Teoria dos Conjuntos (Solução) - Monteiro

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Anexo 
 
Solução dos Exercícios do Capítulo-2 (Conceitos da Teoria 
dos Conjuntos) 
 
2.26.1 Considerando-se que um conjunto é definido por elementos que 
possuem uma mesma propriedade ou exibem um mesmo padrão, que 
padrão pode ser observado nos múltiplos de nove (além do fato de serem 
todos divisíveis por 9)? 
Solução: 
1×9 = 09 � 0 + 9 = 9 4×9 = 36 � 3 + 6 = 9 7×9 = 63 � 6 + 3 = 9 
2×9 = 18 � 1 + 8 = 9 5×9 = 45 � 4 + 5 = 9 8×9 = 74 � 7 + 4 = 9 
3×9 = 27 � 2 + 7 = 9 6×9 = 54 � 5 + 4 = 9 9×9 = 81 � 8 + 1 = 9 
 
 
2.26.2 Represente em Diagrama de Venn as seguintes proposições: 
 
a) Todos os homens são mortais � identifica a relação entre 2 coleções: 
H = coleção de todos os homens 
M = coleção de todas as criaturas mortais 
Se uma criatura é um homem, então ela é mortal 
O conjunto H é um subconjunto de M 
 
b) Todos os cariocas são brasileiros � identifica a relação entre 2 
coleções: 
C = conjunto de todos os cariocas 
B = conjunto de todas criaturas brasileiras 
Se uma criatura é carioca, então ela é brasileira 
O conjunto C é um subconjunto de B 
 
c) Nenhum paulista é carioca 
C = conjunto de todos os cariocas 
P = conjunto de todos os paulistas 
 
 
 
 
d) Sou pago toda sexta-feira 
S = sexta-feira 
D = Dia em que sou pago 
Se é sexta-feira, então recebo pagamento 
O conjunto S é um subconjunto de D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
H 
B 
C 
C P 
D 
S 
 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Todos os criminosos são presos 
C = conjunto dos criminosos 
P = conjunto do presos 
Se é criminoso, então está preso 
O conjunto C é um subconjunto de P 
 
f) Alguns brasileiros pagam impostos 
B = conjunto dos brasileiros 
P = conjunto das pessoas que pagam impostos 
A proposição tem duas soluções: 
 
 
 
g) Nenhum mentiroso é honesto 
H = conjunto dos honestos 
M = conjunto do mentirosos 
 
 
 
h) Todos os fumantes têm câncer 
C = conjunto dos indivíduos com câncer 
F = conjunto do fumantes 
Se é fumante, então têm câncer 
O conjunto F é um subconjunto de C 
 
i) Todos os professores são sábios 
S = conjunto dos indivíduos sábios 
P = conjunto do Professores 
Se é professor, então é sábio 
O conjunto P é um subconjunto de S 
 
 
j) Todos os inteiros pares são divisíveis por 2 
D = conjunto dos divisíveis por 2 
P = conjunto dos inteiros pares 
Se é inteiro par, então é divisível por 2 
O conjunto P é um subconjunto de D 
 
 
P 
C 
P 
B 
P 
B 
H M 
C 
F 
S 
P 
D 
P 
 13
2.26.3 Dados os conjuntos S={2, а, {3}, 4} e R={{а}, 3, 4, 1}, indicar se as 
seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas : 
 
(a) {a}∈ S � falsa (o conjunto de 
elementos “a” pertence a R e não 
a S) 
 (g) {a} ⊆ R � falsa (quem está 
contido em R é {{a}} = conjunto 
de conjuntos “a”) 
(b) {a} ∈ R � verdadeira (h) ∅ ⊂ R � verdadeira 
(c) {a, 4, {3}} ⊆ S � verdadeira (i) ∅ ⊆ {{a}} ⊆ R ⊆ U � 
verdadeira (o conjunto vazio ∅ é 
um subconjunto de qualquer 
Conjunto) 
(d) {{a}, 1, 3, 4} ⊂ R � 
verdadeira 
 (j) {∅} ⊆ S � falsa (conjunto de 
conjuntos vazios não está contido 
em S) 
(e) R= S � falsa (não são os 
mesmos elementos) 
 (k) ∅ ∈ R � falsa (o conjunto 
vazio não é elemento de R, mas 
um subconjunto de S) 
(f) {a} ⊆ S � verdadeira (o 
conjunto de elementos “a” está 
contido em S) 
 (l) ∅ ⊆ {{3}, 4} � verdadeira (o 
conjunto vazio ∅ é um subconj. 
de qualquer Conjunto) 
 
2.26.4 Dê o conjunto potência dos conjuntos 
 
(a) A = {a, {b}} 
Solução: 
O conjunto de partes ou potência de A, denominado P(A), é o conjunto 
formado por todos os subconjuntos de A, isto é : P(A) = {X | X 
subconjunto de A} = {X | X ⊆ A} 
Logo: P(A) = {∅, {a}, {{b}}, {a, {b}} 
 
(b) B = {a, b, c}. 
Solução: 
P(B) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} 
 
 
2.26.5 Enumerar os elementos de U (universo) e de seus subconjuntos A e 
B, sabendo que: 
A' ={2, 5, 9, 13, 18, 20}, B' ={2, 6, 18, 20} e A∪B={1, 5, 6, 9, 13, 14}. 
A’ = Complemento de A 
 
Solução 
U = Universo (contém todos os elementos) 
U = {1, 2, 5, 6, 9, 13, 14, 18, 20} 
 
A’∩ (A∪B) = B – (A ∩B) 
{5, 9, 13} = B – (A ∩B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
5 
9 
13 
 
6 
 1 
14 
2 
18 
20 
 14
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B’∩ (A∪B) = A – (A ∩B) 
{6} = A – (A ∩B) 
 
A ∩B = A∪B - {5, 9, 13} - {6} 
A ∩B = {1, 14} 
Assim: 
A = {1, 6, 14} 
B = {1, 5, 9, 13, 14} 
 
2.26.6 Determine os elementos de A e B, sabendo que: 
A' ={f, g, h, i}, A∪B={a, b, c, d, e, f} e A∩B={d, e}. 
 
Solução 
A={a, b, c, d, e}, B={e, d, f} com 
os elementos i, g e h fora da 
união mas no universo 
Sugestão faça o diagrama de 
Venn, começando pela 
interseção 
 
2.26.7 Use as propriedades de operações com conjuntos para mostrar 
que: 
 
(a) A∪(A' ∩B)=A∪B � A∪(A' ∩B) = Distributividade da união = 
 = (A∪A') ∩(A∪B)= U ∩(A∪B) = A∪B 
(b) (A∩∅)∪(A∪U)=U � Como A∩∅ = ∅ e A∪U = U tem-se: ∅ ∪ U = U 
(c) [A∪(A' ∩B)]'∩B=∅ � = Distributividade da intercessão = 
 = [(A∪A') ∩ (A∪B)]’ ∩B = [U ∩ (A∪B)]’∩B = [A∪B]’∩B = (A'∩B’) ∩B = 
 = Associatividade = A'∩(B’∩B) = A'∩∅ = ∅ 
 
 
2.26.8 Simplifique, usando as propriedades das operações: 
 
a) [A' ∩(B∪A)]' = Distributividade da intercessão = [(A'∩B)∪( A'∩A)]' = 
 = [(A'∩B)∪∅]' = [A'∩B]' = De Morgan = (A’)’∪B’= A∪B’ 
 
b) (A∪B)' ∪(A∪B')' = (A'∩B') ∪ (A'∩(B')') = (A'∩B') ∪ (A'∩B) = 
Distributividade da união = A'∩(B'∪B) = A'∩ U = A' 
 
c) [A'∪(B∩A)]' = [(A'∪ B)∩ (A'∪A)]' = [(A'∪ B)∩U]' = [A'∪ B]' = (A')’∩B' = 
= A∩B' 
 
A B 
f a 
 b 
c 
d 
e g 
h 
i 
 15
2.26.9 Dados A= {x| x é um número inteiro ∧ 1 ≤ x ≤ 5 }, B = { 3, 4, 5, 
17} e C = { 1, 2, 3, ...}. Achar A ∩ B , A ∩ C , A ∪ B , A∪ C. 
 
A ∩ B = {3, 4, 5} 
A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5} 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 17} 
A∪ C = C 
 
2.26.10 Desenhe Diagramas de Venn e crie exemplos mostrando: 
 
(a) A ∪ B ⊆ A ∪ C mas B ⊄ C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) A ∩ B ⊆ A ∩ C mas B ⊄ C 
 
 
 
 
 
 
 
(c) A ∪ B = A ∪ C mas B ≠ C 
Fora de A só pode haver elementos na 
interseção entre B e C. Para que B e C 
sejam distintos, deve haver pelo menos 
um elemento nas interseções com A 
fora da interseção dos três 
 
 
(d) A ∩ B = A ∩ C mas B ≠ C 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C 
 
A B 
C 
 
A B C 
 
A B C 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) B' 
 
 
 
 
 
 
(f) (A ∪ B)' 
 
 
 
 
 
 
(g) B−(A') = B – A' = {x | x ∈ B x ∉ A'} 
 
 
 
 
 
 
 
(h) A' ∪ B 
 
 
 
 
 
 
(i) A' ∩ B. 
 
 
 
 
 
 
 
2.26.11 Enumere A x B x C , B2 , A3 , B2 x A e A x B onde
: 
 A = {1}, B = {a, b}, C = { 2, 3} . 
Solução: 
A x B x C = {(1, a, 2), (1, a, 3), (1, b, 2), (1, b, 3)} 
B
2
 = B x B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} 
A
3
 = A x A x A = A x {(1, 1)} = {(1, 1, 1)} 
B
2
 x A = {(a, a, 1), (a, b, 1), (b, a, 1), (b, b, 1)} 
A x B = {(1, a), (1, b)} 
 
A B 
 A B 
 
A B 
 
A B 
 
A B 
 17
 
2.26.12 Mostre através de exemplos que: 
A x B ≠ B x A e ( A x B) x C ≠ A x ( B x C ) 
Solução: 
Sejam 
A = {ai | i = 1, n} 
B = {bj | j = 1,m} 
A x B = {(ai, bj) | i = 1, n, j = 1,m} ≠ {(bi, aj) | j = 1, m, i = 1, n} = B x A 
 
2.26.13 Uma pesquisa foi feita entre estudantes para identificar quem 
fala inglês ou espanhol. Entre os pesquisados: 
• 100 alunos responderam que falam inglês; 
• 70 responderam que falam espanhol; 
• 30responderam que falam inglês e espanhol e 
• 45 responderam que não falam nenhuma dessas duas línguas. 
Nessa situação, é correto afirmar que o número total de estudantes 
pesquisados foi de 185? 
 
Definindo: 
I = conjunto dos que falam inglês 
E = conjunto dos que falam espanhol 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Total = 70 + 30 + 40 + 45 = 185 
 
2.26.14 Uma empresa possui 
• 13 postos de trabalho para técnicos em contabilidade, 
• 10 para técnicos em sistemas operacionais e 
• 12 para técnicos em eletrônica. 
Alguns técnicos ocupam mais de um posto de trabalho, isto é, 
• 4 são técnicos em contabilidade e em sistemas operacionais, 
• 5 são técnicos em sistemas operacionais e em eletrônica e 
• 3 possuem todas as três especialidades. 
Nessas condições, se há 22 técnicos nessa empresa, então 7 deles são 
técnicos em contabilidade e em eletrônica. 
 
Solução 
Definindo: 
C = conjunto dos técnicos em contabilidade 
S = conjunto dos técnicos em sistemas operacionais 
E = conjunto dos técnicos em eletrônica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
I E 
Só fala inglês: 100 – 30 =70 
 40 70 30 
Só fala espanhol: 70 – 30 =40 
 18
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como E tem 12 técnicos, então fora de E tem-se: 22 – 12 = 10 técnicos 
Logo: x + 1 + 4 = 10 � x = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como C tem 13 técnicos: x + y + 3 + 1 = 13 � y = 4 
São técnicos em contabilidade e em eletrônica: (C ∩ E) = y + 3 = 7 
 
 
2.26.15 Sobre os 26 turistas que se encontram em um catamarã, sabe-se 
que: 
75% dos brasileiros sabem nadar; 
20% dos estrangeiros não sabem nadar; 
Apenas 8 estrangeiros sabem nadar. 
Nessas condições, do total de turistas a bordo, somente 
(A) 10 brasileiros sabem nadar 
(B) 6 brasileiros não sabem nadar 
(C) 12 são estrangeiros 
(D) 18 são brasileiros 
(E) 6 não sabem nadar 
 
[Concurso para Auditor Tributário / Prefeitura de Jaboatão dos Guararapes 
/ 2006] 
22 
C S 
2 
E 
 4 – 3 = 1 
3 
1 
5 – 3 = 2 
4 10 – 1 - 3 – 2 = 4 x 
y 
z 
22 
C S 
2 
E 
X + 1 + 4 = 10 
3 
1 4 x 
y 
z 
 19
 
Solução 
Se 20% dos estrangeiros não sabem nadar, então 80% sabem nadar. 
Mas apenas 8 estrangeiros sabem nadar, logo os 20% que não sabem 
nadar são apenas 2 estrangeiros 
Assim, o total de estrangeiros é 8 + 2 = 10 
Como são 26 turistas � 26 – 10 = 16 são brasileiros, dos quais 75% (12) 
sabem nadar � 4 brasileiros não sabem nadar 
Total de turista que não sabe nadar: 2 + 4 = 6 � Resposta certa (E) 
 
2.26.16 Demonstre a propriedade distributiva da união 
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
 
Solução: 
Se x ∈ A ∪ (B ∩ C) � (x ∈ A) ou (x ∈ (B ∩ C)) 
Mas se (x ∈ A) � x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 
Se (x ∈ (B ∩ C)) � x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)