1-Unidade-Lista2

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Departamento de Matema´tica - CCEN -A´REA II - UFPE
A´LGEBRA LINEAR
2a. LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Mostre que os seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os do espac¸o vetorial das matrizes n×n:
(i) O conjunto das matrizes n× n que sa˜o triangulares superiores.
(ii) O conjunto das matrizes sime´tricas n× n de trac¸o zero.
(iii) O conjunto das matrizes m× n cujas primeira e segunda linhas coincidem.
2. Determine quais dos seguintes subconjuntos do espac¸o vetorial F [0, 1] das func¸o˜es
f : [0, 1]→ R sa˜o subespac¸os de F [0, 1]:
(a) O subconjunto das func¸o˜es cont´ınuas por partes.
(b) O subconjunto das func¸o˜es cujo gra´fico esta´ acima do eixo dos x.
(c) O subconjunto das func¸o˜es que assumem o valor 0 no ponto 1.
(d) O subconjunto das func¸o˜es que assumem o valor 1 no ponto 0.
3. Verifique se (1, 0, 1) ∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear de:
(i) (1, 1, 1) e (2, 2, 1); (ii) (5, 4,−3) e (1, 4,−7).
4. (a) Escreva o vetor (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 como combinac¸a˜o linear de v1 = (1, 0, 1, 1),
v2 = (0, 1, 1, 1), v3 = (1, 1, 1, 1) e v4 = (1, 0, 1, 0). Observe que qualquer vetor de R4 pode
ser escrito como uma tal combinac¸a˜o linear - isto e´, v1, v2, v3, v4 geram R4.
5. Verifique em cada caso se os vetores de R3 seguintes sa˜o LI:
(i) (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1);
(ii) (1, 1, 1), (1, 3, 2), (−1, 1, 0);
(iii) (1, 1, 1), (1, 0, 1), (5, 1,−1), (2,−1, 4).
6. Seja V um espac¸o vetorial qualquer. (a) Prove que se u, v ∈ V sa˜o LI, enta˜o u+v, u−v
tambe´m sa˜o LI. (b) Prove que se a ∈ R e u, v ∈ V sa˜o LI, enta˜o u + v, u + av sa˜o LI se
a 6= 1.
7. Deˆ exemplo de uma base para o espac¸o de soluc¸o˜es da equac¸a˜o x+ y + z + w = 0.
8. Para cada um dos sistemas homogeˆneos associados aos sistemas do exerc´ıcio 6 da
lista anterior, calcule a dimensa˜o do espac¸o de soluc¸o˜es S e exiba uma base para S.
9. Calcule a dimensa˜o e exiba uma base para os seguintes espac¸os vetoriais:
(a) O espac¸o de matrizes sime´tricas 3× 3 de trac¸o zero.
(b) O espac¸o das matrizes 3× 2 cujas primeira e segunda linhas coincidem.
(c) O espac¸o das matrizes 2× 3 tais que a soma dos elementos da primeira linha coincide
com a soma dos elementos da segunda coluna.
10. Seja V = R4, e sejamW, U os subespac¸os de V definidos porW =< (1, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 3) >
e U =< (0, 1,−3,−10), (2, 3,−1, 0) >.
(a) Exiba uma base para W + U .
(b) Exiba uma base para W ∩ U .
(c) Verifique que dim(W + U) = dim(W ) + dim(U)− dim(U ∩W ).
11. Ache uma base para o subespac¸o W ⊂ R5 definido por
W =< (1, 2, 3, 4, 5), (2, 4, 1, 3, 5), (0,−1, 2, 3, 1), (4, 5, 8, 15, 13), (1, 1, 0, 2, 1) > .
Verifique que dim(W ) = 3.
12. Ache uma base para o espac¸o de polinoˆmios P (x) de grau ≤ 3 tais que P (2) = 0 e
P ′(1) = 0. Qual e´ a dimensa˜o deste espac¸o vetorial?
13. Qual a menor dimensa˜o poss´ıvel para a intersec¸a˜o de dois subespac¸os tridimen-
sionais de R4?
14. (a) Verifique que o conjunto de func¸o˜es {1, cosx, sen x} e´ linearmente independente.
15. Calcule [I]α� onde α e´ a base do R2 dada por α = {(1, 2), (−2, 1)} e � = {(1, 0), (0, 1)}
e´ a base canoˆnica do R2. Agora calcule [I]�α; qual a relac¸a˜o entre estas duas matrizes?
16. Verifique que β = {1, 1 − x, 2 − 4x + x2} e´ uma base para P2. Calcule as coor-
denadas de x2 em relac¸a˜o a esta base. Sendo α = {1, x, x2}, determine as matrizes de
mudanc¸a de base de β para α e de α para β. Verifique que [x2]β = [I]
α
β [x
2]α .