Resumo II Unidade - Transformações

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Resumo de Álgera Linear II unidade 
 
1 Thiago Carreiro 
 
I. Transformações Lineares: 
 Transformações lineares são simplesmente funções onde “pegamos” um vetor e 
transformamos em outro vetor. 
 O modo mais comum de representar uma transformação é: 
Sejam „V‟ e „W‟ espaços vetoriais: 
 𝑇: 𝑉 → 𝑊 ; que significa que a transformação linear T “pega” um vetor de V e “transforma” em um 
vetor de W. 
 O espaço anterior à seta (no caso V) é chamado de domínio ou conjunto de partida. O 
posterior (no caso W) é chamado contra-domínio ou conjunto de chegada. Particularmente para o 
caso em que W = V, chamamos T de Operador Linear. 
Obs.: Em 𝑇 𝑣 = 𝑤 , „𝑣‟ é sempre um vetor do conjunto de partida. Já os vetores 𝑤 e 𝑇 𝑣 (que 
são apenas diferentes modos de escrever o mesmo vetor, já que são iguais) são vetores do 
conjunto de chegada. 
Obs².: Durante todo o resumo, usaremos V para designar o conjunto de partida e W para o de 
chegada. 
 Nem toda transformação é dita linear. Para isso, ela deve obedecer algumas condições: 
 Condições: 
1) O transformado de um vetor nulo de V é sempre o vetor nulo de W: 
𝑇 0𝑉 = 0𝑊. 
2) A soma dos transformados é o transformado da soma: 
Sejam 𝑣1, 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 então: 
 𝑇 𝑣1 + 𝑣2 + ⋯ + 𝑣𝑛 = 𝑇 𝑣1 + 𝑇 𝑣2 + ⋯ + 𝑇 𝑣𝑛 . 
3) O transformado de um produto entre um vetor e um escalar é o produto do escalar com 
o transformado do vetor (é como se o escalar „saísse‟ da transformação): 
Seja 𝛼 ∈ e 𝑣 ∈ 𝑉: 
𝑇 𝛼. 𝑣 = 𝛼. 𝑇(𝑣). 
II. Núcleo de uma Transformação Linear: 
 É o subconjunto formado por vetores do conjunto de partida tais que seus transformados 
são iguais ao vetor nulo do conjunto de chegada. Ou seja: 
 𝑲𝒆𝒓 𝑻 = {𝒗 ∈ 𝑽/ 𝑻(𝒗) = 𝟎𝒘}  (isso se lê: “O núcleo da transformação T é o conjunto de 
vetores de V tais que os transformados destes vetores são iguais ao vetor nulo de W”). 
Obs.: O núcleo de uma transformação é um subespaço do conjunto de partida. Portanto 
podemos achar uma base do núcleo e sua dimensão. 
Obs².: O núcleo sempre contém pelo menos um vetor, já que o transformado do vetor nulo de V é 
sempre o vetor nulo de W (condição 1). 
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2 Thiago Carreiro 
 
Obs³.: Quando o núcleo contém APENAS o vetor nulo de V, não podemos achar uma base e, 
consequentemente, a dimensão é zero. Dizemos que a transformação é então INJETORA (ou 
injetiva) e 𝐾𝑒𝑟 𝑇 = {0𝑉} e 𝑑𝑖𝑚(𝐾𝑒𝑟 𝑇 ) = 0. 
 Para achar o núcleo de uma transformação basta: 
 Passo-a-passo: 
1) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada; 
2) Resolver o sistema que irá surgir; 
3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, usar o mesmo passo-a-passo da I unidade. 
III. Imagem de uma Transformação Linear: 
 É um subconjunto formado por vetores do conjunto de chegada que contém todos os 
vetores (do conjunto de chegada) que estão associados a pelo menos um vetor do conjunto de 
partida. Ou seja: 
𝑰𝒎 𝑻 = {𝒘 ∈ 𝑾/ 𝑻(𝒗) = 𝒘 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗 ∈ 𝑽}  (isso se lê: “A imagem da transformação T é o 
conjunto de vetores de W tais que são o „resultado‟ da transformação de algum vetor de V”). 
Obs.: A imagem de uma transformação é um subespaço do conjunto de chegada. Portanto 
podemos achar uma base e a dimensão. 
Obs².: A imagem contém pelo menos um vetor (o vetor nulo de W), que está sempre associado a 
um vetor (o vetor nulo de V) (condição 1). 
Obs³.: Se 𝐼𝑚 𝑇 = 𝑊, então dizemos que a transformação é SOBREJETORA (ou sobrejetiva). 
Neste caso, dim⁡(𝐼𝑚 𝑇 ) = dim⁡(𝑊). 
Para achar a imagem de uma transformação basta: 
 Passo-a-passo: 
1) Achar uma base do conjunto de partida; 
2) Dizer que a imagem vai ser gerada pelos transformados dos vetores da base 
encontrada; 
3) Caso seja pedido base e/ou dimensão, achar o conjunto LI dos geradores e calcular a 
dimensão. 
IV. Teorema do núcleo-imagem: 
 Analisando o conjunto de partida, o núcleo e a imagem, suas dimensões se relacionam 
por: 
dim 𝑉 = dim 𝐾𝑒𝑟 𝑇 + dim(Im T ). 
 Para o caso de T ser injetora: 
1) Se pegamos vetores LI, seus transformados serão LI também. 
2) Vetores de uma base de V são transformados em vetores de uma base de W. 
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Obs.: Quando T for injetora e sobrejetora, chamamos de BIJETORA (ou bijetiva) e dizemos que 
T é um caso de ISOMORFISMO. 
 
 
Ex.: Dados 𝑉 = { 
𝑎 𝑏
0 𝑐
 / 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ } e W= {𝑎0 + 𝑎1. 𝑥 + 𝑎2. 𝑥
2 + 𝑎3. 𝑥
3 / 𝑎𝑖 ∈ } e seja 
𝑇: 𝑉 → 𝑊 definida por: 
𝑇 
𝑎 𝑏
0 𝑐
 = 𝑎 − 2𝑏 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑎 + 2𝑐 𝑥² + 𝑏 − 2𝑎 − 3𝑐 𝑥³ 
a) Prove que T é transformação linear. 
b) Determine base de 𝐾𝑒𝑟(𝑇) e diga se T é injetiva. 
c) Calcule dim⁡(𝐼𝑚 𝑇 ). 
d) Determine base de 𝐼𝑚(𝑇) e diga se T é sobrejetiva. 
 
A) Para provar que T é uma transformação linear temos que testar as três condições 
necessárias: 
 
i) 0𝑉 = 
0 0
0 0
 ; 0𝑊 = 0 + 0𝑥 + 0𝑥² + 0𝑥³ 
𝑇 
0 0
0 0
 = 0 − 2.0 + 0 + 0 𝑥 + 0 + 2.0 𝑥² + 0 − 2.0 − 3.0 𝑥³ = 0 + 0𝑥 + 0𝑥² + 0𝑥³ 
Primeira condição OK. 
ii) Escolhendo dois vetores de V: 𝑣1 = 
𝑎1 𝑏1
0 𝑐1
 e 𝑣2 = 
𝑎2 𝑏2
0 𝑐2
  
𝑣1 + 𝑣2 = 
𝑎1 + 𝑎2 𝑏1 + 𝑏2
0 𝑐1 + 𝑐2
 
Chamando 𝑎3 = 𝑎1 + 𝑎2, 𝑏3 = 𝑏1 + 𝑏2 e 𝑐3 = 𝑐1 + 𝑐2: 
𝑣1 + 𝑣2 = 
𝑎3 𝑏3
0 𝑐3
 
𝑇 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑎3 − 2. 𝑏3 + 𝑏3 + 𝑐3 𝑥 + 𝑎3 + 2. 𝑐3 𝑥² + 𝑏3 − 2. 𝑎3 − 3. 𝑐3 𝑥³ 
 
Separadamente: 
𝑇 𝑣1 = 𝑎1 − 2. 𝑏1 + 𝑏1 + 𝑐1 𝑥 + 𝑎1 + 2. 𝑐1 𝑥² + 𝑏1 − 2. 𝑎1 − 3. 𝑐1 𝑥³ 
𝑇 𝑣2 = 𝑎2 − 2. 𝑏2 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑥 + 𝑎2 + 2. 𝑐2 𝑥² + 𝑏2 − 2. 𝑎2 − 3. 𝑐2 𝑥³ 
𝑇 𝑣1 + 𝑣2 
= 𝑎1 − 2. 𝑏1 + 𝑎2 − 2. 𝑏2 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑏2 + 𝑐2 𝑥
+ 𝑎1 + 2. 𝑐1 + 𝑎2 + 2. 𝑐2 𝑥
2 + ( 𝑏1 − 2. 𝑎1 − 3. 𝑐1 
+ 𝑏2 − 2. 𝑎2 − 3. 𝑐2 )𝑥³ 
𝑇 𝑣1 + 𝑣2 = 𝑎3 − 2. 𝑏3 + 𝑏3 + 𝑐3 𝑥 + 𝑎3 + 2. 𝑐3 𝑥² + 𝑏3 − 2. 𝑎3 − 3. 𝑐3 𝑥³ 
Segunda condição OK. 
iii) Sendo 𝛼 ∈ e 𝑣 = 
𝑎 𝑏
0 𝑐
 ∈ 𝑉: 
𝛼. 𝑣 = 
𝛼. 𝑎 𝛼. 𝑏
0 𝛼. 𝑐
 
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𝑇 𝛼. 𝑣 = 𝛼. 𝑎 − 2. 𝛼. 𝑏 + 𝛼. 𝑏 + 𝛼. 𝑐 𝑥 + 𝛼. 𝑎 + 2. 𝛼. 𝑐 𝑥2 + 𝛼. 𝑏 − 2. 𝛼. 𝑎 − 3. 𝛼. 𝑐 𝑥3 
𝑇 𝛼. 𝑣 = 𝛼. 𝑎 − 2. 𝑏 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑎 + 2. 𝑐 𝑥2 + 𝑏 − 2. 𝑎 − 3. 𝑐 𝑥3 = 𝛼. 𝑇(𝑣) 
Terceira condição OK. 
 
Como as três condições são satisfeitas, T é uma transformação linear. 
 
B) Seguindo o passo-a-passo para achar o núcleo: 
 
i) Igualar a transformação ao vetor nulo do conjunto de chegada: 
𝑇 𝑣 = 𝑎 − 2. 𝑏 + 𝑏 + 𝑐 𝑥 + 𝑎 + 2. 𝑐 𝑥2 + 𝑏 − 2. 𝑎 − 3. 𝑐 𝑥3 = 0 + 0𝑥 + 0𝑥² + 0𝑥³ 
 
ii) Resolver o sistema: 
 
𝑎 − 2𝑏 = 0
𝑏 + 𝑐 = 0
𝑎 + 2𝑐 = 0
𝑏 − 2𝑎 − 3𝑐 = 0
  
𝑎 = 2𝑏
𝑏 = 𝑏
𝑐 = −𝑏
 
 
iii) Achar a base: 
Forma geral: 𝑣 = 
2𝑏 𝑏
0 −𝑏
 
Colocando „b‟ em evidência: 
𝑣 = 𝑏. 
2 1
0 −1
 , como 
2 1
0 −1
 é não nulo, 𝛽 = 
2 1
0 −1
 é uma base de Ker(T). 
 
Como dim 𝐾𝑒𝑟 𝑇 = 1 ≠ 0, T não é injetiva. 
 
C) Pelo teorema do núcleo-imagem: 
dim 𝑉 = dim 𝐾𝑒𝑟 𝑇 + dim(Im T ) 
O conjunto 𝛼 = 
1 0
0 0
 , 
0 1
0 0
 , 
0 0
0 1
 é a base canônica de V, então dim 𝑉 = 3. 
3 = 1 + dim(Im T ) 
dim(Im T ) = 2 
D) Os transformados da base de V são geradores da Im(T), usando a base 𝛼 do item anterior: 
𝑇 
1 0
0 0
 = 1 + 𝑥² − 𝑥³, 𝑇 
0 1
0 0
 = −2 + 𝑥 + 𝑥³ e 𝑇 
0 0
0 1
 = 𝑥 + 2𝑥² − 3𝑥³ 
Como dim(Im T ) = 2, dois desses vetores formam uma base de Im(T): 
𝛾 = { 1 + 𝑥2 − 𝑥3 , 𝑥 + 2𝑥2 − 3𝑥3 } é uma base de Im(T) (os dois vetores são LI). 
 
Como
𝑊 = 𝑃3, dim(W) = 4. 
Codim(Im T ) ≠ dim(W), T não é sobrejetiva.