Lista - Vetores

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Universidade Federal Rural do Semi-A´rido-UFERSA.
Departamento de Cieˆncias Ambientais.
Bacharelado em Cieˆncias e Tecnologia.
Disciplina de Geometria Anal´ıtica.
Lista 1
1. Verifique se e´ verdadeira ou falsa cada afirmac¸a˜o e justifique sua resposta.
a) (A,B) ∈ −−→AB
b) AB//CD ⇒ −−→AB//−−→CD
c) (A,B) v (C,D)⇔ −−→AB = −−→CD
d)
−−→
AB =
−−→
CD ⇒ A = C e B = D
2. Use as propriedades das operac¸o˜es com vetores para provar que se −→v e´
um vetor e n ∈ N, enta˜o n · v = v + v + v + . . .+ v (n parcelas).
3. Use as relac¸o˜es 2(−→u +−→v ) = 2−→u + 2−→v e 2−→w = −→w +−→w para mostrar que
a comutatividade da adic¸a˜o de vetores pode ser demonstrada a partir das
demais propriedades.
4. Prove que:
a) −→u +−→z = −→u ⇒ −→z = −→0
b) −→u +−→z = −→0 ⇒ −→z = −−→u
c) O oposto de −→u +−→v = −−→u −−→v
5. Quais sa˜o a origem e a extremidade de um representante do vetor abaixo?
−−→
BC +
−−→
GH −−→FA−−−→GC +−−→FB
6. Sendo M o ponto me´dio de AC, N o ponto me´dio de BD e o vetor −→x dado
por −→x = −−→AB +−−→AD +−−→CB +−−→CD, prove que −→x //−−→MN .
7. Prove que:
a) (A+−→u )−−→u = A
b) (A−−→u ) +−→v = A− (−→u −−→v )
c) A+−→u = B +−→v ⇒ −→u = −−→AB +−→v
8. Sendo r a raza˜o em que um ponto P divide um segmento orientado na˜o-
nulo (A,B) tal que
−→
AP = r
−−→
PB com P 6= B, assim r = ‖
−→
AP ‖
‖ −−→PB ‖
. Seja r
a raza˜o em que o ponto P divide o segmento orientado na˜o-nulo (A,B).
Prove que r 6= −1 e que −→AP = r
1 + r
−−→
AB.
1
9. Prove que o segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de
um trape´zio e´ paralelo a`s bases, e sua medida e´ a semi-soma das medidas
das bases.
10. Prove que:
a) (−→u ,−→v ) e´ LD ⇒ (−→u ,−→v ,−→w ) e´ LD
b) (−→u ,−→v ,−→w ) e´ LI ⇒ (−→u ,−→v ) e´ LI.
c) (−→u ,−→v ) e´ LD ⇔ (−→u +−→v ,−→u −−→v ) e´ LD
11. Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) (−→u ,−→v ,−→w ) e´ LD ⇒ (−→u ,−→v ) e´ LD.
b) (−→u ,−→v ) e´ LI ⇒ (−→u ,−→v ,−→w ) e´ LI
c) Se −→u ,−→v e −→w na˜o sa˜o nulos, enta˜o (−→u ,−→v ,−→w ) e´ LD ⇔ (−→2u,−−→v ) e´
LD.
d) (−→u ,−→v ,−→w ) e´ LI ⇒ (−→u ,−→v ) e´ LD.
12. Sejam −→u ,−→v e −→w vetores quaisquer. Prove que (−→a ,−→b ,−→c ) e´ LD.
a) −→a = 2−→u + 4−→v +−→w , −→b = −−→u +
−→v
2
+
3−→w
4
e −→c = −−→v +
−→w
2
b) −→a = −→u + 2−→v −−→w , −→b = 2−→u −−→v +−→w e −→c = 7−→v − 3−→w
13. Suponha que (−→u ,−→v ,−→w ) e´ LI. Dado −→t = α−→u + β−→v + γ−→w . Prove que
(−→u +−→t ,−→v +−→t ,−→w +−→t ) e´ LI ⇔ α+ β + γ + 1 6= 0.
14. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se cortam no meio.
15. Sejam (A,B) e (C,D) segmentos orientados. Demonstre que
−−→
AB =
−−→
CD
se, e somente, (A,B) e (C,D) sa˜o equipolentes.
16. Seja ABC um triaˆngulo qualquer com medianas AD, BE e CF . Demons-
tre que −−→
AD +
−−→
BE +
−−→
CF =
−→
0.
17. Demonstre que se, −→a e −→b sa˜o vetores quaisquer, enta˜o:
a) −→a · −→b = 1
4
[
‖−→a +−→b ‖2 − ‖−→a −−→b ‖2
]
;
b) ‖−→a +−→b ‖2 + ‖−→a −−→b ‖2 =
(
‖−→a ‖2 + ‖−→b ‖2
)
.
18. Demonstre que, se −→a e −→b sa˜o vetores quaisquer, enta˜o:
a) |−→a · −→b | ≤ ‖−→a ‖‖−→b ‖ (desigualdade de Schwarz);
b) ‖−→a +−→b ‖ ≤ ‖−→a ‖+ ‖−→b ‖ (desigualdade triangular)
c)
∣∣∣‖−→a ‖+ ‖−→b ‖∣∣∣ ≤ ‖−→a −−→b ‖
2
19. Mostre que valem, na soma de vetores, as propriedades: associativa, co-
mutativa, elemento neutro e elemento inverso.
20. Se −→u e −→v na˜o sa˜o paralelos, enta˜o α−→u + β−→v = γ−→u + δ−→v ⇒ α = γ e
β = δ
21. Escreva
−→
t = (4, 0, 13) como combinac¸a˜o linear de −→u = (1,−1, 3), −→v =
(2, 1, 3) e −→w = (−1,−1, 4).
22. −→u = (1,−1, 3) pode ser escrito como combinac¸a˜o linear de −→v = (−1, 1, 0)
e −→w = (2, 3, 13 )?
23. Verifique se −→u e −→v sa˜o L.I ou L.D.
a) −→u = (0, 1, 0), −→v = (1, 0, 1).
b) −→u = (0, 11, 1), −→v = (0,−22,−2).
c) −→u = (0, 1, 1), −→v = (0, 3, 1)
d) −→u = (1,−3, 14), −→v = ( 114 ,− 314 , 1).
24. Verifique se sa˜o L.D ou L.I cada sequeˆncia (−→u ,−→v ,−→w ) de vetores abaixo.
a) −→u = (1, 0, 1), −→v = (1, 2, 1), −→w = (0, 0, 1)
b) −→u = (2, 3, 4), −→v = (3, 1, 9), −→w = (2, 1, 3)
c) −→u = (1, 2, 3), −→v = (0, 2, 3), −→w = (1, 4, 6)
d) −→u = (3,−1,−5), −→v = (4, 2, 5), −→w = (1, 1, 1)
e) −→u = (3, 1,−2), −→v = (−1,−1,−1), −→w = (0, 2, 0)
25. Calculem de modo que −→u = (1, 2, 2) seja gerado por −→v = (m−1, 1,m−2),−→w = (m+1,m− 1, 2). Em seguida determine m para que (−→u ,−→v ,−→w ) seja
L.D.
26. Seja E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3) uma base orotonormal. Calcule ‖−→u ‖, onde:
a) −→u = (1, 1, 1)E
b) −→u = (3, 2, 1)E
c) −→u = (−1, 3, 5)E
d) −→u = 5e1 − 4e2 − 3e3
27. Sejam E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3), F = (−→f1,−→f2,−→f3) e G = (−→g1 ,−→g2 ,−→g3) treˆs bases.
Verifique se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es seguintes e justifique
sua resposta.
a) MEF =MEG ⇒ F = G
b) MEF =MFE ⇒ E = F
c) MEF =MGF ⇒ E = G
d) MEF = I3 ⇒ E = F
28. Sejam E = (−→e1 ,−→e2 ,−→e3), F = (−→f1,−→f2,−→f3) e G = (−→g1 ,−→g2 ,−→g3) bases tais que
3
2−→e1 =
√
3
−→
f1 −−→f3 −→g1 = −→e1 +−→e2 +−→e3
2−→e2 = −→f1 +
√
3
−→
f 3
−→g2 = −→e1 +−→e2−→e3 = −→f2 −→g3 = e1
Escreva todas as
matrizes de mudanc¸as de base envolvendo E, F e G.
29. Determine x de modo que −→u e −→v sejam ortogonais.
a) −→u = (x, 0, 3), −→v = (1, x, 3) c) −→u = (x, x, 4), −→v = (4, x, 1)
b) −→u = (x+ 1, 1, 2), −→v = (x− 1,−1,−2) d) −→u = (x,−1, 4), −→v = (x,−3, 1)
30. Obtenha −→u ortogonal a (1, 1, 0) tal que ‖−→u ‖ = √2 e a medida angular
em graus entre −→u e (1,−1, 0) seja 45.
31. Verdadeiro ou falso, justifique sua resposta.
a) −→u · −→u = 0⇔ −→u = −→0 c)−→u · −→v = 0⇔ −→u = −→0 ou −→v = −→0
b) −→u · (−→v −−→w ) = −→u · −→v −−→u · −→w d) −→u = −−→v ⇒ −→u · −→v ≤ 0
32. Calcule ‖2−→u + 4−→v ‖2, sabendo que −→u e´ unita´rio, ‖−→v ‖ = 2, e a medida
angular entre −→u e −→v e´ 2pi3 radianos.
33. Em relac¸a˜o a uma base ortonormal, sabe-se que
−−→
AB = (2,
√
3, 1) e
−→
AC =
(−1,√3, 1).
a) Verifique que A, B, C sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo.
b) Calcule o comprimento da altura relativa as ve´rtice A e a a´rea do
triaˆngulo ABC.
34. Mostre que, se −→u e´ unita´rio, enta˜o proj−→u−→v = (−→v · −→u )−→u .
35. Em cada caso, decomponha −→v como soma de dois vetores −→p e q, de modo
que −→p seja paralelo e −→q seja ortogonal a −→u .
a) −→v = (−1,−3, 2), −→u = (0, 1, 3)
b) −→v = (0, 1, 2), −→u = (0,−1,−2)
c) −→v = (1, 2,−1), −→u = (2,−1, 0)
36. Sendo e1 = (1, 2, 2), e2 = (1, 0, 1), e3 = (1, 1, 1), aplique o Processo de
Ortonormalizac¸a˜o de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal B =
(
−→
i ,
−→
j ,
−→
k ) a partir da base (−→e 1,−→e 2,−→e 3).
37. A medida angular entre −→u e −→v e´ 30o, e suas normas, 2 e 3. Calcule
‖−→u ∧ −→v ‖.
38. Calcule (
√
2−→u −√3−→v +−→w ) ∧ (−√6−→u + 3−→v −√3−→w ).
39. Verifique se sa˜o verdadeiras ou falsas as afirmac¸o˜es seguintes e justifique
a sua resposta.
a) Se G = (−→a ,−→b ,−→c ) e´ uma base ortonormal negativa, enta˜o
4
−→a ∧ −→b = −−→c −→b ∧ −→c = −−→a −→c ∧ −→a = −−→b−→
b ∧ −→a = −→c −→c ∧ −→b = −→a −→a ∧ −→c = −→b .
b) Se E = (−→p ,−→q ,−→r ) e´ uma base ortonormal positiva e −→u = (1, 2, 5)E e−→v = (2, 0,−1)E , enta˜o
−→u ∧ −→v
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
1 2 5
2 0 −1
∣∣∣∣∣∣ = (−2, 11,−4).
40. Calcule −→u ∧ −→v e −→v ∧ −→u nos casos:
a) −→u = (6,−2,−4), −→v = (−1,−2, 1) c) −→u = (7, 0,−5), −→v = (1, 2,−1)
b) −→u = (2, 1, 2), −→v = (4, 2, 4) d) −→u = (1,−3, 1), −→v = (1, 1, 4)
41. O produto misto [−→u ,−→v ,−→w ] e´ α. Mudando-se a orientac¸a˜o de V3, ele passa
a ser β. Qual a relac¸a˜o entre α e β.
42. Sejam A, B e C pontos na˜o-colineares. Exprima a distaˆncia de um ponto
D ao plano ABC em func¸a˜o de
−−→
AB,
−→
AC e
−−→
AD.
43. Sendo [−→u ,−→v ,−→w ] = 6, calcule [2−→u − 3−→v +−→w ,−→−u+−→v −−→w ,−→v − 3−→w ]
44. Sejam OABC um tetraedro e X um ponto definido por
−−→
BX = m
−−→
BC.
Exprima
−−→
OX e
−−→
AX em func¸a˜o de
−→
OA,
−−→
OB,
−−→
OC, m.
45. Sejam A, B e C pontos quaisquer, com A 6= B. Prove que:
a) X pertence a` reta AB se, e somente se, existem α e β tais que
−−→
CX =
α
−→
CA+ β
−−→
CB e α+ β = 1;
b) X pertence ao segmento AB se, e somente se, existem α e β tais que−−→
CX = α
−→
CA+ β
−−→
CB e α ≥ 0, β ≥ 0 e α+ β = 1;
c) X e´ interior ao segmento AB (isto e´, existe λ tal que 0 < λ < 1 e−−→
AX = λ
−−→
AB) se, e somente se,
−−→
XA e
−−→
XB sa˜o de sentido contra´rio.
46. O ponto X divide (A,B) na raza˜o α, Y divide (B,C) na raza˜o β e Z
divide (C,A) na raza˜o γ. Exprima
−−→
CX,
−→
AY e
−−→
BZ em func¸a˜o de
−→
CA,
−−→
CB,
α, β, γ.
47. Como voceˆ pode reconhecer, pelas coordenadas, que um ponto pertence a
um dos eixos coordenados? E a um dos planos coordenados?
48. Se o sistema e´ ortogonal, quais sa˜o as coordenadas dos pontos sime´tricos
de P = (x, y, z) em relac¸a˜o a cada plano coordenado? E em relac¸a˜o a cada
eixo coordenado?
49. Suponha que o sistema de coordenadas seja ortogonal, e que P1, P2, P3, P4,
P5 e P6 sejam, respectivamente, as projec¸o˜es ortogonais de P = (x, y, z)
sobre Oxy, Oxz, Oyz, Ox, Oy e Oz.
a) Escreve as coordenadas de P1, P2, P3, P4, P5 e P6;
5
b) Se P e´ um dos ve´rtices de um cubo de centro O e faces paralelas
aos planos coordenados, escreva as triplas de coordenadas dos outros
sete ve´rtices.
50. Sejam P = (1,−1, 2), −→u = (3,−3, 1) e −→v = (1, 1, 1). Obtenha a tripla de
coordenadas de (P − 2−→u ) +−→v .
51. Dados A = (2, 5, 3) e B = (1, 1, 0), calcule as coordenadas dos pontos C e
D, que determinam em AB treˆs segmentos congruentes.
52. Determine as coordenadas do ponto Q, sime´trico de P = (x, y, z) em
relac¸a˜o a M = (x0, y0, z0).
53. Sejam A = (1, 6, 4), B = (2,−1, 9), C = (1, 1,−1) e D = (1, 1, a). Para
que valores de a esses pontos sa˜o ve´rtices de um quadrila´tero? Este qua-
drila´tero e´ plano ou reverso?
54. Mostre que os pontos A = (2, 6,−5), B = (6, 9, 7), C = (5, 5, 0) e D =
(3, 10, 2) sa˜o ve´rtices de um paralelogramo.
55. Sejam A = (3, 0,−1), B = (0, 3, 0), C = (5, 1,−2) e D = (−4, 1, 2).
Mostre que esses pontos sa˜o ve´rtices de um trape´zio e diga quais sa˜o as
bases, os lados na˜o-paralelos e as diagonais.
56. O quadrila´tero ABCD e´ convexo. Sabendo que 4
−−→
CD = −3−→CA+−−→CB, diga
quais sa˜o suas diagonais e quais sa˜o seus lados.
57. Provar que o quadrila´tero cujos ve´rtices sa˜o A(1, 2), B(3,−2), C(−1, 3) e
D(−3, 1) e´ um paralelogramo, e calcular sua a´rea.
58. Calcular a a´rea do triaˆgulo cujos ve´rtices sa˜o: A(3, 11, 0), B(−9,−5, 0) e
C(6,−10, 0).
6