4. Produtos de Vetores

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Produtos de Vetores
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Produtos entre Vetores
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Produto Escalar
Em 2-D: v = (v1, v2) e w = (w1, w2)
 v w = v1 w1 + v2 w2 
Em 3-D: v = (v1, v2 , v3) e w = (w1, w2, w3)
 v w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 
Obs: |v| = v v
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Propriedades do Produto Escalar
u ∙ v = v ∙ u
u ∙ (v + w) = u ∙ v + u ∙ w
(u + v) ∙ w = u ∙ w + v ∙ w
β (u ∙ v) = (βu) ∙ v = u ∙ (βv)
u ∙ u > 0 se u ≠ 0 e u ∙ u = 0, se u = 0
u ∙ u = |u|
|u - v|2 = |u|2 – 2 u ∙ v + |v|2 
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Ângulo entre Vetores
v
w
Θ
v
w
Θ
Θ = menor ângulo formado por 
v e w quando suas origens coincidem
Fórmula: cos Θ = v w
 |v| |w| 
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Interpretando o Sinal do Produto Escalar
v
w
Θ
v
w
Θ
Pois v w = |v| |w| cos Θ 
v
w
90o
cos Θ > 0 
cos Θ < 0
cos 90o = 0
v w < 0
v w > 0
v w = 0
e por isso
e por isso
e por isso
v e w são
ortogonais!
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Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor
Seja v = xi + yj + zk não nulo:
Ângulos diretores de v são os ângulos α, β e ξ que v forma com os vetores i, j e k, respectivamente
Cossenos diretores de v são os cossenos de seus ângulos diretores
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Projeção Ortogonal
O vetor projeção é “a sombra” do vetor v na direção do vetor w
 proj w v = v w w 
 ||w||2 
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Produto Vetorial
O produto vetorial de v = (v1,v2 ,v3) por 
 w = (w1, w2 ,w3) é: v X w = i j k
 v1 v2 v3
 w1 w2 w3 
O produto vetorial só é definido em 3-D
v X w é um vetor que é simultaneamente ortogonal a v e a w.
w
v
v X w
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Uma Propriedade do Produto Vetorial
v X u = - (u X v), 
ou seja, 
 v X u e u X v são vetores opostos
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Propriedades do Produto Vetorial
| v X w | = |v| |w| sen Θ
A área do parelelogramo 
 determinado por v e w é dada 
 por: 
 A = | v X w | 
v X w = 0 se, e somente se, v for paralelo a w
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Produto Misto
O produto misto de u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) é: u∙(v X w) = u1 u2 u3
 v1 v2 v3
 w1 w2 w3
O volume do paralelepípedo determinado por u, v e w é dado por: 
 V = | u∙(v X w) |
 u∙(v X w) = 0 se, e somente 
 se u, v e w forem coplanares 
 
v
u
w
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Propriedades do Produto Misto
O produto misto (u X v) ∙ w muda de sinal ao trocarmos a posição de 2 vetores dentro desse produto 
u ∙ (v X w) = (u X v) ∙ w 
(u + s)∙(v X w) = [u∙(v X w)] + [s∙(v X w)];
 u∙([s + v] X w) = [u∙(s X w)] + [u∙(v X w)];
 u∙(v X [s+w]) = [u∙(v X s)] + [u∙(v X w)]
(βu)∙(v X w) = u∙((βv) X w) = u∙(v X (βw)) 
 = β [u∙(v X w)]
 
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