CALCULO 3

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Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte
 
 
Superfícies: Máximos e Mínimos 
 
 
Uma função f de duas variáveis possui um mínimo relativo (ou local) no ponto (x0,y0) se 
∀ (x,y) ∈ Viz(x0,y0), f(x,y) ≥ f(x0,y0) 
 
Uma função f de duas variáveis possui um máximo relativo (ou local) no ponto (x0,y0) se 
∀ (x,y) ∈ Viz(x0,y0), f(x,y) ≤ f(x0,y0) 
 
 
 
Uma função f de duas variáveis possui um mínimo absoluto (ou global) no ponto (x0,y0) se 
∀ (x,y) ∈ Dom(f), f(x,y) ≥ f(x0,y0) 
 
Uma função f de duas variáveis possui um máximo absoluto (ou global) no ponto (x0,y0) se 
∀ (x,y) ∈ Dom(f), f(x,y) ≤ f(x0,y0) 
 
 
 
Superfícies: Teorema do Valor Extremo 
 
 
Se f é uma função contínua em uma região fechada e limitada R, então f possui máximo e mínimo absolutos 
em R. 
 
 
Observação: 
 
Note que se a região não for limitada ou não for fechada ou a função não for contínua, nada se pode afirmar 
sobre a existência de máximos e mínimos absolutos. 
 
Superfícies: Determinação de Máximos e Mínimos Relativos 
 
Pontos Críticos 
 
 
Os pontos críticos de uma função de duas variáveis são os pontos (x0,y0) do domínio de f em que: 
 
� 0)y,x(
x
f
00 =∂
∂
 e 0)y,x(
y
f
00 =∂
∂
 
� alguma das derivadas parciais não existe. 
 
 
Observação 
 
� Pontos críticos suaves e isolados são também denominados estacionários. 
� Pontos críticos dispostos continuamente ou não suaves não são considerados estacionários. 
 
 
 
 
 UTFPR- CAMPUS TOLEDO - PARANÁ 
CÁ LCULO II - PROCESSOS Q UÍMICOS 
 
PROF SERGIO – Turmas : II PERÍODO 20 10 
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Um exemplo de ponto crítico estacionário Um exemplo de pontos críticos não isolados 
 
 
 
Classificação de Pontos Críticos Quaisquer 
 
As configurações típicas podem ser: 
 
Mínimos e Pontos de Mínimo Máximos e Pontos de Máximo 
 
 
Mínimos / Máximos Não Isolados Pontos de Inflexão (Pontos de Sela) 
2xz = 
 
22 yxz −= 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Determine os pontos críticos de 22 yx)y,x(f += : 
 
 
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Exemplo 2 
 
Determine os pontos críticos de 2x10)y,x(f −= : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Localização e Classificação de Pontos Críticos Estacionários 
 
Para a determinação dos pontos críticos estacionários (aqueles suaves e isolados) de uma função de duas 
variáveis pode-se usar um procedimento semelhante ao conhecido para funções de uma variável: 
 
 
Etapa 1: Determinar xf e yf 
Etapa 2: Determinar os pontos críticos estacionários de f, resolvendo 



=
=
0)y,x(f
0)y,x(f
y
x
 
Etapa 3: Determinar xxf , yyf , xyf e yxf e verificar se yxxy ff = . Caso yxxy ff ≠ , o procedimento não se aplica. 
 
Etapa 4: Para cada ponto crítico (x0,y0) encontrado, calcular o Hessiano (determinante da matriz de Hesse): 
 






=
)y,x(f)y,x(f
)y,x(f)y,x(f
det)y,x(Hessf
00yy00yx
00xy00xx
00 
ou 
( )200xy00yy00xx00 )y,x(f)y,x(f).y,x(f)y,x(Hessf −= 
 
 
Regra de decisão: 
 
� Se 0)y,x(Hessf 00 > , então (x0,y0) é ponto de máximo ou de mínimo de f 
 
� Se 0)y,x(f 00xx > , então (x0,y0) é ponto de mínimo; 
� Se 0)y,x(f 00xx < , então (x0,y0) é ponto de máximo; 
 
� Se 0)y,x(Hessf 00 < , então (x0,y0) é ponto de sela de f 
 
� Se 0)y,x(Hessf 00 = , então nada se pode afirmar sobre o comportamento de f em (x0,y0) 
 
 
Exemplos 
 
1. Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de yyxyxyxf 823),( 22 −+−= . 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de 
444),( yxxyyxf −−= . 
 
 
 
 
 
 
3. Determinar e classificar os pontos críticos estacionários de yxyxyxf 33),( 33 −−+= . 
 
 
 
 
 
 
 
Problemas de Otimização 
 
Os procedimentos vistos na seção anterior podem ser utilizados em problemas aplicados para a 
determinação de pontos ótimos. 
 
 
Exemplos 
 
1. Deseja-se construir uma caixa de volume 32 cm
3
, sem tampa e que consuma a menor quantidade de 
material possível. Determine as dimensões dessa caixa. 
 
 
 
 
 
 
2. Encontre três números reais positivos tais que a soma do terceiro com o dobro do primeiro e o triplo do 
segundo seja 10 e seu produto seja o maior possível. 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos resolver as seguintes situações: 
03) Classifique os pontos críticos da função f(x,y)=x2 + y2 
 
04) Idem para  f(x,y) = x3 – y3 + 6xy 
 
05) A única mercearia em uma pequeña comunidade rural vende duas marcas de 
suco de laranja congelado, uma marca local, que ela obtém ao custo unitário de 30 
centavos, e uma marca famosa, que ela obtém ao custo unitário de 40 centavos. O 
comerciante estima que, se a marca local for vendida a x centavos a lata, e a nacional 
a y centavos, aproximadamente (70‐5x+4y) latas da marca local e (80+6x‐7y) da 
nacional serão vendidas  a cada dia. Que preço o comerciante deve utilizar para cada 
marca para maximizar o lucro das vendas de suco de laranja? 
 
Exercícios Complementares 
 
01)Encontrar os máximos e mínimos relativos das funções que seguem: 
 
a) f(x,y) = xy – x2 – y2 – 2x – 2y +4 
b) 8x 2 2f (x, y) = + 2xy - 3x + y + 1
3
 
c) f(x,y) = x2 – 2x4 – y2  
d) 
2 2-x -yf (x, y) = e 
e) f(x,y) = 3x4 + 8x3 – 18x2 + 6y2 + 12y – 4  
f) f(x,y) = 15xy2 – 4x3 + 15y3 + 48x – 6  
 
 
02) Achar os três números positives cuja soma é 24 e o produto é o maior possível. 
 
03) Dividir um arame de comprimento 9cm em 3 pedaços de modo que o produto dos comprimentos seja 
máximo. 
 
04) Calcular as dimensões de uma caixa retangular com parte superior aberta com V = 4 m3 e menor área de 
superfície possível. 
 
05) Determinar o máximo e o mínimo ( caso existam ) da função dada por f(x,y) = x.y, sob a restrição x + y = 6. 
 
 
Respostas: 
1) 
a)(‐2,2) é ponto de máximo 
b) (2,‐1) é ponto de sela; (2,1) é ponto de mínimo. 
c) (0,0) e (‐1/2,0) são pontos de sela e (1/2, 0) é ponto de máximo. 
d) (0,0) é ponto de máximo. 
e) (0,‐1) é ponto de sela, (1,‐1) e (‐3,‐1) são pontos de mínimo. 
f) (2,0) é ponto de sela, (‐2,0) e (‐3,2) são pontos de mínimo e (3,‐2) é o ponto de máximo. 
 
2) 8, 8 e 8  
3) 3cm, 3cm e 3cm  
4) 2cm, 2cm e 1cm 
5) Máx da função f = 9   e não existe o mínimo  da função.   
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