Regras de Inferência - Camila P. da Costa

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Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 55 
2.3 Regras de Inferência 
 
2.3.1) Regras de Inferência......................................................................................................56 
Regra 1 – Eliminação da conjunção (E^)..................................................................................56 
Regra 2 – Introdução da conjunção (I^)...................................................................................57 
Regra 3 – Eliminação do condicional (E→).............................................................................58 
Regra 4 – Eliminação da negação (E~).....................................................................................60 
Regra 5 – Introdução da disjunção (Iv )..................................................................................60 
Regra 6 – Eliminação da disjunção (Ev)..................................................................................61 
Regra 7 – Introdução de bicondicional (I↔ )..........................................................................62 
Regra 8 – Eliminação de bi condicional (E ↔)........................................................................62 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (15)...............................................................................................................63 
 
2.3.2) Regras de Inferência com o uso de Hipótese..............................................................65 
 
Regra 9: introdução do Condicional (I→ )................................................................................65 
Regra 10: introdução da negação (I~) .......................................................................................67 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (16)................................................................................................................71 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (17)................................................................................................................75 
 
2.3.3) Regras derivadas...........................................................................................................76 
 
Regra 11 – Modus Tolles (MT)..................................................................................................76 
Regra 12 – Silogismo hipotético (SH).......................................................................................76 
Regra 13 – Dilem a construtivo (DC).........................................................................................77 
Regra 14 – Repetição (RE).........................................................................................................78 
Regra 15 – Silogismo disjuntivo (SD).........................................................................................78 
Regra 16 – Dilema destrutivo (DD)............................................................................................80 
Regra 17 – Inferência por caos (IC)...........................................................................................81 
Regra 18 – Absorção (ABS)........................................................................................................81 
Regra 19 – Contradição (CONTRAD).......................................................................................82 
L ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercíciosL ista de exercícios (18)................................................................................................................85 
 
2.3.4) Teoremas........................................................................................................................86 
LLLL ista de exercíciosista de exercíciosista de exercíciosista de exercícios (19)................................................................................................................88 
 
2.3.5) Equivalências..................................................................................................................89 
L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios L ista de exercícios (20)................................................................................................................92 
 
Tabelas....................................................................................................................................................93 
 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
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2.3.1 Regras de Inferência 
 
Vamos agora começar a trabalhar com a verificação de formas válidas de 
argumentos utilizando a linguagem simbólica apresentada. 
 
Aqui serão utilizadas dez regras básicas de inferências, uma de introdução e uma 
de eliminação, como utilizado em NOLT (1991), para cada um dos operadores ( ~, ∧ , 
∨ , → e ↔ ). 
 
 
Analisaremos a forma do seguinte argumento: 
 
Camila é professora e gosta de cor-de-rosa. 
 
O que podemos concluir? 
 
2 conclusões: Podemos tanto concluir que Camila é professora , 
 como também que Camila gosta de cor-de-rosa. 
 
Notamos que as duas conclusões são verdadeiras! 
 
Usaremos as letras gregas “Φ” e “Ψ” para induzir generalizações e representar a 
regra de inferência citada. Não esqueça que essas letras podem ser substituídas por 
qualquer fbf atômica ou composta. 
 
 
Regra 1 - Eliminação da conjunção (E^): De uma conjunção, podemos inferir 
qualquer um de seus conjuntos. Simbolicamente: 
 
Φ ^ Ψ ├ Φ 
 ou 
 
Φ ^ Ψ ├ Ψ 
 
Lê-se: 
1. Dado que temos fi e psi pode-se concluir fi. 
2. Dado que temos fi e psi pode-se concluir psi. 
 
Ou ainda: 
 
1. Φ e Ψ . Portanto Φ. 
2. Φ e Ψ . Portanto Ψ. 
 
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Profa. Camila P. da Costa 
 
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Na forma vertical: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
 
1) Φ e Ψ Premissa 
├ 2) Ψ 1 (E^) 
 
Ou 
 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
 
1) Φ e Ψ Premissa 
├ 2) Φ 1 (E^) 
 
Objetivo: estabelecer um processo através do qual possamos ir, passo a passo, de uma 
premissa ou premissas para a conclusão, sendo cada passo autorizado por uma regra 
qualquer. Apresenta-se uma coluna com a memória do que vai sendo derivado. 
Agora, se alguém te fala que Camila gosta de cor-de-rosa e você sabe que Camila é 
professora, o que você pode concluir? De fato, podes dizer que Camila é professora e 
gosta de cor-de-rosa. 
 
Agora: 
Se você sabe que: 
Alguém te diz: 
 
 
 
O que você pode concluir? 
Podemos concluir que: Camila é professora e gosta de cor-de-rosa. 
 
Assim, perceba como ocorre essa regra: 
 
Camila é professora. (premissa) Φ 
Camila gosta de cor-de-rosa. (premissa) Ψ 
Então, Camila é professora e gosta de cor-de-rosa. ├ Φ ^ Ψ 
 
 
Regra 2 – Introdução da conjunção (I^): Dadas duas proposições podemos inferir a 
conjunção entre elas. 
 
Φ, Ψ ├ Φ^ Ψ 
 
Ou seja: 
1. Dado que temos fi e que também temos psi podemos concluir que se tem fi e psi 
 
Ou ainda 
 
2. Φ, Ψ Portanto Φ e Ψ 
 
Na forma vertical: 
Camila gosta de cor-de-rosa! 
Camila é professora. 
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Profa. Camila P. da Costa 
 
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Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
 
1) Φ Premissa 
2) Ψ Premissa 
├ 3) Φ^Ψ 1, 2 (I^) 
 
Regra 3 - Eliminação do condicional (E→), também conhecida como Modus Ponens 
(MP) - "De um condicional e seu antecedente, pode-se inferir seu conseqüente".
Simbolicamente: 
 
Φ→Ψ , Φ ├ Ψ 
 
Lê-se: 
1. Dado que temos o condicional se fi então psi e seu antecedente fi podemos concluir 
psi. 
 
2. Φ implica em Ψ, Φ . Portanto Ψ. 
 
Na forma vertical: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) Φ→Ψ Premissa 
2) Φ Premissa 
├ 3) Ψ 1, 2 (MP) 
 
Exemplo: 
 
Se Renato for às aulas, ele aprenderá os conteúdos. 
Se Renato r souber os conteúdos então passará na prova. 
Renato foi às aulas, portanto, ele passará na prova. 
 
Formalizando através da linguagem simbólica: 
 
 
“A” = Renato vai às aulas 
“C” = Renato aprende os conteúdos 
“P” = Renato passará na prova 
 
 
Sua formalização fica: A →C, C →P, A├ P 
 
Precisamos provar que P realmente é a conclusão gerada pelas premissas. Essa prova é 
feita através das regras de inferência, para isso vamos escrever passo a passo as 
derivações. 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
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Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
 
Assim, obtemos o resultado esperado. Chegamos onde queríamos, provamos que P é 
derivado das premissas, portanto essa forma de argumento é válida. 
 
 
 
Exemplo: PROVAR SE A SEGUINTE REGRA É VÁLIDA: 
 
 
a) P→(Q^R), P├ P^R 
 
Prova: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
 
 
b) P^Q ├ Q^P 
Prova: 
 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) 
2) 
3) 
4) 
 
c) ~P→(Q→(R→~T)), ~P , Q , R├ ~T 
Prova: 
 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
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Profa. Camila P. da Costa 
 
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Regra 4 – Eliminação da negação (E~): De uma negação dupla de uma fórmula, 
pode-se inferir a fórmula. Simbolicamente: 
 
~~Φ├ Φ 
 
Lê-se: 
1. Dado que negamos duas vezes fi podemos concluir fi. 
2. não não Φ . Portanto Φ. 
 
Na forma vertical: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) ~ ~ Φ Premissa 
├ 2) Φ 1 (E~) 
 
Exemplo 
 
 T = “ A Terra é redonda.” 
 ~T = “Não é verdade que a Terra é redonda” 
~~T => a frase “Não é verdade que a Terra é redonda” é mentira, concluímos 
que “A TERRA É REDONDA”. 
 
 
Exemplo 5: Prove a validade da forma de argumento a seguir: 
 
~P→ ~~Q, ~~~~~P ├ Q 
 
Prova: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
 
 
Regra 5 - Introdução da disjunção (Iv ): de uma fbf, podemos inferir a disjunção com 
qualquer fbf. Simbolicamente: 
 
Φ ├ Φ v Ψ 
 
ou 
 
Φ ├ Ψ v Φ 
 
Lê-se: 
1. Dado fi pode-se concluir fi ou psi. 
2. Dado fi pode-se concluir psi ou fi. 
3. Φ. Portanto Φ v Ψ. 
4. Φ. Portanto Ψ v Φ . 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
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Na forma vertical: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) Φ Premissa 
├ 2) Φ v Ψ 1(Iv) 
 
Ou 
 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) Φ Premissa 
├ 2) Ψ v Φ 1(Iv) 
 
 
Exemplo 6: Prove a forma de argumento: 
 
P ├ (P v (Q → T) ) Λ (P v (~R Λ S)) 
 
Prova: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1. 
2. 
3. 
4. 
 
Regra 6 - Eliminação da disjunção (Ev): Dada uma fbf da forma Φ v Ψ e outras duas 
da forma Φ→X e Ψ → X, podemos inferir X. Simbolicamente: 
 
Φ v Ψ, Φ→X, Ψ → X ├ X 
Lê-se: 
1. Dado que temos fi ou psi, se fi então qui e se psi então qui pode-se concluir qui. 
2. Φ ou Ψ , Φ implica em X e Ψ implica em X. Portanto X. 
 
Na forma vertical: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) Φ v Ψ P 
2) Φ→X P 
3) Ψ →X P 
├ 4) X 1,2,3 (Ev) 
 
 
Hoje é terça-feira ou quarta-feira. T v Q 
Se hoje é terça-feira então é um dia útil. T→ U 
Se hoje é quarta-feira então é um dia útil. Q→ U 
Portanto hoje é um dia útil. ├ U 
 
 
 
 
Fica óbvio que embora 
não saibamos se é terça-
feira ou quarta-feira 
podemos afirmar que é 
um dia útil. 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
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Profa. Camila P. da Costa 
 
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Regra 7 - Introdução de bicondicional (I↔ ): Dado que se têm as fbfs Φ→ Ψ e Ψ → Φ 
pode-se inferir Φ↔ Ψ. Simbolicamente: 
 
Φ→ Ψ , Ψ → Φ ├ Φ↔ Ψ 
 
Lê-se: 
 
1. Dado que se fi então psi e que se psi então fi pode-se concluir fi se, e somente se 
psi. 
2. Φ implica em Ψ e Ψ implica em Φ. Portanto, Φ se, e somente se Ψ. 
 
Na forma vertical: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) Φ → Ψ P 
2) Ψ → Φ P 
├ 3) Φ↔ Ψ 1,2 (I↔) 
 
Exemplo: 
 
Se estamos em fevereiro, então estamos no mês mais curto do ano. F→ C 
Se estamos no mês mais curto do ano, então estamos em fevereiro. C→ F 
Logo, estamos em fevereiro se, e somente se, estamos no mês mais curto do ano. F ↔C 
 
Regra 8 - Eliminação de bi condicional (E ↔): Dado que se tem a fbf Φ↔Ψ, podem-
se inferir as fbfs Φ → Ψ e Ψ → Φ. Simbolicamente: 
 
Φ↔Ψ ├ Φ → Ψ 
ou 
Φ↔Ψ ├ Ψ → Φ 
 
Lê-se: 
1. Dado que fi se, e somente se psi pode-se concluir se fi então psi. 
2. Dado que fi se, e somente se psi pode-se concluir se psi então fi. 
3. Φ se, e somente se Ψ. Portanto, Φ implica em Ψ. 
4. Φ se, e somente se Ψ. Portanto, y implica em Φ. 
 
Na forma vertical: 
Premissas e inferências (passos) Memória dos Cálculos 
1) Φ↔Ψ P 
├ 2) Φ → Ψ 1 (E↔) 
 
ou 
 
1) Φ↔Ψ P 
├ 2) Ψ → Φ 1 (E↔) 
 
Poderíamos ter escrito essa regra na forma do 
argumento válido 
Φ↔Ψ ├ (Φ→Ψ) ^( Ψ→Φ), 
mas, se o tivéssemos feito, para inferirmos 
Φ → Ψ de Φ↔Ψ, teríamos que usar duas 
regras, a "E↔" e a "E^". 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
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L ista de exercícL ista de exercícL ista de exercícL ista de exercíc ios (1ios (1ios (1ios (15555 ):):):): 
 
1. Prove a validade de cada uma das seguintes formas de argumento: Exercícios retirados do 
livro NOLT (1991) 
 
a) F↔ (S v D), S ├ F 
b) P→ Q, (P→ Q) → (Q→ P) ├ P↔ Q 
c) P↔ Q ├ Q↔P 
d) Q, Q→ R, Q→S ├ R ^ S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
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Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
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2.3 Regras de Inferência com o Uso de Hipótese 
 
Enquanto as outras regras nos permitem inferir conclusões baseando-nos em premissas 
verdadeiras, essas duas regras são baseadas em suposições. 
Consideremos, como exemplo, a seguinte forma de argumento: 
 
P → Q, Q → S, (S v T) → ~V├ P→ ~ V 
 
1) P → Q p 
2) Q → S p 
3) (S v T) → ~V p 
 
 
Dadas as premissas, precisamos provar que vale o condicional “P→~V”. 
Mas ainda não conhecemos uma regra do tipo “introdução do condicional”. 
Como poderemos fazer isso? 
 
Tomamos, temporariamente, como hipótese o antecedente “P” e, dessa hipótese, tentaremos 
derivar o seu conseqüente “~V”, se tivermos sucesso então poderemos concluir o que 
queríamos (P→~V). Vejamos o raciocínio: 
 
1) P→ Q p 
2) Q→ S p 
3) (S v T) → ~V p 
4) │P Hipótese para o condicional que queremos provar (é como uma premissa adicional) 
5) │Q 1,4 (MP) - podemos
fazer devido a hipótese 
6) │S 2,5 (MP) - podemos fazer devido a hipótese 
7) │S v T 6 (Iv ) - podemos fazer devido a hipótese 
8) │~V 3,7 (MP) -Observe que chegamos ao seu conseqüente, assim, podemos concluir. 
9) P →~V 4-8 (I→) 
 
Cabe notar que os passos 4 a 8 só aconteceram devido a hipótese adicional (temporária). 
No caso do exemplo, após termos suposto “P”, foi possível garantir “~V” através de outras 
derivações. Então, no passo 9, fechamos a hipótese “P” e inferimos “P → ~V”. Neste último 
passo, citamos a regra I→ (introdução do condicional) e colocamos as linhas que nos 
permitiram tal conclusão, neste caso, 4 a 8. 
 
Regra 9: introdução do Condicional (I→ ) - mais conhecida como Prova do Condicional 
(PC) ou método direto: dada uma derivação de uma fbf B a partir de uma hipótese A, podemos 
descartar a hipótese e inferir A→B. Simbolicamente: 
 
| A hipótese 
| . 
| . derivações 
| . 
| B 
├ A→B 
 
Lê-se: 
1. Dada a hipótese A, e se seguir as derivações até chegar em B, então pode-se descartar a 
hipótese A e concluir A implica em B. 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
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Exemplo 1: 
 
Prove: A→B, B→C├ A→C (será conhecido como silogismo hipotético) 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
 
Observe que a fórmula do passo 5 (ou linha 5) depende das premissas e da hipótese 
temporária (auxiliar), mas a fbf da linha 6, só depende das premissas, uma vez que, por 
aplicação da regra PC, a dependência da linha 3 foi eliminada. 
 
 
 
Exemplo 2: 
Prove: PΛ R├ (P→ Q) → (Q Λ R) 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
 
Exemplo 3: 
Prove: P → Q ├ (Q → R) → (P→ R) 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 67 
Aprenderemos agora a última regra básica de inferência e introdução da negação (I~), ou como 
é conhecida, a Redução ao absurdo (RAA), também conhecida como “prova indireta”, que 
também usa o raciocínio através da aplicação de uma hipótese. 
 
A forma de proceder com essa regra é a seguinte: 
Admita que: o que queremos provar não é verdade. Neste caso poderíamos inferir que a sua 
negação é verdadeira.Faremos então a suposição de que sua negação é verdadeira, ou seja, 
que ela pode ser usada como premissa (hipótese). 
 
Contudo, se essa suposição nos levar a uma contradição (A ∧ ~A), então não poderíamos ter 
feito a admissão da “não verdade” e então a conclusão (o que queremos) é verdadeira. 
 
 
Regra 10: introdução da negação (I~) - Redução ao absurdo (RAA): dada uma derivação de 
uma contradição a partir de uma hipótese A, podemos descartar a hipótese e inferir ~A. 
Simbolicamente: 
 
A hipótese 
. 
. derivações 
. 
BΛ~B 
├ ~A 
 
Lê-se: 
1. Dada a hipótese A, e se seguir das derivações uma contradição, então pode-se descartar a 
hipótese A e concluir a negação de A. 
 
O símbolo RAA vem da abreviação de reductio ad absurdum. 
 
 
 
Exemplo 4: 
Prove a validade da forma de argumento: P→ Q, ~Q ├ ~P 
Prova: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
 
Comentário: como a conclusão desse argumento é “~P”, supomos por absurdo a hipótese “P” 
na linha 3. Assim, pela regra Modus Ponens, aplicada nas linhas 1 e 3, conseguimos a fbf “Q” 
na linha 4. Além disso, através das linhas 4 e 2, pela introdução da conjunção, chegamos a 
contradição na linha 5. Consequentemente, descartamos a hipótese “P”, inferindo ~P na linha 6 
pela regra RAA. 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 68 
Exemplo 5: 
Prove a validade da forma de argumento: P↔ ~Q ├ ~(PΛQ) 
Prova: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Comentário: como a conclusão era “~(PΛQ)”, utilizamos a hipótese para redução ao absurdo 
“PΛQ”, na linha 2. Assim, utilizando as regras básicas, conseguimos na linha 7 a contradição e, 
consequentemente, podemos descartar a hipótese “PΛQ” e inferir ~(PΛQ) segundo a regra 
RAA. 
 
E stratégias para provaE stratégias para provaE stratégias para provaE stratégias para prova :::: 
 
Quando aparecer Dica 
 
 
na conclusão, uma fbf atômica 
Usar a estratégia do RAA – Tomar como hipótese a 
negação da conclusão visando a uma contradição e 
assim descartar a hipótese e conseguir a conclusão 
procurada por eliminação da negação. 
 
 
 
na conclusão, uma fbf negada 
Usar a estratégia do RAA – Colocar como hipótese a 
conclusão, sem o símbolo de negação; procurar a 
contradição; e a conclusão, assim, será obtida 
fechando-se a hipótese e inferindo a negação da 
suposição feita. 
 
 
na conclusão, uma conjunção 
Prove cada um dos componentes da conjunção e, por 
fim, une-os através da regra Introdução da conjunção. 
 
 
 na estrutura do argumento, uma 
disjunção como operador principal em 
uma premissa 
 
Uma das dicas é tentar usar a regra “eliminação da 
disjunção”. Tente provar os condicionais necessários, 
ou seja, os antecedentes sejam exatamente os 
disjuntos. Se isso não for bem sucedido podes tentar, 
também, a regra “RAA”. 
 
na conclusão um condicional Neste caso a dica é fácil, use a estratégia do PC. 
 
na conclusão, um Bicondicional Neste caso usa-se o PC mais de uma vez e em seguida 
a introdução do bicondicional 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 69 
É IM PO R TA N T E O B SE R V A R Q U E : 
 
1. Quando introduzimos uma hipótese, simbolizamos essa estratégia pela inserção 
de uma linha vertical que se estende até que a hipótese possa ser descartada pela 
regra PC ou RAA. 
 
2. Após o descarte de uma hipótese, descartamos também todas as fbfs que foram 
inferidas com o uso da referida suposição, isto é, todas as fbfs que apareceram à 
direita da linha vertical enquanto a hipótese estava valendo. 
 
3. Se duas ou mais hipóteses são vigentes simultaneamente, então a ordem na qual 
elas são descartadas deve ser a ordem inversa na qual elas são introduzidas. 
 
4. Uma forma de argumento pode ser provada de diversas maneiras; ou seja, 
podem existir mais de uma seqüência de trocas de regras e utilização das 
premissas e hipóteses, como no exemplo 12. 
 
 
5. Numa demonstração (prova ou derivação) não poderemos dizer que a mesma 
está completa se ainda existirem hipóteses vigentes. 
 
6. A eficiência em termos de rapidez, ou seja, menos passos para se provar a 
validade de um argumento, depende da estratégia utilizada durante as 
derivações. Existem algumas “pistas” que podem ser indicadas e estas vêm da 
análise da estrutura da conclusão e da forma do argumento; isto é, como as 
premissas se dispõem e qual seu operador principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
70 
 
 
Nome da Regra Simbolicamente 
Eliminação da conjunção (EΛ): de uma conjunção, podemos 
inferir qualquer um de seus conjuntos. Ou seja: 
 
 A Λ B ├ A ou A Λ B ├ B 
 
1) A Λ B P 
2) B 1(EΛ) 
 Ou 
1) A Λ B P 
2) A 1(EΛ) 
Introdução da conjunção (IΛ): dadas duas proposições pode-se 
inferir a conjunção entre elas. Ou seja: 
 A, B ├ A Λ B 
1) A P 
2) B P 
3) A Λ B 1, 2 (IΛ) 
Eliminação do condicional (E→) - Modus Ponens (MP) - de um 
condicional e seu antecedente, pode-se inferir seu 
conseqüente. Ou seja: A→B, A ├ B 
1) A→B P 
2) A
P 
3) B 1,2 (MP) 
Eliminação da negação (E~): de uma negação dupla de uma 
fórmula, pode-se inferir a fórmula. Ou seja: 
~~A├ A 
1) ~~A P 
2) A 1(E~) 
 
Introdução da disjunção (IV): de uma fbf A, podemos inferir a 
disjunção com qualquer fbf. Ou seja: 
 
A ├ AVB ou A ├ BVA 
 
1) A P 
2) A V B 1(I V) 
 Ou 
1) A P 
2) B V A 1(I V ) 
 
Eliminação da disjunção (EV): dada uma fbf da forma AVB e 
outras duas da forma A→C e B→C, podemos inferir C. Ou 
seja: 
 
AVB, A→C e B→C ├ C 
1) AVB P 
2) A→C P 
3) B→C P 
3) C 1,2,3 (EV) 
 
Introdução de bicondicional (I↔): dado que se têm as fbfs 
A→B e B→A pode-se inferir A↔B. Ou seja: 
A→B, B→A ├ A↔B 
1) A→B P 
2) B→A P 
3) A↔B 1,2 (I↔) 
 
Eliminação de bi condicional (E↔): dado que se tem a fbf A↔B 
podem-se inferir as fbfs A→B e B→A. Simbolicamente: 
 
A↔B ├ A→B ou A↔B ├ B→A 
1) A↔B P 
2) A→B 1(E↔) 
 ou 
1) A↔B P 
2) B→A 1(E↔) 
 
Introdução do Condicional (I→): Prova do Condicional (PC) ou 
método direto: Dada uma derivação de uma fbf B a partir de 
uma hipótese A, podemos descartar a hipótese e inferir A→B. 
Ou seja: 
A hipótese 
M derivações 
B 
├ A→B 
 
1) │P H/PC 
2) │M 
5) │R (conseqüente) 
6) P→R 1-5 (PC) 
 
Introdução da negação (I~): Redução ao absurdo (RAA): dada 
uma derivação de uma contradição a partir de uma hipótese A, 
podemos descartar a hipótese e inferir ~A. 
Ou seja: 
A hipótese 
M derivações 
B Λ~B 
├ ~A 
 
1) │P H/RAA 
2) │M 
5) │B Λ ~B (contradição) 
6) ~ P 1-5 (RAA) 
 
A S D E Z R E G R A S A S D E Z R E G R A S A S D E Z R E G R A S A S D E Z R E G R A S 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
71 
L ista de exercícios (1L ista de exercícios (1L ista de exercícios (1L ista de exercícios (16666 ):):):): 
Prove a validade das seguintes formas de argumentos 
 
1) P→Q├ ~PVQ 
1. . 
2. . 
3. . 
4. . 
5. . 
6. . 
7. . 
8. . 
9. . 
10. . 
11. . 
 
2) P→ Q ├ ~~(P→ ~~Q) 
1. . 
2. . 
3. . 
4. . 
5. . 
6. . 
7. . 
8. . 
9. . 
10. 
 
3) P→Q ├ ~Q→ ~P 
1. . 
2. . 
3. . 
4. . 
5. . 
6. . 
7. 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
72 
4) P VQ ├ Q VP (Comutatividade do V) 
 
1. . 
2. . 
3. . 
4. . 
5. . 
6. . 
7. . 
8. 
 
Obs: quando formos usar a regra “eliminação da disjunção”, pela própria regra devemos ter 
dois condicionais. Assim, fica evidenciado a quase necessidade de se usar a regra PC 
conjuntamente. 
 
5) (P Λ Q) V (P Λ R) ├ P Λ (Q V R) (distributiva) 
 
1. . 
2. . 
3. . 
4. . 
5. . 
6. . 
7. . 
8. . 
9. . 
10. . 
11. . 
12. . 
13. . 
14. 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
73 
 6) ~P V ~Q ├ ~(P Λ Q) (lei de De Morgan) 
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
74 
7) ~(P Λ Q) ├ ~P V ~Q (lei de De Morgan) 
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. . 
15. 
 
 
8) P→ Q ├ ~P V Q (implicação material) 
 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
75 
 L ista de exercícios (L ista de exercícios (L ista de exercícios (L ista de exercícios (11117777 ):):):): 
 
1) Forneça uma prova para as seguintes formas (retiradas dos livros que constam nas 
referências). 
 
a) P, ~ ~ (P → Q) ├ Q ∨ ~ Q 
 
b) P, ~ ~ (P → Q) ├ (R ∧ S) ∨ Q 
 
c) P ├ P ∨ P 
 
d) P ├ P ∧ P 
 
e) ~ P → (Q → R), ~ P, Q ├ R 
 
f) (P ∧Q) → (R ∧ S), ~ ~ P, Q ├ S 
 
g) P ├ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) 
 
h) T, (T ∧ C) → ~ S, ~ S → ~ A ├ C → ~ A 
 
i) P → Q, Q → R ├ P → R 
 
j) P ├ (P → Q) → Q 
 
k) (P ∧ Q) → R ├ P → (Q → R) 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
76 
2.4 Regras Derivadas: 
 
As estruturas que veremos a seguir, depois de demonstradas, podem ser utilizada na 
verificação da validade de outras formas de argumento. Chamaremos a estas fórmulas 
de regras derivadas, pois são perfeitamente deduzidas das 10 regras básicas. 
 
 
Regra 11 – Modus Tolles (MT): Dado o condicional e a negação do conseqüente, 
podemos concluir a negação do antecedente. Simbolicamente: 
 
A → B, ~B ├ ~A 
Lê-se: 
A implica em B, não B. Portanto, não A. 
 
Vamos provar utilizando as 10 regras básicas: P→ Q, ~Q ├ ~ P. 
Prova: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)  
 
Regra 12 - Silogismo hipotético (SH): Dados dois condicionais, tais que o conseqüente 
do primeiro coincide com o antecedente do segundo, podemos concluir que o 
antecedente do primeiro condicional implica no conseqüente do segundo condicional. 
 
Simbolicamente: 
A→B, B→C ├ A→C 
Lê-se: 
A implica em B, B implica em C. Portanto, A implica em C. 
 
Vamos provar utilizando as 10 regras básicas: P→ Q, Q→ R ├ P→ R 
Prova: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)  
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
77 
 
O próximo argumento sugere a regra que recebe o nome de Dilema Construtivo e pode 
ser assim enunciado: 
 
Regra 13 - Dilema construtivo (DC): Dada uma disjunção, tal que o primeiro disjunto 
implica em uma fbf e o segundo disjunto implica em outra fbf. Podemos concluir uma 
disjunção com estas duas fbf. 
Simbolicamente: 
 
AvB, A→C, B→R├ CvR. 
 
Lê-se: 
A ou B, A implica em C, B implica em R. Portanto, A ou R. 
 
Vamos provar utilizando as 10 regras básicas: PvQ, P→R, Q→S├ RvS. 
Prova: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12)  
 
Comentário: A estratégia dessa prova é basicamente a eliminação da disjunção. Para 
isso, primeiramente, abrimos uma Hipótese para PC na linha 4 e concluímos, através da 
aplicação das regras básicas na linha 7, que P→(RvS). A mesma estratégia foi utilizada 
para chegarmos a implicação Q→(RvS) na linha 11. Consequentemente, através da 
regra “eliminação da disjunção”, aplicadas as linhas 1,7 e 11, chegamos a conclusão 
RvS. 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
78 
Observe a próxima regra apresentada, embora simples, sempre é motivo de confusão. 
 
Regra 14 - Repetição (RE): De uma premissa pode-se concluir uma proposição igual a 
premissa. 
 
Simbolicamente: 
A├ A 
Lê-se: 
A. Portanto, A. 
 
Prova: utilizando as 10 regras básicas 
 
1)  
 
Comentário: Como o processo de prova da forma de um argumento consiste 
basicamente na busca de evidência para a conclusão, onde dispomos das 10 regras 
básicas que regem o cálculo proposicional. Podemos observar que a conclusão a qual 
buscamos é exatamente a premissa que dispomos,
logo a prova consiste em representar 
a premissa. 
 
Uma outra forma que aparece muito nas demonstrações é a seguinte: 
 
Regra 15 – Silogismo disjuntivo (SD): dada uma disjunção e a negação de um de seus 
disjuntos podemos concluir o outro disjunto que compõe a disjunção inicial. 
 
Simbolicamente: 
AvB, ~A├ B 
Lê-se: 
A ou B, não A. Portanto, B. 
 
Vamos a sua demonstração: PvQ, ~P ├ Q 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 
79 
Vamos a sua demonstração: PvQ, ~P ├ Q 
 
Prova: utilizando as 10 regras básicas 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11)  
 
Comentário: A estratégia para essa prova foi a eliminação da disjunção valendo-se da 
suposição pela regra RAA. Primeiramente, abrimos uma hipótese para PC na linha 3, 
logo após, “~Q” foi posta na linha 4, como hipótese para RAA. Através da aplicação das 
regras básicas, chegamos na linha 8, que P→Q. Na linha 10 deduzimos que Q→Q e 
assim, na linha 11, por 1,8,10 (Ev) inferimos Q. 
 
A próxima forma nos lembra uma das apresentadas anteriormente, observe: 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 80 
Regra 16 – Dilema destrutivo (DD): Dadas duas implicações e uma disjunção com a 
negação dos conseqüentes, podemos inferir uma disjunção com a negação dos 
antecedentes. 
 
Simbolicamente: 
(A→B) Λ (C→R), ~B v ~R ├ ~A v ~C. 
 
Lê-se: 
A implica em B e C implica em R, não B ou não R. Portanto, não A ou não C. 
 
Vamos a sua demonstração: (P→Q) Λ(R→S), ~Q v ~S ├ ~Pv~R. 
 
Prova: Utilizando as 10 regras básicas e uma derivada (MT), veja: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13)  
 
 
A forma que apresentamos a seguir tem um nome aparentemente estranho, vamos ver o 
por quê: 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 81 
Regra 17 – Inferência por caos (IC): Dados um condicional cujo conseqüente é uma 
disjunção e a negação de um dos disjuntos, podemos inferir um condicional que é 
formado pelo antecedente do condicional anterior e cujo conseqüente é o disjunto não 
negado. 
 
Simbolicamente: 
A→(BvC), ~C ├ A→B 
 
Lê-se: 
 A implica em B ou C, não C. Portanto, A implica em B. 
 
Vamos a sua demonstração: P→ (QvR), ~R├ P→ Q. 
 
Prova: Utilizando as 10 regras básicas e as derivadas, veja: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)  
 
As duas regras derivadas apresentadas a seguir são práticas e nos ajudam nas 
demonstrações em geral. 
 
Regra 18 – Absorção (ABS): Dado um condicional pode-se inferir este condicional, 
mas no conseqüente inclui-se o antecedente através de uma conjunção. 
 
Simbolicamente: 
A→B ├ A→ (A Λ B) 
Lê-se: 
A implica em B. Portanto, A implica em A e B. 
 
Vamos a demonstração de uma instância desta regra: P→ Q ├ P→ (P Λ Q) 
Prova: Utilizando as 10 regras básicas: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5)  
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 82 
Regra 19 – Contradição (CONTRAD): Dado uma fbf e sua negação inferem-se 
qualquer fbf. 
 
Simbolicamente: 
A, ~A ├ B 
Lê-se: 
A e ~A. Portanto, B. 
 
Vamos a demonstração de uma instância desta regra: P, ~P ├ Q 
 
Prova: utilizando as 10 regras básicas: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)  
 
 
Veja agora, nos próximos dois exemplos, como a demonstração de uma forma de 
argumento fica bem mais resumida quando utilizamos as regras derivadas. Isso acontece 
pelo fato de não ser necessário demonstrar todas as formas intermediárias de argumento 
(neste caso as regras derivadas). 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 83 
Exemplo 1: ~P→Q, R→S, ~PvR, ~Q ├ S 
 
Prova: Utilizando regras básicas e derivadas: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)  
Utilizando apenas regras básicas: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20)│ 
21) 
22)  
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 84 
 Exemplo 2: P→Q, (P Λ Q) →R, ~R├ ~P 
Prova: Utilizando as regras básicas e as derivadas 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)  
Utilizando regras básicas 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15)  
 
Outra maneira de provar o argumento 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9)  
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 85 
L ista de exercícios (1L ista de exercícios (1L ista de exercícios (1L ista de exercícios (18888 ):):):): 
 
Utilizando as regras básicas ou derivadas, prove a validade das seguintes formas de 
argumento: 
 
a) P → Q, Q → R, S → T, P ∨ S ├ R ∨ T 
 
b) P → Q, (P ∧ Q) → R, ~ (P ∧ R) ├ ~ P 
 
c) P → Q, R → (S → T), ~ R ∨ (P ∨ S), R ├ Q ∨ T 
 
d) (P → Q) ∧ (P → R) ├ P → (Q ∧ R) 
 
e) P → Q ├ (P ∨ R) → (Q ∨ R) 
 
f) (P ∨ Q) → R, (Q ∨ R) → (P → (S ↔ T)), P ├ S ↔ T 
 
g) P ↔ Q ├ ~ P ↔ ~ Q 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 86 
2.5 Teoremas 
 
Os teoremas são formas de argumentos que consistem em uma fbf a qual é possível 
provar sem premissas, apenas se valendo de hipóteses condicionais, hipóteses para 
redução ao absurdo ou de ambas. 
 
Vejamos os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 1: Prove o teorema: ├ ~(P Λ~P) 
 
Observe que as premissas que usualmente localizam-se antecedendo o traço de asserção, 
no teorema não estão presentes. Esta forma de argumento que é agora apresentada é que 
geralmente é usada nas demais áreas da matemática, como geometria e outras. Assim, 
para que comecemos a prova deste teorema, devemos fazer suposições para redução ao 
absurdo, já que a fbf que acompanha o sinal de negação por si só gera uma contradição, 
como podemos verificar na seguinte solução: 
 
Prova: ├ ~(P Λ~P) 
 
1) 
2)  
 
Exemplo 2: Prove o teorema: ├ P→ (P v Q) 
 
Solução: Para que comecemos a prova é necessário que façamos uma hipótese para 
prova por condicional conforme as dicas dadas na tabela de estratégias de provas. Como 
podemos verificar na resolução abaixo, essa estratégia é bem sucedida: 
 
1) 
2) 
3)  
 
Exemplo 3: Prove o teorema: ├ P→ ((P→ Q) → Q) 
 
Solução: Basicamente, a estratégia de prova, nesse caso, consiste em suposição para 
prova por condicional, como podemos verificar no desenvolvimento da demonstração 
exposto abaixo: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5)  
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 87 
 
Exemplo 4: Prove o teorema: ├ P ↔ ~~P 
 
Solução: Nesse caso há um bicondicional. Logo, temos que provar essa forma de 
argumento nos dois sentidos; ou seja, (P→~~P) e (~~P→P). Mas, ainda há uma dupla 
negação no conseqüente da primeira implicação. Assim, após a primeira hipótese para a 
prova por condicional, temos que abrir hipótese para redução ao absurdo, como 
podemos verificar no desenvolvimento a seguir: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9)  
 
Exemplo 5: Prove o teorema: ├ Pv~P 
 
Solução: Essa prova consiste no uso da hipótese para redução ao absurdo, como é 
exposto nas linhas seguintes: 
 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8)
9)  
 
Após termos efetuado a prova de um teorema ele poderá ser utilizado, assim como as 
regras derivadas, na prova de outras formas de argumentos. Para indicarmos essa 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 88 
operação no cálculo proposicional utilizamos a sigla – IT – que significa – Introdução 
de Teorema. O objetivo dessa estratégia é tornar a prova mais concisa e menos extensa. 
 
Uma tentativa de formalizar o uso nas derivações seria: 
 
IT - Introdução de teorema: qualquer instância substitutiva de um teorema pode ser 
introduzida em qualquer linha de uma prova. 
 
Exemplo 6: Prove o teorema: ├ (PvQ)v(~Pv~Q) 
 
Prova: 
1) IT - não precisamos indicar linha, pois é um teorema e não é derivado de nenhuma linha. 
2) IT 
3) IT 
4)  
 
L ista de exercícios (1L ista de exercícios (1L ista de exercícios (1L ista de exercícios (19999 )))) 
 
Utilizando as regras básicas ou derivadas, prove os seguintes teoremas. Lista retirada 
do livro Nolt (1991): 
 
a) ├ P → P 
 
b) ├ P → (Q → (P ∧ Q)) 
 
c) ├ (P → Q) → (~ Q → ~ P) 
 
d) ├ (P ∧ Q) ∨ (~ P ∨ ~ Q) 
 
e) ├ P ∨ (P → Q) 
 
f) ├ (P → Q) ∨ (Q → P) 
 
 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 89 
2.6 Equivalências 
 
As equivalências são teoremas que apresentam como operador principal o 
bicondicional, sendo que a presença desse operador torna as duas componentes do 
bicondicional interderiváveis; ou seja, dada a ocorrência de uma das componentes do 
bicondicional, podemos inferir a outra sem que tenhamos alteração no significado da 
forma do argumento. Assim, de um modo geral, todas as equivalências apresentam a 
seguinte forma: “A↔B”, onde A e B são fbfs. Dada a ocorrência de A podemos inferir 
B, ou, dada a ocorrência de B, podemos inferir A. 
 
Em uma equivalência, da forma: “├ A↔B”, provamos primeiramente que: A→B e, 
depois, que B→A (ou vice-e-versa). 
 
Para um melhor entendimento vejamos os seguintes exemplos: 
 
Exemplo 1: Prove a equivalência: ├(P Λ (Q ΛR)) ↔((P ΛQ) ΛR) 
Prova: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17)  
Comentário: Veja que a primeira linha da demonstração acima é constituída por uma 
das componentes do bi-condicional e é introduzido através de um hipótese para PC. 
Esse fato sempre será constatado em uma demonstração de equivalência. 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 90 
Observe, também, que, na demonstração dessa equivalência, não foi preciso uma 
estratégia muito sofisticada. 
Esta consistiu, basicamente, em eliminação e introdução da conjunção. Entretanto, 
outras podem exigir estratégias mais apuradas, como podemos verificar na seguinte 
demonstração: 
 
Exemplo 2: Prove a equivalência: ├ ~(P ΛQ) ↔(~Pv~Q) 
 
Prova: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 91 
26) 
27) 
28) 
29) 
30) 
31)  
 
Muitas equivalências são identificadas por nomes próprios, como a apresentada 
anteriormente, chamada de “Lei de De Morgan”, assim como as demais regras do 
cálculo proposicional. A Tabela abaixo exibe algumas das equivalências mais 
importantes, que utilizaremos nas provas de formas de argumentos em geral. Cabe 
salientar que usaremos as regras básicas, as derivadas, os teoremas e as equivalências 
para provar as formas de argumentos do cálculo proposicional. Convém lembrar que as 
dez regras básicas são suficientes para as provas, mas as outras auxiliam em rapidez e 
estratégias. 
 
 
Equivalência Nome 
 ~(A B) (~A ~B) Lei de Morgan (DM) 
 ~(A B) (~A ~B) Lei de Morgan (DM) 
 (A B) (B A) Comutação (COM) 
 (A B) (B A) Comutação (COM) 
 (A (B C)) ((A B) C) Associação (ASSOC) 
 (A (B C)) ((A B) C) Associação (ASSOC) 
 (A (B C)) ((A B) (A C)) Distributiva (DIST) 
 (A (B C)) ((A B) (A C)) Distributiva (DIST) 
 A ~~A Dupla Negação (DN) 
 (A B) (~B ~A) Transposição (TRANS) 
 (A B) (~A B) Implicação Material (IM) 
 ((A B) C) (A (B C)) Exportação (EXP) 
 A (A A) Tautologia (TAUT) 
 A (A A) Tautologia (TAUT) 
 
Não faremos uma definição formal para as equivalências, uma tentativa de formalizar a 
substituição das fórmulas seria: 
 
Se φ e ψ são equivalentes e φ é uma componente da fbf ξ, então de ξ podemos inferir o 
resultado de substituir uma ou mais ocorrências de φ em ξ por ψ. 
 
O uso das equivalências (ou substituições) só faz sentido quando ajudam nas derivações 
na prova, caso contrário, se não temos uma estratégia na qual ela seja útil, não temos 
motivo para fazê-la. 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 92 
Exemplo 3: Prove: (P ΛQ) →(R ΛS), ~Rv~S├ ~Pv~Q 
 
Prova: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5)  
 
 
Exemplo 4: Prove: (~PvQ) Λ(~PvR)├ P→(Q Λ ~~R) 
 
Prova: 
1) 
2) 
3) 
4)  
 
OBS: Veja que, nessa demonstração, foi aplicada a regra “dupla negação” em apenas 
uma parte da fbf “Pv(Q Λ~~R)”, ficando “Pv(Q ΛR)”. Isso é possível pelo fato de R e 
~~R serem formas equivalentes. Observe, ainda, que não pode ser usada a regra 
“eliminação da negação", pois esta cabe apenas a fbfs. 
 
 
L iL iL iL ista de exercícios (sta de exercícios (sta de exercícios (sta de exercícios (20202020 ):):):): 
 
1) Utilizando as regras básicas ou derivadas, prove as seguintes equivalências. Observe 
que são as próprias que constam na Tabela 5, apenas não escritas de forma genérica: 
a) ├ (P ∨ Q) ↔ (Q ∨ P) 
b) ├ (P ∧ Q) ↔ (Q ∧ P) 
c) ├ (P ∧ (Q ∨ R)) ↔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)) 
d) ├ (P ∧ Q) ↔ ~ (~ P ∨ ~ Q) 
e) ├ (P → Q) ↔ (~ P ∨ Q) 
f) ├ (P ∧ Q) ↔ ~ (P → ~ Q) 
g)├ P ↔ ((P ∧ Q) ∨ (P ∧ ~ Q)) 
h) ├ ~ (P → Q) ↔ (P ∧ ~ Q) 
i) ├ ~ (P ↔ Q) ↔ ((~ P ∧ Q) ∨ (P ∧ ~ Q)) 
j) ├ (P ∨ ~ P) ↔ (Q ∨ ~ Q) 
Capítulo 2: O CÁLCULO PROPOSICIONAL 
2.3- Regras de Inferência 
Profa. Camila P. da Costa 
 
 93 
 
1. Eliminação da 
conjunção (EΛ) 
 
1) A Λ B P 
2) B 1(EΛ) 
 Ou 
1) A Λ B P 
2) A 1(EΛ) 
 
11. Modus Tolles (MT): 
 
1) A → B 
2) ~B 
3) ├ ~A 
 
2. Introdução da 
conjunção (IΛ) 
1) A P 
2) B P 
3) A Λ B 1, 2 (IΛ) 
 
12. Silogismo hipotético (SH): 
1) A→B 
2) B→C 
├ A→C 
3. Eliminação do 
condicional (MP) 
1) A→B P 
2) A P 
3) B 1,2 (MP) 
 
13. Dilema construtivo (DC): 
1) AvB 
2) A→C 
3) B→R 
 4)├CvR 
4. Eliminação da 
negação (E~) 
1) ~~A P 
2) A 1(E~) 
 
14. Repetição (RE): 
 
1)A 
2)├ A 
 
 
5. Introdução da 
disjunção (IV) 
 
 
1) A P 
2) A V B 1(I V) 
 Ou 
1) A P 
2) B V A 1(I V ) 
 
15. Silogismo disjuntivo (SD): 
 
 1)AvB 
 2)~A 
 3)├ B 
 
6. Eliminação da 
disjunção (EV) 
1) AVB P 
2) A→C P 
3) B→C P 
3) C 1,2,3 (EV) 
 
16. Dilema destrutivo (DD): 
 1)(A→B) Λ (C→R) 
 2)~B v ~R 
 3)├ ~A v ~C 
 
7. Introdução de 
bicondicional
(I↔) 
1) A→B P 
2) B→A P 
4) A↔B 1,2 (I↔) 
 
17. Inferência por caos (IC): 
 1) A→(BvC) 
 2) ~C 
 3) A→B 
 
8. Eliminação de 
bicondicional (E↔) 
1) A↔B P 
2) A→B 1(E↔) 
 ou 
1) A↔B P 
2) B→A 1(E↔) 
 
18. Absorção (ABS): 
 1) A→B 
 2)├ A→ (A Λ B) 
 
9. Introdução do 
Condicional (I→) 
1) │P H/PC 
2) │M 
5) │R (conseqüente) 
6) P→R 1-5 (PC) 
 
19. Contradição (CONTRAD) 
 1) A 
 2) ~A 
 3)├ B 
 
10. Introdução da 
negação (RAA) 
1) │P H/RAA 
2) │M 
5) │B Λ ~B (contradição) 
6) ~P 1-5 (RAA) 
 
 
 
IT – Introdução de teorema: Qualquer 
instancia substitutiva de um teorema pode 
ser introduzida em qualquer linha de uma 
prova: 
 
├ ~(P Λ~P) 
├ P→ (P v Q) 
├ P→ ((P→ Q) → Q) 
├ P ↔ ~~P 
├ Pv~P 
├ (PvQ)v(~Pv~Q) 
├ P→ P 
R egras B ásicas R egras D erivadas 
E quivalências Teorem as 
Equivalência Nome 
 ~(A B) (~A ~B) Lei de Morgan (DM) 
 ~(A B) (~A ~B) Lei de Morgan (DM) 
 (A B) (B A) Comutação (COM) 
 (A B) (B A) Comutação (COM) 
 (A (B C)) ((A B) C) Associação (ASSOC) 
 (A (B C)) ((A B) C) Associação (ASSOC) 
 (A (B C)) ((A B) (A C)) Distributiva (DIST) 
 (A (B C)) ((A B) (A C)) Distributiva (DIST) 
 A ~~A Dupla Negação (DN) 
 (A B) (~B ~A) Transposição (TRANS) 
 (A B) (~A B) Implicação Material (IM) 
 ((A B) C) (A (B C)) Exportação (EXP) 
 A (A A) Tautologia (TAUT) 
 A (A A) Tautologia (TAUT)