48848-ENERGIA_POTENCIAL_E_CONSERVAÇÃO_DA_ENERGIA

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ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
CAPÍTULO 8
INTRODUÇÃO
Energia potencial: associada à configuração de um sistema de corpos que exercem força uns sobre os outros.
Energia potencial gravitacional: associada à separação entre dois corpos que se atraem devido à força gravitacional.
Exemplo: bungge-jump: atração gravitacional entre um atleta e a Terra.
Energia potencial elástica: relacionada à deformação de um objeto elástico.
A interação entre os corpos se dá por meio da força elástica.
No caso do bungge-jump, a corda sofre distensão elástica.
A física permite determinar a energia potencial e suas variações que tornam um esporte como o bungge-jump mais seguro.
TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL
Sobre um tomate arremessado para cima, a força gravitacional realiza um trabalho negativo, retirando energia cinética dele.
Esta energia é transferida para a energia potencial gravitacional do sistema Terra-tomate.
Na queda, a transferência se inverte: o trabalho da força gravitacional diminui a energia potencial do sistema e aumenta a energia cinética do tomate.
A variação de energia potencial gravitacional é sempre igual e oposta ao trabalho realizado sobre o tomate pela força gravitacional.
∆U =  W
Esta relação também é válida para um sistema massa-mola.
Se o bloco for empurrado para a direita, a força elástica atua para a esquerda, exercendo um trabalho negativo sobre ele.
A energia cinética é transferida para a energia potencial elástica do sistema massa-mola.
Após atingir o repouso momentaneamente, o bloco começa a mover-se para a esquerda.
A energia potencial elástica do sistema será agora transferida para a energia cinética do bloco.
Uma força entre um objeto de um sistema e o resto do sistema pode alterar a sua configuração.
O trabalho desta força (W1) transfere energia cinética do objeto para outra forma de energia do sistema.
Quando a mudança de configuração se inverte, a força inverte o sentido de transferência de energia realizando um trabalho W2.
Se W1 =  W2, a outra forma de energia é uma energia potencial.
Neste caso, dizemos que a força é uma força conservativa.
As forças gravitacional e elástica são conservativas.
As forças de atrito e arrasto não são conservativas ou seja, são forças dissipativas.
Exemplo: um bloco deslizando sobre um plano com atrito não desprezível.
Durante o movimento, a força de atrito realiza um trabalho negativo sobre o bloco, reduzindo sua energia cinética.
Esta energia é convertida em energia térmica.
Esta conversão não pode ser invertida.
A energia térmica não é uma forma de energia potencial.
INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA PARA O TRABALHO DE FORÇAS CONSERVATIVAS
Teste para força conservativa: a força deve atuar sobre uma partícula ao longo de um percurso fechado.
A força é conservativa se a energia total transferida durante o percurso total (ida e volta) é nula.
O trabalho realizado por uma força conservativa ao longo de um percurso fechado é nulo.
Um corpo lançado para cima com velocidade inicial v0, tem sua velocidade reduzida pela ação da força gravitacional.
No ponto mais alto da trajetória a velocidade do corpo se anula.
Se o arrasto é desprezível, ao voltar ao ponto de partida, o corpo terá a mesma velocidade e a mesma energia cinética.
O trabalho total realizado pela força gravitacional foi nulo.
Consequência do teste de percurso fechado: o trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move entre dois pontos não depende da trajetória seguida pela partícula.
Seja uma partícula que se move entre dois pontos a e b sujeita apenas a forças conservativas.
A partícula desloca-se de a para b segundo uma trajetória (1), recebendo um trabalho Wab,1.
Ela retorna de b para a por outro caminho (2), recebendo um trabalho Wba,2.
Como se trata de um percurso fechado, temos que:
Wab,1 + Wba,2 = 0 ou
Wab,1 =  Wba,2 
Se a partícula se movesse de a para b através do segundo caminho (2), o trabalho realizado pela força conservativa sobre ela seria:
Wab,2 =  Wba,2
Portanto, temos que:
Wab,1 = Wab,2
O trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula entre dois pontos é o mesmo para qualquer percurso entre eles.
Exercício 8.1
Um bloco de 5,0 kg está se movendo sobre uma superfície horizontal sem atrito a 8,0 m/s quando encontra uma rampa de inclinação de 20° também sem atrito.
Qual é o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o bloco durante os primeiros 3,0 m da rampa?
A que altura h, acima do nível do solo o bloco para momentaneamente?
DETERMINAÇÃO DE VALORES DE ENERGIA POTENCIAL
Seja uma partícula (ou um objeto que se comporta como uma) que faz parte de um sistema no qual atua uma força conservativa F.
Quando esta força realiza trabalho sobre o objeto, a variação da energia potencial do sistema é ∆U =  W. 
O trabalho realizado sobre o objeto pode ser obtido de W =  F(x) dx.
Combinando as duas expressões, temos que:
Seja uma partícula de massa m que move-se verticalmente ao longo de um eixo y.
Ao mover-se de um ponto yi para outro yf, a força gravitacional realiza um trabalho sobre ela.
A variação da energia potencial gravitacional do sistema partícula-Terra pode ser obtida de:
ou
Apenas as variações de energia potencial possuem sentido físico.
É comum associar-se um certo valor de energia potencial a um sistema partícula-Terra, quando a partícula está a uma certa altura y.
Assim, temos:
U – Ui= mg(y - yi).
Sendo Ui a energia potencial do sistema quando ele se encontra numa certa configuração de referência na qual a partícula está num ponto de referência yi.
Uma escolha muito comum é Ui = 0 para yi =0.
Assim, temos que:
U = mgy
A energia potencial gravitacional associada a um sistema partícula-Terra depende apenas da posição vertical y em relação à posição de referência y = 0.
Energia potencial elástica
Seja um sistema massa-mola como ilustrado abaixo:
Num certo deslocamento de xi para xf, a força elástica realiza um trabalho sobre o bloco.
A variação da energia potencial elástica é dada por:
ou
Escolhemos como configuração de referência, a posição de equilíbrio com xi = 0 e Ui = 0.
Procedendo desta forma, temos, para uma certa posição xf = x:
Que nos leva a:
Exercício 8.2
Na figura abaixo, um pequeno bloco de massa m = 0,032 kg pode deslizar em uma pista sem atrito que forma um loop de raio R = 12 cm. O bloco é liberado a partir do repouso no ponto P, a uma altura h = 5,0 R acima do ponto mais baixo do loop.
Qual é o trabalho realizado sobre o bloco pela força gravitacional enquanto o bloco se desloca do ponto P para (a) o ponto Q e (b) o ponto mais alto do loop? Se a energia potencial gravitacional do sistema bloco-Terra for tomada como nula na base do loop, quanto valerá essa energia potencial quando o bloco estiver (c) no ponto P, (d) no ponto Q e (e) no topo do loop? (f) Se, em vez de ser simplesmente liberado, o bloco recebesse uma velocidade inicial dirigida para baixo ao longo da pista, as respostas dos itens (a) a (e) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas?
Respostas: (a) 0,15 J; (b) 0,11 J; (c) 0,19 J (d) 0,038 J (e) 0,075 J (f) permanecem as mesmas.
Conservação da energia mecânica
Energia mecânica: soma da energia potencial do sistema com a energia cinética dos objetos que o compõem.
Emec = K + U
Consideremos que as forças de atrito e arrasto são desprezíveis e que o sistema está isolado do ambiente.
Num sistema isolado, nenhuma força externa realiza trabalho sobre qualquer componente do sistema.
Se uma força conservativa realiza trabalho sobre um objeto dentro do sistema, ela converte energia cinética em potencial (ou vice-versa).
Temos que K = W e U =  W.
Logo: K =  U. 
Que pode ser reescrita como: 
Kf – Ki = – (Uf – Ui) ou
Kf + Uf = Ki + Ui
Ou seja, em qualquer estado, a soma das energias potencial e cinética é constante.
Princípio da conservação da energia: em um sistema isolado no qual que apenas forças conservativas
realizam trabalho, a energia mecânica do sistema não pode variar.
Este princípio pode ser descrito como:
Emec = K + U = 0
Quando a energia mecânica é conservada, podemos relacionar as mudanças nas energias cinética e potencial em dois instantes diferentes sem preocuparmos com o movimento intermediário.
Exemplo: um pêndulo simples que oscila apenas sob a ação da força da gravidade.
Durante a oscilação, a energia potencial gravitacional é convertida em cinética e vice-versa, mas a sua soma é conservada.
Exercício 8.3
Um bloco de massa m = 2,0 kg é deixado cair de uma altura h = 40 cm sobre uma mola de constante elástica k = 1960 N/m. Determine a variação máxima de comprimento da mola ao ser comprimida.
Resposta:0,10 m
Exercício 8.4
Duas crianças estão disputando um jogo no qual tentam acertar uma pequena caixa no chão com uma bola de gude lançada por um canhão de mola montado em uma mesa. A caixa está a uma distância horizontal D = 2,20m da borda da mesa. Bia comprime a mola 1,10 cm, mas o centro da bola de gude cai 27,0 cm antes do centro da caixa. De que distância Rosa deve comprimir a mola para acertar a caixa? Suponha que o atrito da mola e da bola com o canhão sejam desprezíveis.
Resposta: 1,25 cm.
Interpretação de uma curva de energia potencial
Seja uma partícula pertencente a um sistema no qual atua uma força conservativa.
Suponhamos que esta partícula mova-se segundo um eixo x, enquanto a força realiza trabalho sobre ela.
É possível calcular a força a partir da função energia potencial U(x).
Para um deslocamento x, o trabalho realizado pela força é F(x)x.
A variação de energia potencial do sistema é:
U =  F(x)x.
Assim, a força pode ser expressa como:
Para o cálculo exato, devemos tomar o limite da expressão anterior com x  0.
O que nos leva a:
Pode-se verificar a exatidão deste resultado a partir da expressão de uma energia potencial conhecida.
A curva de energia potencial mostra a variação desta com a posição.
A inclinação desta curva fornece o negativo do módulo da força que atua naquela posição.
Se a energia mecânica é constante e dada por Emec = K + U, podemos obter a energia cinética da partícula a partir de 
K = Emec  U (x).
Esta equação nos fornece a energia cinética da partícula em uma certa posição a partir do gráfico de U(x).
Por exemplo, podemos ter as curvas abaixo:
Neste gráfico, a partícula não pode passar para a região à esquerda de x1, pois a energia cinética não pode ser negativa.
Vindo de x2, em direção a x1, a energia cinética da partícula reduz-se até se anular em x = x1.
Em x1, a força é positiva e leva o objeto a propagar-se para a direita.
Por isto, x1 é um ponto de retorno (K =0).
Não existe ponto de retorno à direita.
A partícula move-se indefinidamente quando vai para este lado.
Diferentes valores de energia mecânica, na mesma curva de energia potencial representariam situações muito distintas.
Para Emec = 4,0 J, o ponto de retorno muda-se para uma posição entre x1 e x2.
Para pontos à direita de x5 possuem K = 0 e nenhuma força atua sobre a partícula.
Esta situação é denominada equilíbrio indiferente.
Exemplo: 
Uma bola de gude sobre uma mesa horizontal
Se Emec = 3,0 J, há dois pontos de retorno um situado entre x1 e x2 e outro entre x4 e x5.
Em x3, a partícula permaneceria em repouso, pois K = 0 e F = 0.
Entretanto, se a partícula for ligeiramente deslocada de x3, a força a empurrará, afastando-a desta posição.
Isto caracteriza um equilíbrio instável.
Exemplo: uma bola de gude equilibrada sobre uma bola de boliche.
Para Emec = 1,0 J, a partícula ficará indefinidamente em x4 se lá for colocada.
Ela não poderá mover-se pois isso faria K < 0.
Se ela for deslocada para a esquerda ou para a direita, surgirá uma força restauradora, que a faz voltar a x4.
Isto caracteriza um equilíbrio estável.
Exemplo: uma bola de gude no fundo de uma tigela hemisférica.
Se a partícula for colocada num poço de potencial em forma de taça com centro em x2, ela estará entre dois pontos de retorno.
 Ela poderá se mover apenas entre esses pontos.
Exercício 8.5
A figura a seguir mostra um gráfico de energia potencial U em função da posição x para uma partícula de 0,200 kg que pode se deslocar apenas ao longo do eixo x sob a influência de uma força conservativa. Três dos valores mostrados são UA = 9,00 J, UC = 20,00 J e UD = 24,00 J. A partícula é liberada no ponto onde U forma uma barreira de potencial de altura UB = 12,00 J, com uma energia cinética de 4,00J. 
Qual é a velocidade da partícula em (a) x = 3,5 m e (b) x = 6,5 m? Qual é a posição do ponto de retorno (c) do lado direito e (d) do lado esquerdo?
Trabalho realizado por uma força externa sobre um sistema
Trabalho é a energia transferida para um sistema ou de um sistema através de uma força externa que age sobre ele.
Quando mais de uma força atua sobre um sistema, a energia transferida é igual ao trabalho total realizado sobre o sistema.
Se o sistema é composto de uma única partícula, a única variação que o trabalho pode promover é na energia cinética dela.
Se o sistema for mais complexo, o trabalho pode alterar também outras formas de energia como a sua energia potencial.
Na ausência de atrito, o trabalho produz variação apenas na energia mecânica do sistema.
Desta forma:
W = Emec = K + U
Exemplo: lançamento de uma bola de boliche.
Quando o atrito não é desprezível, a força de atrito realiza trabalho sobre o sistema, retirando energia do mesmo.
Seja um bloco sendo puxado por uma força F constante horizontal ao longo de um eixo x.
Ao deslocar-se de uma distância d, a velocidade do bloco aumenta de v0 para v.
Durante o movimento, uma força de atrito cinético (fk = constante) realiza trabalho sobre o bloco.
Da 2ª lei de Newton, temos que:
F – fk = m a
Como as forças são constantes, a aceleração também será e temos que:
v2 = v02 + 2ax.
Isolando a aceleração temos que: 
a = ½ (v2 –v02)/d 
Substituindo na expressão obtida da 2ª lei, temos:
Fd = ½ mv2 – ½ mv02 + fkd.
Que pode ser escrita como:
Fd = K + fkd.
Em uma situação mais geral, temos que:
Fd = Emec + fkd.
Observa-se um aquecimento do bloco e do piso sobre o qual ele desliza.
A temperatura de um objeto está associada à sua energia térmica (Et).
A energia térmica do bloco e do piso aumenta devido ao atrito entre as superfícies durante o movimento.
A variação da energia térmica é numericamente igual ao termo fkd.
Assim, temos: Et = fkd.
E podemos escrever:
Fd = Emec + Et 
Mas Fd é o trabalho realizado pela força externa F.
Assim:
W = Emec + Et 
O trabalho produz variações na energia mecânica do bloco e nas energias térmicas do bloco e do piso.
Exercício 8.6
Uma força horizontal de 35,0 N empurra um bloco de 4,00 kg em um piso no qual k = 0,600. 
Qual é o trabalho realizado por essa força sobre o sistema bloco-piso quando o bloco sofre um deslocamento de 3,00 m?
Durante este deslocamento, a energia térmica do bloco aumenta 40,0 J. Qual é o aumento da energia térmica do piso?
Qual é o aumento da energia cinética do bloco
CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
Energia total: soma da energia mecânica, energia térmica e qualquer outra forma de energia interna.
A energia total E de um sistema pode mudar apenas através da transferência de energia para o sistema ou do sistema.
A única forma de transferência de energia estudada foi o trabalho W. Assim:
W = E = Emec + Et + Eint
Esta lei da conservação da energia é verificada experimentalmente.
Nenhuma exceção a ela jamais foi observada.
A energia total de um sistema isolado não pode variar.
Podem haver transferências de energia dentro de um sistema isolado, mas a sua energia total permanece constante.
Exemplo: sistema alpinista com equipamento-Terra.
Enquanto ele desce, precisa controlar a transferência de energia potencial do sistema.
Parte desta energia é convertida em energia cinética.
A corda é passada por argolas de metal de forma a produzir atrito na descida.
Assim, parte da energia potencial é convertida em energia térmica das argolas e da corda.
A energia total do sistema alpinista-equipamento-Terra não varia.
Para um sistema isolado temos que:
Emec + Et + Eint = 0
Se estamos interessados na variação da energia mecânica, podemos escrever:
Emec,2  Emec,1 + Et + Eint = 0 ou
Emec,2 = Emec,1 + Et + Eint.
Se não atuam forças dissipativas, temos que Et = Eint = 0.
Logo: Emec,2 = Emec,1
como havíamos mencionado anteriormente.
Exercício 8.7
Um pacote de 4,0 kg começa a subir um plano inclinado de 30° com uma energia cinética de 128 J. Que distância ele percorre antes de parar, se o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e o plano é 0,30?
Resposta: 4,3 m
Forças externas e transferências internas de energia
Uma força externa pode mudar a energia cinética ou a energia potencial de um objeto sem realizar trabalho sobre ele.
Esta força apenas transfere energia de uma forma para outra no interior do objeto.
Exemplo: patinadora empurra um corrimão e desliza sobre o gelo.
O corrimão exerce uma força externa sobre ela, variando a sua energia cinética.
Mas a força não transfere energia do corrimão para ela.
O aumento da energia cinética deve-se a transferências internas de energia no corpo da moça.
Outro exemplo: um motor de combustão interna aumenta a velocidade de um carro.
Durante a aceleração, o motor faz os pneus empurrarem o chão para trás e este empurra os pneus para frente.
Nestas situações, a força externa pode ser relacionada à variação da energia mecânica do objeto.
Supondo a força constante e desconsiderando variações na energia térmica e interna do sistema, podemos aplicar:½ mv2 – ½ mv02 = Fx d ou 
 K – K0 = (F cos) d ou
K = F d cos 
Se houver variação também da energia potencial do sistema, teremos que:
K + U = F d cos 
Esta força F não realiza trabalho sobre o objeto, mas é responsável pelas variações das energias cinética e potencial.
Potência
Definição mais geral de potência: taxa com a qual uma força transfere energia de uma forma para outra.
Assim, podemos definir a potência média como:
E a potência instantânea como:
Exercício 8.8
Na figura a seguir, um bloco desliza em uma pista sem atrito até chegar a um trecho de comprimento L = 0,75 cm, que começa a uma altura h = 2,0 m em uma rampa inclinada de  = 30°. Nesse trecho o coeficiente de atrito cinético é 0,40. O bloco passa pelo ponto A com uma velocidade de 8,0 m/s. Se o bloco pode chegar ao ponto B (onde o atrito acaba), qual é a sua velocidade neste ponto e, se não pode, qual é a maior altura que atinge acima de A?
Resposta: 3,5 m/s