenvolvidas
em sala estavam sempre focadas na compreensa˜o conceitual.
Os estudantes foram avaliados de forma continuada, atrave´s de listas de exerc´ıcios
e provas. Estas listas, denominadas Listas de Avaliac¸a˜o, foram desenvolvidas como tarefa
semanal por cada grupo. As provas eram individuais e, junto com as Listas de Avaliac¸a˜o,
compunham a nota final de cada aluno, dada atrave´s da fo´rmula
NF =
P1 + P2 + P3 +ML
4
.
Nesta fo´rmula,
• NF → nota final
• Pj → nota das provas individuais
• ML → me´dia das Listas de Avaliac¸a˜o
A nota final servia apenas como um referencial para o aluno, uma vez que a disciplina
na˜o reprovava.
A experieˆncia que acabamos de descrever na˜o corresponde a` disciplina que hav´ıamos
inicialmente idealizado. Os alunos inscritos cursaram a disciplina Matema´tica Instrumental
simultaneamnte com suas disciplinas regulares, inclusive com o pro´prio Ca´lculo Diferencial e
Integral I. Essa sobreposic¸a˜o criou dificuldades que, em muitos casos, levaram ao abandono
da disciplina. Acreditamos que a maneira mais eficiente de funcionamento desta disciplina
e´ que ela seja oferecida no per´ıodo anterior a`quele em que o aluno cursar Ca´lculo I.
A partir dessa experieˆncia, decidimos organizar um tutorial com base no material uti-
lizado na disciplina Matema´tica Instrumental. Esse material consiste das listas de exerc´ıcios
de fixac¸a˜o e de avaliac¸a˜o, assim como das provas aplicadas durante o curso.
Este livro fornece ao estudante um conjunto de exerc´ıcios selecionados, dispostos
em ordem crescente de dificuldade, visando a revisa˜o e a fixac¸a˜o dos principais conceitos da
matema´tica ba´sica. No entanto, sugerimos que o estudante realize um estudo teo´rico antes
de resolver os exerc´ıcios que tratem de conteu´dos na˜o estudados ou mal compreendidos por
ele.
Gostar´ıamos de agradecer a` Sub-Reitoria de Graduac¸a˜o (SR1) pelo apoio dado ao
Projeto atrave´s da concessa˜o de uma Bolsa de Esta´gio Interno a` aluna de graduac¸a˜o Sabrina
Ferreira Santana para digitac¸a˜o e construc¸a˜o de figuras e gra´ficos.
Instruc¸o˜es
Como ja´ foi mencionado, este tutorial na˜o pretende substituir livros-textos de matema´-
tica do Ensino Me´dio e sim possibilitar ao estudante fazer um trabalho minucioso de revisa˜o
dos principais to´picos de matema´tica elementar, cujo domı´nio e´ imprescind´ıvel para um
primeiro curso de Ca´lculo Diferencial e Integral.
Da mesma forma que foi implementado na disciplina Matema´tica Instrumental, o
primeiro passo no desenvolvimento desse trabalho e´ a realizac¸a˜o da avaliac¸a˜o inicial, com o
objetivo de verificar o n´ıvel do estudante no que diz respeito ao conhecimento e a`s habilidades
em Matema´tica. A partir da´ı, o estudante tera´ um referencial para aferir de forma mais
efetiva o seu desenvolvimento em cada etapa desse tutorial.
O tutorial e´ composto por dez mo´dulos destinados aos exerc´ıcios. Cada um desses
mo´dulos esta´ dividido em sec¸o˜es e pode envolver um, dois ou treˆs assuntos distintos. Na
u´ltima sec¸a˜o de cada mo´dulo, e´ feita uma revisa˜o sobre os assuntos ali abordados.
A avaliac¸a˜o do estudante sera´ feita atrave´s de treˆs provas. A partir da me´dia a-
ritme´tica dessas treˆs provas e da comparac¸a˜o com a nota da Avaliac¸a˜o Inicial, o estudante
tera´ um referencial para aferir a evoluc¸a˜o do domı´nio dos principais to´picos de matema´tica
ba´sica.
A primeira prova abrange os seguintes assuntos: Conjuntos Nume´ricos e Introduc¸a˜o
a`s Expresso˜es Alge´bricas; Introduc¸a˜o ao Estudo de Func¸o˜es, Func¸a˜o Afim, Equac¸o˜es e I-
nequac¸o˜es de Primeiro Grau; Func¸a˜o Quadra´tica, Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es do Segundo Grau.
Na segunda prova sa˜o avaliados os conhecimentos do estudante acerca de Nu´meros Complexos
e Polinoˆmios; Propriedades de Func¸o˜es e Func¸a˜o Modular; Func¸a˜o Exponencial e Func¸a˜o
Logar´ıtmica. Na terceira e u´ltima prova abordamos questo˜es de Pol´ıgonos; Circunfereˆncias
e A´rea de Figuras Planas; Trigonometria; Func¸o˜es Trigonome´tricas Inversas.
Caso a nota final (me´dia das treˆs provas) seja inferior a 7,0 (sete), o estudante deve
refazer as Listas de Exerc´ıcios de Revisa˜o localizadas ao final de cada mo´dulo e fazer a
Avaliac¸a˜o Final (Mo´dulo 15) - um teste sobre todo o programa. Se a nota nesta Avaliac¸a˜o
for inferior a 7,0,
recomendamos que o estudante retorne aos livros-textos para um estudo
mais minucioso dos conceitos matema´ticos abordados.
Os autores gostariam de receber um e-mail com a opinia˜o a respeito do material
utilizado e de que forma ele pode ter sido u´til na preparac¸a˜o para a disciplina Ca´lculo
Diferencial e Integral I.
5
6
Professor Augusto Ce´sar de Castro Barbosa (accb@ime.uerj.br)
Doutor em F´ısica (IF-UFF)
Departamento de Matema´tica Aplicada
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Professora Cla´udia Ferreira Reis Concordido (concordido@ime.uerj.br)
Doutora em Matema´tica (IM-UFRJ)
Departamento de Ana´lise Matema´tica
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Mo´dulo 1
AVALIAC¸A˜O INICIAL
1. Calcule o valor de cada expressa˜o:
(a) 4 +
1
11
− 1
2
+
3
4
=
(b)
1
4
+ 0, 19 :
(
4− 0, 8 : 0, 5− 1
2
)
=
(c)
1256 · 25−3
(52)−3 · 257 =
2. Sendo A =]−∞,−1[, B =]− 5, 2[ e C =]− 1, 4], obtenha:
(a)A ∩B (b)A ∪B (c)A ∩ C
3. Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
√
x+ 2
x− 2 .
4. Seja a func¸a˜o y = f(x) representada pelo gra´fico abaixo. Construa o gra´fico da func¸a˜o
y = 1− f(x+ 2).
7
8 MO´DULO 1. AVALIAC¸A˜O INICIAL
5. Considere as func¸o˜es f, g : IR → IR tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1.
Calcule f(7).
6. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es a seguir:
(a)f(x) = 2x− 3 (b)f(x) = 6x− x2 − 8
7. Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a)73x+4 = 492x−3 (b)log3 (x− 1)2 = 2
8. Se DE e´ paralelo a BC, determine x na figura abaixo:
9. Dois pescadores P1 e P2 esta˜o na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver um
bote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63m, os aˆngulos BPˆ1P2 = α e BPˆ2P1 = β e
que tgα = 2 e tg β = 4, calcule a distaˆncia entre as margens (em metros).
10. Determine p para que a reta de equac¸a˜o 2x+ 3y− p = 0 intercepte o eixo das ordenadas
no ponto de ordenada 5.
11. Uma caixa sem tampa tem V m3 de volume. O comprimento da base e´ o dobro da
largura. O material da base custa R$ p por metro quadrado, ao passo que o material das
laterais custa R$ q por metro quadrado. Expresse o custo total do material em func¸a˜o do
tamanho da base.
1.1. RESOLUC¸A˜O 9
1.1 RESOLUC¸A˜O
1.
(a)4 +
1
11
− 1
2
+
3
4
=
176
44
+
4
44
− 22
44
+
33
44
=
191
44
m.m.c(2, 4, 11) = 44
(b)
1
4
+ 0, 19 : (4− 8
10
:
5
10
− 1
2
) =
1
4
+
19
100
: (4− 8
10
.
10
5
− 1
2
) =
1
4
+
19
100
: (4− 8
5
− 1
2
) =
1
4
+
19
100
: (
40
10
− 16
10
− 5
10
) =
1
4
+
19
100
:
19
10
=
1
4
+
19
100
.
10
19
=
1
4
+
1
10
=
5
20
+
2
20
=
7
20
(c)
1256.25−3
(52)−3.257
=
(53)6.(52)−3
(52)−3.(52)7
=
518.5−6
5−6.514
=
518−6
5−6+14
=
512
58
= 512−8 = 54 = 5.5.5.5 = 625
2. A=]−∞,−1[ B=]− 5, 2[ C=]− 1, 4]
(a)
A ∩B =]− 5,−1[
(b)
10 MO´DULO 1. AVALIAC¸A˜O INICIAL
A ∪B =]−∞, 2]
(c)
A ∩ C = ∅
3. f(x) =
√
x+ 2
x− 2
x− 2 6= 0⇒ x 6= 2
x+ 2 ≥ 0⇒ x ≥ −2
Df = {x ∈ IR | x 6= 2 ∧ x ≥ −2}
4.
5. g(x) = 2x+ 1 f(7) =?
g(f(x)) = 2x2 + 2x+ 1
g(f(x)) = (g ◦ f)(x) = 2(f(x)) + 1 = 2x2 + 2x+ 1
⇒ 2(f(x)) = 2x2 + 2x⇒ f(x) = x2 + x
f(7) = 72 + 7 = 56
1.1. RESOLUC¸A˜O 11
6. (a)f(x) = 2x− 3 f(0) = −3 f(1) = −1
(b)f(x) = 6x− x2 − 8
a = −1 < 0→ concavidade para baixo; ∆ = b2 − 4ac = 62 − 4.(−1).(−8) = 36− 32 = 4
V = (− b
2a
,−∆
4a
) = (3, 1); f(0) = −8
f(x) = 6x− x2 − 8 = 0⇐⇒ x = −b
+− √∆
2a
=
−6 +− √4
2.(−1) =
−6 +− 2
−2
Zeros de f : x1 =
−6 + 2
−2 = 2 e x2 =
−6− 2
−2 = 4
7. (a) 73x+4 = 492x−3 ⇒ 73x+4 = (72)2x−3 ⇒ 73x+4 = 74x−6 ⇒ 3x+ 4 = 4x− 6⇒ 4x− 3x =
4 + 6⇒ x = 10
S = {10}
(b) log3(x− 1)2 = 2⇒ (x− 1)2 = 32 ⇒ x− 1 = ±3
x1 = −2, x2 = 4⇒ S = {−2, 4}
12 MO´DULO 1. AVALIAC¸A˜O INICIAL
8. Da figura segue que
Logo,
6 + 3
12
=
6
x
⇒ 9
12
=
6
x
⇒ x = 12.6
9
= 8
9.
tgα =
h
63− x = 2 tg β =
h
x
= 4{
h = 126− 2x
h = 4x
⇒ 4x = 126− 2x ⇒ 6x = 126 ⇒ x = 21 ⇒ h = 84m
10. 2x+ 3y − p = 0⇒ 3y = p− 2x⇒ y = 1
3
p− 2
3
x
x = 0, y = 5⇒ 5 = 1
3
p⇒ p = 15
11. V = c.l.h = 2l.l.h = 2l2h
custo da base: R$ p.l.2l = R$ 2l2p
custo das laterais: R$ q.l.h.2+R$ q.2l.h.2 =R$ 6lhq
custo total: c = 2l2 p+ 6lhq
Mas h =
V
2l2
, enta˜o c = 2l2 p+
6lqV
2l2
= 2l2 p+
3qV
l
1.2. PONTUAC¸A˜O DA PROVA 13
1.2 PONTUAC¸A˜O DA PROVA
1aQ : 0.9 p (0.3 p cada item)
2aQ : 0.9 p (0.3 p cada item)
3aQ : 0.5 p
4aQ : 1.0 p
5aQ : 0.7 p
6aQ : 1.0 p (0.5 p cada item)
7aQ : 1.0 p (0.5 p cada item)
8aQ : 1.0 p
9aQ : 1.0 p
10aQ : 1.0 p
11aQ : 1.0 p
OBS: Em caso de erro de conta em uma dada questa˜o, retire 0.2 p.
14 MO´DULO 1. AVALIAC¸A˜O INICIAL
Mo´dulo 2
Conjuntos Nume´ricos e Introduc¸a˜o a`s
Expresso˜es Alge´bricas
2.1 PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Represente, por extensa˜o, os conjuntos:
(a) A = {x ∈ IN | x > 6} (b) B = {x ∈ IN∗ | x ≤ 5}
(c) C = {x ∈ IN | 2 < x < 7}
2. Considere uma operac¸a˜o simbolizada pelo sinal ∗, definida para os nu´meros naturais a e
b pela seguinte fo´rmula: a ∗ b = a+ 2b. Calcule o valor de 4 ∗ 3 e de 2 ∗ 5.
3. Calcule as poteˆncias : a = 33 , b = (−2)3 , c = 3−2 e d = (−2)−3. Escreva os nu´meros
a, b, c, d em ordem crescente.
4. Represente, usando a notac¸a˜o de intervalos, os seguintes subconjuntos de IR:
(a) (b)
5. Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos:
(a) A = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 2}
(b) B = {x ∈ IR | 0 < x < 3}
(c) C = {x ∈ IR | x ≤ 0 ou x > 1}
(d) D = {x ∈ IR | − 1 ≤ x < 0 ou x ≥ 3}
15
16MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
6. Sendo E = {x ∈ IR | − 3 ≤ x < 1}, F = {x ∈ IR | x ≤ 3} e G = {x ∈ IR | 1 < x ≤ 5},
obtenha:
(a) E ∩ F (b) E ∪ F (c) F ∩G (d) F ∪G (e) E ∩G (f) E ∪G
7. Efetue:
(a) (+9) + (+15) =
(b) (−220) + (−309) =
(c) (−15) + (+3) =
(d) (+15) + (−3) =
(e) (+15)− (+3) =
(f) (−8)− (−10) =
(g) (+6)− (−2) =
(h) − 5 + 9 =
(i) − 3− 4 =
(j) − 13 + 7 =
(k) 6 + 4− 1 =
(l) − 2− (−12) =
8. Efetue:
(a) (+5) · (+7) =
(b) (−5) · (−7) =
(c) (−5) · (+7) =
(d) 0 · (−3) =
(e) (−15) : (−3) =
(f) (−15) : (+3) =
(g) (+15) : (−3) =
(h) 0 : (+8) =
9. Calcule:
(a) (−4)2 =
(b) (−1)6 =
(c) (−3)3 =
(d) (−2)0 =
(e) (+3)0 =
(f) (+3)2 =
(g) − 32 =
(h) − 16 =
10. Aplique as propriedades das poteˆncias:
(a) (−7)3 · (−7)5 =
(b) (−1)4 · (−1)0 =
(c) a15 : a =
(d) [(−12)3]6 =
(e) [(−3)4]0 =
(f) (34)2 : (32)3 =
11.Calcule:
(a) {[(0− 2)− (0 + 4)] + [(0− 6)− (0 + 8)]} =
(b) 15− [(−30) : 2] + [(−18) : (−2)]− [(−8) : (−8)] =
(c) [5 · (−1)3] + [(−6)2 : (−3)] =
(d) (−4)2 − {(−5) · (+2)3 + [(−14) : (−2) · (−3)]− (+8)} =
12. Determine:
(a) | − 183| = (b) |0| = (c) |+3
4
| = (d) | − 1, 8| =
13. Dados n = 3 e m = 3
√
2, efetue as operac¸o˜es indicadas e classifique as afirmac¸o˜es em
V(verdadeira) ou F(falsa):
2.2. SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS 17
(a) n + m e´ racional.
(b) n ·m e´ irracional.
(c) m2 e´ irracional.
(d) m3 e´ irracional.
2.2 SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Aplicando a decomposic¸a˜o em fatores primos, determine o mdc dos nu´meros:
(a) 30 e 48 (b) 125 e 35 (c) 198, 126 e 54
2. Aplicando o processo das diviso˜es sucessivas, determine o mdc dos nu´meros:
(a) 72 e 40 (b) 90 e 54
3. Aplicando a decomposic¸a˜o em fatores primos, determine o mmc dos nu´meros:
(a) 12 e 15 (b) 8,12 e 20 (c) 32, 48 e 80
4. Determine pela decomposic¸a˜o simultaˆnea em fatores primos o mmc dos nu´meros:
(a) 8,15 e 20 (b) 12, 15, 20 e 36
5. Escreva na forma decimal os nu´meros racionais:
(a) − 8
10
(b) −23
10
(c) − 48
100
(d) −1
2
(e) −3
4
6. Escreva na forma irredut´ıvel os nu´meros racionais:
(a) −62
12
(b)
20
54
(c) − 3
21
(d)
72
−9
7. Escreva na forma de frac¸a˜o:
(a) −2, 9 (b) 0, 3 (c) −0, 001 (d) −2, 08
8. Relacione com >,< ou = :
(a)
−1
4
,
2
3
(b) −3
4
,
6
8
(c) −5
6
,
4
3
(d) −4
2
,
5
4
(e)
4
3
, 1
(f)
2
3
,
5
6
,
3
4
9. Efetue:
18MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
(a)
(
+
5
8
)
−
(
−1
8
)
=
(b)
(
−1
6
)
−
(
−1
4
)
=
(c)
(
−3
8
)
+
(
+
5
6
)
=
(d)
(
−1
3
)
·
(
−1
4
)
=
(e)
(
+
1
2
)
· (−2) =
(f) (−4) · (−0, 25) =
(g)
(
+
5
11
)
: (+2) =
(h)
(
−3
8
)
:
(
+
3
2
)
=
(i) (−0, 5) : (−0, 2) =
10. Calcule o valor nume´rico das expresso˜es:
(a) (−5)− (+2, 3)− (−0, 25) + (+5, 3) =
(b)
(
+
1
10
)
+ (−2, 7)−
(
+
12
10
)
− (−3) =
2.3 TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Calcule:
(a)
(
+
2
3
)4
= (b)
(
−2
3
)4
= (c)
(
+
1
2
)5
= (d)
(
−1
2
)5
=
2. Calcule, quando for poss´ıvel, em ZZ:
(a) −√100 (b) √−81 (c) 3√−27 (d) 3√125
3. Calcule o valor nume´rico das expresso˜es:
(a) 14 + (−2)4 − (−2)3 + 07 + 320 + 8 · 22 =
(b) (0, 5)2 : 5− 2 · (0, 3 · 1, 2− 0, 72 : 2, 4) =
(c)
(
1
4
)2
· 4
5
+
2
5
:
(
2
3
)3
=
(d) − 3√8 + 161/4 − (−2) + 271/3 =
(e) 2−1 + 6 ·
(
2
3
)−2
−
(
1
3
)−1
=
(f) 4 · (0, 5)4 +√0, 25 + 8−2/3 =
(g)
93 · 274 · 3−7
1
3
· 2432
=
4. Simplifique as expresso˜es:
(a) 2
√
150− 4√54 + 6√24 (b)
3
√
24− 3√81
3
√√
9 + 3
√
3
5. Racionalize os denominadores das expresso˜es:
(a)
2√
10
(b)
5
2
√
5
(c)
1
3
√
2
(d)
√
2√
2 +
√
3
2.3. TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS 19
6. Efetue:
(a)
2 +
√
3
1 − √5 +
2 − √3
1 +
√
5
= (b)
1
1 − √2 −
1√
2 + 1
=
7. Desenvolva os seguintes produtos nota´veis:
(a) (2x+ 3)2
(b) (2a2 − 3)2
(c) (a+ b− c)2
(d)
(
k
2
− 2
3
)
·
(
k
2
+
2
3
)
(e) (2a2 + 3b) · (2a2 − 3b)
8. Fatore ao ma´ximo as expresso˜es:
(a) 4ax − 8ay
(b) x2 + 6x + 9
(c) a4 − b4
(d)
3
5
a − 1
5
b
(e) 5x2 + 20x + 20
(f) x3 − 10x2 + 25x
9. Simplifique:
(a) (m− 1)2 − (m+ 1) · (m− 1)
(b)
x2 + xy
2x
(c)
4ac + 10ac2
12a2c
(d) (x− 2)2 + x2 − 2(x− 1)2
(e)
a4 + a3b − ab3 − b4
a2 − b2
(f)
7ax + ay + 7bx + by
ax − ay + bx − by
10. Efetue as operac¸o˜es indicadas:
(a)
x + 1
x − 1 +
x − 1
x + 1
=
(b)
a + 2b
x + a
− a − 2b
x − a −
4bx − 2a2
x2 − a2 =
(c)
x + 3
2(x + 1)
· (x + 1)
2
(x + 3) · (x − 3) =
(d)
x2 + 8x + 16
3x + 6
· x
2 − 4
5x + 20
=
(e)
(
1 +
a − b
a + b
)
:
(
1− a − b
a + b
)
=
20MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
2.4 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
2.4.1 1a LISTA
1. (a) A = {7, 8, 9, ...} (b) B = {1, 2, 3, 4, 5} (c) C = {3, 4, 5, 6}
2. 4 ∗ 3 = 10 e 2 ∗ 5 = 12
3. a = 27, b = −8, c = 1
9
, d = −1
8
; {−8,−1
8
,
1
9
, 27}
4.(a) ]−∞,−3
2
] (b) [
√
3, 6[
5.
6.
(a) {x ∈ IR | − 3 ≤ x < 1}
(b) {x ∈ IR | x ≤ 3}
(c) {x ∈ IR | 1 < x ≤ 3}
(d) {x ∈ IR | x ≤ 5}
(e) ∅
(f) {x ∈ IR | − 3 ≤ x ≤ 5x 6= 1}
7.
(a) + 24
(b) − 529
(c) − 12
(d) + 12
(e) + 12
(f) + 2
(g) + 8
(h) + 4
(i) − 7
(j) − 6
(k) 9
(l) + 10
8. (a) +35 (b) +35 (c) −35 (d) 0 (e) +5 (f) −5 (g) −5 (h) 0
9. (a) 16 (b) +1 (c) −27 (d) 1 (e) 1 (f) +9 (g) −9 (h) −1
10. (a) (−7)8 (b) (−1)4 (c) a14 (d) (−12)18 (e) (−3)0 (f) 32
11. (a) −20 (b) 38 (c) −17 (d) 85
12. (a) 183 (b) 0 (c) 3
4
(d) 1, 8
13. (a) F (b) V (c) V (d) F
2.4.2 2a LISTA
1. (a) 6 (b) 5 (c) 18
2.4. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 21
2. (a) 8 (b) 18
3. (a) 60 (b) 120 (c) 480
4. (a) 120 (b) 180
5. (a) −0, 8 (b) −2, 3 (c) −0, 48 (d) −0, 5 (e) −0, 75
6. (a) −31
6
(b)
10
27
(c)− 1
7
(d)
8
−1
7. (a) −29
10
(b)
3
10
(c)− 1
1000
(d)
−208
100
8. (a) −1
4
<
2
3
(b)− 3
4
<
3
4
(c)− 5
6
> −8
6
(d)− 8
4
< −5
4
(e)
4
3
> 1 (f)
2
3
<
3
4
<
5
6
9. (a)
3
4
(b)
1
12
(c)
11
24
(d) +
1
12
(e)− 1 (f) 1 (g) 5
22
(h)− 1
4
(i)
5
2
10. (a) −1, 75 (b) 1
5
2.4.3 3a LISTA
1. (a)
16
81
(b)
16
81
(c)
1
32
(d) − 1
32
2. (a) −10 (b) /∈ ZZ (c) −3 (d) 5
3. (a) 58 (b) −0, 07 (c) 7
5
(d) 5 (e) 17 (f) 1 (g) 9
4. (a) 10
√
6 (b) −1
2
5. (a)
√
10
5
(b)
√
5
2
(c)
3
√
4
2
(d)
√
6− 2
6. (a)
−2−√15
2
(b) −2√2
7.
(a) 4x2 + 12x+ 9
(b) 4a4 − 12a2 + 9
(c) a2 + b2 + c2 + 2(ab− ac− bc)
(d)
k2
4
− 4
9
(e) 4a4 − 9b2
8.
(a) 4a(x− 2y)
(b) (x+ 3)2
(c) (a2 + b2)(a+ b)(a− b)
(d)
1
5
(3a− b)
(e) 5(x+ 2)2
(f) x(x− 5)2
9.
(a) − 2m+ 2
(b)
x+ y
2
(c)
2 + 5c
6a
(d) 2
(e) a2 + ab+ b2
(f)
7x+ y
x− y
10.
22MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
(a)
2(x2 + 1)
x2 − 1
(b) 0
(c)
x+ 1
2(x− 3)
(d)
(x+ 4)(x− 2)
15
(e)
a
b
2.5. PRIMEIRA LISTA DE REVISA˜O 23
2.5 PRIMEIRA LISTA DE REVISA˜O
1. Quais das proposic¸o˜es abaixo sa˜o falsas:
(a) IN ⊂ ZZ ⊂ IQ
(b) ZZ ∩ II = O/
(c) ZZ ⊃ IQ
(d) {0} ⊂ IQ
(e) IQ∗+ ∩ ZZ = IN
(f) IQ ∩ IR = IQ
2. Usando a notac¸a˜o de desigualdades e a de intervalos, escreva:
(a) o intervalo aberto de extremos -2 e 1;
(b) o intervalo semi-aberto a` esquerda de extremos 3 e 8;
(c) o intervalo formado pelos nu´meros reais maiores ou iguais a 2;
(d) o subconjunto de IR formado pelos nu´meros menores ou iguais a
1
2
.
3. Fac¸a a representac¸a˜o gra´fica dos seguintes intervalos:
(a) A = { x ∈ IR | x ≥ 3}
(b) B = { x ∈ IR | 0 ≤ x < 4}
(c) C = { x ∈ IR | x < 2}
(d) D = [−2, 5]
4. Determine os conjuntos A ∪B e A ∩B, sendo A =]− 3, 1] e B = {x ∈ IR | 0 ≤ x < 2}.
5. Se −4 < x < −1 e 1 < y < 2, enta˜o xy e 2
x
esta˜o no intervalo:
(a) ]− 8,−1[ (b) ]− 2,−1[ (c)
]
−1,−1
2
[
(d)
]
−2,−1
2
[
(e)
]
−8,−1
2
]
6. Represente sobre uma reta orientada os nu´meros −1, −10
3
,
1
10
,
−3
10
,
5
2
,
√
6 e −0, −3.
7. Determine:
(a) |+ 16| =
(b) |0| =
(c) |−2
5
| =
(d) | − 5, 25| =
(e) |10− 15 + 7| =
(f) |1− |2− 3|| =
8. Cada uma das letras minu´sculas da figura abaixo representa um u´nico dos seguintes
nu´meros: -8, -4, −√7, 0,3333..., √3/7, 5/3, 2 e 3. Descubra qual e´ o nu´mero representado
pela respectiva letra, sabendo que:
• a− b = 1 • c = 2d • e > f • |g| > |h|
24MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
9. Efetue:
(a) (+7) + (+4) =
(b) (−15) + (−3) =
(c) (−12) + (−9) =
(d) (+195) + (+187) =
(e) (+7)− (+12) =
(f) (−4)− (−4) =
(g) (+6)− (−2) =
(h) − 9 + 14 =
(i) + 12 + 9 =
(j) − 3 + 12 =
(k) 5 + 3− 1 =
(l) 17− (−8) =
10. Efetue:
(a) (+3) · (−8) =
(b) (−6) · 0 =
(c) (−9) · (−4) =
(d) (+15) : (+3) =
(e) (−12) : (−6) =
(f) (−20) : (+5) =
(g) (+8) : (−1) =
(h) 0 : (−4) =
11. Calcule:
(a) (−3)4 =
(b) (−1)5 =
(c) (−4)3 =
(d) (−2)1 =
(e) (+3)1 =
(f) (−5)2 =
(g) − 23 =
(h) − 42 =
12. Aplique as propriedades das poteˆncias:
(a) (+3)7 · (+3) =
(b) (−4)10 : (−4)2 =
(c) m5 ·m8 =
(d)
(a3 · b2)5
ab
, ab 6= 0
(e) (52)4 : (52)2 =
(f) [(+5)4]2 =
(g) [(−2)0]3 =
(h) [(a2 · b−3)2]−3, ab 6= 0
13. Calcule:
(a) {[(24− 22) + 22]− 20}+ 20 =
(b) (−32) : [(−24) : (−3)]− [(+8) · (−2)] =
(c) 42 − (5− 72) =
(d) (3−1 + 5−1) · (3 + 5)−1
(e) {[(−2)2]3 : (−2)3}+ [(−1)10 · (−1)5] =
(f) − (−2)3 + (−1)0 −√25− 32 −
53 : 25 =
(g)
−(−2)2 − 3√27
(−3 + 5)0 − 2 =
2.5. PRIMEIRA LISTA DE REVISA˜O 25
14. Calcule o valor de:
(a) (−27) 23 (b) (−1) 79 (c) 3√−1 (d) 81−0,25
15. Escreva na forma de frac¸a˜o:
(a) 0,125 (b) 0,75 (c) −11, 5 (d) −32, 75
16. Escreva os nu´meros racionais na forma decimal:
(a)
3
5
(b)
5
3
(c)
1
6
(d) −4
9
17. Escreva na forma irredut´ıvel as frac¸o˜es:
(a)
81
18
(b)
−24
6
(c)
68
144
(d) −75
50
18. Determine o valor de r dado pela expressa˜o r =
mmc(a, b)
mdc(a, b)
, onde a = 23 × 32 × 52 × 11
e b = 22 × 32 × 5× 72.
19. Numa disputa de arremessos de bola ao cesto, foram obtidos os seguintes resultados
pelos competidores:
• Alberto acertou 11 bolas em cada 18 arremessos;
• Andre´ acertou 5 bolas em cada 12 arremessos;
• Lucas acertou 5 bolas em cada 9 arremessos;
• Marcos acertou 7 bolas em cada 15 arremessos;
• Pedro acertou 1 bola em cada 2 arremessos;
Nessa disputa, quem se saiu melhor?
20. Escreva em ordem decrescente as frac¸o˜es:
(a)
1
8
,
7
6
,
3
4
,
2
3
(b)
3
5
,
2
10
,
4
15
(c) −9
4
, −9
5
, −9
8
(d) − 3
10
,
1
6
,
4
9
(e) −2, −1
5
, −5
3
(f)
1
6
,
5
8
,
3
4
21. Efetue:
26MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
(a)
(
+
5
6
)
−
(
−2
3
)
=
(b)
(
−3
4
)
−
(
−7
8
)
=
(c)
(
−2
5
)
+
(
+
5
3
)
=
(d)
(
−2
3
)
·
(
−3
4
)
=
(e)
(
+
2
7
)
·
(
−2
3
)
=
(f) (−5) · (+0, 75) =
(g)
(
+
1
4
)
: (+3) =
(h)
(
−4
9
)
:
(
+
2
5
)
=
(i) (+2, 3) : (−5, 6) =
22. Calcule:
(a)
(
+
3
4
)3
=
(b)
(
−3
4
)3
=
(c)
(
−3
4
)−3
=
(d)
(
−115
217
)0
=
(e)
(
+
1
3
)4
=
(f)
(
−1
3
)4
=
23.Calcule o valor nume´rico das expresso˜es:
(a)
{
−1
7
·
[(
−3
4
)2
+
(
3− 1
2
)2]}
:
109
4
=
(b)
(
1− 1
2
)
3
4
+
1
5(
1− 4
5
)2 =
(c)
(
1
2
)−4
:
1
2
· (4−1)2 +
(
−1
6
)0
=
(d)
0, 1− 0, 01
0, 2− 0, 02 =
(e)
{
4, 7−
[(
0, 3 +
7
2
)
: (2, 5− 0, 6)
]}2
=
(f)
−(−2)2 − 3√27
(−3 + 5)0 − 2 =
(g)
(
−1
2
)2
·
(
+
3
2
)−2
+
(
2
3
)3
·
(
−1
3
)−2
=
(h)
−
√
25
9
+
(
9
16
)1/2 : (1
2
+
3
5
)
−
(
9 · 80
)
=
24. Qual e´ o valor de
√
25− 16 + 3√0− 3√27 ?
25. Simplifique as expresso˜es:
(a)
√
80 +
√
20
(b) 3
√
5 +
√
45− 2√20
(c)
3
√
16 + 3
√
54
3
√
125
(d)
√
8 +
√
32 +
√
72−√50
(e) (125
2
3 + 16
1
2 + 343
1
3 )
1
2
26. Racionalize os denominadores:
(a)
7√
3
(b)
3 3
√
7
3
√
72
(c)
√
5√
10− 2
(d)
√
6−√2√
6 +
√
2
2.5. PRIMEIRA LISTA DE REVISA˜O 27
27. Fatore as expresso˜es:
(a) x3 + x2 − x− 1
(b) 16x4 − 1
(c) x2 +
2x
3
+
1
9
(d) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
28. Calcule
(√
2 +
√
3 +
√
2−√3
)2
.
29. Efetue, usando produtos nota´veis:
(a) (2 +
√
3)2
(b) (
√
3− 1)2
(c) (5 + 2
√
3)2
(d) (
√
3 + 1)(
√
3− 1)
(e)
√
7−√24 ·
√
7 +
√
24
30. Racionalize o denominador de cada uma das seguintes frac¸o˜es:
(a)
1√
2 + 1
(b)
3√
5−√2 (c)
2
3 + 2
√
2
31. O nu´mero
√
4 + 2
√
3−
√
4− 2√3 e´ racional ou irracional? Justifique.
28MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
2.5.1 RESPOSTAS DA 1a LISTA DE REVISA˜O
1. (c) e (e)
2.
(a) {x ∈ IR | − 2 < x < 1}; ]− 2, 1[
(b) {x ∈ IR | − 3 < x ≤ 8}; ]− 3, 8]
(c) {x ∈ IR | x ≥ 2}; [2,∞[
(d) {x ∈ IR | x ≤ 1/2}; ]−∞, 1/2]
3.
4. A ∪B =]− 3, 2[ e A ∩B = [0, 1]
5. (d)
6.
7. (a) 16 (b)0 (c)2/5 (d)5,25 (e)2 (f)0
8. a = 3, b = 2, c = −8, d = −4, e = 5/3, f = 0, 333..., g = −√7, h = √3/7
9.
(a) + 11
(b) − 18
(c) − 21
(d) + 382
(e) − 5
(f) 0
(g) + 8
(h) 5
(i) + 21
(j) 9
(k) 7
(l) 25
10. (a) −24 (b) 0 (c) +36 (d) +5 (e) +2 (f) −4 (g) −8 (h) 0
11. (a) 81 (b) −1 (c) −64 (d) −2 (e) 3 (f) 25 (g) −8 (h) −16
12. (a) (+3)6 (b) (−4)8 (c) m13 (d) a14b9 (e) 5 (f) (+5)8 (g) 1 (h) a−12b18
13. (a) 24 (b) 12 (c) 60 (d) 1/15 (e) −9 (f) 0 (g) 7
14. (a) 9 (b) −1 (c) −1 (d) 1/3
15. (a) 1/8 (b) 3/4 (c) −23/2 (d) −131/4
16. (a) 0, 6 (b) 1, 666... (c) 0, 1666... (d) −0, 444...
17. (a) 9/2 (b) −4 (c) 17/36 (d) −3/2
2.5. PRIMEIRA LISTA DE REVISA˜O 29
18. 5390
19. Alberto
20.
(a)
7
6
,
3
4
,
2
3
,
1
8
(b)
3
5
,
4
15
,
2
10
(c) −9
8
, −9
5
, −9
4
(d) −4
9
,
1
6
,
−3
10
(e) −1
5
, −5
3
, −2
(f)
3
4
,
5
8
,
1
6
21. (a)+3/2 (b)+1/8 (c)+19/15 (d)+1/2 (e)−4/21 (f)−3, 75 (g)+1/12 (h)−10/9 (i)−0, 4
22. (a) 27/64 (b) −27/64 (c) −64/27 (d) 1 (e) 1/27 (f) 1/27
23. (a) −1/28 (b) 17/3 (c) 3 (d) 1/2 (e) 7, 29 (f) 7 (g) 25/9 (h) −59/6
24. 0
25. (a) 6
√
5 (b) 2
√
5 (c) 3
√
2 (d) 7
√
2 (e) 6
26. (a)
7
√
3
3
(b)
3
3
√
72
7
(c)
√
50 + 2
√
5
6
(d)
5
2
−
√
3
27. (a) (x+ 1)2(x− 1) (b) 16
(
x− 1
2
)(
x+
1
2
)(
x2 +
1
4
)
(c)
(
x+
1
3
)2
(d) (x+ y + z)2
28. 6
29. (a) 7 + 4
√
3 (b) 4− 2√3 (c) 37 + 20√3 (d)2 (e)5
30. (a)
√
2− 1 (b) √5 +√2 (c) 6− 4√2
31. Racional, pois e´ igual a 2.
30MO´DULO 2. CONJUNTOS NUME´RICOS E INTRODUC¸A˜O A`S EXPRESSO˜ES ALGE´BRICAS
Mo´dulo 3
Introduc¸a˜o ao Estudo de Func¸o˜es,
Equac¸o˜es e Inequac¸o˜es
3.1 QUARTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determine os gra´ficos cartesianos dos produtos A×B e B × A, onde:
(a) A = {2, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5};
(b) A = {x ∈ IR | 1 ≤ x < 6} e B = {y ∈ IR | 3 < y ≤ 5}.
2. A figura abaixo mostra o gra´fico de A×B. Represente A e B por notac¸a˜o de intervalo e
desenhe o gra´fico de B × A.
3. Observe a relac¸a˜o R de A em B representada no diagrama de flechas a seguir:
31
32MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
(a) Deˆ o domı´nio e o conjunto-imagem de R.
(b) Represente R por extensa˜o.
(c) Represente R no plano cartesiano (gra´fico de R).
4. Sejam A = {1, 4, 9} e B = {−2, 2, 3}. Represente, por extensa˜o e em diagramas de
flechas, estas relac¸o˜es:
(a) R1 = {(x, y) ∈ A×B | x+ y ≤ 6};
(b) R2 = {(x, y) ∈ A×B | y2 = x};
(c) R3 = {(x, y) ∈ A×B | x− y > 3}.
5. Dados os conjuntos A = [−2, 2] e B = [−4, 4], fac¸a os gra´ficos das seguintes relac¸o˜es:
(a) R1 = {(x, y) ∈ A×B | y = x2};
(b) R2 = {(x, y) ∈ A×B | y = x+ 1}.
6. Caracterize num gra´fico as regio˜es do plano caretesiano que satisfazem a`s relac¸o˜es bina´rias
abaixo:
(a) R =
{
(x, y) ∈ IR2 | x ≥ 4
}
;
(b) R =
{
(x, y) ∈ IR2 | − 1 ≤ x ≤ 4
}
;
(c) R =
{
(x, y) ∈ IR2 | 2 ≤ x ≤ 3 ∧ −1 ≤ y ≤ 1
}
;
(d) R =
{
(x, y) ∈ IR2 | |x| ≤ 3
}
.
7. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 6, 7, 8} e a relac¸a˜o f de A em B tal que
f = {(1, 6), (2, 4), (3, 7)}. Determine:
(a) o conjunto de partida;
(b) o conjunto de chegada;
(c) o domı´nio de f ;
(d) o conjunto imagem de f ;
(e) o diagrama representativo de f ;
(f) o gra´fico cartesiano de f .
3.2. QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS 33
8. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e R : A → B definida por
R = {(x, y) ∈ A×B | y = x+ 3}.
(a) Deˆ os pares ordenados de R.
(b) Fac¸a a representac¸a˜o em diagrama.
(c) Deˆ o domı´nio e a imagem de R.
(d) Construa o gra´fico de R.
9. Se A = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 3} e B = {y ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 4}, qual e´ o domı´nio e a imagem da
relac¸a˜o R = {(x, y) ∈ A×B | y = 2x}?
3.2 QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Estabelec¸a se cada
um dos esquemas das relac¸o˜es abaixo define ou na˜o uma func¸a˜o de
A = {−1, 0, 1, 2} em B = {−2,−1, 0, 1, 2, 3}. Justifique.
2. Qual e´ a notac¸a˜o das seguintes func¸o˜es de IR em IR?
(a) f associa cada nu´mero real ao seu oposto;
(b) g associa cada nu´mero real ao seu cubo;
34MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
(c) h associa cada nu´mero real ao seu quadrado menos 1;
(d) k associa cada nu´mero real ao nu´mero 2.
3. Quais das relac¸o˜es de IR em IR cujos gra´ficos aparecem a seguir sa˜o func¸o˜es? Justifique.
4. Qual e´ a notac¸a˜o das seguintes func¸o˜es?
(a) f e´ a func¸a˜o de IQ em IQ que associa cada nu´mero racional ao seu oposto adicionado de 1;
(b) g e´ a func¸a˜o de ZZ em IQ que associa cada nu´mero inteiro a` poteˆncia de base 2 desse
nu´mero;
(c) h e´ a func¸a˜o de IR∗ em IR que associa cada nu´mero real ao seu inverso.
5. Seja f a func¸a˜o de IR em IR definida por f(x) = x2 − 3x+ 4. Calcule:
(a) f(−1) (b) f(1
2
) (c) f(−1
3
) (d) f(
√
3) (e) f(1−√2)
6. Seja f a func¸a˜o de ZZ em ZZ definida por f(x) = 3x− 2. Calcule:
(a) f(2) (b) f(−3) (c) f(0) (d) f(3
2
)
7. Seja f a func¸a˜o de IR em IR definida por f(x) =
{
1, se x ∈ IQ
x+ 1, se x 6∈ IQ . Calcule:
3.3. SEXTA LISTA DE EXERCI´CIOS 35
(a) f(−3
7
) (b) f(
√
2) (c) f(
√
4) (d) f(
√
3− 1) (e) f(0, 75)
8. Seja f a func¸a˜o de IR em IR definida por f(x) =
2x− 3
5
. Qual e´ o elemento do domı´nio
que tem −3
4
como imagem?
9. A func¸a˜o f e´ definida por y = 3x− 1. Qual e´ a imagem do elemento 5?
10. Dada a func¸a˜o f definida por y = 2x + 5, qual e´ o elemento do domı´nio cuja imagem
pela func¸a˜o f e´ 11?
3.3 SEXTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es de IR em IR:
(a) y = x+ 3 (b) y = −x+ 2 (c) y = 2x− 3 (d) y = −2x+ 4
2. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gra´ficos das func¸o˜es f(x) =
x
3
e g(x) = −x
3
.
3. Dados os gra´ficos das func¸o˜es de IR em IR, obtenha a lei de correspondeˆncia de cada uma
dessas func¸o˜es:
4. O custo C de produc¸a˜o de x litros de certa substaˆncia e´ dado por uma func¸a˜o afim de x,
36MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
com x > 0, cujo gra´fico esta´ representado abaixo:
Nessas condic¸o˜es, o custo de R$810,00 corresponde a` produc¸a˜o de quantos litros?
5. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o de IR em IR dada por f(x) =

−3, se x ≤ −2
3
2
x, se − 2 ≤ x ≤ 2
− 3
4
x+
9
2
, se x ≥ 2
.
6. Em cada item, obtenha a equac¸a˜o da reta que:
(a) passa pelos pontos (2, 3) e (3, 5);
(b) passa pelo ponto (−2, 4) e tem coeficiente angular igual a −3.
7. Verifique se os pontos A,B e C esta˜o alinhados quando:
(a) A(0, 2), B(−3, 1), C(4, 5) (b) A(−2, 6), B(4, 8), C(1, 7)
8. Determine o zero de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = 5x+ 10 (b) f(x) = x (c) f(x) = (x− 1)2 − (x+ 2)2
9. Resolva as equac¸o˜es:
(a) 3x− 5 = 2x− 4
(b) 2− 5x = 2x+ 3
(c)
z
5
− 3z
20
=
z
10
− 3
(d)
2x+ 4
2
− 9x− 7
8
=
x+ 12
4
− 11 + 9x
16
(e) 3y − (5− y) = 4y + 3
3.4. SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS 37
10. Deˆ o conjunto soluc¸a˜o em IR da equac¸a˜o do 1ograu
(3x+ 1)(x− 1)− 3(x+ 2)2 = −9.
11. Resolva as inequac¸o˜es:
(a)
2− x
3
>
5x− 1
2
(b) 3(x− 1) + 5 < 4
(
x− 1
2
)
(c)
x
2
+ 1 >
x
5
− 1
3
(d)
x
3
+
x− 1
2
+ x ≤ x− 2
5
− x− 3
4
(e)
10x− 15
5− 4x ≤ 0
12. Encontre os valores de x para os quais esta´ definida a func¸a˜o
f(x) =
√
(x− 1)(−x+ 4).
3.4 SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Resolva os seguintes sistemas de equac¸o˜es:
(a)
{
2x+ 3y = 7
5x− 3y = 7
(b)
{
5x− 2y = 1
2x+ 3y = 8
(c)

x− y = −1
x
3
− y
2
= 1
(d)
{
2x+ y = 11
5x = 3y
(e)
{
3x+ 2y = 26
2x+ 3y = 29
(f)

3x− 4z = −2
4y + 3z = 1
x+ 6y + 5z =
8
3
2. Diga, sem resolver, se os sistemas abaixo sa˜o determinados, indeterminados ou imposs´ıveis:
(a)
{
x+ 2y = 4
2x+ 4y = 8
(b)
{
8x+ 10y = 18
4x+ 5y = 15
(c)
{
5a+ 8b = 101
3a+ b = 34
3. Resolva os seguintes sistemas de inequac¸o˜es:
(a)
{
3x− 5 > 2x− 1
5x+ 2 > 3x
(b)

3x− 5
2
> 2x
x− 3
5
< x
38MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
3.5 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
3.5.1 4a LISTA
1.
2. A = [−2, 4[ e B =]1,+∞[
3.5. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 39
3. (a)D(R) = {1, 3, 4, 5}, I(R) = {2, 4, 6, 8} (b)R = {(1, 2), (1, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 8)}
(c)
4. (a) R1 = {(0,−2), (0, 2), (0, 3), (4,−2), (4, 2)}
(b) R2 = {(4,−2), (4, 2), (9, 3)}
(c) R2 = {(4,−2), (9,−2), (9, 2), (9, 3)}
5.
40MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
6.
7. (a) A = {1, 2, 3, 4} (b) B = {4, 6, 7, 8} (c) Df = {1, 2, 3} (d)Imf = {4, 6, 7}
(e) (f)
8. (a) R = {(0, 3); (1, 4); (2, 5)} (c) DR = {0, 1, 2} , ImR = {3, 4, 5}
3.5. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 41
(b) (d)
9. D = {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 2} , I = {y ∈ IR | 2 ≤ x ≤ 4}
3.5.2 5a LISTA
1.(a) na˜o define func¸a˜o de A em B, pois o elemento 2 ∈ A na˜o esta´ associado a nenhum
elemento de B.
(b) na˜o define func¸a˜o de A em B, pois o elemento 1 ∈ A esta´ associado a dois elementos de
B.
(c) e (d) definem func¸o˜es de A em B, pois todo elemento de A esta´ associado a um u´nico
elemento de B.
2.
(a) f : IR −→ IR
x 7−→ −x
(b) g : IR −→ IR
x 7−→ x3
(c) h : IR −→ IR
x 7−→ x2 − 1
(d) k : IR −→ IR
x 7−→ 2
3. (a) e´ func¸a˜o.
(b) na˜o e´ func¸a˜o de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos (x, 0), com
x < 9, encontra o gra´fico da relac¸a˜o em dois pontos.
(c) na˜o e´ func¸a˜o de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos (x, 0), com
−3 < x < 3, na˜o encontra o gra´fico da relac¸a˜o.
(d) e´ func¸a˜o.
(e) e´ func¸a˜o
(f) na˜o e´ func¸a˜o de IR em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (5, 0) encontra o
gra´fico da relac¸a˜o em mais que dois pontos e as retas verticais conduzidas pelos pontos
(x, 0), com x 6= 3, na˜o encontram o gra´fico da relac¸a˜o.
4.
(a) f : IQ −→ IQ
x 7−→ −x+ 1
(b) g : ZZ −→ IQ
x 7−→ 2x
(c) h : IR∗ −→ IR
x 7−→ 1/x
5. (a) 8 (b) 11/4 (c) 46/9 (d) 7− 3√3 (e) 4 +√2
6. (a) 4 (b) −11 (c) −2 (d) na˜o tem significado, pois 3/2 6∈ ZZ
42MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
7. (a) 1 (b) 1 +
√
2 (c) 1 (d)
√
3 (e) 1
8. −3/8 9. 14 10. 3
3.5.3 6a LISTA
1.
2.
3. (a) y =
3
4
x+
1
2
(b) y = −x
2
+ 3
4. 26 l
3.5. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 43
5.
6. (a) y = 2x− 1 (b) y = −3x− 2
7. (a) Na˜o (b) Sim
8. (a) −2 (b) 0 (c) −1/2
9. (a) x = 1 (b) x = −1/7 (c) z = 60 (d) x = −3 (e) Imposs´ıvel
10. S = {−2/7}
11.
(a) {x ∈ IR | x < 7/17}
(b) {x ∈ IR | x > 4}
(c) {x ∈ IR | x > −40/9}
(d) {x ∈ IR | x ≤ 51/113}
(e) {x ∈ IR | x < 5/4 ∧ x ≥ 3/2}
12. {x ∈ IR | 1 ≤ x ≤ 4}
3.5.4 7a LISTA
1.
(a) x = 2, y = 1
(b) x = 1, y = 2
(c) x = −9, y = −8
(d) x = 3, y = 5
(e) x = 4, y = 7
(f) x = 2/3, y = −1/2, z = 1
2. (a) Indeterminado (b) Imposs´ıvel (c) Determinado
3. (a) x > 4 (b) As inequac¸o˜es sa˜o incompat´ıveis
44MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
3.6 SEGUNDA LISTA DE REVISA˜O
1. Dados os subconjuntos de IR, A = [−2, 5[, B =]1, 6] e C =] −∞, 4], desenhe os gra´ficos
dos seguintes produtos cartesianos:
(a) A×B (b) B × A (c) C ×B (d) A× C
2. Seja R uma relac¸a˜o de A = {−2,−1, 0, 1, 2} em B = {−8,−4,−1, 0, 1, 4, 8} expressa pela
fo´rmula y = x3, com x ∈ A e y ∈ B. Fac¸a um diagrama e diga se R e´ uma func¸a˜o de A em B.
3. Considerando que os gra´ficos abaixo representam func¸o˜es, estabelec¸a o domı´nio e a ima-
gem de cada uma:
4. Seja a func¸a˜o f definida por
y = x2 + 3x+ 2. Calcule f(1).
5. A func¸a˜o f e´ definida de ZZ em ZZ por f(x) = x2 − 4.
(a) Calcule f(−1), f(0), f(−5) e f(5).
(b) Determine x de modo que se obtenha f(x) = 0.
(c) Calcule, se existir, x ∈ ZZ, tal que f(x) = −4.
3.6. SEGUNDA LISTA DE REVISA˜O 45
6. Uma pessoa, hoje com 35 anos, nasceu com 50cm de altura e atingiu a estatura atual, de
1,84m, aos 20 anos. Qual dos seguintes gra´ficos pode representar a altura dessa pessoa em
func¸a˜o de sua idade ?
7. Construa o gra´fico de cada uma das func¸o˜es:
(a) f(x) = 2x
(b) f(x) = −3x
(c) f(x) =
1
2
x
(d) f(x) = −1
3
x
(e) y = 2x+ 5
(f) y = x− 2
(g) y = −3x− 4
(h) y =
4− 3x
2
8. Determine a lei de func¸a˜o em cada um dos gra´ficos:
46MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
9. Uma func¸a˜o e´ definida de IR em IR por g(x) =

−1, se x < −2
x+ 1, se− 2 ≤ x ≤ 2
3, se x > 2
.
Esboce o gra´fico de g.
10. O gra´fico da func¸a˜o f(x) = ax + b corta o eixo Ox no ponto de abscissa -7 e o eixo Oy
no ponto de ordenada 8. Calcule a e b.
11. Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear das seguintes retas:
(a) y = 2x− 5 (b) y = −x+ 1
2
(c) y =
√
2x (d) y = (x− 1)2 − x2
12. Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa pelos pontos (1,3) e (-2,-6).
3.6. SEGUNDA LISTA DE REVISA˜O 47
13. Uma reta passa pelo ponto (3,5) e seu coeficiente linear e´ o dobro de seu coeficiente
angular. Qual e´ a equac¸a˜o dessa reta ?
14. Uma func¸a˜o f e´ definida por f(x) = kx+ 3. Sabendo que f(1) + f(−2) = 8, determine
o valor de f(−1).
15. A raiz da func¸a˜o y = −kx+ 3 e´ 2. Determine k.
16. Resolva as seguintes equac¸o˜es de 1o grau:
(a) 2−2(x+5) = 3x−2 (b) 3(x+2)+2 = 5+2(x−1)+x (c) 3(x+2) = 2(x−7)+x+20
17. Deˆ o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o do 1ograu em IR:
x+ 1
x− 1 +
2x− 5
x− 3 = 3.
18. Resolva as equac¸o˜es literais na varia´vel x:
(a) ax+ bx+ c = 2a+ 2b+ c (b)
x− b
a
+
x
a+ b
= 2
19. Dona Clara, de 52 anos, tem dois filhos: um de 23 anos e o outro de 26 anos.
(a) Ha´ quanto tempo a soma das idades dos treˆs era 65 anos?
(b) Daqui a quanto tempo a soma das idades dos treˆs sera´ igual a 128 anos?
20. Sa˜o dadas as func¸o˜es f(x) = 3x + 1 e g(x) =
4
5
x+ a. Sabendo que f(1) − g(1) = 2
3
,
calcule o valor de a.
21. Seja a func¸a˜o definida por f(x) = mx + n, com m,n ∈ IR. Se f(2) = 3 e f(−1) = −3,
calcule m e n.
22. Resolva, em IR, as inequac¸o˜es:
48MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
(a) 3− x ≤ −1 + x
(b) x+ (x+ 1) > 3(1− x)
(c)
x+ 1
x+ 2
>
x+ 3
x+ 4
(d) 1 ≤ 2x+ 3 < x+ 5
(e) (4− 3x)(2x− 7) > 0
(f)
x+ 2
1− x ≤ 2
(g)
1
x− 1 +
2
x− 2 −
3
x− 3 < 0
23. Qual e´ o domı´nio da func¸a˜o definida por f(x) =
√
x+ 1
1− 2x ?
24. Considere as func¸o˜es f(x) = 2x + 3 , g(x) = 2 − 3x e h(x) = 4x− 1
2
definidas em IR.
Para que valores de x ∈ IR tem-se:
(a) f(x) ≥ g(x) (b) g(x) < h(x) (c) f(x) ≥ h(x)
25. Qual o menor inteiro que satisfaz a desigualdade 3(x+ 1)−√3 > 2x ?
26. Resolva os sistemas abaixo:
(a)
{
x− 3y = −3
2x− y = 14
(b)
{
0, 1x+ 0, 5y = 0, 35
3, 1x− 2y = 2, 1
(c)
{
x+ 2y = 4
2x+ 4y = 8
(d)
{
4x− 5y = 3
x+ 5y = 7
(e)

x+ 2y − z = 2
2x− y + 2z = 6
3x− y − z = 4
27. Observe a figura:
As duas retas representam equac¸o˜es de 1o grau com duas varia´veis. Pode-se afirmar que o
3.6. SEGUNDA LISTA DE REVISA˜O 49
sistema representado por essas equac¸o˜es:
(a) na˜o tem soluc¸a˜o.
(b) tem como soluc¸a˜o o conjunto {(−2, 0), (2, 0)}
(c) tem como soluc¸a˜o o conjunto {(0,−3), (0, 3)}
(d) tem infinitas soluc¸o˜es.
(e) tem uma u´nica soluc¸a˜o.
28. Calcule m e n de modo que o sistema
{
2mx+ 3y = 5
4x+ 6y = n
seja indeterminado.
29. Resolva os seguintes sistemas de inequac¸o˜es:
(a)
{
3x− 5 > 2x− 1
5x+ 2 > 3x
(b)
{
5x− 4 < 3x+ 8
3x+ 10 < 8 + 5x
(c)
{
3x− 5 > 4x
x− 3 < 5x
50MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
3.6.1 RESPOSTAS DA 2a LISTA DE REVISA˜O
1.
2.
3.
(a) D = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}, Im = {2, 3, 4, 5}
(b) D = {x ∈ IR | − 2 ≤ x ≤ 4}, Im = {y ∈ IR | − 4 ≤ y ≤ 2}
(c) D = {x ∈ IR | − 2 ≤ x ≤ 4}, Im = {y ∈ IR | 1 ≤ y < 6}
(d) D = {x ∈ IR | − 3 ≤ x < 5}, Im = {y ∈ IR | 1 ≤ y < 3}
(e) D = [−4, 4], Im = [−3, 5]
(f) D = [−3, 4[, Im = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3}
4. 6
5. (a) f(−1) = −3, f(0) = −4, f(−5) = 21, f(5) = 21 (b) x = ±2 (c) x = 0
3.6. SEGUNDA LISTA DE REVISA˜O 51
6. c
7.
8. (a) y = −3x+ 7
2
(b) y = 2x+ 4 (c) y = −2
3
x+ 3 (d) y = −2x− 4
9.
10. a = 8/7 e b = 8
11. (a) a = 2, b = −5 (b) a = −1/2, b = 1/2 (c) √2, b = 0 (d) a = −2, b = 1
12. y = 3x 13. y = x+ 2 14. 5 15. 3/2
16. (a) S = {−6/7} (b) S = ∅ (c) S = IR 17. S = {7/3}
18. (a) S = {2}, com a 6= −b (b) S = {a+ b}
19. (a) Ha´ 12 anos (b) Daqui a 9 anos
20. 38/15 21. m = 2, n = −1
52MO´DULO 3. INTRODUC¸A˜O AO ESTUDO DE FUNC¸O˜ES, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES
22.
(a) {x ∈ IR | x ≥ 2}
(b) {x ∈ IR | x > 2/5}
(c) {x ∈ IR | − 4 < x < −2}
(d) {x ∈ IR | − 1 ≤ x < 2}
(e) {x ∈ IR | 4/3 < x < 7/2}
(f) {x ∈ IR | x ≤ 0 ∧ x > 1}
(g) {x ∈ IR | x < 1 ∧ 3/2 < x < 2 ∧ x > 3}
23. {x ∈ IR | − 1 ≤ x < 1/2}
24. (a)x ≥ 1/5 (b)x > 1/2 (c)∀x ∈ IR
25. −1
26. (a) x = 9, y = 4 (b) x = 1, y = 1/2 (c) Indeterminado
(d) x = 2, y = 1 (e) x = 2,y = 2/3,z = 4/3
27. (a) 28. m=1, n=10
29. (a) {x ∈ IR | x > −1} (b) {x ∈ IR | 1 < x < 6} (c) Incompat´ıveis
Mo´dulo 4
Func¸a˜o Quadra´tica, Equac¸o˜es e
Inequac¸o˜es do Segundo Grau
4.1 OITAVA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determine os valores de p para que seja do 2o grau a func¸a˜o real f , definida por
f(x) = (p2 − 5p+ 4)x2 − 4x+ 5.
2. Determine os valores de m para que o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o x2 + 2mx + (m2 −
3m+ 5) = 0, em IR, seja o conjunto vazio.
3. Determine os zeros reais das func¸o˜es:
(a) f(x) = x2 − 3x+ 3
(b) f(x) = x2 − 2x+ 2
(c) f(x) = x2 + 4x+ 4
(d) f(x) = −x2 + 3x− 4
(e) f(x) = 2x2 − 4x
4. Resolva a equac¸a˜o x2 − 4√3x+ 12 = 0.
5. Obtenha uma equac¸a˜o do 2o grau de ra´ızes:
(a) 2 e −3 (b) 1/2 e −3/2 (c) 0, 4 e 5
6. Determine os zeros reais das func¸o˜es:
(a) f(x) = x4 − 5x2 + 4 (b) f(x) = x4 − x2 − 6
53
54MO´DULO 4. FUNC¸A˜O QUADRA´TICA, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES DO SEGUNDO GRAU
4.2 NONA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Encontre o ve´rtice de cada uma das para´bolas:
(a) y = x2 − 4 (b) y = 2x2 − 5x+ 2
2. Determine m na func¸a˜o real f(x) = −3x2 + 2(m − 1)x + (m + 1) para que seu valor
ma´ximo seja 2.
3. Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) y = 2x2 − 5x+ 2 (b) y = x2 − 2x+ 1 (c) y = −x2 − x− 3
4. Estude o sinal das seguintes func¸o˜es quadra´ticas:
(a) y = x2 − 5x+ 6 (b) y = −x2 + 6x− 9 (c) y = −2x2 + 7x− 11
5. Resolva as inequac¸o˜es:
(a) 2x2 + 3x+ 1 < −x(1 + 2x) (b) 1 < x2 ≤ 4 (c) 4x
2 + x− 5
2x2 − 3x− 2 > 0
6. Determine o domı´nio das func¸o˜es reais:
(a) f(x) =
√
2x− 1
x2 − 4 (b) f(x) =
√
2x2 − x
x2 + 2x
7. Determine m ∈ IR para que mx2 + 2x+ 3 > 0 para todo x real.
4.3 DE´CIMA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Resolva os seguintes sistemas de equac¸o˜es:
(a)
{
x2 + y2 = 34
x− y = 2
(b)
{
x2 + y2 = 41
x+ y = 9
(c)
{
x+ y = 5
xy = 6
(d)
{
x2 + y2 = 5
xy = 2
4.4. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 55
4.4 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
4.4.1 8a LISTA
1. p 6= 1 e p 6= 4 2. m < 5/3
3. (a) x = 1 ou x = 2 (b) /∃ (c) x = −2 (d) /∃ (e) x = 0 ou x = 2
4. 2
√
3 5. (a) x2 + x− 6 = 0 (b) 4x2 + 4x− 3 = 0 (c) x2 − 5, 4x+ 2 = 0
6. (a) x = 1 ou x = −1 ou x = 2 ou x = −2 (b) x = √3 ou x = −√3
4.4.2 9a LISTA
1. (a) (0,−4) (b) (5/4,−9/8)
2. −2 ou 1
3.
4.
(a) y > 0⇐⇒ (x < 2 ∨ x > 3); y < 0⇐⇒ 2 < x < 3
(b) y < 0,∀x 6= 3; /∃ x tal que y > 0
(c) y < 0,∀x; /∃ x tal que y > 0
5.
(a) S = ∅
(b) −2 ≤ x
< −1 ∨ 1 < x ≤ 2
(c) S = {x ∈ IR | x < −5/4 ∨ −1/2 < x < 1 ∨ x > 2}
6. (a) D = {x ∈ IR | − 2 < x ≤ 1/2 ∨ x > 2} (b) D = {x ∈ IR | x ≤ 0 ∨ x ≥ 3}
7. m > 1/3
56MO´DULO 4. FUNC¸A˜O QUADRA´TICA, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES DO SEGUNDO GRAU
4.4.3 10a LISTA
1.
(a) x1 = 5, y1 = 3 ∨ x2 = −3, y2 = −5
(b) x1 = 4, y1 = 5 ∨ x2 = 5, y2 = 4
(c) x1 = 2, y1 = 3 ∨ x2 = 3, y2 = 2
(d) x1 = 1, y1 = 2 ∨ x2 = 2, y2 = 1 ∨ x3 = −1, y3 = −2 ∨ x4 = −2, y4 = −1
4.5. TERCEIRA LISTA DE REVISA˜O 57
4.5 TERCEIRA LISTA DE REVISA˜O
1. Considere a func¸a˜o f(x) = x2 − x+ 3. Calcule x de modo que f(x)
f(1)
= 5.
2. Calcule o valor de m a fim de que uma das ra´ızes da equac¸a˜o 3x2 −mx− 15 = 0 seja 3.
3. Forme uma equac¸a˜o de 2o grau cujas ra´ızes sejam 1 +
√
2 e 1−√2.
4. Qual o valor de k para que na equac¸a˜o (k − 2)x2 − (k + 16)x+ 18 = 0 a soma das ra´ızes
seja 7 ?
5. Determine os zeros de cada func¸a˜o abaixo:
(a) f(x) = x2 − 4x− 5 (b) y = x2 − 2x+ 6 (c) f(x) = 4x2 + 20x+ 25
6. Determine o paraˆmetro real k, de modo que a func¸a˜o f(x) = x2 − 2x+ k tenha:
(a) dois zeros reais diferentes; (b) um zero real duplo; (c) nenhum zero real.
7. Calcule a de modo que a soma dos quadrados dos zeros da func¸a˜o f(x) = x2 + (a− 5)x−
(a+ 4) seja igual a 17.
8. Ache as ra´ızes das equac¸o˜es: (a) x4 − 13x2 + 36 = 0 (b) 4x4 − 17x2 + 4 = 0
9. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es a seguir:
(a) f(x) = x2 − 5x+ 6 (b) y = x2 + 2x+ 5 (c) f(x) = −x2 + 3x
10. Sabe-se que a para´bola definida pela func¸a˜o y = x2 − 10x + c tem ve´rtice no eixo das
abscissas. Assim sendo, o valor de c devera´ ser um nu´mero:
(a) mu´ltiplo de 2.
(b) mu´ltiplo de 3.
(c) mu´ltiplo de 4.
(d) divisor de 32.
(e) divisor de 100.
11. Sabendo-se que o gra´fico abaixo e´ uma para´bola, a u´nica func¸a˜o que este gra´fico pode
58MO´DULO 4. FUNC¸A˜O QUADRA´TICA, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES DO SEGUNDO GRAU
representar e´:
(a) x(x+ 2)
(b) x(x2 + 2)
(c) (x+ 2)(x+ 1)/2
(d) −x(x− 4)
(e) −x(x2 − 4)
12. O lucro mensal L de um posto de gasolina e´ dado em func¸a˜o do nu´mero x de carros que
la´ abastecem por: L = 24000x − x2 − 108000. Qual a quantidade de carros que deve ser
abastecida durante um determinado meˆs para que o lucro seja ma´ximo?
13. Na figura abaixo, esta˜o representadas as func¸o˜es y = x e y = x2 − 9. A regia˜o A,
sombreada na figura, em conjunto com sua fronteira, representa o seguinte subconjunto do
plano IR2:
(a) A = {(x, y) ∈ IR2 | − 3 ≤ x ≤ 3}
(b) A = {(x, y) ∈ IR2 | − 3 ≤ x ≤ 3 ∧ x2 − 9 ≤ y}
4.5. TERCEIRA LISTA DE REVISA˜O 59
(c) A = {(x, y) ∈ IR2 | − 3 ≤ x ≤ 3 ∧ y ≤ x}
(d) A = {(x, y) ∈ IR2 | x ≤ y ≤ x2 − 9}
(e) A = {(x, y) ∈ IR2 | x2 − 9 ≤ y ≤ x}
14. Considere a seguinte tabela:
t f(t)
0 3
1 4
2 7
(i) A u´nica dentre as expresso˜es alge´bricas abaixo que pode representar a func¸a˜o f apresen-
tada na tabela e´:
(a) f(t) = t+ 3
(b) f(t) = 2t+ 3
(c) f(t) =
3
2
t+
5
2
(d) f(t) = t2 + 3
(e) f(t) = −2t+ 3
(ii) Apresente uma outra func¸a˜o F que satisfac¸a os dados da tabela.
15. Considere a func¸a˜o f(x) = αx2. Na figura abaixo esta˜o representados na reta nume´rica
os nu´meros reais −1, α, 0, 1, e um determinado valor de x.
Localize o nu´mero real que expressa o valor correspondente de f(x) nesta reta.
16. Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a) 2x2 + x− 15 < 0 (b) x
2 + 3
3
− 3x− 1
4
> 2 (c)
3x2 − 8x+ 4
x2 − 6x+ 5 > 0
17. Determinar os valores de k, para que o trinoˆmio (k + 1)x2 − 2(k − 1)x + 3k − 3 seja
negativo para qualquer valor de x.
60MO´DULO 4. FUNC¸A˜O QUADRA´TICA, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES DO SEGUNDO GRAU
18. Determine o domı´nio da func¸a˜o dada por:
(a) f(x) =
√
−x2 + 1
x2 − 4x (b) f(x) =
√
x− 2
x2 + x− 6
19. Determine o conjunto soluc¸a˜o da inequac¸a˜o
x2 − 6x+ 5
(x+ 1)(x2 − 7x+ 10) ≥ 0.
4.5. TERCEIRA LISTA DE REVISA˜O 61
4.5.1 RESPOSTAS DA 3a LISTA DE REVISA˜O
1. x = −3 ∨ x = 4 2. 4 3. x2 − 2x− 1 = 0 4. 5
5. (a) 5 e −1 (b) Na˜o tem ra´ızes reais (c) −5/2
6. (a) k < 1 (b) k = 1 (c) k > 1
7. 4 8. (a) ±2 ∧ ±3 (b) ±2 ∧ ±1/2
9.
10. (e) 11. (a) 12. 12000 13. (e) 14(i). (d)
15.
16. (a) −3 < x < 5/2 (b) x > 3 ∨ x < −3/4 (c) x < 2/3 ∨ 1 < x < 2 ∨ x > 5
17. k < −2
18. (a) {x ∈ IR | x > −3 ∨ 1 ≤ x < 4} (b) {x ∈ IR | x > −3 ∧ x 6= 2}
19. {x ∈ IR | − 1 < x ≤ 1 ∨ 2 < x < 5 ∨ x > 5}
62MO´DULO 4. FUNC¸A˜O QUADRA´TICA, EQUAC¸O˜ES E INEQUAC¸O˜ES DO SEGUNDO GRAU
Mo´dulo 5
PRIMEIRA PROVA
1. Resolva as expresso˜es:
(a)
[(
+
3
2
)2
− 2 ·
(
−3
4
)
·
(
+
5
2
)
+
(
−1
2
)2]
:
(
−7
4
+
1
2
)2
(b)
[
(−0, 2)3 + 1
25
] 1
2 · 3
1
3
5−
1
2
2. Simplifique:
(a)
1
t− 1 +
1
t+ 1
1
t
− 1
t2
(b)
x4 − y4
x4 − 2x2y2 + y4
3. Em cada item abaixo, determine se a curva dada e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de x. Se for
o caso, obtenha o domı´nio e a variac¸a˜o da func¸a˜o; caso na˜o seja func¸a˜o, justifique:
63
64 MO´DULO 5. PRIMEIRA PROVA
4. Uma fa´brica produz o´leo de soja sob encomenda, de modo que toda produc¸a˜o e´ co-
mercializada. O custo de produc¸a˜o e´ composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, in-
dependentemente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutenc¸a˜o de
equipamentos, sala´rios, etc.; a outra parcela e´ varia´vel, depende da quantidade de o´leo fa-
bricado.
No gra´fico que segue, a reta r representa o custo de produc¸a˜o e a reta s descreve o
faturamento da empresa, ambos em func¸a˜o do nu´mero de litros comercializados. A escala
e´ tal que uma unidade representa 1000 reais no eixo das ordenadas e 1000 l no eixo das
abscissas.
(a) Determine, em reais, o custo correspondente a` parcela fixa.
(b) Determine o volume mı´nimo de o´leo a ser produzido para que a empresa na˜o tenha
preju´ızo.
5. Determine o domı´nio da func¸a˜o y =
√
x2 − 6x
x2 − 3x+ 2
65
6. Resolva o sistema:

2x+ 3y
5
= 10− y
3
4y − 3x
6
=
3x
4
+ 1
7. Uma func¸a˜o quadra´tica tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distaˆncia entre os zeros
da func¸a˜o e´ de 4 unidades, e a func¸a˜o tem -5 como valor mı´nimo. Encontre a expressa˜o que
define essa func¸a˜o quadra´tica.
8. Uma fa´brica produz p(t) = t2 + 2t pares de sapatos, “t” horas apo´s o in´ıcio de suas ativi-
dades dia´rias. Se a fa´brica comec¸a a funcionar a`s 8 horas da manha˜, determine o nu´mero de
pares de sapatos que sera˜o produzidos entre 10 e 11 horas.
9. A populac¸a˜o P (em milhares de habitantes) de uma dada cidade, de 1992 a 2002 esta´
mostrada na tabela. (Sa˜o dadas as estimativas intermedia´rias)
t 1992 1994 1996 1998 2000 2002
P 697 715 734 780 800 816
(a) Esboce um gra´fico de P como uma func¸a˜o do tempo.
(b) Use o gra´fico para estimar a populac¸a˜o em 1999.
66 MO´DULO 5. PRIMEIRA PROVA
5.1 RESOLUC¸A˜O DA PROVA
1.
(a)
[(
3
2
)2
− 2 ·
(
−3
4
)
·
(
+
5
2
)
+
(
−1
2
)2]
:
(
−7
4
+
1
2
)2
=
[
9
4
− 2 ·
(
−3
4
)
·
(
+
5
2
)
+
1
4
]
:
(
−5
4
)2
=
[
9
4
−
(
−30
8
)
+
1
4
]
:
(
25
16
)
=
[
9
4
+
30
8
+
1
4
]
:
25
16
=
[
18
8
+
30
8
+
2
8
]
:
25
16
=
50
8
· 16
25
= 2 · 2 = 4
(b)
[
(−0, 2)3 + 1
25
] 1
2 · 3
1
3
5−
1
2
=
[(
− 2
10
)3
+
1
25
] 1
2
· 3 13 · 5 12
=
[(
− 2
3
103
)
+
1
25
] 1
2
· 3 13 · 5 12
=
[
− 2
3
23 53
+
1
52
] 1
2
· 3 13 · 5 12
=
[
− 1
53
+
1
52
] 1
2 · 3 13 · 5 12
=
[−1 + 5
53
] 1
2 · 3 13 · 5 12
5.1. RESOLUC¸A˜O DA PROVA 67
=
[
4
53
] 1
2 · 3 13 · 5 12
(Sugesta˜o
1
53
= 5−3)
= 2 · 5− 32 · 3 13 · 5 12 = 2 · 5−1 · 3 13
=
2 · 3 13
5
=
2 3
√
3
5
2.
(a)
1
t− 1 +
1
t+ 1
1
t
− 1
t2
=
t+ 1 + t− 1
t2 − 1
t− 1
t2
=
2t
t2 − 1 ·
t2
t− 1
=
2t
(t− 1)(t+ 1) ·
t2
t− 1 =
2t3
(t− 1)2(t+ 1)
(b)
x4 − y4
x4 − 2x2y2 + y4 =
(x2 + y2)(x2 − y2)
(x2 − y2)2 =
x2 + y2
x2 − y2
3.
(a) Sim, o gra´fico e´ de uma func¸a˜o de x.
D(f) = {x ∈ IR | − 3 ≤ x ≤ 2}
Imf = {y ∈ IR | − 2 ≤ y ≤ 3}
(b) Na˜o, o gra´fico na˜o e´ de uma func¸a˜o de x, pois cada x ∈ (−4, 4) esta´ associado a dois
elementos do conjunto de chegada.
(c) Na˜o, o gra´fico na˜o e´ de uma func¸a˜o de x, pois existem infinitos elementos do conjunto
de chegada associados a x = −1 .
(d) Sim, o gra´fico e´ de uma func¸a˜o de x.
D(f) = {x ∈ IR | − 3 ≤ x < 4}
Imf = {y ∈ IR | − 2 ≤ y ≤ 3}
4.
reta r → custo de produc¸a˜o (y1 = a1x+ b1)
reta s → faturamento da empresa (y2 = a2x)
(a) y1(0) = b1 = R$10.000, 00
68 MO´DULO 5. PRIMEIRA PROVA
(b) y1 = y2 ⇒ a1x+ b1 = a2x⇒ x = b1
a2 − a1
x =
10
9
5
− 3
5
=
10
6
5
=
50
6
V m = 8, 33× 103l
a2 =
90
50
=
9
5
a1 =
40− 10
50
=
3
5
5.
y =
√
x2 − 6x
x2 − 3x+ 2
x2 − 3x+ 2 = 0⇒ x = 3±
√
9−8
2
=
{
2
1
x2 − 6x = 0⇒ x(x− 6) = 0⇒ x = 0, x = 6
0 1 2 6
x2 − 6x + 0 − − − − − 0 +
x2 − 3x+ 2 + + + 0 − 0 + + +
f(x) + 0 − /∃ + /∃ − 0 +
Df = {x ∈ IR | x ≤ 0, x ≥ 6, 1 < x < 2}
6.
2x+ 3y
5
= 10− y
3
4y − 3x
6
=
3x
4
+ 1
⇒
{
6x+ 9y = 150− 5y
8y − 6x = 9x+ 12 ⇒
{
6x+ 14y = 150
8y − 15x = 12 ⇒ y =
150− 6x
14
8 · 150− 6x
14
− 15x = 12⇒ 600− 24x− 105x = 84
− 129x = −516⇒ x = 4
y =
150− 24
14
=
126
14
= 9 S = {(4, 9)}
7. V =
(
− b
2a
,−∆
4a
)
= (0,−5), uma vez que a func¸a˜o tem o eixo y como eixo de simetria.
Da´ı, b = 0 e −∆
4a
= −5⇒ c = −5. Ale´m disso, x1 = −2 e x2 = 2, pois a distaˆncia entre os
zeros e´ de 4 unidades e existe a simetria em relac¸a˜o ao eixo y. Mas,
x1 · x2 = c
a
⇒ (−2) · 2 = −5
a
⇒ a = 5
4
.
5.1. RESOLUC¸A˜O DA PROVA 69
Logo, f(x) = ax2 + bx+ c =
5
4
x2 − 5
8.
p(t) = t2 + 2t
∆p = p(3)− p(2) = 32 + 2 · 3− (22 + 2 · 2)
= 9 + 6− 4− 4 = 15− 8 = 7
9. (a)
(b)
y − y1
y2 − y1 =
x− x1
x2 − x1
P1 = (1998, 780)
P2 = (2000, 800)
y − 780
20
=
x− 2000
2
⇒ y = 10x− 20000 + 780
y = 10x− 19220
P (t) = 10t− 19220
P (1999) = 19990− 19220 = 770
70 MO´DULO 5. PRIMEIRA PROVA
5.2 PONTUAC¸A˜O DA PROVA
1aQ : 1.0 p (0.5 p cada item)
2aQ : 1.0 p (0.5 p cada item)
3aQ : 1.0 p (itens (a) e (d) 0.3 p cada, sendo 0.15 p referente ao domı´nio e 0.15 p referente
a` imagem; itens (b) e (c) 0.2 p cada com justificativa correta)
4aQ : 1.5 p (item (a) 0.5 p e item (b) 1.0 p)
5aQ : 1.0 p
6aQ : 1.0 p
7aQ : 1.0 p
8aQ : 1.0 p (erro de conta -0.5 p)
9aQ : 1.5 p (0.5 p cada item)
OBS: Em caso de erro de conta em uma dada questa˜o diferente da oitava, retire 0.2 p.
Mo´dulo 6
Nu´meros Complexos e Polinoˆmios
6.1 DE´CIMA PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Resolva as seguintes equac¸o˜es em IC:
(a) x2 − 4x+ 5 = 0 (b) x2 − 2x+ 4 = 0
2. Determine o nu´mero α para que z = (α2 − 4) + (α− 2)i seja imagina´rio puro.
3. Efetue:
(a) (−2i)2
(b) (
√
5i)2
(c) (2 + 4i)(3 + 2i)
(d) − 2 + 7i+ 2i(5− 3i)
(e) (2i− 3)(4 + i)− 3i(2 + i)
(f)
(
5
2
+ i
)2
(g) (2 + 3i)(2− 3i)
(h) 2 + (3− i) + (−1 + 2i) + i
(i) − 1− (−2 + i) + (5− i)− (3− 7i)
(j) (2 + i)2 − i(2 + i)(2− i)
4. Determine x ∈ IR de modo que z = (2x+ i)(1− xi) seja um nu´mero real.
5. Determine z ∈ IC tal que :
(a) z2 = −16 (b) z2 = 2i
6. Sejam os nu´meros complexos z1 = (2x+ 1) + yi e z2 = −y+ 2i. Determine x e y de modo
que z1 + z2 = 0.
7. Efetue:
71
72 MO´DULO 6. NU´MEROS COMPLEXOS E POLINOˆMIOS
(a) 1 + 2i− i(−1 + i) (b) 7− 4i− 7 + 4i (c) −3i+ 4(2− i)− (−3− 2i)
8. Dados z1 = 4 + 3i e z2 = −3− i, determine:
(a) z1 + z2 (b) z1 + z2 (c) Compare os resultados obtidos em (a) e (b).
9. Sejam os nu´meros complexos z1 = −1 + 2i e z2 = 3 + i, determine:
(a) z1 · z2 (b) z1 · z2 (c) Compare os resultados obtidos em (a) e (b).
10. Determine z ∈ IC de modo que (z)2 = −2i.
11. Efetue:
(a)
3− 2i
4− i (b)
−5 + 3i
−3 + i (c)
3 + 4i
−2i (d)
4 + 3i
−i
12. Obtenha o conjugado de z =
2 + i
7− 3i .
13. Determine a ∈ IR de modo que z = 1 + 2i
2 + ai
seja real.
14. Determine x ∈ IR de modo que z = 2 + xi
1− xi seja imagina´rio puro.
15. Efetue:
(a) i108
(b) i63
(c) i462
(d) i73
(e) i17 − i
(f) − i31
(g) − i78
(h)
1 + i9
−3 + i27
(i)
i45 + i37
i78
16. No plano de Gauss, as imagens de z1, z2, z3 sa˜o, respectivamente, (3, 2), (4,−1) e (−3, 0).
(a) Escreva z1, z2, z3 na forma alge´brica.
(b) Qual e´ a imagem do complexo z1 − 2z2?
17. Calcule os mo´dulos dos seguintes nu´meros complexos:
(a) − 1 + i
(b)
√
3− i
(c) − 2i
(d) (3 + 4i)− (2− i) + 4
(e) − i(3 + 4i)
(f)
2− 3i
1− i
(g) i62 + i123
6.2. DE´CIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS 73
6.2 DE´CIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Discuta, em func¸a˜o de m, o grau g do polinoˆmio p(x) = (m2 − 4)x2 + (m− 2)x− 3.
2. Seja o polinoˆmio p(x) = x4 − 3x2 − 5. Calcule o valor de p(2)− 1
7
p(3).
3. Determine a, b e c de modo que o polinoˆmio p(x) = (a − b + 1)x2 + (b − 2c)x + (2c − 1)
seja identicamente nulo.
4. Determine m,n e p que verificam
(m− n)x2 + (3m+ 2n)x+ (2n− p) ≡ 5x− 1.
5. Sejam os polinoˆmios f(x) = x3 + 2, g(x) = 2x3 + 4x2 − 3x− 5 e h(x) = 1
2
x2 − 1. Deter-
mine:
(a) f(x) + g(x) (b) g(x)− h(x) (c) f(x) · h(x)
6. Sejam os polinoˆmios f(x) = 2x − 3, g(x) = −4 − x e h(x) = x2 − x + 1. Determine o
polinoˆmio p(x) = f(x) · g(x) + h(x).
7. Sejam os polinoˆmios p1(x) = x
3 + ax2 + bx+ c e p2(x) = bx
2 + 4x− 3. Determine a, b e c
de modo que p1(x)− 2p2(x) = x3 + x2 + x+ 1.
8. Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisa˜o de f(x) por g(x) em cada caso:
(a) f(x) = 2x2 − 5x+ 3 e g(x) = 2x− 1;
(b) f(x) = −x3 − 4x2 + 3 e g(x) = x2 − 2x;
(c) f(x) = x4 − 1 e g(x) = x2 + 1.
9. Determine a e b de modo que o resto da divisa˜o de x3 − 5x2 + ax + b por x2 + 3x seja
igual a 12x− 7.
10. Determine k de modo que o polinoˆmio x3 − 2x+ k seja divis´ıvel por x− 1.
11. Aplicando o Teorema do resto, determine o resto da divisa˜o de f(x) por g(x) em cada
caso:
(a) f(x) = x4 − 3x2 + 5x− 1 e g(x) = x+ 2;
74 MO´DULO 6. NU´MEROS COMPLEXOS E POLINOˆMIOS
(b) f(x) = x3 + x2 + x+ 1 e g(x) = x−√3;
(c) f(x) = x50 + x25 + 1 e g(x) = x+ 1.
12. Encontre m para que o resto da divisa˜o de f(x) = 2x3 −mx2 − x + 5 por g(x) = x + 3
seja igual a 3.
13. Calcule o quociente e o resto da divisa˜o de f(x) por g(x) em cada caso, utilizando o
dispositivo de Briott-Ruffini:
(a) f(x) = 3x3 − 4x2 − x+ 1 e g(x) = x− 2;
(b) f(x) = x5 − 3x3 + x2 − 1 e g(x) = x+ 1;
(c) f(x) = x6 − 1 e g(x) = x− 1.
14. Determine o valor de m para que o resto da divisa˜o de 2x3 − 5x2 + 3x −m por x − 1
2
seja igual a
3
2
.
6.3 DE´CIMA TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Fatore o polinoˆmio p(x) = x3−7x2 + 17x−15, sabendo que suas ra´ızes sa˜o 3, 2 + i e 2− i.
2. Considere em IC, a equac¸a˜o x2 − 4x+ 13 = 0.
(a) Encontre suas ra´ızes. (b) Fatore x2 − 4x+ 13.
3. Escreva uma equac¸a˜o de 3o grau cujas ra´ızes sa˜o −1, 1 e 2.
4. Considere a equac¸a˜o x3 + 6x2 + 13x+m = 0.
(a) Determine m, sabendo que −2 e´ uma de suas ra´ızes.
(b) Determine as demais ra´ızes dessa equac¸a˜o.
5. A respeito da equac¸a˜o (x− 2)5(x− 1)2(x+ 3)4 = 0, determine:
(a) suas ra´ızes e as respectivas multiplicidades;
(b) seu grau;
(c) seu conjunto soluc¸a˜o.
6.3. DE´CIMA TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS 75
6. Escreva uma equac¸a˜o polinomial cujas ra´ızes sa˜o −i, i e 2, com multiplicidade 2, 2 e 1,
respectivamente.
7. Resolva, em IC, a equac¸a˜o x4− 8x3 + 18x2− 16x+ 5 = 0, sabendo que 1 e´ raiz tripla dessa
equac¸a˜o.
8. Escreva uma equac¸a˜o polinomial de coeficientes reais, com grau mı´nimo, de modo que 2,
3 e 2− i sejam ra´ızes simples.
9. Resolva a equac¸a˜o x4 − 5x2 − 10x− 6 = 0, sabendo que duas ra´ızes sa˜o −1 e 3.
10. Sejam r1 e r2 as ra´ızes da equac¸a˜o 3x
2 − x+ 5 = 0. Calcule:
(a) r1 + r2 (b) r1r2 (c)
1
r1
+
1
r2
(d) r21 + r
2
2
11. Resolva a equac¸a˜o x3 + 5x2− 2x− 24 = 0, sabendo que uma das ra´ızes e´ o qua´druplo da
soma das outras duas.
12. Pesquise as ra´ızes racionais da equac¸a˜o 2x4 − 9x3 + 4x2 + 21x− 18 = 0.
13. Pesquise as ra´ızes inteiras da equac¸a˜o x3 + 2x2 − x− 2 = 0.
76 MO´DULO 6. NU´MEROS COMPLEXOS E POLINOˆMIOS
6.4 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
6.4.1 11a LISTA
1. (a) S = {2− i, 2 + i} (b) S = {1−√3i, 1 +√3i} 2. α = −2
3. (a) −4 (b) −5 (c) −2 + 16i (d) 4 + 17i (e) −11− i (f) 21/4 + 5i (g) 13
(h) 4 + 2i (i) 3 + 5i (j) 3− i
4. ±√2/2
5. (a) ±4i (b) 1 + i ou −1− i 6. x = −3/2, y = −2
7. (a) 2− i (b) 8i (c) 11− 3i
8. (a) 1− 2i (b) 1− 2i (c) z1 + z2 = z1 + z2
9. (a) −5− 5i (b) −5− 5i (c) z1 · z2 = z1 · z2
10. 1 + i ou −1− i
11. (a) 14/17− (5/17)i (b) 9/5− (2/5)i (c) −2 + (3/2)i (d) −3 + 4i
12. 11/58− (13/58)i 13. 4 14. ±√2
15. (a) 1 (b) −i (c) −1 (d) i (e) 0 (f) i (g) −1 (h) (−2− i)/5 (i) −2i
16. (a) z1 = 3 + 2i, z2 = 4− i e z3 = −3 (b) (−5, 4)
17. (a)
√
2 (b) 2 (c) 2 (d) 5
√
2 (e) 5 (f)
√
26/2 (g)
√
2
6.4.2 12a LISTA
1. m 6= 2 ∧m 6= −2⇒ g = 2, m = −2⇒ g = 1, m = 2⇒ g = 0
2. −8 3. a = 0, b = 1, c = 1/2 4. m = 1, n = 1, p = 3
5. (a) 3x3 + 4x2 − 3x− 3 (b) 2x3 + 7
2
x2 − 3x− 4 (c) 1
2
x5 − x3 + x2 − 2
6. −x2 − 6x+ 13 7. a = 19, b = 9, c = −5
8. (a) q(x) = x− 2 e r(x) = −1 (b) q(x) = −x− 6 e r(x) = −12x+ 3
(c) q(x) = x2 − 1 e r(x) = 0
9. a = −12, b = −7 10. 1
11. (a) −7 (b) 4√3 + 4 (c) 1 12. −49/9
13. (a) q(x) = 3x2 + 2x+ 3 e r = 7 (b) q(x) = x4 − x3 − 2x2 + 3x− 3 e r = 2
(c) q(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1 e r = 0
14. −1
6.4. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 77
6.4.3 13a LISTA
1. (x− 3) · (x2 − 4x+ 5)
2. (a) S = {2 + 3i, 2− 3i} (b) (x− 2− 3i) · (x− 2 + 3i)
3. k(x3 − 2x2 − x+ 2) = 0, com k 6= 0
4. (a) 10 (b) −2 + i e −2− i
5. (a)
ra´ızes multiplicidades
2 5
1 2
−3 4
(b) 11 (c) S = {2, 1,−3}
6. k(x5 − 2x4 + 2x3 − 4x2 + x− 2) = 0, com k 6= 0
7. S = {1, 5}
8. x4 − 9x3 + 31x2 − 49x+ 30 = 0
9. S = {−1, 3,−1 + i, n− 1− i}
10. (a) 1/3 (b) 5/3 (c) 1/5 (d) −29/9
11. S = {−4,−3, 2}
12. Sa˜o ra´ızes 1, 2, 3 e −3/2.
13. Sa˜o ra´ızes −1, 1 e −2.
78 MO´DULO 6. NU´MEROS COMPLEXOS E POLINOˆMIOS
6.5 QUARTA LISTA DE REVISA˜O
1. Obtenha x e y para que o nu´mero complexo z = (x+ 6)− (y2 − 16)i seja:
(a) um nu´mero real (b) um nu´mero imagina´rio puro
2. Considere as seguintes afirmativas:
I. O produto de dois nu´meros irracionais e´ um nu´mero irracional.
II. A soma de um nu´mero racional com um nu´mero irracional e´ um nu´mero irracional.
III. Se um nu´mero natural a e´ divisor do produto de dois outros naturais b e c enta˜o a e´
divisor de b ou de c.
IV. O produto de um nu´mero complexo pelo seu conjugado e´ um nu´mero real.
Pode-se afirmar que :
(a) todas as afirmativas sa˜o falsas;
(b) todas as afirmativas sa˜o verdadeiras;
(c) apenas a afirmativa IV e´ verdadeira;
(d) apenas as afirmativas I e III sa˜o falsas;
(e) apenas a afirmativa I e´ falsa.
3. Se a soma de dois nu´meros complexos e´ 1 e o seu produto tambe´m e´ 1. Qual e´ a soma
dos quadrados dos dois nu´meros?
4. Determine x ∈ IR de modo que z = (x+ 2i)(1 + i) seja imagina´rio puro.
5. Determine a e b em z1 = (a
2 − 16) + 3i e z2 = 4 + (b− 1)i de modo que z1 − z2 = 0.
6. Dados os nu´meros complexos z1 =
1
2
+ 3i e z2 = 2− 5i, calcule:
(a) 2z1 + z2 (b) z2 − z1 (c) z1 · z2 (d) z22
7. Obtenha o nu´mero complexo z, tal que
z
1− i +
z + 2
1 + i
=
3
2
+
7
2
i.
8. Efetue:
(a) (2 + 3i) + (4 + i) + (−3− 2i)
(b) (−1− i) + 3 + (2 + i)
(c) (1 + i)− (1− i)
(d) 4i− (1− 3i)− (−2 + i)
(e) (−4 + i)(3− 2i) + (2 + i)
(f) (2 + 3i)− (1 + i)(2− i)
(g) (2− 3i)2
(h)
(−1 +√2i
2
)3
(i) (4 + i)(3− i)
(j)
2 + i
i
(k) |8− 6i|
(l) |√3− i|
6.5. QUARTA LISTA DE REVISA˜O 79
9. Qual e´ o inverso de z = 1− 2i ?
10. Qual e´ o nu´mero complexo que satisfaz a igualdade
z
2
− z
4
= −1
6
+
2
3
i ?
11. Coloque na forma a+ bi a expressa˜o
1− i
1 + i
+
i
i− 2.
12. Determine o conjugado do nu´mero complexo z =
4− 8i
1 + 2i
.
13. Ache o mo´dulo dos nu´meros complexos:
(a) (3− i)(2 + i) (b) 1 + 4i
i
(c)
(4− 3i)(12− 5i)√
2i
14. Considere os polinoˆmios A(x) = x2 − x + 1; B(x) = −2x2 + 3 e C(x) = x3 − x + 2.
Represente sob a forma de polinoˆmio reduzido e deˆ o grau de:
(a) A− 2B + C (b) (A−B)2 − 3(C +B)
15. Dado o polinoˆmio P (x) = 2x3 − x2 + x+ 3, calcule P (2)− 2P (−1)
P
(
1
2
) .
16. Sendo P (x) = x2 − 2x+ 1, calcule:
(a) P (i) (b) P (1 + i) (c) P (2− i)
17. Determine o polinoˆmio de 2o grau p(x) tal que p(0) = 3, p(1) = 7 e p(−2) = 9.
18. Determine a, b e c de modo que
(a− 1)x3 + (a− b)x2 + (2b− c)x ≡ 4x3 − x2 + 5x.
19. Dados: A(x) = (m+ 1)x2 + (n− 1)x+ l e B(x) = mx2 + nx− 3l.
Calcule m,n e l, para que A(x) +B(x) ≡ 0.
80 MO´DULO 6. NU´MEROS COMPLEXOS E POLINOˆMIOS
20. Se p(x) e´ um polinoˆmio de grau 5, qual e´ o grau de [p(x)]3 + [p(x)]2 + 2p(x)?
21. Um polinoˆmio P (x) e´ tal que P (x) + x · P (2− x) ≡ x2 + 3. Calcule o valor de P (−2).
22. Sejam os polinoˆmios p1(x) = 2x
2 + ax+ b e p2(x) = cx
2 + (b− 1)x− 3. Determine a, b e
c de modo que p1(x)+p2(x) seja o polinoˆmio nulo.
23. Sejam dois polinoˆmios, f(x) e g(x), tais que f(x) = ax2 + (b − 1)x + 3 e g(x) =
bx2 + (−a+ 2)x− 1. Determine a e b de modo que f(x) + g(x) seja um polinoˆmio indepen-
dente de x.
24. Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisa˜o de f(x) por g(x) em cada caso:
(a) f(x) = 6x3 − x2 − 2x+ 4 e g(x) = 3x− 2;
(b) f(x) = 5x4 + 3x3 − 2x2 + 4x− 1 e g(x) = x2 − 4;
(c) f(x) = x4 + x3 − 5x2 + x− 6 e g(x) = x2 + x− 6.
25. Sendo f(x) = x4 + px3 + q e g(x) = x3 + 2x2, determine p e q de modo que o resto
da divisa˜o de f(x) por g(x) seja igual a−x2+3. Determine tambe´m o quociente dessa divisa˜o.
26. Encontre a para que a divisa˜o do polinoˆmio x2 + ax− 5 por x− 3 seja exata.
27. Aplicando o teorema do resto, determine o resto da divisa˜o de f(x) por g(x), em cada
caso:
(a) f(x) = 3x3 − 4x+ 2 e g(x) = x− 1
2
;
(b) f(x) = −4x3 + 5x2 − 6x− 1 e g(x) = x− 2;
(c) f(x) = 3x2 + 4ix+ 3i e g(x) = x− 1.
28. Determine m de modo que f(x) = x4 + 3x3−x2 +mx−1 seja divis´ıvel por g(x) = x−2.
29. Um polinoˆmio p(x), dividido por x− 1, da´ resto 2 e, dividido por x+ 1, da´ resto 3. Qual
e´ o resto da divisa˜o de p(x) por (x− 1)(x+ 1) ?
6.5. QUARTA LISTA DE REVISA˜O 81
30. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisa˜o de
f(x) = x4 − 21x2 − 10x− 1 por g(x) = x− 5.
31. O polinoˆmio f(x) = x3 + px + q, quando dividido por g(x) = x − 2, deixa resto 10.
Sabendo que o quociente desta divisa˜o e´ x2 + 2x+ 5, obtenha p e q.
32. Determine o valor de m para que a divisa˜o de f(x) = 2x4−x3 + 5x+m por g(x) = x+ 1
seja exata.
33. Escreva uma equac¸a˜o de 4o grau cujas ra´ızes sa˜o 0, 2,−3i e 3i.
34. Resolva em IC a equac¸a˜o x4−6x3+9x2+6x−10 = 0, sabendo que duas ra´ızes sa˜o −1 e 1.
35. Escreva uma equac¸a˜o polinomial cujas ra´ızes sa˜o 3 − 2i, 3 + 2i e 1, cada uma com
multiplicidade 1.
36. Escreva uma equac¸a˜o de coeficientes reais, com grau mı´nimo, de modo que i
√
2 e i
√
3
sejam ra´ızes simples.
37. Em relac¸a˜o a` equac¸a˜o x3 − 3x2 + 2x+ 1 = 0, calcule:
(a)
1
r1
+
1
r2
+
1
r3
(b)
1
r1r2
+
1
r1r3
+
1
r2r3
(c) r21 + r
2
2 + r
2
3
(Sugesta˜o: utilize a identidade (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab+ ac+ bc))
38. Resolva a equac¸a˜o 3x3 + 5x2 + 4x− 2 = 0.
82 MO´DULO 6. NU´MEROS COMPLEXOS E POLINOˆMIOS
6.5.1 RESPOSTAS DA 4a LISTA DE REVISA˜O
1. (a) ∀ x ∈ IR e y = ±4 (b) ∀ y ∈ IR e x = −6
2. d 3. −1
4. 2 5. a = ±2√5, b = 4
6. (a) 3 + i (b) 3/2− 8i (c) 16 + (7/2)i (d) −21− 20i
7. z = 1/2 + (9/2)i
8.
(a) 3 + 2i
(b) 4
(c) 2i
(d) 1 + 6i
(e) − 8 + 12i
(f) − 1 + 2i
(g) − 5− 12i
(h) 5/8 + (
√
2/8)i
(i) 13 + i
(j) 1− 2i
(k) 10
(l) 2
9. 1/5 + (2/5)i 10. −2/3 + (8/9)i
11. 1/5− (7/5)i 12. −12/5 + (16/5)i
13. (a) 5
√
2 (b)
√
17 (c) 65
√
2/2
14. (a) x3 + 5x2 − 2x− 3, grau 3 (b) 9x4 − 7x2 + 12x, grau 4
15. 38/7 16. (a) −2i (b) −1 (c) −2i
17. 7
3
x2 + 5
3
x+ 3
18. a = 5, b = 6, c = 7
19. m = −1/2, n = 1/2, l = 0
20. 15 21. 5
22. a = −2, b = 3, c = −2 23. a = 1/2, b = −1/2
24. (a) q(x) = 2x2 + x e r(x) = 4 (b) q(x) = 5x2 + 3x+ 18 e r(x) = 16x+ 71
(c) q(x) = x2 + 1 e r(x) = 0
25. p = 3, q = 3; q(x) = x+ 1
26. −4/3 27. (a) 3/8 (b) −25 (c) 3 + 7i
28. −35/2 29. −1
2
x+ 5
2
30. q(x) = x3 + 5x2 + 4x+ 10 e r = 49
31. p = 1, q = 0 32. 2
33. k(x4 − 2x3 + 9x2 − 18x) = 0, com k 6= 0
34. S = {3 + i, 3− i,−1, 1}
35. k(x3 − 7x2 + 19x− 13) = 0, com 6= 0
36. x4 + 5x2 + 6 = 0
37. (a) −2 (b) −3 (c) 5
38. S = {1
3
,−1 + i,−1− i}
Mo´dulo 7
Propriedades de Func¸o˜es e Func¸a˜o
Modular
7.1 DE´CIMA QUARTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Sejam as func¸o˜es reais f e g, definidas por f(x) = x2 − x− 2 e g(x) = 1− 2x. Pede-se:
(a) obter as leis que definem f ◦ g e g ◦ f ;
(b) calcular (f ◦ g)(−2) e (g ◦ f)(−2);
(c) determinar os valores do domı´nio da func¸a˜o f ◦ g que produzem imagem 10;
2. Sejam f(x) =
√
x− 1 e g(x) = 2x2−5x+3. Determine os domı´nios das func¸o˜es f ◦g e g◦f .
3. Sejam as func¸o˜es f(x) =
x+ 1
x− 2 definida para todo x real e x 6= 2 e g(x) = 2x+ 3 definida
para todo x real. Pedem-se:
(a) o domı´nio e a lei que define f ◦ g;
(b) o domı´nio e a lei que define g ◦ f ;
4. Sejam as func¸o˜es reais f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 − 1 e h(x) = 3x + 2. Obtenha a lei que
define (h ◦ g) ◦ f .
5. Sejam as func¸o˜es g(x) = 2x− 3 e (f ◦ g)(x) = 2x2 − 4x+ 1. Determine a lei da func¸a˜o f.
83
84 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
6. Sejam f e g as func¸o˜es reais definidas por
f(x) =
{
x2 − 4x+ 3 se x ≥ 2
2x− 3se x < 2 e g(x) = 2x+ 3.
Obtenha as leis que definem (f ◦ g) e (g ◦ f).
7. Indique qual das func¸o˜es abaixo e´ injetora, sobrejetora ou bijetora:
8. Para as func¸o˜es em IR abaixo representadas, qual e´ injetora? E sobrejetora? E bijetora?
7.1. DE´CIMA QUARTA LISTA DE EXERCI´CIOS 85
9. Nas func¸o˜es que seguem classifique em:
(i) injetora. (ii) sobrejetora. (iii) bijetora. (iv) na˜o e´ sobrejetora nem injetora.
(a) f : IR→ IR tal que f(x) = 2x+ 1
(b) g : IR→ IR tal que g(x) = 1− x2
(c) h : IR→ IR+ tal que h(x) = |x− 1|
(d) p : IR∗ → IR∗ tal que p(x) = 1
x
(e) q : IR→ IR tal que q(x) = x3
10. Nas func¸o˜es reais que seguem classifique em:
(i) injetora. (ii) sobrejetora. (iii) bijetora. (iv) na˜o e´ sobrejetora nem injetora.
(a)

x− 1 se x ≥ 1
0 se − 1 < x < 1
x+ 1 se x ≤ −1
(b)
{
3x− 2 se x ≥ 2
x− 2 se x < 2 (c)
{
4− x2 se x ≤ 1
x2 − 6x+ 8 se x > 1
11. Nas func¸o˜es abaixo de IR em IR, obtenha a lei de corresponeˆncia que define a func¸a˜o
inversa:
(a) f(x) = 2x+ 3 (b) g(x) = x3 + 2 (c) h(x) = 3
√
1− x3
12. Seja a func¸a˜o de IR− em IR+, definida por f(x) = x2. Qual e´ a func¸a˜o inversa de f?
13. Obtenha a func¸a˜o inversa de f : A→ IR+, onde A = {x ∈ IR|x ≤ 1} e f(x) = (x− 1)2.
14. Seja a func¸a˜o bijetora f, de IR− 2 em IR− 1, definida por f(x) = x+ 1
x− 2. Qual e´ a func¸a˜o
inversa de f?
15. Seja a func¸a˜o f, de IR− {−2} em IR− {4}, definida por f(x) = 4x− 3
x+ 2
. Qual e´ o valor
do domı´nio de f−1 com imagem 5?
86 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
16. Represente f e f−1 em um mesmo gra´fico, sendo f a func¸a˜o real definida por:
(a) f(x) = 2x+ 3 (b) f(x) = x3 + 2
17. Estude, segundo os valores do paraˆmetro m, a variac¸a˜o (crescente, decrescente ou cons-
tante) da func¸a˜o y = (m− 1)x+ 2.
18. Sobre a func¸a˜o f , de [a, b] em IR, cujo gra´fico se veˆ abaixo, e´ verdade que:
(a) f tem apenas duas ra´ızes reais;
(b) f e´ crescente no intervalo [0, b];
(c) f(e) > f(d);
(d) f(x) ≥ 0 para todo x no intervalo [d, e];
(e) f(x) > 0 para todo x no intervalo [a, 0].
7.2 DE´CIMA QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es reais:
7.2. DE´CIMA QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS 87
(a) f(x) = |3− 2x|
(b) f(x) = |x2 − 5x+ 6|
(c) f(x) = |9− x2|
(d) f(x) = |2x− 1| − 3
(e) f(x) = |x2 − 4|+ 2
(f) f(x) = |x| − x
(g) f(x) = |x− 2|+ 2x+ 1
(h) f(x) = x2 − 4|x|+ 2
(i) f(x) = |2x− 1|+ |x+ 1|
(j) f(x) = ||2x+ 3| − 4|
(k) f(x) = ||x2 − 1| − 2|
(l) f(x) =
{ x
|x| se x 6= 0
0 se x = 0
2. Resolva as seguintes equac¸o˜es em IR:
(a) |3x− 1| = 2
(b) |x2 − 3x− 1| = 3
(c) |3x+ 2| = |x− 1|
(d) |x2 + x− 5| = |4x− 1|
(e) |2x− 5| = x− 1
(f) |2x2 + 15x− 3| = x2 + 2x− 3
(g) |x− 2| − x|x+ 1| = 2
3. Resolva em IR as inequac¸o˜es que seguem:
(a) |4− 3x| ≤ 5
(b) 1 < |x− 1| ≤ 3
(c) |x2 − 5x+ 5| < 1
(d)
∣∣∣∣2x− 33x− 1
∣∣∣∣ > 2
(e) ||x| − 2| > 1
(f) |2x+ 1|+ 4− 3x > 0
(g) |x2 − 4x| − 3x+ 6 ≤ 0
(h) |3x+ 2| − |2x− 1| > x+ 1
(i) |x+ 3| ≤ |1− x|
(j)
|x|+ 3
|x| − 1 ≤ 2
4. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) =
1
|x− 2| − 3 (b) f(x) =
√
|x| − 5
88 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
7.3 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
7.3.1 14a LISTA
1.(a) (f ◦g)(x) = 4x2−2x−2 e (g◦f)(x) = 5+2x−2x2 (b) (f ◦g)(−2) = 18, (g◦f)(−2) =
−7 (c) x = 2 ou x = −3/2
2. D(f ◦ g) = {x ∈ IR|x ≤ 1/2 ∨ x ≥ 2}; D(g ◦ f) = {x ∈ IR|x ≥ 1}
3. (a) D(f ◦ g) = IR − {−1/2} ; D(g ◦ f) = 2x+ 4
2x+ 1
(b) D(g ◦ f) = IR − {2} ;
(g ◦ f)(x) = 5x− 4
x− 2
4. [(h ◦ g) ◦ f ](x)= 12x2 + 12x+ 2 5. f(x) = x
2 + 2x− 1
2
6. (f ◦ g)(x) =
{
4x2 + 4x se x ≥ −1
2
4x+ 3 se x < −1
2
e (g ◦ f)(x) =
{
2x2 − 8x+ 9 se x ≥ 2
4x− 3 sex < 2
7. (a) injetora (b) sobrejetora (c) bijetora (d) na˜o e´ injetora nem sobrejetora
8. (a) injetora (b) bijetora (c) sobrejetora (d) na˜o e´ injetora nem sobrejetora
9. (a) iii (b) iv (c) ii (d) iii (e) iii
10. (a) ii (b) i (c) ii
11. (a) f−1(x) =
x− 3
2
(b) g−1(x) = 3
√
x− 2 (c) h−1(x) = 3√1− x3
12. E´ a func¸a˜o de IR− em IR− definida por f−1(x) = −√x.
13. f−1 : x ∈ IR+ 7−→ 1−√x ∈ A
14. E´ a func¸a˜o de IR− {1} em IR− {2}, definida por f−1(x) = 2x+ 1
x− 1 .
15. 17/7
16.
17. Se m > 1, y e´ crescente. Se m < 1, y e´ decrescente. Se m = 1, y e´ constante.
7.3. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 89
18. (d)
7.3.2 15a LISTA
1.
90 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
2.
(a) S = {1,−1/3}
(b) S = {−1, 1, 2, 4}
(c) S = {−3/2,−1/4}
(d) S = {−6,−1, 1, 4}
(e) S = {4, 2}
(f) S = {−13,−6}
(g) S = {0}
7.3. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 91
3.
(a) S = {x ∈ IR | − 1/3 ≤ x ≤ 3}
(b) S = {x ∈ IR | − 2 ≤ x < 0 ∨ 2 < x ≤ 4}
(c) S = {x ∈ IR | 1 < x < 2 ∨ 3 < x < 4}
(d) S = {x ∈ IR | − 1/4 < x < 5/8 ∧ x 6= 1/3}
(e) S = {x ∈ IR | x < −3 ∨ −1 < x < 1 ∨ x > 3}
(f) S = {x ∈ IR | x < 5}
(g) S = {x ∈ IR | 3 ≤ x ≤ 6}
(h) S = {x ∈ IR | x < −2 ∨ x > 0}
(i) S = {x ∈ IR | x ≤ −1}
(j) S = {x ∈ IR | x ≤ −5 ∨ −1 < x < 1 ∨ x ≥ 5}
4. (a) D = {x ∈ IR | x 6= −1 ∧ x 6= 5} (b) D = {x ∈ IR | x ≤ −5 ∨ x ≥ 5}
92 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
7.4 QUINTA LISTA DE REVISA˜O
1. Sejam as func¸o˜es reais f e g, definidas f(x) = x2 − 4x + 1 e g(x) = x2 − 1. Obtenha as
leis que definem f ◦ g e g ◦ f .
2. Nas func¸o˜es reais f e g, definidas por f(x) = x2 + 2 e g(x) = x − 3, obtenha as leis que
definem:
(a) f ◦ g (b) g ◦ f (c) f ◦ f (d) g ◦ g
3. Considere a func¸a˜o em IR definida por f(x) = x3 − 3x2 + 2x− 1. Qual e´ a lei que define
f(−x), f(1/x) e f(x− 1)?
4. Dadas as func¸o˜es reais definidas por
f(x) = 3x+ 2 e g(x) = 2x+ a, determine o valor de
a de modo que se tenha f ◦ g = g ◦ f .
5. Sejam as func¸o˜es reais f(x) = 1 − x, g(x) = x2 − x + 2 e h(x) = 2x + 3. Obtenha a lei
que define h ◦ (g ◦ f).
6. Sejam as func¸o˜es reais f(x) = 2x+7 e (f◦g)(x) = x2−2x+3. Determinar a lei da func¸a˜o g.
7. Sejam as func¸o˜es reais g(x) = 2x+3 definida para todo x real e x 6= 2 e (f ◦g)(x) = 2x+ 5
x+ 1
definida para todo x real e x 6= 1. Determine a lei da func¸a˜o f .
8. Sejam as func¸o˜es reais f e g definidas por
f(x) =

x2 + 2 se x ≤ −1
1
x− 2 se − 1 < x < 1
4− x2 se x ≥ 1
e g(x) = 2− 3x.
Obtenha as leis que definem f ◦ g e g ◦ f .
9. Nas func¸o˜es seguintes, classifique em:
(i) injetora (ii) sobrejetora (iii) bijetora (iv) na˜o e´ sobrejetora nem injetora
7.4. QUINTA LISTA DE REVISA˜O 93
(a) f : IR→ IR tal que f(x) = |x| · (x− 1);
(b) g : IN→ IN tal que g(x) = 3x+ 2;
(c) h : IR→ ZZ tal que h(x) = [x].
(d) f : IR→ IR, f(x) =
{
x2 , x ≥ 0
x , x < 0
(e) g : IN→ IN, g(x) =
{x , x par
x+ 1
2
, x ı´mpar
(f) h : IR→ IQ, h(x) =
{
2x , x ∈ IQ
[x] , x ∈ (IR− IQ)
Observac¸a˜o: A func¸a˜o h, conhecida como func¸a˜o ma´ximo inteiro ou func¸a˜o parte inteira
de x, e´ definida como h(x) = [x] = n, tal que n ≤ x < n+ 1.
10. Determine o valor de b em B = {y ∈ IR | y ≥ b} de modo que a func¸a˜o f de IR em B
definida por f(x) = x2 − 4x+ 6 seja sobrejetora.
11. Nas func¸o˜es abaixo de IR em IR, obtenha a lei de correspondeˆncia que define a func¸a˜o
inversa:
(a) f(x) =
4x− 1
3
(b) f(x) = (x− 1)3 + 2 (c) f(x) = 3√x+ 2
12. Obtenha a func¸a˜o inversa da func¸a˜o f : IR+ → B, onde B = {y ∈ IR | y ≤ 4} e
f(x) = 4− x2.
13. Sejam os conjuntos A = {x ∈ IR | x ≥ 1} e B = {y ∈ IR | y ≥ 2} e a func¸a˜o f de A em
B definida por f(x) = x2 − 2x+ 3. Obtenha a func¸a˜o inversa de f .
14. Seja f : IR→ IR definida por f(x) = x− 1
2
.
(a) Obtenha f−1 (b) Represente f e f−1 no mesmo gra´fico.
15. Seja f uma aplicac¸a˜o de A = {1, 2, 3, 4} em B = {2, 4, 7, 9} definida por:
f(1) = 4, f(2) = 2, f(3) = 7 e f(4) = 9.
Pergunta-se: (a) existe f−1 ? (b) como se define f−1 ?
16. Seja f uma aplicac¸a˜o de IR em IR definida por f(x) = |x+ 1|+ |x− 3|. Pede-se:
(a) construir o gra´fico de f ;
(b) dizer se f e´ invert´ıvel.
94 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
17. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es inversas de f em cada caso:
18. Resolva as seguintes equac¸o˜es em IR:
(a) f(x) = |x+ 2| = 3
(b) f(x) = |x2 − 4x+ 5| = 2
(c) f(x) = |4x− 1| − |2x+ 3| = 0
(d) f(x) = |x2 − 2x− 2| = |x2 − x− 1|
(e) f(x) = |3x+ 2| = 2x− 3
(f) f(x) = |3x− 2| = 3x− 2
(g) f(x) = 2x|1− x| − |x2 − 4|+ x− 10 = 0
19. Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es reais:
(a) f(x) = |2x− 1|
(b) f(x) = |x2 + 4x|
(c) f(x) = |3x− 4|+ 1
(d) f(x) = |x2 − 1| − 2
(e) f(x) = |x+ 1| − x+ 3
(f) f(x) = |x2 − 2|x| − 3|
(g) f(x) = ||2x− 2| − 4|
(h) f(x) = |x+ 1| − |x− 1|
(i) f(x) = ||x| − 2|
(j) f(x) = ||x+ 2| − |x− 2||
7.4. QUINTA LISTA DE REVISA˜O 95
20. Resolva em IR as inequac¸o˜es que seguem:
(a) f(x) = |2x+ 4| < −3
(b) f(x) = |4x− 7| ≥ −1
(c) f(x) =
∣∣∣∣2x− 33x− 1
∣∣∣∣ > 2
(d) f(x) = |x2 − 6x+ 5|+ 1 < x
(e) f(x) = |x− 1| − 3x+ 7 ≤ 0
(f) f(x) = |x2 − x− 4| > 2
(g) f(x) = |x+ 2|+ |2x− 2| > x+ 8
(h) f(x) = 3|x+ 1| − |x− 1| ≤ 2x2 − 4x
(i) f(x) = |x|+ |2x− 6| ≤ |x+ 6|
(j) f(x) =
∣∣∣∣x− 1x+ 1
∣∣∣∣ > 2
96 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
7.4.1 RESPOSTAS DA 5a LISTA DE REVISA˜O
1. (f ◦ g)(x) = x4 − 6x2 + 6, (g ◦ f)(x) = x4 − 8x3 + 18x2 − 8x
2. (a) (f ◦ g)(x) = x2 − 6x+ 11 (b) (g ◦ f)(x) = x2 − 1
(c) (f ◦ f)(x) = x4 + 4x3 + 6 (d) (g ◦ g)(x) = x− 6
3. f(−x) = −x3− 3x2− 2x− 1, f(1/x) = 1
x3
− 3
x2
+ 2
x
− 1, f(x− 1) = x3− 6x2 + 11x− 7
4. a = 1 5. [h ◦ (g ◦ f)](x) = 2x2 − 2x+ 7
6. g(x) =
x2 − 2x− 4
2
7. f(x) =
2x+ 4
x− 1 para x 6= 1
8. (f ◦ g)(x) =

9x2 − 12x+ 6 se x ≥ 1−1
3x
se 1/3 < x < 1
−9x2 + 12x se x ≤ 1/3
(g ◦ f)(x) =

−3x2 − 4 se x ≤ −1
2x− 7
x− 2 se − 1 ≤ x < 1
3x2 − 10 se x ≥ 1
9. (a) (ii) (b) (i) (c) (ii) (d) (iii) (e) (ii) (f) (ii)
10. b = 2
11. (a) f−1(x) =
3x+ 1
4
(b) f−1(x) = 1 + 3
√
x− 2 (c) f−1(x) = x3 − 2
12. f−1 : B → IR+, f−1(x) =
√
4− x
13. f−1 : B → A, f−1(x) = 1 +√x− 2
14. (a) f−1(x) = 2x+ 1
15. (a) Existe (b) f−1(4) = 1, f−1(2) = 2, f−1(7) = 3, f−1(9) = 4
7.4. QUINTA LISTA DE REVISA˜O 97
16.
(b) Na˜o e´ invert´ıvel.
17.
18.
(a) S = {1,−5}
(b) S = {1, 3}
(c) S = {2,−1/3}
(d) S = {−3/2, 1/3, 1}
(e) S = ∅
(f) S = {x ∈ IR | x ≥ 2/3}
(g) S = {3}
(i) S = {2, 0}
(j) S = {2}
(k) S = {4}
98 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
19.
7.4. QUINTA LISTA DE REVISA˜O 99
20.
(a) S = ∅
(b) S = IR
(c) S = {x ∈ IR | x ≤ 1/5 ∨ x ≥ 1}
(d) S = {x ∈ IR | 4 < x < 6}
(e) S = {x ∈ IR | x ≥ 3}
(f) S = {x ∈ IR | x < −2 ∨ −1 < x < 2 ∨ x > 3}
(g) S = {x ∈ IR | x < −2 ∨ x > 4}
(h) S = {x ∈ IR | x ≤ 0 ∨ x ≥ 3}
(i) S = {x ∈ IR | 0 ≤ x ≤ 6}
(j) S = {x ∈ IR | − 3 < x < −1 ∨ −1 < x < −1/3}
100 MO´DULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC¸O˜ES E FUNC¸A˜O MODULAR
Mo´dulo 8
Func¸a˜o Exponencial e Func¸a˜o
Logar´ıtmica
8.1 DE´CIMA SEXTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Diga se as func¸o˜es exponenciais sa˜o crescentes ou decrescentes:
(a) y = 5x (b) y = 10−x (c) f(x) =
(
1
3
)−x
(d) f(x) = (
√
3)x
2. Na figura esta˜o representados os gra´ficos das func¸o˜es f(x) = 3ax e g(x) = 3bx. A afirmativa
certa e´:
(a) b < a < 0 (b) a < b < 0 (c) a < 0 < b (d) b < 0 < a (e) 0 < b < a
3. Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es exponenciais:
(a) y =
(
1
4
)x
(b) y = 3−x
(c) y = 2x
(d) y = 5x+1
(e) y =
(
1
3
)x+2
(f) f(x) = 3x − 2
(g) f(x) =
(
1
7
)x
− 1
101
102 MO´DULO 8. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
4. Esboce, num mesmo plano cartesiano, os gra´ficos das func¸o˜es y = 3x e y = x + 2 e
responda quantas soluc¸o˜es tem a equac¸a˜o 3x = x+ 2.
5. A func¸a˜o f : IR→ IR, definida por f(x) = e|x|, e´ melhor representada por:
6. Resolva as seguintes equac¸o˜es exponenciais:
(a) 3x = 243
(b) 53x−2 = 25
(c) 32x−1 = 1
(d) 162x−1 = 64
(e)
(
16
81
)x
=
8
27
(f) (0, 7)x = 0, 2401
(g) 2x
2−3x+7 = 32
(h) (2x−3)x−2 = 1
(i) 32
x
= 81
(j) 372x−1 = 232x−1
(k) 52x − 7 · 5x = 450
(l) 3x+1 − 15
3x−1
+ 3x−2 =
23
3x−2
7. Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a) 3x < 27
(b)
(
2
5
)x2+1
>
(
2
5
)10
(c)
(
1
2
)x2−x+1
< 2−x
(d) (0, 001)4x
2−2 ≥ 10x
(e) (
√
27)x ≥
(
1
81
)x−2
(f) 32x ≥ 4 · 3x − 3
(g) 2 · 44x < 9 · 42x − 4
8. Determine o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
√
3x − 1√
2x − 8 .
8.2. DE´CIMA SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS 103
9. Determine o conjunto-soluc¸a˜o do sistema
{
2x ≤ 8
3x− 6 > 0.
8.2 DE´CIMA SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determine, pela definic¸a˜o, o valor dos seguintes logaritmos:
(a) log5 625 (b) log1/5 25 (c) log0.2 0.008 (d) log 5√729
3
√
81
2. Determine o valor de x em cada um dos casos:
(a) logx 8 = 3 (b) log
√
2 x = 5 (c) log2/3
8
27
= x (d) logx 0.0016 = 4
3. Determine o valor do nu´mero A = logx
3
√
16 + logx 2
4
√
2 para x = 3
√
4.
4. Determine x para que exista:
(a) log3(−2x+ 1) (b) log9x(x2 − 4x+ 3)
5. Calcule os seguintes valores:
(a) 6log6 2 (b) log7 7
0.37
6. Dados os valores log 2 = 0.3010, log 3 = 0.4771, log 5 = 0.6990 e log 7 = 0.8451, deter-
mine o valor de:
(a) log 15 (b) log 49 (c) log 108 (d) log 5
√
7
7. Utilizando as propriedades operato´rias dos logaritmos, desenvolva a expressa˜o log
√
a3
√
a
3
√
a 4
√
a
.
8. Ache o logaritmo de 256 no sistema de base 16, conhecendo log2 256 e log2 16.
9. Ache com treˆs ordens decimais o logaritmo
neperiano de 5, conhecendo log 5 = 0.69897 e
log e = 0.43429.
10. Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
104 MO´DULO 8. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
(a) f(x) = log3 x (b) f(x) = log 1
3
x (c) f(x) = 2+log2 x (d) f(x) = log2(x−1)
11. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) y = logx(3x− 6)
(b) y = logx−3(4x
2 − 16)
(c) y = logx(x
2 − x− 6)
(d) y = log3−x(x
2 − 9)
12. Resolva as seguintes equac¸o˜es exponenciais por meio de logaritmos:
(a) 5x = 7 (b) (0, 17)5x+1 = 0, 08 (c)
(
23
59
)x
=
5
11
(d)
x
√
5x−1 = 2x
√
22x+1
13. Resolva as seguintes equac¸o˜es logar´ıtmicas:
(a) 2 log x = 1 + log(x− 1, 6)
(b) log
√
5x+ 1 + log
√
7x+ 4 = 1 + log 2
(c) log2(x− 3) = 3
(d) log(2x− 5)− log x = 1
(e) log(x− 4) + log(x+ 4) = log 6x
14. Resolva as inequac¸o˜es:
(a) log 1
2
(x− 7) > log 1
2
(3x+ 1)
(b) log(x2 − x− 1) > log(x− 5)
(c) log5
(
x
2
+ 1
)
≤ log5 2x
(d) log3(2x+ 1) ≤ 1
(e) log0,5(x+ 1) > −1
(f) log4(log2 x) > 1
8.3. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 105
8.3 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
8.3.1 16a LISTA
1. (a) crescente (b) decrescente (c) crescente (d) crescente
2. (b)
3.
106 MO´DULO 8. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
4. Duas soluc¸o˜es.
5. (d)
6.
(a) S = {5}
(b) S = {4/3}
(c) S = {1/2}
(d) S = {5/4}
(e) S = {3/4}
(f) S = {4}
(g) S = {1, 2}
(h) S = {2, 3}
(i) S = {2}
(j) S = {1/2}
(k) S = {2}
(l) S = {2}
7.
(a) S = {x ∈ IR | x < 3}
(b) S = {x ∈ IR | − 3 < x < 3}
(c) S = {x ∈ IR | x 6= 1
(d) S = {x ∈ IR | − 3/4 ≤ x ≤ 2/3}
(e) S = {x ∈ IR | x ≥ 16/11}
(f) S = {x ∈ IR | x ≤ 0 ∨ x ≥ 1}
(g) S = {x ∈ IR | − 1/4 < x < 1/2}
8. D = {x ∈ IR | x > 3}
9. S = {x ∈ IR | 2 < x ≤ 3}
8.3.2 17a LISTA
1. (a) 4 (b) −2 (c) 3 (d) 10/9
2. (a) x = 2 (b) x =
√
32 (c) x = 3 (d) x = 0.2
3. A = 31/8
4. (a) S = {x ∈ IR | x < 1/2} (b) S = {x ∈ IR | 0 < x < 1 ∧ x 6= 1/9 ∨ x > 3}
5. (a) 2 (b) 0.37
6. (a) 1.1761 (b) 1.6902 (c)2.0333 (d)1.12155
7. 35
24
log a 8. 2 9. 1.609
8.3. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 107
10.
11.
(a) D = {x ∈ IR | x > 2}
(b) D = {x ∈ IR | x > 3 ∧ x 6= 4}
(c) D = {x ∈ IR | x > 3}
(d) D = {x ∈ IR | x < −3}
12.
(a) x =
log 7
log 5
= 1, 209
(b) x =
1
5
(
log 0, 08
log 0, 17
− 1
)
= 0, 085
(c) x =
log 5
11
log 23
59
= 0, 837
(d) x =
log 2 + 2 log 5
2 log 5− 2log2 = 2, 135
13. (a) 8 ∧ 2 (b) 3 (c) 11 (d) ∅ (e) 8
14.
(a) S = {x ∈ IR | x > 7}
(b) S = {x ∈ IR | x > 5}
(c) S = {x ∈ IR | x ≥ 2/3}
(d) S = {x ∈ IR | − 1/2 < x ≤ 1}
(e) S = {x ∈ IR | x > 1}
(f) S = {x ∈ IR | x > 16}
108 MO´DULO 8. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
8.4 SEXTA LISTA DE REVISA˜O
1. Qual das sentenc¸as abaixo define uma func¸a˜o crescente em IR ?
(a) y = 2− x (b) y = x2 − 1 (c) y = |x| (d) y =
(
5
4
)x
(e) y = −x3
2. Construa os gra´ficos das seguintes func¸o˜es exponenciais:
(a) f(x) = 3x+
1
2 (b) f(x) = 21−x
3. Para que valores de m a func¸a˜o f(x) = 2 ·mx e´ crescente ?
4. Resolva as seguites equac¸o˜es exponenciais:
(a) 53x−1 = 1
(b) 23x+2 = 2
(c) 81x−2 = 27
(d)
(
4
25
)x−1
=
8
125
(e) 473x−1 = 133x−1
(f) 23
x
= 512
(g) (0, 064)x =
16
625
(h)
√
3x−1 = 3
√
3x
(i) 32x − 10 · 3x + 9 = 0
(j) 4 · 2x+3 = 384 · 3x−3
(k) 2x − 2x−4 = 5
24
· (3x − 3x−2)
5. Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
(a)
(
1
3
)2x−1
≤
(
1
3
)x+4
(b) 5x
2−4x >
1
125
(c) 4x + 4 > 5 · 2x
(d)
(
1
2
)x2+2
<
(
1
4
)x
(e)
2x + 5
x2 − 1 < 0
6. Determine o domı´nio da func¸a˜o y =
√
2x − 1 +
√
2−x − 1
4
.
7. Considere as func¸o˜es f(x) = 9x
2−1, g(x) = 2431−x e h(x) = x2 + 6x+ 9.
Se A = {x ∈ IR | f(x) ≤ g(x)} e B = {x ∈ IR | h(x) > 0}, encontre o conjunto B − A.
8. Determine o conjunto-soluc¸a˜o do sistema
{
2x−3 > 16
x2 − 9 ≥ 0.
9. Sob certas condic¸o˜es, uma populac¸a˜o de microorganismos cresce obedecendo a` lei P =
C · 3kt, na qual t e´ o nu´mero de horas, P e´ o nu´mero de t = 10, determine C e k.
8.4. SEXTA LISTA DE REVISA˜O 109
10. Determine, pela definic¸a˜o, o valor dos seguintes logaritmos:
(a) log3
√
27 (b) log3
3
√
9 (c) log 1
7
1
343
(d) log512
√
2
11. Determine o valor de x em cada um dos casos:
(a) logx 16 = 2 (b) logx
1
25
= 2 (c) log 2
3
x = 3 (d) log0.5 x = 2
12. Para um determinado valor de 4a, sabe-se que o logaritmo de 8a+ 1, em uma base que
e´ o triplo de a, e´ 2. Determine a.
13. Determine x para que exista:
(a) log6x(x
2 − 3x− 4) (b) logx+2(2x− 7) (c) log2x−8(x2 − 3x− 10)
14. Determine o domı´nio de cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) f(x) = log3(4− x)
(c) f(x) = log(2−x)(x+ 1)
(b) f(x) = log(5x− 4)
(d) f(x) = logx(−2x+ 5)
15. Esboce os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
(a) y = log2(x+ 1)
(b) y = log3(x− 2)
(c) y = log 1
2
x
(d) y = log 1
2
(x+ 1)
(e) y = log 1
2
(x− 1)
16. Resolva as equac¸o˜es exponenciais por meio de logaritmos:
(a) (0.052)x = 0.00741
(b) x+1
√
2 · x−1√3 = x√6
(c)
(
3
5
)x+1
·
(
5
6
)
·
(
2
3
)x+3
=
(
2
9
)x+4
(d) 57
x
= 425
17. Resolva as equac¸o˜es logar´ıtmicas:
(a) log x = 2 log a+ 3 log b
(b) log x = 1
2
log a− 1
3
log b
(c) 2 log x = 1 + log(2, 4− x)
(d) log(x+ 3) + log(x− 3) = log 16
(e) log4 x+ log4 x
2 = 12
(f) (log x)2 − 3 log x = −2
(g) ((log2)(x− 1))2 − 5 log2(x− 1) = 0
18. Resolva as inequac¸o˜es:
110 MO´DULO 8. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
(a) log0.1(x
2 + 1) < log0.1(2x− 5)
(b) log2(5x− 1) <
1
2
(c) log3(2x− 5) < log3 x
(d) log2(x
2 − 6x) > log2(x− 6)
(e) log 1
3
x+ log 1
3
(x− 1) > log 1
3
(x+ 3)
(f) log 1
3
(x2 − 8x) > −2
(g) 2(log 1
2
x)2 − log 1
2
x > 6
8.4. SEXTA LISTA DE REVISA˜O 111
8.4.1 RESPOSTAS DA 6a LISTA DE REVISA˜O
1. (d)
2.
3. {m ∈ IR | m > 1}
4.
(a) S = {1/3}
(b) S = {−1/3}
(c) S = {11/4}
(d) S = {5/2}
(e) S = {1/3}
(f) S = {2}
(g) S = {4/3}
(h) S = {3}
(i) S = {2, 0}
(j) S = {2}
(k) S = {4}
5.
(a) S = {x ∈ IR | x ≥ 5}
(b) S = {x ∈ IR | x < 1 ∨ x > 3}
(c) S = {x ∈ IR | x < 0 ∨ x > 2}
(d) S = IR
(e) S = {x ∈ IR | − 1 < x < 1}
6. D = {x ∈ IR | 0 ≤ x ≤ 2}
7. B − A = {x ∈ IR | x < −3 ∨ x > 1/2}
8. S = {x ∈ IR | x > 7}
9. C = 2, k = 1/2
10. (a)3/2 (b)2/3 (c)3 (d)1/18
11. (a)4 (b)1/5 (c)8/27 (d)0.25
12. 1
13. (a) S = {x ∈ IR | x > 4} (b) S = {x ∈ IR | x > 7/2} (c) S = {x ∈ IR | x > 5}
14.
(a) S = {x ∈ IR | x < 4}
(b) S = {x ∈ IR | x > 4/5}
(c) S = {x ∈ IR | − 1 < x < 2 ∧ x 6= 1}
(d) S = {x ∈ IR | 0 < x < 5/2 ∧ x 6= 1}
15.
112 MO´DULO 8. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
16. (a) x =
log 0.00741
log 0.052
= 1.659 (b) −4.419 (c) −9.679 (d) 0.68
17. (a) a2b3 (b)
√
a
3√
b
(c) 2 (d) 5 (e) 256 (f) 10 e 100 (g) 2 e 33
8.4. SEXTA LISTA DE REVISA˜O 113
18.
(a) S = {x ∈ IR | x > 5/2}
(b) S = {x ∈ IR | 1/5 < x < (1 +√2)/5}
(c) S = {x ∈ IR | 5/2 < x < 5}
(d) S = {x ∈ IR | x > 6}
(e) S = {x ∈ IR | 1 < x < 3}
(f) S = {x ∈ IR | − 1 < x < 0 ∨ 8 < x < 9}
(g) S = {x ∈ IR | x > √8 ∨ 0 < x < 1/4}
114 MO´DULO 8. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL E FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA
Mo´dulo 9
SEGUNDA PROVA
1. Sejam os nu´meros complexos z = 2 + 4i e w = 1− i. Calcule
(
z
w
)2
.
2. Na divisa˜o de um polinoˆmio P (x) pelo binoˆmio x+a usou-se o dispositivo de Briot-Ruffini
e encontrou-se:
1 p −3 4 −5
−2 q −4 5 r 7 .
Quais sa˜o os valores de “r”, “q”, “p” e “a”?
3. Construa o gra´fico de f(x) = |2x− 1|+ x− 2.
4. Dadas as func¸o˜es f(x) = 5x+1 e g(x) = 6x−4, calcule o valor de x tal que f−1(g(x)) = 0.
5. Um empregado esta´ executando sua tarefa com mais eficieˆncia a cada dia. Suponha que
N = 640(1− 2−0,5t) seja o nu´mero
de unidades fabricadas por dia por esse empregado, apo´s
t dias do in´ıcio do processo de fabricac¸a˜o. Determine o valor de t1 se, para t = t1, N = 635.
6. Se x1 e x2 sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o 3
x + 3−x = 4, sendo x1 > x2, escreva x1− x2 na forma
logc(a+ b), onde a, b e c sa˜o nu´meros reais.
7. Determine o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
√
1 + log0,1(3x− 8).
115
116 MO´DULO 9. SEGUNDA PROVA
9.1. RESOLUC¸A˜O DA PROVA 117
9.1 RESOLUC¸A˜O DA PROVA
1. z = 2 + 4i w = 1− i
z
w
=
2 + 4i
1− i =
2 + 4i
1− i
1 + i
1 + i
=
2 + 4i+ 2i− 4
1 + 1
=
6i− 2
2
= 3i− 1(
z
w
)2
= (3i− 1)2 = −9− 6i+ 1 = −8− 6i
2.
q = 1 (−2).1 + p = −4 (−2).5 + 4 = r
a = −2 p = −2 r = −10 + 4 = −6
3.f(x) = |2x− 1|+ x− 2
2x− 1 = 0⇒ x = 1
2
⇒ |2x− 1| =

2x− 1, x ≥ 1
2
−2x+ 1, x < 1
2
f(x) =

2x− 1 + x− 2, x ≥ 1
2
−2x+ 1 + x− 2, x < 1
2
=

3x− 3, x ≥ 1
2
−x− 1, x < 1
2
4. f(x) = 5x+ 1 f−1(g(x)) = 0
g(x) = 6x− 4
y = 5x+ 1⇒ x = y − 1
5
⇒ f−1(x) = 1
5
y − 1
5
f−1(g(x)) =
1
5
(6x− 4)− 1
5
=
6
5
x− 4
5
− 1
5
=
6
5
x− 1
118 MO´DULO 9. SEGUNDA PROVA
f−1(g(x)) = 0⇒ 6
5
x− 1 = 0⇒ x = 5
6
5.
N = 640 (1− 2−0,5t)
635 = 640 (1− 2−0,5t)
635
640
= 1− 2−0,5t ⇒ 0, 9921875 = 1− 2−0,5t
2−0,5t = 0, 0078125⇒ −0, 5t ln 2 = ln[0, 0078125]
t = −2 ln[0, 0078125]
ln 2
= −2 (−4, 8520)
0, 6932
≈ 14 dias.
6.
3x + 3−x = 4⇒ 3x + 1
3x
= 4⇒ 32x + 1 = 4 · 3x
32x − 4 · 3x + 1 = 0⇒ u2 − 4u+ 1 = 0, onde u = 3x
u =
4±√16− 4
2
=
4± 2√3
2
⇒
{
u1 = 2 +
√
3
u2 = 2−
√
3
3x1 = 2 +
√
3⇒ log3 3x1 = log3 (2 +
√
3)
x1 = log3 (2 +
√
3), x2 = log3 (2−
√
3)
x1 − x2 = log3 (2 +
√
3)− log3 (2−
√
3)
= log3
(
2 +
√
3
2−√3
)
2 +
√
3
2−√3 =
2 +
√
3
2−√3 .
2 +
√
3
2 +
√
3
=
4 + 4
√
3 + 3
4− 3
= 7 + 4
√
3
x1 − x2 = log3 (7 + 4
√
3)
7. f(x) =
√
1 + log0,1 (3x− 8)
1 + log0,1 (3x− 8) ≥ 0⇒ log0,1 (3x− 8) ≥ −1 = log0,1 10.
Como a base (0, 1) e´ menor que 1, a func¸a˜o logar´ıtmica e´ decrescente. Portanto,
log0,1 (3x− 8) ≥ log0,1 10⇒ 3x− 8 ≤ 10
3x ≤ 10 + 8⇒ 3x ≤ 18⇒ x ≤ 18
3
= 6
Ale´m disso,
3x− 8 > 0⇒ 3x > 8⇒ x > 8
3
Logo,
Df =
{
x ∈ IR | 8
3
< x ≤ 6
}
9.2. PONTUAC¸A˜O DA PROVA 119
9.2 PONTUAC¸A˜O DA PROVA
1aQ : 1.2 p ( Se so
(
z
w
)
for calculado corretamente, atribuir 0.5 p a` questa˜o)
2aQ : 1.4 p
3aQ : 1.2 p ( Se os calculos estiverem corretos, porem o grafico for construido de forma
incorreta, atribuir 0.7 p a` questa˜o)
4aQ : 1.4 p
5aQ : 1.4 p
6aQ : 1.8 p ( Se o resultado esta incorreto, mas as raızes foram calculadas corretamente,
atribuir 0.9 p a` questa˜o)
7aQ : 1.6 p
OBS: Em caso de erro de conta em uma dada questa˜o, retire 0.2 p.
120 MO´DULO 9. SEGUNDA PROVA
Mo´dulo 10
Geometria Plana - Pol´ıgonos
10.1 DE´CIMA OITAVA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Classifique cada afirmac¸a˜o a seguir como verdadeira (V) ou falsa (F):
(a) Dois pontos quaisquer sa˜o sempre colineares. ( )
(b) Uma reta que tem um ponto comum com um plano esta´ contida nele. ( )
(c) Uma reta qualquer de um plano divide-o em dois semi-planos. ( )
(d) Duas retas distintas que teˆm um ponto em comum sa˜o retas concorrentes. ( )
(e) Duas retas distintas que na˜o teˆm ponto em comum sa˜o retas paralelas. ( )
(f) Duas retas coplanares sa˜o concorrentes. ( )
(g) Duas retas que esta˜o num plano sa˜o paralelas. ( )
(h) Se duas retas sa˜o ortogonais, toda reta paralela a uma delas forma aˆngulo
reto com a outra. ( )
(i) Por um ponto passam infinitas retas. ( )
(j) Por treˆs pontos dados passa uma so´ reta. ( )
(k) Treˆs pontos distintos sa˜o sempre coplanares. ( )
(l) Dois aˆngulos adjacentes sa˜o opostos pelo ve´rtice. ( )
(m) Dois aˆngulos suplementares sa˜o adjacentes. ( )
(n) Dois aˆngulos complementares sa˜o adjacentes. ( )
(o) Dois aˆngulos adjacentes sa˜o complementares. ( )
(p) Os aˆngulos de medida 30o e 60o sa˜o complementares. ( )
(q) Os aˆngulos de medida 60o e 90o sa˜o suplementares. ( )
2. Deˆ a medida do aˆngulo que vale o dobro do seu complemento.
3. Calcule um aˆngulo, sabendo-se que um quarto do seu suplemento vale 36o.
121
122 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
4. Determine o valor de dois aˆngulos colaterais internos formado por duas retas paralelas
interceptadas por uma transversal, sabendo que a diferenc¸a entre eles e´ 40o.
5. Duas retas sa˜o cortadas por uma transversal. A soma de todos os aˆngulos agudos e´ 84o.
Calcule os aˆngulos obtusos.
6. Calcule o valor de x e, a seguir, os aˆngulos y e z:
7. Sendo r e s retas paralelas, calcule os aˆngulos indicados (por letras):
8. As retas r e s sa˜o paralelas, determine x e y:
10.2. DE´CIMA NONA LISTA DE EXERCI´CIOS 123
10.2 DE´CIMA NONA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Classifique em V (verdadeira) ou F (falsa):
(a) Se dois segmentos sa˜o consecutivos, enta˜o eles sa˜o colineares. ( )
(b) Se dois segmentos sa˜o colineares, enta˜o eles sa˜o consecutivos. ( )
(c) Se dois segmentos sa˜o adjacentes, enta˜o eles sa˜o colineares. ( )
(d) Se dois segmentos sa˜o colineares, enta˜o eles sa˜o adjacentes. ( )
(e) Se dois segmentos sa˜o adjacentes, enta˜o eles sa˜o consecutivos. ( )
(f) Se dois segmentos sa˜o consecutivos, enta˜o eles sa˜o adjacentes. ( )
(g) O nu´mero de diagonais de um pol´ıgono depende da congrueˆncia de seus lados. ( )
(h) Todo segmento e´ menor que qualquer poligonal de mesmos extremos. ( )
(i) Toda linha poligonal convexa e´ menor que qualquer linha poligonal
envolvente de mesmos extremos. ( )
(j) O triaˆngulo equila´tero e´ o u´nico que apresenta treˆs diagonais. ( )
2. Quantas diagonais podemos trac¸ar do mesmo ve´rtice de um enea´gono?
3. Em que pol´ıgono podemos trac¸ar 16 diagonais do mesmo ve´rtice?
4. Qual e´ o pol´ıgono convexo em que o nu´mero de lados e´ a metade do nu´mero de diagonais?
5. Calcule a soma dos aˆngulos internos de um hexa´gono.
6. Calcule a soma dos aˆngulos externos de um icoxa´gono.
7. Um pol´ıgono possui a partir de seus ve´rtices tantas diagonais quantas sa˜o as diagonais de
124 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
um hexa´gono. Ache:
(a) o pol´ıgono;
(b) o total de diagonais;
(c) a soma dos aˆngulos internos;
(d) a soma dos aˆngulos externos;
(e) a medida de cada aˆngulo interno e de cada aˆngulo externo.
8. ABCDE e´ um penta´gono convexo no qual Aˆ = 135o, Dˆ = 110o e Eˆ = 80o. Calcule os
outros aˆngulos internos, sabendo-se que eles diferem de 75o.
9. Qual e´ o per´ımetro de um quadrila´tero cujos lados sa˜o, respectivamente, 1o lado: lado de
um triaˆngulo equila´tero de 27cm de per´ımetro; 2o lado: lado de um penta´gono regular de
35cm de per´ımetro; 3o lado: lado de um hexa´gono regular de 30cm de per´ımetro; 4o lado:
lado de um hepta´gono regular de 42cm de per´ımetro?
10. Os aˆngulos externos de um quadrila´tero medem, respectivamente, 80o, 65o, 85o e 130o.
Quanto medem os aˆngulos internos desse quadrila´tero?
11. A diferenc¸a entre as medidas de dois aˆngulos consecutivos de um paralelogramo e´ 50o.
Calcule os aˆngulos desse paralelogramo.
12. As bissetrizes dos aˆngulos internos da base maior de um trape´zio iso´sceles cortam-se
formando um aˆngulo que mede 100o. Quanto medem os aˆngulos desse trape´zio?
10.3 VIGE´SIMA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
(a) Todo triaˆngulo iso´sceles e´ equila´tero. ( )
(b) Todo triaˆngulo equila´tero e´ iso´sceles. ( )
(c) Um triaˆngulo escaleno pode ser iso´sceles. ( )
(d) Todo triaˆngulo iso´sceles e´ triaˆngulo acutaˆngulo. ( )
(e) Todo triaˆngulo retaˆngulo e´ triaˆngulo escaleno. ( )
(f) Existe triaˆngulo retaˆngulo e iso´sceles. ( )
2. Considere os triaˆngulos que seguem. Assinale os pares de triaˆngulos congruentes e indique
o caso de
congrueˆncia.
10.3. VIGE´SIMA LISTA DE EXERCI´CIOS 125
3. Um dos aˆngulos externos da base de um triaˆngulo iso´sceles mede 154o. Quanto medem
os aˆngulos desse triaˆngulo?
4. Um triaˆngulo retaˆngulo e´ iso´sceles. Quanto medem seus aˆngulos agudos?
5. Num triaˆngulo ABC, as bissetrizes internas dos aˆngulos B e C formam um aˆngulo que
mede 130o. Calcule as medidas de todos os aˆngulos do triaˆngulo, sabendo que a diferenc¸a
entre as medidas de B e C e´ 20o.
6. A altura relativa a` hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo forma com a mediana trac¸ada
do ve´rtice do aˆngulo reto um aˆngulo que mede 20o. Calcule os aˆngulos agudos desse triaˆngulo.
126 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
7. Na figura que segue, o triaˆngulo ABC e´ congruente ao triaˆngulo CDE. Determine o valor
de α e de β.
8. Na figura abaixo, o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em A e o triaˆngulo DEC e´ retaˆngulo em
D. Sabendo que AB = 8cm, AC = 15cm, BC = 17cm e CD = 3cm, determine DE.
9. Na figura abaixo, sabe-se que Qˆ ≡ Bˆ, AP = 7cm, AQ = 5cm, PQ = 4cm e AB =
10cm. Determine AC e BC.
10.3. VIGE´SIMA LISTA DE EXERCI´CIOS 127
10. Determine x nos casos:
11. A altura relativa a` hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo mede 4, 8m e a hipotenusa
mede 10m. Calcule as medidas dos catetos.
12. Calcule a, b, c e d no triaˆngulo retaˆngulo da figura abaixo:
13. Determine x nos casos:
128 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
10.4 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
10.4.1 18a LISTA
1.
(a) V (b) F (c) V (d) V (e) F (f) F (g) F (h) V (i) V (j) F
(k) V (l) F (m) F (n) F (o) F (p) V (q) F
2. 60o 3. 36o 4. 110o e 70o 5.159o
6. (a) x = 15o, y = 115o e z = 115o (b) x = 60o, y = 70o e z = 110o
7. (a) a = c = d = f = 110o e b = g = e = 70o (b) a = c = e = g = 50o e
b = d = f = 130o
8. x = 50o e y = 20o
10.4.2 19a LISTA
1. (a) F (b) F (c) V (d) F (e) V (f) F (g) F (h) V (i) V (j) F
2. 6 3. 19 lados 4. hepta´gono
5. 720o 6. 360o
7. (a) dodeca´gono (b) 54 (c) 1800o (d) 360o (e) ae = 30
o e ai = 150
o
8. 70o e 145o
9. 27cm 10. 100o, 115o, 95o, 50o
11. 65o, 65o, 115o, 115o 12. 80o, 80o, 100o, 100o
10.4.3 20a LISTA
1. (a) F (b) V (c) F (d) F (e) F (f) V
2. T1 ≡ T12 (LAL) T2 ≡ T7 (LAL) T3 ≡ T9 (LAA)
T4 ≡ T11 (ALA) T5 ≡ T8 (LAL) T6 ≡ T10 (LLL)
3. 128o e 26o 4. 45o 5. 80o, 60o e 40o 6. 55o e 35o
7. α = 12o e β = 10o
8. DE = 8
5
cm 9. AB = 14cm e BC = 8cm
10. (a)x = 24 (b)x = 10 11. 6m e 8m
12. x = 8, y = 120
17
, z = 225
17
e t = 64
17
13. (a) x = 2
√
29 (b) x = 6 (c) x = 3
√
5
2
(d) x = 2
10.5. SE´TIMA LISTA DE REVISA˜O 129
10.5 SE´TIMA LISTA DE REVISA˜O
1. A raza˜o entre dois aˆngulos suplementares e´ igual a 2/7. Determine o complemento do
menor.
2. Qual e´ o aˆngulo que excede o seu suplemento de 66o?
3. Duas retas sa˜o cortadas por uma transversal, formando dois aˆngulos colaterais externos
cujas expresso˜es sa˜o: aˆ = 4x+ 20o e bˆ = 2x− 20o. Calcule esses aˆngulos.
4. Calcule os valores dos aˆngulos β e θ para que as retas r e s sejam paralelas:
5. Sendo r//s, calcule a, b e c:
130 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
6. As retas u e v sa˜o paralelas, determine m e n:
7. Sendo r//s, determine α nos casos a seguir:
8. Assinale com V (verdadeira) ou F (falsa) cada afirmac¸a˜o a seguir:
(a) Treˆs pontos distintos determinam treˆs retas distintas.
(b) Duas semi-retas de mesma origem sa˜o sempre colineares.
(c) Por dois pontos distintos sempre passa uma u´nica reta.
(d) Duas retas que sa˜o ortogonais formam aˆngulo reto.
(e) Quatro pontos todos distintos determinam duas retas.
(f) Existe triaˆngulo iso´sceles obtusaˆngulo.
(g) Existe triaˆngulo retaˆngulo equila´tero.
9. Quantas diagonais podemos trac¸ar do mesmo ve´rtice de um deca´gono?
10. Qual o pol´ıgono convexo cujo nu´mero de diagonais e´ o qua´druplo do nu´mero de lados?
11. Calcule a soma dos aˆngulos internos de um dodeca´gono.
12. Qual e´ o pol´ıgono cuja soma dos aˆngulos internos vale o triplo da soma dos aˆngulos
externos?
10.5. SE´TIMA LISTA DE REVISA˜O 131
13. Quanto mede o aˆngulo interno do hexa´gono regular?
14. Na figura, o triaˆngulo ABC e´ congruente ao triaˆngulo CDA. Calcule m e n.
15. A raza˜o entre o aˆngulo externo e o interno de um pol´ıgono e´ 2/3. Qual e´ o pol´ıgono?
16. Na figura, o triaˆngulo ABC e´ congruente ao triaˆngulo CDE. Determine o valor de x e
y e a raza˜o entre os per´ımetros desses triaˆngulos.
17. Na figura seguinte, os triaˆngulos ABC e CDA sa˜o congruentes. Calcule u e v.
132 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
18. Na figura, AD = 2(CD) e DE = 16. Calcule BC, sabendo que DE//BC.
19. Na figura, ABCE e´ um paralelogramo, os aˆngulos Dˆ e Fˆ sa˜o retos e os lados do
paralelogramo medem 10cm e 30cm, respectivamente. Sendo BD = 24cm, determine BF .
20. Na figura que segue, determine d:
10.5. SE´TIMA LISTA DE REVISA˜O 133
21. Determine x e y da figura:
22. Determine o valor de x nos seguintes casos:
134 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
23. Um aˆngulo externo de um paralelogramo mede 38o. Quais sa˜o os aˆngulos desse paralelo-
gramo?
24. Dois aˆngulos de um trape´zio medem 50o e 120o, respectivamente. Calcule os outros dois
aˆngulos.
25. Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo que seu per´ımetro mede 84m e que a
soma dos lados menores representa 2/5 da soma dos lados maiores.
26. A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um aˆngulo igual a` terc¸a parte
de um reto. Determine os quatro aˆngulos do losango.
10.5. SE´TIMA LISTA DE REVISA˜O 135
10.5.1 RESPOSTAS DA 7a LISTA DE REVISA˜O
1. (a) 50o
2. 123o
3. aˆ = 140o e bˆ = 40o
4. (a) β = 80o e θ = 100o (b) β = θ = 134o
5. (a) a = 70o, b = 100o, c = 30o (b) a = 12o, b = 144o, c = 36o
6. m = 20o e n = 30o 7. (a) α = 80o (b) α = 90o
8. (a) F (b) F (c) V (d) V (e) F (f) V (g) F
9. 7 10. undeca´gono(n=11)
11. 1800o 12. octo´gono 13. 120o
14. m = 16, n = 8
15. penta´gono regular
16. x = 14o, y = 10; 1
17. u = 42o, v = 14o
18. BC = 24 19. BF = 8cm
20. l = 7 21. x = 6, y = 10/3
22. (a) x = 3
√
2 (b) x = 2
√
5 (c) x = 11/8 (d) x = 2
√
2
23. 142o e 38o
24. 60o e 130o
25. 30m e 12m
26. 60o e 120o
136 MO´DULO 10. GEOMETRIA PLANA - POLI´GONOS
Mo´dulo 11
Geometria Plana - Circunfereˆncias e
A´rea de Figuras Planas
11.1 VIGE´SIMA PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Qual a posic¸a˜o relativa de duas circunfereˆncias cujos raios medem, respectivamente, 6cm
e 5cm, sendo a distaˆncia dos centros igual a 10cm ?
2. Duas secantes encontram-se num ponto A exterior a uma circunfereˆncia, formando um
aˆngulo que mede 20o. O maior dos arcos interceptados mede 75o. Quanto mede o menor?
3. Duas cordas AB e MN se interceptam num ponto I interior a uma circunfereˆncia.
Sabendo que ÂM = 40o e B̂N = 136o, determine os aˆngulos que as cordas fazem entre si.
4. Observe as figuras e determine:
137
138MO´DULO 11. GEOMETRIA PLANA - CIRCUNFEREˆNCIAS E A´REA DE FIGURAS PLANAS
(a) o arco ÂB (b) o arco P̂Q e o aˆngulo α (c) a, b e c
5. Observe as figuras e determine:
(a) os aˆngulos Aˆ e Cˆ (b) o aˆngulo x e o arco B̂C
6. Na figura, os quatro ve´rtices do quadrila´tero ABCD equidistam de O. Sendo Bˆ = 135o
e Cˆ = 100o, determine Aˆ e Dˆ.
7. Um triaˆngulo ABC esta´ inscrito numa circunfereˆncia. O aˆngulo Aˆ mede 55o. A corda
AB e´ o lado do hexa´gono regular inscrito. Quanto medem os aˆngulos Bˆ e Cˆ desse triaˆngulo?
8. Detemine o arco M na figura:
11.2. VIGE´SIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS 139
9. O quadrila´tero ABCD esta´ inscrito numa circunfereˆncia . Os aˆngulos Aˆ e Bˆ medem,
respectivamente, 84o e 115o. Calcule os aˆngulos Cˆ e Dˆ.
10. Qual o per´ımetro de um triaˆngulo equila´tero inscrito numa circunfereˆncia circunscrita a
um quadrado de 2
√
6m de
lado?
11. Ache a raza˜o entre os per´ımetros dos hexa´gonos regulares inscrito e circunscrito numa
mesma circunfereˆncia.
12. Calcule a distaˆncia entre dois lados paralelos de um hexa´gono regular convexo de 12
√
3m
de per´ımetro.
13. Qual e´ o comprimento da base me´dia de um trape´zio iso´sceles circunscrito, sabendo que
um lado na˜o paralelo mede 15cm ?
11.2 VIGE´SIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. O ponteiro dos minutos num relo´gio tem comprimento de 12cm. Qual e´ a distaˆncia que
a ponta do ponteiro percorre num intervalo de tempo de 20min ?
2. Calcule os comprimentos das circunfereˆncias inscrita e circunscrita num quadrado de lado
2cm.
140MO´DULO 11. GEOMETRIA PLANA - CIRCUNFEREˆNCIAS E A´REA DE FIGURAS PLANAS
3. Calcule a a´rea de um retaˆngulo, sabendo que a base mede 12cm e que a altura e´ igual a
1/3 da base.
4. Uma sala retangular tem 3,6m de largura e 4,2m de comprimento. Quantos tacos de 6cm
de largura por 24cm de comprimento sa˜o necessa´rios para cobrir o piso da sala?
5. A base maior de um trape´zio mede 2,4m e a menor e´ igual a 1/3 da maior. Calcule a a´rea
sabendo que sua altura mede 0,85m.
6. Calcule a a´rea das superf´ıcies assinaladas nas figuras abaixo (em m2):
7. Duas circunfereˆncias sa˜o conceˆntricas. O raio da maior mede 10cm e o da menor, 7cm.
Qual e´ a a´rea da coroa?
8. Calcule a a´rea da regia˜o hachurada abaixo:
9. Calcule a a´rea do terreno a seguir, onde AB = 6cm, AF = 4cm, DE = 3cm, BC = 2cm:
11.2. VIGE´SIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCI´CIOS 141
10. A figura representa parte de um escrito´rio. As duas salas quadradas e o corredor
retangular teˆm, juntos, 40m2 de a´rea. Cada sala tem am de lado e o corredor tem 1m de
largura. Qual a a´rea de cada uma das salas ?
11. Calcule a a´rea da parte sombreada:
12. Calcule a a´rea da parte sombreada sendo PQ = a e R o raio do c´ırculo maior.
142MO´DULO 11. GEOMETRIA PLANA - CIRCUNFEREˆNCIAS E A´REA DE FIGURAS PLANAS
13. Calcule a a´rea das figuras sombreadas:
14. O apo´tema do triaˆngulo equila´tero ABC inscrito no c´ırculo mede
√
3 cm. Calcule a a´rea
sombreada.
11.3. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 143
11.3 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
11.3.1 21a LISTA
1. Secantes 2. 35o 3. 88o e 92o
4. (a) ÂB = 76o (b) P̂Q = 100o e α = 100o (c)a = b = c = 50o
5. (a) Aˆ = 40o e Cˆ = 30o (b) x = 35o e B̂C = 130o
6. Aˆ = 80o e Dˆ = 45o 7. M = 110o
8. Cˆ = 96o e Dˆ = 65o 9. Bˆ = 95o e Cˆ = 30o
10. 18m 11.
√
3
2
12. 6m 13. 15cm
11.3.2 22a LISTA
1. 8picm 2. 2picm e 2pi
√
2cm
3. 48cm2 4. 1050 tacos
5. 1, 36m2 6. (a) 58, 82m2 (b) 40m2 (c) 13, 5pim2
7. 51picm2 8. 3, 44cm2
9. 28cm2 10. 16m2, 16m2 e 8m2
11. (a)
4− pi
4
a2 (b)
pi − 2
2
a2 (c)
4− pi
4
a2 12.
pia2
8
13. (a) 9(pi − 2) (b) 32(pi + 2√3) 14. 3(4pi − 3√3)cm2
144MO´DULO 11. GEOMETRIA PLANA - CIRCUNFEREˆNCIAS E A´REA DE FIGURAS PLANAS
11.4 OITAVA LISTA DE REVISA˜O
1. Ache a posic¸a˜o relativa de duas circunfereˆncias cujos raios medem, respectivamente, 4cm
e 8cm, sendo a distaˆncia de seus centros igual a 3cm.
2. Ache a posic¸a˜o relativa de duas circunfereˆncias cujos raios medem, respectivamente, 9cm
e 2cm, sendo a distaˆncia de seus centros igual a 7cm.
3. Observe as figuras e determine x:
4. Uma roda de uma bicicleta tem diaˆmetro 80cm. Quando essa roda da´ 100 voltas, qual e´
a distaˆncia percorrida pela bicicleta?
5. Uma pista circular esta´ limitada por duas circunfereˆncias conceˆntricas cujos comprimen-
tos valem, respectivamente, 3000m e 2400m. Determine a largura da pista.
11.4. OITAVA LISTA DE REVISA˜O 145
6. O apo´tema do hexa´gono regular inscrito num c´ırculo mede
√
3cm. Calcule a a´rea da
superf´ıcie (em cm2) compreendida entre o hexa´gono e o c´ırculo.
7. Uma das bases de um trape´zio excede a outra de 4cm. Determine as medidas dessas bases
sendo 40cm2 a a´rea do trape´zio e 5cm a altura.
8. O quadrado ABCD possui per´ımetro de 8cm. Calcule a a´rea da figura sombreada,
sabendo-se que as linhas que ligam os pontos B e D sa˜o arcos de circunfereˆncias centradas
em A e C, respectivamente.
9. Calcule a a´rea da figura sombreada:
10. Calcule a a´rea da figura sombreada, em func¸a˜o do raio R do c´ırculo inscrito no triaˆngulo
equila´tero ABC.
146MO´DULO 11. GEOMETRIA PLANA - CIRCUNFEREˆNCIAS E A´REA DE FIGURAS PLANAS
11. Considere o ponto P da diagonal AC do retaˆngulo ABCD e os segmentos EF e GH
paralelos aos lados AB e BC, respectivamente, conforme a figura dada. A a´rea A1 e´ menor,
maior ou igual a A2?
11.4. OITAVA LISTA DE REVISA˜O 147
11.4.1 RESPOSTAS DA 8a LISTA DE REVISA˜O
1. Interiores 2. Tangentes interiores
3. (a) M̂N = 30o, x = 15o (b) x = 35o (c) x = 65o (d) x = 48o
4. 25120 cm 5. ≈ 95m 6. 2(2pi − 3√3)cm2
7. 10 cm e 6 cm 8. 2(4− pi)cm2
9.
pia2
3
10. (3
√
3− pi)R2
11. A1 = A2
148MO´DULO 11. GEOMETRIA PLANA - CIRCUNFEREˆNCIAS E A´REA DE FIGURAS PLANAS
Mo´dulo 12
Trigonometria e Func¸o˜es
Trigonome´tricas
12.1 VIGE´SIMA TERCEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Exprima em radianos:
(a) 30o (b) 60o (c) 90o (d) 270o
2. Expresse em graus:
(a)
pi
5
(b) pi (c)
2pi
3
(d)
3pi
4
3. Determine os quadrantes dos arcos:
(a) 1410o (b)
25pi
3
(c) 3520o (d) −45pi
12
4. Escreva a expressa˜o geral dos arcos que seguem:
(a) 105o (b)
17pi
4
(c) −23pi
4
(d) 30o
5. Classifique as func¸o˜es abaixo, quando for o caso, como par ou ı´mpar:
(a) f(x) = −x2
(b) f(x) = 2x
(c) f(x) = x2 + 3
(d) f(x) = x+ 1
(e) f(x) = x3 − 1
(f) f(x) = 3x
(g) f(x) = −x
3
3
(h) f(x) = 5
149
150 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
6. Classifique como par ou ı´mpar a func¸a˜o representada em cada um dos gra´ficos:
12.2 VIGE´SIMA QUARTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Um dos aˆngulos agudos de um triaˆngulo retaˆngulo mede 60o e o lado oposto a esse aˆngulo,
9m. Quanto medem a hipotenusa e o outro lado?
12.2. VIGE´SIMA QUARTA LISTA DE EXERCI´CIOS 151
2. Determine o valor de x em cada caso:
3. Verifique os sinais de:
(a) sen 18o
(b) sen
pi
3
(c) sen 135o
(d) sen
5pi
6
(e) sen
7pi
6
(f) sen
7pi
4
(g) sen 315o
4. Para cada uma das func¸o˜es que seguem, deˆ o domı´nio, a imagem, o per´ıodo e construa o
gra´fico:
(a) f(x) = 2sen x
(b) f(x) = 1− senx
(c) f(x) = sen 3x
(d) y = sen
x
2
(e) y = |senx|
5. A hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo mede 15cm. Quanto mede o cateto adjacente ao
aˆngulo de 60o?
6. Um barco atravessa um rio de 80m de largura, seguindo uma direc¸a˜o que forma 70o com
a margem de partida. Qual a distaˆncia percorrida pelo barco? Quantos metros, em relac¸a˜o
ao ponto de partida, ele se desloca rio abaixo?
7. Verifique os sinais de:
(a) cos 72o (b) cos 135o (c) cos
7pi
6
(d) cos
7pi
4
8. Calcule:
152 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
(a)
3sen 90o − 2 cos 180o + sen 270o
5 cos 0o + 3sen 360o − 2 cos 90o (b)
2sen
(
−3pi
2
)
+ 3 cospi + 5 cos
(
−9pi
2
)
3sen (−pi) + 4 cos
(
−pi
2
)
− 2sen
(
5pi
2
)
9. Determine o valor de m para que exista o arco x que satisfac¸a a igualdade: cosx = 1−4m.
10. Para cada uma das func¸o˜es que seguem, deˆ o domı´nio, a imagem, o per´ıodo e construa
o gra´fico:
(a) f(x) = 2 cosx
(b) f(x) = −1 + cos 2x
(c) y = | cosx|
(d) y = 2 cos
(
x− pi
3
) (e) y = 1 + 2 cos(3x− pi
2
)
12.3 VIGE´SIMA QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Determine x em cada caso:
2. Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6m de altura, no instante
em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo, horizontal, um aˆngulo de
69o.
3. Determine se existir:
12.3. VIGE´SIMA QUINTA LISTA DE EXERCI´CIOS 153
(a) tg
7pi
6
(b) tg
5pi
2
(c) tg 5pi (d) tg
(
−3pi
4
)
(e) tg
(
−5pi
4
)
4. Deˆ o domı´nio da func¸a˜o f(x) = tg
(
2x+
pi
2
)
5. Sendo sen x = −0, 8 e 180o < x < 270o, determine a tg x.
6. Calcule o valor da expressa˜o y =
tg 2pi − sen 2pi + cos pi
sen pi + cos 2pi − tg pi .
7. Sendo tg x =
√
2
2
, pi < x < 3pi/2, encontre sen x e cos x.
8. Esboce o gra´fico, deˆ o domı´nio, a imagem e o per´ıodo da func¸a˜o f(x) = tg
(
x− pi
4
)
.
9. Calcule o valor de cada expressa˜o:
(a)y =
cotg (pi/3) + tg (pi/3)
tg (pi/6) + cotg (pi/6)
(b)y =
sec pi − sec 2pi
cos pi − sen 2pi
10. Dado senx =
3
5
, calcule cosx, tg x, cotg x, secx e cossecx, sabendo que x e´ um arco do
1o quadrante.
11. O gra´fico que segue representa a func¸a˜o:
(a) y = secx (b) y = senx (c) y = tg x (d) y = cosx (e) y = cossecx
154 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
12. Deˆ o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) = cossec
(
pi
2
− x
)
(b) f(x) = sec
(
pi
4
+ x
)
(c) f(x) = cotg
(
x+
pi
3
)
13. Se x e´ um arco compreendido entre 3pi/2 e 2pi, qual e´ o sinal da expressa˜o
y =
cossecx · cossec (x− pi)
sec(x+ pi/2) · tg (x− pi/2) ?
12.4. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 155
12.4 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
12.4.1 23a LISTA
1. (a)
pi
6
(b)
pi
3
(c)
pi
2
(d)
3pi
2
2. (a) 36o (b) 180o (c) 120o (d) 135o
3. (a) 4o quadrante (b) 1o quadrante (c) 4o quadrante (d) 1o quadrante
4. (a)
7pi
12
+ 2kpi, k ∈ ZZ (b) pi
4
+ 2kpi, k ∈ ZZ (c) pi
4
+ 2kpi, k ∈ ZZ
(d) 30o + k · 360o ou pi
6
+ 2kpi, k ∈ ZZ
5. (a) par (b) na˜o e´ par, nem e´ ı´mpar (c) par (d) na˜o e´ par, nem e´ ı´mpar (e) na˜o e´ par,
nem e´ ı´mpar (f) ı´mpar (g) ı´mpar (h) par
6. (a)´ımpar (b)na˜o e´ par, nem e´ ı´mpar (c)par (d)na˜o e´ par, nem e´ ı´mpar (e)par (f)´ımpar
12.4.2 24a LISTA
1. 3
√
3m 2. (a) x ≈ 5, 1 (b) x ≈ 72, 5o
3. (a) 1oQ (+) (b) 1oQ (+) (c) 2oQ (+) (d) 2oQ (+)
(e) 3oQ (−) (f) 4oQ (−) (g) 4oQ (−)
4. (a) D(f) = IR, Im(f) = {f(x) ∈ IR | − 2 ≤ f(x) ≤ 2} , p = 2pi
(b) D(f) = IR, Im(f) = {f(x) ∈ IR | 0 ≤ f(x) ≤ 2} , p = 2pi
(c) D(f) = IR, Im(f) = {f(x) ∈ IR | − 1 ≤ f(x) ≤ 1} , p = 2pi/3
(d) D(f) = IR, Im(f) = {y ∈ IR | − 1 ≤ y ≤ 1} , p = 4pi
(e) D(f) = IR, Im(f) = {y ∈ IR | 0 ≤ y ≤ 1} , p = pi
156 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
5. 7, 5cm 6. 85, 13m; 29, 11m
7. (a) 1oQ (+) (b) 2oQ (−) (c) 3oQ (−) (d) 4oQ (+)
8. (a) 4/5 (b) 1/2
9. 0 ≤ m ≤ 1/2
10. (a) D(f) = IR, Im(f) = {f(x) ∈ IR | − 2 ≤ f(x) ≤ 2} , p = 2pi
(b) D(f) = IR, Im(f) = [−2, 0] , p = pi
(c) D(f) = IR, Im(f) = {f(x) ∈ IR | 0 ≤ f(x) ≤ 1} , p = pi/3
(d) D(f) = IR, Im(f) = [−2, 2] , p = 2pi
(e) D(f) = IR, Im(f) = {y ∈ IR | − 1 ≤ y ≤ 3} , p = 2pi/3
12.4. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 157
12.4.3 25a LISTA
1. (a) 3, 36m (b) 33, 7o (c) 10cm (d) 5, 82cm
2. 2, 3m
3. (a)
√
3/3 (b) Na˜o existe (c) 0 (d) 1 (e) −1
4. D(f) = {x ∈ IR | x 6= kpi
2
, k ∈ ZZ}
5. 4/3
6. −1
7. senx = −√3/3, cosx = −√6/3
8. D(f) = {x ∈ IR | x 6= 3pi
4
+ kpi, k ∈ ZZ}, Im(f) = IR, p = pi
158 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
9. (a) 1 (b) 2
10. cosx = 4/5, tg x = 3/4, cotg x = 4/3, secx = 5/4, cossecx = 5/3
11. (d)
12. (a) D(f) = {x ∈ IR | x 6= pi
2
− kpi, k ∈ ZZ}
(b) D(f) = {x ∈ IR | x 6= pi
4
+ kpi, k ∈ ZZ}
(c) D(f) = {x ∈ IR | x 6= (3k − 1) · pi
3
, k ∈ ZZ}
13. Negativo
12.5. NONA LISTA DE REVISA˜O 159
12.5 NONA LISTA DE REVISA˜O
1. Exprima em radianos:
(a) 15o (b) 75o (c) 225o (d) 240o
2. Exprima em graus:
(a)
pi
4
(b)
pi
6
(c)
5pi
6
(d)
5pi
3
3. As duas polias da figura giram simultaneamente em torno de seus respectivos centros, por
estarem ligadas por uma correia inextens´ıvel. Quantos graus deve girar a maior polia para
que a menor deˆ uma volta completa?
4. Um peˆndulo de 10cm de comprimento oscila entre P e Q atrave´s de um aˆngulo de 20o.
Qual e´ o comprimento da trajeto´ria descrita por sua extremidade entre A e B?
5. A que quadrante pertence o ponto associado a cada nu´mero real abaixo?
(a)
3pi
5
(b)
5pi
3
(c)
7pi
6
(d) −5pi
3
(e) −5pi
4
(f) −5pi
6
160 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
6. Classifique em par ou ı´mpar as func¸o˜es:
(a) f : IR→ IR definida por y = x2 − 4;
(b) f : IR→ IR definida por f(x) = x
2
;
(c) f : IR→ IR definida por f(x) = x2 + 2x+ 1;
(d) f : IR→ IR definida por f(x) = 1
x3
;
(e) f : IR→ IR definida por y = x5 + 2x;
(f) f : IR→ IR definida por f(x) = −4.
7. Os catetos de um triaˆngulo retaˆngulo medem 2m e
√
12m. Calcule a hipotenusa e os
aˆngulos agudos do triaˆngulo.
8. Quanto mede a hipotenusa de um triaˆngulo retaˆngulo se um dos catetos mede 5cm e o
aˆngulo oposto a esse cateto, 30o?
9. Num triaˆngulo ABC o aˆngulo Bˆ mede 60o, a hipotenusa a, 10cm. Quanto mede o cateto b?
10. Considere o retaˆngulo ABCD abaixo. Determine sua a´rea e o per´ımetro do triaˆngulo
ABC.
11. Determine os valores de x e y na figura abaixo:
12.5. NONA LISTA DE REVISA˜O 161
12. Um observador mira, de um aˆngulo de 60o, o topo de uma torre vertical apoiada num
plano horizontal. Afastando-se 40m do pe´ da torre, passa a mirar seu topo de um aˆngulo de
30o. Calcule a altura da torre.
13. Deˆ o valor de:
(a) sen 150o
(b) sen 780o
(c) sen 210o
(d) sen
13pi
4
(e) cos 300o
(f) cos
9pi
4
(g) cos 310o − cos 50o
(h) cos
11pi
3
(i) tg
4pi
3
14. Verifique o sinal de:
(a) sen 100o
(b) cos
17pi
18
(c) sen
3pi
4
(d) cos 100o
(e) tg
11pi
6
(f) cotg 3pi
(g) tg
5pi
2
(h) tg
5pi
3
15. Deˆ a imagem e o per´ıodo e construa o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
(a) 3 + sen 2x
(b) 1 + cos
x
2
pi
(c) 2 cos
(
x− pi
2
)
(d) 3 cos
(
3x− pi
4
)
16. O gra´fico que segue representa a func¸a˜o:
(a) y = sec x (b) y = cossec x (c) y = cotg x (d) y = |sen x| (e) y = | cos x|
162 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
17. Dada tg
4pi
3
=
√
3, ache cos
4pi
3
, sen
4pi
3
, cotg
4pi
3
e cossec
4pi
3
.
18. Sendo sec x = −2 e x um arco do 2o quadrante, calcule sen x e tg x.
12.5. NONA LISTA DE REVISA˜O 163
12.5.1 RESPOSTAS DA 9a LISTA DE REVISA˜O
1. (a)
pi
12
(b)
5pi
12
(c)
5pi
4
(d)
4pi
3
2. (a) 45o (b) 30o (c) 150o (d) 300o
3. 120o
4. ≈ 3, 49cm
5. (a) 2oquadrante (b) 4oquadrante (c) 3oquadrante (d) 1oquadrante (e) 2oquadrante
(f) 4oquadrante
6. (a) par (b) ı´mpar (c) nem par nem ı´mpar (d) ı´mpar (e) ı´mpar (e) par
7. 4m, 30o, 60o
8. 10cm
9. 5
√
3
10. 200
√
3/3cm2; 20
3
(5 +
√
3)cm
11. x = 3
√
3, y = 6
12. 34, 64m
13. (a) 1/2 (b)
√
3/2 (c) −1/2 (d) −√2/2 (e) 1/2 (f) √2/2 (g) 0 (h) 1/2
(i)
√
3
14. (a) positivo (b) negativo (c) positivo (d) negativo (e) negativo (f) na˜o existe
(g) na˜o existe (h) negativo
15.
(a) Im(f) = [2, 4], p = pi
164 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
(b) Im(f) = [0, 2], p = 4pi
(c) Im(f) = [−2, 2], p = 2pi
(d) Im(f) = [−3, 3], p = 2pi
3
16. (e)
12.5. NONA LISTA DE REVISA˜O 165
17. cos
4pi
3
= −1/2, sen 4pi
3
= −
√
3/2, cotg
4pi
3
=
√
3/3, sec
4pi
3
= −2,
cossec
4pi
3
= −2
√
3/3
18. sen x =
√
3/2, tg x = −√3
166 MO´DULO 12. TRIGONOMETRIA E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS
Mo´dulo 13
Identidades e Func¸o˜es
Trigonome´tricas Inversas
13.1 VIGE´SIMA SEXTA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Verifique as identidades:
(a)
tgx+ tgy
cotgx+ cotgy
= tgx · tgy
(b) cos4 x+ 2sen2x− sen4x = 1
(c) (1 + cotg2x)(1− cos2 x) = 1
(d) sen2x+ tg2x = sec2 x− cos2 x
(e) tg(a+ b) =
tga+ tgb
1 + tga · tgb
2. Simplifique:
(a)
sen(pi − x) + cos
(
pi
2
−
x
)
tg(−x) · cos(pi + x) (b)
√
2sen
(
pi
4
− x
)
(1 + tgx)
secx
3. Calcule o seno de 75o, usando a fo´rmula de adic¸a˜o de arcos.
4. Deˆ os valores de:
(a) cos 15o (b) sen15o (c) tg15o
5. Calcule os valores nume´ricos de:
(a) cossec
5pi
12
(b) cotg
5pi
12
6. Ache cos(a− b), dados tg a = 4
3
e cossec b = −13
12
, com pi < a <
3pi
2
e
3pi
2
< b < 2pi.
167
168 MO´DULO 13. IDENTIDADES E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS INVERSAS
7. Sendo sen a =
3
5
e 0 < a <
pi
2
, calcule cos 2a e tg 2a.
8. Qual o per´ıodo da func¸a˜o y = 2sen2x?
13.2 VIGE´SIMA SE´TIMA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Encontre o valor de : (a) arcsen
1
2
(b) arcsen
(
−1
2
)
2. Encontre o valor de : (a) arccos
1
2
(b) arccos
(
−1
2
)
3. Encontre o valor de arctg 1.
4. Calcule:
(a) cos
(
arcsen
3
5
)
(b) sen
(
arccos
(
−2
3
))
(c) tg
(
arcsec
(
−5
2
))
(d) sen
(
arcsen
√
3
2
)
(e) arctg
(
tg
(
−1
4
))
(f) cotg(arccos 3)
5. Determine:
(a) sen
(
arcsen
1
3
+ arcsen
2
3
)
(b) tg
(
arccos
3
5
− arcsen 5
6
)
6. Determine:
(a) cos
(
2 arccos
5
13
)
(b) sen
(
1
2
arcsen
(
− 7
25
))
7. Determine:
(a) Use a fo´rmula de mudanc¸a de fase para reescrever
√
2 cos 3x+
√
2 sen 3x.
(b) Desenhe o gra´fico de f(x) =
√
2 cos 3x+
√
2 sen 3x.
13.3. VIGE´SIMA OITAVA LISTA DE EXERCI´CIOS 169
13.3 VIGE´SIMA OITAVA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) senx = −1
(b) cos x = +1
(c) cos x = −
√
3
2
(d) tg x = 1
(e) tg x = −√3
(f) 2 cosx = +1
(g) sen
(
2x+
pi
3
)
=
√
3
2
(h) sen 6x+ sen 2x = 0
(i) tg
(
2x− pi
6
)
− tg
(
x+
pi
3
)
= 0
(j) 2 cossec x = 4
(k)
√
3 cotgx = 1
2. Encontre todas as soluc¸o˜es no intervalo [0, 2pi) para 2 sen2u + senu = 0.
170 MO´DULO 13. IDENTIDADES E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS INVERSAS
13.4 RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS
13.4.1 26a LISTA
2. (a) 2 (b) cos 2x 3.
√
6 +
√
2
4
4. (a)
√
6 +
√
2
4
(b)
√
6−√2
4
(c) 2−√3
5. (a)
√
6−√2 (b) 2 +√3 6. 33/65
7. cos 2a = 7/25; tg 2a = 24/7 8. pi
13.4.2 27a LISTA
1. (a)
pi
6
(b) −pi
6
2. (a)
pi
3
(b)
2pi
3
3.
pi
4
4. (a)
4
5
(b)
√
5
3
(c)
√
21
2
(d)
√
3
2
(e) −1
4
(f) Na˜o e´ definida
5. (a)
√
5 + 4
√
2
9
(b)
125
√
11− 432
301
6. (a) −119
169
(b) −
√
2
10
7. (a) 2 cos
(
3x − pi
4
)
(b)
13.4. RESPOSTAS DOS EXERCI´CIOS 171
13.4.3 28a LISTA
1.(a) S = {x ∈ IR | x = 2kpi + 3pi
2
, k ∈ ZZ}
(b) S = {x ∈ IR | x = 2kpi, k ∈ ZZ}
(c) S = {x ∈ IR |x = 2kpi ± 5pi
6
, k ∈ ZZ}
(d) S = {x ∈ IR | x = kpi + pi
4
, k ∈ ZZ}
(e) S = {x ∈ IR | x = kpi + 2pi
3
, k ∈ ZZ}
(f) S = {x ∈ IR | x = 2kpi ± pi
3
, k ∈ ZZ}
(g) S = {x ∈ IR | x = kpi ∨ x = kpi + pi
6
, k ∈ ZZ }
(h) S = {x ∈ IR | x = kpi
4
∨ x = kpi
2
+
pi
4
, k ∈ ZZ }
(i) S = {x ∈ IR | x = kpi + pi
2
, k ∈ ZZ }
(j) S = {x ∈ IR | x = 2kpi + pi
6
∨ x = 2kpi + 5pi
6
, k ∈ ZZ }
(k) S = {x ∈ IR | x = 2kpi + pi
3
∨ x = 2kpi + 4pi
3
, k ∈ ZZ }
2. 0, pi,
7pi
6
,
11pi
6
.
172 MO´DULO 13. IDENTIDADES E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS INVERSAS
13.5 DE´CIMA LISTA DE REVISA˜O
1. Determine a medida do aˆngulo α:
2. No triaˆngulo ABC da figura, determine as medidas de AB e BC:
3. Calcule o per´ımetro do quadrila´tero ABCD abaixo:
13.5. DE´CIMA LISTA DE REVISA˜O 173
4. Calcule o valor de a em cada caso:
(a) (b)
5. Determine o terceiro lado de um triaˆngulo, sabendo que entre os lados de 4cm e 6cm
forma-se um aˆngulo cujo cosseno e´
√
2
3
.
6. Encontre os valores de AC e Aˆ na figura. O que pode ser dito sobre o triaˆngulo ABC?
7. As diagonais de um paralelogramo formam entre si um aˆngulo de 30o e seus comprimentos
sa˜o 2
√
3cm e 4cm. Determine o per´ımetro desse paralelogramo.
8. Verifique as identidades:
(a) cotg(a+ b) =
cotg a · cotg b− 1
cotg a+ cotg b
para
{
a, b 6= kpi, k ∈ ZZ
(a+ b) 6=, k ∈ ZZ
(b) sen(a+ b) · sen(a− b) = sen2 a− sen2 b
(c) sen 3a = 3 sen a− 4 sen2 a
9. Calcule o cosseno e a tangente de 75o, usando a fo´rmula de adic¸a˜o de arcos.
174 MO´DULO 13. IDENTIDADES E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS INVERSAS
10. Sejam α um arco do 1o quadrante e β um arco do 2o quadrante, tais que cos α = 0, 8 e
sen β = 0, 6. Determine o valor de sen(α + β).
11. Dado sen a =
3
5
e sen b =
4
5
, calcule cos(a+ b), sendo a e b do 1o quadrante.
12. Simplifique a expressa˜o y =
sen(2pi − x) · cos
(
x− pi
2
)
tg(x− pi) · sen
(
3pi
2
− x
) .
13. Dado sen a =
4
5
, e sendo a do 1o quadrante, calcule sen 2a, cos 2a e tg 2a.
14. Sendo sen x = −3
4
e pi < x <
3pi
2
, calcule sen 2x
15. Dada tg x =
√
2− 1, calcule tg 2x.
16. Sendo sen x− cos x = 1
2
, determine sen 2x.
17. Se tg
x
2
= 2−
√
3, calcule senx.
18. Dado cos 2a =
1
2
e 0 < a <
pi
2
, calcule tg
a
2
.
19. Calcule a em cada uma das figuras:
13.5. DE´CIMA LISTA DE REVISA˜O 175
20. Dois observadores, A e B, veˆem um bala˜o no ponto C, respectivamente, sob aˆngulos
visuais de 20o e 40o, conforme indica a figura. Sabendo que a distaˆcia entre A e B e´ de 200m,
calcule h.
21. Na figura seguinte, temos PR = 4 e QS = 7. Nessas condic¸o˜es, determine a a´rea do
paralelogramo QSRT .
22. Simplifique as expresso˜es:
(a)
cos(−α)− cos(pi − α) · cos(pi + α)
sen
pi
2
+ cos(pi + α)
(b)
sen(2pi − α)− sen(pi + α) · sen(pi − α) · cos(pi + α)
sen(pi − α) + cos(pi − α)
(c)
1 + tg2 x
1− tg2 x · (cos
2 x− sen2 x), tg x 6= ±1
(d)
sen3 x+ senx cos2 x
sen2x
, senx 6= 0
(e)
cos2 x
1 + sen x
, senx 6= −1
(f)
sec x− cos x
cossecx− senx
23. Deˆ o per´ıodo e o conjunto-imagem e esboce o gra´fico de:
(a) f(x) =
∣∣∣∣sen(x− pi2
)∣∣∣∣ (b) f(x) = (senx+ cos x)2
24. Determine o domı´nio das func¸o˜es:
(a) f(x) =
cos x
1− cotg x (b) f(x) =
√
sen
(
x− pi
4
)
, para 0 ≤ x− pi
4
< 2pi
176 MO´DULO 13. IDENTIDADES E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS INVERSAS
25. Se tg x+ cotg x = 3, calcule sen 2x.
26. Dado cos x =
√
2
2
e
3pi
2
< x < 2pi, ache sen x e tg x.
27. Encontre o valor de:
(a) arcsen
(
−
√
3
2
)
(b) arcsec
(
− 2√
3
)
(c) arctg
(
− 1√
3
)
(d) sen(arctg 2)
(e) cos
(
arcsen
2
3
)
(f) arcsen
(
sen
pi
3
)
28. Calcule:
(a) cos
(
2 arcsen
2
3
)
(b) sec
(
2 arctg
1
2
) (c) cos
(
arccos
3
5
− arcsen 12
13
)
(d) tg
(
arctg
3
4
+ arcsen
7
25
)
29. Use a fo´rmula de mudanc¸a da fase para reescrever: 3 cos 4x+
√
3 sen 4x.
13.5. DE´CIMA LISTA DE REVISA˜O 177
13.5.1 RESPOSTAS DA 10a LISTA DE REVISA˜O
1. α = 105o 2. AB = 7, 42 e BC = 4, 99 3. 53, 23
4. (a) 2
√
6 (b) 8
5. 2
√
13− 4√2
6. AC = 1 e Aˆ = 60o; o triaˆngulo e´ retaˆngulo.
7. 2 + 2
√
13
9. cos 75o =
√
6−√2
4
, tg 75o = 2 +
√
3
10. 0 11. 0 12. senx
13. sen 2a = 24/25, cos 2a = −7/25, tg 2a = −24/7
14. 3
√
7/8 15. 1
16. 3/4 17. 1/2 18. 0, 268
19. (a) a =
√
3 + 1 (b) a = 30o
20. 50, 77 21. 7
√
3
22. (a) cos α (b) senα (c) 1 (d) cossecx (e) 1− senx (f) tg3 x
23. (a) p = 2pi, Im(f) = [0, 1] (b) p = pi, Im(f) = [0, 2]
24. (a) D(f) = {x ∈ IR | x 6= kpi ∧ kpi + pi
4
, K ∈ ZZ}
(b) D(f) =
{
x ∈ IR | pi
4
≤ x ≤ 5pi
4
}
25. 2/3 26. senx =
√
2/2, tg x = −1
27. (a) −pi
3
(b)
7pi
6
(c) −pi
6
(d)
2
√
5
5
(e)
√
21
5
(f)
pi
3
28. (a)
1
9
(b)
5
3
(c)
63
65
(d)
4
3
178 MO´DULO 13. IDENTIDADES E FUNC¸O˜ES TRIGONOME´TRICAS INVERSAS
29. 2
√
3 cos
(
4x− pi
6
)
Mo´dulo 14
TERCEIRA PROVA
1. Ache a altura de uma torre cuja sombra tem 3m no mesmo instante em que um basta˜o
de 50cm produz uma sombra de 20cm.
2. O trape´zio ABCD da figura que segue esta´ inscrito em uma circunfereˆncia de raio 1 e
AD conte´m o centro O. Quanto vale a sua a´rea?
3. Se a = senx e b = cosx, a 6= ±1 e b 6= 0, determine (a+ b)
2 − 1
2(1− a2)(a2 + b2) .
Simplifique o ma´ximo que for poss´ıvel.
4. Na figura abaixo, o triaˆngulo ABC e´ equila´tero e DF e EF sa˜o arcos de circunfereˆncia
de raio r e centros em B e C, respectivamente. Enta˜o, a a´rea da regia˜o sombreada e´:
179
180 MO´DULO 14. TERCEIRA PROVA
5. Sabe-se que h e´ o menor nu´mero positivo para o qual o gra´fico de y = sen(x− h) e´:
Determine o valor de cos
2h
3
.
6. Demonstre a identidade
sen2θ
1− cos 2θ = cotgθ.
7. Calcule cos
(
arcsen
3
5
+ arcsen
5
13
)
14.1. RESOLUC¸A˜O DA PROVA 181
14.1 RESOLUC¸A˜O DA PROVA
1.
h = 50cm, s = 20cm, S = 3m, H =?
Por semelhanc¸a de triaˆngulos,
H
h
=
S
s
⇒ H = Sh
s
H =
300× 50
20
= 750cm = 7, 5m
2. AT =
AD +BC
2
.h, onde AD = 2, h = OC.senθ = 1.senθ = senθ e BC = 2 OC cos θ =
= 2.1. cos θ = 2 cos θ
AT =
2 + 2 cos θ
2
. senθ
AT = (1 + cos θ)senθ
3. a = sen x, a 6= ±1, b = cos x, b 6= 0
(a+ b)2 − 1
2 (1− a2) (a2 + b2) =
(sen x+ cos x)2 − 1
2 (1− sen2x) (sen2x+ cos2 x) =
=
sen2x+ cos2 x+ 2 sen x cos x− 1
2 cos2 x (sen2x+ cos2 x)
=
1 + 2 sen x cos x− 1
2. cos2 x.1
=
=
2 sen x cos x
2 cos2 x
=
sen x
cos x
= tg x
4. AT =
1
2
.BC.AF , onde BC = 2r e AF = h.
Pelo Teorema de Pita´goras, (2r)2 = h2 + r2
h =
√
4r2 − r2 = √3r2 = r√3
Logo, AT =
1
2
2r.r
√
3 = r2
√
3
A´rea de um setor circular: Ac =
1
2
r.r.θ =
1
2
r2θ =
1
2
r2
pi
3
=
1
6
pir2
182 MO´DULO 14. TERCEIRA PROVA
A´rea da figura sombreada: As = AT −2Ac = r2
√
3−21
6
pir2 = r2
√
3− 1
3
pir2 = r2
(√
3− 1
3
pi
)
5. y = sen (x − h) → o gra´fico de y = sen x, sofre uma translac¸a˜o de h unidades para a
direita. Logo, da figura, h = pi. Temos enta˜o que cos
2h
3
= cos
2pi
3
= −1
2
.
6.
sen 2θ
1− cos 2θ = cotg θ
sen 2θ
1− cos 2θ =
2 sen θ cos θ
1− (cos2 θ − sen2 θ) =
2 sen θ cos θ
1− cos2 θ + sen2 θ =
=
2 sen θ cos θ
sen2 θ + sen2 θ
=
2 sen θ cos θ
2 sen2 θ
=
cos θ
sen θ
= cotg θ
7.
cos
(
arcsen
3
5
+ arcsen
5
13
)
=
= cos
(
arcsen
3
5
)
. cos
(
arcsen
5
13
)
− sen
(
arcsen
3
5
)
. sen
(
arcsen
5
13
)
=
= cos
(
arcsen
3
5
)
. cos
(
arcsen
5
13
)
− 3
5
.
5
13
=
=
±
√
1−
(
sen
(
arcsen
3
5
))2 .
±
√
1−
(
sen
(
arcsen
5
13
))2− 3
13
=
∗
=
√
1−
(
3
5
)2
.
√
1−
(
5
13
)2
− 3
13
=
√
1− 9
25
.
√
1− 25
169
− 3
13
=
=
√
25− 9
25
.
√
169− 25
169
− 3
13
=
√
16
25
.
√
144
169
− 3
13
=
4
5
.
12
13
− 3
13
=
48− 15
5 . 13
=
33
65
∗ Como 3
5
e 5
13
sa˜o arcos do 1o quadrante, assumimos o sinal positivo nas ra´ızes quadradas
na expressa˜o acima.
14.2. PONTUAC¸A˜O DA PROVA 183
14.2 PONTUAC¸A˜O DA PROVA
1aQ : 1.2 p
2aQ : 1.5 p
3aQ : 1.5 p
4aQ : 1.2 p
5aQ : 1.6 p
6aQ : 1.4 p
7aQ : 1.6 p
OBS: Em caso de erro de conta em uma dada questa˜o, retire 0.2 p.
184 MO´DULO 14. TERCEIRA PROVA
Mo´dulo 15
AVALIAC¸A˜O FINAL
1. Calcule o valor de cada expressa˜o:
(a) 3, 1−
{
2, 5 +
[
3
4
−
(
1
2
)3
+
3
√
27
]
: 0, 01
}
=
(b)
1 +
1
3
− 2
5
0, 75 · (−1, 2)2 =
2. Sendo A = (−3, 3] e B = [−2,+∞), obtenha:
(a) A∪B (b) A∩B (c) A−B (d)B−A
3. Considerando que as figuras abaixo representam gra´ficos de func¸o˜es, estabelec¸a o domı´nio
e a imagem:
(a) (b)
185
186 MO´DULO 15. AVALIAC¸A˜O FINAL
4. Encontre o domı´nio da func¸a˜o f(x) =
√
x− 4
x2 − 5x+ 6.
5. Encontre a func¸a˜o inversa de f(x) = 3−√x− 2.
6. Considere um retaˆngulo inscrito em um c´ırculo de raio r. Escreva a a´rea do retaˆngulo
como uma func¸a˜o de um de seus lados.
7. O custo de produc¸a˜o de 50 unidades de uma pec¸a meta´lica e´ 270 reais, enquanto o custo
para produzir 100 unidades e´ 380 reais. Admitindo-se que o custo seja uma func¸a˜o afim,
pede-se:
(a) expressar o custo em func¸a˜o do nu´mero de unidades produzidas;
(b) o custo de produc¸a˜o de 70 unidades.
8. Obtenha o ponto de intersec¸a˜o das retas r : 2x+ y − 2 = 0 e s : 3x− y − 17 = 0.
9. Esboce os gra´ficos das func¸o˜es a seguir:
(a) y = −x+ 1 (b) f(x) = 1
2
x2 + x+ 1
10. Resolva as seguintes equac¸o˜es:
(a) (2x)x+4 = 32 (b) log2(x
2 + x− 4) = 3
11. Calcule o per´ımetro do triaˆngulo abaixo:
12. Prove que cos a− cos b = −2 · sen
(
a+ b
2
)
· sen
(
a− b
2
)
.
15.1. RESOLUC¸A˜O DA PROVA 187
15.1 RESOLUC¸A˜O DA PROVA
1.
(a) 3, 1−
{
2, 5 +
[
3
4
−
(
1
2
)3
+
3
√
27
]
: 0, 01
}
=
=
31
10
−
{
25
10
+
[
3
4
− 1
8
+ 3
]
:
1
100
}
=
31
10
−
{
25
10
+
[
6
8
− 1
8
+
24
8
]
· 100
}
=
=
31
10
−
{
25
10
+
29
8
· 100
}
=
31
10
−
{
25
10
+
29
2
· 25
}
=
=
31
10
−
{
5
2
+
725
2
}
=
31
10
− 730
2
=
31
10
− 3650
10
= −3619
10
= −361, 9
(b)
1 +
1
3
− 2
5
0, 75 · (−1, 2)2 =
15
15
+
5
15
− 6
15
75
100
· 1, 44
=
14
15
3
4
· 144
100
=
14
15
3
4
· 36
25
=
14
15
3 · 9
25
=
14
15
27
25
=
=
14
15
· 25
27
=
14
3
· 5
27
=
70
81
2.
(a) A∪B = (−3,+∞) (b) A∩B = [−2, 3] (c) A−B = (−3,−2) (d) B−A = (3,+∞)
3. (a) Df = [−4, 4], Imf = [−3, 5] (b) Df = [−3, 4[, Imf = [−3, 3]
4. f(x) =
√
x− 4
x2 − 5x+ 6
x− 4 = 0⇐⇒ x = 4 x2 − 5x+ 6 = 0⇐⇒ x = 2 ou x = 3
188 MO´DULO 15. AVALIAC¸A˜O FINAL
2 3 4
x− 4 − − − − − 0 + +
x2 − 5x+ 6 + 0 − 0 + + + +
f(x) − /∃ + /∃ − 0 + +
Df = {x ∈ IR | 2 < x < 3 ∨ x ≥ 4}
5. y = 3−√x− 2 ⇒ y − 3 = −√x− 2 ⇒ (y − 3)2 = x− 2 , y − 3 ≤ 0 ⇒
⇒ x = (y − 3)2 + 2 , y ≤ 3
Logo, a inversa de f e´ f−1(x) = (x− 3)2 + 2, x ≤ 3
6.
A´rea: A(x, y) = xy
Pelo Teorema de Pita´goras,
(2r)2 = x2 + y2 ⇒ 4r2 = x2 + y2 ⇒ y2 = 4r2 − x2 ⇒ y = √4r2 − x2
Logo, A(x) = x
√
4r2 − x2
7. Custo de produc¸a˜o de x unidades: C(x), sendo C(50) = 270 e C(100) = 380
(a) C(x) e´ uma func¸a˜o afim, ou seja, e´ da forma C(x) = ax+ b e seu gra´fico e´ uma reta que
passa pelos pontos (50, 270) e (100, 380).
Coeficiente angular: a =
380− 270
100− 50 =
110
50
=
11
5
Enta˜o, C(x)− 270 = 11
5
(x− 50) ⇒ C(x) = 11
5
x− 110 + 270 ⇒ C(x) = 11
5
x+ 160
(b) C(70) =
11
5
· 70 + 160 = 11 · 14 + 160 = 154 + 160 = 314
8.
{
2x+ y − 2 = 0
3x− y − 17 = 0
Somando as equac¸o˜es, segue-se que 5x− 19 = 0 ⇒ x = 19
5
.
Substituindo o valor de x na primeira equac¸a˜o, obtemos:
15.1. RESOLUC¸A˜O DA PROVA 189
38
5
+ y − 2 = 0 ⇒ y = 2− 38
5
= −28
5
S =
{(
19
5
,−28
5
)}
9.
(a) (b)
10. (a) (2x)x+4 = 32
2x
2+4x = 25 ⇒ x2 + 4x = 5 ⇒ x2 + 4x− 5 = 0 ⇒ x = −4±
√
16 + 20
2
=
−4± 6
2
⇒
x1 = 1, x2 = −5⇒ S = {−5, 1}
(b) log2(x
2 + x− 4) = 3
Restric¸a˜o: x2 + x− 4 > 0
Ana´lise do sinal do trinoˆmio:
x2 + x− 4 = 0⇒ x = −1±
√
1 + 16
2
=
−1±√17
2
⇒ x1 ≈ −2, 562 ou x2 ≈ 1, 562
Devemos ter enta˜o x < x1 ou x > x2.
log2(x
2 + x−
4) = 3 ⇒ x2 + x− 4 = 23 ⇒ x2 + x− 12 = 0 ⇒ x = −1±
√
49
2
⇒
x′ = 3, x′′ = −4
Dessa forma, S = {−4, 3}.
11. Per´ımetro: P = AB +BC + AC = 5 + 8 + AC
Pela Lei dos cossenos, (AC)2 = 25 + 64− 2 · 5 · 8 · cos 600 = 89− 80 · 1
2
= 89− 40 = 49.
Donde, AC =
√
49 = 7. Assim, P = 5 + 8 + 7 = 20.
12. Sabemos que
cos(θ + α) = cos θ · cosα− sen θ · senα (15.1)
cos(θ − α) = cos θ · cosα + sen θ · senα. (15.2)
190 MO´DULO 15. AVALIAC¸A˜O FINAL
Subtraindo a eq.(15.2) da eq.(15.1), obtemos
cos(θ + α)− cos(θ − α) = −2sen θ · senα. (15.3)
Fazendo θ =
a+ b
2
e α =
a− b
2
, vem que a = θ + α e b = θ − α. Substituindo na eq.(3),
obtemos o resultado procurado.
15.2. PONTUAC¸A˜O DA AVALIAC¸A˜O FINAL 191
15.2 PONTUAC¸A˜O DA AVALIAC¸A˜O FINAL
1aQ : 0.5 p ( 0.25 p cada item)
2aQ : 1.0 p ( 0.25 p cada item)
3aQ : 1.0 p ( 0.5 p cada item)
4aQ : 0.5 p
5aQ : 0.5 p
6aQ : 1.0 p
7aQ : 1.0 p ( Somente item (a) correto, 0.5 p. Se o item (a) na˜o estiver correto, perde-se
todo o ponto da questa˜o)
8aQ : 1.0 p
9aQ : 1.0 p ( 0.5 p cada item)
10aQ : 1.0 p ( 0.5 p cada item)
11aQ : 1.0 p
12aQ : 0.5 p
OBS: Em caso de erro de conta em uma dada questa˜o diferente da primeira, retire 0.2 p.
192 MO´DULO 15. AVALIAC¸A˜O FINAL
Mo´dulo 16
REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS
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U´nico). Atual Editora, SP, 1999.
[3] YOUSSEF, A. N., FERNANDEZ, V. P. e SOARES, E., Matema´tica - Ensino Me´dio
(Volume U´nico). Editora Scipione, SP, 2000.
[4] IEZZI, G. et al. Fundamentos de Matema´tica Elementar (V. 1-10). Atual Editora, 7a
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Matema´tica, RJ, v. 15, 2003.
[11] BEZERRA, M. J., Matema´tica para o Ensino Me´dio (Volume U´nico). Editora Scipione,
SP, 2001.
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