Lista de Cálculo III

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Prof.: Edson Sampaio
Aluno:
Lista de exerc´ıcios (Ca´lculo III)
1 Primeira Parte
Obs.: Exerc´ıcios do cap´ıtulo 16 do livro Um curso de Ca´lculo, vol. 2, Guidorizzi.
1.1 (Sec¸a˜o 16.2). 1-6.
1.2 (Sec¸a˜o 16.3). 1; 2; 4; 5; 7; 9; 10; 11.
1.3 (Sec¸a˜o 16.4). 1; 3; 5; 8.
1.4 (Sec¸a˜o 16.5). 1; 9; 15; 17; 18; 19; 20; 23.
2 Segunda Parte
2.1. Um fazendeiro deseja construir um canteiro em forma de triaˆngulo com cerca
ele´trica. Pore´m, ele so´ dispo˜e de 200 m de cerca ele´trica. Com que dimenso˜es o fa-
zendeiro deve construir o canteiro para que a a´rea do mesmo seja ma´xima?
2.2. A base de um aqua´rio com volume V e´ feita de ardo´sia e os lados sa˜o de vidro.
Se o prec¸o da ardo´sia (por unidade de a´rea) equivale a cinco vezes o prec¸o do vidro,
determine as dimenso˜es do aqua´rio para minimizar o custo do material.
2.3. Treˆs alelos (verso˜es alternativas de um gene) A, B e O determinam os quatro
tipos de sangue: A (AA ou AO), B (BB ou BO), O (OO) e AB. A lei de Hardy-
Weinberg estabelece que a proporc¸a˜o de indiv´ıduos numa populac¸a˜o que carregam dois
alelos diferentes e´
P = 2(pq + pr + qr)
onde p, q e r sa˜o resp. as proporc¸o˜es de A, B e O. Use o fato que p + q + r = 1 para
mostrar que P e´ no ma´ximo 23 .
2.4. Ache a distaˆncia entre a elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 e a reta x+ y − 2 = 0.
2.5. Dividindo um arame de comprimento L em duas partes, faz-se com uma das partes
uma circunfereˆncia e com a outra um quadrado. Determinar o ponto em que se deve
cortar o arame para que a soma das a´reas geradas pelo quadrado e circunfereˆncia seja
mı´nima.
2.6. Uma part´ıcula pelo calor tem a propriedade de, em qualquer ponto (x,y) do plano,
mover-se no sentido de maior aumento de temperatura. Se a temperatura em (x,y) for
T (x, y) = −e2ycos x, encontre uma equac¸a˜o y=f(x) para o caminho de uma part´ıcula
atra´ıda pelo calor no ponto (pi/4, 0).
1
2.7. Suponha que a temperatura em Celsius em um ponto (x,y,z) sobre uma esfera x2 +
y2 + z2 = 1 seja T (x, y, z) = 400xyz2. Localize as temperaturas mais altas e mais baixas
sobre a esfera.
2.8. Foi encomendado para sua empresa o projeto de um tanque para ga´s liquefeito
de petro´leo. As especificac¸o˜es do cliente pedem um tanque cil´ındrico com extremidades
hemisfe´ricas que contenham 8000 m3 de ga´s. O cliente tambe´m quer usar a menor
quantidade poss´ıvel de material para construir o tanque. Qual raio e altura da parte
cil´ındrica voceˆ recomendaria para o tanque?
2.9. Mostre o seguinte:
a) Mostre que o valor ma´ximo de x2y2z2 sobre a esfera de raio r centrada na origem
e´ (r2/3)3.
b) Usando o item a), mostre que, para nu´meros na˜o negativos a,b e c, tem-se
(abc)1/3 ≤ a+ b+ c
3
.
2.10. Considere o problema de minimizar a func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + y2 na curva de
intersec¸a˜o das superf´ıcies g1(x, y, z) = 0 e g2(x, y, z) = 0, onde g1(x, y, z) = z e
g2(x, y, z) = z
2 + (y − 1)2. Resolva este problema.
2