Introdução a Res. dos Materiais

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RESISTENCIA DOS MATERIAS - CAP. 3 – MOMENTO DE INÉRCIA 
Def.: - O momento de inércia de uma figura plana em relação a um eixo, é o somatório (integral) dos produtos das áreas dos elementos infinitesimais pelo quadrado da distância do centro destes elementos infinitesimais ao eixo considerado. 
								Fórmulas Gerais
											(Eq. 3.01)
											(Eq. 3.02)
Fig. 3.01 – Figura genérica
Onde:
x = Distância do centro de cada elemento infinitesimal (elemento de índice i) ao eixo y,
y = Distância do centro de cada elemento infinitesimal (elemento de índice i) ao eixo x,
dA = Elemento de área infinitesimal,
Ix = Momento de Inércia em relação ao eixo x,
Iy = Momento de Inércia em relação ao eixo y,
i = índice do elemento – Varia de 1 a n,
n = número de elementos infinitesimais.
3.1 - MOMENTO DE INÉRCIA DAS PRINCIPAIS FIGURAS PLANAS
3.1.1 - Momento de Inércia do retângulo em relação ao eixo “x” que passa em sua base (Ix)
 Fig. 3.02 – Momento de Inércia - Ix
Da Eq. 3.01 (formula geral) tem-se que:
 
Considerando-se um retângulo (Fig. 3.2) de altura (y (infinitesimal) e base b tem-se:
 (Eq. 3.03)
Substituindo a Eq. 3.03 na Eq. 3.01 obtém-se:
 
 (Eq. 3.04) 
3.1.2 Momento de Inércia do retângulo em relação ao eixo “y” que passa em sua face esquerda (Iy)
 
 Fig. 3.03 – Momento de Inércia - Iy
Da Eq. 3.02 (formula geral) tem-se que:
 
Considerando-se um retângulo (Fig. 3.3) de altura h e base (x (infinitesimal) tem-se:
 (Eq. 3.05)
Substituindo a Eq. 3.05 na Eq. 3.02 obtém-se
 
 (Eq. 3.06) 
3.1.3 Momento de Inércia do triângulo em relação ao eixo “x” que passa na sua base (Ix)
 Fig. 3.04 – Momento de Inércia - Ix
Da Eq. 3.01 (formula geral) tem-se:
 
Considerando-se um retângulo (Fig. 3.4) de altura (y (infinitesimal) e base média x tem-se:
 (Eq. 3.07)
	Observa-se que a 2a parcela da Eq. 3.07 apresenta duas variáveis (x e y), que se substituída na Eq. 3.01 acarretará em uma integral com duas variáveis. Para que a integral tenha apenas uma variável, facilitando desse modo a sua resolução, é necessário encontrar a relação existente entre essas variáveis. Essa relação pode ser encontrada através da semelhança de triângulos.
Na Fig. 3.04 observa-se que (semelhança de triângulo):
 
logo:
 (Eq. 3.08)
Substituindo a Eq. 3.08 na Eq. 3.07 obtém-se
 (Eq. 3.09)
Substituindo a equação obtida anteriormente (Eq. 3.09) na Eq. 3.01 obtém-se:
 
 
 
 		 (Eq. 3.10) 
3.1.4 Momento de Inércia do triângulo em relação ao eixo “y”` que passa em sua face esquerda (Iy)
 
 Fig. 3.05 – Momento de Inércia - Iy
Da Eq. 3.02 (formula geral) tem-se que:
 
Considerando-se um retângulo (Fig. 3.05) de altura média y e base (x (infinitesimal) tem-se:
 (Eq. 3.11)
Seguindo-se o mesmo raciocínio do item anterior (semelhança de triângulos), encontra-se a relação entre x e y. Substituindo na Eq. 3.11 o valor de y por x, de modo que a segunda parcela desta equação fique com apenas uma variável, e em seguida implantando-a na Eq. 3.02, chega-se ao seguinte resultado:
 (Eq. 3.12) 
4.1.5 Momento de Inércia do quadrante de circulo em relação ao eixo “x” que passa em sua base (Ix)
 Fig. 3.06 – Momento de Inércia - Ix
Da Eq. 3.01 (formula geral) tem-se: 
Considerando-se um retângulo (Fig. 3.6) de altura (y (infinitesimal) e base média x tem-se:
 (Eq. 3.13)
Assim como no triângulo, observa-se que a 2a parcela da Eq. 3.13 apresenta duas variáveis (x e y), que se substituída na Eq. 3.01 apresentará uma integral com duas variáveis. Para que isto não ocorra deve-se descobrir a relação existente entre estas duas variáveis, de modo que a 2a parcela da Eq. 3.13 apresente apenas uma variável. Esta relação pode ser descoberta através da equação da circunferência:
 					 ,
logo:
 (Eq. 3.14)
Substituindo a Eq. 3.14 na Eq. 3.13 obtém-se:
 (Eq. 3.15),
que se substituída na Eq. 3.01 obtém-se:
 (Eq. 3.16) 
A Eq. 3.16 representa uma integral de resolução trabalhosa (integrais denominadas de INTEGRAIS ESPECIAS). Como a resolução destas integrais está fora do contexto deste curso, o resultado foi transcrito diretamente do livro:´´Manual de Fórmulas, Métodos e Tabelas de Matemática do Autor Murray R. Spiegel da Editora Schaum McGraw-Hill``
 										 Equação transcrita
Verifica-se que a Eq. 3.16 é semelhante a equação transcrita. Portanto o resultado da integração é:
 (Eq. 3.17) 
3.1.6 Momento de Inércia do quadrante de circulo em relação ao eixo “y” que passa em sua face esquerda (Iy)
 Fig. 3.07 – Momento de Inércia - Iy
Da Eq. 3.02 (formula geral) tem-se:
Considerando-se um retângulo (Fig. 3.07) de altura média y e base (x (infinitesimal) tem-se:
 (Eq. 3.18)
Utilizando a Equação da circunferência e a fórmula transcrita do livro: Manual de Fórmulas, Métodos e Tabelas de Matemática, e segundo o raciocínio do item anterior, chega-se ao seguinte resultado:
 (Eq. 3.19) 
3.2 – TRANSLAÇÃO DE EIXOS
	Seja um elemento plano de forma genérica (Fig.4.10), que tenha o Momento de Inércia em relação ao seu CG conhecido; para encontrar o Momento de Inércia deste elemento em relação a um eixo qualquer transladado de uma distancia d qualquer em relação ao CG, procede-se da seguinte maneira:
Onde,
y` = distância do centro do elemento infinite-
 simal ao eixo que passa no CG da figura 
d = distância entre um eixo imaginário que
 passa no CG da figura e o eixo dado 
y = distância do centro do elemento infinite-
 simal ao eixo dado
dA = área de um dos elementos infinitesimais 
 em que foi dividida a figura
 Fig. 3.08 – Translação de eixos 
Da Eq. 3.01(equação geral) tem-se:
Observa-se na Fig. 3.08 que:
		 (Eq. 3.20)
Substituindo a Eq. 3.20 na Eq. 3.01 obtém-se:
							
 (Eq. 3.21)
 1 2 3
Desmembrando-se o segundo membro da equação 3.21 em 3 termos tem-se:
Termo 1 
Observa-se que o termo 1 é na realidade o momento de inércia em relação ao CG da figura, visto que a distancia y` refere-se ao eixo que passa pelo CG.
Termo 2 
Observa-se que a integral do
termo 2 é na realidade o momento estático em relação ao CG da figura, e como foi visto anteriormente o momento estático referente a qualquer reta que passe pelo CG é sempre igual a Zero, portanto, o segundo termo é NULO. 
Termo 3 
O momento de inércia em relação ao eixo x, encontrado a partir da consideração da translação deste eixo, do centro de gravidade da figura para a posição em que se encontra, é obtido pela equação:
 
(Eq. 3.22) 
Generalizando a Eq. 3.22 para qualquer eixo tem-se:
 
onde,
I = Momento de inércia do eixo em questão – Ix quando em relação ao eixo x e Iy quando em relação ao eixo y.
ICG = Momento de inércia do eixo fictício que passa no CG da figura plana em estudo – IxCG quando em relação ao eixo xCG 
 e IyCG quando em relação ao eixo yCG.
d = Distância entre o eixo fictício que passa no CG da figura e o eixo em questão.
A = área da figura 
Em relação a um eixo y qualquer a Eq. 3.22 fica:
Exemplos:
1) Sabendo-se o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo CG (centro de gravidade) das figuras abaixo, encontrar o momento de inércia em relação ao eixo dado.
a) Exemplo algébrico
							
		 						 Aplicação da Eq. 3.22:
Dados:
	 ,		 ,			
b) Exemplo algébrico
							
		 						 Aplicação da Eq. 3.22:
Dados:
	 ,		 ,			
c) Exemplo numérico
							
		 						 Dados:
 Resolução:
d) Exemplo numérico
 Dados:
 Resolução:
f) Exemplo numérico
 Dados:
 Resolução:
g) Exemplo numérico
 						 Dados:
 Resolução:
7
h) Exemplo numérico
 	 Dados:
 
 Resolução:
Observa-se na equação de translação de eixos (Eq. 3.22), que através dela pode-se encontrar o Momento de Inércia em relação ao Centro de Gravidade de uma figura plana, desde que seja conhecido o Momento de Inércia em relação a um eixo qualquer com distancia ao Centro de Gravidade definida. Ou seja:
			 (Eq. 3.23)
3.2.1 Momento de Inércia do retângulo em relação ao eixo “x” que passa pelo seu CG
 Aplicação da Eq. 3.23:
Dados:
3.2.2 Momento de Inércia do retângulo em relação ao eixo “y” que passa pelo seu CG
 						 Aplicação da Eq. 3.23:
Dados:
3.2.3 Momento de Inércia do triângulo em relação ao eixo “x” que passa pelo seu CG
 Aplicação da Eq. 3.23:
Dados:
�
3.2.4 Momento de Inércia do triângulo em relação ao eixo “y” que passa pelo seu CG
 Aplicação da Eq. 3.23:
Dados:
3.2.5 Momento de Inércia do quarto de circulo em relação ao eixo “x” que passa pelo seu CG
 Aplicação da Eq. 3.23:
Dados:
3.2.6 Momento de Inércia do quarto de circulo em relação ao eixo “y” que passa pelo seu CG
 Aplicação da Eq. 3.23:
Dados:
3.3 – MOMENTO DE INERCIA DE FIGURAS COMPOSTAS
Quando se tem uma figura composta de varias outras figuras, pode-se encontrar individualmente o momento de inércia de cada figura decomposta, em relação a um eixo considerado, e encontrar o momento total da figura, fazendo-se o somatório de todos os momentos de inércia referentes ao eixo em questão. Ou seja:
Exemplos:
a) Encontrar o Momento de Inércia em relação aos eixos dados
Resposta:
Observa-se que a figura pode ser dividida em 2 retângulos:
 
 Figura 1					 Figura 2
1º Passo – Encontra-se os Momentos de Inércia individuais de cada Figura:
Figura 1 – Momento de Inércia em relação ao eixo x (Ix1)
Dados
:
Resolução:
Figura 1 – Momento de Inércia em relação ao eixo y (Iy1)
Dados
:
Resolução:
Figura 2– Momento de Inércia em relação ao eixo x (Ix2)
Dados
:
Resolução:
Figura 2 – Momento de Inércia em relação ao eixo y (Iy2)
Dados
:
Resolução:
2º Passo – Soma-se os momentos de inércia das figuras individuais referentes a cada eixo:
Figura Composta – Momento de Inércia em relação ao eixo x (Ix)
Figura Composta – Momento de Inércia em relação ao eixo y (Iy)
b) Encontrar o Momento de Inércia em relação aos eixos dados
Resposta:
	
Observa-se que a figura pode ser dividida em 2 retângulos:
 Figura 1	 				 Figura 2
1º Passo – Encontra-se os Momentos de Inércia individuais de cada Figura:
Figura 1 – Momento de Inércia em relação ao eixo x (Ix1)
Dados
:
Resolução:
Figura 1 – Momento de Inércia em relação ao eixo y (IyCG1)
Dados
:
Resolução:
Figura 2– Momento de Inércia em relação ao eixo x (Ix2)
Dados
:
Resolução:
Figura 2 – Momento de Inércia em relação ao eixo y (IyCG2)
Dados
:
Resolução:
2º Passo – Soma-se os momentos de inércia das figuras individuais referentes a cada eixo:
Figura Composta – Momento de Inércia em relação ao eixo x (Ix)
Figura Composta – Momento de Inércia em relação ao eixo y (Iy)
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Prof. Mauro Cézar Nogueira Email: mauro.nog@gmail.com
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