Calculo2_P1_2sem_2012

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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Faculdade de Cieˆncias Aplicadas
Disciplina: LE203 - Ca´lculo II Per´ıodo: 2o semestre de 2012
Professora: Bianca Morelli R. Calsavara Turma B Data: 03/09/2012
Aluno(a): RA:
ATENC¸A˜O: Respostas sem justificativa sera˜o desconsideradas
Na˜o desgrampeie as folhas de respostas da prova.
Todas as folhas entregues, devem ser devolvidas.
Primeira Prova
Questa˜o 1: (2,5 pontos) Considere a seguinte func¸a˜o vetorial −→r (t) = (sen 3t, t, cos 3t).
(a) Encontre os vetores tangente
−→
T , normal
−→
N e binormal
−→
B no ponto (0, 0, 1).
(b) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas ou a equac¸a˜o geral do plano tangente a` curva no ponto (0, 0, 1).
(c) Calcule a integral indefinida de −→r (t).
(d) Calcule o comprimento de arco da func¸a˜o −→r (t) do ponto (0, 0, 1) ao ponto (−1, pi/2, 0).
Questa˜o 2: (2,5 pontos) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, encontre o limite, ser existir, ou mostre
que o limite na˜o existe.
a) lim(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 − 2xy + y2 b) lim(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2
Questa˜o 3: (2,5 pontos) Considere a func¸a˜o f(x, y) = ex
2+y2−4y.
(a) Encontre a direc¸a˜o de maior taxa de variac¸a˜o desta func¸a˜o f na origem e sua taxa ma´xima de
variac¸a˜o neste ponto.
(b) Encontre todos os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais da func¸a˜o f .
Questa˜o 4: (2,5 pontos) Utilize o Me´todo dos Multiplicadores de Lagrange para resolver o problema
abaixo, identificando a para a qual deve ser encontrado o ma´ximo ou mı´nimo e tambe´m a restric¸a˜o.
Encontre o ponto do plano x− y + z = 4 que esta´ mais pro´ximo ao ponto (1, 2, 3).
Questa˜o 5: (Questa˜o extra - 1,5 pontos) Considere a func¸a˜o f(x, y) = x2 + 2xy − 1. Encontre
a aproximac¸a˜o linear de f no ponto (1, 1) e utilize o polinoˆmio de Taylor de segunda ordem para
encontrar sua aproximac¸a˜o quadra´tica no mesmo ponto.
BOA PROVA!!!!