C28_PotencialEletrico

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28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
Energia potencial elétrica
e
potencial elétrico
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
• Vetores são quantidades muitas vezes difíceis de 
manipular.
• Em mecânica clássica, para uma grande variedade de 
problemas, ao invés de lidar diretamente com a força é
conveniente usar uma quantidade escalar: o potencial.
• A vantagem do potencial é que é uma quantidade
escalar (um número e não um vetor). Dado o potencial, 
é necessário conhecer-se apenas as condições de 
contorno (p.ex. Posição inicial e velocidade inicial, ou
então a energia e uma posição inicial, etc…
• No eletromagnetismo é conveniente introduzir-se a 
noção de potencial (e energia).
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
Mecânica clássica:
A
B
• Se o trabalho realizados pelas forças no deslocamento do ponto A 
para o ponto B for independente da trajetória seguida podemos
definir uma função potencial, associada à força. A força, então, pode
ser derivada do potencial.
• A energia (energia cinética + potencial, é uma quantidade
conservada.
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
( ) ( )BUAUldFW
B
A
+−==∆ ∫
rr
.
( )
( ) ( )xUxF
dx
dU
xF
rrr
−∇=
−=
ouA
B
UmvE += 2
2
1Energia é conservada
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
A
B






−−=−=∆ ∫
AB
B
A rr
mGmldFU 11. 21
rr
( ) re
r
mmGrF r
r
2
21
−=
Força gravitacional






−=−=∆ ∫
AB
B
A rr
qqldFU 11
4
1
. 21
0piε
rr( ) re
r
qq
rF r
r
2
21
04
1
piε
=
Força eletrostática
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
Energia potencial elétrica: ( )
r
qq
rU 21
04
1
piε
=
Energia potencial para um sistema de cargas
23
32
013
31
012
21
0 4
1
4
1
4
1
r
qq
r
qq
r
qqU
piεpiεpiε
++=
r13
q1
q3
q2
r12
r23
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-2 Energia potencial elétrica
Dois prótons no núcleo de um átomo de 238U tem separação
de 6,0 fm (10-15 m). Qual a energia potencial associada com 
a força elétrica que age entre estas partículas?
( )( )
keV240eV104,2J108,3
m100,6
C1060,1/CNm1099,8
4
1
514
15
219229
21
0
=×=×=
×
××
=
=
−
−
−
r
qqU
piε
q1 = q2 = +1,60 X 10-19 C
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-3 Potencial elétrico
( )
r
qq
rU 01
04
1
piε
=
q0
q1
r
( )
r
q
q
rU
rV 1
00 4
1)(
piε
==
É conveniente definir o potencial
elétrico (suprimindo a carga de 
prova)
Unidade do potencial: 1volt = 1 joule/coulomb
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-3 Potencial elétrico
0
0
ou
q
UUVV
q
UV
ab
ab
−
=−
∆
=∆
0q
WV ab−=∆
O correto é definir diferença de potencial
∫
∫∫
−=∆
−=−=−=∆
b
a
b
a
b
a
ab
ldEV
q
ldEq
q
ldF
VVV
rr
rrrr
.
..
0
0
0
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-3 Potencial elétrico
Problema: Uma carga de teste q0 desloca-se através de um 
campo elétrico uniforme (veja figura abaixo). Calcule a 
diferença de potencial entre o ponto A e B.
A
B
E
E
E
E
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-5 Potencial de cargas pontuais






−=
−
=−
ab
ab
ab
rr
q
q
UUVV 11
4 00 piε
r
q
q
UV
00 4
1
piε
==
A
B
Potenciais são relativos. Escolhemos um ponto de 
referência arbitrário. P.ex: V=0, quando r →∞
∑==
i i
i
r
q
q
UV
00 4
1
piε
Potencial devida a um 
conjunto de pontos:
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-5 Potencial de cargas pontuais
+−
+−
−+
−
=






−
+=
rr
rrq
r
q
r
qV
0
0
4
4
1
piε
piε
2
0
2
0
cos
4
1cos
4
1
r
p
r
qdV θ
piε
θ
piε
==
Dipolo:
+
-
θ
r+
r
r
-
d
x
z
y
r
-
- r+
2ecos rrrdrr =≈− +−+− θ
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-5 Potencial de cargas pontuais
+−
+− −
=
rr
rrqV
04piε
Dipolo:
+
-
θ
r
+r
r
-d
x
z
y
r
-
- r+






−≈





−≈+−=+ θθθ cos2
1cos14cos
2
1
22
r
d
r
r
d
rddrrr






+≈





+≈++=
−
θθθ cos
2
1cos14cos
2
1
22
r
d
r
r
d
rddrrr
2ecos rrrdrr =≈− +−+− θ
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-5 Potencial de cargas pontuais






−+=
−+ rrr
q
rV 211
4
),(
0piε
θ





 −
=
2
1cos32
4
1),(
2
3
0
2 θ
piε
θ
r
qd
rV
Calcule o potencial elétrico V(r, θ) gerado pelo quadripolo descrito na
figura abaixo.
+
+
- -
r
θ
2
!2
)1(1)1( xxx −++=+ ααααUsando até a segunda ordemna expansão
Q = 2qd2 o momento
do quadrupolo
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-6 Potencial de distribuições contínuas
r
dqdV
04
1
piε
=
dV r
∫∫ == r
dqdVV
04
1
piε
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
( )[ ]








++−
++
=
++=
+
=
−
+
−
∫
22
22
0
2
2
22
0
2
2
22
0
42
42
ln
4
ln
4
4
1
yLL
yLL
yzz
yz
dzV
L
L
L
L
piε
λ
piε
λ
λ
piε
28-6 Potencial de distribuições contínuas
22
00 4
1
4
1
yz
dz
r
dqdV
+
==
λ
piεpiε
y
z
dz
L
y
z
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-6 Potencial de distribuições contínuas
y
q
y
LV
00 4
1
4
1
piε
λ
piε
=≈
y
z
dz
L
y
z
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+








++−
++
=
22
22
0 42
42
ln
4 yLL
yLL
V
piε
λ
Quando y → ∞
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-6 Potencial de distribuições contínuas
Rdφ
ds=Rdφ
P
r
22
0
2
0
22
0
22
00
2
4
1
4
1
4
1
4
1
zR
Rd
zR
RV
zR
Rd
r
dqdV
+
=
+
=
+
==
∫
piλ
piε
φλ
piε
φλ
piεpiε
pi
Anel de carga
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-6 Potencial de distribuições contínuas
22
0
22
0
2
4
1
4
1
zw
wdw
zw
dqdV
+
=
+
=
piσ
piεpiε
P
r
z
Rw
dw
Disco carregado
( )zzR
zw
wdwV
R
−+=
+
= ∫
22
0
0 22
0 22 ε
σ
ε
σ
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-8 Superfícies eqüipotenciais
Linhas do campo elétrico
Superfícies
equipotenciais
Q Q = 0
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-9 Potencial de um condutor carregado
• O campo elétrico é nulo no interior de um condutor
• A carga se redistribui no interior de um condutor de modo
a ter o campo nulo no interior do condutor
• O potencial é constante no interior do condutor
• E = perpendicular à superfície de um condutor em 
equilíbrio
• Excesso de carga só pode situar-se na superfície do 
condutor
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-9 Potencial de um condutor carregado
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
28-9 Potencial de um condutor carregado
+ ++
+
+ + +
+
RkQ
r
2
E = 
0
No exterior da esfera
No interior
kQ
rV =
No exterior da esfera
No interior (constante)kQ
R
Condutor em equilíbrio eletrostático ⇒ O Campo Elétrico é nulo no interior
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
Exercícios
Ex.19 (pg 99) Uma carga pontual tem q = + 1,16 µC. Considere um ponto 
A, que está a 2,06 m de distância, e o ponto B, que está a 1,17 m de 
distância no sentido diametralmente oposto, como
mostrado na Figura a.
a) Encontre a diferença de potencial VA - VB
b) Repita o cálculo para o caso em que os pontos A e B estiverem 
posicionados como mostrado na Figura b.
q
AB(a)
q
A
B
(b)
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
Exercícios
Ex 42 (pg 101) Considere duas esferas condutoras bem separadas, 1 
e 2, a segunda tendo duas vezes o diâmetro da primeira. A esfera
menor inicialmente tem uma carga positiva q e a maior está
inicialmente descarregada. Conecta-se, então, as duas esferas 
através de um fio fino e longo. (a) Quais são os potenciais finais V1 e 
V2 das esferas em questão? (b) Encontre as cargas finais q1 e q2
sobre as esferas em termos de q.
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
Exercícios
Prob. 8 (pg 103) A figura abaixo mostra, em corte, uma placa fina "infinita" de 
densidade de carga positiva σ. (a) Quanto trabalho é realizado pelo campo elétrico 
da placa fina à medida que uma carga de teste positiva qo é deslocada da sua 
posição inicial sobre a superfície da placa fina para uma posição final a uma 
distância z perpendicular à superfície? (b) Utilize o resultado de (a) para mostrar 
que o potencial elétrico de uma superfície infinita de carga pode ser escrita
V = Vo - (σ/2ε0)z
onde Vo é o potencial da superfície da placa fina.
+ + + + + + + + + + + + + + 
z
σ
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
Exercícios
Prob.11 (pg 103). Para a configuração de carga da Figura, mostre que V(r) para 
os pontos sobre o eixo vertical, supondo r > > d, é dado por:
(Sugestão: A configuração .de carga pode ser vista como a soma de 
uma carga isolada e um dipolo.) Suponha V = O no infinito.






+=
r
d
r
qV 21
4
1
0piε
+q
+q
-q
d
d
z
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
Exercícios
Questão x – Duas cargas estão localizadas ao longo do eixo y de 
um sistema de coordenadas. A primeira carga Q está na origem 
enquanto que a outra carga -2Q está localizada a uma distância 
L da origem. Calcule o potencial gerado pelas duas cargas no 
ponto A, situada ao longo do eixo x, a uma distância 4L/3 da 
origem. Calcule a componente Ey do campo elétrico neste 
ponto. Calcule agora o potencial num ponto (x, y) qualquer. 
Calcule a componente Ey do campo elétrico. Verifique se a 
resposta do item d) está compatível com b).
28 - Energia potencial elétrica e potencial elétrico
Exercícios
Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas Q, separadas por uma 
distância d = 2L, dispostos ao longo do eixo y, num sistema cartesiano 
(vide a figura). 
a) Calcule o vetor campo elétrico gerado pelo dipolo no ponto (x, y) = (3L/2, 
L), descrevendo seu módulo direção e sentido. Escreva o potencial 
elétrico neste ponto. 
b) Calcule em que pontos no eixo y que serão parte da curva equipotencial 
do ponto acima.
c) Se uma carga +q, muito pesada for solta no ponto acima esboce a
trajetória que ela vai seguir, presumindo que o dipolo elétrico está fixo em 
seu lugar 
x
y
L
L
3L/2