Lista de exercícios de Cálculo 2

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CÁLCULO II LISTA 1A 
 
DOMÍNIO, IMAGEM, CURVAS DE NÍVEL E 
GRÁFICO. 
1. Represente graficamente o domínio da função 
( , )z f x y
 dada por 
(a) 
21 0, 0x y z z    
 
(b) 
  2 2( , ) 1f x y x y x y   
 
(c) 
2 2z y x x y   
 
(d) 
2 2ln (2 1)z x y  
 
(e) 
2 2 24 , 0z x y z   
 
(f) 
z x y 
 
(g) 
2 2 24 1, 0x y z z   
 
(h) 
( ) (sen sen )z x y x y  
 
2. Suponha que 
2:f 
 seja homogênea de 
grau 
2
 e 
( , )f a b a
 para todo 
( , )a b
, com 
2 2 1a b 
. Calcule 
(a) 
(4 3,4)f
 
(b) 
(0,3)f
 
(c) 
( , ), ( , ) 0f x y x y 
 
3. Seja 
2:f 
 homogênea e suponha que 
( , ) 0f a b 
 para todo 
( , )a b
, com 
2 2 1a b 
. 
Mostre que 
( , ) 0f x y 
 para todo 
( , ) 0x y 
. 
4. Desenhe as curvas de nível e esboce o 
gráfico. 
(a) 
2 2( , ) 1f x y x y  
 
(b) 
2 24z x y 
 
(c) 
1z x y  
 
(d) 
2( , ) , 1 0f x y x x   
 e 
0y 
 
(e) 
2 2z x y 
 
(f) 
2( ) , 0z x y x  
 e 
0y 
 
(g) 
( , )z f x y
 dada por 
2 2 24 1x y z  
, 
0z 
 
(h) 
2 2 2 2( , ) 1 1 , 1f x y x y x y    
 
(i) 
2 2arctg( )z x y 
 
(j) 
( , ) sen( ), 0 , 0f x y x x y    
(k) 
( , ) , 0 1, 0 1f x y xy x y    
 
5. Desenhe as curvas de nível e determine a 
imagem. 
(a) 
( 2)z y x 
 
(b) 
( , ) ( ) ( )f x y x y x y  
 
(c) 
2 2( , )f x y x y 
 
(d) 
2 2 2( )z x x y 
 
(e) 
2 2( )z xy x y 
 
6. Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico 
da função 
2 2 2 2( , ) ( 1) ( 1)f x y x y x y     
 
7. Determine, caso existam, os valores máximos 
e mínimos de 
f
 em 
A
; determine também, 
os pontos em que estes valores são atingidos. 
(a) 
2 2( , ) ( 1) ( 1) 3f x y x y    
 e 2A 
(b) 
2 2( , )f x y x y 
 e 
 2( , ) : 2 1A x y x y   
. Sugestão: 
Observe que 
( ) (1 2 , )g y f y y 
, 
y
, 
fornece os valores de 
f
 sobre a reta 
2 1x y 
. 
(c) 
( , )f x y xy
 e 
 2 2 2( , ) : 4 1, 0A x y x y y    
 
8. Raciocinando geometricamente, determine, 
caso existam, os valores máximo e mínimo de 
f
 em 
A
, bem como os pontos em que estes 
valores são atingidos. 
(a) 
( , ) 2 3f x y x y  
 e 
 2( , ) : 0, 0 e 2A x y x y x y     
 
(b) 
( , ) ( 1)f x y y x 
 e 
 2( , ) : 1 0 e 1 2A x y x y      
 
9. Suponha que 
2 2( , ) 4 9T x y x y 
 represente 
uma distribuição de temperatura no plano 
xy
: 
( , )T x y
 é a temperatura, que podemos 
supor em 
oC
, no ponto 
( , )x y
. 
(a) Desenhe a isoterma correspondente à 
temperatura de 
o36 C
 
 
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(b) Determine o ponto de mais baixa 
temperatura da reta 
1x y 
. 
LIMITE E CONTINUIDADE 
1. Calcule, caso exista. 
(a) 
2 2( , ) (0,0)
1
lim sen
x y
x
x y 
 
(b) 
2 2( , ) (0,0)
1
lim
x y x y 