Para encontrar a reta que é ortogonal às retas \( r \) e \( S \) e que passa pelo ponto \( A(3,2,1) \), siga os passos abaixo: 1. Identifique os vetores diretores das retas: - Para a reta \( r \): o vetor diretor é \( \mathbf{d_r} = (0, 1, 0) \). - Para a reta \( S \): o vetor diretor é \( \mathbf{d_s} = (1, -2, -1) \). 2. Calcule o vetor normal: - A reta que queremos deve ser ortogonal a ambos os vetores diretores. Para isso, podemos usar o produto vetorial: \[ \mathbf{n} = \mathbf{d_r} \times \mathbf{d_s} = (0, 1, 0) \times (1, -2, -1) \] Calculando o produto vetorial: \[ \mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-2), 0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1), 0 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) = (-1, 0, -1) \] 3. Equação da reta ortogonal: - A reta que passa pelo ponto \( A(3, 2, 1) \) e tem o vetor diretor \( \mathbf{n} = (-1, 0, -1) \) pode ser escrita na forma paramétrica: \[ X = (3, 2, 1) + t(-1, 0, -1) \] Ou seja: \[ X = (3 - t, 2, 1 - t) \] 4. Forma paramétrica final: A equação da reta ortogonal à reta \( r \) e à reta \( S \) que passa pelo ponto \( A(3, 2, 1) \) é: \[ X(t) = (3 - t, 2, 1 - t) \] Essa é a equação da reta que você procura!