Apostila_parte3

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Cap´ıtulo 3
Retas e Planos
3.1 Retas no R3
No estudo da reta no plano cartesiano, R2, e´ fa´cil perceber que dados dois pontos
distintos obtemos uma u´nica reta, que e´ definida por uma equac¸a˜o linear.
Agora, com o estudo da reta no espac¸o (R3), uma reta e´ determinada por um
ponto e um vetor indicando a direc¸a˜o da reta.
Consideramos uma reta r que passa pelo ponto A(x1,y1,z1) e com direc¸a˜o do vetor
~v = (a,b,c). Um ponto P pertence a reta r se, e somente se, o vetor
−→
AP e´ paralelo a
~v. Enta˜o,
−→
AP= t~v, para algum t real. (3.1)
Da equac¸a˜o (3.1), temos que P − A = t~v ⇒ P = A+ t~v, ou em coordenadas
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(a,b,c) (3.2)
Essa equac¸a˜o e´ denominada equac¸a˜o vetorial da reta r no espac¸o tridimensional
R
3. O vetor ~v e´ o vetor diretor da reta e t e´ denominado paraˆmetro.
A reta no R3 e´ o conjunto de todos os pontos A(x1,y1,z1) para os quais
−→
AP‖ ~v e
o paraˆmetro t depende da localizac¸a˜o do ponto A ao longo da reta.
Exemplo 38 Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto A(6,1,-8)
e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 2~i+~j + ~k.
66
Soluc¸a˜o: O vetor ~v = 2~i + ~j + ~k pode ser reescrito na forma de coordenadas:
~v = (2,1,1).
Enta˜o, a equac¸a˜o vetorial da reta e´
(x,y,z) = (6,1,− 8) + t(2,1,1)
Se desejarmos obter pontos da reta r, atribu´ımos valores para o paraˆmetro t. Assim,
para
t = 0⇒ (6,1,− 8)
t = 1⇒ (8,2,− 7)
e assim por diante. Se o paraˆmetro t assumir todos os valores reais teremos todos os
infinitos pontos da reta.
Exemplo 39 Reta com direc¸a˜o do vetor −→v .
Exemplo 40 Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto A(1,-3,2)
e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 3~i+ 5~j − 4~k.
Reescrevendo o vetor na forma de coordenadas, (3,5,-4). A equac¸a˜o vetorial da
reta fica
(x,y,z) = (1,− 3,2) + t(3,5,− 4).
67
Equac¸o˜es Parame´tricas: Da equac¸a˜o vetorial da reta (3.2): (x,y,z) = (x1, y1,z1)+
t(a,b,c) ou ainda (x,y,z) = (x1+at,y1+ bt,z1+ ct) e pela condic¸a˜o de igualdade entre
vetores, igualamos as componentes correspondentes dos dois lado, e temos:

x = x1 + at
y = y1 + bt −∞ < t < +∞
z = z1 + ct
(3.3)
O paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas e´ u´nico para cada ponto da reta de
coordenadas (x,y,z). Desta forma, para cada valor do paraˆmetro t, obtemos um
ponto da reta e quando t varia no intervalo −∞ < t < +∞ as equac¸o˜es parame´tricas
nos fornecem as coordenadas de todos os pontos da reta.
Exemplo 41 Dado o ponto A(4,6,-8) e o vetor ~v=(1,-2,3):
a) Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A e tem direc¸a˜o de
~v.
b) Encontrar dois pontos B e C de r de paraˆmetros t = 1 e t = 8, respectivamente.
Soluc¸o˜es:
a)


x = 4 + t
y = 6− 2t
z = −8 + 3t
b) Ponto B:

x = 4 + (1) = 5
y = 6− 2(1) = 4
z = −8 + 3(1) = −5
O ponto B tem coordenadas (5,4,-5).
Ponto C:

x = 4 + (8) = 12
y = 6− 2(8) = −10
z = −8 + 3(8) = 16
68
O ponto C tem coordenadas (12,-10,16).
Observac¸a˜o: O paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas pode se interpretado como
o instante de tempo, se por exemplo o ponto P (x,y,z) descreve o movimento de uma
part´ıcula em m.r.u. com o vetor velocidade ~v = (a,b,c).
Reta definida por Dois Pontos: A reta definida pelos pontos A(x1,y1,z1) e
B(x2,y2,z2) e´ a reta que passa pelo ponto A (ou B) e tem direc¸a˜o do vetor
~v =
−→
AB= (x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1).
Exemplo 42 Parametrize o segmento de reta que liga os pontos P (−3,2, − 3) e
Q(2,− 2,4).
Soluc¸a˜o:
−→
PQ= (2,− 2,4)− (−3,2,− 3) = (5,− 4,7).
r :


x = −3 + 5t
y = 2− 4t
z = −3 + 7t
Observe que quando t = 0 temos o ponto P e para t = 1 temos o ponto Q. Se
adicionarmos a restric¸a˜o 0 ≤ t ≤ 1 para parametrizar o segmento
r :


x = −3 + 5t
y = 2− 4t 0 ≤ t ≤ 1
z = −3 + 7t
Exemplo 43 Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa por A(3,-1,-2)
e B(1,2,4).
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, calculando o vetor direc¸a˜o
−→
AB= B−A=(1,2,4)-(3,-1,-2)=(-2,3,6).
Agora escolhemos um dos pontos, A ou B, e escrevemos a equac¸a˜o parame´trica
da reta. Neste caso escolheremos o ponto B.

x = 1− 2t
y = 2 + 3t
z = 4 + 6t
69
Equac¸o˜es Sime´tricas: Das equac¸o˜es parame´tricas x = x1 + at, y = y1 + bt,
z = z1 + ct. Isolando o paraˆmetro t:
t =
x− x1
a
, t =
y − y1
b
, t =
z − z1
c
Como cada ponto da reta corresponde um so´ valor de t:
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
(3.4)
As equac¸o˜es (3.4) sa˜o denominadas equac¸o˜es sime´tricas da reta.
Exemplo 44 Escreva as equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5)
e tem direc¸a˜o do vetor ~v = 2~i+ 2~j − ~k.
Soluc¸a˜o:
Substituindo as coordenadas do vetor direc¸a˜o e o ponto A temos:
x− 3
2
=
y
2
= −z − 5
Exemplo 45 Seja o triaˆngulo de ve´rtices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4). Escrever
as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto me´dio do lado AB e pelo ve´rtice
C.
Soluc¸a˜o:
Primeiro, vamos calcular o ponto me´dio M , entre A e B:
M = ( (−1)+3
2
,4+(−3)
2
, (−2)+6
2
) = (1,1
2
,2).
Agora vamos calcular o vetor diretor da reta, o vetor ~v que comec¸a em M e
termina em C.
~v = C −M = (2,− 1,4)− (1,1
2
,2) = (1,− 3
2
,2).
70
Por fim, escreveremos as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo ponto C
e tem vetor diretor ~v.

x = 2 + t
y = −1− 3
2
t
z = 4 + 2t
Exemplo 46 Verificar se M(13,17,-14) pertence a reta r : (x,y,z) = (1, − 3,2) +
t(3,5,− 4).
Soluc¸a˜o:
Reescrevendo a equac¸a˜o da reta r na forma parame´trica e isolando o paraˆmetro
t, temos:

x = 1 + 3t −→ t = x−1
3
y = −3 + 5t −→ t = y+3
5
z = 2− 4t −→ t = z−2
4
Igualando o paraˆmetro t, vamos escrever a equac¸a˜o na forma sime´trica:
t =
x− 1
3
=
y + 3
5
=
−z + 2
4
Agora, vamos substituir o ponto M e verificar se ele satisfaz a equac¸a˜o:
13− 1
3
=
17 + 3
5
=
14 + 2
4
= 4
Logo, verificamos que o ponto M=(13,17,-4) percentece a reta r.
3.2 Agora tente resolver!
1. Escreva as equac¸o˜es das seguintes retas, nas formas parame´trica e sime´trica
para cada um dos casos:
(a) que passa pelos pontos P (−3,− 4,6) e Q(5,3,2);
(b) que passa pelo pontos P (3,5,−6) e e´ paralela a reta que passa pelos pontos
A(2,3,1) e B(3,− 2,1);
71
(c) que passa pelo ponto (−4,2,5) e e´ paralelo a` reta r : x− 1
2
=
y + 3
3
=
z − 7
4
;
(d) que passa na origem e e´ paralelo a` reta r :
x− 3
5
=
y − 2
−3 =
z + 2
−2 .
2. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas dos eixos coordenados.
3. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa no ponto (3,0,4) e pelo
ponto me´dio do segmento AB, sendo A(2,7,9) e B(2,3,5).
Equac¸o˜es Reduzidas: Podemos isolar duas varia´veis em func¸a˜o de uma terceira,
desta forma temos outra maneira de escrever a equac¸a˜o da reta. Partindo das
equac¸o˜es sime´tricas (3.4) vamos isolar as varia´veis y e z em func¸a˜o de x.
Assim:
x− x1
a
=
y − y1
b
⇒ y = mx+ n
x− x1
a
=
z − z1
c
⇒ z = px+ q
(3.5)
As equac¸o˜es (3.5) sa˜o denominadas como equac¸o˜es reduzidas da reta.
Observac¸a˜o: Como determinar um ponto e um vetor dada a equac¸a˜o reduzida da
reta:
Podemos isolar a varia´vel independente nas equac¸o˜es reduzidas e compara´-las
com as equac¸o˜es sime´tricas da reta. Desta forma, temos:
 Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel x:
{
y = mx+ n
z = px+ q
enta˜o, x =
y − n
m
e x =
z − q
p
.
Enta˜o, a sua forma sime´trica e´ dada por
x =
y − n
m
=
z − q
p
.
72
Agora fica fa´cil perceber que a reta passa pelo ponto P = (0,n,q) ∈ y0z e tem
vetor diretor ~v = (1,m,p).
Exemplo 47
{
y = 3x− 4
z = 4x+ 3
Soluc¸a˜o: P (0,− 4,3) o ponto P e´ obtido fazendo x = 0, ~v = (1,3,4).
 Se a equac¸a˜o reduzida
esta´ em func¸a˜o da varia´vel y:
{
x = m1y + n1
z = p1y + q1
enta˜o, y =
x− n1
m1
e y =
z − q1
p1
.
Portanto,
x− n1
m1
= y =
z − q1
p1
.
A reta passa no ponto P (n1,0,q1) ∈ x0z e tem ~v = (m1,1,p1).
 Se a equac¸a˜o reduzida esta´ em func¸a˜o da varia´vel z:
{
x = m2z + n2
y = p2z + q2
enta˜o, z =
x− n2
m2
e z =
y − q2
p2
.
Assim, reescrevendo na forma sime´trica temos
x− n2
m2
=
y − q2
p2
= z.
A reta passa no ponto P (n2,q2,0) ∈ x0y e tem ~v = (m2,p2,1).
Exemplo 48 Estabelecer as equac¸o˜es reduzidas da reta r que passa por A(2,1,-3)
e tem direc¸a˜o do vetor ~v = (2,− 1,1).
Soluc¸a˜o:
Primeiramente, vamos escrever a equac¸a˜o na forma sime´trica:
x− 2
2
= −y + 1 = z + 3
73
Agora, vamos isolar as varia´veis y e z em func¸a˜o de x:
x− 2
2
= −y + 1⇒ y = −x
2
+ 2
e,
x− 2
2
= z + 3⇒ z = x
2
− 4
Portanto,


y = −x
2
+ 2
z =
x
2
− 4
3.3 Agora tente resolver!
1. Determinar a equac¸a˜o reduzida da reta que passa pelos pontos M(3, − 1,4) e
N(4,0,5), em func¸a˜o de x.
2. Determinar a equac¸a˜o reduzida da reta que passa pelos pontos M(−1,5,7) e
N(8,6,9), em func¸a˜o de y.
3. Escreva a equac¸a˜o da reta l, na forma reduzida:


x = 1 + t
y = 2 + 3t
z = 3− t
4. Escreva a equac¸a˜o da reta s, na forma reduzida:


x = 2 + 2t
y = 1− 4t
z = 6− t
5. Determine as equac¸o˜es reduzidas da reta s que passa no ponto P (3,1, − 3) e
tem direc¸a˜o do vetor ~s = (3,− 6,4):
a. em func¸a˜o de z,
b. em func¸a˜o de y.
6. A reta r tem a seguinte equac¸a˜o r = (−1,0,−1)+t(2,1,2). Obtenha as equac¸o˜es
parame´tricas da reta r. E, dado o ponto P (−1,0, − 1), encontre os pontos de
r que distam 6 de A.
7. Escrever um ponto e um vetor das retas:
74
a. r :
{
x = 3y − 2
3
z = −y + 2
b. s :


y = −6x− 2
5
z =
1
2
x+ 3
c. t :


x = 3z +
4
3
y =
3
7
z − 2
d. p :


x = 5
2
z
y = z − 3
2
e. m :
{
x = −y
3
+ 5
3
z = 2
3
y − 1
3
Condic¸a˜o para que 3 pontos estejam em linha reta: Se A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e
C(x3,y3,z3) esta˜o alinhados enta˜o
−→
AB e
−→
AC sa˜o colineares:
−→
AB= m
−→
AC.
x2 − x1
x3 − x1 =
y2 − y1
y3 − y1 =
z2 − z1
z3 − z1 (3.6)
Exemplo 49 Verifique se os pontos A = (1, − 1,7), B(2,2,11) e C(−1, − 7, − 1)
esta˜o alinhados.
Soluc¸a˜o:
2− 1
−1− 1 =
2− (−1)
−7− (−1) =
11− 7
−1− 7 = −
1
2
Logo os pontos esta˜o alinhados.
Retas Paralelas aos Planos e aos Eixos Coordenados:
1. Uma das componentes de ~v e´ nula: O vetor ~v e´ ortogonal a um dos eixos
coordenados, e a reta r e´ paralela ao plano dos outros eixos:
75
(a) Se a=0, ~v = (0,b,c) ⊥ Ox ∴ r ‖ yOz. As equac¸o˜es ficam
{
x = x1
y − y1
b
=
z − z1
c
Figura 3.1: Exemplo do item 1.a)
(b) Se b = 0, ~v = (a,0,c) ⊥ Oy ∴ r ‖ xOz.
Equac¸o˜es:
{
y = y1
x− x1
a
=
z − z1
c
(c) Se c = 0, ~v = (a,b,0) ⊥ Oz ∴ r ‖ xOy.
Equac¸o˜es:{
z = z1
x− x1
a
=
y − y1
b
2. Duas componentes de ~v sa˜o nulas: O vetor ~v tem direc¸a˜o de um dos vetores ~i
ou ~j ou ~k e a reta e´ paralela ao eixo que tem direc¸a˜o de ~i ou ~j ou ~k:
(a) Se a = b = 0, ~v = (0,0,c) ‖ ~k ∴ r ‖ Oz. Equac¸o˜es:
76
Figura 3.2: Exemplo do item 1.b)
Figura 3.3: Exemplo do item 1.c)
77


x = x1
y = y1
z = z1 + ct
Figura 3.4: Exemplo do item 2.a)
78
Exemplo 50 r :
{
x = 3
y = 6
(b) Se a = c = 0, ~v = (0,b,0) ‖ ~j ∴ r ‖ Oy. Equac¸o˜es:


x = x1
y = y1 + bt
z = z1
Exemplo 51 r :
{
x = 1
z = 2
Figura 3.5: Exemplo do item 2.b)
(c) Se b = c = 0, ~v = (a,0,0) ‖~i ∴ r ‖ Ox. Equac¸o˜es:


x = x1 + at
y = y1
z = z1
Exemplo 52 r :
{
y = −2
z = 3
79
Figura 3.6: Exemplo do item 2.c)
Observac¸a˜o: Os eixos coordenados Ox, Oy e Oz, sa˜o retas particulares:
 a reta Ox passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor
−→
i = (1,0,0).
Equac¸o˜es parame´tricas:


x = t
y = 0
z = 0
 a reta Oy passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor
−→
j = (0,1,0).
Equac¸o˜es parame´tricas:


x = 0
y = t
z = 0
 a reta Oz passa pela origem O(0,0,0) e tem direc¸a˜o do vetor
−→
k = (0,0,1).
Equac¸o˜es parame´tricas:


x = 0
y = 0
z = t
80
Exemplo 53 Determinar as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto A(-2,3,-2) e tem
direc¸a˜o do vetor ~v = 3~i+ 2~k.
Soluc¸a˜o:
Pelo vetor ~v percebemos que e´ perpendicular ao plano Oy e paralelo ao eixo xOz,
enta˜o a equac¸a˜o da reta fica na forma:{
y = 3
x+ 2
3
=
z + 2
2
3.3.1 Agora tente resolver!
1. Estabelecer as equac¸o˜es da reta que passa pelos pontos A(7,4,3) e B(7,5,4).
2. Determinar as equac¸o˜es da reta que passa pelo ponto A(6,8,9) e tem direc¸a˜o
do vetor ~v = 7~j.
3. Determine a posic¸a˜o relativa das retas em relac¸a˜o aos eixos ou planos coordenados,
e escreva um ponto e um vetor diretor para cada uma das retas:
a. r :
{
x = 4
y + 1
8
=
z + 1
6
b. s :
{
x = 2
y
4
=
z − 18
−12
c. p :
{
z = 4
x = −2y + 4
d. m :
{
y = −8
z = 6
e. n :
{
x = −4
y = 4
f. o :
{
x = 6
z = −3
4. Determinar a equac¸a˜o da reta, em todas as suas formas poss´ıveis, que passa no
ponto R(2,− 6,8) e
81
(a) tem direc¸a˜o de ~u = (2,0,− 3)
(b) e´ paralela (‖) ao eixo Oz
5. Escreva as equac¸o˜es parame´tricas das retas nos seguintes casos:
a. Passa pelo ponto (7,8,6) e e´ perpendicular ao plano xOz.
b. Passa pelo ponto (4,− 4,5) e e´ paralela ao eixo x.
c. Passa pelo ponto (6,− 3,4) e e´ paralela ao eixo z.
d. Passa pelo ponto (5,5,2) e tem direc¸a˜o do vetor 2~i−~j.
e. Passa pelo ponto (1,3,4) e tem direc¸a˜o do vetor 2~j
6. Considere a reta s :


x = 1 + 2t
y =
3
2
+ t
z = 3 +
3
2
t
encontre a intersec¸a˜o da reta s com os
planos coordenados, xy, yz e xz.
Aˆngulo entre duas Retas: Sejam as retas r1 que passa pelo ponto A1 e tem
direc¸a˜o do vetor ~v1, e a reta r2 que passa pelo ponto A2 e tem direc¸a˜o do vetor
~v2. Denomina-se aˆngulo de duas retas o menor aˆngulo formado por r1 e r2 tal que:
cos(θ) =
|~v1 · ~v2|
|~v1||~v2| , 0 ≤ θ ≤
pi
2
Exemplo 54 Calcular o aˆngulo entre as retas
r1 :


x = 3 + 3t
y = −6t
z = −1− 2t
r2 :
{
x+ 2
2
=
y − 3
1
=
z
−2
Soluc¸a˜o: Vetor diretor da reta r1 e´ (3,-6,-2), vetor diretor da reta r2 e´ (2,1,-2),
enta˜o:
cos(θ) =
|(3,− 6,− 2) · (2,1,− 2)|
|(3,− 6,− 2)||(2,1,− 2)| =
4
21
Enta˜o θ ≈ 79◦ ≈ 1,38 radianos.
82
Condic¸a˜o de Ortogonalidade entre duas retas: Dadas duas retas r1 e r2 e seus
respectivos vetores ~v1 e ~v2, a condic¸a˜o de ortogonalidade diz que se ~v1 · ~v2 = 0 ou
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0 , enta˜o as retas r1 e r2 sa˜o ortogonais.
Exemplo 55 As retas r :
{
y = −2x+ 1
z = 4x
s :


x = 3− 2t
y = 4 + t
z = t
sa˜o ortogonais?
Soluc¸a˜o:
O vetor diretor da reta r e´ (1,-2,4) e o vetor diretor da reta s e´ (-2,1,1), enta˜o:
(1,− 2,4) · (−2,1,1) = −2− 2 + 4 = 0, logo as retas sa˜o ortogonais.
Condic¸a˜o de Paralelismo entre duas retas: Se duas retas r1 e r2 sa˜o paralelas,
enta˜o seus vetores ~v1 e ~v2 sa˜o paralelos: ~v1 = m~v2 ou
a1
a2
=
b1
b2
=
c1
c2
.
Exemplo 56 A figura mostra um exemplo de retas paralelas.
83
Exemplo 57 Sejam ~u=(8,-6,2) e ~v=(-4,3,-1) vetores diretores das retas r e s respectivamente.
Essas retas sa˜o paralelas?
Soluc¸a˜o:
8
−4 =
−6
3
=
2
−1 = 2, logo as retas sa˜o paralelas.
Condic¸a˜o de Coplanaridade de duas retas: A reta r1 que passa pelo ponto A1 e
tem direc¸a˜o do vetor ~v1, e a reta r2 que passa pelo ponto A2 e tem direc¸a˜o do vetor
~v2, sa˜o coplanares se ~v1, ~v2 e
−→
A1A2 forem coplanares, isto e´, se for nulo o
produto
misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2).
Exemplo 58 Determinar o valor de m para que as retas r :
{
y = mx+ 1
z = 3x− 1
s :


x = t
y = 1 + 2t
z = −2t
sejam coplanares.
Soluc¸a˜o: O vetor diretor de r e´ ~v1 = (1,m,3) e de s ~v2 = (1,2,− 2) e o vetor
−→
A1A2
e´ A2 − A1 = (0,1,0)− (0,1,− 1) = (0,0,1). Fazendo o produto misto, temos:
((1,m,3),(1,2,− 2),(0,0,1)) =
∣∣∣∣∣∣
1 m 3
1 2 −2
0 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 2−m⇒ m = 2
Para que as retas sejam coplanares m = 2.
Posic¸o˜es relativas de duas retas:
1. Retas Coplanares: Situadas no mesmo plano, podem ser: Paralelas, Concorrentes,
Coincidentes.
2. Retas Na˜o Coplanares: Sa˜o as retas reversas.
- Como classificar cada uma:
1. Analisar os vetores direcionais das retas.
2. Se os vetores forem colineares enta˜o as retas sa˜o paralelas ou coincidentes.
84
3. Calcular o produto misto, se o produto misto (~v1, ~v2,
−→
A1A2) = 0 as retas sa˜o
concorrentes, mas se (~v1, ~v2,
−→
A1A2) 6= 0 sa˜o reversas.
Exemplo 59 Estudar a posic¸a˜o relativa das retas:
r :
{
x
2
=
y − 1
−1 = z s :


x = 2− 4t
y = 2t
z = −2t+ 1
Soluc¸a˜o:
O vetor diretor de r e´ (2,-1,1) e de s e´ (-4,2,-2), temos que:
2
−4 =
−1
2
=
1
−2 = −
1
2
Logo as retas sa˜o paralelas e consequentemente sa˜o colineares. Elas sa˜o coincidentes?
Vamos escolher um ponto da reta s, para t = 1, teremos:
s :


x = −2
y = 2
z = −1
Agora vamos substituir os pontos em r:
r :
{ −2
2
=
1
−1 = −1
Temos um ponto em comum entre as duas retas, vamos testar para outro ponto
de s, escolhemos t = 0.
s :


x = 2
y = 0
z = 1
r :
{
2
2
=
−1
−1 = 1
Temos outro ponto em comum, logo as retas sa˜o coincidentes.
85
3.3.2 Agora tente resolver!
1. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas:
r :
{
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
s :


x = 5 + t
y = 2− t
z = −7− 2t
2. Verificar se as seguintes retas sa˜o paralelas ou ortogonais(perpendiculares):
a. r :
x+ 3
4
=
y − 4
−3 = z − 2 s : M(−1,2,− 3) e N(−5,5,4)
b. l :
{
x− 3
2
=
y − 3
4
=
z + 1
6
l :
x
1
=
y + 1
1
=
z − 3
−1
c. r :


x = 1 + 10t
y = −2 + 16t
z = 18t
s :


x = 2 + 5t1
y = −2 + 8t1
z = 9t1
d. r1 :


x = 2 + 2h
y = 3 + h
z = 1
r2 :


x = 4
y = 1
z = t
3. A reta r :
{
y = mx+ 3
z = x− 1 e´ perpendicular a reta s determinada pelos pontos
A(1,0,− 3) e B(−2,2m,2m). Determinar m e as equac¸o˜es parame´tricas da reta
s.
4. Verificar se a retas r :
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
e s :
{
x = −y − 8
z = 3y + 15
sa˜o orgotonais.
5. Determinar a equac¸a˜o da reta t que passa no ponto T (−1,0, − 2) e´ ortogonal
ao vetor ~v = (2,1,− 1) e coplanar com a reta l :
{
x = z − 3
y = −3z + 1
Intersec¸a˜o de duas retas: Duas retas r1 e r2 coplanares e na˜o paralelas sa˜o
concorrentes, logo existe um ponto em comum entre elas.
Exemplo 60 Encontrar o ponto de intersecc¸a˜o das retas
r :
{
y = −3x+ 2
z = 3x− 1 s :


x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
86
Soluc¸a˜o:
Primeramente, vamos reescrever a equac¸a˜o da reta s na forma reduzida:{
y = 1− 2x
z = 2x
Agrupando todas as equac¸o˜es, temos um sistema a resolver:

y = −3x+ 2
z = 3x− 1
y = 1− 2x
z = 2x
Igualando a 2 equac¸a˜o com a 4 equac¸a˜o, temos:
3x− 1 = 2x⇒ x = 1
Logo
y = −1 e z = 2
Por fim, o ponto de intersecc¸a˜o e´ (1,-1,2).
87
3.3.3 Agora tente resolver!
1. Encontrar a equac¸a˜o da reta t, em todas as suas formas, que passa na intersec¸a˜o
das retas r :
{
x = y − 1
z = −y + 3 e s :
x+ 1
2
= y − 1 = z − 2−1 e e´ paralela a reta
m :
{
x = y − 1
z = −y + 5
2. Dois foguetes FA e FB sa˜o lanc¸ados de suas plataformas situadas nos pontos
A(4,2, − 6) e B(−2,4,2) respectivamente. sabe-se que suas trajeto´rias sa˜o
retil´ıneas e seus vetores velocidades sa˜o ~vA = (−1,3,1) e ~vB = (2,2, − 3),
pergunta-se:
a. Sera´ que suas trajeto´rias interceptam-se?
b. Caso afirmativo, em que ponto ocorre?
c. Sendo os vetores dados em km/h, quantas horas apo´s o lanc¸amento ocorrera´
a colisa˜o?
3. Encontrar o ponto de intersecc¸a˜o das retas
r :


x = 2 + 2h
y = 3h
z = 5 + 4h
s :
x− 5
1
=
y − 2
−1 =
z − 7
−2 .
Reta ortogonal a duas retas: Dadas duas retas r :
{
y = 2x− 3
z = −3x+ 1 e s :
x− 1
5
=
y + 3
−1 = z + 2.
A determinac¸a˜o de uma reta t que passa pelo ponto M(3, − 6,7) e e´ ortogonal
simultaneamente a`s retas r e s, devera´ levar em conta a posic¸a˜o relativa das retas
dadas.
Assim,
a) Se r e s na˜o sa˜o paralelas.
~vt = ~vr × ~ss (3.7)
88
Verificando a posic¸a˜o das retas r e s
Pr(0,− 3,1) Ps(1,− 3,− 2)
~vr = (1,2,− 3) ~vs = (5,− 1,1)
Sa˜o paralelas?
1
5
6= 2−1 6=
−3
1
Na˜o sa˜o paralelas.
~vt = ~vr × ~vs =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 2 −3
5 −1 1
∣∣∣∣∣∣ = −~i− 16~j − 11~k
~vt = (−1,− 16,− 11) = (1,16,11)
t :


x = 3 + t
y = −6 + 16t
z = 7 + 11t
Exerc´ıcio 1 Determine a equac¸a˜o da reta na forma sime´trica que passa pelo
ponto A(−2,1,3) e e´ ortogonal a`s retas na˜o paralelas
t :


x = 2− t
y = 1 + 2t
z = −3t
s :
x− 1
−3 =
y + 1
2
=
z
−2
b) Se r e s sa˜o paralelas:
Toda reta que passa no ponto M esta´ no plano pi e e´ ortogonal as retas r e s.
Existem infinitas soluc¸o˜es.
Exemplo 61 O ponto M(10,8,−9) pertence a reta t e o vetor ~vt = (a,b,c) ⊥ r
ou ⊥ s, onde r : x = y = z − 3
2
e s ::


x = 2− t
y = 3− t
z = −2t
89
r : Pr(0,0,3) e ~vr = (1,1,2).
s : Ps = (2,3,0) e ~vs = (−1,− 1,− 2).
−→
PrPs= (2,3,− 3)
Sa˜o paralelas?
1
−1 =
1
−1 =
−2
2
∴ −1 = −1 = −1 logo, α = −1. Tem a mesma direc¸a˜o.
t : M(10,8,− 9) e ~vt = (a,b,c)
~vt ⊥ ~vr ⇒ ~vt · ~vr = 0⇒ (a,b,c) · (1,1,2) = 0
a+ b+ 2c = 0 e a = −b− 2c
1 Soluc¸a˜o: se b = 1 e c = 2 ⇒ a = −5 e ~vt = (−5,1,2)
t :


x = 10− 5t
y = 8 + t
z = −9 + 2t
2 Soluc¸a˜o: se b = 0 e c = −1 ⇒ a = 2 e ~vt = (2,0,− 1)
90
t :


x = 10 + 2t
y = 8
z = −9− t
Observac¸a˜o: Obtemos uma soluc¸a˜o particular dando-se outra condic¸a˜o, por
exemplo, dizemos que a reta t e´ ortogonal ao plano de r e s.
Se t e´ ortogonal ao plano de r e s
~vt = ~vr×
−→
PrPs
~vt = ~vr × ~vs =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
1 1 2
2 3 −3
∣∣∣∣∣∣ = −9~i+ 7~j + ~k
t :


x = 10− 9t
y = 8 + 7t
z = −9 + t
Exerc´ıcio 2 Determinar a reta t ortogonal a` r :
{
y = 2x− 3
z = 3x− 5 e s : x =
y
2
=
z
3
que passa no ponto T (2,− 1,6) e e´ ortogonal ao plano de r e s.
Ponto que divide um segmento de reta numa raza˜o dada: Dados os pontos P1(x1,y1,z1)
e P2(x2,y2,z2), diz-se que um ponto P (x,y,z) divide o segmento de reta P1P2 na raza˜o
r se:
−→
P1P= r
−→
P2P .
• • •
P1 P2P
P1P rPP2=
Exemplo 62 Dados os pontos P1 (7,-1,3) e P2 (3,0,-12) determinar o ponto P , que
divide o segmento P1P2 na raza˜o
2
3
.
Soluc¸a˜o:
91
(x− 7,y + 1,z − 3) = 2
3
(x− 3,y,z + 12) =


x− 7 = 2
3
(x− 3)
y + 1 =
2
3
y
z − 3 = 2
3
(z + 12)
→


x = 15
y = 3
z = 33
Distaˆncia de um ponto a uma reta: Dados um ponto P1(x1,y1,z1) e uma reta r.
Seja P0(x0,y0,z0) um ponto qualquer. O vetor ~v da reta e o vetor
−→
P1P0 determinam
um paralelogramo cuja altura corresponde a` distaˆncia d de P0 a r que pretendemos
calcular:
Sabemos que a a´rea do paralelogramo e´ definida pela multiplicac¸a˜o da base do
paralelogramo pela sua altura.
A = d · |~v|
Ou pela interpretac¸a˜o geome´trica do produto vetorial entre:
A = |~v×
−→
P1P0 |
Comparando os dois, temos:
d = d(P0,r) =
|~v×
−→
P1P0 |
|~v| (3.8)
• 
 
 
 
 
 
 
 
 �
•|
|
|
|
|
|
P1
P0
d
Exemplo 63 Calcular a distaˆncia do ponto P (2,3,-1) a` reta r :


x = 3 + t
y = −2t
z = 1− 2t
92
Soluc¸a˜o:
Primeiro, vamos calcular o vetor
−→
P1P= P−P1 = (2,3,−1)−(3,0,1) = (−1,3,−2).
d = d(P,r) =
|(1,− 2,− 2)× (−1,3,− 2)|
|(1,− 2,− 2)| =
|(10,4,1)|
|(1,− 2,− 2)| =
√
117
3
u.c.
Distaˆncia entre retas: So´ e´ definida se as retas forem paralelas ou reversas:
Paralelas: A distaˆncia entre duas retas paralelas se reduz ao ca´lculo da distaˆncia
de ponto a uma reta.
•
r
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 �
•|
|
|
|
|
|
P1
P0
d
Retas reversas: Consideremos duas retas: a reta r que passa pelo ponto P1(x1,y1,z1)
e tem direc¸a˜o do vetor ~u1, e a reta s que passa pelo ponto P0(x2,y2,z2) e tem direc¸a˜o
do vetor ~u2. Os vetores ~u1, ~u2 e
−→
P1P2 determinam um paralelep´ıpedo, cuja base e´
definida por ~u1 e ~u2 e a altura a` distaˆncia d entre as retas r e s:
O volume deste paralelep´ıpedo e´ dado pelo produto da sua a´rea da base multiplicado
pela sua altura:
V = | ~u1 × ~u2|d
ou de acordo com a interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto misto:
V = |( ~u1, ~u2,
−→
P1P0)|
Comparando os dois, temos:
d = d(r,s) =
|( ~u1, ~u2,
−→
P1P0)|
| ~u1 × ~u2| (3.9)
93
Exemplo 64 Calcular a distaˆncia entre as retas r e s onde: r :


x = 1− t
y = 2 + 3t
z = −t
e s:
e´ o eixo Ox.
Soluc¸a˜o:
Um ponto do eixo OX e´ P (1,0,0) e o vetor e´ ~vx =~i=(1,0,0).
Um ponto da reta r e´ Pr(1,2,0) e o vetor e´ ~vr=(-1,3,-1).
Calculando o vetor
−→
PPr=(0,2,0) e aplicando na equac¸a˜o, temos:
d = d(r,s) =
|(~i,~vr,
−→
PPr)|
|~i× ~vr|
=
2√
10
√
10√
10
=
√
10
5
u.c.
3.4 Lista 1
1. Escrever as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa por A(6,3,9) e e´ paralela
a` reta r : (x,y,z) = (4,5,2) + t(2,− 6,− 1).
2. Dada a reta r :


x = 2− t
y = 4− 2t
z = −3 + t
Determinar o ponto de r tal que a ordenada seja 6.
3. Obter as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel x, da reta
(a) Que passa por A(8,2,-2) e tem direc¸a˜o de ~v=(4,8,7).
(b) Pelos pontos A(3,2,1) e B(6,-1,0).
4. Escrever as equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa por A(-1,6,3) e
B(2,2,1).
5. Escrever equac¸o˜es parame´tricas das retas que passam pelo ponto A(4,-5,3) e
sa˜o, respectivamente, paralelas aos eixos Ox, Oy, Oz.
6. Determinar o aˆngulo entre as seguintes retas:
(a) r1 :


x = −2− t
y = t
z = 3− 2t
r2 :
{
x
2
=
y + 6
1
=
z − 1
1
94
(b) r2 :
{
y = −x+ 5
z = 3x− 2 r2 :
{
x− 2 = y = z + 3
2
7. Calcular o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:
r2 :
{
y = 4x− 3
z = −2x+ 1 r2 :
{
x− 4 = y
m
= z + 2
8. Verificar se as retas sa˜o concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto
de intersecc¸a˜o:
(a) r1 :
{
y = 2x− 3
z = −x+ 5 r2 :
{
y = −3x+ 7
z = x+ 1
(b) r2 :


x = 2− t
y = 3− 5t
z = 6− 6t
r2 :


x = −3 + 6h
y = 1 + 7h
z = −1 + 13h
9. Determinar as equac¸o˜es das seguintes retas de modo que:
(a) Reta que passa por A(1,-2,4) e e´ paralela ao eixo dos x.
(b) Reta que passa por B(3,2,1) e e´ perpendicular ao plano xOz.
(c) Reta que passa por A(4,-1,2) e tem direc¸a˜o do vetor ~i−~j.
(d) Reta que passa pelos pontos M(2,-3,4) e N(2,-1,3).
10. Determinar as equac¸o˜es das retas que passam por M(1,-3,5) e:
(a) E´ paralela a` reta s : (x,y,z) = (3,− 4,7) + t(1,4,− 6)
(b) E´ paralela ao eixo Oy
(c) Pelo ponto N(2,-5,5).
11. As equac¸o˜es X = (0,0,0) + tα(1,2,4) e X = (1,0,− 2) + t(−1,− 1,− 1), t ∈ R,
descrevem os movimentos de duas part´ıculas. Determine o valor de α para que
haja colisa˜o. Em que instante ela ocorre?
12. Encontrar o ponto de intersec¸a˜o das seguintes retas:
r1 :
{
y = −3x+ 3
z = 3x− 2 r2 :


x = −t
y = 1 + 2t
z = −2t
95
13. Encontrar o ponto de intersec¸a˜o das seguintes retas:
r1 :


x = 4 + t
y = 1− t
z = 1 + t
r2 :


x = 9− 4h
y = 2 + h
z = 2− 2h
14. Calcular a distaˆncia do ponto P (4,2,1) a` reta:
r :


x = 1− 2t
y = 3 + t
z = 6− 2t
15. Calcular a distaˆncia entre as duas retas:
r1 :


x = 2− t
y = 3 + 2t
z = 2− 2t
r2 :
{
y = x− 2
z = −x+ 3
16. Dado o triaˆngulo de ve´rtices A(3,-4,4), B(4,-7,2),C(1,-3,2) determinar:
(a) Equac¸a˜o sime´trica da reta suporte do lado AB.
(b) O ponto em que a reta fura o plano xOy.
17. Verifique se os seguintes pontos sa˜o colineares A(-1,4,-3), B(2,1,3), C(4,-1,7).
18. Encontre o valor de m para que sejam coplanares as seguintes retas:
(a) r :
{
y = 2x+ 3
z = 3x− 1 s :
{
x− 1
2
=
y
−1 =
z
m
(b) r :
{
y = mx− 3
z = x− 1 s :
{
y = 4x−m
z = x
19. Dadas as retas l :
{
x = 2z − 4
y = −3z + 6 e t :
{
x− 4
2
= y + 2 =
z − 2
−1 , determinar
a equac¸a˜o da retam ortogonal as retas dadas e que passa no ponto de intersec¸a˜o
das mesmas.
20. Determinar a equac¸a˜o da reta t que passa pelo ponto M(3,3,-2) e´ concorrente
com o eixo Oy e ortogonal a` reta m :
{
y = −x
z = x+ 3
.
96
21. SendoA(1,0,1), B(2,-1,1), C(-1,0,2),D(3,2,2) ve´rtices de um tetraedro, pede-se:
(a) Equac¸o˜es parame´tricas da reta r, suporte da altura hD do tetraedro
ABCD relativa ao ve´rtice C.
(b) Equac¸o˜es parame´tricas da mediana relativa ao ve´rtice C do triaˆngulo
ABC.
22. Sendo A(1,− 2,2), B(3,0,1), C(3,− 2,0) ve´rtices de um triaˆngulo, determinar a
equac¸a˜o da reta suporte da altura baixada do ve´rtice C.
23. Dados os ve´rtices de um triaˆngulo A(−1,1,3), B(2,1,4), C(3,− 1,− 1), obter as
equac¸o˜es sime´tricas das retas suportes dos lados AB, AC, BC.
24. Estudar a posic¸a˜o relativa das retas e calcular a distaˆncia entre as retas r :{
x− 3
3
=
y − 5
3
=
z − 1
−8 e s :


x = −2 + 3t
y = −t
z = −2
25. Encontre a equac¸a˜o da reta t que passa no ponto A(1,−3,2) e´ concorrente com
o eixo Oz que passa na origem e e´ ortogonal a reta m :
{
y = x+ 2
z = 2x− 1
26. Encontrar as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelo ponto A(4,− 4,2)
e´ ortogonal ao vetor −→v = (3,2,2) e intercepta a reta s :
{
y = −x+ 3
z = 4x− 4
27. Encontrar a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto P (2, − 3,4), e´ concorrente
com o eixo Ox e ortogonal a` reta s :
{ x− 5
−1 = y + 2
z = 4
28. Determinar a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto P (3,3,−2) e´ concorrente
com o eixo Oy e ortogonal a` reta s :
{
y = −x
z = x+ 3
29. Escreva as equac¸o˜es das retas, em todas as formas e a posic¸a˜o relativa em
relac¸a˜o aos eixos ou planos coordenados, que passa pelo ponto me´dio do segmento
AB e que tem −→v como vetor diretor:
(a) A(−1,− 2,− 3), B(1,3,5) e −→v = (2,0,3)
(b) A(−2,− 2,4), B(2,2,− 4) e −→v = (1,0,0)
97