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Instituto Superior Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia de Viseu Departamento de Matemática TESTES E EXAMES RESOLVIDOS DE CÁLCULO I − CET EM DESIGN MOBILIÁRIO − Jorge P. J. Santos Ano lectivo 2007/2008 ÍNDICE 1ª Teste – 20/05/2008 ......................................................................................................................................................... 1 2ª Teste – 03/06/2008 ......................................................................................................................................................... 3 3ª Teste – 03/06/2008 ......................................................................................................................................................... 7 4ª Teste – 03/06/2008 ......................................................................................................................................................... 9 Exame – 24/07/2008......................................................................................................................................................... 14 1º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (20/05/2008) Jorge P. J. Santos 1 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 1º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário Duração: 1h00m 20/05/2008 ________________________________________________________________________________________________ 1. Resolva as seguintes condições em IR: a) −3× 2 31 x− − 6 51 x− ≥ 3 2 (2x − 5); b) 32 1 62 1 22 xxxx −−=−− ; Resolução: a) −3× 2 31 x− − 6 51 x− ≥ 3 2 (2x − 5) ⇔ − 2 3 + 2 9x − 6 1 + 6 5x ≥ 3 4x − 3 10 ⇔ ⇔ − 6 9 + 6 27x − 6 1 + 6 5x ≥ 6 8x − 6 20 ⇔ − 9 + 27x − 1 + 5x ≥ 8x − 20 ⇔ ⇔ 27x + 5x − 8x ≥ 9 + 1 − 20 ⇔ 24x ≥ − 10 ⇔ x ≥ − 24 10 ⇔ x ≥ − 12 5 b) 32 1 62 1 22 xxxx −−=−− ⇔ 332 1 62 1 2 22 xxxx +−=−− ⇔ 6 2 6 2 6 3 66 3 6 3 22 xxxx +−=−− ⇔ ⇔ 3x2 − 3 − x = 3 − 2x + 2x2 ⇔ 3x2 − 3 − x − 3 + 2x − 2x2 = 0 ⇔ x2 + x − 6 = 0 ⇔ ⇔ x = 12 )6(1411 2 × −××−±− ⇔ x = 2 2411 +±− ⇔ x = 2 51±− ⇔ x = −3 ∨ x = 2 ________________________________________________________________________________________________ 2. Resolva o sistema de equações e faça, se possível, a sua verificação ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+ =−+ =++ 5 1262 22 zyx zyx zyx . Resolução: No método de substituição começa-se por resolver uma das equações em ordem a umas das variáveis. Sendo assim pode-se começar por resolver a primeira equação em ordem a x. De seguida, substitui-se o valor obtido nas restantes equações. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+ =−+ =++ 5 1262 22 zyx zyx zyx ⇔ ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+−− =−+−− −−= 522 126222 22 zyzy zyzy zyx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+−− =−+−− −−−−−−−−−−−−− 522 126244 zyzy zyzy ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−− =− −−−−−− 32 832 zy zy A seguir resolve-se uma outra equação, a segunda ou a terceira, em ordem a uma outra variável, a variável y ou a variável z. Pode-se então resolver a terceira equação em ordem a y e substituir o valor obtido nas restantes equações 1º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (20/05/2008) Jorge P. J. Santos 2 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=− −−−−−− −−−−−− zy 23 ⇔ ( ) ( ) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−= =−−− −−−−= zy zz zzx 23 83232 2322 ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−−−−−−− =−−− −++= 8346 462 zz zzx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −−−−− =− += 147 38 z zx Finalmente resolve-se a única equação que sobrou, a segunda, em ordem à única variável que sobrou, a variável z, e substitui-se o valor obtido nas restantes equações ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −×−−= −= −×+= 223 2 238 y z x ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= = 1 2 2 y z x Para terminar, falta fazer a verificação ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++=−−+=−+ =++=−−×+×=−+ =−+=−+×+=++ 5212)2(12 12264)2(162262 2222)2(1222 zyx zyx zyx 2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 3 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário Duração: 1h00m 04/06/2008 ________________________________________________________________________________________________ 1. Considere a função f definida graficamente por a) Indique o domínio e o contradomínio. b) Apresente os extremos da função (máximos relativos, máximo absoluto, mínimos relativos e mínimo absoluto). c) Indique os valores dos objectos que correspondem à imagem (−2). d) Indique os zeros de f. e) Calcule a taxa de variação média da função f no intervalo [−4,−1]. f) Apresente os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente. g) Indique os intervalos em que f é positiva e em que f é negativa. Resolução: a) O domínio da função f corresponde ao intervalo Df = [−6,6] e o contradomínio corresponde ao intervalo D’f = ]−3,1]∪[3,7]. b) A função f possui os máximos relativos f(−6) = 7, f(−1) = 6, f(3) = 1 e f(6) = 0 e os mínimos relativos f(−3) = 3 e f(5) = −2. A função f não possui mínimo absoluto e o máximo absoluto de f é f(−6) = 7. c) Os objectos que correspondem à imagem −2 são 1 e 5. d) A função f possui os zeros x = 0, x = 2, x = 4 e x = 6. e) A taxa de variação média de f em [−4,−1] é dada por tvm[−4,−1] = ab afbf − − )()( = )4(1)( )4(1)( −−− −−− ff = 41 46 +− − = 3 2 . f) A função f é crescente nos intervalos [−3,−1], ]0,3] e [5,6] e é decrescente nos intervalos [−6,−3], [−1,0] e [3,5]. −4 −3 −2 −1 32 4 5 6 x7−5 1−6−7 2 −1 −2 3 1 4 5 −3 −4 −5 6 7 y 2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 4 g) A função f é positiva para x∈[−6,0[∪]2,4[ e é negativa para x∈]0,2[∪]4,6[. ________________________________________________________________________________________________ 2. Considere a função real de variável real definida por f(x) = [ [ [ ]⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈− −∈−+ 82se1 2 1 28se62 2 1 2 ,xx ,xxx . a) Calcule f(−8), f(−4), f(0), f(2) e f(8). b) Determine, analiticamente, os zeros de f. c) Diga, justificando a partir das alíneas anteriores, se a função é injectiva. d) Determine o vértice do gráfico da função definida analiticamente por g(x) = 2 1 x2 + 2x − 6. e) Represente graficamente a função. Resolução: a) f(−8) = 2 1 × (−8)2 + 2×(−8) − 6 = 32 − 16 − 6 = 10; f(−4) = 2 1 × (−4)2 + 2×(−4) − 6 = 8 − 8 − 6 = − 6; f(0) = 2 1 × 02 + 2×0 − 6 = 0 + 0 − 6 = − 6; f(2) = 2 1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0. f(8) = 2 1 × 8 − 1 = 4 − 1 = 3. b) No intervalo [−8,2[ os zeros da função f são dados por f(x) = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ 2 1 x2 + 2x − 6 = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ 2 2x + 2 4x − 2 12 = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ ⇔ x2 + 4x − 12 = 0 ∧ x∈[−8,2[ ⇔ x = 12 )12(1444 2 × −××−±− ∧ x∈[−8,2[ ⇔ ⇔ x = 2 84 ±− ∧ x∈[−8,2[ ⇔ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−=∨−−= 2 84 2 84 xx ∧ x∈[−8,2[ ⇔ ⇔ (x = −6 ∨ x = 2) ∧ x∈[−8,2[ ⇔ x = −6 No intervalo [2,8] os zeros da função f são dados por f(x) = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ 2 1 x − 1 = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ 2 x − 2 2 = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ ⇔ x − 2 = 0 ∧ x∈[2,8] ⇔ x = 2 ∧ x∈[2,8] ⇔ x = 2 Deste modo, os zeros de f são x = −6 e x = 2. c) A função f não é injectiva, pois existem objectos diferentes que correspondem à mesma imagem (f(−6) = f(2) = 0). 2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 5 d) A função g é quadrática, pois pode ser escrita na forma g(x) = ax2 + bx + c. com a = 2 1 ≠ 0, b = 2 e c = − 6. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Por isso, o vértice da função g é dado por V = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− a acb, a b 4 4 2 2 = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ × −××− − × − 2 14 )6( 2 142 2 12 2 2 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−− 2 124 1 2 , = (−2, −8). g) Por d) sabe-se que a função f no intervalo [−8,2[ é parte de uma função quadrática. Como o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, o gráfico de f no intervalo [−8,2[ é parte de uma parábola com os extremos x y = 2 1 x2 + 2x − 6 −8 2 1 × (−8)2 + 2×(−8) − 6 = 32 − 16 − 6 = 10 2 2 1 × 22 + 2×2 − 6 = 2 + 4 − 6 = 0 A função f no intervalo [2,8] é parte de uma função linear, pois pode ser escrita na forma f(x) = ax + b com a = 2 1 ≠ 0 e b = − 1. Como o gráfico de uma função linear é uma recta, o gráfico de f no intervalo [2,8] é parte de uma recta com os extremos x y = 2 1 x − 1 2 2 1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0 8 2 1 × 8 − 1 = 4 − 1 = 3 O gráfico da função f é dado por 2º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (04/06/2008) Jorge P. J. Santos 6 y = f(x) −6 −4 −2 2 4 x−8 6 8 4 2 6 −2 8 y −4 −6 10 −8 y = f(x) 3º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (12/06/2008) Jorge P. J. Santos 7 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 3º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário Duração: 1h00m 12/06/2008 ________________________________________________________________________________________________ 1. Simplifique a expressão cos (x + 3π) + 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xsin π 2 3 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xtg π 2 5 + cotg (x − 3π). Resolução: cos (x + 3π) + 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xsin π 2 3 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xtg π 2 5 + cotg (x − 3π) = = cos (x + π + 2π) + 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xsin π 2 3 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ xtg ππ 2 12 + cotg (x − π − 2π) = = cos (x + π) + 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xsin π 2 3 + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xtg π 2 1 + cotg (x − π) = = − cos x − 2 cos x − cotg x + cotg x = − 3cos x ________________________________________________________________________________________________ 2. Resolva em IR as seguintes equações: a) 3tg x = − 3 ; b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 3 πxsin = sin x; Resolução: a) 3tg x = − 3 ⇔ tg x = − 3 3 ⇔ x = 6 5π + kπ, k∈ZZ b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 2 3 πxsin = sin x ⇔ 3x + 2 π = x + 2kπ ∨ 3x + 2 π = π − x + 2kπ ⇔ ⇔ 3x − x = − 2 π + 2kπ ∨ 3x + x = − 2 π + π + 2kπ ⇔ 2x = − 2 π + 2kπ ∨ 4x = 2 π + 2kπ ⇔ x = − 4 π + kπ ∨ x = 8 π + 2 πk , k∈ZZ ________________________________________________________________________________________________ 3. Considere a função real de variável real f: x → f(x) = 1 + 2 cos (2x). a) Indique o domínio e o contradomínio de f. b) Indique os valores de x que tornam máxima a função e que pertencem ao intervalo ⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤− 22 ππ , . 3º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (12/06/2008) Jorge P. J. Santos 8 c) Escreva a expressão geral dos zeros da função. d) Calcule f(α), sabendo que tg2α = 3 ∧ ⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤∈ 2 0 πα , . Resolução: a) O domínio da função co-seno é IR e por isso o domínio de f é Df = IR. Para calcular o contradomínio, sabe-se que −1 ≤ cos (2x) ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2cos (2x) ≤ 2 ⇔ −1 ≤ 1 + 2cos (2x) ≤ 3 e o contradomínio de f é D’f = [−1,3]. b) Os valores de x que maximizam o valor da função são dados por f(x) = 3 ⇔ 1 + 2cos (2x) = 3 ⇔ 2cos (2x) = 2 ⇔ ⇔ cos (2x) = 1 ⇔ 2x = 2kπ ⇔ x = kπ, k∈ZZ Como x∈ ⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤− 22 ππ , , então x = 0 é o único valor que maximiza o valor da função. c) Os zeros da função são dados por f(x) = 0 ⇔ 1 + 2cos (2x) = 0 ⇔ 2cos (2x) = −1 ⇔ ⇔ cos (2x) = − 2 1 ⇔ 2x = 3 2π + 2kπ ∨ 2x = 3 4π + 2kπ ⇔ ⇔ x = 3 π + kπ ∨ x = 3 2π + kπ, k∈ZZ d) Ora tg2α = 3 ∧ ⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤∈ 2 0 πα , ⇔ tg α = 3± ∧ ⎢⎣ ⎡⎥⎦ ⎤∈ 2 0 πα , ⇔ α = 3 π Donde f(α) = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 3 πf = 1 + 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ × 3 2 πcos = 1 + 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 3 2πcos = 1 + 2 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 2 1 = 1 − 1 = 0 4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 9 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU 4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário Duração: 1h00m 17/06/2008 ________________________________________________________________________________________________ 1. Considere os pontos A = (−2,5), B = (−4,−1) e C = (4,3). a) Calcule AB , AC e BC . b) Averigúe, através do teorema de Pitágoras, se o triângulo [ABC] é rectângulo. c) Determine as coordenadas dos pontos médios D de [AB] e E de [BC]. d) Mostre que DE e AC são vectores colineares e que ACDE 2 1= . e) Determine ur perpendicular a BA de modo que || ur || = 10. Resolução: a) Os comprimentos AB , AC e BC dos segmentos [AB], [AC] e [BC] são dados por AB = ( ) ( )222211 abab −+− = ( ) ( )( ) ( )( )22 5124 −−+−−− = ( ) ( )22 5124 −−++− = ( ) ( )22 62 −+− = 40 AC = ( ) ( )222211 acac −+− = ( )( ) ( )22 5324 −+−− = ( ) ( )22 5324 −++ = ( )22 26 −+ = 40 BC = ( ) ( )222211 bcbc −+− = ( )( ) ( )( )22 1344 −−+−− = ( ) ( )22 1344 +++ = 22 48 + = 80 b) O triângulo é rectângulo se a soma dos quadrados dos comprimentos dos dois lados menores for igual ao quadrado do comprimento do lado maior. Ou seja, se 222 BCACAB =+ ⇔ ( ) ( ) ( )222 804040 =+ ⇔ 40 + 40 = 80 Como a igualdade é verdadeira, o triângulo é rectângulo. c) Os pontos médios D de [AB] e E de [BC] são dados por D = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 22 2211 ba,ba = ( ) ( ) ( )⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+−+− 2 15 2 42 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −−− 2 15 2 42 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 2 4 2 6 , = (−3,2) E = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 22 2211 cb,cb = ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− 2 31 2 44 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+− 2 31 2 44 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 2 2 0 , = (0,1) d) Os vectores DE e AC são definidos por DE = E − D = (0,1) − (−3,2) = (0 − (−3), 1 − 2) = (0 + 3, 1 − 2) = (3,−1) AC = C − A = (4,3) − (−2,5) = (4 − (−2), 3 − 5) = (4 + 2, 3 − 5) = (6,−2) 4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 10 Os vectores DE e AC são colineares se existe um número real k tal que DE =k AC ⇔ (3,−1) = k(6,−2) ⇔ (3,−1) = (6k,−2k) ⇔ ⇔ ⎩⎨ ⎧ −=− = k k 21 63 ⇔ ⎩⎨ ⎧ −=− = 12 36 k k ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = − − 2 1 6 3 k k ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = 2 1 2 1 k k ⇔ k = 2 1 Daqui conclui-se que os vectores DE e AC são colineares. Para provar que ACDE 2 1= , é necessário calcular as normas DE = ( )22 13 −+ = 19 + = 10 AC = AC = 40 Donde AC 2 1 = 40 2 1 = 22 40 = 4 40 = 10 = DE e) Seja ur = (u1,u2). O vector BA é definido por BA = A − B = (−2,5) − (−4, −1) = ((−2) − (−4), 5 − (−1)) = (−2 + 4, 5 + 1) = (2,6) O vector ur é perpendicular a BA e || ur || = 10. Ou seja, ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⊥ 10||u|| BAu r r ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =⋅ 10 0 ||u|| BAu r r ⇔ ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⋅ 10 062 2 2 2 1 21 uu ,u,u ⇔ ⎩⎨ ⎧ −−−−−−−− =+ 062 21 uu ⇔ ⇔ ⎩⎨ ⎧ −−−−−− −= 21 62 uu ⇔ ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− −= 103 3 2 2 2 2 21 uu uu ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ −−−−−−−− 109 22 2 2 uu ⇔ ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −−−−−− 1010 22u ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −−−−− 22 2 1010u ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −−−−− 10010 22u ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −−−− 1022u ⇔ ⇔ ⎩⎨ ⎧ ±= −−−−− 102u ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = −= 10 103 2 1 u u ∨ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ −= = 10 103 2 1 u u Donde, ur = ( )10103 ,− ou ur = ( )10103 −, . ________________________________________________________________________________________________ 4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 11 2. Considere os vectores ur = ( )13 , e vr = ( )13 ,− . Calcule: a) u r ⋅ vr ; b) || ur || e || vr ||; c) cos ( u r ^ v r ) e u r ^ v r . Resolução: a) O produto interno entre os vectores u r e v r é dado por u r ⋅ vr = u1v1 + u2v2 = ( )13 , ⋅ ( )13 ,− = 3 ( )3− + 1×1 = −3 + 1 = −2 b) As normas dos vectores u r e v r são dadas por || u r || = 22 2 1 uu + = ( ) 22 13 + = 13+ = 4 = 2 || v r || = 22 2 1 vv + = ( ) 22 13 +− = 13+ = 4 = 2 c) O co-seno do ângulo formado pelos vectores u r e v r é dado por cos ( ur ^ vr ) = ||v||||u|| vu rr rr ⋅ = 22 2 × − = 2 1− O ângulo entre os vectores u r e v r é dado por u r ^ v r = π − 3 π = 3 2π ________________________________________________________________________________________________ 3. Sejam A = (3,1,2), B = (−4,−1,3), ur = (2,4,1) e vr = (1,−1,2). a) Represente graficamente os pontos A e B e os vectores u r , v r e vu rr + . b) Indique um vector ortogonal a AB . c) Determine um vector unitário com o mesmo sentido de ur e outro com sentido contrário. d) Calcule vu rr ⋅ e o ângulo entre os vectores ur e vr . 4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 12 Resolução: a) A representação gráfica dos pontos A e B e dos vectores u r , v r e vu rr + é dada por b) O vector AB é definido por AB = B − A = (−4,−1,3) − (3,1,2) = ((− 4) − 3, (− 1) − 1, 3 − 2) = (−7,−2,1) Para obter um vector ortogonal basta trocar duas coordenadas, multiplicar uma dessas duas coordenadas por (−1) e anular a coordenada que não foi trocada. Por exemplo w r = (2,−7,0) é um vector ortogonal a AB . c) O vector unitário com o mesmo sentido de ur é definido por ||u|| ur r = ( ) 2 3 2 2 2 1 321 uuu u,u,u ++ = ( ) 222 142 142 ++ ,, = ( ) 1164 142 ++ ,, = ( ) 21 142 ,, = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 21 1 21 4 21 2 ,, = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 21 21 21 214 21 212 ,, O vector unitário com sentido contrário a u r é definido por 3 2 1 z 5 4 6 A B x 4 3 2 1 5 −1 −2 −3 −4 4 3 2 1 y 6 5 −1 −2 −3 −4 ur v r u r v rvu rr + 4º Teste de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (17/06/2008) Jorge P. J. Santos 13 − ||u|| ur r =− ( ) 2 3 2 2 2 1 321 uuu u,u,u ++ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− 21 21 21 214 21 212 ,, d) O produto interno entre os vectores ur e vr é dado por u r ⋅ vr = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (2,4,1)⋅(1,−1,2) = 2×1 + 4×(−1) + 1×2 = 2 − 4 + 2 = 0 As normas dos vectores u r e v r são dadas por || u r || = 23 2 2 2 1 uuu ++ = 222 142 ++ = 1164 ++ = 21 || v r || = 23 2 2 2 1 vvv ++ = ( ) 222 211 +−+ = 411 ++ = 6 O co-seno do ângulo formado pelos vectores u r e v r é dado por cos ( ur ^ vr ) = ||v||||u|| vu rr rr ⋅ = 621 0 × = 0 O ângulo entre os vectores u r e v r é 2 π . Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 14 INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário Duração: 3h00m 24/07/2008 ________________________________________________________________________________________________ 1. Resolva as seguintes condições em IR: a) 2 53 x− − 2× 5 31 x− ≥ 10 3 (3x − 7); b) 2 )2( 2+x − (x + 1) = 6 x − 3 2 + 6 )22)(22( +− xx ; Resolução: a) 2 53 x− − 2× 5 31 x− ≥ 10 3 (3x − 7) ⇔ 2 3 − 2 5x − 5 2 + 5 6x ≥ 10 9x − 10 21 ⇔ ⇔ 10 15 − 10 25x − 10 4 + 10 12x ≥ 10 9x − 10 21 ⇔ 15 − 25x − 4 + 12x ≥ 9x − 21 ⇔ ⇔ − 25x + 12x − 9x ≥ − 15 + 4 − 21 ⇔ − 22x ≥ − 32 ⇔ x ≤ 22 32 ⇔ x ≤ 11 16 b) 2 )2( 2+x − (x + 1) = 6 x − 3 2 + 6 )22)(22( +− xx ⇔ 2 442 ++ xx − (x + 1) = 6 x − 3 2 + 6 44 2 −x ⇔ ⇔ 2 2x + 2 4x + 2 4 − x − 1 = 6 x − 3 2 + 6 4 2x − 6 4 ⇔ 6 3 2x + 6 12x + 6 12 − 6 6x − 6 6 = 6 x − 6 4 + 6 4 2x − 6 4 ⇔ ⇔ 3x2 + 12x + 12 − 6x − 6 = x − 4 + 4x2 − 4 ⇔ ⇔ 3x2 + 12x + 12 − 6x − 6 − x + 4 − 4x2 + 4 = 0 ⇔ − x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ ⇔ x = )1(2 6)1(455 2 −× ×−×−±− ⇔ x = 2 24255 − +±− ⇔ x = 2 75 − ±− ⇔ x = −1 ∨ x = 6 ________________________________________________________________________________________________ 2. Resolva o sistema de equações e faça, se o sistema for possível, a sua verificação ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+− −=+ −=+− 66 43 422 zyx zx zyx . Resolução: No método de substituição começa-se por resolver uma das equações em ordem a umas das variáveis. Sendo assim pode-se começar por resolver a primeira equação em ordem a x. De seguida, substitui-se o valor obtido nas restantes equações. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+− −=+ −=+− 66 43 422 zyx zx zyx ⇔ ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+−+−− −=+−+− −+−= 66224 43224 224 zyzy zzy zyx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−++−+ −=+−+− −−−−−−−−−−−− 66224 43224 zyzy zzy ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ −−−−− 24 02 zy zy Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 15 A seguir resolve-se uma outra equação, a segunda ou a terceira, em ordem a uma outra variável, a variável y ou a variável z. Pode-se então resolver a segunda equação em ordem a z e substituir o valor obtido nas restantes equações ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+ −= −×−+−= 224 2 2224 yy yz yyx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =− −−−−−−− ++−= 224 424 yy yyx ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −−−−− +−= 22 64 y yx Finalmente resolve-se a única equação que sobrou, a terceira, em ordem à única variável que sobrou, a variável y, e substitui-se o valor obtido nas restantes equações ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ×−= ×+−= 1 12 164 y z x ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= = 1 2 2 y z x Para terminar, falta fazer a verificação ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =++−=−−×+−=−+− −=−=−×+=+ −=−−=−×+×−=+− 6262)2(1626 462)2(323 4422)2(212222 zyx zx zyx ________________________________________________________________________________________________ 3. Considere a função real de variável real definida por f(x) = [ ] ] ]⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈−+− −∈− 82se1812 2 3 210se1 2 1 2 ,xxx ,xx . a) Calcule f(−10), f(2), f(3), f(5), f(7) e f(8). b) Determine, analiticamente, os zeros de f. c) Calcule a taxa de variação média da função f no intervalo [5,7]. d) Diga, justificando a partir das alíneas anteriores, se a função é injectiva. e) Determine o vértice do gráfico da função definida analiticamente por g(x) = − 23 x2 + 12x − 18. f) Represente graficamente a função. Resolução: a) f(−10) = 2 1 × (−10) − 1 = − 5 − 1 = − 6; f(2) = 2 1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0; f(3) = − 2 3 × 32 + 12×3 − 18 = − 2 27 + 36 − 18 = − 2 27 + 2 72 − 2 36 = 2 9 = 4,5; f(5) = − 2 3 × 52 + 12×5 − 18 = − 2 75 + 60 − 18 = − 2 75 + 2 120 − 2 36 = 2 9 = 4,5; f(7) = − 2 3 × 72 + 12×7 − 18 = − 2 147 + 84 − 18 = − 2 147 + 2 168 − 2 36 = − 2 15 = − 7,5; Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 16 f(8) = − 2 3 × 82 + 12×8 − 18 = − 96 + 96 − 18 = − 18. b) No intervalo [−10,2] os zeros da função f são dados por f(x) = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ 2 1 x − 1 = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ 2 x − 2 2 = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ ⇔ x − 2 = 0 ∧ x∈[−10,2] ⇔ x = 2 ∧ x∈[−10,2] ⇔ x = 2 No intervalo ]2,8] os zeros da função f são dados por f(x) = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ − 2 3 x2 + 12x − 18 = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ − 2 3 2x + 2 24x − 2 36 = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ ⇔ − 3x2 + 24x − 36 = 0 ∧ x∈]2,8] ⇔ x = )3(2 )36()3(42424 2 −× −×−×−±− ∧ x∈]2,8] ⇔ ⇔ x = 6 1224 − ±− ∧ x∈]2,8] ⇔ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − +−=∨− −−= 6 1224 6 1224 xx ∧ x∈]2,8] ⇔ ⇔ (x = 6 ∨ x = 2) ∧ x∈]2,8] ⇔ x = 6 Deste modo, os zeros de f são x = 2 e x = 6. c) A taxa de variação média de f em [5,7] é dada por tvm[5,7] = ab afbf − − )()( = 57 )5((7) − − ff = 2 5457 ,, −− = 2 12− = − 6. d) A função f não é injectiva, pois existem objectos diferentes que correspondem à mesma imagem (f(2) = f(6) = 0). e) A função g é quadrática, pois pode ser escrita na forma g(x) = ax2 + bx + c com a = − 2 3 ≠ 0, b = 12 e c = − 18. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. Por isso, o vértice da função g é dado por V = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− a acb, a b 4 4 2 2 = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−× −×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−×− − ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−× − 2 34 )18( 2 3412 2 32 12 2 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − −−−− 6 108144 3 12 , = (4, 6). f) A função f no intervalo [−10,2[ é parte de uma função linear, pois pode ser escrita na forma f(x) = ax + b Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 17 com a = 2 1 ≠ 0 e b = − 1. Como o gráfico de uma função linear é uma recta, o gráfico de f no intervalo [−10,2[ é parte de uma recta com os extremos x y = 2 1 x − 1 −10 2 1 ×(−10) − 1 = − 5 − 1 = − 6 2 2 1 × 2 − 1 = 1 − 1 = 0 Por d) sabe-se que a função f no intervalo ]2,8] é parte de uma função quadrática. Como o gráfico de uma função quadrática é uma parábola, o gráfico de f no intervalo ]2,8] é parte de uma parábola com os extremos x y = − 2 3 x2 + 12x − 18 2 − 2 3 × 22 + 12×2 − 18 = − 6 + 24 − 18 = 0 8 − 2 3 × 82 + 12×8 − 18 = − 96 + 96 − 18 = − 18 O gráfico da função f é dado por ________________________________________________________________________________________________ 4. Simplifique a expressão sin (x + 5π) + 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xcotg π 2 3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− xcos 2 π . y 8 −2 −4 −6 6 −8 2 −10 4 6 −12 −14 −16 −18 −4 −2 2 4 6 x−6−8−10 8 10 Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 18 Resolução: sin (x + 5π) + 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xcotg π 2 3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− xcos 2 π = = sin (x + π + 4π) + 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xcotg π 2 3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− xcos 2 π = = sin (x + π) + 3 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + xcotg π 2 3 + 4 tg (x + π) + ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +− xcos 2 π = = − sin x − 3 tg x + 4 tg x + sin x = tg x ________________________________________________________________________________________________ 5. Resolva em IR as seguintes equações: a) 2cos x = − 3 ; b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 3 2 πxtg = tg x; Resolução: a) 2cos x = − 3 ⇔ cos x = − 2 3 ⇔ x = 6 5π + 2kπ ∨ x = 6 7π + 2kπ, k∈ZZ b) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + 3 2 πxtg = tg x ⇔ 2x + 3 π = x + kπ ⇔ 2x − x = − 3 π + kπ ⇔ x = − 3 π + kπ, k∈ZZ ________________________________________________________________________________________________ 6. Considere a função real de variável real f: x → f(x) = 1 − 2 sin (2x). a) Indique o domínio e o contradomínio de f. b) Indique os valores de x que tornam máxima a função e que pertencem ao intervalo [0,2π]. c) Escreva a expressão geral dos zeros da função. Resolução: a) O domínio da função seno é IR e por isso o domínio de f é Df = IR. Para calcular o contradomínio, sabe-se que − 1 ≤ sin (2x) ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ − 2sin (2x) ≤ 2 ⇔ − 1 ≤ 1 − 2sin (2x) ≤ 3 e o contradomínio de f é D’f = [−1,3]. b) Os valores de x que maximizam o valor da função são dados por f(x) = 3 ⇔ 1 − 2sin (2x) = 3 ⇔ − 2sin (2x) = 2 ⇔ ⇔ sin (2x) = − 1 ⇔ 2x = 2 3π + 2kπ ⇔ x = 4 3π + kπ, k∈ZZ Como x∈[0,2π], então x = 4 3π e x = 4 7π são os únicos valores que maximizam o valor da função. Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 19 c) Os zeros da função são dados por f(x) = 0 ⇔ 1 − 2sin (2x) = 0 ⇔ − 2sin (2x) = −1 ⇔ sin (2x) = 2 1 ⇔ ⇔ 2x = 6 π + 2kπ ∨ 2x = 6 5π + 2kπ ⇔ x = 12 π + kπ ∨ x = 12 5π + kπ, k∈ZZ ________________________________________________________________________________________________ 7. Considere os pontos A = (1,−2), B = (−2,4) e C = (4,7). a) Calcule AB , AC e BC . b) Diga, justificando, se o triângulo [ABC] é isósceles. c) Averigúe, através do produto interno, se o triângulo [ABC] é rectângulo. d) Determine as coordenadas do ponto médio M de [AC]. e) Calcule ur perpendicular a AC tal que || ur || = 1. Resolução: a) Os comprimentos AB , AC e BC dos segmentos [AB], [AC] e [BC] são dados por AB = ( ) ( )222211 abab −+− = ( )( ) ( )( )22 2412 −−+−− = ( ) ( )22 2412 ++−− = ( ) 22 63 +− = 45 AC = ( ) ( )222211 acac −+− = ( ) ( )( )22 2714 −−+− = ( ) ( )22 2714 ++− = 22 93 + = 90 BC = ( ) ( )222211 bcbc −+− = ( )( ) ( )22 4724 −+−− = ( ) ( )22 4724 −++ = 22 36 + = 45 b) O triângulo é isósceles porque tem dois lados iguais e um diferente. Neste caso tem-se AB = BC c) O triângulo é rectângulo se tiver um ângulo recto. Ou seja, se um dos produtos internos AB ⋅ AC , BA ⋅ BC e CA ⋅CB for nulo. Ora AB ⋅ AC = (B − A) ⋅ (C − A) = ((−2,4) − (1,−2)) ⋅ ((4,7) − (1,−2)) = = (−3,6) ⋅ (3,9) = −3×3 + 6×9 = −9 + 54 = 45 BA ⋅ BC = (A − B) ⋅ (C − B) = ((1,−2) − (−2,4)) ⋅ ((4,7) − (−2,4)) = = (3,−6) ⋅ (6,3) = 3×6 + (−6)×3 = 18 −18 = 0 CA ⋅ CB = (A − C) ⋅ (B − C) = ((1,−2) − (4,7)) ⋅ ((−2,4) − (4,7)) = = (−3,−9) ⋅ (−6,−3) = (−3)×( −6) + (−9)×(−3) = 18 + 27 = 45 Neste caso o triângulo é rectângulo no vértice C. d) O ponto médio M de [AC] é dado por Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 20 M = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 22 2211 ca,ca = ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+ 2 72 2 41 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ +−+ 2 72 2 41 , = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 2 5 2 5 , e) Seja ur = (u1,u2). O vector AC é definido por AC = C − A = (4,7) − (1,−2) = (4 − 1, 7 − (−2)) = (4 − 1, 7 + 2) = (3,9) Se o vector u r é perpendicular a AC e || u r || = 10, então ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ⊥ 1||u|| ACu r r ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = =⋅ 1 0 ||u|| ACu r r ⇔ ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =⋅ 1 093 2 2 2 1 21 uu ,u,u ⇔ ⎩⎨ ⎧ −−−−−−− =+ 093 21 uu ⇔ ⇔ ⎩⎨ ⎧ −−−−−− −= 21 93 uu ⇔ ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+− −= 13 3 2 2 2 2 21 uu uu ⇔ ⎩⎨ ⎧ =+ −−−−−−− 19 22 2 2 uu ⇔ ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −−−−− 110 22u ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −−−−− 22 2 110u ⇔ ⎩⎨ ⎧ = −−−− 110 22u ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = −−−− 10 12 2u ⇔ ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ±= −−−−− 10 1 2u ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ±= −−−−− 10 10 2u ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = 10 10 2 10 103 1 u u ∨ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −= 10 10 2 10 103 1 u u Donde, u r = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ − 101010103 , ou u r = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− 101010103 , . ________________________________________________________________________________________________ 8. Sejam ur = (1,2,3) e vr = (4,−6,−2). a) Represente graficamente os vectores u r , v r e vu rr + . b) Indique um vector ortogonal a ur . c) Determine um vector unitário com o mesmo sentido de u r e outro com sentido contrário. d) Calcule vu rr ⋅ e o ângulo entre os vectores ur e vr . Resolução: Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 21 a) A representação gráfica dos vectores ur , vr e vu rr + é dada por b) Para obter um vector ortogonal basta trocar duas coordenadas, multiplicar uma dessas duas coordenadas por (−1) e anular a coordenada que não foi trocada. Por exemplo w r = (−1,2,0) é um vector ortogonal a u r . c) O vector unitário com o mesmo sentido de ur é definido por ||u|| ur r = ( ) 2 3 2 2 2 1 321 uuu u,u,u ++ = ( ) 222 321 321 ++ ,, = ( ) 941 321 ++ ,, = ( ) 14 321 ,, = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 14 3 14 2 14 1 ,, = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 14 143 14 142 14 14 ,, O vector unitário com sentido contrário a u r é definido por − ||u|| ur r =− ( ) 2 3 2 2 2 1 321 uuu u,u,u ++ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−− 14 143 14 142 14 14 ,, d) O produto interno entre os vectores ur e vr é dado por u r ⋅ vr = u1v1 + u2v2 + u3v3 = (1,2,3)⋅(4,−6,−2) = 1×4 + 2×(−6) + 3×(−2) = 4 − 12 − 6 = −14 As normas dos vectores u r e v r são dadas por 3 2 1 z x 4 3 2 1 5 −1 −2 −3 −4 u r v r u r v r vu rr + 2 1 −1 y4 3 −3−4 −5 −6 −2 Exame de Cálculo I – CET em Design Mobiliário (24/07/2008) Jorge P. J. Santos 22 || u r || = 23 2 2 2 1 uuu ++ = 222 321 ++ = 941 ++ = 14 || v r || = 23 2 2 2 1 vvv ++ = ( ) ( )222 264 −+−+ = 43616 ++ = 56 O co-seno do ângulo formado pelos vectores u r e v r é dado por cos ( u r ^ v r ) = ||v||||u|| vu rr rr ⋅ = 5614 14 × − = 5614 14 × − = 784 14− = 28 14− = 2 1− O ângulo entre os vectores u r e v r é 3 2π .