1a Lista CDM 2013_2

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Complementos de Matema´tica 2013.2
1aLista de Exerc´ıcios Prof. Cleide Martins
1. Reduza a` forma x+ iy cada um dos nu´meros complexos z
a) z = (
√
2− i)− i(1− i√2) b) z = 1 + 2i
3− 4i +
2− i
5i
c) z =
5
(1− i)(2− i)(3− i) d) z = (1 + i)
3
2. Escreva cada nu´mero complexo z na forma polar e represente geometricamente
a) z = −1 + 3i b) z = −3 + 3i
1 + i
√
3
c) z =
(
i
1 + i
)5
d) z = (−1 + i)7
3. Ache as seguintes ra´ızes e represente-as geometricamente
a) 6
√
8 b) 3
√−i c) 4
√
−1 + i√3 d) √−2i
4. Decomponha cada polinoˆmio como produto de polinoˆmios de grau 1.
a) P (z) = 5z3 + 8 b) P (z) = z2 − (1 + i)z + 5i c) P (z) = z4 − (1− i)z2 − i
5. Represente geometricamente os conjuntos de nu´meros complexos z dados pelas seguintes
condic¸o˜es
a) Re(z2) > 0 b) |z − 2| = |z − 3i| c) |z − 2| = 2|z + 2i|
6. Determine as partes real e imagina´ria de cada func¸a˜o f(z)
a) f(z) =
z + 2
z − 2 b) f(z) = e
z(z − i) c) f(z) = z − 3iz
z − i
7. Calcule o limite
lim
z→0
(1 + z)1/3 − (1− z)1/3
z
8. Determine, usando as equac¸o˜es de Cauchy-Riemann, em que conjunto cada func¸a˜o f(z) e´
anal´ıtica e determine, quando existir, f ′(z).
a) f(z) =
1
z
b) f(z) =
√
z c) f(z) = ez
9. Determine as ra´ızes das equac¸o˜es
a) cos z = 3 b) ez = −1 c) ez + 6e−z = 5
10. Identifique e esboce as curvas dadas por
a) z =
1
t
+ it, 1 ≤ t <∞ b) z = t+ i√1− t2, −1 ≤ t ≤ 1 c) z = t+ 2i
t
, −∞ < t < 0
11. Calcule a integral de f(z) ao longo da curva γ
a) f(z) = z2, γ = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ pi}
b) f(z) = z2, γ = {z = reiθ : −pi ≤ θ ≤ pi}
c) f(z) = |z|, γ = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ pi}
d) f(z) = |z|, γ = segmento de reta de 0 a −2 + 3i
e) f(z) = x2 − y2 + i(x− y2), γ = segmento de reta de 0 a 3 + 2i
c) f(z) = 1/z, γ = {z = reiθ : 0 ≤ θ ≤ 2pi}