lista220052

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Matema´tica - A´rea II
2a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
2o semestre de 2005 23/01/2006
Prof. Cla´udio Tadeu Cristino
1. Mostre em detalhes quais dos seguintes conjuntos sa˜o espac¸os vetoriais reais. (Voceˆ
devera´ definir as operac¸o˜es de “soma de vetores” e “multiplicac¸a˜o por escalar”).
(a) R3;
(b) Mm×n(R) = conjunto as matrizes m× n com estradas reais.
(c) F([0, 1],R) = conjunto das func¸o˜es reais com domı´nio [0, 1].
2. Mostre quais dos seguintes subconjuntos de R4 sa˜o subespac¸os
(a) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y = 0 e z − t = 0};
(b) U = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x2 + y = 0 e z − t2 = 0};
(c) V = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x = 0 e t = 0};
3. Determine os vetores de u, v ∈ R4 sabendo que as coordenadas de u sa˜o todas iguais,
a u´ltima coordenada de v e´ igual a 3 e u+ v = (1, 2, 3, 4).
4. Dados u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0) ache nu´meros α, β e γ tais que
:αu+ βv + γw = (1, 1, 1).
5. Sejam u = (x1, x2, · · · , xn) e v = (y1, y2, · · · , yn) vetores de Rn. Prove que um deles
e´ mu´ltiplo do outro se, e somente se, xiyj = xjyi, para quaisquer i, j = 1, 2, · · · , n.
6. Sejam F1 e F2 subespac¸os de E. F1 ∪ F2 e´ um subespac¸o de E? E F1 ∩ F2?
7. Dados X,Y ⊂ R, sejam
F = conjunto das func¸o˜es f : R→ R que se anulam em todos os pontos de X.
G = conjunto das func¸o˜es g : R→ R que se anulam em todos os pontos de Y .
Prove:
(a) F e G sa˜o subespac¸os vetoreis de E = F(R,R).
(b) Tem-se que E = F +G se, e somente se, X ∩ Y = ∅.
(c) Tem-se que F ∩ G = {0} se, e somente se, X ∩ Y = R, onde 0 representa a
func¸a˜o identicamente nula.
(d) Vale E = F ⊕G se, e somente se, Y = R−X
1
8. Considere os subespac¸os F1, F2 ⊂ R3 assim definidos: F1 e´ o conjunto de todos os
vetores v = (x, x, x) que teˆm todas as coordenadas iguais e F2 e´ o conjunto de todos
os vetores w = (x, y, 0) que teˆm a u´ltima coordenada nula. Mostre que R3 = F1⊕F2.
9. O conjunto N =
{[
a b
c d
]
∈M2×2(R) : b = c+ 1
}
e´ subespac¸o de M2×2(R)?
10. Sem resolver, decida se o conjunto de soluc¸o˜es das equac¸o˜es a seguir formam um
espac¸o vetorial.
(a) x
d2y
dx2
− ex dy
dx
+ sen(x) = 0;
(b) 3x2y + yx3
dy
dx
= 0;
(c) 2y
d2y
dx2
= 1 +
(
dy
dx
)2
.
11. Deˆ o exemplo de uma matriz 3 × 3 cujos vetores linha geram um subespac¸o de R3
diferente daquele gerado pelos vetores coluna.
12. Mostre que o vetor b = (1, 2, 2) na˜o e´ combinac¸a˜o dos vetores v1 = (1, 1, 2), v2 =
(−1, 2, 1) e v3 = (1, 4, 5). Descreva W = [v1, v2, v3] o subespac¸o gerado por v1, v2 e
v3.
13. Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma func¸a˜o f : E → F chama-se par (respec. ı´mpar)
quando f(−v) = f(v) (respec. f(−v) = −f(v)) para todo v ∈ E. Prove que O
conjunto A das func¸o˜es pares e o conjunto B das func¸o˜es ı´mpares sa˜o subespac¸os de
F(E,F ), conjunto das func¸o˜es com domı´nio F e imagem em F , e vale F(E,F ) =
A⊕B.
14. Determine ques dos seguintes vetores pertencem ao subespac¸o dos polinoˆmios gera-
dos por p(x) = x3 + 2x2 + 1, q(x) = x2 − 2 e r(x) = x3 + x:
(a) x2 − x+ 3;
(b) x4 + 1;
(c) −1
2
x3 + 5
2
x2 − x− 1;
(d) x− 5.
15. Prove que os seguintes subconjuntos geram o mesmo subespac¸o de C[a, b] das func¸o˜es
reais cont´ınuas em [a, b]:
(a) f1(t) = sen
2(t), f2(t) = cos
2(t), f3(t) = sen(t), f4(t) = cos(t),
(b) g1(t) = 1, g2(t) = sen(t), g3(t) = cos(t).
16. Para os ı´tens abaixo, indique quais conjuntos geram o espac¸o vetorial indicado:
(a) v1 = (1, 1,−1) v2 = (2, 2, 1) v3 = (1, 1,−2), V = R3.
2
(b) p(t) = x2 + 1, q = x3 − x, V = P3(R).
(c) A =
[
1 2
−1 0
]
, B =
[
0 1
1 0
]
, C =
[
0 0
0 1
]
, V =M2×2(R).
17. Determine duas bases distintas para cada uma dos espac¸os abaixo:
(a) R3;
(b) M3×2(R)
(c) P3(R)
18. Considere os seguintes subespac¸os de R4:
• U1 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : 2x− y − z + t = 0; x− z = 0; y − z − t = 0};
• U2 = [(1,−1, 1, 0), (2, 1, 1, 1), (−1, 0, 0, 2), (2, 0, 2, 3)];
• U3 = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− y − z = 0; x+ 2y − z − t = 0};
(a) Determine bases para cada um dos subespac¸os;
(b) Descreva os subespac¸os U1 ∩ U2, U2 ∩ U3 e U1 ∩ U3. Indique uma base para
cada um, determinando, assim, sua dimensa˜o;
(c) Para quais pares i,j temos R4 = Ui ⊕ Uj.
19. Sejam
M1 =
[
2 4
−2 0
]
,M2 =
[
1 1
−1 3
]
,M3 =
[
4 2
3 −1
]
,M4 =
[
7 −11
0 −10
]
.
vetores de M2×2(R) = ‘conjunto das matrizes 2× 2 com entradas reais’.
(a) Exiba uma base para o subespac¸o gerado por {M1,M2,M3,M4} e determine
sua dimensa˜o.
(b) Estenda o conjunto encontrado no item (a) a uma base de M2×2(R).
20. Seja W = {A = (aij) ∈ M3×3(R) : a11 + a22 + a33 = 0 e aij = aji}. Mostre que W
e´ subespac¸o de M3×3(R) e determine sua dimensa˜o.
21. Sejam
U = {p ∈ P2(R) : p′(t) = 0,∀t ∈ R},
W = {p ∈ P2(R) : p(0) = p(1) = 0, }.
subespac¸os de E = P2(R). Encontre, se poss´ıvel:
(a) Bases para U e W .
(b) Uma base de U ∩W .
(c) Uma base de U +W .
22. Dado o subespac¸o F1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+2y+ z = 0}, encontre um subespac¸o F2
tal que R3 = F1 ⊕ F2.
23. FAC¸A MAIS EXERCI´CIOS, p.ex. Boldrini, cap.4.
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