Lista 2 calculo 2

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UFPB / CCEN / Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
2a Lista de Exercícios - Período 2011.2
Professor:Fred
[A] .Calcule as integrais das funções trigonométricas listadas abaixo :
(01)
Z
sin3 xdx (02)
Z
sin5 xdx (03)
Z
cos4 x sin3 xdx
(04)
Z
cos3 xdx
sin4 x
(05)
Z
tan3 xdx (06)
Z
cot5 xdx
(07)
Z
cos2 x sin3 xdx (08)
Z
3
p
cosx sin5 xdx (09)
Z p
sin x cosxdx
(10)
Z
cot3 xp
sin x
dx (11)
Z
sin� x cos3 xdx (12)
Z
sec xdx
(13)
Z
sec3 xdx (14)
Z
sin2 x sec3 xdx (15)
Z
cos2Xdx
(16)
Z
sin2 xdx (17)
Z
sin2 x cos2 xdx (18)
Z
sin4 xdx
(19)
Z
cos4 xdx (20)
Z
cos6 xdx (21)
Z
sec8 xdx
(22)
Z
tan2 xdx (23)
Z
csc4 xdx (24)
Z
cos2 x
sin4 x
dx
(25)
Z
cos20 x
sin22 x
dx (26)
Z
tan4 x sec4 xdx (27)
Z
sin x sin 3xdx
(28)
Z
cos 4x cos 7xdx (29)
Z
cos 2x sin 4xdx (30)
Z
sin 1
4
x cos 3
4
xdx
[B] Calcule as integrais abaixo, utilizando substituição trigonométrica:
(01)
Z p
a2 � x2dx
x2
(02)
Z
dxp
x2 + 2x+ 2
(03)
Z
x2
p
4� x2dx
(04)
Z
x2p
4� x2dx (05)
Z
xdxp
6x� x2 � 5 (06)
Z
xp
8� x2 � 2xdx
(07)
Z
dxq
(a2 + x2)3
(08)
Z
dxp
1 + x2
(09)
Z
dx
x2
p
x2 + 9
(10)
Z
xdxp
4x2 + 8x+ 5
(11)
Z
dxp
x2 � 4 (12)
Z
dx
x2
p
x2 � 16
(13)
Z
dxp
x2 � 4x� 5 (14)
Z
dxp
4x2 � 4x� 3 (15)
Z p
x2 � a2dx
x
[C] Ainda usando substituição trigonométrica, calcule as integrais abaixo :
(01)
Z
dxp
2� 3x� 4x2 (02)
Z
dxp
1 + x+ x2
(03)
Z
dxp
5� 7x� 3x2 (04)
Z
dxp
x (3x+ 5)
(05)
Z
dxp
5x2 � x� 1 (06)
Z
(x+ 3) dxp
4x2 + 4x+ 3
(07)
Z
(x� 3) dxp
3 + 66x� 11x2 (08)
Z
(3x+ 5) dxp
x (2x� 1)
[D] Resolva as problemas de valores iniciais abaixo:
(01) (t2 � 3t+ 2)dx
dt
= 1; (t > 2); x(3) = 0 (02) (t2 + 2t)dx
dt
= 2x+ 2; t; x > 0; x(1) = 1
(03) dy
dt
= ex(y2 � y); y(0) = 2 (04) dy
dx
= 1
x2�3x+2 ; y(3) = 0
[E] As vezes os sociólogos usam a expressão ’difusãosocial’para descrever o modo como
a informação se dissemina entre uma população. A informação pode ser um boato,
uma novidade cultural ou notícias sobre uma inovação técnica. Em uma população
su…cientemente grande, o número de pessoas x que têm a informação é tratado como
uma função derivada do tempo t e a taxa de difusão, dx
dt
; é considerada proporcional
ao número de pessoas que têm a informação multiplicado pelo número de pessoas
que não a têm. Isso fornece a equação
dx
dt
= kx(N � x)
onde N é a população total. Suponha que t seja medido em dias, k = 1
250
e duas
pessoas dêem início a um boato no momento t = 0 em uma população de n = 1:000
pessoas.
a) Encontre x como função de t.
b) Quando metade da população terã ouvido o boato?
RESPOSTAS - A
(01) � cosx+ 1
3
cos3 x (02) � cosx+ 2
3
cos3 x� 1
5
cos5 x
(03) �1
5
cos5 x+ 1
7
cos7 x (04) csc x� 1
3
csc3 x
(05) 1
2
tan2 x+ log jcosxj (06) �1
4
cot4 x+ 1
2
cot2 x+ log jsin xj
(07) �1
5
sin2 x cos3 x� 2
15
cos3 x (08) � 3
16
cos
16
3 x+ 3
5
cos
10
3 x� 3
4
cos
4
3 x
(09) 2
3
sin
3
2 x (10) � 2
5
�p
sin x
�5 + 2psin x
(11)
1
1 + �
(sinx)1+� � 1
3 + �
(sinx)3+� (12) ln jsec x+ tanxj
(13) 1
2
sin x sec2 x+ 1
2
ln jsec x+ tan xj (14) 1
2
sin3 x sec2 x+ 1
2
sin x� 1
2
ln jsec x+ tanxj
(15) 1
2
cosx sin x+ 1
2
x (16) �1
2
cosx sin x+ 1
2
x
(17) �1
4
sin x cos3 x+ 1
8
cosx sin x+ 1
8
x (18) �5
8
cosx sin x+ 3
8
x+ 1
4
cos3 x sin x
(19) 1
4
sin x cos3 x+ 3
8
cosx sin x+ 3
8
x
(20) 1
6
cos5 x sinx+ 5
24
cos3 x sin x+ 5
16
cosx sin x+ 5
16
x
(21) tan
7 x
7
+ 3 tan
5 x
5
+ tan3 x+ tan x (22) tan x� x
(23) �1
3
csc2 x cotx� 2
3
cotx (24) �1
3
cot3 x
(25) � 1
21
cot21 x (26)
tan7 x
7
+
tan5 x
5
(27) 1
4
sin 2x� 1
8
sin 4x (28) 1
6
sin 3x+ 1
22
sin 11x
(29) � 1
12
cos 6x� 1
4
cos 2x (30) �1
2
cosx+ cos 1
2
x
RESPOSTAS - B
(01) �
p
a2 � x2
x
� arcsin x
a
(02) arcsinh (x+ 1) = log
����(x+ 1) +q1 + (x+ 1)2����
(03) �1
4
x
�p
(4� x2)
�3
+ 1
2
x
p
(4� x2) + 2 arcsin 1
2
x
(04) �1
2
x
p
(4� x2) + 2 arcsin 1
2
x (05) �p(6x� x2 � 5) + 3 arcsin �1
2
x� 3
2
�
(06) �p(8� x2 � 2x)� arcsin �1
3
x+ 1
3
�
(07)
x
a2
p
a2 + x2
(08) arcsinhx = log
��x+p1 + x2�� (09) � 1
9x
p
(x2 + 9)
(10) 1
4
p
(4x2 + 8x+ 5)� 1
2
arcsinh (2x+ 2) (11) ln
�
x+
p
x2 � 4�
(12)
1
16x
p
(x2 � 16) (13) ln
�
x� 2 +p(x2 � 4x� 5)�
(14) 1
2
ln
�
2x� 1 +p(4x2 � 4x� 3)� (15) p(�a2 + x2)� a arccos a
x
RESPOSTAS - C
(01)
1
2
arcsin
�
8x+ 3p
41
�
(02) ln
��x+ 1
2
+
p
1 + x+ x2
��
(03)
1p
3
arcsin
�
6x+ 7p
109
�
(04)
1p
3
ln
���6x+ 5 +p12x (3x+ 5)���
(05) 1p
5
ln
���10x� 1 +p20 (5x2 � x� 1)��� (06) 14p4x2 + 4x+ 3 + 54 ln ��2x+ 1 +p4x2 + 4x+ 3��
(07) � 1
11
p
3 + 66x� 11x2 (08) 3
2
p
x (2x� 1) + 23
4
p
2
ln
�
4x� 1 +p8x (2x� 1)�
RESPOSTAS - D
(01) x = ln jt� 2j � ln jt� 1j+ ln 2 (02) x = 6t
t+2
� 1; t > 215
(03) ln jy � 1j � ln jyj = ex � 1� ln 2 (04) y = ln jx� 2j � ln jx� 1j+ ln 2
RESPOSTAS - E
(a) x = 1:000e
4t
499+e4t
(b) 1; 55 dias