INTEGRAIS

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INTEGRAIS
Foi visto no Cálculo Diferencial, os problemas da “reta tangente” e da “velocidade” para introduzir o conceito de Derivada, que é a idéia central do Cálculo Diferencial. No Cálculo Integral, começaremos com os problemas de “área” e de “distância” e os utilizaremos para formular a idéia de integral definida.
Veremos que, na tentativa de encontrar a área sob uma curva ou a distância percorrida por um carro, nos deparamos com o mesmo tipo de limite, ( similar ao que aconteceu no cálculo diferencial).
É claro que existe uma conexão entre o cálculo diferencial e o cálculo integral e essa conexão é dada pelo Teorema Fundamental do Cálculo, que ao relacionar a integral com a derivada simplifica bastante a solução de muitos problemas. 
No Cálculo Diferencial aprendemos, ainda, que, se derivarmos a função posição s(t), de uma partícula em movimento, obtemos a função velocidade dessa partícula, isso é, A pergunta que se coloca então é: Será possível fazermos o caminho inverso? Isto é, conhecida a velocidade de uma partícula, em um dado instante, podemos encontrar sua posição?
Em outras palavras, é possível encontrar a função que originou a função derivada? A resposta é SIM. A operação que faz isso é chamada integração e a função encontrada recebe o nome de primitiva, antiderivada ou integral indefinida.
Observe os seguintes problemas que você resolveu no cálculo I.
Problema 1) Durante os 40 segundos iniciais de vôo, um foguete é disparado diretamente para cima, de tal forma que a altura atingida, em t segundos, é de s(t) = 5t3 pés. Qual a velocidade do foguete ao fim dos 40 seg? 
E se fosse dada a velocidade, como faríamos para encontrar a altura s(t) atingida pelo foguete? 
Problema 2) Um balão esférico está sendo inflado. Ache uma fórmula geral para medir a taxa de variação instantânea do volume V em relação ao raio r. ( lembrete: V = )
Como você voltaria à fórmula do volume se conhecesse a taxa de variação desse volume? 
Problema 3) Uma certa quantidade de areia está vazando de um saco de tal forma que, após t segundos, há q(t) = quilos de areia remanescente no saco. A que taxa a areia está
vazando do saco após t segundo?
Como seria resolver esse problema se conhecêssemos a taxa na qual a areia está vazando do saco e quiséssemos saber qual a quantidade q(t) de areia está vazando do saco?