p2_calculoI_2006_2

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Universidade Federal do Espir´ıto Santo
Segunda Prova de Ca´lculo I - Engenharia Ele´trica
Professora Julia Wrobel
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1. (1.2 pontos) Determine os pontos da curva x2 +2xy+3y2 = 3 tais que as retas tangentes
nesses pontos sejam perpendiculares a` reta x+ y = 1.
2. (1.2 pontos) Calcule φ′′(−2) se φ(x) =
√
1− g(x), g(−2) = −3, g′(−2) = 3 e g′′(−2)=5.
3. (1.2 pontos) Use a regra de L’hospital para calcular
lim
x→∞
(
1 +
3
x
)
x
.
4. (1.2 pontos) Mostre que
d
dx
arctg(x) =
1
1 + x2
.
5. (1.2 pontos) Verifique que
d
dx
(
x arctg(x)−
1
2
ln(1 + x2)
)
= arctg(x).
6. Considere a func¸a˜o
x2 − 9
2x− 4
cujas derivadas de primeira e segunda ordem sa˜o, respectivamente,
f ′(x) =
x2 − 4x+ 9
2(x− 2)2
e f ′′(x) =
−5
(x− 2)3
.
a) (0.9 pontos) Estude o crescimento e decrescimento da func¸a˜o
b) (0.9 pontos) Estude a concavidade da func¸a˜o e deˆ os seus pontos de inflexa˜o
c) (0.9 pontos) Determine as ass´ıntotas
d) (1.3 pontos) Esboce o gra´fico de f .