Unidade V

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 UERJ – CTC – IME – Departamento de Informática e Ciência da Computação
 Cálculo Numérico – Professora Mariluci Ferreira Portes
�
Unidade V – Interpolação
V.1 - Introdução
Interpolar significa determinar valores intermediários entre valores dados de uma função.
Suponha que um móvel, partindo do repouso, é dirigido com uma aceleração máxima até atingir 96 Km/h e que as leituras do velocímetro, com intervalos não eqüidistantes, são apresentadas no gráfico abaixo:
 y (km/h)
 96
 94
 60
 48
 38
 
 16 x
 0 2 7 16 22 36 40
Desejaríamos que os pontos definissem uma curva suave. No entanto, devido a erros de leitura e outros fatores, os pontos não estão muito bem situados, pois as velocidades são grandes, e outras são pequenas.
A solução do problema pode ser vista sobre dois aspectos:
	Ajuste da curva: Neste caso a provável curva ajustável não necessariamente conterá os pontos medidos. O método utilizado é dos mínimos quadrados.
	Interpolação: Neste caso são escolhidos polinômios que conterão os valores dos pontos medidos.
V.2 - Interpolação Linear
Seja f (x) uma função contínua e diferenciável da qual se conhece os seguintes valores:
	x
	f (x) 
	x 0
	f (x 0) 
	x 1
	f (x 1) 
	(
	(
	x i
	f (x i ) 
	x i + 1
	f (x i + 1 ) 
	(
	(
	x n
	f (x n ) 
Temos (n + 1) pontos tabelados.
Suponha que se deseja o valor de f (
�) para 
� ( [x i ; x i + 1 ]
y
 f(xi+1) B
 f(
) F
 f(xi) A D E
 
0 xi 
 x i+1 x
A interpolação linear consiste em determinar um polinômio de 1º. grau que contenha os pontos A (x i ; f (x i )) e B ( x i + 1 ; f (x i + 1 )).
Os triângulos ABE e AFD são semelhantes. Daí resulta:
�
Logo:
		
�
Observe que para 
�
f (
�) = a 0 + a 1 
� , onde 
�
Então temos um polinômio interpolador do 1º. grau.
Aplicação:
1- Considere sen 0° e sen 10° = 0,17365.
Determine sen 6,5°.
� = 6,5 
x i = 0 ( f (x i) = 0
x i + 1 = 10 ( f (x i + 1) = 0,17365 
f (
�) = sen 6,5° = 0 + 
�[ 0,17365 - 0 ] = 0,11287
2- Considere agora sen 6° = 0,10453 e sen 7° = 0,12187
Calcule sen 6,5°:
sen 6,5° = 0,10453 + 
�[ 0,12187 - 0,10453 ] = 0,11320
V.3 - Polinômio Interpolador
Para melhor aproximação de f (x) poderíamos escolher uma curva de ordem mais elevada. dados (n + 1) pontos, a curva de mais alto grau e o polinômio de grau n, cuja expressão é:
�
Para se determinar os coeficientes basta observar que 
�.
Com isso temos o seguinte sistema linear:
�
A matriz associada ao sistema é:
 A= 
� que é a matriz de Vandermond. det A= 
 (xi – xj)
 
O determinante associado a essa matriz é não nulo desde que xi , i = 0 (1) n, sejam todos distintos. Como essa condição é satisfeita, então o sistema tem solução. Utilizando um dos métodos já estudados para resolver sistemas lineares, determinamos ai , i = 0 (1) n, e conseqüentemente Pn(x).
Exemplo: 
Dados: sen 0° = 0; sen 30° = 0,5; sen 60° = 0,866025; sen 90° = 1. Determine a expressão do polinômio interpolador e o valor do sen 45°.
Solução: 
�
�
Resolvendo o sistema acima, temos:
a1 = 0,178098 ( 10 -1
a2 = - 0,199435 ( 10 -4
a3 = 0,605409 ( 10 -6
Logo: P 3(x) = 0,605409 ( 10 -6 x3 - 0,199435 ( 10 -4 x2 + 0,178098 ( 10 -1 
P 3 (45) =
V.4 - Polinômio Interpolador de Lagrange
Polinômio Interpolador de Lagrange de 1ª Ordem
Considere x0, x1, f (x0), f (x1).
A expressão do polinômio interpolador de 1ª ordem é:
P 1(x) = a 1x + a 0 em que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1)
�
Considere agora uma constante c = 1, e: 
�
Então temos um sistema linear, com 3 equações e 3 incógnitas (c; a1; a0).
A matriz associada ao sistema homogêneo é: 
�
O sistema homogêneo tem solução quando o determinante da matriz associada é nulo. Logo: 
�
Observe que P1(x0) = f (x0) e P1(x1) = f (x1).
A expressão obtida pode ser escrita da seguinte forma:
�, onde Li(x) são os coeficientes de Lagrange, daí o polinômio interpolador de Lagrange de 1ª ordem.
Generalizando ...
O polinômio interpolador de Lagrange de ordem n , tem por expressão:
�, onde
�
Note que: 
Li(xi) = 1
Li(xj) = 0 , i ( j
Isto acarreta que Pn (xi) = f (xi)
Uma fórmula compactada do Polinômio Interpolador de Lagrange de ordem n é:
�
Exemplo:
Dados os valores f (0) = 7,3 ; f (0,5) = - 5,1 ; f (1) = 6 ; determine a expressão do Polin. Int. de Lagrange e f (0,8).
Solução: 
�
�
�
�
�
�
V.5 - Cálculo das Diferenças Finitas
Quando os pontos x0, x1, ..., xn são igualmente espaçados, recorremos ao cálculo das diferenças finitas para interpolarmos.
Definição: Definimos operador diferença progressiva ( h da seguinte maneira:
	
= f (x + h) - f (x) , onde h é o passo (no idioma inglês, ‘step’) entre os pontos.
Exemplo: 
1) f (x) = cos x		( h f (x) = cos (x + h) - cos x , para h = 
�
	
�
2) Seja f (x) = x 3 + 5 , considere a tabela:
	x
	f (x) 
	
�f (x) 
	
�f (x) 
	
�f (x) 
	
�f (x) 
	0
	5
	8
	48
	48
	0
	2
	13
	56
	96
	48
	0
	4
	69
	52
	144
	48
	
	6
	221
	296
	
	
	
	8
	517
	
	
	
	
		
Observações:
 1) f ’(x) = 3x 2
f ’’(x) = 6x
f ’’’(x) = 6
 f IV (x) = 0
2) As diferenças progressivas têm semelhança com as derivadas. De fato:
�
Quando h ( 0
para 
 ( (x, x+h)
(usando o teorema do valor médio)
3) Se cometermos um erro ( em um valor tabelado, então esse erro se propaga em todas as direções da tabela.
	x
	f (x) 
	
�
	
�
	x0
	0
	0
	(
	x1
	0
	(
	-2(
	x2
	(
	-(
	(
	x3
	0
	0
	
	x4
	0
	
	
4) Há uma relação entre valores tabelados e algarismos significativos exatos dos valores tabelados, isto é: “O número de algarismos significativos exatos dos valores tabelados é aproximadamente igual a ordem da mais alta diferença que possuí sinais não alternantes.”
Exercício: Construir a tabela do sen x para x = 0° (10°) 90° e fazer as respectivas diferenças, utilizando 5 casas decimais por truncamento. Qual é a precisão de casas decimais dos valores, consultando a tabela?(
	x
	f(x)
	(10f(x)
	 (101 f(x)
	(102 f(x)
	0
	0,00000
	0,17365
	-0,00528
	-0,00512
	10
	0,17365
	0,16837
	-0,01039
	-0,00480
	20
	0,34202
	0,15798
	-0,01519
	-0,00434
	30
	0,50000
	0,14279
	-0,01953
	-0,00375
	40
	0,64279
	0,12326
	-0,02328
	-0,00304
	50
	0,76604
	0,09998
	-0,02631
	-0,00224
	60
	0,86603
	0,07367
	-0,02855
	-0,00137
	70
	0,93969
	0,04512
	-0,02992
	
	80
	0,98481
	0,01519
	
	
	90
	1,00000
	
	
	
V.5.1 - Fórmula da diferença progressiva de Newton-Gregory
Suponha que com o conjunto de pontos tabelados quiséssemos desenvolver f (x) em série de Taylor. Então f (x) = f (x0) + f ’(x) (x - x0) + 
�. 
Porém só conhecemos o valor de f (x0)e desejamos aproximar f(x) por um pol. do 1º grau, ou seja: Simplificando a situação:
�
Como não se tem f ’(x0) e sabemos que existe uma relação
entre derivadas e diferenças finitas, então: 
�
Logo: 
� (1)
Isso para (x0; x0 + h) bem próximos.
Note que: f (x0) = f (x0)
	 f (x1) = f (x1) expressão obtida em (1) é um polinômio de grau 1, que utiliza diferença progressiva.
Sabemos que 
� e que 
� .
No ponto x0 temos 
�, onde P0 (x1) ( f (x1), mas a1 é um fator de correção que acarreta P1 (x1) = f (x1).
Partindo-se desse raciocínio vem: 
�, onde 
��� EMBED Equation.2 �.
Basta que P2 (x2) = f (x2) para obtermos a expressão do polinômio do segundo grau.
�
�
�
Generalizando temos: 
 
Exemplo:
	x
	0
	2
	4
	6
	f (x) 
	1
	3
	2
	5
1. Dada a tabela: 
	a. Obter a fórmula do Pol. Interp. de Newton-Gregory;
	b. Determinar o valor aproximado de f (5).
�
Solução:
	x
	f (x) 
	(2 f (x) 
	
�
	
�
	0
	1
	2
	-3
	7
	2
	3
	-1
	4
	
	4
	2
	3
	
	
	6
	5
	
	
	
 
�
 b. f (5) ( P3(5) ( P3(5) = 2,5625
Observações:
O processo do Pol. Interp. exige grande quantidade de cálculos;
O método de Lagrange é útil, porém ainda hoje exige muitos cálculos;
O método das diferenças de Newton-Gregory é ineficiente se forem necessárias poucas interpolações; porém uma vez construída a tabela, torna-se fácil utilizá-la para outras interpolações.
V.5.2 - Fórmula de Newton com Diferenças Divididas
Diferenças Divididas
Seja f (x) uma função da qual se conhece f (x0), f (x1), ..., f (xn). Denominamos de diferença dividida:
Primeira Ordem ( 
� 
Segunda Ordem ( 
�
Terceira Ordem ( 
�
Observe que em virtude da definição temos:
�
Daí resulta que:
Substituindo xn por x temos o Polin. Interpolador de grau n de diferenças divididas de Newton.
Observação: Os pontos não precisam ser eqüidistantes.
Exemplo:
	x
	1
	4
	6
	7
	9
	15
	f (x) 
	-39
	-1704
	-4664
	-5601
	1
	325447
Dada a tabela: 
a) Determinar a expressão do Pol. Int. de Newton com Diferenças Divididas.
b) Determinar o valor aproximado de f (5).
a)
	x
	f (x) 
	1a dif.
	2a dif.
	3a dif.
	4a dif.
	5a dif.
	1
	-39
	[1;4]= -555
	[1;4;6]= -185
	[1;4;6;7]= 61
	[1;4;6;7;9] = 19
	[1;4;6;7;9;15]= 1
	4
	-1704
	[4;6]= -1480
	[4;6;7]= 181
	[4;6;7;9]= 213
	[4;6;7;9;15]= 33
	
	6
	-4664
	[6;7]= -937
	[6;7;9]= 1246
	[6;7;9;15]= 576
	
	
	7
	-5601
	[7;9]= 2801
	[7;9;15]=6430
	
	
	
	9
	1
	[9;15]= 54241
	
	
	
	
	15
	325447
	
	
	
	
	
b) f(5) ( P5(5)= -3123
�
V.5.3 - Polinômio de Gauss
Através do polinômio interpolador de Gauss podemos deduzir as fórmulas de Bessel e Stirling.
Consideremos os nós não eqüidistantes da seguinte forma: 
x0 = x0
x1 = x0 + h
x2 = x0 - h
x3 = x0 + 2h
x4 = x0 - 2h 		e assim sucessivamente.
Usando as diferenças divididas, temos:
�
�
Logo o polinômio dado pela fórmula das diferenças divididas é igual a:
(*)
�
Mas x = x0 + th (t ( (), donde:
x - x0 = th
	x - x1 = (t - 1) h
		x - x2 = (t + 1) h
			x - x3 = (t - 2) h
				x - x4 = (t + 2) h
Substituindo em (*), temos:
�
Então:
	
�
E essa é a Fórmula de Gauss para o polinômio interpolador.
V.5.3 - Fórmula de Bessel
É deduzida a partir da Fórmula de Gauss e é preferida pelos calculistas por causa das vantagens que apresenta.
Desdobremos da seguinte forma:
�
Logo:
�
�
A expressão (2) representa a fórmula de Bessel que pode ser escrita de uma forma mais compacta, a saber:
�
�
são chamados de coeficientes de Bessel.
Observação: Existem tabelas que dão os coeficientes de Bessel para valores de t compreendidos entre 0 e 1.
Exemplo: Seja 
�, a integral que permite calcular as probabilidades,
P(X 
�x) para uma distribuição normal. Considere a tabela de valores de probabilidades:
	X
	0,51
	0,52
	0,53
	0,54
	0,55
	0,56
	((x)
	0,5292437
	0,5378987
	0,5464641
	0,5549392
	0,5633233
	0,5716157
Calcule ((0,5437) usando a fórmula de Bessel.
Solução: Construção da tabela de diferenças finitas:
	x
	((x)
	((
	(2(
	(3(
	0,51
	0,5292437
	0,0086550
	-0,0000896
	-0,0000007
	0,52
	0,5378987
	0,0085654
	-0,0000903
	-0,0000007
	0,53
	0,5464641
	0,0084751
	-0,0000910
	-0,0000007
	0,54
	0,5549392
	0,0083841
	-0,0000917
	
	0,55
	0,5633233
	0,0082924
	
	
	0,56
	0,5716157
	
	
	
Seja x0 = 0,54
	x = 0,5437		x = x0 + th
	0,5437 = 0,54 + t (0,01)
	t = 
� = 0,37
Usando a fórmula de Bessel, temos:
�
� 
V.5.4 - Fórmula de Stirling
Escrevamos a fórmula de Gauss da seguinte forma:
� 
Mas: 
�
Então: 
�
Exemplo: Dada a tabela abaixo com os valores da integral elíptica 
�
assim como as diferenças finitas até 6o. ordem, determinar K(78o 30’) pela fórmula de Stirling.
	(
	K(()
	(K
	(2K
	(3K
	(4K
	(5K
	(6K
	75°
	2,76806
	6461
	528
	84
	19
	13
	-5
	76°
	2,83267
	6989
	612
	103
	32
	8
	
	77°
	2,90256
	7601
	715
	135
	40
	
	
	78°
	2,97857
	8316
	850
	175
	
	
	
	79°
	3,06173
	9166
	1025
	
	
	
	
	80°
	3,15339
	10191
	
	
	
	
	
	81°
	3,25530
	
	
	
	
	
	
Solução: 
x0 = 78°
h = 1° = 60’
x = 78° 30’ ( t = 
� = 0,5
�
 V.6 – Erro de Truncamento
 Dados os (n+1) valores x0 ,x1 ,...,xn , o erro de truncamento associado a interpolação polinomial é dado por:
 
 
 e 
 
 
 
 DEM: Seja En(x) = f(x) – Pn(x)
Seja G(x) = (x – x0) ... (x – xn) 
x
[x0 , xn]
Para x = xi , i = 0 (1) n temos
G(xi) = 0 ( En(xi) = 0
pois f(xi) = Pn(xi), i = 0 (1) n
Considere H(t) = En(x).G(t) – En(t).G(x) t
[x0 , xn]
1ª Afirmação: H(t) possui derivadas até ordem (n +1).
De fato:
a) f(t) possui derivadas até ordem (n + 1)
b) Pn(t) possui derivadas de ordem (n + 1)
c) En(t) = f(t) – Pn(t) possui derivadas até ordem (n + 1)
d) G(t) possui derivadas até ordem (n + 1)
Logo, H(t) possui derivadas até ordem (n + 1).
2ª Afirmação: H(t) possui (n + 2) zeros.
De fato:
a) Para t = xi , i = 0 (1) n, temos En(t) = 0 e G(t) = 0
(H(xi) = En(x).G(x) – En(xi).G(x) = 0
b) Para t = x ( H(x) = En(x).G(x) – En(x).G(x) = 0
Então x0, x1, ..., xn, x são os zeros de H(t).
Resumindo: a função H(t) no intervalo [x0 , xn]
a) está definida
b) possui derivadas até ordem (n + 1)
c) possui pelo menos (n + 2) zeros 
Dessa forma podemos aplicar o Teo. De Rolle sucessivamente a H(t), ou seja
H´(t) possui pelo menos (n + 1) zeros
H´´(t) possui pelo menos n zeros
Hn+1(t) possui pelo menos um zero
no intervalo (x0 , xn).
Assim,
 e 
Logo
Se 
 for um zero para H(t), teremos
( 
( 
 OBS: Nos cálculos estimamos 
 por diferença dividida de ordem (n+1) por ser f(x) desconhecida.
 
 
 
Lista de exercícios sobre a Unidade V
1) Determine o polinômio P(x) que assume os valores y0 =1, y1 = 4, y2 =15, y3 = 40, para os valores x0 = 0, x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, e calcular o valor numérico de P(2,2).
2) Dada a tabela:
	x
	0
	2
	4
	6
	8
	10
	f (x) 
	-5
	-11
	191
	1513
	5635
	15005
Determine P(x) e calcule P(5) utilizando:
a) a fórmula de Lagrange.
b) a fórmula de Gregory-Newton.
3) Dada a tabela:
	x
	1
	4
	6
	7
	9
	15
	f (x) 
	-39
	-1704
	-4664
	-5601
	1
	325477
Determine:
a) a expressão do polinômio interpolador de Lagrange.
b) o valor de P(5).
4) Calcular o seno de 0,390736 pelo método de Gregory-Newton sendo dados:
	x
	0,390
	0,391
	0,392
	0,393
	0,394
	sen x
	0,380188
	0,381113
	0,382037
	0,382961
	0,383885
Trabalho
Computacional: Programar o polinômio interpolador de Lagrange e determinar f (3), f (5), f (7), sendo dada a seguinte tabela:
	x
	2
	4
	6
	8
	f (x)
	0,6931
	1,3863
	1,7918
	2,0794
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